Способы решения уравнений с модулем

Лекция 2.
Решение уравнений, содержащие переменную под знаком модуля, в ходе
подготовки к централизованному тестированию.
1. Рассмотрим уравнение:|x+1| = 2|x–2|
(Т 2002, В3)
Постараемся найти как можно большее количество решений данного
уравнения.
Способ №1. Решение возведением в квадрат. Просто возводим обе части
уравнения в квадрат.
(x+1)2=(2x– 4)2,
(x+1)2–(2x– 4)2=0,
(x+1+2x– 4)(x+1–2x+ 4)=0,
(3x–3)(5 –x)=0,
x= 1 или x = 5.
Ответ: 1;5
Способ №2.
|x+1| = 2|x–2|
Известно, что уравнение вида|f(x)|=|g(x)|равносильно
f(x) = g(x),
совокупности[
f(x) = −g(x)
Имеем: [
х + 1 = 2(х − 2), х + 1 = 2х − 4, х = 5,
[
[
х + 1 = −2(х − 2) х + 1 = −2х + 4 х = 1.
Ответ: 1;5
Способ №3.
|x+1| = 2|x–2|
Метод промежутков. Практически универсальный метод для решения
уравнений и неравенств с модулем.
Нули подмодульных выраженийx=–1
определения уравнения на 3 промежутка.
и x=2 разбивают область
|х+1|–
–1
+
2
––
|х– 2|
–1
+
+
+
2
Решим уравнение на каждом из них.
1) При х<– 1 имеем:
– х – 1 = 2(2 – х),
– х – 1 =4 – 2х,
х = 5 – не входит в рассматриваемый промежуток.
2) При –1 ≤ х ≤ 2 имеем:
х + 1 = 2(2 – х),
х + 1= 4 – 2х,
х = 1 – входит в рассматриваемый промежуток.
3) При х >2 имеем:
х + 1 = 2(х – 2),
х = 5 – входит в рассматриваемый промежуток.
Таким образом, уравнение имеет два корня: х = 1 и х = 5.
Ответ: 1;5
Способ №4. Графический.
|x+1| = 2|x–2|
Строим в одной системе координат графики функции y=|x+1| и y=2|x–2|.
Абсциссы точек их пересечения будут являться корнями уравнения. Метод
менее точный, но более наглядный. Наиболее подготовленные учащиеся
графическим способом определяют количество корней уравнения, а затем
подбором находят сами корни.
y
-1
1 2
5
х
Проанализировав достоинства и недостатки каждого из указанных
способов, можно с уверенностью сказать, что на мотивационном этапе
формирования умения решать уравнения с модулем ученикам следует
показывать все, доступные на данном этапе обучения способы решения, и,
главное, на конкретных примерах доказывать, что первый этап решения –
выбор самого эффективного способа решения.
Решение уравнений, содержащих переменную под знаком модуля, с
использованием свойств абсолютной величины.
2.Рассмотрим уравнения, решение которых основано на свойствах
модуля. При решении уравнений, содержащих переменную под знаком модуля,
из заданий части «В», часто удобно применять следующие свойства
абсолютной величины:
a ≥ 0,
b≥0
a ≥ 0,
| a | + | b | = a – b <=>{
b≤0
a ≥ 0,
| a | – | b | = a – b<=>{
b ≥ 0.
| a | + | b | = a + b <=>{
Рассмотрим решение некоторых таких уравнений.
Пример 1. Т2005, В4. Найти количество натуральных корней уравнения
|7x–х2–18|+|4x–16| = x2–11х+34
Решение. Способ №1.
Так как дискриминант квадратного трёхчлена х2–7x+ 18 отрицателен, то
х2–7x+ 18> 0 для любого действительного значения xи, значит,
7x–х2–18 = –(х2–7x+ 18) < 0.
Раскроем первый модуль:
|7x–х2–18| = х2–7x+ 18, получаем
х2–7x+ 18 + |4x–16| = x2–11х+34,
|4x–16| =–4x +16,
4x–16≤ 0,
x≤ 4.
Количество
натуральных
корней,
удовлетворяющих
последнему
неравенству – 4.
Ответ: 4
Способ №2.
Заметим, что уравнение |7x–х2–18|+|4x–16| = x2–11х+34отвечает свойству| a | + |
b | = –a–b<=>{
a ≤ 0,
b≤0
Составим и решим систему неравенств:
7x– х2 – 18 ≤ 0, х2 – 7x– 18 ≤ 0, 𝑅,
x ≤ 4.
{
{
{
x ≤ 4;
4x– 16 ≤ 0;
x ≤ 4;
Ответ: четыре натуральных корня.
Решение
предложенного
уравнения
универсальным
методом
промежутков будет более громоздким.
Точно так же одним из рассмотренных способов можно решить
уравнение|8x– х2– 17|+|2x– 32| = x2– 10х+49 (Т2009, В4).
Пример 2. Т2008, В7. Найти произведение целых корней уравнения
|х2– 2x– 8|+|х2– 8x+15| = 6х– 23.
Решение. Данное уравнение отвечает свойству
| a | + | b | = a–b<=>{
a ≥ 0,
, поэтому для его решения можно составить и
b≤0
решить систему неравенств:
x 2 – 2x– 8 ≥ 0,
{ 2
x – 8x + 15 ≤ 0
Решением системы является отрезок [4; 5]. Произведение целых корней: 4∙5=20.
Ответ: 20
Пример 3. Т2009, В7.Найти сумму корней уравнения (или корень, если он один)
|3х − 5| + х2 − 10|х| + 25
= |х − 2|
х−3
Решение.
Запишем уравнение в виде
Заметим,
|3х − 5| + (|х| − 5)2
= |х − 2|
х−3
числитель дроби и правая часть
что
уравнения
всегда
неотрицательны, поэтому необходимо выполнение условия: х ˃ 3.Раскрывая
модули уравнения при этом условии, получаем
3х − 5 + х2 − 10х + 25 = (х − 2)(х − 3);
х2 − 7х + 20 = х2 − 5х + 6,
х=7
Ответ: 7
Пример 4. Т 2013, В8. Найти сумму корней уравнения
|(x− 1)(х− 6)|(|x+2|+|x− 8|+|x− 3|) = 11(x − 1)(6 − x)
Решение.
Легко заметить, что левая часть уравнениянеотрицательна при всех
действительных x. Для того чтобы уравнение имело решение, необходимо,
чтобы и правая его часть была неотрицательной, т.е.
(x − 1)(6 − x)≥ 0, откуда 1 ≤x≤6
Раскрывая модули уравнения на полученном отрезке, получаем
(x− 1)(6 – х)∙(x+2−x+8+|x− 3|) = 11(x − 1)(6 − x)
Разность x– 3 остаётся под знаком модуля, т.к. его нельзя однозначно
раскрыть на отрезке [1;6]. Далее замечаем, что x = 1 и x = 6 являются корнями
уравнения. Окончательно имеем уравнение
|x− 3| = 1, решением которого являются x = 4 и x = 2.
Таким образом, уравнение имеет четыре корня. Осталось найти их сумму:
1 + 2 + 4 + 6 =13
Ответ: 13
Пример 5. РТ3 2008, В7. Найти произведение большего корня на количество
корней уравнения
|x 2 − 7x + 12|
= х2 − 8х + 16
1−х
Решение. Решение данного уравнения аналогично решению уравнения из
Т2009, В7. Запишем уравнение в виде
|x 2 − 7x + 12|
= (х − 4)2
1−х
Для того чтобы уравнение имело решение, необходимо выполнение условия
1 − х ˃ 0 , т.е. х ˂ 1
При условии х ˂ 1 квадратный трёхчлен x 2 − 7x + 12 принимает
положительные значения:x 2 − 7x + 12 = (x − 3)(x − 4),
3
4
х
Раскрывая модуль уравнения, получаем
(x − 3)(x − 4)
= (x − 4)2
1−х
Далее имеем:
x = 4 - корень уравнения,
x − 3 = (x − 4)(1 − х),
x 2 − 4 x + 1 = 0,
[
x = 2 + √3 ˃ 1,
x = 2 − √3 ˂ 1.
Таким образом, уравнение имеет два корня:
x = 4 и x = 2 − √3,больший из которых равен 4.
Произведение большего корня на количество корней равно 8.
Ответ: 8
И опять
отмечу, что после рассмотрения разных способов решения
уравнений из заданий тестов учащихся нужно убедить, что первый этап
решения – выбор самого эффективного, с позиции ЦТ, способа решения.
Приложения 1 и 2 содержат задания для самостоятельного решения.
Приложение 1.
1. Вычисление и упрощение выражений, содержащих модуль
Год,
номер Задание
задания
ЦТ 2001, А1
Если 70% числа равны
2
√(4√3 − 7)2 + √(4√3 + 7) , то само число равно
ЦТ2003, А1
Упростить выражение:
2
√(1 − √3)2 − √(√3 − 2) ;
ЦТ2003, А7
ЦТ2004, А4
Найти значение выражения:
𝑙𝑜𝑔4 |√2 − √3| ∙ 𝑙𝑜𝑔√3+√2 5;
Найти значение выражения:
2
|√(2√2 + 3)2 − √(2√2 − 3) − 6|;
ЦТ2006, А4
ЦТ 2007, А7
РТ3 2007, А7
Упростить выражение:
√4𝑡 2 + 1 − 4𝑡 − 2|−𝑡|, при 𝑡 < 0;
Упростить выражение:
|x-2|+|x+7|-3 при х∈(-5;0)
Найти значение выражения:
√9 − 2√14 − √9 + 2√14;
ЦТ2008, В2
Найти значение выражения:
8
4
4
( √𝑎2 + 11 + 2𝑎√11 + √𝑎 + 11) ∙ √𝑎 − 11,
РТ12008, A13
при 𝑎 = √92
Найти значение выражения:
√2(3 − √10)2 ;
РТ22009, A14
Найти значение выражения:
5 ∙ √(4√3 − 7)2
4 √3 − 7
−
3(4√6 − 9)
2
√(9 − 4√6)
;
Приложение 2
Уравнения, содержащие переменную под знаком модуля
Год,
номер Задание
задания
РТ12006, В6
Найти сумму корней уравнения:
|x – 4|(|x – 5|+|x – 3|) = 4(x – 4);
ЦТ2006, A15
Найти среднее арифметическое корней уравнения,
𝜋 3𝜋
принадлежащих отрезку [– ; ]:
2 2
|sin x| = 2cos x – sin x;
ЦТ2007, В7
Найти сумму корней уравнения или корень, если он один:
|5𝑥 − 28| + 𝑥 2 − 20|𝑥| + 100
= |𝑥 − 5|;
𝑥−8
РТ12008, В7
Найти произведение целых корней уравнения:
|х2–2x–8|+|х2–8x+15| = 6х–23;
РТ32008, В7
Найти произведение большего корня на количество
корней уравнения:
|x 2 − 17x + 72|
= x 2 − 18x + 81;
1−х
ЦТ2008, В7
Найти сумму целых корней уравнения:
|(x – 7)(x2 + 6x + 8)| = |x – 7|(–x2 – 6x – 8);
РТ22009, В6
РТ3 2009, В1
ЦТ 2009, В7
ЦТ2009, В12
ЦТ2010, В6
РТ22011, А3
РТ32013, В7
ЦТ2013, В8
Найти сумму корней уравнения:
|14x– |3x + 24|| = 9x+4;
Найти 6m, где m – среднее арифметическое корней
уравнения: |x – 2|(2x – 3) = –3(3 – 2x);
Найти сумму корней уравнения или корень, если он один:
|3х − 5| + х2 − 10|х| + 25
= |х − 2|;
х−3
Найти сумму корней уравнения
𝜋𝑥
1
𝑙𝑜𝑔𝜋 |𝑐𝑜𝑠 | − |𝑥 − 1| + √𝑥 2 − 2𝑥 + |
𝜋𝑥 | = 0,
3
9
𝑐𝑜𝑠
3
принадлежащих промежутку [–21;28]
Найти количество целых корней уравнения:
|𝑥 2 + 4𝑥 − 21| |𝑥 2 − 𝑥 − 30|
=
;
𝑥 2 + 4𝑥 − 21
𝑥 − 𝑥 2 + 30
Найти сумму корней уравнения:
|4x–1| = 5,6;
Найти произведение корней уравнения:
|9x – |x – 6| – 44| = 10;
Найти сумму корней уравнения
|(x–1)(х–6)|(|x+2|+|x–8|+|x–3|) = 11(x–1)(6–x);