1.3Мб

1
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ
ФЕДЕРАЦИИ
МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ИНСТИТУТ
РАДИОТЕХНИКИ. ЭЛЕКТРОНИКИ И АВТОМАТИКИ
( ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ )
С.В. ЛЕБЕДЕВ
ТЕХНИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ДИАГНОСТИЧЕСКИХ
ИССЛЕДОВАНИЙ
БИОЛОГИЧЕСКИХ ОБЪЕКТОВ.
( МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ СЕРДЦА,
ЧАСТЬ 1)
УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ
Рекомендовано Министерством образования РФ в качестве учебного пособия для студентов, обучающихся по специальности
«Биотехнические и медицинские аппараты и системы»
МОСКВА
2005
2
ВВЕДЕНИЕ
Учебное пособие посвящено вопросам математического моделирования биоэлектрических процессов в сердце и их проявления в виде электромагнитного поля. Математическое моделирование является неотъемлемой частью современной электрокардиологии и в какой-то степени альтернативой процедуре обычных кардиологических обследований. Математическое моделирование позволяет с определенной точностью построить модель
сердца как некоторого электромагнитного генератора, параметры
которого локализованы в пространстве ( теле пациента ) и меняются во времени при работе сердца. Такой подход может быть полезен при диагностировании целого ряда сердечно-сосудистых
заболеваний, таких, например, как локальные патологические изменения миокарда.
Пособие состоит из двух частей, В первой части рассмотрены вопросы моделирования на уровне отдельной клетки и части
сердца – миокарда. Во второй части сердне рассматривается как
целое и генератор миокарда рассматривается на уровне целого
сердца, моделируется сердце и грудная клетка.
Для иллюстрации возможности конкретного применения
рассмотренных моделей для целей медицинской диагностики
рассмотрена дипольная электрокардиотопография, описаны алгоритмы картрирования в методе ДЭКАРТО и описан компьтерный
комплекс программ реализации этого метода.
ГЛАВА 1
3
БИОЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ВОЗНИКНОВЕНИЯ
БИОПОТЕНЦИАЛОВ.
1.1 МЕМБРАННАЯ ТЕОРИЯ ВОЗНИКНОВЕНИЯ
БИОПОТЕНЦИАЛОВ.
В основе возникновения электрических явлений в сердце
лежит проникновение ионов калия (К+), натрия (Ca2+), хлора (CL) и других через мембрану мышечной клетки. В электрохимическом отношении клеточная мембрана представляет собой оболочку с разной проницаемостью для различных ионов. Она как бы
разделяет два раствора электролитов, существенно отличающихся
по своему составу. Внутри клетки, находящейся в невозбужденном состоянии, концентрация К+ в 30 раз выше, чем во внеклеточной жидкости. Наоборот, во внеклеточной среде примерно в
20 раз выше концентрация Na+, в 13 раз выше концентрация Clи в 25 раз выше концентрация Са2+ по сравнению с внутриклеточной средой. Такие высокие концентрации ионов по обе стороны клеточной мембраны поддерживаются благодаря функционированию ионных насосов, с помощью которых ионы Na, Ca и Cl
выводятся из клетки, а ионы К входят внутрь клетки. Этот процесс осуществляется против концентрационных градиентов этих
ионов и требует затраты энергии.
В невозбужденной клетке мембрана более проницаема для
+
K и Cl-. Поэтому ионы К в силу концентрационного градиента
стремятся выйти из клетки, перенося свой положительный заряд
во внеклеточную среду. Ионы Cl, наоборот, входят внутрь клетки,
увеличивая тем самым отрицательный заряд внутриклеточной
жидкости. Это перемещение ионов и приводит к поляризации
клеточной мембраны невозбужденной клетки: наружная ее поверхность становится положительной, а внутренняя – отрицательной. Возникающая таким образом на мембране разность потенциалов препятствует дальнейшему перемещению ионов ( К из клетки и Cl - в клетку), и наступает стабильное состояние поляризации мембраны клеток сократительного миокарда в период
диастолы. Если мы теперь с помощью микроэлектродов измерим
4
разность потенциалов между наружной и внутренней поверхностью клеточной мембраны, то зарегистрируем так называемый
трансмембранный потенциал покоя (ТМПП), имеющий отрицательную величину, в норме составляющую около –90 mV (рис 1.1
).
5
Рис. 1.1.
ной клетки
Поляризация клеточной мембраны невозбужден-
а - соотношение концентраций ионов Na+, K+,Cl-,Ca2+ внутри
клетки и во внеклеточной жидкости;
б - перемещение ионов K+ и Cl- вследствие концентрационного градиента;
в - регистрация трансмембранного потенциала покоя.
При возбуждении клетки резко изменяется проницаемость
ее стенки по отношению к ионам различных типов. Это приводит
к изменению ионных потоков через клеточную мембрану и, следовательно, к изменению величины самого ТМПП. Кривая изменения трансмембранного потенциала во время возбуждения получила название трансмембранного потенциала действия
(ТМПД). Различают несколько фаз ТМПД миокардиальной клетки ( рис.1.2 ).
6
Рис. 1.2. Трансмембранный потенциал действия (ТМПД).
Объяснение в тексте. АРП и ОРП – абсолютный и относительный
рефрактерные периоды.
Фаза 0. Во время этой начальной фазы возбуждения- фазы
деполяризации- резко увеличивается проницаемость мембраны
клетки для ионов Na, которые быстро устремляются внутрь
клетки (быстрый натриевый ток), При этом, естественно, меняется заряд мембраны: внутренняя поверхность мембраны становится теперь положительной, а наружная- отрицательной. Величина ТМПД изменяется от –90mV до +20mV, т.е. происходит реверсия- перезарядка мембраны. Продолжительность этой фазы
не превышает 10 мс.
Фаза 1. Как только величина ТМПД достигнет примерно
+20mV, проницаемость мембраны для Na+ уменьшается, а для
Cl- -увеличивается. Это приводит к возникновению небольшого
тока отрицательных ионов Cl внутрь клетки, которые частично
нейтрализуют избыток положительных ионов Na внутри клетки, что ведет к некоторому падению ТМПД примерно до 0 или
ниже. Эта фаза носит название начальной быстрой реполяризации.
Фаза 2. В течение этой фазы величина ТМПД поддерживается примерно на одном уровне, что приводит к формированию на кривой ТМПД своеобразного плато. Постоянный уровень величины ТМПД поддерживается при этом за счет медленного входящего тока Са+ и Na+, направленного внутрь клетки и
тока К+ из клетки. Продолжительность этой фазы велика и составляет около 200 мс. В течение фазы 2 мышечная клетка остается в возбужденном состоянии, начало ее характеризуется деполяризацией, окончание- реполяризацией мембраны.
7
Фаза 3. К началу фазы 3 резко уменьшается проницаемость клеточной мембраны для Na+ и Са+ и значительно возрастает проницаемость ее для К+. Поэтому вновь начинает преобладать перемещение ионов К наружу из клетки, что приводит к
восстановлению прежней поляризации клеточной мембраны,
имевшей место в состоянии покоя: наружная ее поверхность
вновь оказывается заряженной положительно, а внутренняя поверхность- отрицательно. ТМПД достигает величины ТМПП.
Эта фаза носит название фазы конечной быстрой реполяризации.
Фаза 4. Во время этой фазы ТМПД, называемой фазой
диастолы, происходит восстановление исходной концентрации
К+, Na+, Ca2+,Cl- соответственно внутри и вне клетки благодаря
действию «Na+ - K+ -насоса». При этом уровень ТМПД мышечных клеток остается на уровне примерно -90 mV.
Клетки проводящей системы сердца и клетки синусового
узла обладают способностью к спонтанному медленному увеличению ТМПП – уменьшению отрицательного заряда внутренней
поверхности мембраны во время фазы 4. Этот процесс получил
название спонтанной диастолической деполяризации и лежит в
основе автоматической активности клеток синоатриального
(синусового) узла и проводящей системы сердца, т.е. способности к «самопроизвольному» зарождению в них электрического
импульса.
1.2 ОСНОВНЫЕ ФУНКЦИИ СЕРДЦА.
Сердце обладает рядом функций, определяющих особенности его работы.
1. Функция автоматизма.
Функция автоматизма заключается в способности сердца вырабатывать электрические импульсы при отсутствии всяких внешних
раздражений.
8
Функцией автоматизма обладают клетки синотриального узла (СА-узла) и проводящей системы сердца: атриовентрикулярного соединения (АВ-соединения), проводящей системы предсердий и желудочков. Они получили название клеток водителей ритма—пейсмекеров ( от pace-maker – водитель ). Сократительный
миокард лишен функции автоматизма.
Если в норме ТМПД сократительных мышечных клеток в
течение всей диастолической фазы ( фазы 4 ТМПД ) стабильно
поддерживается на одном и том же уровне, равном примерно –
90mV, то для волокон водителей ритма характерно медленное
спонтанное уменьшение мембранного потенциала в диастолу, как
это показано на рис 3.
Рис. 1.3. Спонтанная диастолическая деполяризация волокон
водителей ритма- пейсмекеров. Объяснения в тексте.
9
а – ТМПД мышечных клеток;
б – ТМПД клеток пейсмейкеров.
Этот процесс носит название медленной спонтанной диастолической деполяризации и возникает в результате особых
свойств мембраны песмейкеров – постепенного самопроизвольного увеличения в диастолу проницаемости мембраны для ионов
Na, медленно входящих в клетку. В результате скопления в клетке
все большего количества положительных ионов отрицательный
заряд внутренней поверхности клеточной мембраны частично
нейтрализуется, и разность потенциалов между наружной и внутренней поверхностью мембраны (ТМПП) постепенно уменьшается. Как только ТМПП достигнет критического уровня ( примерно
–60mV ), проницаемость мембраны для ионов Na резко и быстро
возрастает, что приводит к возникновению быстрой лавинообразной деполяризации клетки ( фаза 0 ТМПД ) – ее возбуждению,
которая является импульсом к возбуждению других клеток миокарда.
Понятно, что чем выше скорость спонтанной диастолической деполяризации, тем чаще в клетках водителя ритма возникнут электрические импульсы. В норме максимальной скоростью
диастолической деполяризации и максимальной автоматической
активностью обладают клетки СА-узла, который вырабатывает
электрические импульсы с частотой около 60-80 в минуту. Это
центр автоматизма первого порядка (рис.1.4).
10
Рис. 1.4. Проводящая система сердца. Объяснения в тексте.
Функцией автоматизма обладают некоторые участки в предсердиях и АВ-соединение – зона перехода атриовентрикулярного
узла в пучок Гиса. Эти участки проводящей системы сердца, являющиеся центрами автоматизма второго порядка, могут продуцировать электрические импульсы с частотой 40-60 в минуту.
Следует подчеркнуть, что сам АВ-узел, также входящий в состав
АВ-соединения, не обладает функцией автоматизма.
Наконец, центрами автоматизма третьего порядка, обладающими самой низкой способностью к автоматизму ( 25-45 импульсов в минуту ), являются волокна Пуркинье. Однако в норме возбуждение сердца происходит только в результате импульсов, возникающих в волокнах СА-узла, который является единственным
нормальным водителем ритма. Дело в том, что в условиях срав-
11
нительно частой импульсации СА-узла подавляется автоматизм
клеток АВ-соединения, пучка Гиса и волокон Пуркинье. Последние являются только потенциальными, или латентными, водителями ритма. При поражениях СА-узла функцию водителя ритма
могут взять на себя нижележащие отделы проводящей системы
сердца – центры автоматизма второго и даже третьего порядка.
На функцию СА-узла и других водителей ритма большое
влияние оказывает симпатическая и парасимпатическая нервная
система: активизиция симпатической системы ведет к увеличению автоматизма клеток СА-узла и проводящей системы, а парасимпатической системы – к уменьшению их автоматизма.
1.3. ФУНКЦИЯ ПРОВОДИМОСТИ.
Функция проводимости – это способность к проведению
возбуждения, возникшего в каком-либо участке сердца, к другим
отделам сердечной мышцы.Функцией проводимости обладают
как волокна специализированной проводящей системы сердца,
так и сократительный миокард, однако в последнем случае скорость проведения электрического импульса значительно меньше.
В норме волна возбуждения генерированного в клетках САузла, распространяется по короткому проводящему пути на правое предсердие, по трем межузловым трактам – Бахмана, Венкебаха и Тореля – к АВ-узлу и по межпредсердному пучку Бахмана
– на левое предсердие (рис.1.4).Возбуждение распространяется
по этим проводящим трактам в 2-3 раза быстрее, чем по миокарду
предсердий. Общее направление движения волны возбуждения –
сверху вниз и несколько влево от области СА-узла к верхней части АВ-узла. Вначале возбуждается правое предсердие, затем
присоединяется левоеЮ в конце возбуждается только левое предсердие ( рис.1.5 ).
12
Рис. 1.5. Распространение возбуждения по предсердиям.
а – начальное возбуждение правого предсердия;
б – возбуждение правого и левого предсердия;
в – конечное возбуждение левого предсердия.
Скорость распространения возбуждения здесь невелика и
составляет в среднем около 30-80 см/c. Время охвата волной возбуждения обоих предсердий не выше 0.1с.
В АВ-узле и особенно в пограничных участках между АВузлом и пучком Гиса происходит значительная задержка волны
возбуждения, скорость проведения не превышает 2-5 см/с. Задержка возбуждения в АВ-узле способствует тому, что желудочки
начинают возбуждаться только после окончания полноценного
сокращения предсердий, что имеет большое значение для строгой
организации нормальной последовательности возбуждения и сокращения предсердий и желудочков.
Малая скорость проведения электрического импульса в АВузле обусловливает и другую особенность его функционирования: АВ-узел может «пропустить» из предсердий в желудочки не
более 180-200 импульсов в минуту. Поэтому при учащении сердечного ритма более 180-220 ударов в минуту некоторые импуль-
13
сы из предсердий не достигают желудочков, наступает так называемая атривентрикулярная блокада проведения. В этом отношении АВ-узел является одним из самых уязвимых отделов проводящей системы сердца.
От АВ-узла волна возбуждения передается на хорошо развитую внутрижелудочковую проводящую систему, состоящую из
предсердно-желудочкового пучка ( пучка Гиса ), основных ветвей
( ножек ) пучка Гиса и волокон Пуркинье. В норме скорость проведения по пучку Гиса и его ветвям составляет 100-150 см/с, а по
волокнам Пуркинье – 300-400 см/с. Большая скорость проведения
электрического импульса по проводящей системе желудочков
способствует почти одновременному охвату желудочков волной
возбуждения и наиболее оптимальному и эффективному выбросу
крови в аорту и легочную артерию. В норме общая продолжительность деполяризации желудочков колеблется от 0.06 до 0.1 с.
Для правильного понимания генеза различных зубцов электрокардиограммы ( ЭКГ ) необходимо хорошо знать нормальную
последовательность охвата возбуждением ( деполяризацией )
миокарда желудочков. Поскольку волокна Пуркинье преимущественно располагаются в субэндокардиальных отделах желудочков, именно эти отделы возбуждаются первыми, и отсюда волна
деполяризации распространяется к субэпикардиальным участкам
сердечной мышцы ( рис.1.6 ).
14
Рис. 1.6. Распространение возбуждения по сократительному
миокарду желудочков.
а – возбуждение ( деполяризация ) межжелудочковой перегородки (0,02 с );
б – деполяризация верхушек, передней, задней и боковой
стенок желудочков ( 0,04-0,05 с )
в – деполяризация базальных отделов левого и правого желудочков и межжелудочковой перегородки (0,06-0,08 с ).
Процесс возбуждения желудочков начинается с деполяризации левой части межжелудочковой перегородки в средней ее трети ( рис.1.6,а ). Фронт возбуждения при этом движется слева
направо и быстро охватывает среднюю и нижние части межжелудочковой перегородки. Почти одновременно происходит возбуж-
15
дение верхушечной области, передней, задней и боковой стенок
правого, а затем и левого желудочка. Здесь возбуждение распространяется от эндокарда к эпикадру и волна деполяризации преимущественно ориентирована сверху вниз и вначале направо, а
затем начинает отклоняться влево.
Через 0.04-0.05 с волна возбуждения уже охватывает большую часть миокарда левого желудочка, а именно его верхушечную область, переднюю, заднюю и боковые стенки. Волна деполяризации при этом ориентирована сверху вниз и справа налево (
рис.1.6,б ).
Последними в период 0.06-0.08 с возбуждаются базальные
отделы левого и правого желудочков, а также межжелудочковой
перегородки. При этом фронт волны возбуждения направлен
вверх и слегка направо, как это показано на рис.1.6,в.
1.4 ФУНКЦИЯ ВОЗБУДИМОСТИ И РЕФРАКТЕРНОСТЬ
ВОЛОКОН МИОКАРДА.
Возбудимость – это способность сердца возбуждаться под
влиянием импульсов. Функцией возбудимости обладают клетки
как проводящей системы сердца, так и сократительного миокарда.
Возбуждение сердечной мышцы сопровождается возникновением
ТМПД и, в конечном счете – электрического тока.
В разные фазы ТМПД возбудимость мышечного волокна
при поступлении нового импульса различна. В начале ТМПД (
фаза 0,1,2 ) клетки полностью невозбудимы, или рефрактерны, к
дополнительному электрическому импульсу. Это так называемый
абсолютный рефрактерный период миокардиального волокна, когда клетка вообще неспособна отвечать новой активацией на какой-либо дополнительный электрический стимул. В конце ТМПД
( фаза 3 ) имеет место относительный рефрактерный период, во
время которого нанесение очень сильного дополнительного сти-
16
мула может привести к возникновению нового повторного возбуждения клетки, тогда как слабый импульс остается без ответа.
Во время диастолы ( фаза 4 ТМПД ) полностью восстанавливается возбудимость миокардиального волокна, рефрактерность его
отсутствует.
1.5.
ФУНКЦИЯ СОКРАТИМОСТИ.
Сократимость – это способность сердечной мышцы сокращаться в ответ на возбуждение. Этой функцией в основном обладает сократительный миокард. В результате последовательного
сокращения различных отделов сердца и осуществляется основная – насосная – функция сердца.
1.6.ФОРМИРОВАНИЕ НОРМАЛЬНОЙ
ЭЛЕКТРОКАРДИОГРАММЫ.
Электрокардиограмма представляет собой изменение электрического потенциала в произвольной по отношению к телу пациента точке. Электрические потенциалы регистрируются обычно с поверхности возбудимых тканей или проводящей среды,
окружающей сердце ( эпикардиальной поверхности сердца, поверхности тела, конечностей, пищевода и т.д. ).
Формирование нормальной электрокардиограммы представляет собой достаточно сложный процесс, связанный со сложным
характером поляризации и деполяризации отдельных участков
сердца как в пространстве, так и во времени. Кроме того, на форме зубцов электрокардиограммы ( ЭКГ ) сказывается факт удаленности места измерения от сердца, т.е. существенное влияние
имеет положение электрода, с которого снимается напряжение и
наличие неоднородностей в области распространения электромагнитного поля ( в основном это связано с различной проводимостью разных участков тела ).Для того, чтобы иметь ясное пред-
17
ставление о динамике возникновения ЭКГ, можно рассмотреть
гораздо более простую модельную задачу формирования разности потенциалов на поверхности мышечного волокна и генезис
электрограммы ( ЭГ ) волокна ( рис.1.7 ).
Рис. 1.7. Формирование разности потенциалов на поверхности одиночного мышечного волокна при его деполяризации и реполяризации и регистрация ЭГ одиночного мышечного волокна.
Объяснение в тексте.
18
В состоянии покоя вся наружная поверхность клеточной
мембраны заряжена положительно. Между любыми двумя точками этой поверхности разность потенциалов отсутствует. На ЭГ
одиночного мышечного волокна, зарегистрированной с помощью
двух электрода, расположенных на поверхности клетки, записывается горизонтальная нулевая линия ( рис.1.7,а ). При возбуждении миокардиального волокна ( рис. 1.7,б ) наружная поверхность
деполяризованного участка заряжается отрицательно по отношению к поверхности участка, находящегося еще в состоянии покоя
( поляризации ); между ними появляется разность потенциалов,
которая и может быть зарегистрирована на ЭГ в виде положительного отклонения, направленного вверх от изолинии, - зубца R
ЭКГ. Зубец R примерно соответствует фазе 0 ТМПД.
Когда все волокно окажется в состоянии возбуждения (
рис.1.7,в ) и вся его поверхность будет заряжена отрицательно,
разность потенциалов между электродами снова окажется равной
нулю, и на ЭГ будет записываться изолиния. Далее в течение некоторого времени на ЭГ записывается горизонтальная, близкая к
изоэлектрической, линия. Поскольку все участки миокардиального волокна находятся в фазе 2 ТМПД ( фазе плато ), поверхность
волокна остается заряженной отрицательно, и разность потенциалов на поверхности мышечной клетки отсутствует или очень мала ( см. Рис.1.7,в ). Это сегмент RS-T ЭГ.
Процесс быстрой конечной реполяризации одиночного мышечного волокна ( фаза 3 ТМПД ) начинается в том же участке,
что и волна деполяризации ( рис. 1.7,г ). При этом поверхность
реполяризованного участка заряжается положительно, и между
двумя электродами, расположенными на поверхности волокна,
вновь возникает разность потенциалов, которая на ЭГ проявляется новым отклонением изолинии – зубцом Т ЭГ. Поскольку к
электроду, соединенному с «+» электрокардиографа, теперь обращена поверхность с отрицательным, а не с положительным зарядом, как при распространении волны деполяризации, на ЭГ бу-
19
дет регистрироваться не положительный, а отрицательный зубец
Т. Кроме того, в связи с тем, что скорость распространения процесса реполяризации значительно меньше скорости перемещения
фронта деполяризации, продолжительность зубца Т ЭГ больше
таковой зубца R, а амплитуда – меньше.
Следует отметить, что на форму зубцов ЭГ влияет не только
электрическая активность самого мышечного волокна, но и место
расположения положительного и отрицательного электродов отведения, с помощью которого регистрируется ЭГ. Суммирование
электрических потенциалов, создаваемых всеми мышцами сердца
в процессе из поляризации и деполяризации и позволяет получать
реальные ЭКГ, анализ которых ( т.е. сравнение с неким «эталоном» ) дает представление о нарушениях работы сердца.
ГЛАВА 2
ОБЩИЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ СООТНОШЕНИЯ
ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ.
2.1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
МАКСВЕЛЛА И ЭЛЕКТРОДИНАМИЧЕСКИЕ
ПОТЕНЦИАЛЫ.
Для количественного описания электрического и магнитного
полей живых объектов используют математические соотношения
теории электромагнитного поля, или электродинамики в той мере,
в какой обозначаемые ими объекты, свойства и явления могут
наблюдаться (прямо или косвенно) в экспериментах и практической деятельности. Эти понятия, однако, неизбежно содержат
некоторый элемент идеализации, поскольку для их количественного представления и анализа приходится использовать формальный математический аппарат, в частности, математическую теорию поля.
20
При изучении электромагнитных явлений в живой природе
размеры объектов, скорости их относительного движения и способы наблюдения (измерения) поля таковы, что для математического описания этих явлений целесообразно применять электродинамику неподвижных сплошных (непрерывных, или континуальных) сред — теорию Максвелла..
В теории Максвелла электромагнитные явления описываются
следующей системой уравнений Максвелла в дифференциальной
форме:
rot E = -
B
t
rot H = J +
div D = q
div B = 0
(2.1)

D
t
(2.2)
(2.3)
(2.4)
где Е и Н — векторы напряженности электрического и магнитного полей (эти величины иногда называют просто электрическим и
магнитным полем соответственно); D и В — векторы электрической индукции и магнитной индукции соответственно); J — вектор пространственной (объемной) плотности электрического тока; q — объемная плотность свободных электрических зарядов; t
— время.
Дифференциальные уравнения Максвелла дополняются так называемыми материальными уравнениями, которые устанавливают
связь между векторами электромагнитного поля и характеристиками среды общего вида (неоднородной и анизотропной), в которой существует это поле:
D= E
(2.5)
21
B= H
(2.6)
J=J+J
(2.7)
J = E
(2.8)
где
 — абсолютная диэлектрическая проницаемость,  абсолютная магнитная проницаемость и  - удельная электропроводность среды соответственно (эти характеристики выражаются как симметричные тензоры ранга 2); Jc и J* — векторы
пространственной плотности кулоновского и стороннего токов
соответственно.
Уточним физический смысл некоторых рассматриваемых величин.
Электрический ток — это любое упорядоченное движение
электрических зарядов в пространстве. Здесь рассматривается
типичная разновидность тока, называемая током проводимости;
такой ток возникает в виде движения зарядов в проводниках
(например, свободных электронов в металлах и ионов в электролитах). В соответствии с уравнениями (2.7) и (2.8), полная плотность тока состоит из двух составляющих — плотности кулоновского тока Е, порождаемого в проводнике действием собственно
электрического поля Е, или электростатических сил, и плотности
стороннего тока J*, порождаемого внешними электродвижущими
силами, возможно, силами неэлектростатического происхождения, внешними по отношению к рассматриваемой электродинамической системе. Это могут быть, например, концентрационные
градиенты ионов в биологических жидкостях и другие силы биохимического происхождения. Можно также рассматривать сторонние электродвижущие силы, которые описываются как поле
сторонних сил с напряженностью Е* с плотностью стороннего
тока соотношением
J * =  E*
(2.10) .
Характеристики электромагнитного поля являются векторными
или скалярными функциями времени и точки в пространстве
22
(пространственных координат), а характеристики среды — функциями пространственных координат, не зависящими от времени и
от характеристик поля. Абсолютные диэлектрическая и магнитная проницаемости среды при вышеуказанных допущениях выражаются соответственно как
 = к0,
(2.11)
 = к0
(2.12)
где 0 = 8, 854 10-12 Ас/(Вм)= 8, 85410-12 Ф/м — диэлектрическая
и 0 =1, 25710-6Вс/(Ам)= 1, 257 10-6 Гн/м — магнитная проницаемости вакуума соответственно ; r и r — соответствующие
относительные проницаемости для данной среды (безразмерные
величины, не зависящие от системы единиц).В задачах электродинамики нередко возникает необходимость учитывать наличие
поверхностей, при переходе через которые характеристики поля
претерпевают разрыв. Обозначая индексами n и  соответственно компоненты вектора по нормали и по любой касательной к поверхности разрыва, напишем граничные условия в виде
E2 - E1 = 0
(2.13)
D2n – D1n = qs
(2.14)
B2n –B1n = 0
(2.15)
J2n – J1n = -
(2.16)
При наличии поверхностных токов уравнение (2.14) для напряженности магнитного поля будет
H2 - H1 = Js
(2.17)
Система уравнений Максвелла вместе с указанными допол-
23
нительными условиями является полной в том смысле, что с ее
помощью можно однозначно определить все характеристики
электромагнитного поля в любой момент времени и в любой точке заданной области, конечной или бесконечной, если заданы значения векторов электрического и магнитного полей во всех этих
точках в начальный момент времени. Для конечной области
должны быть дополнительно заданы только тангенциальные компоненты электрического или магнитного полей на поверхности,
ограничивающей рассматриваемую область, для всего рассматриваемого периода времени от начального момента — этим учитывается влияние изменений поля, порождаемых процессами, которые происходят вне данной конечной области.
В интегральном виде уравнения Максвелла имеют вид
 
d
E
 dL   dt
 
d
H
 dL  I  dt

 DdS  Q

B
 dS  0
 
I   JdS
 
   DdS
Q   qdV

B  rotA


  divJ
(2.18)
(2.19)
(2.20)
(2.21)
(2.22)
( 2.22а)
(2.22б)
(2.22в)
(2.22г)
24
Для векторного потенциала магнитного поля и скалярного
потенциала электрического поля часто используются дифференциальные уравнения второго порядка, полученные из уравнений
(2.13 )-(2.16)
 = - q/
(2.23)
 A = - J*
(2.24)
2.2.РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ ДЛЯ
ПРОСТЫХ СТРУКТУР.
Для среды с наиболее простой структурой — изотропного,
однородного и бесконечно протяженного, т. е. неограниченного
по всем направлениям, объемного проводника решения дифференциальных уравнений электродинамики стационарных токов
известны и могут быть представлены в различных формах. Так,
решения уравнений Пуассона и Лапласа для потенциалов (2.23),
(2.24) имеют вид:
 

A(r ) 
4

J
R

1
 (r )  
4
где
(2.25)
dV

div J
1

V R dV  4 V R dV
(2.26)
 = div J*
Интегралы в этих уравнениях вычисляются по всему неограниченному пространству V Воспользуемся соотношением векторного анализа для скалярной функции а и векторной функции с, непрерывных и дифференцируемых относительно координат,
div(ac) = a divс + с  grad a
(2.27)
25
Выражение (2.27) для электрического потенциала преобразуем при помощи этого соотношения, полагая в нем а = 1/R и с =
J*.
Затем
применим
теорему
Гаусса
*
при с = J /R . В результате получаем

 (r ) 
1  * dV
(
)J
(
grad
r0
R
4 V
1
(2.28)
(индекс r0 указывает, что операция градиента выполняется по координатам текущей точки в области генератора г0).
Хотя в точке наблюдения R — > 0, выражения (2.26),
(2.27),(2.28) остаются в силе и имеют конечное значение при конечном значении величины J*. Это нетрудно показать, выделяя
точку наблюдения из остального пространства малой сферой, а
затем устремляя радиус сферы к нулю [37, 510].
При решении электродинамических задач нередко используют идеализированные конфигурации генератора, его возбудителей и полной плотности тока, облегчающие математическое описание конкретных объектов исследуемой электродинамической
системы, в частности, для математического моделирования биоэлектрических процессов. К таким конфигурациям относятся поверхностно распределенные (поверхностные), линейно распределенные (линейные) и сосредоточенные (точечные) генераторы и
возбудители. Ниже рассмотрены наиболее важные из них.
Источник тока, распределенный по некоторой поверхности S,
называют простым слоем источников тока, а его интенсивность
выражают поверхностной плотностью источников S. По аналогии с уравнением (2.27) можно получить следующее выражение
для электрического потенциала простого слоя источников тока в
однородной неограниченной среде

 (r )
=


dS
4 S R
1
(2.29)
где dS – элементарная площадь поверхности простого слоя.
РИС
26
Поверхностный источник другого типа, называемый двойным слоем источников тока или просто электрическим двойным
слоем (рис. 2.1), получается в результате предельного перехода
при сближении двух параллельных простых слоев с равными по
абсолютной величине, но противоположными по знаку плотностями источников в смежных точках.
Рис. 2.1. Двойной слой источников тока.
P-точка наблюдения поля; штриховая линия-поверхность
слоя, деформированного без изменения его границы (края) L.
27
При этом расстояние между слоями стремится к нулю, плотность источников стремится к бесконечности, а произведение
плотности на расстояние остается постоянным и характеризует
интенсивность результирующего двойного слоя. Это произведение называется поверхностной плотностью дипольного момента,
мощностью, или моментом двойного слоя источников. Используя
выражение (1.116) для каждого из исходных простых слоев, получим в результате указанного предельного перехода следующее
выражение для электрического потенциала двойного слоя с моментом DS
1
1

D S qrad r0 ( ) dS
4 
R
S
=
1
DS
4 
S
 1
( )dS
n R
(2.30)
где dS — векторная элементарная площадь поверхности двойного
слоя и д/дп — производная по единичной нормали п к этой поверхности; нормаль направлена от отрицательной к положительной стороне поверхности двойного слоя. Телесный, или пространственный, угол, под которым видна поверхность S из точки
наблюдения, определяется как

    grad r0
S
где
- grad r0
1 
dS
R
= -   ( 1 )dS (2.32)
n R
S
1 
 1
( )dS   ( )dS  d
R
n R
(2.33)
есть элементарный телесный угол; его значение положительно,
когда единичная нормаль к поверхности S направлена от точки
наблюдения, т. е. когда из точки наблюдения видна отрицательная
сторона элемента поверхности dS. Теперь уравнение (2.32) можно
записать в виде.
28

 (r )  
1
4 S
DS d
(2.34)
и для равномерного двойного слоя (у которого величина DS постоянна по всей поверхности S)

 (r ) 

DS

4
(2.35)
(это одно из выражений теоремы о равномерном электрическом
двойном слое). Отсюда следует, между прочим, что замкнутый
равномерный двойной слой источников тока не создает во внешнем пространстве электрического поля, так как пространственный угол, под которым он виден извне, равен нулю.
Простой и двойной слои источников тока обладают следующими
важными свойствами: при переходе через поверхность простого
слоя компонента электрической напряженности, нормальная к
этой поверхности, претерпевает разрыв — скачкообразное изменение на величину S/, а электрический потенциал изменяется
непрерывно; при переходе через поверхность двойного слоя,
наоборот, электрический потенциал претерпевает разрыв — скачкообразное изменение на величину DS/, а электрическая напряженность изменяется непрерывно.
ГЛАВА 3.
СООТНОШЕНИЯ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ ДЛЯ
БИОЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ГЕНЕРАТОРОВ
3.1. ПОЛЕ ОТВЕДЕНИЯ В БИОЭЛЕКТРИЧЕСКИХ И
БИОМАГНИТНЫХ ИЗМЕРЕНИЯХ.
При исследовании электрического поля биологического объекта обычно измеряют разность потенциалов между двумя точками его поверхности или же выходными точками (терминалями)
29
измерительной цепи (в которую в общем случае могут быть
включены пассивные весовые резисторы). Каждая такая пара точек называется отведением; будем для большей определенности
называть ее электрическим отведением.
Для анализа измерительных свойств электрических отведений и особенно для конструирования отведений с заданными характеристиками часто оказывается полезным понятие поля отведения. Полем отведения обычно называют электрическое поле,
создаваемое в объемном проводнике (исследуемом объекте) единичным током, приложенным к отведению извне (рис. 3.1). Между характеристиками генератора, характеристиками поля отведения и сигналом на выходе отведения, когда оно функционирует в
режиме измерения, существует простое соотношение, которое является одним из выражений так называемого принципа взаимности. Известны разные подходы к формулировке математических
соотношений для поля отведения; все они тесно связаны с интегральными уравнениями электромагнитного поля. В изложении
этого вопроса мы будем следовать главным образом работам [5,
77, 365, 441, 445, 578, 633, 634].
30
Рис. 3.1. Возникновение поля отведения в области тела V
(состоящей из областей VG и VB ) при подаче тока на выходные
точки 1 и 2 электрического отведения (а) и магнитного отведения
(б).
31
Рассмотрим два поля скалярного потенциала  и , которым
соответствуют плотности кулоновского тока J и J, определяемые в соответствии с уравнениями (1.8) и (1.91) как

J

J
=  grad 
=  grad 
(3.1)
(3.2)
где величина  имеет смысл удельной электропроводности .
Воспользуемся обобщенной формулировкой теоремы Грина для
этих условий, представленной в работах [633, 634] в виде:

J
grad = -(  grad ) grad  = - (  grad ) grad  = J  grad
И получим
 ( div
V

J
– div

J
) dV = 

 
 
(J  nS  J  nS )dS
(3.3)
S
где nS — единичный вектор внешней нормали к поверхности
5, ограничивающей область V. Если внутри области V имеются
поверхности, при переходе через которые удельная электропроводность испытывает скачкообразное изменение, то вследствие
непрерывности потенциала и нормальной составляющей плотности тока на такой поверхности последнее уравнение остается в
силе.
Рассмотрим конфигурацию электродинамической системы,
типичную для исследования биоэлектрических процессов in situ:
электропроводная среда, соответствующая телу, окружена со всех
сторон диэлектриком и содержит внутри ограниченную область
(электрогенный орган), где генерируются сторонние токи (рис.
3.1 а). Предположим, что в качестве функции  ( r ) задан потенциал, создаваемый биоэлектрическим генератором, который расположен в области VG, окруженной поверхностью SG ; для потенциала  (r ) можно записать
32
div

J
= - div ( grad ) = - div

J*
(3.4)
где J — плотность кулоновского тока, порождаемого генератором, и J* — плотность стороннего тока, характеризующая собственно генератор и не равная нулю только в области VG. Пусть
при этом функция  представляет собой потенциал, удовлетворяющий уравнению
div
(3.5)
J
= - div ( grad ) = Iξ [ ( (r0  r )   (r0  rRe f ) ]
где I— произвольно задаваемая величина тока и  — дельтафункция. Фактически здесь величина  определена как потенциал
электрического поля, генерируемого в среде точечным истоком с
суммарным током I и точечным стоком с суммарным током - I,
расположенными в точке наблюдения потенциала r и в некоторой
референтной точке rRef , соответственно, причем ro— текущая
точка интегрирования. На поверхности тела Se для потенциалов 
и  имеет место в соответствии с уравнением (1.22) граничное
условие равенства нулю нормальной составляющей плотности
соответствующих токов (нет грн услия)
 
J  nS  0
(3.6)
 
J  nS  0
(3.7)
Подстановка уравнений (3.4)-(3.7) в уравнение (3.3) для всей
области тела V, состоящей из областей VG и VB, дает


 (r ) -  (r Ref ) = -   divJ * dV
V
(3.8a)
33
или
 ( r ) -  ( r
Ref )
=
 

  dV
(3.8a)
V

где  = /I.
Левые части уравнений (3.8а) и (3.8б) представляют собой
разности потенциалов исследуемой точки г и заданной референтной точки rRef — величину, часто называемую сигналом отведения. В более общем случае сигнал отведения определяется как
сумма потенциалов некоторого конечного числа точек с заданными весовыми коэффициентами, которая находится при помощи
пассивной цепи электрических резисторов — сложного отведения. Входы этой цепи подключены к электродам, контактирующим с изучаемым объектом, а выходы представляют собой две
точки, с которых снимается измеряемый сигнал. Точки измерения
(электроды) могут находиться в любом месте области V; при неинвазивных исследованиях они обычно размещаются непосредственно на поверхности тела S.
Правые части уравнений (3.8а) и (3.8б) выражают сигнал отведения как суммарный потенциал элементарных источников тока с интенсивностью  dV = - div J* dV, умноженной на весовую
функцию  (r,r0) = /I - ядро интегрального уравнения, являющееся разновидностью так называемых функций Грина. Эту величину именуют потенциалом поля отведения (как функцию положения точки генератора r0) и передаточной функцией, или передаточным импедансом (как функцию положения точки наблюдения r). В данном случае она осуществляет "передачу" между
плотностью источников тока генератора и измеряемым потенциалом. Такая терминология соответствует приведенному выше
определению полей в рассматриваемой электродинамической системе: если через точки отведения r и rRef в электропроводную
среду подается единичный ток, то в среде создается электрическое поле с потенциалом . Здесь реализуется одна из форм
выражения "принципа взаимности" [441, 444, 510]. Разумеется,
конкретный вид поля отведения и функции  зависят от структу-
34
ры среды, которая в принципе может быть анизотропной и неоднородной.
Уравнение (3.8а) можно записать в иной форме, более удобной в тех случаях, когда генератор задан непосредственно в виде
плотности стороннего тока J* (что эквивалентно распределению
диполей с плотностью дипольного момента J*). Воспользуемся
соотношением (2.27), положив в нем a = . и с = J*, затем объемный интеграл от div(J*) выразим через поверхностный при помощи формулысОтроградского-Гусса. В итоге вместо уравнения
(3.8а) получаем

E
 * dV    J * dV


 I
 (r )   (rRe f )   grad r 0  J
V
(3.9)
V

(3.9)
где E / I— векторное поле, являющееся по определению
напряженностью поля электрического отведения (иногда его
называют векторной передаточной функцией или векторным передаточным импедансом). Таким образом, измеренный отведением потенциал выражается как сумма (с отрицательным знаком)
скалярных произведений вектора генератора и вектора поля отведения в каждой точке проводника.
При измерении биоэлектрических полей важную роль играет так называемое однополюсное отведение, у которого одна терминаль образуется дифферентным (измерительным) электродом с
достаточно малыми размерами, а другая — индифферентная —
является общей точкой цепи сопротивлений, которые подключены к достаточно многочисленным электродам, равномерно распределенным по поверхности измерения (в частности, поверхности тела) и по возможности максимально удаленным от электрогенного органа (в частности, сердца). Сопротивление цепи со
стороны этих электродов существенно больше, чем сопротивление тела между ними, поэтому цепь не влияет на естественное
распределение потенциала на поверхности измерения. I цепи
35
осуществляется осреднение потенциалов, измеренных поверхностным» электродами. Вследствие того что электроды удалены
от области генератора и распределены на окружающей его поверхности, а сам генератор состоит из распределенных диполей
(имеет нулевой суммарный ток источников, потенциал индифферентной терминали оказывается близким к потенциалу который
измерялся бы на бесконечном удалении от генератора, если бы
эти генератор был расположен в однородном неограниченном
проводнике. Этот потенциал, практически неизменный во времени, полагают равным нулю! по отношению к нему измеряют потенциал в каждой точке поверхности тела Для отведения такого
типа (однополюсного) величину (rRef) в уравнении (3.9) следует
положить равной нулю и рассматривать собственно потенциал в
точке измерения (r).
3.2 ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДЛЯ ИЗОТРОПНОЙ
КУСОЧНО-ОДНОРОДНОЙ СРЕДЫ.
При исследовании биоэлектрических и биомагнитных полей
адекватное представление среды обычно достигается, если использовать кусочно-однородную модель, учитывающую "компартментальное" строение биологических объектов. Допускается, что объект состоит из небольшого числа соприкасающихся
однородных областей, соответствующих определенным органам,
тканям или жидкостям тела, которые можно считать в данных
условиях изотропными и однородными. В одной или нескольких
из этих областей расположен биоэлектрический генератор. При
исследовании на уровне возбудимой клетки или клеточной мембраны рассматривается истинный, или первичный, генератор
биохимического происхождения, находящийся в мембранах клеток возбудимых тканей. При исследовании на макроскопических
уровнях обычно переходят к эквивалентному генератору, распределенному по всему рассматриваемому участку ткани или органу, или же сосредоточенному в определенных точках (нередко
используют несколько этапов такой аппроксимации, последова-
36
тельно переходя к эквивалентному генератору требуемого уровня сложности).
Прежде чем непосредственно рассматривать интегральные
уравнения, представим дополнительные соотношения — граничные условия, которые должны выполняться на поверхностях,
где имеют место разрывы характеристик поля и, следовательно,
теряют силу приведенные выше дифференциальные уравнения.
Поверхностные разрывы характеристик поля могут быть физически обусловлены существованием поверхностно распределенных возбудителей (источников или вихрей), а также скачкообразным изменением пассивных характеристик среды на поверхностях раздела областей с разными физическими свойствами.
Форма задания граничных условий в каждом случае определяется конкретной решаемой задачей.
Исходные соотношения для формулирования граничных
условий — это уравнения (2.13)-(2.16).
При помощи уравнения (2.16) с учетом уравнений (2.6), (2.7)
можно показать, что в изотропной однородной области с удельной электропроводностью  при наличии простого слоя источников тока с поверхностной плотностью источников S выполняются соотношения
E2n – E1n = S / 
1  2 S


n
n

(3.10)
(3.11)
1 -  2 = 0
(3.12)
а при наличии двойного слоя источников тока с моментом DS выполняются соотношения
E1n - E2n = 0
1  2

0
n
n
(3.13)
(3.14)
37
2 - 1 =
DS

(3.15)
При решении некоторых задач встречаются поверхности с
распределенными и монопольными, и дипольными источниками,
т. е. поверхности, на которых одновременно существуют и простой, и двойной слои источников тока; на них происходит разрыв
как потенциала, так и напряженности электрического поля.
Теперь определим граничные условия, связанные со структурой среды. Если рассматривать неограниченное во всех
направлениях пространство, когда сторонние токи (истинный,
или первичный, генератор) расположены в ограниченной его области, то условием на "внешней границе" пространства, т. е. в
бесконечности, будет стремление к нулю всех характеристик
электрического и магнитного полей при удалении точки наблюдения от области генератора в бесконечность. Основными внутренними граничными условиями в электропроводной среде являются условия на поверхностях раздела областей с разными
удельными электропроводностями. Обычно допускают, что первичный генератор целиком лежит внутри одной из однородных
электропроводных областей.
Пусть две смежные однородные области разделены поверхностью, которая в общем случае обладает некоторым сопротивлением по отношению к пересекающему ее току. Это сопротивление характеризуется величиной GS — электропроводностью на
единицу площади поверхности по нормали к поверхности. Можно показать, что при переходе через такую поверхность происходит разрыв как нормальной компоненты электрической напряженности, так и электрического потенциала, причем граничные
условия имеют вид
1E1-2E2n
(3.16)
=
0
38
1
1

 2 2  0
n
n
(3.17)
2 -1 =  1 1   2  2
 S n
(3.18)
 S n
Во многих конкретных задачах имеют место следующие
частные случаи этих граничных условий. Если электропроводность границы S бесконечно велика (области непосредственно
соприкасаются), то уравнение (3.18) сводится к уравнению
1 - 2 = 0
(3.19)
Если удельная электропроводность одной из соприкасающихся
областей, например области 2, равна нулю (эта область является
диэлектрической), то уравнение (3.16) сводится к уравнению
1
0
n
(3.20)
а уравнение (3.17) — к уравнению (3.18). Если же удельная электропроводность одной из соприкасающихся областей, например
области 2, бесконечно велика (эта область является сверхпроводящей), то уравнение (3.16) сводится к уравнению
 2
0
n
(3.21)
Условия (3.16)-(3.19) характерны для границ между различными органами, тканями и жидкостями биологического объекта,
условия (3.19) и (3.20) — для границы между биологическим
объектом и окружающим его воздухом, условие (3.21) — для случая, когда биологический объект окружен веществом с очень
39
большой удельной электропроводностью, например металлической оболочкой.
Интегральные уравнения, связывающие характеристики генератора с характеристиками электрического и магнитного полей
в кусочно-однородной среде, можно вывести разными способами
— с помощью теоремы Грина, теоремы Гельмгольца или же на
основе рассмотрения свойств поверхностей разрыва поля [28, 46,
65, 72, 180, 181, 444, 446].
Для дальнейшего анализа воспользуемся известным уравнением теоремы Грина для любых скалярных функций a и b, непрерывных и дифференцируемых относительно координат:
a
b
(3.22),
 (ba  ab)dV   (b  a )dS
V
S
n
n
где область V ограничена любой замкнутой кусочно-гладкой
поверхностью S, нормаль к которой n направлена наружу по отношению к области V.
Рассмотрим изотропную кусочно-однородную среду, в которой происходят
исследуемые биоэлектрические процессы, и заменим ее однородной неограниченной эквивалентной средой.
40
Рис. 3.2. Изотропная кусочно-однородная модель средыю Штриховой линией показаны малая сфера, выделяющая точку наблюдения P, и большая сфера, окружающая всю рассматриваемую область среды.
Тогда эквивалентный электрический генератор будет представлять собой совокупность истинного, или первичного, генератора
и фиктивных, или вторичных, генераторов, отражающих влияние
на истинный потенциал поверхностей раздела между однородными областями среды. Введем сферическую поверхность с центром в точке наблюдения, охватывающую все интересующие нас
области; для каждой однородной области, находящейся внутри
этой сферы, запишем уравнение теоремы Грина (3.22), полагая a
=  и b =  и несколько изменяя форму записи:
41

 (    )dV   ( grad  n
V
S

 grad r 0  nS )dS
(3.23)
S
где  — истинный потенциал биоэлектрического генератора и
 
1
(3.24)
4R
Здесь — удельная электропроводность эквивалентной среды (ее значение можно выбрать произвольно) и R — расстояние
от переменной точки пространства r0 до точки наблюдения r.
Функция   удовлетворяет уравнению
  
1



 (r0 )  r )
(3.25)
т. е. равна потенциалу точечного источника с единичным значением тока, расположенного в точке r изотропной однородной неограниченной среды с удельной электропроводностью ; иными
словами, это потенциал поля однополюсного отведения в такой
среде, для которого индифферентной считается точка в бесконечности с нулевым потенциалом.
Просуммируем уравнения (3.23) для всех областей, расположенных внутри вышеуказанной внешней сферической поверхности, предварительно умножив каждое уравнение на удельную
электропроводность соответствующей области. Преобразуем левую часть полученного уравнения, учитывая, что величина , не
равная нулю только в области генератора, определяется уравнением (----------)
, а величина , не равная нулю только в точке наблюдения, —
уравнениями (3.24) и (3.25). Правую часть уравнения преобразуем, принимая во внимание граничные условия (3.16) и
(3.18). В итоге получим
42



1
 divJ 
1

1
 (r )  
dV

(



)


grad
(
)

d
S

1
2
r
0
4 V  r R
4 k Sk  r
R
(3.26)
где r — удельная электропроводность области наблюдения, Sk —
к-й. участок поверхности раздела между областями с удельными
электропроводностями 1 и 2, dS = nSdS — векторная элементарная площадь поверхности; единичная нормаль nS к поверхности раздела, как обычно, направлена от области, обозначенной
индексом 1, к области, обозначенной индексом 2.
Уравнение (3.26) показывает, что здесь потенциал заданного
генератора в неоднородном проводнике представлен как потенциал, создаваемый в однородном неограниченном проводнике с
удельной электропроводностью  эквивалентным генератором,
состоящим из объемно распределенного генератора с плотностью
дипольного момента (/r) J* и поверхностно распределенных
генераторов — двойных слоев источников тока с моментом —
(/r)((1 - 2), пропорциональным потенциалу на поверхностях раздела однородных областей истинной кусочно-однородной
среды.
Иное выражение для потенциала получим, если просуммируем уравнения (3.23) для всех областей, но без их умножения а
отдельные электропроводности соответствующих областей. После упрощений получим



1
 divJ 
1
  
 (r )  
dV 
( E1  E 2 )  dS



4 V  G R
4 k Sk R
(3.27)
где  G - удельная электропроводность области генератора,

и E 2 – электрические напряженности соседних областей у поверхности их раздела. Здесь потенциал заданного генератора
представлен как потенциал, создаваемый в однородном неограниченном проводнике эквивалентным генератором, состоящим из
объемного распределенного генератора с плотностью дипольного

E1
43
момента ) и поверхностно распределенных генераторов – простых слоев источников тока с плотностью - (Е – Е) , пропорциональной разности нормальных компонент электрической напряженности на поверхности раздела однородных областей истинной кусочно-однородной среды.
ГЛАВА 4
БИОЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ГЕНЕРАТОР СЕРДЦА
4.1. ЭКВИВАЛЕНТНЫЕ ГЕНЕРАТОРЫ ДЛЯ
ВОЗБУДИМОЙ КЛЕТКИ ПРОИЗВОЛЬНОЙ ФОРМЫ.
При анализе электрического и магнитного полей миокарда
на клеточном уровне обычно рассматривают упрощенные модели
клеточного генератора, имеющие достаточно простое математическое описание и в то же время создающие в области измерения
практически такие же величины потенциала и магнитной индукции, как и реально существующий биоэлектрический генератор.
Важным требованием к такому идеализированному, или эквивалентному генератору является то, что его параметры должны
быть достаточно четко связаны с существенными анатомическими и электрофизиологическими характеристиками изучаемого объекта, в данном случае отдельной клетки возбудимой
ткани. Существенной анатомической характеристикой клетки является геометрическая форма ее оболочки (мембраны), а в качестве основной электрофизиологической характеристики, которая
поддается непосредственному экспериментальному измерению,
обычно используют трансмембранный потенциал — разность
электрических потенциалов между двумя противолежащими точками на внутренней и наружной поверхностях клеточной мембраны.
Обычно при экспериментальных измерениях, как и в естественных условиях, клетки окружены средой сравнительно
44
большого объема, хорошо проводящей электрический ток. Хотя
эта среда может быть ее удельная электропроводность везде равна или больше удельной электропроводности точного вещества и
во много раз больше электропроводности мембраны. Поэтому
однородность внешней среды мало влияет на свойства клетки как
электрического генератора, и при описании последнего мы допускаем, что клетка окружена однородным и бесконечно протяженным. Предположим также, что клетка заполнена однородным
внутриклеточным веществом (рис. 4.1). Первичным генератором
является поле плотности стороннего тока J*, обусловленного
биохимическими силами (концентрационными градиентами
ионов) и существующего только в области самой мембраны.
Рис. 4.1 Истинный (первичный) биоэлектрический генератор на участке клеточной мембраны.
45
Выражения
для
электрического
потенциала
рассматриваемой модели клетки можно получить, непосредственно
применяя к ней уравнения (3.26):

1 
1
[  grad r 0 ( )  J  dV   ( i   m )    grad r 0 ( )  dS 
4 e Vm
R
R
Si
1

-  ( ь   у )    grad r 0 ( 1 )  dS ]
R
(4.1)
Ыу
где i , e, m – удельные электропроводности внутриклеточного, внеклеточного и внутримембранного веществ соответственно, Si и Se — внутренняя и наружная поверхности мембраны
соответственно и Vm — внутримембранная область.
Первичный биоэлектрический генератор в мембране возбудимой клетки можно представить как потоки ионов, движущихся
под влиянием перепада концентраций между внутренней и
наружной поверхностями мембраны, причем их траектории в зависимости от молекулярной структуры мембраны могут иметь в
большей или меньшей степени искривленную форму.
Кроме того, толщина мембраны существенно меньше протяженности ее поверхностей и расстояния от нее до точек наблюдения поля. Благодаря этому можно допустить, что поверхности каждого рассматриваемого малого участка мембраны являются параллельными плоскостями, причем поле J* внутри мембраны равномерно и направлено по перпендикуляру к этим плоскостям. В соответствии с теорией Ходжкина-Хаксли (см. [29,
417,444]), плотность стороннего тока J* в мембране можно представить как произведение общего равновесного трансмембранного потенциала Ui0 для ионов, участвующих в процессе возбуждения, на поверхностную удельную электропроводность мембраны
Gi0 (при этом ее объемная удельная электропроводность выражается как m = Gi0d). Наряду с этими допущениями, учитывая, что
толщина мембраны мала, можно заменить интегрирование по ее
объему Vm и поверхностям Si и Se интегрированием по промежуточной поверхности Sm, аппроксимирующей мембрану в целом.
В итоге вместо выражения (4.1) получаем
46


1
1

1
i0 grad r 0 ( )  dS   ( i   m )   i  grad r 0 ( )  dS 
 (r ) 
[  m U
R
R
Sm
4 Sm

1
(



)



grad
(
)

d
S
r0
 m e e
R
Sm
1
=
4 e
 (
=

1
U i 0   e e   i i   mU )  grad r 0 ( )  dS
R
m
Sm
(4.2)
где i, e — электрические потенциалы на внутренней и наружной поверхностях мембраны соответственно и
U = i - e
(4.3)
есть трансмембранный потенциал.
Для клеток миокарда потенциалы U и Ui0 имеют один и тот
же порядок величины 102 мВ, удельные электропроводности i и
e — порядок не меньше 10-3 Oм/см?, толщина мембраны d —
порядок 10-6 см и ее поверхностная удельная электропроводность
Gi0 — порядок 10-3-10-1 Oм/см2 (см. [29, 46, 417, 444]), откуда получаем, что порядок величины m составляет от 10-9 до 10-7
Oм/см. Следовательно, в уравнении (4.2) по сравнению со вторым
и третьим слагаемыми в скобках подынтегральных выражений
первое и последнее слагаемые в 104-106 раз меньше, и этими относительно малыми величинами можно пренебречь (аналогичные
оценки получены в работах [451, 529]). Теперь уравнение (4.2)
принимает вид

 (r )  

1
(





)

grad
(
)

d
S
e
e
i
i
r
0

4 Sm
R
1
(4.4)
47
Таким образом, в соответствии с уравнением (1.117)???? ,
приходим к клеточному эквивалентному генератору в виде токового двойного слоя, расположенного в однородном неограниченном проводнике с характеристиками e, этот двойной слой лежит
на поверхности, аппроксимирующей мембрану, и имеет момент
DS = ee - ii
(4.5)
Хотя рассмотренный эквивалентный генератор типа двойного слоя весьма точно описывает электрическое внеклеточное поле, он неудобен тем, что в выражение для его момента (4.4) непосредственно входят внутриклеточный и внеклеточный потенциалы. На пути дальнейшего упрощения модели можно получить более удобные выражения, содержащие не внутриклеточный и внеклеточный потенциалы, а их разность — трансмембранный потенциал. Для этого нужно либо допустить равенство внутренней
и наружной удельных электропроводностей (i = e ), либо предположить, что изменения наружного потенциала во времени и в
пространстве существенно меньше изменений внутреннего, так
что наружный потенциал можно принять за общий уровень отсчета потенциала и положить равным нулю (последнее условие
характерно для экспериментальных измерений на отдельных
клетках и волокнах миокарда, погруженных в раствор с большим
объемом и большой удельной электропроводностью). В обоих
случаях момент эквивалентного токового двойного слоя мембраны выражается как DS = -iU; тогда уравнение (4.4) соответствующим образом упрощается:

 (r )  
1
1
R

  iU  grad r 0 ( )  dS
4 Sm
(4.6)
Уравнения (4.4), (4.6), можно записать в иной форме, используя определение телесного угла. Так, если часть поверхности
мембраны Sk имеет постоянный трансмембранный потенциал и,
48
следовательно, может быть представлена в виде равномерного токового двойного слоя, то создаваемые ею внеклеточные поля
определяются величинами

 (r ) 
 iU
k
4e
(4.7)
где k — телесный угол, под которым видна граница Lk поверхности эквивалентного генератора Sk.
49
Рис. 4.2. Клеточный генератор в форме равномерного токового двойного слоя.
В простейшем случае, когда клеточная мембрана состоит
только из двух областей — невозбужденной (поляризованной) с
трансмембранным потенциалом Ur и возбужденной (деполяризованной) с трансмембранным потенциалом Ua, разделенных границей L (рис.4.2), электрический потенциал выражается как
50

 (r ) 
i
(U r  U a )   r
4 e
(4.8)
где r - телесный угол, под которым видна покоящаяся часть
поверхности мембраны.
Клеточный эквивалентный генератор иного типа можно получить для внеклеточного электрического поля, если область генератора соответствует объединенным внутриклеточной и внутримембранной областям, а внеклеточное вещество по-прежнему
считается однородным, Тогда

 (r ) 

1
[   e  grad r 0 ( )  dS
4 e Se
R
1
- 
Se
e
R

grad  dS
(4.9)
где нормаль к поверхности Se направлена по-прежнему изнутри клетки наружу. На основании сказанного выше пренебрежем толщиной мембраны и перейдем к аппроксимирующей ее
поверхности Sm; кроме того, внеклеточный потенциал будем считать неизмененным по всей этой поверхности, Тогда первый интеграл в уравнении (4.9) обращается в нуль и можно записать

 (r ) 
Jm 
 R  dS
4 e Sm
1
(4.10)
где
Jm = -e grad e  nS = -i grad i  nS
(4.11)
есть плотность тока, текущего через мембрану по нормали
(с единичным вектором ns) к ее общей поверхности Sm; эту величину обычно называют плотностью мембранного тока. Здесь
эквивалентный генератор сформулирован как простой слой ис-
51
точников тока с поверхностной плотностью источников Jm на
поверхности клетки.
ГЛАВА 5
ПРЯМАЯ И ОБРАТНАЯ ЭЛЕКТРОДИНАМИЧЕСКИЕ
ЗАДАЧИ В ЭЛЕКТРОКАРДИОЛОГИИ.
При исследовании электрического и магнитного полей биологических объектов (в частности, сердца) постоянно приходится
в той или иной форме решать две фундаментальные задачи, которые в соответствии с терминологией теории поля принято называть прямой и обратной [
]. В теории поля под прямой задачей
подразумевается определение напряженности или потенциала
векторного поля по его возбудителям (источникам и вихрям), а
под обратной задачей — определение возбудителей векторного
поля по его напряженности или потенциалу. Задача определения
характеристик среды по известным характеристикам генератора и
поля здесь не рассматривается. Электродинамическая система
описывается несколькими векторными полями, из которых
наиболее существенными являются поле плотности стороннего
тока J*, электрическое поле Е и магнитное поле Н (или поле магнитной индукции В), связанные дифференциальными уравнениями Максвелла (для описания биоэлектрических явлений в
этой книге используется их упрощенный вариант, соответствующий электродинамике стационарных токов).
Принимая во внимание биофизический смысл указанных
полей по отношению к изучаемым объектам, а также некоторые
условия реального исследования, в частности, тот факт, что для
измерения доступна лишь ограниченная область пространства,
обычно полагают, что прямая задача заключается в определении
характеристик электромагнитного поля в области, которая считается пригодной для измерения, или наблюдения, по заданным характеристикам генератора, а обратная задача — в определении
характеристик генератора по заданным (измеренным в области
52
наблюдения) характеристикам поля. Под характеристиками электромагнитного поля понимаются электрическая напряженность,
магнитная напряженность (или индукция), или же соответствующие потенциалы (скалярный или векторный), а под характеристиками генератора — само векторное поле плотности стороннего
тока, распределение в пространстве его источников и вихрей, или
же некоторые характеристики (параметры) этого распределения.
В отношении электрического поля такая формулировка вполне
соответствует вышеуказанной строгой формулировке, применяемой в теории поля, так как источники электрического поля и поля
плотности стороннего тока совпадают (с точностью до постоянного коэффициента). В отношении магнитного поля эта формулировка имеет существенное отличие от строгой, так как его вихри
не совпадают с вихрями поля плотности стороннего тока — они
определяются полной плотностью тока, которая, в отличие от
плотности стороннего тока, существенно зависит от структуры
среды, в которую погружена область стороннего тока. Тем не менее, при заданных свойствах среды магнитное поле однозначно
определяется вихрями и источниками поля J*.
Нередко при формулировании прямой и обратной задач вместо указанных характеристик генератора фигурируют другие величины, по тем или иным причинам удобные для описания биоэлектрического процесса. Например, иногда в качестве решения
обратной задачи используют распределение потенциала в некоторой области (обычно на поверхности электрогенного органа) в
непосредственной близости от генератора.
Представляется все же наиболее обоснованным считать искомыми величинами обратной задачи характеристики поля плотности стороннего тока, описывающие либо сам первичный (истинный) генератор — внутримембранный сторонний ток, либо
некоторый эквивалентный ему генератор, сформулированный на
основе конкретных требований задачи и отождествляемый в последующем анализе с этим первичным генератором. В частности,
иногда при изучении электрического процесса в целом органе или
в крупных его отделах удобно перейти от дискретной клеточной
структуры к непрерывной среде — изотропному однородному
53
проводнику, имеющему некоторую среднюю удельную электропроводность, и от стороннего тока, существующего в мембранах,
— к непрерывно распределенному в этом проводнике стороннему
току. В рамках сформулированной таким образом эквивалентной
задачи можно полученный непрерывно распределенный эквивалентный генератор рассматривать в качестве первичного генератора J*, характеристики которого подчиняются приведенным выше соотношениям.
Итак, под прямой задачей мы будем понимать определение
напряженности (индукции) или потенциала электрического и
(или) магнитного полей в заданной области (или в заданных точках) по известным характеристикам генератора (истинного или
эквивалентного), а под обратной задачей — определение характеристик генератора по известным (измеренным) напряженности
(индукции) или потенциалу электрического и (или) магнитного
полей в заданной области (или в заданных точках).
Постановка и решение прямой задачи обычно базируются на
теоретических моделях изучаемого биоэлектрического процесса,
причем не налагаются какие-либо жесткие ограничения на характер используемых величин. Для описания генератора можно взять
его источники и (или) вихри в форме непрерывно распределенных или точечных конфигураций, для описания электрического
поля — его напряженность или скалярный потенциал, магнитного
поля — его напряженность (или индукцию), векторный или скалярный потенциал. Решение прямой задачи в общем случае является однозначным. При решении этой задачи для генераторов любой сложности не возникает принципиальных трудностей, хотя
результат может быть получен в аналитическом виде только для
простейших моделей генератора и объемного проводника. Для
более сложных моделей необходимо численное решение соответствующих уравнений, например интегральных уравнений
типа (2.43) и (2.54).
Иная ситуация имеет место при постановке и решении обратной задачи. Почти всегда конечной целью является диагностика состояния исследуемого объекта (рассматриваемая в узком
54
смысле — как диагностика «электрического состояния») на основе данных, доступных для измерения существующими техническими средствами. Это определяет характер заданных величин —
электрическое поле описывают его потенциалом, а магнитное поле — его напряженностью или индукцией. Что касается описания
самого генератора, то оно тесно связано с некоторыми общими
аспектами постановки и решения обратной задачи.
При инвазивных электрофизиологических исследованиях и
экспериментальных исследованиях на препаратах возбудимой
ткани m vitro нередко измерительные датчики (электроды, катушки магнитометра) помещаются в непосредственной близости от
исследуемой области объекта, так что измеряемые сигналы рассматриваются как прямое проявление изучаемого биоэлектрического процесса, или отождествляются с характеристиками
генератора. Поэтому обратная электродинамическая задача как
таковая не возникает. Если же исследование осуществляется неинвазивно, в частности, для целей диагностики, то датчики находятся на значительном расстоянии от генерирующей электрический ток области, так что для определения характеристик генератора, или его «дистанционной идентификации» приходится формулировать и решать (в неявном или явном виде) обратную электродинамическую задачу.
Дело осложняется тем, что, в отличие от прямой задачи, обратная задача в принципе не имеет однозначного решения, если
конфигурация генератора совершенно произвольна (за исключением естественного ограничения, которое всегда имеется при
изучении реальных объектов, — что поле первичного генератора
J* существует лишь в ограниченной области пространства).
Иными словами, обратная задача в общей постановке является
существенно некорректной, и прежде всего из-за физической
неоднозначности генератора, создающего электромагнитное поле
в любой внешней области заданной физической среды.
Типичный пример конфигурации биоэлектрического генератора, имеющий вполне реальное практическое значение и в то же
время наглядно иллюстрирующий такую неоднозначность, — это
55
равномерный токовый двойной слой (его свойства обсуждались в
предыдущих главах): электрическое и магнитное поля не зависят
от общей формы слоя, а определяются только его границей. Другой аспект некорректности обратной задачи (косвенно связанный
с физической неоднозначностью генератора) заключается в слишком большой чувствительности решения к случайным ошибкам
исходных данных (измерений поля и заданных характеристик
среды) даже для таких конфигураций генератора, которые при абсолютно точных исходных данных идентифицируются однозначно. Поэтому необходимо заранее наложить дополнительные ограничения на конфигурацию генератора, иногда довольно жесткие.
Иными словами, необходимо сформулировать модельный, или
эквивалентный генератор, который, с одной стороны, сохраняет
существенные (например, важные для диагностики) свойства истинного генератора и, с другой стороны, может быть однозначно
и с достаточной устойчивостью определен по характеристикам
поля, измеренным в реальных условиях (с допустимой измерительной погрешностью).
Последнее требование часто приводит к довольно простым
конфигурациям эквивалентного генератора, которые в соответствии со своим назначением иногда называются «обратными эквивалентными генераторами».
Для оценки электрического процесса в сердце были предложены разные типы обратных эквивалентных генераторов, их обзор можно найти, например, в работах [46, 47, 217]. Возможны
различные классификации этих эквивалентных генераторов. В
частности, их подразделяют на две категории — непрерывно распределенные и сосредоточенные, или дискретные.
Непрерывно распределенные эквивалентные генераторы —
это в общем случае сторонние токи, распределенные по объемному пространству, поверхности или линии. В частных случаях
(например, когда исследуется только электрическое поле), могут
рассматриваться распределения только источников тока, а не распределения стороннего тока в целом. Формулирование распределенных эквивалентных генераторов направлено на возможно бо-
56
лее точное описание реального биоэлектрического процесса в
сердце с учетом его распределенной в пространстве природы. Если рассматриваются поверхностно или линейно распределенные
генераторы, то в зависимости от ориентации вектора стороннего
тока по отношению к поверхности или линии, на которой он распределен, получаются распределенные генераторы с разными
свойствами — токовый двойной слой, поверхностный ток, генераторная нить и др. Заметим, что иногда используют поверхностно распределенные генераторы со случайным распределением
интенсивности, например, непрерывное распределение дипольных источников со случайными диполь-ными моментами, описываемое статистическими характеристиками [127].
Дискретные эквивалентные генераторы обычно представляют собой один точечный диполь или совокупность относительно
небольшого числа таких диполей, каждый из которых характеризует электрическую активность соответствующего участка возбудимой ткани, где он расположен. К дискретным эквивалентным
генераторам относится также мультипольный генератор — совокупность точечных мультиполей (членов мультипольного разложения генератора), расположенных в заданной точке пространства; его характеристики (особенно компоненты мультиполей
старших порядков) обычно не имеют прямой связи с конкретной
структурой биоэлектрического процесса, однако мультипольное
представление является полезным математическим средством количественного описания поля и решения обратной задачи. Дискретные эквивалентные генераторы описываются конечным (и
обычно относительно небольшим) числом характеристик.
Эквивалентные генераторы можно подразделить также на
две категории по иному признаку; назовем эти категории неподвижными эквивалентными генераторами и подвижными эквивалентными генераторами. Для неподвижных эквивалентных генераторов задается неизменная область (или точки) расположения
их в пространстве, а переменными характеристиками (искомыми
в обратной задаче) являются параметры интенсивности генератора в каждой точке заданной области; таким образом, для иден-
57
тификации генератора оцениваются прежде всего изменения его
интенсивности при известной локализации. Пример неподвижного эквивалентного генератора — распределенный дипольный генератор на поверхности эпикарда. Для подвижных эквивалентных
генераторов переменные характеристики (искомые в обратной задаче) включают не только параметры интенсивности (которые
могут быть отчасти заранее заданными), но и характеристики положения и (или) формы генератора в пространстве; таким образом, для идентификации генератора оцениваются прежде всего
изменения его локализации и формы (наряду с интенсивностью).
Пример подвижного эквивалентного генератора — распределенный дипольный генератор с заданной плотностью дипольного
момента в форме диска, перемещающейся в пространстве и изменяющий свой диаметр.
Поскольку характеристики интенсивности неподвижного
эквивалентного генератора связаны с характеристиками поля линейными соотношениями, для него прямая и обратная задачи сводятся к решению интегральных уравнений с известной передаточной функцией. Однако в случае подвижного эквивалентного
генератора для решения обратной задачи требуются иные подходы (некоторые из них будут обсуждены в следующих параграфах).
При решении прямой и обратной задач как аналитическими,
так и численными методами непрерывно распределенный эквивалентный генератор как пространственную структуру (независимо
от характера его изменения во времени) описывают конечным
числом характеристик (параметров). Для этого используют два
основных подхода. В первом случае генератор представляют как
совокупность конечного числа пространственных элементов, каждый из которых описывается сосредоточенным генератором,
например, диполем, отражающим суммарную электрическую активность данного элемента, т.е. выражающим его «локальные интегральные характеристики». Во втором случае генератор описывают набором параметров, являющихся интегральными характеристиками генератора в целом, или «глобальными интегральными
58
характеристиками». В качестве таких характеристик удобно использовать мультипольные компоненты, которые, кроме прочего,
можно трактовать как параметры дискретного мулыипольного генератора, расположенного в начале координат мультипольного
разложения. Таким образом, указанная параметризация непрерывно распределенного эквивалентного генератора фактически
преобразует его в дискретный, и подразделение эквивалентных
генераторов на категории непрерывно распределенных и дискретных становится отчасти условным. Условно также подразделение их на неподвижные и подвижные, поскольку любой подвижный эквивалентный генератор можно рассматривать как неподвижный, расположенный в пределах области, где может находиться данный подвижный генератор, и соответствующим образом изменяющий распределение своей интенсивности в каждой
точке этой области.
В процессе исследования электрического генератора сердца
по мере перехода от одного уровня исследования к другому (клеточный, тканевый и т.д.) и от одной задачи к другой (прямая задача, обратная задача и др.) могут использоваться несколько различных эквивалентных генераторов с разными степенями сложности, взаимозаменяемых при заданном допустимом уровне погрешности, т. е. несовпадения их интегральных характеристик
или генерируемых ими электрического и (или) магнитного поля.
Оценка возможностей и обоснование эффективности неинвазивной электрокардиографической диагностики связаны с более общей проблемой «наблюдаемости» биоэлектрического генератора
по измерениям его внешних полей. Эта наблюдаемость зависит от
многих факторов, среди которых наиболее важными представляются следующие: пространственная конфигурация генератора,
конфигурация области измерения, структура физической среды, в
которой находятся генератор и измерительные устройства, и характер осуществляемых измерений (электрические, магнитные
или и те, и другие).
Рассмотрим типичные условия неинвазивных измерений
при исследовании биологических объектов: генератор находится
59
в ограниченной области электрогенного органа, которую можно
окружить замкнутой поверхностью, и в любой точке пространства вне этой поверхности могут быть осуществлены электрические и (или) магнитные измерения. Более конкретно, предполагается, что среда является изотропной и однородной или кусочнооднородной с известной структурой и известными пассивными
электрическими и магнитными характеристиками; в одной из однородных областей находится генератор, а в других областях и на
границах областей измеряется электрический потенциал и (или)
магнитная индукция. Одни из простых и часто используемых вариантов такой модели — это однородный проводник с генератором внутри, ограниченный замкнутой поверхностью, вне которой
находится диэлектрическая среда, простирающаяся в бесконечность; электрические измерения можно проводить на поверхности проводника, магнитные измерения — на этой поверхности и
вблизи нее в диэлектрике (обычно это воздух).
Охарактеризуем наблюдаемость биоэлектрического генератора для этих условий, учитывая соотношения для совместного
анализа его электрического и магнитного полей, приведенные в
гл. 2 и 3.
Для условий неограниченного однородного проводника совокупность электрических и магнитных измерений вне области
генератора не содержит полной информации, достаточной для
восстановления структуры генератора (поскольку существуют
структуры генератора, не создающие поля во внешней области).
Информация о генераторе, содержащаяся в этих измерениях (неинвазивно наблюдаемые свойства генератора), может быть представлена в форме мультипольных рядов. Эта неинвазивно доступная информация полностью содержится в магнитных измерениях и только частично в электрических (поскольку электрические мультипольные компоненты могут быть определены из вихревой составляющей магнитной индукции).
Для условий ограниченного однородного проводника электрические измерения по-прежнему содержат информацию о генераторе, соответствующую электрическим мультиполям, а чисто
60
магнитные измерения содержат лишь часть неинвазивно доступной информации в зависимости от формы проводника. При некоторых структурах проводника и генератора, например, при наличии полной осевой симметрии, магнитное поле вне проводника
отсутствует из-за полной взаимной компенсации полей, создаваемых собственно генератором и кулоновскими токами в проводнике, порождаемыми этим генератором (к таким конфигурациям
проводника и генератора относятся, например, электропроводный
шар с радиально направленным диполем внутри). Тем не менее,
магнитные измерения в принципе могут содержать информацию
о генераторе, которая отсутствует в электрических измерениях.
Чтобы перейти к условиям неограниченного однородного проводника, нужно определить магнитную индукцию для этих условий при помощи приведенных выше уравнений, которые требуют
знания не только магнитной индукции, но и электрического потенциала, измеренного на поверхности ограниченного проводника.
При исследовании биоэлектрических и биомагнитных полей, особенно в связи с необходимостью решения обратной электродинамической задачи, рассматривают частные структуры генератора,обеспечивающие адекватное представление конкретных
изучаемых электрофизиологических процессов и в то же время
имеющие достаточно простое математическое описание, облегчающее решение обратной задачи.
Упрощение конфигурации пространственно распределенного генератора может быть достигнуто за счет выбора простой
геометрической формы генератора в пространстве и простой
формы распределения его интенсивности (плотности стороннего
тока). Например, это могут быть эквивалентные генераторы в виде равномерного распределения плотности стороннего тока, ограниченного изнутри и снаружи концентрическими сферами, или
часто используемые для моделирования биоэлектрического генератора поверхностно распределенные, линейно распределенные и
точечные генераторы — двойной слой, генераторная нить и диполь.
61
ГЛАВА 6
НЕИНВАЗИВНАЯ ЛОКАЦИЯ
ЭЛЕКТРОФИЗИОЛОГИЧЕСКИХ ЯВЛЕНИЙ В СЕРДЦЕ.
6.1. ПОДВИЖНЫЙ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ЦЕНТР СЕРДЦА.
Для оценки глобальных пространственных смещений кардиогенератора, которые могут быть весьма полезным показателем
при топической диагностике электрофизиологических состояний
сердца, целесообразно использовать понятие электрического центра сердца, которое нужно определить, исходя из типичных пространственных конфигураций кардиогенератора. При наличии в
миокарде одной генераторной области относительно небольшой
протяженности искомый электрический центр должен оказаться
вблизи средней точки такой области, указывая тем самым ее расположение. При наличии сложной генераторной области значительной протяженности или нескольких таких областей электрический центр должен попасть в точку, в определенном смысле подобную "центру масс" элементарных дипольных генераторов, образующих суммарный кардиогенератор.
Поскольку конфигурация кардиогенератора в определенные
периоды кардиоцикла изменяется во времени, электрический
центр соответственно изменяет свое пространственное положение и в этом смысле является подвижным (хотя при определенных условиях, в частности, при ишемических повреждениях,
возникают устойчивые конфигурации генератора с соответствующим электрическим центром, сохраняющим постоянное положение в течение довольно длительных периодов кардиоцикла).
Возможны различные подходы к формулированию количественных критериев и методов определения координат электрического центра сердца, причем они должны обеспечивать нахождение его по неинвазивным измерениям наружного электрического или магнитного поля. Здесь будет рассмотрен вариант с
измерением электрического поля.
62
Электрический центр с координатами zc, yc, zc для данного
момента времени определим как местоположение внутри сферического квазиэпикарда фиктивного точечного генератора, потенциал которого в окружающей среде изменяется обратно пропорционально квадрату расстояния от него до точки измерения и
наилучшим образом аппроксимирует потенциал на сферическом
квазиэпикарде с радиусом R по заданному критерию.
Потенциал аппроксимирующего точечного генератора в
точке квазиэпикарда с декартовыми координатами x,y,z и соответствующими сферическими координатами R, ,  выражается
как
A =
K
r2
(6.1)
где r = (x – xc)2 + (y – yc)2 + (z – zc)2 - расстояние от электрического центра до точки ( x, y, z ) на квазиэпокарде и К – постоянная величина, характеризующая интенсивность аппроксимирующего генератора и определяемая в соответствии с принятым критерием точности аппроксимации. В качестве такого критерия используем величину среднеквадратичной погрешности
при аппроксимации квадрата истинного потенциала А квадратом потенциала А фиктивного точечного генератора на квазиэпикарде, причем величину К определим из условия, что потенциал фиктивного генератора, находящегося в центре квазиэпикарда, совпадает на поверхности квазиэпикарда S со среднеквадратичным значением истинного потенциала. Тогда
KR
1
 2  dS
4 S
(6.2)
Для упрощения дальнейшего анализа используем аппроксимирующую функцию А2 , предварительно линеаризованную по xc,
yc, zc, относительно начала координат:
(6.3)
AL2 =
K2
R6
( R2 + 4x xc + 4y yc + 4z zc )
63
Суммарный квадрат погрешности аппроксимации теперь выражается как
2
=  ( 2 - А2 )2 dS
(6.4)
S
и минимизация этой величины по xc, yc, zc c учетом уравнений
(6.2) и (6.3) дает следующие выражения для координат электрического центра:
xc =

3
2
xdS
S
4
2
  dS
S
, yc =

3
2
ydS
S
4
2
  dS
S
,
zc=

3
2
zdS
S
4
2
  dS
(6.5)
S
Для определения положения электрического центра кардиогенератора можно применить и другие критерии, например, аппроксимировать потенциалом точечного генератора абсолютную
величину истинного потенциала на квазиэпикарде, или же считать электрическим центром начало собственной системы координат генератора, который можно ввести на основе минимизации
квадрупольной составляющей мультипольного разложения потенциала. Однако для определенных конфигураций генератора
некоторые критерии могут оказаться неадекватными в отношении
главного требования к электрическому центру — чтобы он находился достаточно близко к средней точке ограниченной в пространстве электрогенной области и чтобы изменения его положения достаточно явно отражали глобальные перемещения электрогенных областей относительно центра квазиэпикарда. Упомянутая выше точка начала собственной системы координат в достаточной степени удовлетворяет этому требованию только для конфигураций генератора с доминирующей дипольной составляю-
64
щей, например, для небольших по площади субэндокардиальных
или субэпикардиальных фронтов деполяризации или зон повреждения. В тех случаях, когда генератор имеет конфигурацию,
близкую к квадрупольной, например, для двух противоположно
направленных и соизмеримых по площади фронтов деполяризации или для небольшой по протяженности зоны трансмурального
повреждения (рис. 6.1), эта точка оказывается на большом удалении от области генератора, а при строго квадрупольной конфигурации генератора положение собственной системы координат вообще является неопределенным. Поэтому начало собственной системы координат не всегда может служить эффективным средством для неинвазивной локации генераторной области.
РИСю 6бб.1
Рис. 6.1. Формирование конфигурации генератора, близкой к
квадрупольной, в период диастолы (период TQ кардиоцикла) при
наличии трансмурального очага повреждения. На схематическом
изображении стенки желудочков с очагом повреждения (затемненная область) показана стрелками пара противоположно
направленных эквивалентных диполей для двойных слоев на эпикарде и эндокарде; эти двойные слои, в свою очередь, эквивалентны поверхностному генератору на границе нормального и
поврежденного миокарда.
65
Этот недостаток не характерен для точки, определенной
здесь как электрический центр. Хотя ее положение зависит от
конфигурации генератора (соотношения мультипольных составляющих разных порядков), все же достигается основная цепь —
приближенная оценка пространственного положения и тенденций
перемещения генераторной области в сердце. Проиллюстрируем
это на модели однородной электропроводной среды, ограниченной сферическим квазиэпикардом с радиусом R и окруженной
диэлектриком (начало основной системы координат xyz находится в центре модели). На оси z в точке с координатой zG расположен точечный генератор дипольной или квадрупольной конфигурации. В частности, рассматриваются тангенциальный диполь,
ориентированный перпендикулярно к оси z, радиальный диполь,
ориентированный вдоль оси z, и соответствующие осевые квадруполи, тангенциальный и радиальный. Потенциал  на квазиэпикарде для каждого заданного генератора вычислим, используя мультипольное приближение 3-го порядка; затем при помощи
выражения (6.5) найдем координаты электрического центра (благодаря симметрии модели эта точка лежит на оси z, и достаточно
вычислить ее координату zc ). В результате получим следующие
выражения для эксцентриситета электрического центра fc =z c /R
через эксцентриситет заданного генератора f = zG /R :
для тангенциального диполя
для тангенциального диполя
9f(4f2+3 fc =)/(56f4+45f2+36)
(6.6)
для радиального диполя
fc = 3f(3f2+2)/2/(7f4+5f2+3)
(6.7)
для тангенциалього осевого квадруполя
fc = 9f/(28f2+9)
для радиального осевого квадруполя
(6.8)
66
fc = 9f/(28f2+5)
(6.9)
РИС. 6.2
Рис. 6.2. Влияние конфигурации кардиогенератора на положение электрического центра . Приведены зависимости вычисленного эксцентриситета электрического центра fc от точного
эксцентриситета f заданного моделього генератора для диполей
( Dx, Dz ) и осевых квадруполей ( Qx , Qz ), ориентированных
вдоль осей x и z соответственно. Значения координат отнесены
к радиусу квазиэпикарда.
На рис. 6.2 приведены графики зависимости fc от f для области
внутри квазиэпикарда f <_ 0.6, где наиболее вероятно присутствие электрогенных участков миокарда для обычно используемого радиуса квазиэпикарда R. Видно, что положение электрического центра в основном правильно отражает смещение
генератора относительно центра квазиэпикарда, причем наиболее точно аппроксимируется смещение радиального диполя.
Для дипольного генератора электрический центр дает несколько заниженную оценку смещения, а для квадрупольного – несколько завышенную при малых эксцентриситетах и заниженную при больших.
6.2.ТИПЫ ДИПОЛЬНЫХ МОДЕЛЕЙ
КАРДИОГЕНЕРАТОРА
Для идентификации электрического процесса в сердце с
привязкой электрических характеристик к анатомической структуре нередко используют модели кардиогенератора дискретного
типа, содержащие один, два или большее число диполей тока. В
последнем случае такие модели иногда называют многодипольными эквивалентными генераторами. Возможны два основных
подхода к формулированию дипольных моделей.
В первом, несколько более общем подходе предполагаетя,
что каждый диполь отражает определенную типичную конфигурацию или составную часть истинного генератора, положение ко-
67
торой заранее не известно и которая в принципе может перемещаться в области возбудимого миокарда. Например, это может
быть фронт деполяризации, движущийся в сердце, или же патологическая область, находящаяся в любом месте сердца; интенсивность и положение такой составляющей генератора необходимо определить при решении обратной электродинамической
задачи. Тогда потенциал в г-й точке измерения в момент времени
t можно выразить уравнением (см. гл. 7)
где Dj(t) — дипольный момент j-ro составляющего диполя
модели, расположенного в точке с радиус-вектором fj(t); C;(rj(t))
— векторный передаточный коэффициент для j-ro диполя и г-й
точки измерения, зависящий от времени t, и £?,(£) — погрешность описания потенциала при помощи эквивалентного генератора, состоящего из подвижных диполей. Соответствующее
уравнение можно записать и для магнитной индукции, исходя,
например, из уравнений (1.135) или (2.16) для кусочнооднородного проводника. Здесь неизвестными величинами обратной задачи являются компоненты диполей, образующие векторы DJ, и координаты положения диполей, образующие векторы
TJ, так что общее число неизвестных обратной задачи равно 6./V,
где N — число составляющих диполей модели. При отсутствии
каких-либо дополнительных ограничений для решения обратной
задачи в каждый момент времени потребуются потенциалы, измеренные в L > 6N точках поверхности тела. Подлежащая решению система уравнений типа (9.10) является нелинейной относительно искомых величин.
Такой эквивалентный генератор в принципе можно использовать для сколько угодно точного дискретного описания непрерывно распределенных истинных генераторов, например, рассматривать его как дискретный вариант двойного слоя, представляющего фронт деполяризации. Однако при все более точном
описании хронотопографии возбуждения сердца число диполей
непомерно возрастает, и начинает проявляться физическая неопределенность решения обратной задачи. Для получения приемлемого решения приходится вводить довольно сильные ограниче-
68
ния и рассматривать модель по существу как дискретизированный вариант непрерывно распределенного эквивалентного генератора (некоторые типы таких генераторов были рассмотрены в
гл. 5), иначе решение становится слишком чувствительным к случайным погрешностям измерения, теряет устойчивость и электрофизиологический смысл. Поэтому многодипольные генераторы с большим числом диполей (порядка сотен) используют в основном для решения прямой задачи при моделировании электрических процессов возбуждения сердца [131, 150 и др.]. Достаточно устойчивые и электрофизиологически осмысленные решения
обратной задачи удается получить для моделей с предельно малым числом подвижных диполей — обычно не больше двух. Такие модели будут рассмотрены в последних параграфах этой главы.
Во втором подходе к формулированию дипольных моделей
предполагается, что каждый диполь отражает электрическую активность данного участка, или сегмента миокарда; геометрическое расположение всех таких участков и, следовательно, координаты соответствующих диполей (которые находятся в центрах
сегментов) при решении обратной задачи считаются известными.
Авторы первых работ, посвященных такому методу идентификации кардиогенератора, назвали его "прицельной электрокардиографией", так как они ставили задачу неинвазивного определения
электрического состояния отдельных локальных участков сердца
[63, 158]. Сердце подразделяли на 6 областей (одна для предсердий и пять для желудочков) и электрическую активность каждой
области представляли в виде генератора, близкого по конфигурации к диполю. При этом потенциал можно выразить уравнением,
аналогичным уравнению (9.10), в котором, однако, компоненты
векторного передаточного коэффициента С^ будут известными
постоянными величинами, зависящими только от геометрических
соотношений и пассивных электрических свойств среды, а компоненты дипольных моментов DJ — неизвестными, общее число
которых равно 37V", где N — число составляющих диполей модели. Если отсутствуют какие-либо дополнительные ограничения, то для решения обратной задачи в каждый отдельно взятый
69
момент времени нужно измерить потенциалы в L > 3N точках поверхности тела и решить соответствующую систему из L линейных уравнений типа (9.10) относительно компонент дипольных
моментов DJ (коэффициенты системы предварительно определяются путем решения соответствующей прямой задачи для принятой модели тела как объемного проводника, или эквивалентной
среды).
Даже при наличии такого жесткого ограничения, как использование известных координат положения диполей, получить
устойчивое решение обратной задачи, особенно при большом
числе диполей, оказывается чрезвычайно трудно; возникает необходимость в специальных вычислительных процедурах и дополнительных ограничениях. Многодипольный эквивалентный генератор с составляющими диполями, расположенными в заданных
точках миокарда и изменяющими произвольным образом дипольные моменты, был исследован на математической модели электрического генератора сердца собаки [468]. В качестве исходных
данных при решении обратной задачи использовались потенциалы в 268 точках, равномерно распределенных на поверхности тела. Потенциалы были рассчитаны путем решения прямой задачи
для 76-дипольной модели истинного генератора или измерены на
подопытном животном.
Эти исследования показали, что решения обратной задачи
для 20- и 9-дипольного эквивалентных генераторов весьма чувствительны к погрешностям измеренных потенциалов и геометрических параметров поверхности тела. Чувствительность к погрешностям измерений быстро снижается при уменьшении числа
составляющих диполей — при переходе от 20- к 9-дипольному
генератору она становится меньше приблизительно в 10 раз. Точность аппроксимации измеренных потенциалов при помощи эквивалентных генераторов обоих видов достаточно высока — относительный средний квадрат погрешности не превышает 5%.
Тем не менее, ни одна из указанных моделей генератора не обеспечивает достаточную устойчивость решения обратной задачи по
отношению к погрешностям измерений. При реальных величинах
этих погрешностей не удается определить характеристики экви-
70
валентного генератора, поддающиеся электрофизиологической
интерпретации.
В работе [347] описанный подход использован в сочетании
со статистическим методом регуляризации для определения областей предвозбуждения у больного с синдромом ВольфаПаркинсона-Уайта. Эквивалентный генератор состоял из 20 диполей, расположенных в заданных точках предсердножелудочковых колец, исходными данными служили измеренные
потенциалы в 219 точках поверхности грудной клетки в период
кардиоцикла, соответствующий дельта-волне, т. е. в начальный
период развития патологического фронта деполяризации желудочков. Найденные векторы дипольного момента составляющих
диполей позволили выявить среди заданных точек местонахождение и направление этого патологического фронта (рис. 9.3).
Таким образом, получение решений обратной задачи для
многодиполь-ного генератора, осмысленных электрофизиологически и устойчивых в реальных условиях измерения потенциала,
требует существенного уменьшения числа составляющих диполей и (или) наложения дополнительных ограничений на характеристики генератора, а также применения соответствующих вычислительных процедур. Этим вопросам было посвящено много
теоретических и экспериментальных исследований. Их подробный критический обзор с рассмотрением методов математического расчета, исходных материалов и результатов, полученных разными авторами при решении обратной задачи на основе измеренных электрических потенциалов, содержится в работах [216, 217].
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
ЛИТЕРАТУРА
71
1. Мурашко В.В., Струтынский А.В. Электрокардиография,Москва, Медицина, 1987.
2. Титомир Л.И., Кнеппо П. Математическое моделирование биоэлектричекого генератора сердца, - Наука. Физматлит, 1999.
3. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теория поля,- Государственное издательство физико-математической литературы, Москва, 1960.
4. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Электродинамика сплошных сред, Государственное издательство физико-математической литературы, Москва, 1959.
5. Амиров Р.З. Электрокардиотопография, - М., Медицина, 1965
6. Сена
7. Тамм
8. Арцбехер Р., Броди Д. Поле отведения. Его векторные и тензорные свойства. – В кн.: Теретические снвы электрокардиологии /
Пер. с англ. – М., Медицина, 1979, - С.208
9. McFree R., Johnston F.D. Electrocardiographic leads. I.Introdution //
Circulation. 1953. V.60.P.554.
10.
Pl
onsey R. Reciprocity appied to volume condductors and the ECG //
IEEE Trans. Biomed. Electron. 1963. V. 10. P.9
11.
Pl
onsey R. Capability and limitations of eletrcardiography and magnetocardiography // IEEE Trans. Biomed. Eng. 1972. V. 19. P.239
12.
Tr
ipp J.H. Physical concepts and mathematical models. – In: Biomagnetism. An Interdisciplinari Approach. – New York: Plenum Press,
1983. – P. 101
13.
Ф
ихтенгльц
14.
Pl
onsey R. Bioelectric Phenomena. – New York: McGraw-Hil, 1969.
15.
П
лонси Рю Законы, управляющие электрическим током в объемном
проводнике. В кн.: Теоретические основы электрокардиологии /
Пер. с англ. – Медицина, М. – Мир, 1992
72
16.
Т
итомир Л.И. Электрический генератор сердца. – М.: Наука, 1980
17.
B
arnard A.C.L., Duck I.M., Lynn M.S. The application of electromagnetic theory to electrocardiologii. I. Derivation of the integral equations // Biophys.J. 1967. V.7 P.443
18.
П
лонси Р., Барр Рю Биоэлектричество. Количественный подход .
Пер. с англ. – М.: Мир, 1992.
19.
Pl
onsey R. Magnetic field resulting from action currents in cylindrical
fibres // Med. Biol. Eng. Comput. 1981. V.19. P. 311
20.
G
ulrajani R.M., Roberge F.A., Savard P Moving dipole inverse ECG
and EEG solutions // IEEE Trans. Biomed. Eng. 1984. V. 1. P. 903
21.
C
uffin B.N., Cohen D. Magnetic field produced by models of biological
current sources // J. Appl. Phys. 17. V. 48. P. 3971
22.
D
’Alche P., Ducimetiere P., Lacombe J. Computer model of cardiac potential distribution in an infinite medium and on the human torso during ventricular activation // Circulat. Res. 1974. V. 34. P. 719
23.
D
vorak M., Munz J. Real model of an equivalent cardiac generator //
Physiol. Bohemosl. 1973. V. 22. P. 669
24.
B
arber M.R., Fischmann E.J. Heart dipole regions and the measurement
of dipole moment // Nature. 1961. V. 192. P. 141
25.
Fi
schmann E.J., Darber M.R. “ Aimed “ electrocardiography. Model stadies, using a heart consisting of 6 electrically isolated arias // Am.
Heart J. 163, V. 5. P. 628
26.
R
ogers C.L., Pilkington T.C. Free-moment current dipoles in inverse
electrocardiography // IEEE Trans. Biomed. Eng. 1968. V. 15. P. 312
73
27.
M
acchi E., Taccardi B., Di Cola G. Et al. Identification of cardiac dipolar
sources from body surface potentials // Jap. Heart J. 1982. V. 23.
Suppl. P. 346
28.
G
ulrajani R.M., Roberge F.A., Savard P. Moving ipole invers EGG and
EEG solutions // IEEE Trans. Biome. Eng.1984. V. 1 P. 903
СОДЕРЖАНИЕ
Введение
……………………………………………………………………….
Глава 1. Биоэлектрические основы возникновения биопотенциалов …….
1.1 Мембранная теория возникновения биопотенциалов……….
1.2 Основные функции сердца………………………………………….
1.3. Функция проводимости……………………………………………..
1.4. Функция возбудимости и рефрактерность волокон миокарда……
1.5. Функция сократимости………………………………………………
1.6. Формирование нормальной электрокардиограммы……………….
Глава 2. Общие математические соотношения электродинамики………
2.1. Дифференциальные уравнения Максвелла и электродинамические
74
потенциалы…………………………………………………………….
2.2.Решение уравнений электродинамики для простых
структур…….
Глава 3. Соотношения электродинамики для биоэлектрических генераторов ..
3.1 Поле отведения в биоэлектрических и магнитных измерениях………….
3.2. Интегральные уравнения для изотропной кусочнооднородной среды…….
Глава 4. Биоэлектрический генератор сердца…………………………………….
4.1. Эквивалентные генераторы для возбудимой клетки произвольной формы…
Глава 5. Прямая и обратная электродинамические задачи в
электрокардиологии..
Глава 6. Неинвазивная локация электрофизиологических явлений в сердце……..
6.1.Подвижный электрический центр сердца……………………………………
6.2.Типы дипольных моделей кардиогенератора……………………………….
Заключение……………………………………………………………………
……..
75
76
77