Л а б о р а т о р н а я р а б о т а № 54

Л а б о р а т о р н а я р а б о т а № 54
ФИЗИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ПОЛЯ
ЗАЗЕМЛИТЕЛЕЙ В ЭЛЕКТРОЛИТИЧЕСКОЙ ВАННЕ
1. Краткое содержание работы
В лабораторной установке воспроизводится в небольшом масштабе
явление растекания тока в земле от зарытых в нее металлических
проводников. Соединение некоторых точек электрических устройств с землей
с помощью зарытых в землю проводников называют системой заземления.
Перед проектировщиками как правило ставится задача спроектировать
такую систему заземления, чтобы при заданных конкретных условиях
(характеристики почвы, ее неоднородность и т.д.) система заземления имела
сопротивление не больше определенной величины (например, 4 Ом). В
лабораторной работе будут рассмотрены аналитические методы расчета
сопротивлений для простых форм электродов и выполнены измерения
сопротивлений на модели для электродов разных форм – простых и сложных.
2. Описание установки
Основной частью установки является электролитическая ванна (рис. 1).
Электролитическая ванна представляет собой заполненный водой
прямоугольный бак из нержавеющей стали. Роль земли в лабораторной
установке играет вода. Бак из проводника, удельная проводимость которого
на много порядков больше удельной проводимости воды, имитирует
бесконечно удаленную от реального заземлителя точку земли, потенциал
которой принимается равным нулю. Поэтому сопротивление воды между
электродом и баком принимают соответствующим сопротивлению
заземления. В воду помещают заземлители, уменьшенные в размерах по
сравнению с реальными, но с сохранением геометрической формы . Часть
электродов имеет простую форму: сферическую и цилиндрическую. Для
электродов
простой
формы
возможен
сравнительно
несложный
теоретический расчет сопротивления заземлителя. На этих простейших
формах уясняются принципы расчета, остающиеся справедливыми и для
более сложных, встречающихся на практике форм заземлителей (например,
система штыревых заземлителей). Наличие стенок и дна бака из металла
вносит определенную погрешность в процессы на модели по сравнению с
реальными процессами. Однако, бак имеет достаточно большие размеры (дно
790 мм  790 мм, высота 730 мм) по сравнению с размерами моделей
заземлителей и, как показывает опыт, при этом соотношении можно получить
допустимую погрешность моделирования.
28
Над поверхностью воды расположен механизм перемещения
электродов в горизонтальном и вертикальном направлении (рис. 1).
Перед началом измерения сопротивлений моделей заземлителей
производят измерение удельной электрической проводимости  воды,
h
D
2r1
2r2
Рис.1
залитой в бак. Для определения  проводят два независимых измерения
сопротивления воды из бака, залитой в два сосуда (рис. 2).
Удельную проводимость воды по сопротивлению Rа (рис.2,а)
определяют из формулы
Rа 
1 l
 ,
 S
(1)
где l – длина или высота водяного столба, как электрического проводника,
S – площадь водяного столба, через которую протекает ток между верхним и
нижним электродом.
Удельную проводимость воды  по сопротивлению Rб (рис.2,б)
определяют из формулы
Rб 
1 ln d1 d 2

,

2l
в которой обозначения соответствуют рис. 2,б.
29
(2)
электроды
Rx
электроды
l=50 мм
l
(измеряется)
Rx
d1=20 мм
d=50 мм
d2=45 мм
б)
а)
400
400
350
350
400
d=49
175
dш=100
350
l=700
400
Рис.2
d=20
d=20
d=49
е)
120
ж)
Рис. 3
30
г)
д)
400
120
в)
400
б)
400
а)
120
з)
На установке имеются электроды, изображенные на рис. 3:
шар диаметром d=100 мм (рис. 3,а); толстый цилиндр (длинный) (рис. 3,б);
толстый цилиндр (короткий) (рис. 3,в); тонкий цилиндр (длинный) (рис. 3,г);
тонкий цилиндр (короткий) (рис. 3,д); штыревой (двухлучевой) (рис. 3,е);
штыревой (трехлучевой) (рис. 3,ж); штыревой (четырехлучевой) (рис. 3,з).
На лабораторном столе находятся источник питания с выходным
напряжением U = 7,5 В промышленной частоты f = 50Гц, вольтметр ВЗ-38,
фазометр Ф2-1 и коммутационная панель (рис. 4).
Сопротивление между электродами, погруженными в воду, имеет
характер активно-емкостный. Цель измерения – вычислить лишь активное
сопротивление Rх водяных резисторов и заземлителей.
Сигн.

Оп.
Оп.
7,5 в
лев.
ц.
прав
V
7,5 в
лев.
ц. прав.
V
Zx
Rа
V
R=100
Ом
Сигн.
Rб
Рис. 4
Помимо измерения сопротивлений, для некоторых форм электродов
измеряют потенциал на поверхности воды вдоль линии, идущей от
заземлителя к стенке бака (это нужно для оценки шагового напряжения в
заземляющей системе). Схема измерения потенциалов точек на поверхности
воды приведена на рис. 6 и осуществляется соединениями на
коммутационной панели (рис. 4).
3. Теоретическая справка
Расчет проводимостей цилиндрических стержней
Перед определением проводимости растекания тока с цилиндрических
поверхностей рассмотрим прием, упрощающий поставленную задачу.
31
Zx=Rx–jxcx
сигн.
E
Rн=100 Ом
опор.

V
Рис.5
~
V
Рис.6
=0
в
Б=0
U
U
2r1
2r1
_
J
_
Е
G
вода
h
h
I 
U
R  
U 
I
a)
2I
UI
воздух
I
_
E
G
_
J
I 
U
R  
U 
I
б)
=0
в
U
l=2h
U
вода
2r1
_
E
G 
вода
_
J
2I 
U
 R  
U 
2I 
в)
Рис. 7
Пусть в воду, залитую в металлический бак, погружен проводящий цилиндрический стержень радиуса r1. Картина поля представлена на рис. 7,а.
Требуется
предложить расчетную схему для определения проводимости
(или сопротивления) растекания тока со стержня к баку.
32
Пренебрегая влиянием стенок бака, приходим к схеме, изображенной
на рис. 7,б. Картина поля практически не изменилась. Здесь ток I стекает с
цилиндрической поверхности стержня и растекается, стремясь к бесконечно
удаленным точкам. Потенциал этих точек принят нулевым. Ток I на рис. 7,б
растекается в бесконечном полупространстве (в воде есть электрическое поле
и вызванный им электрический ток; в воздухе есть поле, но нет тока).
Отобразим зеркально нижнее полупространство рис. 7,б на верхнее
полупространство. Получим картину поля на рис. 7,в, занимающую все
пространство. Совершенно очевидно, что со стержня длиной l = 2h будет
стекать в два раза больший ток по сравнению с рис. 8,б, поэтому
проводимость увеличенного в два раза стержня увеличится в два раза
(сопротивление уменьшится в два раза).
Будем считать
рис. 7,в расчетной схемой для определения
проводимости (или сопротивления) растекания тока с цилиндрических
электродов к баку.
Примечание. Расчетная схема не учитывает отражения от стенок бака. Такое
допущение справедливо при размерах бака на два порядка больших, чем размеры
электродов. В лабораторной работе размеры бака превосходят размеры электродов
примерно на один порядок. Поэтому приводимые далее формулы, построенные на основе
упрощенной схемы, при расчете дают погрешность (порядка 10%).
Пользуясь этой расчетной схемой, можно определить проводимость
(или сопротивление) растекания тока для трех типов задач (рис. 8):
определить проводимость (сопротивление) растекания тока между стержнем
и баком (рис. 8,а); между соединенными двумя стержнями и баком (рис. 8,б);
между двумя стержнями (рис. 8,в).
UI
I
UI
I
U
I
U
2r1
h
2r1
h
2r2
2r1
h
2r2
D
G
I 
U
R  
U 
I
a)
G
I 
U
R  
U 
I
б)
D
G
I 
U
R  
U 
I
в)
Рис. 8
На следующем примере рассмотрим два цилиндрических стержня
одинаковой длины l = 2h (где h – глубина погружения) в общем случае. С
помощью примера можно решить любую задачу рис. 8 как частный случай.
33
I
Пример. Определить для любых вариантов рис. 8 сопротивление
растекания тока между двумя цилиндрическими стержнями радиусов r1 и r2,
погруженных в проводящую среду с удельной проводимостью  на глубину
h. Расстояние между параллельными осями стержней равно D.
Решение
Задачи сводятся к определению проводимости системы электродов по
расчетной схеме рис. 7,в, в которой длина электродов удвоена, а все
пространство занимает среда с удельной проводимостью . Тогда
проводимость растекания тока
(3)
G G 2 ,
а сопротивление
(4)
R1/ G
Перейдем к расчетной схеме поля на рис. 8. Здесь выполняется
равенство l1=l2=l, а обозначения l1 и l2 введены для того, чтобы указать
номер стержня, по которому проводится интегрирование.
Пусть через первый стержень идет ток I1, а потенциал этого стержня
равен U1 относительно бесконечно удаленных точек, потенциал которых
принимается нулевым. Пусть через второй стержень идет ток I2, а его
потенциал равен U2.
Пользуясь принципом суперпозиции, можем записать потенциалы
стержней как суммы двух слагаемых
U1 = α11I1+α12I2,
U2 = α21I1+α22I2,
(5)
где α11 и α22 – собственные потенциальные коэффициенты, α12=α21 (свойство
взаимности) – взаимные потенциальные коэффициенты.
Проводимость G для задач рис. 8 можно выразить через потенциальные
коэффициенты. В случае одного стержня (рис. 8,а) имеем
U1= α11I1= I1/ G и, следовательно,
G = 1/α11 .
(6)
В случае двух электрически соединенных друг с другом стержней их
потенциалы одинаковы U1=U2=U, а общий ток I равен сумме токов стержней.
В этом случае имеем (α21=α12)
U1=U=α11I1+α12I2,
U2=U=α12I1+α22I2 .
(7)
Исключая U, получаем зависимость между токами
I2 
11  12
I1 .
 22  12
Тогда
I  I1  I 2 
11   22  212
I1 .
 22  12
Напряжение U также выразим через I1
34
(8)

11  12 
11   22  122
 I1 
U   11  12
I1 .
 22  12 
 22  12

Проводимость системы рис. 8,б при разных радиусах
G
I 11   22  212
.

U
11   22  122
(9)
При одинаковых стержнях r1=r2 (откуда следует равенство α11= α22)
G
211  212
2
.

112  122
11  12
(10)
Для вычисления проводимости необходимо получить выражение для
потенциальных коэффициентов α11, α22 и α12. Пользуясь приближенным
методом [Л.1, ч. III, § 36], получаем эти выражения в общем виде
1
d y1  d y2
,

4 πσ l12 l l
r
1
d y1  d y2
12 
,

4 πσ l1l2 l l
r
11 
1
y
2r1
2r2
dy1
1
1
D
(11)
(12)
2
y2
y1
dy2
где r – расстояние между элементами dy1 и dy2.
Коэффициент α22 получается из (11) заменой
r
r1 на r2.
При вычислении коэффициента α11 (α22)
интегрирование проводят один раз по
оси
стержня, другой раз по линии, расположенной на
его поверхности параллельно оси. При
x
вычислении коэффициента α12 интегрирование
проводят один раз по оси первого стержня и
Рис. 9
другой – по оси второго стержня.
Определим потенциальные коэффициенты
для двух параллельных стержней одинаковой длины l1=l2 =l (рис. 9). Начала
их расположены на оси х (y=0). Пусть r1и r2 – радиусы стержней, а Dрасстояние между их осями.
Имеем
1 ll
d y1 d y2
12 
.
2 
4 πσ l 0 0 D 2  ( y2  y1 ) 2
Так как при интегрировании по y2 величина y1 считается постоянной, то
l

0
d y2
D 2  ( y2  y1 ) 2
l  y1
 
 y1
d( y2  y1 )
D 2  ( y2  y1 ) 2
35
 Arsh
l  y1
y
 Arsh 1 .
D
D
Следовательно, получаем
1 l
l  y1
y 
12 
Arsh
 Arsh 1  d y1 .
2 
4 πσ l 0 
D
D
Нетрудно убедиться, что
l
l  y1
y
d y1   Arsh 1 d y1.
 Arsh
D
D
0
0
l
Учитывая значение интеграла
2
 Arsh zdz  z  Arsh z   z d(Arsh z )  z Arsh z  1  z  const ,
находим
1 
l
D2
D
12 
 Arsh  2  1  .
2 πσ l 
D
l
l
Так как имеет место соотношение
l

l
l2

,
Arsh  ln


1
2


D
D
D

то формулу для α12 можно представить в виде

1  l
l2
D2
D


12 
ln


1


1


,
2

2 πσ l   D
D2
l
l


(13)
где
l = 2h , h – глубина погружения стержней.
Так как при получении формулы для собственного потенциального
коэффициента α11 необходимо интегрировать один раз по оси стержня, а
другой – по линии на поверхности этого стержня, то формула для α11
получается заменой в формуле для α12 расстояния D на радиус стержня r1.
2

1  l
l2
r1
r1 


11 
ln  2  1   2  1   .
2 πσ l   r1
r1
l
l 

(14)
Формула для собственного потенциального коэффициента второго
стержня α22 получается из (14) заменой r1 на r 2
2

1  l
l2
r2
r2 


 22 
ln


1


1


 .
2

2 πσ l   r2
r22
l
l


36
(15)
Если l >> r1 и l >> r2, то формулы (13–15) упрощаются, так как
l

l2
r12
r
2l
l


ln  2  1  2  1  1  ln  1  ln  0,307 .
 r1

l
r1
r1
r1
l


В этом случае имеем
11 


1  l
1  l
 ln  0,307  ,  22 
 ln  0,307  .
2 πσ l  r1
2 πσ l  r2


(16)
Используя
приведенные
выше
формулы
для
вычисления
потенциальных коэффициентов, получаем следующие выражения для
сопротивлений растеканию тока:
а) между одним стержнем и баком (рис. 8,а):
(17)
R  2 R  211 ,
б) между двумя соединенными стержнями и баком (см. рис. 8,б):
для стержней разных радиусов:
11 22  122
R  2 R  2
,
11   22  212
(18)
для одинаковых стержней (r1=r2, α11 =α22):

R  (11   22 ) ,

(19)
в) между двумя стержнями (см. рис.8,в):
для стержней разных радиусов:
R  2(11   22  212 ) ,
(20)
для одинаковых стержней (r1=r2, α11 =α22):
R  4(11  12 ) .
(21)
4. Задание на подготовку к работе
1. Используя закон Ома в дифференциальной форме J=Е, получить
формулу
(1) для определения удельной проводимости воды  по
сопротивлению R водяного цилиндрического резистора с
плоскими
параллельными круглыми электродами (см. рис.2,а). Записать выражение для
расчета .
2. Вывести формулу (2) для определения  по сопротивлению R
водяного цилиндрического резистора с соосными электродами (см.рис.2,б),
создающими между электродами неоднородное электрическое поле.
3. Получить выражение для сопротивления растекания тока с шара
радиуса rш, погруженного в воду наполовину, в двух случаях:
37
а) ток с нижней половины шара растекается к бесконечно удаленным
точкам;
б) ток стекает с нижней половины шара и втекает во внутреннюю
поверхность металлической полусферы радиуса rсф, которой может быть
заменен бак установки.
Ответ: Ra 
1
1
1
1
(  ).
, Rб 
2 πσ rш rсф
2 π σ rш
4. Приняв потенциал шара равным 10 В, построить в численном виде
на одном графике зависимость потенциала на поверхности воды от
расстояния для шара радиуса rш = 50 мм, погруженного в воду наполовину, в
двух случаях: а) ток с нижней половины шара растекается к бесконечно
удаленным точкам, потенциал которых принимается за нулевой; б) ток с
нижней половины шара
растекается к внутренней поверхности
металлической полусферы радиуса rсф = 700 мм,
которой заменен бак
установки и потенциал которой также принимается равным нулю.
5. Вычислить и построить зависимость R (сопротивление растекания
тока R умноженное на удельную проводимость воды ) как функцию
глубины погружения для варианта, указанного в табл. 2.
Примечание: Глубина воды в баке около 600 мм.
Таблица 2
№
бригады.
Cхема
(рис.8)
Цилиндр
( рис.3)
Расст.
D, см
I
II
III
IV
V
VI
VII
VIII
IX
X
XI
XII
а
а
б
б
б
б
б
в
в
в
в
в
в
д
в, д
в, д
в, д
25
30
д
два
20
в, д
20
в
два
20
в, д
-
д
два
20
в, д
-
в
два
20
20
25
30
5. Рабочее задание
1. Определить удельную проводимость воды :
а) измеряя сопротивление водяного резистора Ra с плоскими
параллельными дисками (см. рис.2,а);
б) измеряя сопротивление водяного резистора Rб с цилиндрической
коаксиальной системой (см. рис.2,б). При этом измерении необходимо
измерить высоту залитой в сосуд воды, которая играет роль длины
коаксиальной системы и обозначается в работе как l.
в) измеряя сопротивление водяного резистора Rв (имеется на стенде).
Удельную проводимость воды в баке  вычислить как среднее
арифметическое значение проводимостей трех измерений.
38
2. Измерить сопротивление растекания тока с шара, погруженного в
воду: а) до середины, б) до верхней кромки, в) на достаточную глубину.
По известной из п.1 удельной проводимости воды  вычислить
теоретические значения сопротивлений в указанных трех случаях и
сопоставить с экспериментальными результатами. Результат свести в
таблицу.
Примечание. Теоретически в п.(б) сопротивление должно уменьшиться в 2ln2 раз по
сравнению с п. (а).
3. Измерить сопротивление растекания тока с цилиндров, изменяя
глубину их погружения, для своего варианта, соответствующего п. 5
«Подготовки». Для реализации малой глубины погружения (0…180 мм)
следует использовать короткие цилиндры (см. рис. 3,б или 3,г в зависимости
от варианта). Дополнить экспериментальные данные расчетными данными
при известной величине  (см. п.5 «Подготовки») и построить графики.
4. Измерить сопротивление растекания с цилиндров п.3, изменяя
расстояние между осями цилиндров D, при постоянной глубине погружения,
указанной преподавателем. Построить график полученной зависимости.
Примечание. Бригады I и II (см. табл.2) выполняют задание с двумя одинаковыми
цилиндрами cсоответствующими их варианту.
5. Снять зависимость распределения потенциала на поверхности воды
для полусферического заземлителя как функцию расстояния от его центра.
В качестве источника используется генератор ГЗ-34 с напряжением U=10 B и
частотой f = 1кГц. Экспериментальные точки нанести на график п.4
«Подготовки».
6. Снять зависимость распределения потенциала на поверхности воды
для одного из трех вариантов (см. рис.3, е, ж, з) по указанию преподавателя
при двух углах поворота заземлителя вокруг вертикальной оси, дающих
экстремальные значения зависимости. Измерения выполнить при двух
значениях глубины погружения заземлителя.
6. Вопросы для самопроверки
1. Какое устройство называют заземлителем ?
2. Что понимают под сопротивлением заземлителя?
3. От каких факторов зависит сопротивление заземлителя? Каким его стремятся
сделать по величине? Какими способами?
4. Какое поле называют стационарным электрическим полем?
5. Что понимают под аналогией электростатического поля и стационарного
электрического? Назовите величины-аналоги.
6. Какое соотношение между удельным сопротивлением проводника и его
удельной проводимостью? Зависит ли это соотношение от формы проводника?
7. Имеется проводящий параллелепипед. Зависит ли измеряемое сопротивление,
если два электрода измерительного прибора прикладывать к различным граням?
8. Оказывают ли влияние стенки бака на измеряемые в воде сопротивления?
9. Изменится ли результат измерений сопротивлений в баке, если стенки бака
будут непроводящими?
39
10. Если проводимость воды  изменится в два раза, то как изменятся результаты
измерений?
11 Почему сопротивление водяного резистора с плоскими электродами (см. рис.
2,а) не зависит от высоты залитой в сосуд воды, если ее уровень больше l?
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Нейман Л.Р., Демирчян К.С., Юринов В.М. Руководство к лаборатории
электромагнитного поля. М.: Высш. шк., 1966. С. 191–204.
2. Нейман Л.Р., Демирчян К.С., Теоретические основы электротехники. Т.2.
Л.: Энергоиздат, 1966. С. 274–279.
3. Электротехнический справочник/ Под общ. ред. В.Г. Герасимова. М.:
Энергоатомиздат, 1985. Т.1. С. 367–376.
40