Б2. Б1. УТВЕРЖДАЮ СОГЛАСОВАНО
реклама
АВТОНОМНАЯ НЕКОММЕРЧЕСКАЯ ОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ОРГАНИЗАЦИЯ
ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
« ИНДУСТРИАЛЬНЫЙ ИНСТИТУТ »
Кафедра математических и естественнонаучных дисциплин
РАБОЧАЯ ПРОГРАММА УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ
Математика
Б2. Б1.
УТВЕРЖДАЮ
Проректор по научно – методической
работе__________________М.В.Кузнецова
(подпись, расшифровка подписи)
«__»_______201__ г.
СОГЛАСОВАНО
Заведующий кафедрой математических и
естественнонаучных дисциплин
_____________________Т.Ю.Ходаковская
(подпись, расшифровка подписи)
протокол №_1_от «__»_______201__ г.
Направление подготовки 38.03.02(080200.62) менеджмент
Профиль подготовки: управление малым бизнесом
Квалификация (степень) выпускника бакалавр
Форма обучения: очная
Курск – 201_
1
Составитель: Ходаковская Т. Ю.
Рабочая программа курса «Математика» предназначена для студентов очной формы
обучения, студентов по направлению бакалавриата 38.03.02(080200.62) «Менеджмент».
Дисциплина
«Математика»
входит
в
базовую
часть
математического
и
естественнонаучного цикла (Б.2.Б.1.).
Рабочая программа составлена на основании Федерального государственного
образовательного стандарта высшего профессионального образования по направлению
38.03.02(080200.62)
«Менеджмент»
(квалификация
(степень)
«бакалавр»),
утвержденного приказом Министерства образования и науки РФ от 20 мая 2010 г.
№544.
Рабочая
программа
утверждена
на
заседании
кафедры
математических
естественнонаучных дисциплин протокол № 1 от «__»_______201__ г.
Заведующий кафедрой
математических и естественнонаучных дисциплин
_____________________ Т.Ю.Ходаковская
2
и
Содержание
Название раздела программы
1
Перечень планируемых результатов обучения по дисциплине (модулю),
соотнесенных с планируемыми результатами освоения образовательной
программы
2
Место дисциплины в структуре ООП ВПО
3
Объем дисциплины (модуля) в зачетных единицах с указанием количества
академических часов, выделенных на контактную работу обучающихся с
преподавателем (по видам занятий) и на самостоятельную работу
обучающихся
4
Содержание дисциплины (модуля), структурированное по темам (разделам) с
указанием отведенного на них количества академических часов и видов
учебных занятий
5
Перечень учебно-методического обеспечения для самостоятельной работы
обучающихся по дисциплине (модулю)
6
Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации
обучающихся по дисциплине (модулю)
7
Перечень основной и дополнительной учебной литературы, необходимой для
освоения дисциплины (модуля)
8
Перечень ресурсов информационно-телекоммуникационной сети "Интернет"
(далее - сеть "Интернет"), необходимых для освоения дисциплины
(модуля)*
9
Методические указания для обучающихся по освоению дисциплины
(модуля)
10
Перечень информационных технологий, используемых при осуществлении
образовательного процесса по дисциплине (модулю), включая перечень
программного обеспечения и информационных справочных систем (при
необходимости)
11
Описание материально-технической базы, необходимой для осуществления
образовательного процесса по дисциплине (модулю)
3
с.
4
5
6
6
36
36
57
57
57
68
68
1 Перечень планируемых результатов обучения по дисциплине (модулю),
соотнесенных с планируемыми результатами освоения образовательной
программы
В результате освоения дисциплины обучающийся должен овладеть следующими
знаниями, умениями и навыками:
Коды
Результаты освоения
Перечень планируемых
компетенций
ООП
результатов обучения по
по ФГОС
дисциплине
ОК-15
владеть
методами Знать: теоретические основы и
количественного
анализа
и инструменты
фундаментальных
моделирования, теоретического методов
линейной
алгебры,
и
экспериментального аналитической
геометрии,
исследования
дифференциального
и
интегрального
исчисления;
основные принципы построения
математических моделей.
Уметь:
решать
типовые
математические задачи и задачи,
используемые
при
принятии
управленческих
решений;
применять
методы
линейной
алгебры и математического анализа
для решения экономических задач;
использовать математический язык
и математическую символику, в том
числе
и
при
построении
организационно-управленческих
моделей;
Владеть: навыками применения
современного
математического
инструментария
для
решения
экономических
задач;
математическими
методами
решения типовых организационноуправленческих задач
ПК-31
умением
применять Знать:
основы
алгебры
и
количественные и качественные геометрии,
математического
методы анализа при принятии анализа и дискретной
управленческих
решений
и математики.
Основные
строить
экономические, математические методы и модели
финансовые и организационно- принятия решений.
управленческие модели
Уметь:
решать
типовые
математические
задачи,
используемые при принятии
управленческих
решений.
Использовать математический язык
и математическую символику при
построении
организационноуправленческих моделей.
4
ПК-32
способностью
выбирать
математические
модели
организационных
систем,
анализировать их адекватность,
проводить адаптацию моделей к
конкретным задачам управления
Владеть:
математическими
методами
решения
типовых
управленческих задач.
Знать: принципы математических
рассуждений и математических
доказательств;
математическую
символику
для
выражения
количественных и качественных
отношений
между
элементами
математических моделей;
Уметь:
решать
типовые
математические
задачи,
используемые
при
принятии
управленческих решений;
исследовать функции на локальный
и
глобальный
экстремум;
обрабатывать
эмпирические
и
статистические данные с целью
выявления
существующих
закономерностей;
Владеть:
вероятностностатистическими
методами
количественной
оценки
вероятностей случайных событий,
числовых характеристик случайных
величин, параметров известных
распределений
для
решения
типовых
организационноуправленческих задач.
2 Место дисциплины в структуре ООП ВПО
Дисциплина относится к базовой части учебного цикла – Б2 Математический и
естественно - научный цикл.
Изучение
существенно
дисциплины
использует
все
базируется
на
разделы
курса
школьном
курсе
математики
математики
средней
и
(полной)
общеобразовательной школы: алгебру, геометрию и начала математического анализа.
Для успешного освоения дисциплины «Математика» обучающиеся должны
достаточно твердо знать и осознанно использовать основные математические понятия,
такие как: множество, уравнение, функция и т.д.; владеть навыками проведения
математических рассуждений, элементарными методами решения алгебраических и
неалгебраических уравнений, неравенств и исследования функций.
5
Освоение дисциплины является основой для изучения информатики, теории
вероятностей и математической статистики, методов принятия управленческих
решений.
3 Объем дисциплины (модуля) в зачетных единицах с указанием количества
академических часов, выделенных на контактную работу обучающихся с
преподавателем (по видам занятий) и на самостоятельную работу обучающихся
Общая трудоемкость дисциплины составляет 8 зачетных единиц (288 часов)
Вид работы
Трудоемкость, часов для очной формы
обучения
1 семестр
2 семестр
Всего
Общая трудоемкость
90
198
288
Аудиторная работа:
72
95
167
Лекции (Л)
32
38
70
Практические занятия (ПЗ)
40
57
97
Лабораторные работы (ЛР)
-
Самостоятельная работа:
18
67
85
Подготовка и сдача экзамена
-
36
36
Вид итогового контроля (зачет, экзамен)
Зачет
Экзамен
4 Содержание дисциплины (модуля), структурированное по темам (разделам) с
указанием отведенного на них количества академических часов и видов учебных
занятий
4.1. Разделы дисциплины (модуля) и трудоемкость по видам учебных занятий (в
академических часах) для очной формы обучения
Разделы дисциплины, изучаемые в 1 семестре
Количество часов
№
раз-
Наименование
разделов
Всего
дела
Аудиторная
Вне-
работа
ауд.
Л
ПЗ
/интер.ф /интер.ф
1
2
3
4
5
1
Линейная алгебра
22
8/4
10/4
6
ЛР
6
работа
СР
7
4
2
Аналитическая геометрия
3
Дифференциальное
22
исчисление
функций одной переменной
4
Дифференциальное
исчисление
функций многих переменных
Итого:
22
24
90
8/4
10/4
4
8/2
10/4
4
8/2
10/3
6
32
40
18
Разделы дисциплины, изучаемые во 2 семестре
Количество часов
№
раз-
Наименование
разделов
Всего
дела
1
2
5
Интегральное исчисление функций
одной переменной
6
Интегральное исчисление функций
многих переменных
Аудиторная
Вне-
работа
ауд.
работа
Л/
ПЗ/
интер.ф
интер.ф
3
4
5
44
12/4
15/4
17
12/4
15/4
17
44
ЛР
6
СР
7
7
Дифференциальные уравнения
44
12/2
15/2
17
8
Ряды
30
2/2
12/5
16
Подготовка к экзамену
36
Всего за 2 семестра:
198
38
57
67
4.2. Содержание дисциплины (модуля), структурированное по темам (разделам)
Таблица 1 - Содержание разделов дисциплины
№
Наименование
раздела
раздела
1
2
Содержание
раздела
Форма текущего
контроля
3
4
7
1
Линейная алгебра
Матрицы и действия с ними.
Определители.
Устный
опрос,
Обратная письменный
матрица. Ранг матрицы.
Системы
опрос,
линейных самостоятельная
алгебраических
уравнений. работа,
Теорема Кронекера – Капелли. тестирование
Методы решения систем.
Линейные
векторные
пространства.
зависимость
Линейная
и
независимость
системы
векторов.
Преобразование
координат
вектора при переходе к новому
базису.
Линейные
операторы,
матрицы.
их
Преобразование
матрицы линейного оператора
при замене базиса. Собственные
значения и собственные векторы
линейного
оператора.
Квадратичные формы. Критерий
Сильвестра.
квадратичной
каноническому
Приведение
формы
к
виду
ортогональным
преобразованием.
1
2
3
4
8
2
Аналитическая
Декартовы
координаты. Устный
геометрия
Векторы. Базис. Операции над письменный
векторами.
опрос,
Скалярное опрос,
произведение.
Длина
вектора, самостоятельная
угол между двумя векторами. работа,
Ортогональность,
тестирование
коллинеарность,
компланарность.
Векторное
и
смешанное произведение.
Прямая и плоскость. Прямая на
плоскости. Расстояние от точки
до
прямой.
прямыми.
Угол
между
Угол
плоскостями.
между
Угол
между
прямой и плоскостью.
Кривые второго порядка.
3
Дифференциальное
Множества.
Операции
исчисление функции множествами.
одной переменной
над Устный
Отображения письменный
множеств.
Множество опрос,
вещественных чисел.
Функция.
самостоятельная
Числовые работа,
последовательности
пределы.
и
Предел
их тестирование
функции.
Непрерывность функции в точке.
Локальные
свойства
непрерывных функций. Свойства
функций,
непрерывных
на
отрезке.
Понятие
функции,
дифференцируемой
Дифференциал и
функции.
Точки
в
точке.
производная
экстремума
функции, теоремы Ферма, Ролля,
9
опрос,
Лагранжа, Коши. Исследование
функций
и
построение
их
графиков. Достаточные условия
экстремума.
Отыскание
наибольшего
и
наименьшего
значений функции. Выпуклость,
точки перегиба. Асимптоты.
4
Дифференциальное
Функции
нескольких Устный
исчисление функции переменных.
многих переменных
опрос,
Область письменный
определения,
предел, опрос,
непрерывность.
самостоятельная
Частные производные, полный работа,
дифференциал. Производная по тестирование
направлению,
градиент.
Экстремумы,
необходимое
условие, достаточное условие.
Условный экстремум.
5
Интегральное
Первообразная. Неопределенный Устный
исчисление функции интеграл.
одной переменной
опрос,
Методы письменный
интегрирования.
опрос,
Определенный интеграл Римана, самостоятельная
интегральная сумма. Теоремы о работа,
среднем значении
определенного
Интеграл
тестирование
интеграла.
как
функция
переменного верхнего предела.
Формула Ньютона – Лейбница.
Несобственные интегралы.
10
6
Интегральное
Задачи, приводящие к кратным Устный
опрос,
исчисление функций интегралам. Двойной интеграл. письменный
многих переменных
Теорема
существования. опрос,
Основные свойства. Вычисление самостоятельная
двойных
интегралов работа,
последовательным
тестирование
интегрированием.
Перемена
порядка интегрирования.
7
Дифференциальные
Задачи,
приводящие
к Устный
уравнения
дифференциальным уравнениям. письменный
Обыкновенное
опрос,
дифференциальное
(ОДУ).
уравнения самостоятельная
Интегральная
кривая. работа,
Задача Коши для ОДУ. Теорема
существования и единственности
решения задачи Коши. Общее и
частное решения. ОДУ высших
порядков. Понижение порядка.
Краевая задача. Однородное и
неоднородное
11
опрос,
ОДУ,
принцип
тестирование
суперпозиции
решений.
Фундаментальная
решений,
Вронского.
система
определитель
Метод
вариации
Лагранжа
произвольных
постоянных.
Построение
фундаментальной
системы
решений
корням.
по
характеристического уравнен.
Ряды
8
Числовые ряды, сходимость и Устный
опрос,
сумма ряда, действия с рядами. письменный
Функциональные
Степенные
ряды. опрос,
ряды,
сходимости.
радиус самостоятельная
Разложение работа,
функций в степенные ряды, ряды тестирование
Тейлора
и
Применение
Маклорена.
рядов
в
приближенных вычислениях.
4.3 Практические занятия (семинары)
Практическая работа №1. Линейная алгебра (10 часов)
Цель практических занятий – способствовать лучшему усвоению и закреплению
теоретических знаний, полученных из лекционного курса и изучения Литературы.
Только активная самостоятельная работа студентов в ходе изучения дисциплины
позволяет получить и закрепить навык использования изучаемых математических
методов;
применять
классические
методы
Линейной
практических задач экономико-управленческого содержания.
Реализуемые компетенции: ОК-15, ПК-32.
План
1.
Определители квадратной матрицы и их свойства.
12
алгебры
для
решения
2.
Теоремы Лапласа и аннулирования.
3. Понятие обратной матрицы. Единственность обратной матрицы.
4. Алгоритм построения обратной матрицы.
Литература:
1.Кремер Н.Ш. Высшая математика для экономистов [Электронный ресурс]: учебник/
Кремер Н.Ш., Путко Б.А., Тришин И.М.— Электрон. текстовые данные.— М.:
ЮНИТИ-ДАНА, 2012.— 479 c.— Режим доступа: http://www.iprbookshop.ru/12847.—
ЭБС «IPRbooks». Гл.1.
2.Кузнецов Б.Т. Математика [Электронный ресурс]: учебник/ Кузнецов Б.Т.—
Электрон. текстовые данные.— М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2010.— 719 c.— Режим
доступа: http://www.iprbookshop.ru/8092.— ЭБС «IPRbooks». с.44-102.
3.Малыхин В.И. Финансовая математика [Электронный ресурс]: учебное пособие/
Малыхин В.И.— Электрон. текстовые данные.— М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2012.— 236 c.—
Режим доступа: http://www.iprbookshop.ru/10523.— ЭБС «IPRbooks».
ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ
Ситуационные задачи
Задача о фермере.
Вариант 1:
Представьте, что вы фермер и вложили в прошлом году в зерноводство,
животноводство и овощеводство всего 10 млн.д.е. и получил 780 тыс.д.е. прибыли. В
текущем году он собирается увеличить вложения в зерноводство в 2 раза, в
животноводство в 3 раза, а вложения в овощеводство оставить на прошлогоднем
уровне. На все это фермер выделяет 22 млн.д.е. Какую прибыль собирается получить
фермер в текущем году, если зерноводство приносит 10% прибыли на вложенные
средства, животноводство 8% и овощеводство 6%?
Вариант 2:
Рассмотрим задачу из примера 1 со следующими изменениями: зерноводство приносит
8% прибыли на вложенные средства, животноводство 10% и овощеводство 6%.
Вариант 3:
Рассмотрим задачу из примера 2 со следующими изменениями: Фермер получил
840 тыс.д.е. прибыли
13
Задачи
Матрицы и действия над ними
1.
а)
Найти сумму, разность, произведения двух матриц А и В.
,
;
б)
,
в)
;
,
;
г)
,
д)
,
е)
,
ж)
,
;
;
;
;
14
з)
,
;
и)
2.
,
Доказать, что матрицы А и В коммутирующие.
а)
3.
; б)
,
,
б)
.
,
,
;
,
.
Вычислить (3А 2В)·С, если
,
5.
,
Даны матрицы А. В и С. Показать, что (АВ)·С=А·(ВС).
а)
4.
.
Найти
,
.
, если
15
а)
6.
; б)
.
Найти матрицу Х, если 3А+2Х=В, где
,
.
7.
Найти АВС, если
а)
,
б)
,
,
;
,
.
8. Составить матрицу квадратичной формы
.
9. Восстановить квадратичную форму по заданной матрице
. Каждая ли из заданных
матриц может соответствовать некоторой квадратичной форме? Почему?
А)
; б)
.
10. Задана квадратичная форма
форму
,
. Найти квадратичную
, полученную из данной линейным преобразованием:
.
16
Практическая работа №2. Аналитическая геометрия (10 часов)
Цель практических занятий – познакомиться с основными понятиями,
связанными с геометрическими векторами; научиться складывать и умножать векторы
на число; изучить операции скалярного, векторного и смешанного умножения
векторов, их свойства и применение к решению геометрических задач; вывести
уравнение
плоскости
с
данным
нормальным
вектором;
канонические
и
параметрические уравнения прямой в пространстве; научиться решать задачи
аналитической
геометрии,
используя
полученные
результаты
и
операции
с
геометрическими векторами.
Реализуемые компетенции: ОК-15.
План.
1. Векторы, операции над векторами.
2. Уравнение прямой. Уравнение плоскости.
3. Кривые второго порядка.
Литература:
1.Кремер Н.Ш. Высшая математика для экономистов [Электронный ресурс]: учебник/
Кремер Н.Ш., Путко Б.А., Тришин И.М.— Электрон. текстовые данные.— М.:
ЮНИТИ-ДАНА, 2012.— 479 c.— Режим доступа: http://www.iprbookshop.ru/12847.—
ЭБС «IPRbooks». Гл.2.
2.Кузнецов Б.Т. Математика [Электронный ресурс]: учебник/ Кузнецов Б.Т.—
Электрон. текстовые данные.— М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2010.— 719 c.— Режим
доступа: http://www.iprbookshop.ru/8092.— ЭБС «IPRbooks». с.114-187.
3.Малыхин В.И. Финансовая математика [Электронный ресурс]: учебное пособие/
Малыхин В.И.— Электрон. текстовые данные.— М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2012.— 236 c.—
Режим доступа: http://www.iprbookshop.ru/10523.— ЭБС «IPRbooks».с.77-98.
ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ
1. Найти вектор, выраженный через заданный Для данного вектора а найти
вектор b, такой что а
вектор с, такой что а
b, |b|=2∙|a|;
с, |с|=|a|/4;
вектор d, такой что a||d, |d|=3∙|a|;
вектор e, такой что a
e, |e|=1.
17
2. Разложение вектора в заданном базисе
Пусть в декартовой системе координат a={1,0,1}, b={0,2,-1}, c={3,1,0}, d={-1,0,4}.
а) Выяснить, будет ли тройка a, b, c линейно независима.
б) разложить вектор d по базису B: a, b, c; записать координаты d в этом базисе.
3. Найти угол между векторами
Пусть в декартовой системе координат а={2,1,0}, b={3,-2,
}, c={-4,-2,0}. Найти угол
между векторами
а) a и b;
б) а и с.
4. Написать канонические и параметрические уравнения прямой, параллельной
заданной прямой и проходящей через заданную точку.
Написать
канонические
прямой
и
параметрические
уравнения
прямой,
параллельной
, проходящей через точку М(1,2,3).
5. Найти точку пересечения прямой и плоскости
Найти точку А пересечения прямой
и плоскости 2x–y+3z+3 = 0.
6. Найти расстояние от точки до плоскости
Найти расстояние от точки (1,3,2) до плоскости 3x + y + z – 6 = 0
7. Найти полярные координаты точки M с декартовыми координатами (
) при
условии, что начала координат совпадают, а полярная ось совпадает с положительной
частью оси абсцисс.
8. Найти декартовы координаты точки M с полярными координатами (
) при
условии, что начала координат совпадают, а полярная ось совпадает с положительной
частью оси абсцисс.
9. В декартовой системе координат поверхность задана уравнением
Перепишем это уравнение в цилиндрической системе координат.
18
.
10. В декартовой системе координат поверхность задана уравнением
.
Перепишем это уравнение в сферической системе координат.
Практическая работа №3. Дифференциальное исчисление функций одной
переменной (10часов)
Цель
практических
занятий
–
закрепление
теоретического
материала
дисциплины, овладение методами решения задач.
Реализуемые компетенции: ОК-15, ПК-31.
План.
1. Предел числовой последовательности
2. Предел функции. Вычисление пределов функции.
3. Непрерывность функции в точке.
4. Вычисление производных. Производная сложной функции.
5. Дифференциал функции и его приложения к приближенным вычислениям.
6. Исследование поведения функций и построение графиков.
Литература:
3.Кремер Н.Ш. Высшая математика для экономистов [Электронный ресурс]: учебник/
Кремер Н.Ш., Путко Б.А., Тришин И.М.— Электрон. текстовые данные.— М.:
ЮНИТИ-ДАНА, 2012.— 479 c.— Режим доступа: http://www.iprbookshop.ru/12847.—
ЭБС «IPRbooks». Гл.3. п.3.4.-3.6.
4.Кузнецов Б.Т. Математика [Электронный ресурс]: учебник/ Кузнецов Б.Т.—
Электрон. текстовые данные.— М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2010.— 719 c.— Режим
доступа: http://www.iprbookshop.ru/8092.— ЭБС «IPRbooks». с.221-289.
3.Малыхин В.И. Финансовая математика [Электронный ресурс]: учебное пособие/
Малыхин В.И.— Электрон. текстовые данные.— М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2012.— 236 c.—
Режим доступа: http://www.iprbookshop.ru/10523.— ЭБС «IPRbooks».с.111-118.
ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ
19
1.Определить
максимальное
приращение
приращение Δf(x0) функции
Δx аргумента x и
соответствующее
в точке x0 = 1, если x изменяется от 1 до
1000.
2.Определить максимальное по абсолютной величине приращение Δx аргумента x и
соответствующее
приращение
Δf(x0)
функции
в
точке x0 =
0,01,
если x изменяется от 0,01 до 0,001.
3.Переменная x получает приращение Δx в точке x0, т. е. Δx = x - x0. Определить
приращение
Δf(x0),
; в)
; б)
.
если: а)
4.Найти f'(1),
; в)
5.Доказать,
если а)
; б)
; г)
что
.
вектор-функция
,
где
не имеет производной в точке x = 0.
6.Найти производную функции
.
7.Найти производную функции
.
8.Найти производную функции
.
20
9.Найти производную от вектор-функции
10.
Найти
производную
от
.
матричной
функции
,
где
a22(x)
=
|x|.
Практическая работа №4. Дифференциальное исчисление функций многих
переменных (10часов)
Цель
практических
занятий
–
закрепление
теоретического
материала
дисциплины, овладение методами решения задач.
Реализуемые компетенции: ОК-15, ПК-31.
План.
1.Функции 2-х переменных. Частные производные. Производная по направлению.
Градиент.
2.Экстремумы функции 2-х переменных
Литература:
1.Кремер Н.Ш. Высшая математика для экономистов [Электронный ресурс]: учебник/
Кремер Н.Ш., Путко Б.А., Тришин И.М.— Электрон. Текстовые данные.— М.:
ЮНИТИ-ДАНА, 2012.— 479 c.— Режим доступа: http://www.iprbookshop.ru/12847.—
ЭБС «IPRbooks». Гл.3. п.3.7.-3.9.
2.Кузнецов Б.Т. Математика [Электронный ресурс]: учебник/ Кузнецов Б.Т.—
Электрон. текстовые данные.— М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2010.— 719 c.— Режим
доступа: http://www.iprbookshop.ru/8092.— ЭБС «IPRbooks». с.301-330.
3.Малыхин В.И. Финансовая математика [Электронный ресурс]: учебное пособие/
Малыхин В.И.— Электрон. текстовые данные.— М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2012.— 236 c.—
Режим доступа: http://www.iprbookshop.ru/10523.— ЭБС «IPRbooks».с.120-130.
21
ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ
1. Исследовать на экстремум функцию Z=-4+6X-X2-Xy-Y2.
2. Написать
уравнение
касательной
плоскости
и
уравнение
нормали
к
поверхности 3ху2-2уZ+4Xz-2=0 в точке М0 (х0;у0;Z0), если Х0=-1 и У0=2.
3. Найти
наибольшее
и
наименьшее
значения
функции Z=X2+2Y2-2X-8Y+5 в
замкнутом треугольнике АОВ, ограниченном осями координат и прямой Х+у4=0 (рис. 1).
Рис. 1
4. Дан
интеграл
Требуется:
1)
построить
на
плоскости ХОу область интегрирования D; 2) изменить порядок интегрирования; 3)
вычислить
площадь
области D при
заданном
интегрирования.
5. Найти функцию U (Х, у), если ее дифференциал
22
и
измененном
порядке
6. Дана функция
, Показать, что
7.
8.
9.
10.
Практическая работа №5. Интегральное исчисление функции одной переменной
(15часов)
Цель практических занятий – научить студентов самостоятельно решать задачи
по курсу математического анализа (функции одной переменной).
Реализуемые компетенции: ОК-15, ПК-31.
План.
1. Вычисление неопределенных интегралов. Метод замены. Формула интегрирования
по частям.
2. Интегрирование рациональных функций.
23
3. Интегрирование некоторых классов иррациональных и тригонометрических
функций
4. Определенный интеграл и его приложения.
5. Несобственные интегралы 1-го и 2-го рода.
Литература:
1.Кремер Н.Ш. Высшая математика для экономистов [Электронный ресурс]: учебник/
Кремер Н.Ш., Путко Б.А., Тришин И.М.— Электрон. Текстовые данные.— М.:
ЮНИТИ-ДАНА, 2012.— 479 c.— Режим доступа: http://www.iprbookshop.ru/12847.—
ЭБС «IPRbooks». Гл.4. п.4.1.-4.5.
2.Кузнецов Б.Т. Математика [Электронный ресурс]: учебник/ Кузнецов Б.Т.—
Электрон. текстовые данные.— М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2010.— 719 c.— Режим
доступа: http://www.iprbookshop.ru/8092.— ЭБС «IPRbooks». с.344-380.
3.Малыхин В.И. Финансовая математика [Электронный ресурс]: учебное пособие/
Малыхин В.И.— Электрон. текстовые данные.— М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2012.— 236 c.—
Режим доступа: http://www.iprbookshop.ru/10523.— ЭБС «IPRbooks».с.140-145.
ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ
Задача 1. Вычислить интеграл:
А)
Б)
В)
Г)
Д)
Е)
Ж)
З)
И)
К)
М)
Л)
24
Н)
О)
Р)
П)
Т)
С)
У)
Ф)
Задача 2. Вычислить несобственные интегралы или установить их расходимость.
А)
Б)
Задача 3. Вычислить:
А) площадь фигуры, ограниченной линиями:
и
;
Б) длину дуги кривой:
,
В) объем тела, полученного вращением фигуры
оси
, вокруг
.
Задача 4. Найдите ту первообразную функции
график которой касается
прямой
Задача 5. Найдите те первообразные функции
имеют с графиком функции
графики которых
ровно две общие точки.
Задача 6. Найдите функцию, если угловой коэффициент касательной к её графику в
точке с абсциссой
определяется по формуле
точку
25
а график проходит через
Задача 7. Точка движется прямолинейно с ускорением
закон движения точки, если в момент
Найдите
её скорость равна 10
а координата
равна 8м.
Задача 8. Пользуясь основной таблицей интегралов, вычислите следующие интегралы:
а)
б)
в)
г)
д)
е)
ж)
Задача 9. Пользуясь свойствами неопределённого интеграла, вычислите следующие
интегралы:
а)
б)
в)
г)
д)
Задача
10.
Вычислите
интегралы,
используя
следующее
правило
интегрирования:
а)
б)
в)
г)
д)
е)
Практическая работа №6. Интегральное исчисление функций многих переменных
(15часов)
Цель практических занятий – научить студентов самостоятельно решать задачи
по курсу математического анализа (функций многих переменных).
Реализуемые компетенции: ОК-15, ПК-31.
ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ
1. Изменить порядок интегрирования.
26
2.Вычислить.
3. Вычислить.
4. Найти площадь фигуры, ограниченной данными линиями.
5. найти площадь фигуры, ограниченной данными линиями.
6.
пластинка
задана
ограничивающими
- поверхностная плотность. найти массу пластинки.
27
ее
кривыми,
7.пластинка
задана
ограничивающими
ее
кривыми,
- поверхностная плотность. найти массу пластинки.
8.вычислить.
9. вычислить.
10.найти объем тела, заданного ограничивающими его поверхностями.
11.найти объем тела, заданного ограничивающими его поверхностями.
12.найти объем тела, заданного ограничивающими его поверхностями.
28
13. найти объем тела, заданного ограничивающими его поверхностями.
14. найти объем тела, заданного ограничивающими его поверхностями.
15. найти объем тела, заданного неравенствами.
16.
тело
задано
ограничивающими
его
поверхностями,
- плотность. найти массу тела.
Практическая работа №7. Дифференциальные уравнения
(15часо)
29
Цель практических занятий – познакомить с методами решения дифференциальных
уравнений.
Реализуемые компетенции: ОК-15.
План.
1. Системы линейных дифференциальных уравнений. Метод исключения.
2. Системы линейных дифференциальных уравнений. Метод вариации.
3. Системы линейных однородных дифференциальных уравнений с постоянными
коэффициентами.
4. Системы линейных неоднородных дифференциальных уравнений с постоянными
коэффициентами.
Литература:
1.Кремер Н.Ш. Высшая математика для экономистов [Электронный ресурс]: учебник/
Кремер Н.Ш., Путко Б.А., Тришин И.М.— Электрон. Текстовые данные.— М.:
ЮНИТИ-ДАНА, 2012.— 479 c.— Режим доступа: http://www.iprbookshop.ru/12847.—
ЭБС «IPRbooks». Гл.5.
2.Кузнецов Б.Т. Математика [Электронный ресурс]: учебник/ Кузнецов Б.Т.—
Электрон. текстовые данные.— М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2010.— 719 c.— Режим
доступа: http://www.iprbookshop.ru/8092.— ЭБС «IPRbooks». с.501-532.
3.Малыхин В.И. Финансовая математика [Электронный ресурс]: учебное пособие/
Малыхин В.И.— Электрон. текстовые данные.— М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2012.— 236 c.—
Режим доступа: http://www.iprbookshop.ru/10523.— ЭБС «IPRbooks».с.151-166.
ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ
Задача 1. Найти общее решение линейного дифференциального уравнения первого
порядка
Задача 2. Решить однородное дифференциальное уравнение
30
Задача
3. Решить
дифференциальное
переменными
Задача
разделяющимися
.
4. Решить
5. Решить
Задача
с
. Найти частное решение, удовлетворяющее
начальному условию
Задача
уравнение
6. Решить
дифференциальное
однородное
линейное
уравнение
дифференциальное
дифференциальное
уравнение
уравнение
первого
порядка
Задача 7. Решить дифференциальное уравнение
Задача 8. Решить задачу Коши
Задача 9. Решить дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными
коэффициентами
Задача 10. Решить задачу Коши для дифференциального уравнения второго порядка
с
постоянными
коэффициентами
методом
вариации:
Практическая работа №8. Ряды
(2 часа)
Цель практических занятий – познакомить с методами решения дифференциальных
уравнений.
Реализуемые компетенции: ОК-15.
План.
1. Разложение функций в степенные ряды.
31
2. Применение рядов в приближенных вычислениях.
Литература:
1.Кремер Н.Ш. Высшая математика для экономистов [Электронный ресурс]: учебник/
Кремер Н.Ш., Путко Б.А., Тришин И.М.— Электрон. Текстовые данные.— М.:
ЮНИТИ-ДАНА, 2012.— 479 c.— Режим доступа: http://www.iprbookshop.ru/12847.—
ЭБС «IPRbooks». Гл.6.
2.Кузнецов Б.Т. Математика [Электронный ресурс]: учебник/ Кузнецов Б.Т.—
Электрон. текстовые данные.— М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2010.— 719 c.— Режим
доступа: http://www.iprbookshop.ru/8092.— ЭБС «IPRbooks». с.612-688.
3.Малыхин В.И. Финансовая математика [Электронный ресурс]: учебное пособие/
Малыхин В.И.— Электрон. текстовые данные.— М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2012.— 236 c.—
Режим доступа: http://www.iprbookshop.ru/10523.— ЭБС «IPRbooks».с.168-200.
ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ
Пример 1. Исследовать на сходимость числовые ряды:
А)
Б)
В)
Г)
Д)
32
Е)
Ж)
З)
Пример2. Найти область сходимости ряда
Пример 3. Вычислить с точностью
.
интеграл
33
.
Пример 4. Найти три первые (отличные от 0) члена разложения в степенной ряд решения
задачи Коши
.
Пример 5. Разложить данную функцию в ряд Фурье
А)
в интервале (-2, 2):
Б)
по синусам на интервале
Задача 1. Найти сумму ряда.
1.1.
1.2.
1.3.
1.4.
1.5.
1.6.
1.7.
1.8.
1.9.
1.10.
1.11.
1.12.
1.13.
1.14.
1.15.
1.16.
34
.
1.17.
1.18.
1.19.
1.20.
1.21.
1.22.
1.23.
1.24.
1.25.
1.26.
1.27.
1.28.
1.29.
1.30.
1.31.
4.4. Интерактивные образовательные технологии, используемые в аудиторных
занятиях
Удельный вес занятий, проводимых в интерактивных формах, должен составлять
не менее 30 процентов от всего объема аудиторных занятий.
Интерактивные образовательные технологии, используемые в аудиторных занятиях
Вид
занятия
Используемые
(Л, ПР,
образовательные технологии
Семестр
интерактивные
Количество
часов
ЛР)
1
Л
Лекции - визуализации
12
ПР
Групповые и индивидуальные тренинги
15
35
2
Л
Лекции - визуализации
12
ПР
Групповые и индивидуальные тренинги
15
Информационные технологии
Итого:
5 Перечень учебно-методического
обучающихся по дисциплине
54
обеспечения
для
самостоятельной
работы
Помимо рекомендованной основной и дополнительной литературы, в процессе
самостоятельной работы студенты могут пользоваться следующими методическими
материалами:
Шапкин А.С. Задачи по высшей математике, теории вероятностей, математической
статистике, математическому программированию с решениями [Электронный ресурс]:
учебное пособие/ Шапкин А.С., Шапкин В.А.— Электрон. текстовые данные.— М.:
Дашков и К, 2010.— 432 c.— Режим доступа: http://www.iprbookshop.ru/5103.— ЭБС
«IPRbooks»
Медведева О.С. Психолого-педагогические основы обучения математике. Теория,
методика, практика [Электронный ресурс]: учебное пособие/ Медведева О.С.— Электрон.
текстовые данные.— М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2011.— 205 c.— Режим доступа:
http://www.iprbookshop.ru/6533.— ЭБС «IPRbooks»
Сдвижков О.А. Математика в Excel 2003 [Электронный ресурс]: учебное пособие/
Сдвижков О.А.— Электрон. текстовые данные.— М.: СОЛОН-ПРЕСС, 2009.— 193 c.—
Режим доступа: http://www.iprbookshop.ru/8667.— ЭБС «IPRbooks»
6 Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся
по дисциплине (модулю)
(Перечень компетенций с указанием этапов их формирования; описание
показателей и критериев оценивания компетенций на различных этапах их формирования,
описание шкал оценивания; типовые контрольные задания или иные материалы,
необходимые для оценки знаний, умений, навыков и (или) опыта деятельности,
характеризующих этапы формирования компетенций в процессе освоения
образовательной программы; методические материалы, определяющие процедуры
оценивания знаний, умений, навыков и (или) опыта деятельности, характеризующих
этапы формирования компетенций).
Критерии оценок
В основе оценки знаний по предмету лежат следующие основные требования:
освоение всех разделов теоретического курса Программы;
умение применять полученные знания к решению конкретных задач.
Ответ заслуживает отличной оценки, если экзаменуемый показывает знания, в
полной степени, отвечающие предъявляемым к ответу требованиям: это требование
основных понятий и приемов решения задач. Отличная оценка характеризует свободную
ориентацию экзаменуемого в предмете. Ответы на вопросы, в том числе и
дополнительные, должны обнаруживать уверенное владение терминологией, основными
умениями и навыками.
36
Хорошая оценка характеризует тот ответ, который не в полной степени
удовлетворяет вышеперечисленным критериям, однако, экзаменуемый обнаруживает
прочные знания в объеме курса. Ответ должен быть достаточно аргументирован, вопросы
глубоко и осмысленно изложены.
Оценка «удовлетворительно» выставляется за то, что ответ экзаменуемого
соотносится с основными требованиями, т.е. имеются в виду твердые знания в объеме
учебной программы и умение владеть терминологией. Удовлетворительная оценка
выставляется за знание в целом, однако, отдельные детали могут быть упущены.
Неудовлетворительная оценка выставляется, если ответ не удовлетворяет хотя бы
одному из требований или отсутствуют знания основных понятий и методов решения
задач.
6.1 Контрольные вопросы для зачета по дисциплине
Раздел 1 Линейная алгебра
1) Матрицы, виды матриц. Линейные операции над матрицами.
2) Умножение матриц. Свойства умножения матриц.
3) Обратная матрица.
4) Минор, базисный минор матрицы.
5) Теорема о базисном миноре.
6) Ранг матрицы. Теорема о ранге матрицы.
7) Элементарные преобразования матрицы.
8) Теорема об элементарных преобразованиях матрицы.
9) Определители 2-го, 3-го, n-го порядков. Их свойства.
10) Правило Крамера.
11) Метод Гаусса.
12) Теорема Кронекера-Капелли.
13) Однородная система m линейных алгебраических уравнений с n неизвестными.
Свойства ее решений.
14) Теорема о структуре общего решения однородной системы линейных алгебраических
уравнений.
15) Теорема
о
структуре
общего
решения
неоднородной
системы
линейных
алгебраических уравнений.
16) Определение линейного пространства. Примеры линейных пространств.
17) Базис и размерность линейного пространства.
18) Операции над векторами в координатной форме в линейном пространстве.
Преобразование координат вектора при переходе к новому базису.
19) Определение линейного оператора.
20) Матрица линейного оператора в данном базисе.
37
21) Нахождение собственных значений и собственных векторов линейного оператора.
22) Матрица и ранг квадратичной формы.
23) Преобразование квадратичных форм при переходе от одного базиса к другому.
24) Ортогональное преобразование квадратичной формы к каноническому виду.
25) Типы квадратичных форм.
26) Критерий Сильвестра.
Раздел 2 Аналитическая геометрия
1)
Декартова система координат в пространстве R3. Вывести формулы деления
отрезка в данном отношении.
2)
Общее уравнение плоскости.
3)
Уравнение плоскости, проходящей через данную точку М0
4)
Уравнение плоскости в отрезках.
5)
Угол между плоскостями. Условие перпендикулярности и параллельности 2-х
плоскостей.
6)
Каноническое уравнение прямой.
7)
Параметрическое уравнение прямой.
8)
Угол между прямыми.
9)
Определение эллипса. Каноническое уравнение эллипса.
10)
Определение гиперболы. Каноническое уравнение гиперболы.
11)
Определение параболы. Каноническое уравнение параболы.
Раздел 3 Дифференциальное исчисление функции одной переменной.
1)
Функция. Способы задания функций.
2)
Числовая последовательность. Предел числовой последовательности.
3)
Предел функции в бесконечности.
4)
Предел функции в точке x0 Односторонние пределы.
5)
Теорема о связи бесконечно малых величин с пределами функций.
6)
Бесконечно малая величина. Свойства бесконечно малых величин.
7)
Бесконечно большие величины. Теорема о связи бесконечно малых и бесконечно
больших величин.
8) Основные теоремы о пределах функций.
9) 1-ый и 2-ой замечательные пределы.
10) Непрерывность функции в точке x0 Точки разрыва и их классификация.
11) Свойства функций непрерывных на отрезке.
12) Основные формулы и правила дифференцирования.
38
13) Производная сложной функции.
14) Понятие дифференцируемости функции в точке.
15) Теорема о дифференцируемости функции в точке x0
16) Производные высших порядков.
17) Дифференциал функции в точке x0
18) Основные теоремы дифференциального исчисления (Ролля, Лагранжа, Коши).
19) Правило Лопиталя.
20) Формула Тейлора.
21) Выпуклость функции. Точки перегиба.
22) Теорема о достаточном условии выпуклости функции.
23) Необходимое условие точки перегиба. Достаточное условие точки перегиба.
24) Асимптоты графика функции.
25) Исследование функций и построение графиков.
Раздел 4 Дифференциальное исчисление функций многих переменных
1) Предел и непрерывность функции двух переменных.
2) Частные производные.
3) Понятие дифференцируемости функции 2-х переменных в точке.
4) Дифференциал функции 2-х переменных.
5) Производная по направлению.
6) Градиент функции в точке. Физический смысл градиента.
7) Частные производные и дифференциалы высших порядков.
8)Экстремумы функции 2-х переменных.
6.2 Контрольные вопросы для экзамена по дисциплине
Раздел 5 Интегральное исчисление функции одной переменной
1) Неопределенный интеграл и его основные свойства.
2) Таблица неопределенных интегралов.
3) Метод замены переменной в неопределенном интеграле.
4) Метод интегрирования по частям.
5) Интегрирование рациональных функций.
6) Определенный интеграл и его основные свойства.
7) Формула Ньютона-Лейбница.
8) Метод замены в определенном интеграле.
9) Формула интегрирования по частям в определенном интеграле.
10) Приложения определенного интеграла.
39
11) Несобственные интегралы 1-го и 2-го рода.
12) Интеграл с переменным верхним пределом.
Раздел 6 Интегральное исчисление функций многих переменных
1) Определение двойного интеграла
2) Геометрический смысл двойного интеграла
3) Повторный интеграл
Раздел 7 Дифференциальные уравнения
1) Дифференциальное уравнение 1-го порядка. Общее и частное решение. Задача
Коши.
2) Теорема существования и единственности решения задачи Коши.
3) Дифференциальные уравнения 1-го порядка с разделяющимися переменными.
4) Однородные дифференциальные уравнения 1-го порядка.
5) Линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка.
6) Линейные однородные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными
коэффициентами.
7) Линейные
неоднородные
дифференциальные
уравнения
2-го
порядка
с
постоянными коэффициентами.
Раздел 8 Ряды
1) Числовой ряд. Сходимость и сумма ряда.
2) Необходимый признак сходимости ряда.
3) Свойства сходящихся рядов.
4) Достаточные признаки сходимости рядов с неотрицательными членами.
5) Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница.
6) Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость.
7) Теорема о сходимости абсолютно сходящегося ряда.
8) Степенной ряд. Область сходимости.
9) Теорема Абеля.
10) Свойства степенных рядов.
11) Разложение функций в степенные ряды.
6.3 Образцы тестов для проведения текущего контроля и промежуточной аттестации
по итогам освоения дисциплины, а также для контроля самостоятельной работы
обучающегося
Тест по лекционному материалу «Линейная алгебра».
40
Задание 1
1. Записать Систему m Линейных Уравнений с n неизвестными в общем виде.
2. Перечислить названия 3-х типов Систем Линейных Уравнений (СЛУ) в зависимости от
соответствующего каждому типу множества решений.
3. Перечислить 4 вида эквивалентных преобразований СЛУ.
Задание 2
1. Написать матрицы
Am k
Bk n
и
каковы размеры матрицы С?
Написать выражение для элемента
а) через знак суммирования ∑
2. Как для данной матрицы
Am
в общем виде. Если С = А* В, то
k
cij
в) более подробно, без знака суммирования.
в общем виде будет выглядеть матрица
A
T
?
Каковы ее размеры? Выписать те 4 свойства (из 18 Свойств операций над
матрицами), где встречается операция транспонирования.
3. Записать Систему Линейных Уравнений для m=n=3 в обычном виде.
Выписать все матрицы А, Х, В, соответствующие
матричной форме
записи СЛУ: А * Х = В
Задание 3
1. Написать выражение для определителя матрицы второго порядка
A2
в общем виде.
2. Схематично изобразить Правило Звезды для вычисления
определителя матрицы третьего порядка
3. Дать Определение Минора
A3
M ij матрицы n-го порядка An
4. Написать формулу Алгебраического Дополнения
матрицы n-го порядка
Aij
An
5. Написать выражение для вычисления определителя матрицы
третьего порядка
A3
по Теореме Лапласа, то есть
разложение по любой строке или любому столбцу:
а) либо в общем виде
б) либо для любого (уникального) численного примера.
Задание 4
1. Для системы линейных уравнений
An X n1 Bn1 , A 0
41
выписать
через алгебраические дополнения
Aij
Выписать формулы обратной матрицы
A1
выписать по методу Крамера выражения для
x1
X x2
x
3
X
, решения
2. Для системы линейных уравнений третьего порядка
системы линейных уравнений
A*
присоединенную матрицу
i
через .
.
.
AX B
, i=1,2,3 и решение
i
.
3. Дать Определение ранга матрицы (через миноры).
4. Чему равен ранг ступенчатой матрицы?
5. Дать формулировку Теоремы Кронекера-Капелли для системы линейных
уравнений
Amn X n1 Bm1
Задание 5
1. Запишите комплексное число Z в алгебраической и тригонометрической
формах.
Как связаны эти две формы записи?
2. Напишите выражение для произведения двух комплексных чисел Z1 , Z 2 , заданных в
тригонометрической форме; для частного от деления этих двух комплексных чисел.
3. Напишите Формулу Муавра, - выражение для возведения в степень
комплексного числа
Z.
4. Выпишите каноническое разложение многочлена f (Z )
степени
n 1
с
комплексными коэффициентами.
Задание 6
1 Сформулируйте Основную Теорему Алгебры для многочлена,
действующего в
комплексном пространстве.
2. Пусть Z – комплексная переменная,
число. Для уравнения
Z k ...
a a (cos i sin ) –
комплексное
Z n a напишите выражение для k различных его корней:
, k=0,1,…n-1
42
3. Выписать
симметрическую
матрицу
квадратичной
формы
a11 x12 a22 x22 a33 x32 2 a12 x1 x2 2 a13 x1 x3 2 a23 x2 x3
и
записать квадратичную форму в матрично - векторном виде.
Тест по лекционному материалу «Аналитическая геометрия».
1. Расстояние между двумя точками
по формуле:
и
находится
a).
b).
c).
2. Если точка М(х;у) делит отрезок
в отношении λ, то
координаты этой точки находятся по формулам:
a).
b).
c).
3. Прямоугольные координаты через полярные, выражаются
следующим образом:
а).
b).
с).
4. Уравнение прямой, проходящей через данную точку, с данным
угловым коэффициентом имеет вид:
а).
b).
с).
5. Угол между двумя прямыми находится по формуле:
а).
b).
43
c).
6. Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки:
а).
b).
с).
7. Условие параллельности двух прямых:
а).
b).
с).
8. Условие перпендикулярности двух прямых:
а).
b).
с).
9. Каноническое уравнение эллипса имеет вид:
а).
b).
с).
10. Каноническое уравнение гиперболы имеет вид:
а).
b).
с).
44
Тест по лекционному материалу «Дифференциальное исчисление функций одной
переменной».
45
46
Тест по лекционному материалу «Дифференциальное исчисление функций многих
переменных».
Тест по лекционному материалу «Интегральное исчисление функций одной
переменной».
47
Тест по лекционному материалу «Интегральное исчисление функций многих
переменных».
48
Тест по лекционному материалу «Дифференциальные уравнения».
49
50
51
Тест по лекционному материалу «Ряды».
1.Установить сходимость ряда
2.
Установить
сходимость
прогрессии
3. Ряд
.
ряда,
составленного
из
элементов
.
называется сходящимся, если:
последовательность его частичных сумм
бесконечно малая
существует предел последовательности его частичных сумм
последовательность его частичных сумм
неотрицательна
последовательность его частичных сумм
является ограниченной
4. Отбрасывание или добавление конечного числа членов к ряду:
сходящийся ряд может сделать расходящимся
расходящийся ряд может сделать сходящимся
сходящийся ряд делает расходящимся и наоборот
не влияет на его сходимость или расходимость
5. Сумма ряда
0
:
3
2
1
52
геометрической
Выбрать один правильный ответ.
6.
-я частичная сумма ряда
есть:
Выбрать один правильный ответ.
7. Если сходится ряд
, то ряд
равномерно сходящимся
называется:
сходящимся по модулю
абсолютно сходящимся
условно сходящимся
расходящимся
Выбрать один правильный ответ.
8.
Даны
Утверждение
Утверждение 2: Для любого
два
1:
найдется номер
утверждения.
Ряд
такой, что для всех
сходится.
и для
соотношение
.
всех
натуральных
чисел
выполняется
Выберите правильные ответы:
из утверждения 2 следует утверждение 1
утверждение 2 не выполняется никогда
утверждение 1 и утверждение 2 взаимоисключающие
из утверждения 1 следует утверждение 2
утверждение 2 выполняется всегда
Выбрать несколько правильных ответов
53
Даны
9.
Утверждение
1:
Ряд
два
с
утверждения.
положительными
членами
Утверждение 2: Последовательность частичных сумм этого ряда
Выберите правильные ответы:
утверждение 2 выполняется всегда
сходится.
ограничена.
из утверждения 2 следует утверждение 1
утверждение 1 и утверждение 2 взаимоисключающие
утверждение 1 и утверждение 2 не связаны друг с другом
утверждение 2 не выполняется никогда
из утверждения 1 следует утверждение 2
Выбрать несколько правильных ответов.
10. Если два ряда
ряд
и
сходятся и имеют суммы
и
, соответственно, то
:
может сходиться, а может и расходиться
сходится и имеет сумму
сходится, но сумма не равна
расходится
Выбрать один правильный ответ.
6.4. Темы презентаций
1. Понятие случайного события. Невозможные и достоверные события.
2. Полная группа событий. Пространство элементарных событий. Совместные и
несовместные события. Независимые события. Противоположные события.
3. Определение вероятности. Классическое определение вероятности.
4. Теоремы сложения и умножения вероятностей. Сумма и произведение событий.
Теоремы сложения совместных и несовместных событий.
5. Условная вероятность. Теоремы умножения зависимых и независимых событий.
6. Формула полной вероятности. Формулы Байеса.
7. Схема независимых испытаний. Формула Бернулли.
8. Основные понятия математической статистики. Генеральная совокупность. Выборка.
9. Вариационный ряд. Графические средства изображения вариационных рядов.
10. Числовые характеристики вариационных рядов.
11. Методы расчета выборочных характеристик.
12. Понятие о статистической оценке. Оценки параметров распределения по
эмпирическим (выборочным) данным.
13. Несмещенность, эффективность и состоятельность оценок. Точечные оценки
параметров. Понятие об интервальном оценивании.
54
14. Линейное программирование. Примеры экономико-математических задач. Задача
линейного программирования (стандартная, каноническая и общая) и её геометрическая
интерпретация.
15. Графический метод решения задачи линейного программирования.
16. Множество планов (допустимые решения) данной задачи. Опорные планы и угловые
точки. Свойства планов. Вырожденные и невырожденные планы.
17. Симплекс-метод. Основы метода. Симплексные таблицы. Экономическая
интерпретация элементов симплексной таблицы.
18. Выбор первоначального опорного плана.
19. Введение искусственных переменных. М- метод. Улучшение опорного решения.
20. Двойственность в линейном программировании. Взаимно-двойственные задачи
линейного программирования. Свойства двойственных задач. Теоремы двойственности.
Двойственный симплекс-метод.
21. Транспортная задача. Экономическая и математическая формулировка. Необходимые
и достаточные условия разрешимости транспорной задачи. Основные способы построения
первоначального опорного плана (метод северо-западного угла, наименьшей стоимости,
двойного предпочтения, аппроксимации Фогеля).
22. Потенциалы и их экономический смысл. Метод потенциалов.
23. Вырожденные транспортные задачи.
24. Целочисленное линейное программирование. Примеры целочисленных моделей.
Методы решения (Гомори и ветвей и границ).
25. Решение задачи коммивояжера методом ветвей и границ.
26. Задача об оптимальном назначении.
27. Нелинейное программирование. Постановка задачи.
28. Метод множителей Лагранжа.
29. Выпуклые и вогнутые функции. Задача выпуклого программирования. Условие
регулярности. Теорема Куна-Таккера.
30. Задача с линейными ограничениями. Метод Франка-Вульфа.
31. Динамическое программирование. Конечномерные оптимизационные задачи. Понятие
об оптимальном управлении. Уравнение Беллмана.
32. Задача о распределении ресурсов.
33. Элементы теории матричных игр. Основные определения. Антагонистические игры.
34. Матричные игры. Седловые точки. Максиминные и минимаксные стратегии.
Смешанная стратегия.
35. Игры 2х2.
36. Игры 2хm, nх2, графический метод их решения.
37. Сведение матричной игры к задаче линейного программирования.
6.5. Темы рефератов
История появления алгебры как науки.
Алгебра: основные начала анализа.
Связь математики с другими науками.
Способы вычисления интегралов.
Тема реферата по математике: "Определение элементарных функций".
Тема реферата по математике: "Двойные интегралы и полярные координаты".
Тема реферата по математике: "Запись и вычисление дифференциальных
уравнений".
8. Тема реферата по математике: "История появления комплексных чисел".
9. Тема реферата по математике: "Сущность линейной зависимости векторов".
10. Тема реферата по математике: "Математические головоломки и игры: сущность,
значение и виды".
11. Основы математического анализа.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
55
12. Основные концепции математического моделирования.
13. Математическое программирование: сущность и значение.
14. Методы решения линейных уравнений.
15. Методы решения нелинейных уравнений.
16. Основополагающие концепции математической статистики.
17. Определение уравнения переходного процесса.
18. Применение кратных либо тройных интегралов.
19. Решение смешанных математических задач.
20. Вычисление тригонометрических неравенств.
21. Математическая философия Аристотеля.
22. Основные тригонометрические формулы.
23. Математик Эйлер и его научные труды.
24. Определение экстремумов функций многих переменных.
25. Сущность аксиоматического метода.
26. Декарт и его математические труды.
27. Основные концепции математики.
28. Развитие логики и мышления на уроках математики.
29. Современные открытия в области математики.
30. Пределы и производные: сущность, значение, вычисление.
6.6. Темы проектов
1. Векторная алгебра.
2. Метод координат. Прямая линия на плоскости.
3. Прямая линия на плоскости.
4. Прямая и плоскость в пространстве.
5. Прямая и плоскость в пространстве.
6. Полярные координаты. Кривые второго порядка.
7. Кривые второго порядка.
8. Действия над матрицами.
9. Вычисление определителей.
10. Вычисление обратной матрицы и решение матричных уравнений
11. Системы линейных уравнений. Теорема Крамера.
12. Вычисление ранга матрицы. Исследование системы линейных уравнений.
13. Решение неопределенных и однородных систем линейных уравнений.
14. Действия с n-мерными векторами. Линейная зависимость и линейная независимость
векторов.
15. Разложение вектора по базису.
16. Операции над множествами. Диаграммы Эйлера-Венна. Предел числовой
последовательности.
17. Непрерывные функции. Вычисление пределов.
18. Производная и дифференциал функции.
19. Исследование функции и построение графика.
20. Исследование функции и построение графика.
21. Оптимизация функций. Формула Тейлора.
22. Частные производные. Полный дифференциал.
23. Градиент и производная по направлению.
24. Локальные экстремумы функции двух переменных.
25. Условный экстремум. Оптимизация функций.
26. Неопределенный интеграл.
27. Определенный интеграл. Несобственные интегралы.
28. Двойные интегралы.
29. Сходимость и расходимость числового ряда
56
30. Исследование степенных рядов
7 Перечень основной и дополнительной учебной литературы, необходимой для
освоения дисциплины (модуля)
7.1 Основная литература
1.Кремер Н.Ш. Высшая математика для экономистов [Электронный ресурс]: учебник/
Кремер Н.Ш., Путко Б.А., Тришин И.М.— Электрон. Текстовые данные.— М.: ЮНИТИДАНА, 2012.— 479 c.— Режим доступа: http://www.iprbookshop.ru/12847.— ЭБС
«IPRbooks». Гл.4. п.4.1.-4.5.
2.Кузнецов Б.Т. Математика [Электронный ресурс]: учебник/ Кузнецов Б.Т.—
Электрон. текстовые данные.— М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2010.— 719 c.— Режим доступа:
http://www.iprbookshop.ru/8092.— ЭБС «IPRbooks». с.344-380.
3.Малыхин В.И. Финансовая математика [Электронный ресурс]: учебное пособие/
Малыхин В.И.— Электрон. текстовые данные.— М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2012.— 236 c.—
Режим доступа: http://www.iprbookshop.ru/10523.— ЭБС «IPRbooks».с.140-145.
7.2 Дополнительная литература
1. Кузнецов, Л. А. Сборник заданий по высшей математике. Типовые расчеты: учебное
пособие / Л.А. Кузнецов – СПб.: Лань, 2005. – 240 с.
2. Данко, П. Е. Высшая математика в упражнениях и задачах: в 2-х ч.ч.1: учебное
пособие для вузов / П. Е. Данко, А. Г. Попов, Т. Я. Кожевникова. –– М.: Мир и
образование, 2005. – 304 с.; ч.2 – 416 с.
3. Руцкова, И. Г. Неопределенный интеграл: учебное пособие / И.Г. Руцкова. –
Оренбург: РИК ГОУ ОГУ, 2003. – 115 с.
4. Сборник задач по высшей математике для экономистов: учебное пособие / В.И.
Ермаков [и др.]; – М.: ИНФРА-М, 2002 -575 с.
5. Математический анализ для экономистов: учебник / А.А. Гриб [и др.]; – СПб.: Лань,
2004. – 344 с.
6. Мажукин, В.И. Математическое моделирование в экономике: Часть 1. Численные
методы и вычислительные алгоритмы. Часть 2. Лабораторный практикум по
численным методам и вычислительным алгоритмам: учеб. пособие / В.И. Мажукин,
О.Н. Королева; Московский гуманитарный университет. – М.: Флинта: 2004. – 232 с.
8. Перечень ресурсов информационно-телекоммуникационной сети "Интернет"
(далее - сеть "Интернет"), необходимых для освоения дисциплины (модуля)
www.math.reshebnik.ru - сайт призван помочь студентам первого и второго курсов
технических и экономических ВУЗов, изучающих высшую математику.
www.matburo.ru – на сайте предлагаются ссылки на лучшие материалы по высшей
математике.
www.exponenta.ru – Internet-класс по высшей математике: вся математика, от пределов и
производных до методов оптимизации, уравнений математической физики и проверки
статистических гипотез в среде математических пакетов.
www.dic.academic.ru – курс, включающий аналитическую геометрию, элементы высшей
алгебры, дифференциальное и интегральное исчисление, дифференциальные уравнения.
9. Методические указания для обучающихся по освоению дисциплины (модуля)
57
методические рекомендации для организации самостоятельной работы по дисциплине
«Математика»
Основная задача образования заключается в формировании творческой личности
специалиста, способного к саморазвитию, самообразованию, инновационной
деятельности. Решение этой задачи вряд ли возможно только путем передачи знаний в
готовом виде от преподавателя к студенту. Необходимо перевести студента из пассивного
потребителя знаний в активного их творца, умеющего сформулировать проблему,
проанализировать пути ее решения, найти оптимальный результат и доказать его
правильность. Следует признать, что самостоятельная работа студента является не просто
важной формой образовательного процесса, а должна стать его основой.
В соответствии с учебным планом на самостоятельную работу студента отводится
72 часа.
Самостоятельная работа студентов проводится с целью:
систематизации и закрепления полученных теоретических знаний и
практических умений студентов;
углубления и расширения теоретических знаний;
развития познавательных способностей и активности
студента:
самостоятельности, ответственности и организованности, творческой
инициативы;
формирования самостоятельности мышления, способности к саморазвитию,
самосовершенствованию и самореализации.
Виды самостоятельной работы студента по математике
составление или решение математического кроссворда на математические
понятия, определения и т.п.;
творческие работы (реферат, доклад, сообщение, сочинение);
разработка проекта, включающего элементы самостоятельного исследования и
направленного на поиск новых методов решения поставленных задач (например,
«Математика в моей профессии»).
Возможные формы контроля
проверка выполненной работы преподавателем;
отчет-защита студента по выполненной работе перед преподавателем;
тестирование
9.1. Методические рекомендации по составлению презентаций
Требования к презентации
На первом слайде размещается:
название презентации;
автор: ФИО, группа, название учебного учреждения (соавторы указываются
в алфавитном порядке);
год.
На втором слайде указывается содержание работы, которое лучше оформить в виде
гиперссылок (для интерактивности презентации).
На последнем слайде указывается список используемой литературы в соответствии
с требованиями, интернет-ресурсы указываются в последнюю очередь.
Оформление слайдов
Стиль
необходимо соблюдать единый стиль оформления;
нужно избегать стилей, которые будут отвлекать от самой презентации;
вспомогательная информация (управляющие кнопки) не должны
58
преобладать над основной информацией (текст, рисунки)
Фон
Использование
цвета
для фона выбираются более холодные тона (синий или зеленый)
на одном слайде рекомендуется использовать не более трех цветов: один
для фона, один для заголовков, один для текста;
для фона и текста используются контрастные цвета;
особое внимание следует обратить на цвет гиперссылок (до и после
использования)
Анимационные
эффекты
нужно использовать возможности компьютерной анимации для
представления информации на слайде;
не стоит злоупотреблять различными анимационными эффектами;
анимационные эффекты не должны отвлекать внимание от содержания
информации на слайде
Представление информации
следует использовать короткие слова и предложения;
Содержание время глаголов должно быть везде одинаковым;
информации следует использовать минимум предлогов, наречий, прилагательных;
Расположение
информации на
странице
Шрифты
заголовки должны привлекать внимание аудитории
предпочтительно горизонтальное расположение информации;
наиболее важная информация должна располагаться в центре экрана;
если на слайде располагается картинка, надпись должна располагаться
под ней.
для заголовков не менее 24;
для остальной информации не менее 18;
шрифты без засечек легче читать с большого расстояния;
нельзя смешивать разные типы шрифтов в одной презентации;
для выделения информации следует использовать жирный шрифт,
курсив или подчеркивание того же типа;
нельзя злоупотреблять прописными буквами (они читаются хуже,
чем строчные).
Следует использовать:
Способы
рамки, границы, заливку
выделения
разные цвета шрифтов, штриховку, стрелки
информации
рисунки, диаграммы, схемы для иллюстрации наиболее важных
фактов
59
информации: люди могут единовременно запомнить не более трех
Объем
информации
не стоит заполнять один слайд слишком большим объемом
фактов, выводов, определений.
наибольшая эффективность достигается тогда, когда ключевые
пункты отражаются по одному на каждом отдельном слайде.
Виды слайдов
Для обеспечения разнообразия следует использовать разные виды
слайдов: с текстом, с таблицами, с диаграммами.
9.2. Методические рекомендации по оформлению рефератов
Титульный лист.
План работы оформляется с названием «Оглавление»; расположение – по центру.
Список библиографических источников оформляется под заголовком «Литература».
Список литературы должен включать все использованные источники: сведения о
книгах (монографиях, учебниках, пособиях, справочниках и т.д.) должны содержать:
фамилию и инициалы автора, заглавие книги, место издания, издательство, год
издания. При наличии трех и более авторов допускается указывать фамилию и
инициалы только первого из них со словами «и др.». Наименование места издания
надо приводить полностью в именительном падеже: допускается сокращение названия
только
двух городов: Москва (М.)
и Санкт Петербург (СПб.). Приведенные
библиографические источники должны быть отсортированы в алфавитном порядке по
возрастанию. Список должен состоять не менее чем из трех источников.
Каждая новая часть работы, новая глава, новый параграф начинается с последующей
страницы.
Приложение оформляются на отдельных листах, каждое приложение имеет
порядковый номер и тематический заголовок. Надпись «Приложение» 1 (2.3...)
оформляется в правом верхнем углу. Заголовок приложения оформляется как заголовок
параграфа.
Объем работы не менее 10 листов напечатанных на компьютере (машинке)
страниц; оглавление, список литературы и приложения не включаются в указанное
количество страниц.
Текст рукописи печатается шрифтом № 14, с интервалом - 1,5.
Поля: слева - 3 см, справа - 1 см, сверху и снизу - 2 см.
Красная строка - 1,5 см . Межабзацный интервал – 1,8.
Название «Оглавление», «Введение», «Заключение», «Приложение», «Литература», а
также заголовки глав и параграфов выделяются одинаковым темным, жирным шрифтом.
После цитаты в тексте работы используются знаки: «...», [1, С. 10], где номер
библиографического источника берется из списка использованной литературы.
Обращение к тексту приложения оформляется следующим образом: (см. Приложение 1).
Оформление схем алгоритмов, таблиц и формул. Иллюстрации (графики, схемы,
диаграммы) могут быть в основном тексте реферата и в разделе приложений. Все
иллюстрации именуются рисунками. Все рисунки, таблицы и формулы нумеруются
арабскими цифрами и имеют сквозную нумерацию в пределах приложения.
Каждый рисунок должен иметь подпись. Например:
Рис.12. Форма главного окна приложения.
На все рисунки, таблицы и формулы в работе должны быть ссылки в виде:
«форма главного окна приложения приведена на рис. 12.».
60
Рисунки и таблицы должны размещаться сразу после той страницы, на которой в
тексте записки она упоминается в первый раз. Если позволяет место, рисунок
(таблица) может размещаться в тексте на той же странице, где на него дается первая
ссылка.
Если рисунок занимает более одной страницы, на всех страницах, кроме первой,
проставляется номер рисунка и слово «Продолжение». Например:
Рис. 12. Продолжение
Рисунки следует размещать так, чтобы их можно было рассматривать без поворота
записки. Если такое размещение невозможно, рисунки следует располагать так, чтобы
для их просмотра надо было бы повернуть работу по часовой стрелке.
Схемы алгоритмов должны быть выполнены в соответствии со стандартом
ЕСПД. Толщина сплошной линии при вычерчивании схем алгоритмов должна быть в
пределах от 0,6 до 1,5 мм. Надписи на схемах должны быть выполнены чертежным
шрифтом. Высота букв и цифр должна быть не менее 3,5 мм.
Номер таблицы размещается в правом верхнем углу над заголовком таблицы, если он
есть. Заголовок, кроме первой буквы, выполняется строчными буквами. В аббревиатурах
используются только заглавные буквы. Например: ПЭВМ.
Ссылки на таблицы в тексте пояснительной записки должны быть в виде слова табл.
и номера таблицы. Например: Результаты тестов приведены в табл. 4.
Номер формулы ставится с правой стороны страницы в круглых скобках на уровне
формулы. Например: z:=sin(x)+cos(y);
(12).
Ссылка на номер формулы дается в скобках.
Например: расчет значений производится по формуле (12).
Нумеровать страницы работы по книжному варианту: печатными цифрами, в нижнем
правом углу страницы, начиная с текста «Введения» (с. 3). Работа нумеруется сквозно, до
последней страницы.
В оглавлении указываются начальные страницы всех частей и параграфов работы
(название главы отдельной страницы не имеет), кроме списка литературы и приложений
(в тексте нумеруются).
Пишется слово «глава», главы нумеруются римскими цифрами, параграфы арабскими, знак ; не пишется; части работы «Введение». «Заключение», «Литература»
нумерации не имеют.
Названия глав и параграфов пишутся с красной строки.
Заголовки «Введение», «Заключение», «Литература» пишутся посередине, вверху
листа, без кавычек, точка не ставится.
Объем введения и заключения работы - 1,5-2 страницы печатного текста.
Работа должна быть прошита.
В работе используются три вида шрифта: 1 - для выделения названий глав,
заголовков
«Оглавление»,
«Литература»,
«Введение», «Заключение»; 2 - для
выделения названий параграфов; 3 - для текстовки.
9.3. Методические рекомендации по выполнению проектов
В основе метода проектов лежит развитие познавательных навыков студентов,
умений самостоятельно конструировать свои знания, умений ориентироваться в
информационном пространстве, развитие критического и творческого мышления.
Метод проектов - это из области дидактики, частных методик, если он
используется в рамках определенного предмета.
Метод - это дидактическая категория. Это совокупность приемов, операций
овладения определенной областью практического или теоретического знания, той или
иной деятельности. Это путь познания, способ организации процесса познания. Поэтому,
если мы говорим о методе проектов, то имеем в виду именно способ достижения
дидактической цели через детальную разработку проблемы (технологию), которая должна
61
завершиться вполне реальным, осязаемым практическим результатом, оформленным тем
или иным образом. В основу метода проектов положена идея, составляющая суть понятия
"проект", его прагматическая направленность на результат, который можно получить при
решении той или иной практически или теоретически значимой проблемы. Этот результат
можно увидеть, осмыслить, применить в реальной практической деятельности. Чтобы
добиться такого результата, необходимо научить детей или взрослых студентов
самостоятельно мыслить, находить и решать проблемы, привлекая для этой цели знания
из разных областей, умения прогнозировать результаты и возможные последствия разных
вариантов решения, умения устанавливать причинно-следственные связи.
Метод проектов всегда ориентирован на самостоятельную деятельность студентов
- индивидуальную, парную, групповую, которую обучающиеся выполняют в течение
определенного отрезка времени. Этот метод органично сочетается с групповыми
методами. Метод проектов всегда предполагает решение какой-то проблемы. Решение
проблемы предусматривает, с одной стороны, использование совокупности,
разнообразных методов, средств обучения, а с другой, предполагает необходимость
интегрирования знаний, умений применять знания из различных областей науки, техники,
технологии, творческих областей. Результаты выполненных проектов должны быть, что
называется, "осязаемыми", т.е., если это теоретическая проблема, то конкретное ее
решение, если практическая - конкретный результат, готовый к использованию (на уроке,
в школе, в реальной жизни). Если говорить о методе проектов как о педагогической
технологии, то эта технология предполагает совокупность исследовательских, поисковых,
проблемных методов, творческих по самой своей сути.
Проекты классифицируются по доминирующей в проекте деятельности студентов:
информационные проекты
исследовательские проекты
практико-ориентированные проекты
ролевой проект
творческий проект
На практике все пять перечисленных направлений деятельности студентов
реализуются в каждом проекте.
Требования к использованию метода проектов:
1. Наличие значимой в исследовательском, творческом плане проблемы/задачи,
требующей интегрированного знания, исследовательского поиска для ее решения
(например, исследование демографической проблемы в разных регионах мира; создание
серии репортажей из разных концов земного шара по одной проблеме; проблема влияния
кислотных дождей на окружающую среду, пр.).
2. Практическая, теоретическая, познавательная значимость предполагаемых результатов
(например, доклад в соответствующие службы о демографическом состоянии данного
региона, факторах, влияющих на это состояние, тенденциях, прослеживающихся в
развитии данной проблемы; совместный выпуск газеты, альманаха с репортажами с
места событий; охрана леса в разных местностях, план мероприятий, пр.);
3. Самостоятельная (индивидуальная, парная, групповая) деятельность студентов.
4. Структурирование содержательной части проекта (с указанием поэтапных
результатов).
5. Использование исследовательских методов, предусматривающих определенную
последовательность действий:
определение проблемы и вытекающих из нее задач исследования (использование в ходе
совместного исследования метода "мозговой атаки", "круглого стола");
выдвижение гипотез их решения;
обсуждение методов исследования (статистических методов,
экспериментальных,
наблюдений, пр.);
62
обсуждение способов оформление конечных результатов (презентаций,
защиты,
творческих отчетов, просмотров, пр.).
сбор, систематизация и анализ полученных данных;
подведение итогов, оформление результатов, их презентация;
выводы, выдвижение новых проблем исследования.
Типология проектов:
1. Доминирующая в проекте деятельность: исследовательская, поисковая, творческая,
ролевая, прикладная (практико-ориентированная), ознакомительно-ориентировочная, пр.
(исследовательский проект, игровой, практико-ориентированный, творческий);
2. Предметно-содержательная область: моно проект (в рамках одной области
знания),
межпредметный проект;
3. Характер координации проекта: непосредственный (жесткий, гибкий), скрытый
(неявный, имитирующий участника проекта, характерно для телекоммуникационных
проектов);
4. Характер контактов (среди участников одной школы, класса, города, региона, страны,
разных стран мира);
5. Количество участников проекта;
6. Продолжительность проекта.
В соответствии с методом, доминирующем в проекте, можно выделить следующие
типы проектов:
Исследовательские. Такие проекты требуют хорошо продуманной структуры,
обозначенных целей, актуальности предмета исследования для всех участников,
социальной значимости, соответствующих методов, в том числе экспериментальных и
опытных работ, методов обработки результатов. Эти проекты полностью подчинены
логике исследования и имеют структуру, приближенную или полностью совпадающую с
подлинным научным исследованием. Этот тип проектов предполагает аргументацию
актуальности взятой для исследования темы, формулирование проблемы исследования,
его предмета и объекта, обозначение задач исследования в последовательности принятой
логики, определение методов исследования, выдвижение гипотез решения обозначенной
проблемы, разработку путей ее решения, в том числе экспериментальных, опытных,
обсуждение полученных результатов, выводы, оформление результатов исследования,
обозначение новых проблем для дальнейшего развития исследования.
Творческие. Следует оговориться, то проект всегда требует творческого подхода, и
в этом смысле любой проект можно назвать творческим. Но при определении типа
проекта выделяется доминирующий аспект. Творческие проекты предполагают
соответствующее оформление результатов. Такие проекты, как правило, не имеют
детально проработанной структуры совместной деятельности участников, вначале она
только намечается и далее развивается, подчиняясь жанру конечного результата. Таким
результатом могут быть: совместная газета, сочинение, видеофильм, спектакль, игра,
праздник, экспедиция и т.п. Однако оформление результатов проекта требует четко
продуманной структуры в виде сценария видеофильма или спектакля, программы
праздника, плана сочинения, статьи, репортажа и так далее, дизайна и рубрик газеты,
альманаха, альбома и прочего.
Ролевые, игровые. В таких проектах структура также только намечается и
остается открытой до завершения работы. Участники принимают на себя определенные
роли, обусловленные характером и содержанием проекта. Это могут быть литературные
персонажи или выдуманные герои, имитирующие социальные или деловые отношения,
осложняемые придуманными участниками ситуациями. результаты этих проектов либо
намечаются в начале их выполнения, либо вырисовываются лишь в самом конце. Степень
творчества здесь очень высокая, но доминирующим видом деятельности все-таки является
ролевая игра.
63
Ознакомительно-ориентировочные (информационные). Этот тип проектов
изначально направлен на сбор информации о каком-то объекте, явлении: предполагается
ознакомление участников проекта с этой информацией, ее анализ и обобщение фактов,
предназначенных для широкой аудитории. Такие проекты, так же как и
исследовательские,
требуют
хорошо
продуманной
структуры,
возможности
систематической коррекции по ходу работы.
Структура подобного проекта может быть обозначена следующим образом: цель
проекта, его актуальность, источники информации, проведение "мозговой атаки",
обработка информации (анализ, обобщение, сопоставление с известными фактами,
аргументированные выводы), результат (статья, реферат, доклад, видео и прочее),
презентация. такие проекты часто интегрируются с исследовательскими проектами и
становятся их органичной частью, модулем.
Практико-ориентированные (прикладные). Эти проекты отличает четко
обозначенный с самого начала результат деятельности его участников. Причем этот
результат обязательно ориентирован на социальные интересы самих участников. Такой
проект требует тщательно продуманной структуры, даже сценария всей деятельности его
участников с определением функций каждого из них, четких выводов, то есть оформления
результатов проектной деятельности и участия каждого в оформлении конечного
продукта. Здесь особенно важна хорошая организация координационной работы в плане
поэтапных обсуждений, корректировки совместных и индивидуальных усилий, в
организации презентации полученных результатов и возможных способов их внедрения в
практику, а также систематической внешней оценки проекта.
Реализация метода проектов и исследовательского метода на практике ведет к
изменению позиции учителя. Из носителя готовых знаний он превращается в
организатора познавательной, исследовательской деятельности своих студентов .
Изменяется и психологический климат в классе, так как учителю приходится
переориентировать свою учебно-воспитательную работу и работу студентов
на
разнообразные виды самостоятельной деятельности студентов , на приоритет
деятельности исследовательского, поискового, творческого характера.
Отдельно следует сказать о необходимости организации внешней оценки проектов,
поскольку только таким образом можно отслеживать их эффективность, сбои,
необходимость своевременной коррекции. Характер этой оценки в большой степени
зависит как от типа проекта, так и от темы проекты (его содержания), условий
проведения. Если это исследовательский проект, то он с неизбежностью включает
этапность проведения, причем успех всего проекта во многом зависит от правильно
организованной работы на отдельных этапах.
Структура проекта:
Следует остановиться и на общих подходах к структурированию проекта:
Начинать следует всегда с выбора темы проекта, его типа, количества участников.
Далее преподавателю необходимо продумать возможные варианты проблем,
которые важно исследовать в рамках намеченной тематики. Сами же проблемы
выдвигаются обучающимися с подачи преподавателя (наводящие вопросы, ситуации,
способствующие определению проблем, видеоряд с той же целью, т.д.). Здесь уместна
"мозговая атака" с последующим коллективным обсуждением.
Распределение задач по группам, обсуждение возможных методов исследования,
поиска информации, творческих решений.
Самостоятельная работа участников проекта по своим индивидуальным или
групповым исследовательским, творческим задачам.
Промежуточные обсуждения полученных данных в группах (на уроках или на
занятиях в научном обществе, в групповой работе в библиотеке, медиатеке, пр.).
Защита проектов, оппонирование:
коллективное обсуждение;
64
экспертиза;
результаты внешней оценки;
выводы.
Этапы проектной деятельности
Этапы
Задачи
Деятельность
студентов
Деятельность учителя
1. Погружение в
Определение темы,
Обсуждают (или
Мотивирует
проект
целей и задач, типа
предлагают) тему,
студентов.
проекта, количества
цели и задачи
Формулирует и
участников. Выбор
проекта. Вживаются
объясняет цели и
рабочей группы
в ситуацию.
задачи проекта.
выдвигают (с подачи
Продумывает
учителя) проблемы
возможные варианты
("мозговой штурм" с
проблем в рамках
последующим
намеченной
коллективным
тематики, подводит
обсуждением).
студентов к
Уточняют
самостоятельному
информацию
определению
проблемы проекта.
Наблюдает
2. Организация
Анализ проблемы.
Уточняют
Предлагает
деятельности
определение
информацию.
возможные варианты
источников
Формируют состав
состава групп и
необходимой
группы и
распределение ролей
информации. Выбор
распределяют роли в
в группах. При
методов
группах.
необходимости
исследования.
Осуществляют
помогает учащимся в
Распределение ролей
планирование работы анализе, поиске
в группе.
в группах. Выбирают
источников
Определение
форму презентации
информации,
критериев оценки
результатов.
планировании,
результатов работы
предлагают и
выборе форм
над проектом. выбор
обосновывают свои
презентации и т.д.
формы презентации
критерии оценки
Консультирует
65
проекта.
работы над проектом. студентов (по их
Планирование
Консультируются с
работы по решению
учителем
просьбе). Наблюдает
задач проекта по
группам
3. Осуществление
Выполнение проекта
деятельности
Активно
и Консультирует
самостоятельно
работают
студентов
над необходимости.
выполнением
Ненавязчиво
проекта
в контролирует
соответствии
своей
по
со деятельность
ролью
сообща
(в Наблюдает
соответствии
планом
и школьников.
с
работы).
"Добывают"
недостающие знания.
Консультируются
с
учителем. Участвуют
в
промежуточных
обсуждениях
полученных данных
в группах (на уроках,
занятиях в научном
обществе,
в
библиотеке и т.д.).
Оформляют
проект.
Ведут подготовку к
защите
проекта,
участвуют
в
коллективном
самоанализе
4. Защита проекта
Подготовка доклада,
Защищают
обоснование
(демонстрируют
66
проект Участвует
коллективном
в
процесса
понимание
и
оценке
проектирования,
проблемы, целей и результатов
работы
объяснение
задач
полученных
умение планировать Обобщает
результатов. Защита
и
проекта. Анализ
деятельность,
достигнутых
найденный
результатов, причин
решения
успехов и неудач.
умение
Оценка результатов
аргументировать
свои
анализе
проекта, над
проектом.
осуществлять полученные
результаты. Подводит
способ итоги работы
проблемы,
выводы
и
оппонировать).
Участвуют
в
коллективном
анализе
и
оценке
результатов проекта
Оценка проекта
Результаты проектной деятельности часто отождествляются лишь с выполненным
проектом. На самом деле при использовании метода проектов существует другой, не
менее важный результат. Это педагогический эффект вовлечения студентов в процесс
самостоятельного "добывания знаний" и их применения (мотивация, рефлексия, умение
делать выбор, планировать, анализировать и оценивать результаты собственной
деятельности). Однако этот результат часто остается вне сферы внимания учителя, он
оценивает лишь сам проект. Очевидно, учителю целесообразно делать краткие резюме в
ходе наблюдений за работой каждого из школьников, это позволит ему быть более
объективным при защите проекта.
Выполненный проект как вторая часть результата должен оцениваться тремя
экспертами: самим студентом
или группой (самооценка), преподавателем и
одногруппниками. Таким образом, выставляются три оценки и высчитывается
среднеарифметическая величина.
Примерные параметры внешней оценки проекта:
Значимость и актуальность выдвинутых проблем, адекватность их изучаемой
тематике;
реальность, практическая направленность и значимость работы;
корректность используемых методов исследования и методов обработки
получаемых результатов;
необходимая и достаточная глубина проникновения в проблему, привлечение
знаний из других областей;
соответствие содержания целям, задачам и теме проекта;
логичность и последовательность изложения;
четкость формулировок, обобщений, выводов;
аргументированность предлагаемых решений, подходов, выводов;
67
коллективный характер принимаемых решений (при групповой проекте);
стилистическая и языковая культура изложения;
полнота библиографии;
наличие собственных взглядов на проблему и выводов;
активность каждого участника проекта в соответствии с его индивидуальными
возможностями;
характер общения и взаимопомощи, взаимодополняемости участников проекта;
доказательность принимаемых решений, умение аргументировать свои
заключения, выводы;
умение отвечать на вопросы оппонентов, лаконичность и аргументированность
ответов каждого члена группы;
перспектива доработки (потенциал);
эстетика оформления результатов проведенного проекта;
соответствие оформления проекта стандартным требованиям.
Критерии оценки защиты проекта:
Качество доклада: композиция, полнота представления работы, подходов,
результатов; его объем;
объем и глубина знаний по теме, эрудиция, межпредметные связи;
культура речи;
чувство времени;
использование наглядных средств;
умение удерживать внимание аудитории;
умение отвечать на вопросы: полнота, аргументированность, корректность в
дискуссии;
готовность к дискуссии;
доброжелательность, контактность.
10. Перечень информационных технологий, используемых при осуществлении
образовательного процесса по дисциплине (модулю), включая перечень
программного обеспечения и информационных справочных систем (при
необходимости)
Лицензионное программное обеспечение, имеющееся в компьютерном классе
кафедры математических и естественнонаучных дисциплин.
11. Описание материально-технической базы, необходимой для осуществления
образовательного процесса по дисциплине (модулю)
1. Компьютерный класс, оснащенный современной техникой (PENTIUM 3,
PENTIUM 4, INTEL CORE 2)
2. LCD – проектор EPSON EMP-X3;
3. Ноутбук ASUS A6RP;
4. Экран для проектора ЭКСКЛЮЗИВ MW 213*213.
68
