3. Потенциал электростатического поля

3. Потенциал электростатического поля
(примеры решения задач)
Пример 3.1.
Определите потенциал электрического поля бесконечной плоскости, заряженной с
поверхностной плотностью . Результат представьте в виде графика зависимости
(x) , где ось X имеет начало отсчета (x = 0) на плоскости и перпендикулярна ей.
Считайте, что (0) = 0.
Решение.
Согласно результату, полученному при решении примера 2.1 поле напряженности
бесконечной плоскости, равномерно заряженной с поверхностной плотностью ,
определяется соотношением:
 
 2 , при x  0,
 0
.
Ex  


, при x  0
 2 0
Разность потенциалов между точками, с координатами x1 и x2
  x2
1  2   ( E , dr )   E x dx .
2
1
x1
Положим  (0)  0 , тогда
 0 

dx  
x, при x  0,
0  
2

2

0
0

x
( x)  
0



0

dx

x, при x  0.


2

2

0
0
x

Графики Ex (x) и (x) показаны на рис.1 и рис.2.
 (x)
Ex
 / 2 0
0
0
X
X
  / 2 0
Рис.1
Рис.2
43
Пример 3.2.
Две тонкие параллельные пластины однородно заряжены с поверхностными
плотностями и –2. Расстояние между пластинами 3d значительно меньше
размеров пластин. Определить разность потенциалов  A   B в точках А и В,
положение которых указано на рисунке.

B
A
d
–2
C
0
d
d
d
Рис.3
Решение.
Согласно решению примера 2.2 напряженность поля заряженных пластин определяется
следующим выражением:
 
 2 , x  0
 0
.
E x ( x)  
 3 , 3d  x  0
 2 0
Разность потенциалов между точками А и В представим в виде
 A   B  ( A  C )  (C   B ) .
Учитывая, что точки В и С принадлежат одной эквипотенциальной поверхности и
т.о. ( B)  (C ) , найдем разность потенциалов между точками А и В, положение которых
согласно рисунку задается координатами xA  d , xB  xC  2d :

 А   B   A  C   E x ( x)dx  
dx 
2 0
d
d
2d
0
Пример 3.3.
2d
3
7
 2 0 dx  2 0 d .
0

.
2r 0
Вычислите потенциал поля заряженной нити E (r ) 
Решение.
Интегрирование напряженности электрического поля для определения потенциала
проведем вдоль направления перпендикулярного нити:
r0
r0
r
r
r   0   E r dr  0 

 2r 0 dr 


(ln r0  ln r )  
ln r / r0 .
20
20
Отметим, что никаким выбором постоянной 0 нельзя добиться обращения потенциала в
нуль на бесконечности. Это связано с тем, что в рассматриваемом случае на
0 
44
бесконечности имеются не только поля, но и сами заряды. Мы выбрали отсчет потенциала
от точки r0 , т.е. выбрали 0  0 при r  r0 . График зависимости (r ) представлен на рис.4.
(r )
0
r0
r
Рис.4
Пример 3.4.
Поверхность бесконечно длинного прямого цилиндра радиуса R заряжена

однородно поверхностной плотностью  . Определите напряженность поля E и
потенциал  внутри и вне поверхности.
Решение.

Сначала определим напряженность электрического поля E . Наличие осевой
симметрии в

распределении заряда, позволяет сделать вывод о том, что вектор E в любой точке
пространства направлен радиально
к оси заряженного цилиндра или от нее, в
зависимости от знака заряда. Ввиду той же симметрии величина Е может зависеть только
от расстояния до оси:
Е=Е(r)
Для определения этой зависимости выберем следующую гауссову поверхность. Построим
цилиндр высоты l с боковой поверхностью удаленной от оси на расстояние r и

основаниями, перпендикулярными к оси симметрии (рис.5). Поток поля вектора E через
 
основания цилиндра равен нулю, т.к. E  n . Поток через боковую поверхность равен Е S
 
, т.к. E || n , S- площадь боковой поверхности.
R
r

E
r

E
Рис.5
Из теоремы Гаусса следует:
 
E
 ds  E  S  E r   2r  l  q / 0 ,
где q - заряд внутри гауссова цилиндра равен:
2Rl , если r  R
q
, если r  R
0
Подставляя поток и заряды в формульное выражение теоремы Гаусса, получим:
2R

E (r ) 

,если r  R ;
2r 0 20 r
45
E ( r )  0 , если r  R .
Интегрирование напряженности поля, для определения потенциала вне цилиндра,
проведем вдоль направления перпендикулярного к оси цилиндра. Выбрав начало отсчета
потенциала на поверхности заряженного цилиндра (т.е. ( R)  0 при r  R ) получим:

r
ln
20 R
r
Внутри заряженного цилиндра электрическое поле отсутствует, поэтому потенциал во
всех точках имеет одно и тоже значение, равное выбранному значению на его
поверхности. Графики электрического поля и потенциала представлены на рис.6 и рис.7
соответственно.
(r )
E (r )
R
r   ( R)   E r dr  
E~
1
r
0
R
r
R
Рис.6
 ~  ln( r / R )
r
Рис.7
Пример 3.5.
Тонкое кольцо радиуса R равномерно заряжено зарядом q. Найдите потенциал
электрического поля на оси кольца на расстоянии х от его центра.
Воспользовавшись найденной зависимостью (x) , определите напряженность
электрического поля на оси кольца. Постройте графики зависимостей потенциала и
модуля напряженности электрического поля от координаты х.
Решение.
Электростатическое поле создано зарядом, распределенным по тонкому кольцу заданного
радиуса. Для расчета напряженности и потенциала поля будем использовать принцип
суперпозиции. Разобьем кольцо на элементарные участки. Каждый участок можно
рассматривать как точечный заряд dq , потенциал создаваемого им поля d  dq 40 r ,
где r – расстояние от элемента dq то точки С (рис.8).
dq
r
R
x
0
x
Рис.8
46
Потенциал результирующего поля получим, проинтегрировав последнее выражение:
dq
.
4

r
0
q

Из рисунка видно, что r  R 2  x 2  cons t . Потенциал электрического поля на оси
кольца на расстоянии х от его центра равен:

Величина
 dq  q -
1
40 r  x
2
 dq .
2
q
представляет суммарный заряд кольца. Следовательно, в точках,
q
лежащих на оси кольца, потенциал равен:

q
40 r  x
2
2
.
Воспользовавшись полученной формулой, определим напряженность электрического
поля на оси кольца. С учетом симметрии распределения заряда кольца, вектор

напряженности E в точках оси направлен вдоль самой оси. Проекция вектора
напряженности на ось X определится соотношением:
Ex  

qx

x 4 R 2  x 2
0


3/ 2
.
Напряженность поля в центре кольца найдем, подставив в полученную формулу x=0:
E  0,
что совпадает с результатом, полученным при решении примеров 1.5 и 1.8, в которых
напряженность поля кольца в центре и на его оси была найдена с помощью принципа
суперпозиции полей.
|
Ey

R
2

R
2
y
Рис.9
Пример 3.6.
Найдите разность потенциалов 1  2 между центрами двух однородно заряженных
сфер зарядами  q . Радиусы сфер одинаковы и равны R , а расстояние между их
центрами L (рис.11).
47
Решение.
R
R
L
O1
O2
q
q
Рис.11
Воспользовавшись свойством аддитивности потенциала, запишем потенциал в центре
первой, а затем в центре второй сферы:
q
q
q
q
2  

1 

,
.
40 R 40 L
40 R 40 L
Для искомой разности потенциалов, получим:
2q  1 1 
1  2 
  .
40  R L 
Пример 3.6.
Круглая тонкая пластинка радиуса R однородно заряжена с поверхностной
плотностью заряда  . Найдите потенциал на оси пластинки как функцию
расстояния x от ее центра. Рассмотреть случаи x  0 и x  R .
Решение.
Мы ранее решили эту задачу для нахождения напряженности E с помощью принципа

суперпозиции поля E . Для нахождения потенциала  эта задача решается легче, так как
потенциал скалярная функция, а рассуждения аналогичны примеру 1.13. Пусть точка
наблюдения A находится на оси симметрии пластинки с координатой x (рис.12).
dr
dq
r
0
x
A
X
Рис.12
Потенциал заряда dq пластины, удаленного на расстояние r от оси в точке A равен:
dq
.
d 
40 r 2  x 2
Потенциал зарядов dqk , расположенных на тонком кольце радиуса r и ширины dr ,
определится суммированием потенциалов отдельных зарядов кольца:
dqk
dk   d 
,
2
2
40 r  x
48
где dq k заряд, размещенный на кольце равен:
dqk  dS  2rdr .
С учетом этого потенциал создаваемый зарядами кольца равен:
2rdr

rdr
,
dk 

2
2
2
2
2

0
4 r  x
r x
0
далее просуммируем потенциалы, создаваемые в точке A всеми кольцами, на которые мы
разбили пластину


2 0
R
rdr

.
r 2  x2
Заметим, что в интеграле легко выделить дифференциал от подкоренного выражения
знаменателя
d r 2  x 2  2rdr

( x) 

4 0
R
2rdr



4 0
R

0

d (r 2  x 2 )

2
4 0
r 2  x2
R
 
2
2

 R  x  x 

0 2 0 
r 2  x2
r 2  x2
0
Рассмотрим предельные случаи:

( R  x ) - потенциал поля однородно заряженной плоскости.
1) x  0   
2 0
0
2


 1  R  2  R 2


q
 R
x     1  1 
x 1     1 

 2 0  2  x 
2 0   x 
 40 x 40 x


- потенциал поля точечного заряда, помещенного в центр пластинки (использовали
приближение малой величины  : 1  n  1  n, где   1 ).
3) Электрическое поле пластины E x можно получить, используя связь E и 
2) x  R   
  

d
 
2l
x
1 
,

 1 
 2 0 
2
2 
dx
2 0  2 R 2  x 2
R

x



что совпадает с результатом, полученным в примере 1.13, в котором напряженность
электрического поля на оси круглой однородно заряженной пластинки была получена с
помощью принципа суперпозиции.
Ex  
Пример 3.7.
Найдите потенциал  электрического поля сферической поверхности радиуса R с
зарядом q , однородно распределенном по сфере.
Решение.

Так как поле E вне сферы совпадает с полем точечного заряда, то поле потенциала 
сферы в этой области пространства также совпадает с полем потенциала точечного заряда:
1 q

, где r  R .
40 r

Внутри же сферы напряженность E равна нулю, поэтому поле потенциала внутри сферы
однородно и в силу непрерывности потенциала равно значению потенциала на
поверхности сферы:
1 q

.
40 R
49
Пример 3.8
Найдите потенциал электрического поля шара радиуса R однородно заряженного
по объему зарядом q .
Решение. Как и в случае заряженной сферы, поле потенциала вне шара совпадает с полем
потенциала точечного заряда:
1 q

, где r  R .
40 r
Для расчета потенциала точек внутри шара ( r  R ), используем соотношение:
R 

(r )  ( R)   ( E , dr ) .
r
Интегрирование проведем вдоль луча, проходящего через точку наблюдения и центр
шара, воспользовавшись выражением для поля внутри шара (см. пример 2.1):
q
E (r ) 
r r  R .
40 R3
(r )  ( R) 
 rdr  40 R  8 R 3 R
R
q
q
q
2

 r2 .
40 R r
0
Для потенциала в центре шара ( r  0) получим:
3 q
(0) 
.
8 0 R
Для сравнения построим графики зависимости потенциала (r ) для различных
сферически симметричных распределений заряда рис.13 - поле потенциала точечного
заряда; рис.14 - поле потенциала сферы однородно заряженной по поверхности, рис.15 поле потенциала шара однородно заряженного по объему.
3

~
1
r
0
r
Рис.13.

q
40 R
1
r
0
r
R
Рис.14.
50

 (0)
~ r 2
 (R)
~
O
R
1
r
r
Рис.15
51