ЛИСТ ОТВЕТА II ЭТАПА 1 ТУРА ДЛЯ 10 КЛАССА (математx

ЛИСТ ОТВЕТА II ЭТАПА 1 ТУРА ДЛЯ 10 КЛАССА
ВЫПОЛНИЛ
Фамилия _Авзалова___________________________
Имя _Ильмира________________________________
Отчество _Ильфаковна_________________________
Класс ___10__________________________________
Школа ___МБОУ СОШ с.Юмашево______________
Город (село) ___с.Юмашево_____________________
Район _____Чекмагушевский____________________
Ф.И.О. учителя ___Авзалова Мадания Мазитовна
Найдите все действительные x, y, z удовлетворяющие
𝒙+𝒚+𝒛=𝟑
системе: {
𝟐𝒙𝒚 − 𝟐𝒚 − 𝒛𝟐 = 𝟒
1.
Решение:{
𝑥+𝑦+𝑧 =3
𝑥−1= 2−𝑦−𝑧
{
2
2𝑥𝑦 − 2𝑦 − 𝑧 = 4 2𝑦(𝑥 − 1) = 𝑧 2 + 4
𝑥−1=2−𝑦−𝑧
{
2𝑦(2 − 𝑦 − 𝑧) = 𝑧 2 + 4
4𝑦 − 2𝑦 2 − 2𝑦𝑧 = 𝑧 2 + 4
𝑧 2 +2𝑦𝑧+𝑦 2 = −(𝑦 2 − 4𝑦 + 4)
(z+y)²=-(y-2)²
возможно только при (z+y)²=0 и -(y-2)²=0.Отсюда y=2, z=-2, x=3
Ответ:х=3, у=2, z=-2
2.Решите уравнение
𝒙𝟐 + √𝟑 = √𝟒 + 𝟐√𝟑
Решение: √4 + 2√3 = √3 + 2√3 + 1 = √(1 + √3)²=1+√3
𝑥 2 + √3 = 1 + √3
𝑥2 = 1
х = ±1
Ответ: ±1
3.Найдите наименьшее значение выражения
𝒙𝟒 + 𝒙𝟐 + 𝟓
(𝒙𝟐 + 𝟏)𝟐
Решение: Рассмотрим функцию 𝑓(𝑥)=
𝑥 4 +𝑥 2 +5
(𝑥 2 +1)2
.
lim 𝑓(𝑥) = 1
𝑥→∞
𝑥4 + 𝑥2 + 5
4 − 𝑥2
=1+ 2
(𝑥 2 + 1)2
(𝑥 + 1)2
𝑓 ′ (𝑥) =
2𝑥(𝑥 + 3)(𝑥 − 3)
(𝑥 2 + 1)3
𝑓 ′ (𝑥) = 0 при 𝑥 = 0; ±3
𝑓 ′ (𝑥) < 0 при 𝑥ͼ(−∞; −3); 𝑓 ′ (𝑥) > 0 при 𝑥ͼ(−3; 0)
𝑓 ′ (𝑥) < 0 при 𝑥ͼ(0; 3); 𝑓 ′ (𝑥) > 0 при 𝑥ͼ(3 + ∞)
Значит x=-3 точка минимума, х=0 точка максимума, х=3 точка минимума.
𝑓(−3) = 0,95; 𝑓(3) = 0,95, а lim 𝑓(𝑥) = 1. Значит наименьшее значение
𝑥→∞
этого выражения 0,95.
Ответ:0,95
4.В параллелограмме со сторонами 𝒂 и 𝒃 и углом между ними α
проведены биссектрисы углов. Найти площадь четырехугольника,
полученного пересечением этих биссектрис.
Решение: Обозначим АВ=a, BC=b, угол ВАС равен α. Углы ВАМ и ВМА
равны , так как они накрест лежащие.Отсюда получаем , что треугольник
АВМ равнобедренный и АВ=ВМ=b. Угол ABC равен α.Аналогичны равны
углы ADC и CND, отсюда CD=CN=b. Угол NCD равен α.
R
В
M
С
N
А
D
SAMND =S ABCD-S ADM-S NCD
S ABCD=absin α , S ADM=0.5b² sin α, S NCD= 0.5b² sin α.
SAMND=b(a-b) sin α
Ответ: b(a-b) sin α
5.Доказать, что если два числа при делении на третье число дают
одинаковые остатки, то их разность делится на это третье число.
Решение:
Обозначим первое число a,второе-b, третье-с, остаток от деления на с через r.
Тогда a=cx+r, b=cy+r. a-b=(cx+r)-(cy+r)=cx-cy=c(x-y). c(x-y) делится на с так
как с делится на с.
6.При каком значении 𝒂 сумма кубов корней квадратного уравнения
(3𝒂-1)𝒙𝟐 + (𝟑𝒂 − 𝟏)𝒙 + 𝒂𝟐 = 𝟎 равна -1?
Решение:
Обозначим первый корень уравнения x1 , а второй x2. По теореме Виета
x1+ x2=-1, x1 x2=𝑎2 /(3𝑎-1).
x13+ x23=( x1+ x2 )( x12 - x1 x2+ x22 )=-( x12 +2 x1 x2+ x22 - 3 x1 x2 )=-(( x1+ x2)2 –
-
3 x1 x2=-(1-(3𝑎2 /(3𝑎-1))=-1. Отсюда 3𝑎2 /(3𝑎-1)=0, а=0
Ответ: 0
7.Масса ста гирек, сваленных в одну кучку, составляет 500г.
Известно, что имеются только гирьки в 1г, в 10г и в 50г. Сколько в
кучке гирек каждой массы?
Решение:
Обозначим количество гирек: 50г- а шт, 10г-в шт, 1г-с шт. с должно делится
на 10. По условию составим уравнения: а+в+с=100
50а+10в+1с=500
Методом подбора получим а=1,в=39,с=60
Ответ: 50г-1шт, 10г-39шт, 1г-60шт.
8.Существует ли такой выпуклый многоугольник, у которого
отношение суммы внутренних углов к сумме внешних углов равно
15:4?
Решение:
Сумма градусных мер внутренних углов многоугольника равна 180°(n-2), где
n- количество углов многоугольника. Сумма градусных мер внешних углов
многоугольника равна 360°.По условию 180°(n-2): 360°=15:4,
(n-2):2=15:4, 4n-8=30, n=9,5.Получили дробное количество углов
многоугольника.
Ответ: такой многоугольник не существует.
9.Вычислить без таблиц
𝐜𝐨𝐬
𝝅
𝟐𝝅
𝟒𝝅
𝐜𝐨𝐬
𝐜𝐨𝐬
𝟕
𝟕
𝟕
Решение:
𝜋
𝜋
2𝜋
4𝜋
2𝜋
2𝜋
4𝜋
4𝜋
4𝜋
8𝜋
2sin cos cos cos
sin cos cos
sin cos
sin
7
7
7
7 =
7
7
7 =
7
7 =
7
𝜋
𝜋
𝜋
𝜋
2sin
2sin
4sin
8sin
7
7
7
7
1
=−
8
Ответ: −
𝟏
𝟖
10.Найдите коэффициент при 𝒙𝟖 в разложении (𝟏 + 𝒙𝟐 − 𝒙𝟑 )𝟗
Решение: (1+x2-x4)9= (1+( x2-x4))9=|используем треугольник Паскаля|=
19+9( x2-x4)+36( x2-x4)2+84( x2-x4)3+126( x2-x4)4+126 ( x2-x4)5+84( x2-x4)6+36( x2x4)7+9( x2-x4)8+( x2-x4)9=1+9 x2( 1-x2) +36 x4( 1-x2)2+84 x6( 1-x2)3 +126x8( 1-x2)4
+126x10( 1-x2)5+84x12( 1-x2)6+36x14( 1-x2)7+9x16( 1-x2)8+x18( 1-x2)9.
Множитель 𝑥 8 имеется только у следующих слагаемых:
36 x4( 1-x2)2=36 x4-72 x6 + 36 x8
84 x6( 1-x2)3=84 x6 -252x8 +252x10 -84x12
126x8( 1-x2)4 =126x8 -504x10 +756x12 -504x14 +126x16
36 x8 -252x8 +126x8= -90 x8
Трекгольник Паскаля
Ответ: -90