Основной вариант

Муниципальный этап олимпиады по математике
Основной вариант
Условия задач
6 класс
6.1. Приведите какое-нибудь одно решение числового ребуса
АААА + ВВВ – СС - D = 2014
(различными буквами зашифрованы различные ненулевые цифры).
6.2. Четверо товарищей купили вместе тренажер. Первый внес половину суммы
вносимой остальными, второй – треть суммы вносимой остальными, третий
внес четверть суммы вносимой остальными, а четвертый внес 2600 рублей.
Сколько стоил тренажер и сколько внес каждый?
6.3. Разрезать фигуру по сторонам клеток на четыре равные части.
6.4. В классе 25 учеников написали по три контрольных работы. В результате
учитель не поставил ни одной неудовлетворительной отметки, каждый ученик
получил все остальные отметки. Узнав об этом, один ученик заметил, что, по
крайней мере, 5 человек получили одинаковые отметки по всем трем
контрольным, а другой, сказал, что таких учеников с одинаковыми отметками,
наверно, будет 6. Кто из них прав?
6.5. Чтобы пройти через четырнадцать ворот и рассчитаться со стражниками
путник взял мешок с золотыми монетами. Среди 14 стражников часть всегда
говорят правду, а остальные – лжецы (они всегда лгут). Первый из 14
стражников, заглянул в мешок и сказал: «В мешке больше 1 монеты»; после
этого он взял одну монету из мешка и пропустил. Потом второй стражник,
заглянул в мешок, сказал, что в нём больше двух монет. Затем он взял одну
монету из мешка и пропустил. Так же и остальные по очереди, говорили, что в
мешке осталось больше 3, 4, …, 14 монет, брали из мешка одну монету и
пропускали. Какое наибольшее число лжецов может быть среди этих 14
стражников?
7 класс
7.1. На тридцати карточках написаны натуральные числа от 1 до 30. Из этих
карточек составили 15 дробей. Какое наибольшее число этих дробей могут
иметь целые значения (привести пример, обосновать ответ)?
7.2. Три девочки Аня, Вера, Ира решали задачи. Чтобы узнать, кто из них
лучшая, они купили конфеты и договорились: если задачу решаешь первой –
получаешь 4 конфеты; если второй – 2 конфеты; если последней – 1 конфету.
Девочки утверждают, что каждая решила все задачи и получила 20 конфет
(одновременных решений не было). Правы ли девочки? Объясните ответ.
7.3. В зале сидят лжецы (Л) и правдолюбы (П). Каждый Л на вопрос
«Сколько…?» называет число на 5 больше или меньше, правильного числа.
Двух человек спросили: «Сколько в зале лжецов и правдолюбов?» Первый
ответил: «Если не считать меня, то 504 Л и 505 П». Второй ответил: «Если не
считать меня, то 500 Л и 499 П». Сколько Л и П в зале? Кем оказались первый и
второй студент?
7.4. Прямоугольник
разбит на квадраты. Найти периметр
ABCD
прямоугольника, если сторона закрашенного квадрата равна 3 см.
1
2
3
4
5
7.5. Математик ехал в поезде, развлекаясь, зашифровывал названия предметов
номерами букв в алфавите. Когда он зашифровал один из предметов одежды, у
него получилось -222122111121? Расшифруйте слово.
8 класс
8.1. Петя записал на доске несколько натуральных чисел. Ира под ними
написала их квадраты, а Таня сложила все числа и получила – 2013. Докажите,
что одна из девочек ошиблась.
8.2. За праздничным столом сидят 30 человек 26 из них носят имя Саша. В
новогоднюю ночь в темноте они расселись за круглым столом и загадали
желание. Исполнится желание только у тех, кто сидит между двумя Сашами.
Какое наибольшее число желаний может исполниться?
8.3. Если каждый мальчик купит тетрадь, а каждая девочка – ручку, то они
вместе потратят на один рубль меньше чем, если бы каждый мальчик купил
ручку, а каждая девочка – тетрадь. Известно, что тетрадь стоит дороже ручки на
целое число рублей. На сколько?
8.4. Две биссектрисы треугольника пересекаются под углом 60°. Докажите, что
один из углов этого треугольника равен 60°.
8.5. Пусть А – множество всех пятизначных чисел с суммой цифр, равной 37.
Каких чисел в этом множестве больше четных или нечетных?
9класс
9.1. Средний возраст одиннадцати футболистов 22 года. Во время игры один из
футболистов получил травму и ушел с поля. Средний возраст оставшихся
десяти игроков стал 21 год. Сколько лет футболисту, ушедшему с поля?
9.2. Вася задумал три различные цифры, отличные от нуля. Петя записал все
возможные двузначные числа, в десятичной записи которых использовались
только эти цифры. Сумма записанных двузначных чисел равна 231. Найдите
цифры, задуманные Васей.
9.3. Треугольник АВС – равносторонний. Лучи AD, BE и CM попарно
пересекаются внутри треугольника, причем BAD = CBE = ACM (см.
рисунок). Являются ли точки D, E и M вершинами равностороннего
треугольника?
9.4. Найдите все целые a и b такие, что a 4  4b 4 является простым числом.
9.5. Буратино зарыл на поле Чудес золотую монету. Из нее выросло дерево, а на
нем – две монеты: серебряная и золотая. Серебряную монету Буратино спрятал
в карман, а золотую зарыл, и опять выросло дерево, и т. д. Каждый раз на
дереве вырастали две монеты: либо две золотые, либо золотая и серебряная,
либо две серебряные. Серебряные монеты Буратино складывал в карман, а
золотые закапывал. Когда закапывать стало нечего, в кармане у Буратино было
2014 серебряных монет. Сколько монет закопал Буратино?
10 класс
10.1. Можно ли на доску 5х5 поставить три шахматных коня так, чтобы они
«били» все незанятые ими клетки?
10.2. Числа a, b, с и d таковы, что a  b  c  d , a 2  b 2  c 2  d 2 . Верно ли, что
a 3  b3  c 3  d 3 ?
10.3. К окружности с диаметром АС проведена касательная ВС. Отрезок АВ
пересекает окружность в точке D. Через точку D проведена еще одна
касательная к окружности, пересекающая отрезок ВС в точке К. В каком
отношении точка К разделила отрезок ВС?
10.4. Простым или составным является число 49  610  320 ?
10.5. В вершинах куба расставлены натуральные числа от 1 до 8. На каждой
грани записана сумма чисел, расставленных в ее вершинах. Может ли оказаться
так, что на гранях записаны шесть последовательных натуральных чисел?
11 класс
11.1. Найдите х + у, если x 3  y 3  9, x 2 y  xy 2  6.
11.2. Двое рабочих успеют за день либо напилить пять поленниц дров, либо
наколоть восемь таких поленниц. Какое количество дров они могут напилить,
чтобы успеть наколоть их в тот же день?
11.3. В окружность вписан четырехугольник, диагонали которого взаимно
перпендикулярны, а длины двух противоположных сторон равны 3 и 4. Найти
диаметр окружности.
11.4. Какое из чисел больше: 99! или 50 99 ?
(Обозначение: n! = 1  2  3  …  (n – 1)  n).
11.5. Назовем натуральное число замечательным, если оно самое маленькое
среди натуральных чисел с такой же, как у него, суммой цифр. Чему равна
сумма всех трехзначных замечательных чисел?
Решения задач
6 класс
6.1. Ответ: (А; В; С; D) = (1; 9; 2; 6).
6.2. Ответ: 12000 рублей стоил тренажер, товарищи внесли 4000 руб., 3000
руб., 2400 руб., 2600 руб.
Первый внес половину суммы вносимой остальными, треть всей стоимости
тренажера; второй – треть суммы вносимой остальными, четверть всей
стоимости тренажера; третий внес четверть суммы вносимой остальными,
пятую часть всей суммы стоимости тренажера; четвертый внес 1950 рублей,
получим уравнение:
х х х
13
   2600  х;
х  2600; х  12000 .
3 4 5
60
6.3.
6.4. Ответ: прав первый ученик.
Разбивая класс на группы с одинаковыми отметками, получим шесть групп:
(3,4,5); (3,5,4); (4,3,5); (4,5,3); (5,3,4); (5,4,3). Если в каждой группе не больше 4
человек, то в классе не больше 24 человек, следовательно, по меньшей мере, в
одной из групп не менее 5 человек. В то же время может случиться, что в
каждой группе не более 5 человек (в одной группе 5 человек, а в остальных 4
человека), и, следовательно, утверждение второго ученика может быть
неверным. Прав первый.
6.5. Ответ: 7.
Так как 14 стражников взяли по одной монете из мешка, то в мешке изначально
было не меньше 14 монет. После того, как первые 6 стражников взяли по одной
монете из мешка, в мешке осталось не менее 8 монет. Значит, седьмой
стражник (сказавший, что в мешке больше 7 монет) сказал правду. Аналогично,
сказали правду первые шесть. Это означает, что стражников, которые говорят
- 7 = 7). С другой стороны, 7
лжецов среди этих 14 стражников быть могло, если, например, в мешке
изначально лежало 14 (или 15) монет. Тогда первые семь стражников скажут
правду, а все, начиная с восьмого (перед тем как путник подошел к его воротам,
в мешке будет только 7 или 8 монет), солгут.
7 класс
7.1. Ответ: 13 дробей, например
30 28 27 26 25 24 22 21 20 18 17 16 10
, , , , , , , , , , , , .
15 14 9 13 5 12 11 7 4 6 1 8 2
Больше 13 дробей, равных целым числам, получить нельзя. Рассмотрим
простые числа 17, 19, 23, 29, они могут дать целое число только при делении на
1. Если одно из них при делении на 1 даст целое число, то оставшиеся три
числа «испортят» по крайней мере две дроби. Следовательно, наибольшее
число дробей имеющих целые значения 13.
7.2. Ответ: они ошибаются.
За каждую решенную задачу вместе девочки получают 7 конфет (первая – 4,
вторая – 2, последняя - 1). Всего получено 60 конфет, но 60 не кратно 7.
Девочки ошиблись.
7.3. Ответ: 500 Л и 500 П. первый – Л, второй – П.
Два человека не могут быть одновременно Л и Л, П и П – ответы различны.
Если первый П, а второй Л: по ответу правдолюбцев будет 506 и их количество
отличается от ответа Л на 7 (не удовлетворяет условию задачи). Пусть первый
Л, а второй П: Л (вместе с ним по ответу) 505 и он прибавил 5, на самом деле
лжецов в зале 500 – совпадает с ответом второго о лжецах; П (вмести с ним) –
500, увеличив на 5 – получим ответ Л (условие выполнено).
7.4. Ответ: 39 см.
Пронумеруем квадраты:
1
2
3
4
5
Длины сторон квадратов 2 и 3 равны, значит длина стороны квадрата 4 равна
3  3  6 (см). Сумма длин сторон квадратов 1 и 5 равна сумме длин сторон
квадратов 2 и 4, то есть 3  6  9 (см). Длины сторон квадратов 1 и 5 равны
Тогда
периметр
прямоугольника
равен:
9: 2  4,5 (см).
2    4,5  3  3  9   39 (см).
7.5. Ответ: ФУФАЙКА.
Первая буква в слове «222122111121» Б(2) или Ф(22) – получим варианты
начала «слова»: {БББА…, ББУ…, ФБА…, ФУ…} – первый слог ФУ,
Аналогично рассуждая, найдем второй слог – ФАЙ, третий – КА, получили
слово ФУФАЙКА.
8 класс
8.1. Петя записал числа: n1 , n2 ,..., nk . Ира записала квадраты чисел: n12 , n2 2 ,..., nk 2 .
Таня нашла сумму всех этих чисел:
n1  n1  n2  n2  ...  nk  nk  (n1  n1 )  (n2  n2 )  ...  (nk  nk ) 
2
2
2
2
2
2
 n1 (n1  1)  n2 (n2  1)  ...  nk (nk  1) , в данном выражении каждое слагаемое четно
(произведение двух последовательных множителей), следовательно, сумма –
четное число и не может быть равна 2013. Одна из девочек ошиблась.
8.2. Ответ: 25.
Требуется, чтобы у «не Саши» было наибольшее число общих соседей.
Заметим, что общих соседей не менее пяти. Если чередовать «не Саш» и Саш,
то несчастливых будет пятеро при такой рассадке. Наибольшее число желаний
25.
8.3. Ответ: на один рубль.
Пусть мальчиков т, девочек п. Цена тетради а, ручки с. Получим:
am  cn  1  an  cm; a(n  m)  c(n  m)  1; (a  c)( n  m)  1 , отсюда a  c  1 .
8.4. Пусть биссектрисы AA1 и CC1 треугольника ABC, пересекаются в точке К.
Допустим, что  AКC1 = 60°. По теореме о внешнем угле треугольника
АКС1  КАС  АСК 
ВАС  ВСА
, откуда
2
 BAC +  BCA = 120° ,
 ABC = 180°–  BAC –  BCA = 60°.
Но это еще не все решение: ведь может случиться, что  AКC = 60°, тогда
 КAC +  КCA = 120°, откуда
 BAC +  BCA = 240°, что невозможно.
8.5. Ответ: нечетных чисел больше.
В записи чисел отсутствует цифра ноль. Четные числа оканчиваются на 2, 4, 6,
8, а нечетные - 1, 3, 5, 7, 9. Пусть число abcd 2 - четное, с суммой цифр 37,
нечетное число abc(d  1)3 - таких чисел столько же сколько и таких которые
оканчиваются цифрой 2. Аналогично, выглядит рассуждение и для других пар
множеств чисел, оканчивающихся на 4 и 5, на 6 и 7, на 8 и 9. Таким образом,
четных чисел, оканчивающихся на 2, 4, 6, 8 не меньше, чем нечетных чисел,
оканчивающихся на 3, 5, 7, 9. Есть еще одно нечетное число 99991
9 класс
9.1. Ответ: 32 года.
Сумма возрастов игроков до травмы была 22  11 = 242 (года), а после травмы –
21  10 = 210 (лет). Возраст игрока, ушедшего с поля, равен 242 – 210 = 32
(года).
9.2. Ответ: Вася задумал цифры 1, 2, и 4.
Пусть a, b, с – три цифры, задуманные Васей. Существует девять двузначных
чисел, в десятичной записи которых используются только эти цифры: aa, bb, cc,
ab, ba, ac, ca, bc, cb. Найдем их сумму, разложив каждое из чисел в виде суммы
разрядных слагаемых: (10a + a) + (10b + b) + (10c + c) + (10a + b) + (10b + a) +
+(10a + с) + (10с + a) + (10b + c) + (10c + b) = 33(a + b + с). По условию
33(a + b + c) = 231, то есть a + b + с = 7. Существует единственная тройка
различных и отличных от нуля цифр, сумма которых равна 7: 1, 2, и 4.
9.3. Ответ: да, является.
Рассмотрим треугольники ADB, BEC и CMA (см. рисунок). Имеем:
АВ = ВС = СА; BAD = CBE = АCM (по условию);
ABD = BCE = CAM, так как эти углы дополняют равные углы до 600.
Следовательно, треугольники равны по стороне и двум прилежащим к ней
углам. Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих
сторон: AD = BE = CM, BD = CE = AM. Так как MD = AD – AM, DE = BE – BD,
ME = MC – CE, то MD = DE = ME, что и требовалось доказать.
9.4. Ответ: a = ±1, b = ±1 (четыре пары).
a 4  4b 4  (a 4  4a 2b 2  4b 2 )  4a 2b 2  (a 2  2b 2 ) 2  (2ab) 2 
 (a 2  2ab  2b 2 )(a 2  2ab  2b 2 )  ((a  b) 2  b 2 )(( a  b) 2  b 2 ).
Для того, чтобы полученное произведение было простым числом, необходимо,
чтобы один из сомножителей был равен 1. Учитывая, что a и b – целые,
a  b,
a  b, b  0,
получим: 
, 
, 
.
b  1 b  1 a  1
В последнем случае оба множителя равны единице и произведение не является
простым числом. В остальных двух случаях один из сомножителей равен
единице, а другой – пяти. Произведение равно простому числу 5.
9.5. Ответ: 2013.
Назовем монету, из которой что-то «выросло» «родителем», а монету, которая
«выросла» из какой-нибудь монеты – «ребенком». Заметим, что «детьми»
являются все монеты, кроме первой, а каждая золотая монета является
«родителем». поскольку у каждого «родителя» два «ребенка», то «детей» в два
раза больше, чем «родителей». Пусть х – количество золотых монет, а у –
количество серебряных. Тогда всего монет будет х + у, из которых «детьми»
являются (х + у) – 1 монет, а «родителями» – х. Составляем уравнение:
х + у – 1 = 2х  х = у – 1, то есть количество золотых монет на 1 меньше
количества серебряных. Буратино закопал 2013 монет.
10 класс
10.1. Ответ: нет, нельзя.
Если конь стоит в центре доски, то он «бьет» восемь полей, а если на любой
другой клетке, то не более шести. Таким образом, из 22 свободных клеток
«битыми» могут оказаться не более двадцати (8+6+6).
10.2. Ответ: верно.
Если a + b = с + d, то (a  b) 2  (c  d ) 2  a 2  2ab  b 2  c 2  2cd  d 2 ,
откуда ab = cd (учтено, что a 2  b 2  c 2  d 2 ). Далее
a 3  b3  (a  b)( a 2  ab  b 2 )  (c  d )(c 2  cd  d 2 )  c 3  d 3 .
10.3. Ответ: 1:1.
Так как ADC – вписанный и опирается на диаметр окружности, то он равен
900, значит, BDC – прямоугольный. KD = KC, так как они являются отрезками
касательных, проведенных из одной точки (см. рисунок).
DCK = CDK = . Тогда DBC = 900 – DCK = 900 – ;
KDB = 900 – CDK = 900 – . Следовательно,
KD = KB = KC и К – середина ВС.
10.4. Ответ: составным.
49  610  320  (29 ) 2  2(29  310 )  (310 ) 2  (29  310 ) 2 , данное число
Так как
является составным.
10.5. Ответ: нет, не может.
Пусть на гранях записано шесть последовательных натуральных чисел, n –
наименьшее из них, а S – их сумма. Тогда S = n + (n + 1) + … + (n + 5) = 6n + 15.
Так как каждая вершина принадлежит трем граням куба, то каждое число от 1
до 8 входит в три суммы, записанные на гранях. Поэтому S = 3(1 + 2 + … + 8) =
= 108. Очевидно, что уравнение 6n + 15 = 108 не имеет натуральных решений.
11 класс
11.1. Ответ: 3.
Так как ( x  y )3  x 3  3x 2 y  3xy 2  y 3  ( x 3  y 3 )  3( x 2 y  xy 2 )  9  18  27,
то х + у = 3.
1
11.2. Ответ: 3 поленницы.
13
Пусть х поленниц – искомое количество дров. На распиливание одной
поленницы уходит 1/5 дня, а чтобы затем ее наколоть – 1/8 дня. Значит, х
поленниц они распилят и наколют за
x x 13 x
13 x
40
1
дней. Отсюда
 
1 x 
 3 поленницы.
5 8 40
40
13
13
11.3. Ответ: 5.
Обозначим вершины четырехугольника через A, B, C и D (по часовой стрелке).
И пусть АВ = 3, CD = 4, АСВ = , CBD = . Так как диагонали взаимно
перпендикулярны,  +  = 900  sin   cos . По теореме синусов из АВС:
3
4
 2 R (R – радиус описанной около
 2 R; аналогично, из DBC:
sin 
sin 
четырехугольника и указанных треугольников окружности). Отсюда
3
4
sin  
, sin  
. Так как sin 2   sin 2   sin 2   cos2   1, получаем,
2R
2R
что диаметр 2R = 5.
11.4. Ответ: 99! < 50 99.
99! = 1  2  …  98  99 = (50 – 49) (50 – 48)…(50 –1)  50  (50 + 1)…(50 + 49) =
= 50  (50 2  12 )(50 2  22 )...(50 2  49 2 )  50  (50 2 ) 49  5099.
11.5. Ответ: 5391.
Заметим, что среди трехзначных чисел замечательными являются те и только те
числа, которые оканчиваются на 99. Действительно, пусть трехзначное число N
оканчивается на 99. Докажем, что оно замечательное. В любом меньшем числе
на каждом месте стоит цифра не большая, чем в числе N, причем на каком-то
месте стоит меньшая цифра либо первая цифра отсутствует (если число не
трехзначное). Поэтому меньшие числа имеют меньшую сумму цифр, то есть
число N – замечательное. Теперь докажем, что других трехзначных чисел нет.
Любое трехзначное число имеет сумму цифр не больше, чем 9  3 = 27. Суммы
цифр замечательных чисел 199, 299, …, 999 равны соответственно 19, 20,…, 27.
Все меньшие суммы цифр уже встречаются у однозначных или двузначных
чисел. Поэтому, если трехзначное число не оканчивается на 99, оно не является
замечательным. Осталось найти сумму трехзначных чисел, окачивающихся на
99: S = 199 + 299 + … + 999 = (200 + 300 + … +1000) – 9 = 5391.