 

Лекция 2
4.6. Непрерывность функции
Определение 1. Функция f x  называется непрерывной в точке x0 , если
она удовлетворяет следующим условиям:
1) определена в точке x0 , т.е. существует f x0  ;
2) имеет конечные односторонние пределы функции при x  x0 слева и
справа;
3) эти пределы равны значению функции в точке x0 , т.е.
lim f x   lim f x   f x0  .
x  x0 0
x  x0  0
Пример 4.8. Исследовать функции на непрерывность в точке x  0 :
а) y  x 2 , б) y 
1
.
1  e1 x
Решение. а) y  x 2 . При x  0 функция определена, lim x2  0 , lim x2  0 ,
x 0  0
x 0  0
y0  0 , т.е. все три условия непрерывности функции в точке выполнены.
Следовательно, функция y  x 2 в точке x  0 непрерывна.
1
.
При
функция
не
определена;
x0
1  e1 x
1
1
1
1
1
1
lim


 1 ; lim

 0.
1
x


1
x


x 00 1  e
x 0  0 1  e
1 e
1 0
1 e

Т.о. в точке x  0 функция не является непрерывной, т.к. не выполнены
б)
y
первое и третье условия непрерывности функции в точке.
Определение 2. Функция y  f x называется непрерывной в точке x0 ,
если она определена в этой точке и бесконечно малому приращению
у  0 .
аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции: lim
x 0
Определения 1 и 2 равносильны.
Свойства функций, непрерывных в точке
1. Если функции f x  и  x непрерывны в точке x0 , то их сумма
f x   x , произведение f x    x  и частное f x  x (при условии  x0   0 )
являются функциями, непрерывными в точке x0 .
2. Если функция y  f x непрерывна в точке x0 и f x0   0 , то
существует такая окрестность точки x0 , в которой f x   0 .
3. Если функция y  f u  непрерывна в точке u0 , а функция u   x
непрерывна в точке x0 , то сложная функция y  f  x непрерывна в точке x0 .
Определение. Функция y  f x называется непрерывной на промежутке
X , если она непрерывна в каждой точке этого промежутка.
Все элементарные функции непрерывны в области их определения.
Точки разрыва функции
Определение. Если в какой-нибудь точке x 0 для функции y  f x не
выполняется по крайней мере одно из условий непрерывности, то эта точка
называется точкой разрыва функции.
Причем:
1) Если существуют конечные односторонние пределы
функции, неравные друг другу: lim f x  lim f x ,
x  x0  0
x  x0  0
то точка x0 - точка разрыва I рода.
2) Если хотя бы один из односторонних пределов функции lim f x 
или lim f x равен бесконечности или не существует,
x  xo  0
x  xo  0
то точка x0 - точка разрыва II рода.
Свойства функций, непрерывных на отрезке
1. Если функция y  f x непрерывна на отрезке a, b , то она ограничена
на этом отрезке.
2. Если функция y  f x непрерывна на отрезке a, b , то она достигает
на этом отрезке наименьшего значения m и наибольшего значения M
(теорема Вейерштрасса).
3. Если функция y  f x непрерывна на отрезке a, b и значения ее на
концах отрезка f a  и f b имеют противоположные знаки, то внутри отрезка
найдется точка  такая, что f    0 . (Теорема Больцано-Коши.)
Пример 4.9. Исследовать на непрерывность и найти точки разрыва
x
. Установить характер разрыва.
x 1
Решение. При x  1 функция не определена, следовательно, функция в
x
x
  , а
lim
  . Так как
точке x  1 терпит разрыв: xlim
1 0 x  1
x 1 0 x  1
односторонние пределы бесконечны, то x  1 - точка разрыва второго рода
функции у 
(рис. 4.2).
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Тема 5. Производная функции
5.1. Определение производной. Задачи, приводящие к понятию
производной
Пусть функция y  f x определена на промежутке X . Возьмем точку
x  X . Дадим значению x приращение x  0 , тогда функция получит
приращение y  f x  x  f x.
Определение. Производной функции y  f x называется предел
отношения приращения функции y к приращению аргумента (независимой
переменной) x при стремлении последнего к нулю (если этот предел
существует):
y  lim
x  0
Обозначают: y , f  x ,
y
f  x  x   f  x 
 lim
.

x

0
x
x
dy
, y x .
dx
Нахождение производной функции называется дифференцированием
этой функции.
Если функция в точке x имеет конечную производную, то функция
называется дифференцируемой в этой точке. Функция, дифференцируемая во
всех точках промежутка X , называется дифференцируемой на этом
промежутке.
Задача о касательной
Пусть на плоскости Oxy дана непрерывная функция y  f x и
необходимо найти уравнение касательной к этой кривой в точке M 0 x0 , y0  .
Уравнение прямой по точке M 0 x0 , y 0  ,
принадлежащей этой прямой, и угловому
коэффициенту имеет вид:
y  y0  k x  x0  ,
где k  tg , (  - угол наклона прямой).
Из M 0 M1 N (рис.5.1) найдем тангенс
у
.
х
Если точку M1 приближать к точке M 0 ,
угла наклона секущей M 0 M1 :
tg 
то угол  будет стремиться к углу  , т.е.
при х  0
Следовательно,
y
.
x  0 x
y
k  lim
 y .
x  0 x
tg  lim
Задача о скорости движения
Пусть вдоль некоторой прямой движется
точка по закону S  S t  , где S - пройденный
путь, t –время и необходимо найти скорость
точки в момент to (рис.5.2).
К моменту времени t0 путь равен S0  S t0  , а к моменту t0  t  путь
равен S1  S t0  t  .
S  S1  S0 - путь, пройденный за время t .
Тогда за промежуток t средняя скорость vср 
v ср , т.е.
скорость v  lim
t 0
v  lim
t  0
S
 S .
t
S
,
t
а мгновенная
Задача о производительности труда
Пусть функция u  ut  выражает количество произведенной продукции
u за время t и необходимо найти производительность труда в момент t 0 .
За период времени от t0 до t0  t количество произведенной продукции
изменится от u0  ut0  до u1  ut0  t  , где u1  u0  u , t1  t0  t . Тогда в
момент
t0
средняя производительность труда запишется
производительность труда:
zср 
u
,
t
а
u
 u .
t 0 t
z  lim z ср  lim
t 0
Из задачи о касательной вытекает геометрический смысл производной:
производная функции в точке x 0 f x0  есть угловой коэффициент (тангенс
угла наклона) касательной, проведенной к кривой y  f x в точке x0 , т.е.
k  f x0  .
Тогда уравнение касательной к кривой y  f x в точке x0 примет вид:
y  f x0   f x0 x  x0  .
Из задачи о скорости движения следует механический смысл
производной: производная пути по времени S t0  есть скорость точки в
момент t0 : vt0   S t0  .
Из задачи о производительности труда следует, что производная объема
произведенной продукции по времени ut0  есть производительность труда в
момент t0 (экономический смысл производной).
5.2.
Зависимость
дифференцируемостью
между
непрерывностью
функции
и
Теорема. Если функция y  f x дифференцируема в точке x0 , то она в
этой точке непрерывна.
Обратная теорема не верна, т.е. если функция непрерывна в точке, то
она не обязательно дифференцируема в этой точке.
Схема вычисления производной.
Производная функции y  f x может быть найдена по следующей
схеме:
1. Дадим аргументу x приращение x и найдем наращенное значение
функции y  y  f x  x .
2. Находим приращение функции y  f x  x  f x.
3. Составляем отношение
y
.
x
4. Находим предел этого отношения при x  0 (если он существует).
Пример 5.1. Найти производную функции y  x3 .
Решение.
3
y  y  y x  x   x  x  ,
1.
3
2
3
2
y   x  x   x 3  x 3  3x 2 x  3xx   x   x 3  x3x 2  3xx  x  
2.
,
3.
4.
y
 3 x 2  3 xx  (x) 2 ,
x

y   lim 3x 2  3xx  (x) 2  3x 2 . Итак, x3  3x 2 .
x0


 

Можно доказать, что для любого n  0 справедливо: x n   nx n 1 .
5.3. Правила дифференцирования. Производные элементарных
функций
1.
Производная постоянной равна нулю, т.е. с  0 .
2.
Производная аргумента равна 1, т.е. x  1.
3.
Производная
алгебраической
суммы
конечного
числа
дифференцируемых функций равна такой же сумме производных этих
функций, т.е.
u  v   u   v  .
4.
Производная произведения двух дифференцируемых функций
равна произведению производной первого сомножителя на второй плюс
произведение первого сомножителя на производную второго, т.е.
uv   u v  uv .
Следствие 1. Постоянный множитель можно вынести за знак
производной
cu   cu  .
Следствие 2. Производная произведения нескольких дифференцируемых
функций равна сумме произведений производной каждого из сомножителей
на все остальные:
vuw  uvw  uvw  uvw .
5.
Производная частного двух дифференцируемых функций может
быть найдена по формуле:

 u  uv  uv
при v  0 .
  
v2
v
Производная сложной функции
Пусть задана сложная функция y  f  x .
Теорема. Если у  f u  и u   x - дифференцируемые функции от своих
аргументов, то производная сложной функции существует и равна
производной данной функции по промежуточному аргументу умноженной на
производную промежуточного аргумента по независимой переменной x , т.е.
yx  fuu   ux .
dy dy du

 .
dx du dx
Другая запись:
Пример 5.2. Найти производную y   x  5 .
Решение. Обозначим u   x  5, тогда
3
   u   3u
y x  u 3
u
x
2

 u x  3 x  5

2
1
2 x
.
Производные элементарных функций
y=xn
а)
y  ln x,
б)
y  log a x .
а)
x   nx
n
y 
y 
Степенные функции
n 1
1
,
x
Логарифмические
функции.
1
.
x ln a
y  e x ,
y  ex ,
б)
Показательные функции.
y   a x ln a .
y  ax .
а)
y   cos x ,
б)
y    sin x ,
y  sin x,
y  cos x,
в)
y  tgx,
г)
y  ctgx.
1
,
cos 2 x
1
y  
.
sin 2 x
y 
Тригонометрические
функции
Производные высших порядков
Определение. Производной n -го порядка y n  x  функции y  f x
называется производная от производной n  1 порядка:



y n  x   f n1 x  .
В частности, y    f  x  , y    f  x  .
Пример 5.3. Найти yx  , если yx   cos2 3x .
Решение. yx  2 cos 3x   sin 3x  3  3sin 6x ,

y  x    3 sin 6 x   3 cos 6 x  6  18 cos 6 x ,

yx    18 cos 6 x   18 sin 6 x   6  108 sin 6 x .