Раздел 14

14. МАГНИТНОЕ ПОЛЕ
14.1. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ПОЛОЖЕНИЯ
Магнитное поле неразрывно связано с электрическим током: если гдето протекает ток, то обязательно возникает магнитное поле; если имеется
магнитное поле, то оно обязательно создано током. Основной величиной,
характеризующей магнитное поле, является вектор магнитной индукции B ,
определяемый по силовому воздействию со стороны магнитного поля на
помещенный в него проводник с током. В расчетах магнитных полей широко
используется вектор напряженности H . Два указанных вектора связаны
между собой соотношением: B = а H , где а = 0·r – абсолютная магнитная
проницаемость среды, в которой создано поле; 0 = 4 ·10 -7 Гн/м – абсолютная магнитная проницаемость вакуума (магнитная постоянная); r – относительная магнитная проницаемость среды, в которой создано поле. Широкое
распространение получил также магнитный поток, представляющий собой
поток вектора B через некоторую поверхность S: Ф =  B  ds .
S
Основным законом магнитного поля является закон полного тока. Его
интегральная и дифференциальная формы записи:  H  dl = I, rot H =  ,
L
где
I – полный ток, связанный с контуром L;
 – плотность тока в рассматриваемой точке поля.
Используя закон полного тока в интегральной форме, легко получить
опорные формулы, по которым можно вычислить напряженность поля,
созданного в однородной среде цилиндрическим проводником (задача 14.5) и
плоской шиной (задача 14.6).
В областях, не занятых токами ( = 0), магнитное поле является
безвихревым или потенциальным и его можно рассчитывать с помощью
скалярного магнитного потенциала М, причем H = -grad М . Рассчитывают М с помощью уравнения Лапласа  2 М = 0. Разность скалярных магнитных потенциалов называется магнитным напряжением
UМ12 =  М1 –  М2 = 1 H  dl .
Расчёт магнитного напряжения, созданного уединённым проводником
в однородной среде подробно рассмотрен в задаче 14.17.
С помощью векторного магнитного потенциала A можно рассчитать
магнитное поле в любой области, в том числе и занятой током. Определяется
A по уравнению Пуассона  2 A = -а  , причем div A = 0 и Ф =  A  dl .
2
L
Граничные условия в магнитном поле: H1t = H2t, B1n = B2n, М1=М2.
При расчёте магнитных полей в однородных средах при наличии
нескольких источников поля целесообразным является принцип наложения.
При этом найденные от отдельных источников величины суммируются:
93
скалярные – алгебраически (М =Мq, UМ =UМq, Ф =Фq и т.д.),
векторные – векторно ( B = Bq , H = H q , A = Aq ).
Если магнитное поле создается проводниками, расположенными
вблизи границы раздела разных сред, то его расчет упрощается применением
метода зеркальных изображений аналогично тому, как это делалось при
расчете электрических полей. Коэффициенты неполного отражения
(коэффициенты фиктивных токов) при этом вычисляются как
  1
2 1
k1 = 2
, k2 =
.
1   2
1   2
Индуктивность и взаимная индуктивность контуров:
12  21
=
.
I1
I2
I
Энергия магнитного поля контура и её объемная плотность,
WM BH  a H 2
LI 2
соответственно, WМ =
и wМ = lim
=
=
.
V 0 V
2
2
2
Во многих случаях индуктивность проще рассчитывать через энергию

L=
магнитного поля L =
2W
I2
;
M=
, а не через потокосцепление  (задача 14.9).
14.2. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ СООТНОШЕНИЙ ПРИ РАСЧЁТЕ ПОЛЯ
ЗАДАЧА 14.1. По тонкому проводнику, представляющему собой
окружность радиуса а = 1,2 см, протекает ток I = 5 А. Требуется рассчитать
магнитную индукцию на оси витка.
Решение
Разместим виток в плоскости x0y декартовой системы координат так,
чтобы начало координат совпадало с центром окружности, а направление оси
z совпало с положительным направлением нормали к плоскости круга, как
это показано на рис. 14.1,а.
Расчет магнитной индукции произведем с помощью закона Био I [ dl  R0 ]
Савара-Лапласа d B = 0
.
4R 2
z
z
б)
а)
dB
  B
dB
dB
d
М
90
90
R
М
0
I
I dl
R
R0
y

I dl
a
y
r


0
+
а
а
0
I
dl
I dl

x
Рис. 14.1
94
Между векторами dl и R0 угол 90 (рис. 14.1,б), поэтому результат для
векторного произведения
dl  R0 = dl·1·sin90 = dl.
Проекция вектора d B на ось z в соответствии с рис. 14.1,б
a
a
dBz = dB·cos, R2 = z2 + a2, cos = =
.
R
z2  a2
Элемент длины контура с током dl = a∙d, где  – координата
цилиндрической системы координат (рис. 14.1,а).
Подставляя полученные выражения, получаем
 I a  d
a
dBz = 0
.

2
2
4 z 2  a 2
z a
Магнитная индукция на оси кругового тока
2
0 I
0 I  a 2
a2
B =  dBz 
.
 2 
3
2
2 3
4

0
2 (z a )
( z 2  a2 )2
В плоскости круга (z = 0) численное значение индукции
z
 0 I  a 2  0 I 4  10 7  5
-5
B=
=
26,2·10
Тл.


B0
2a 2  1,2  10  2
2  a3
i
е
ЗАДАЧА 14.2. В воздухе (e = 1) создано равномерy
R0
ное магнитное поле с индукцией В0 = 0,8 Тл. В это поле
М
внесен шар радиусом R0 = 10 см, обладающий магнитx
N
ной проницаемостью i = 4 (рис. 14.2). Требуется расРис.
14.2
считать магнитную индукцию в точке М(5 см; 120; 60)
и напряженность магнитного поля в точке N(15 см; 120; 60).
Решение
Воспользуемся известным решением уравнения Лапласа в сферической
C
системе координат [3]  М  ( С1 R  22 ) cos   C3 , но сделаем это дважды:
R
для внутренней области шара и для наружной.
Напряженность магнитного поля будем рассчитывать по формуле
Н   grad M . В сферической системе координат (см. табл. 11.1)
 M


gradM = R 0 M +  0 M +  0
.
R
R
R sin  
В рассматриваемом случае
 M


= 0, поэтому Н = - R 0 M – 0 M = R 0HR +  0 H .
0
R
R
R sin  
Заметим, что на границе раздела сред (R=R0) радиальная составляющая
HR нормальна к границе, а H содержит только тангенциальную
составляющую. Магнитная индукция в каждой области В =  r 0Н.
Результат решения занесем в табл. 14.1.
95
Таблица 14.1
Для наружной области
C
 M e  ( C4 R  52 ) cos   C6
R
2C
H R e  ( C 4  35 ) cos 
R
C
H  e  ( C 4  53 ) sin 
R
2C
BR e    e  0 ( C 4  35 ) cos 
R
C
B e   e  0 ( C 4  53 ) sin 
R
Для внутренней области
C
 M i  ( C1 R  22 ) cos   C3
R
2C
H R i  ( C1  32 ) cos 
R
C
H  i  ( C1  23 ) sin 
R
2C
BR i    i  0 ( C1  32 ) cos 
R
C
B i   i  0 ( C1  23 ) sin 
R
Исследуем решение для наружной области, устремив R  ∞. На
таком расстоянии возмущающее действие внесенного шара исчезающее мало
и согласно рис. 14.3 BR   B0 cos  , B  B0 sin .
z
С другой стороны,
BR

B0
lim BR e = -e0 C4 cos, lim B e = e0 C4 sin.
R 
R 
B
Последние два соотношения позволяют определить постоянную интегрирования
y
x
B0
0. 8
Рис. 14.3
С4 =
=
= 63,7.
7
 e  0 1  4  10
Исследуем решение для внутренней области, устремив R  0. При этом
ни напряженности HRi и H i, ни индукции BRi и B i, ни потенциал  Mi не
могут быть бесконечно большими. Поэтому С2 = 0.
Положим, что в центре внесенного шара (R = 0)  Mi = 0. Тогда С3 = 0.
На этом этапе решение принимает вид, приведенный в табл. 14.2.
Таблица 14.2
Для внутренней области
Для наружной области
 M i  C1 R cos 
B
C
 M e  ( 0 R  52 ) cos   C6
e 0
R
H R i  C1 cos 
B
2C
H  i  C1 sin 
H R e  ( 0  35 ) cos 
e 0 R
BR i    i  0C1 cos 
B
C
H  e  ( 0  53 ) sin 
B i   i  0C1 sin 
e 0 R
B
2C
BR e    e  0 ( 0  35 ) cos 
e 0 R
B
C
B e   e  0 ( 0  53 ) sin 
e 0 R
96
Постоянные интегрирования С1 и С5 определим из граничных условий
при R = R0: Hit = Het и Bin = Ben.
B
C
C1  0  53 ;
 e  0 R0
Уравнения принимают вид
B
2C
i  0C1   e  0 ( 0  35 ).
 e  0 R0
Решение этой системы дает следующий результат:
B
  i
3B0
0 ,8  3 1
4 A
С1 = 0 ( 1  e
=
31,85·10
,
)

м
e 0
i  2 e
 0 (  i  2 e ) 1  4 10 7  ( 4  2 1 )
B0 (  e  i )R03
0,8  ( 1  4 ) 10 3
С5 =
= -318,5 A·м2.


7
 e  0 ( i  2 e ) 1 4 10  ( 4  2 1 )
Постоянная интегрирования С6 определяется из условия непрерывности потенциала на границе раздела сред, т.е. при R = R0 Mi = Mе:
3B0  R0  cos   B0
B (   i )R0 
 cos   C6 , откуда С6 = 0.
 
R0  0 e
 0 ( i  2  e )   e  0
e 0 ( i  2e ) 
Рассчитаем магнитную индукцию в точке М. Эта точка принадлежит
внутренней области шара, и здесь
3  B
3  4  0.8
2
Вi = BRi
= 1,6 Тл.
 B2i = 0i·С1 = i 0 =
i  2  e
42
Заметим, что внутри шара индукция является постоянной величиной и
по направлению совпадает с В0.
Определим напряженность магнитного поля в точке N, находящейся во
внешней области:
A

2C 
2  318 ,5 

HR =   C4  35  cos    63,7  104 
 cos 120 = 41,29·104 ;
3
м
R 
0,15 



C 
318 ,5 


4 A
H =  C4  53  sin    63,7  104 
=
47,03·10
;
sin
120

3
м
R 
0
,
15



A
H = H R2  H2  41,29 2  47 ,032 ·104 = 62,58·104 .
м
Эта напряженность одинакова для всех значений координаты α.
ЗАДАЧА 14.3. По прямолинейному цилиндрическому проводнику
(μr = 200), расположенному в воздухе, протекает ток I = 200 А, радиус
провода r0 = 4 мм.
Требуется определить зависимость магнитной индукции в функции
расстояния от оси проводника. Пользуясь полученными зависимостями убедиться, что магнитное поле внутри проводника вихревое, а вне – скалярное.
Ответ: при 0 ≤ r ≤ r0 B = 500r Тл, r [м]; rot H    0 , следовательно,
поле вихревое; при r0 ≤ r < ∞ B = 4·10-5/r Тл, r [м]; rot H    0 , следовательно, поле скалярное.
97
ЗАДАЧА 14.4. В равномерное магнитное поле с напряженностью
Н0 = 120 А/см, созданное в воздухе, помещен сферический магнитный экран
с внутренним радиусом а = 6 см и наружным b = 7 см. Тело экрана выполнено из материала с относительной магнитной проницаемостью μr = 400.
Рассчитать коэффициент ослабления поля Kосл = Н1/Н0, где Н1 – напряженность поля внутри экрана.
Рассчитать Kосл для цилиндрического экрана с теми же размерами а и b.
1
Ответ: для сферического экрана Kосл =
= 0,029;
2  a3 
1   r 1 

b3 
9 
2qb2
для цилиндрического экрана
Kосл =
= 0,0365,
2 r
где q =
= 0,004975;
( 1   r )2

 = b2 –  2·a2 = 13,358;  =
r  1
= 0,9950.
r  1
14.3. РАСЧЁТ ПОЛЯ С ПОМОЩЬЮ ИНТЕГРАЛЬНЫХ СООТНОШЕНИЙ. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ СКАЛЯРНОГО МАГНИТНОГО
ПОТЕНЦИАЛА.
A dl
H
ЗАДАЧА 14.5. Рассчитать напряжённость магнитr
ного поля, созданного уединённым цилиндрическим
проводником с током I в однородной среде в точке А
на расстоянии r от оси проводника (рис. 14.4).
I
Решение
Через точку А проведём окружность радиусом r и
применим закон полного тока в интегральной форме
Рис. 14.4
 H  dl = I.
L
Как видно из рис. 14.4, в силу симметрии направления векторов H и dl
во всех точках окружности совпадают, а значение напряжённости Н одинаково. Тогда скалярное произведение векторов H и dl заменяем произведением
их модулей, а Н выносим за знак интеграла как константу. Получаем:
а
 H  dl =  H  dl = Н  dl = Н·L = Н·2r = I,
2
L
L
L
3
I
откуда Н =
.
(14.1)
2r
h
ЗАДАЧА 14.6. Рассчитать напряжённость магнитного
поля, созданного уединённой плоской шиной размерами
dl
H аh, h >> а с током I в однородной среде в точке А вблизи
шины (рис. 14.5).
Решение
4
1 Рис. 14.5
I
A
98
Через точку А вокруг шины проведём прямоугольный контур 1-2-3-4-1
и применим к нему закон полного тока в интегральной форме:  H  dl = I.
L
В точках, расположенных вблизи поверхностей шины 1-2 и 3-4,
создаётся однородное магнитное поле. Поскольку высота шины во много раз
больше её толщины, результатом интегрирования вдоль сторон 1-4 и 2-3
можно пренебречь. В точках сторон 1-2 и 3-4 направления векторов H и dl
совпадают, а значение напряжённости Н одинаково. Тогда скалярное
произведение векторов H и dl заменяем произведением их модулей, а Н
выносим за знак интеграла как константу. Получаем:
I
H  dl = Н·l12 + Н·l34 = Н·2h = I; Н = . (14.2)

Ф
2h
L
а
I
rА
A
ЗАДАЧА 14.7. Рассчитать магнитный
B поток, созданный уединенным проводником в
rВ
однородной среде сквозь прямоугольную рамку
AB длиной l, длинные стороны которой
Рис. 14.6
параллельны проводнику (рис. 14.6).
Решение
Магнитный поток Ф через рамку АВ определяется потоком по трубке,
rB
ограниченной окружностями с радиусами rА и rВ: Ф =  B( r )  l  dr .
rA
Но в соответствии с (14.1)
Н=
I
2r
;
В(r)=а·Н =а·
I
2r
.
Таким
образом,
 a I  l rB
ln .
(14.3)
2
rA
Примечание. Если рамку поворачивать вокруг своей оси, то максимальный поток будет проходить сквозь рамку, когда она расположена своей
плоскостью перпендикулярно к силовым линиям (по радиальным линиям).
Ф=
Ф
ЗАДАЧА 14.8. Рассчитать внешнюю индуктивность двухпроводной линии (рис. 14.7). Радиус I
I
d
проводов и расстояние между ними r0 = 1 см, d = 1 м.
Рис. 14.7
Решение
Внешняя индуктивность линии обусловлена магнитным потоком
между проводами. Так как по проводам протекает одинаковый ток, то и
созданные ими магнитные потоки между проводами равны. Поток от одного
 I  l d  r0
провода в соответствии с (14.3) – Ф = 0
ln
.
r0
2
Искомая внешняя индуктивность на 1 м длины линии:
99
2Ф 0l d  r0 4  10 7  1 100  1
L=
=
ln
=
ln
= 1,84·10 -6 Гн = 1,84 мкГн.
r0
1


I
ЗАДАЧА 14.9. Рассчитать поле и индуктивность коаксиального кабеля
(рис. 14.8). По кабелю замыкается ток I.
Решение
Снаружи кабеля поле отсутствует, так как I = 0. Таким образом, можно
выделить три различные области (обозначены на рис. 14.8,а римскими цифрами) с магнитными проницаб) r dr I
a)
r
1
емостями а1, а2, а3.
III
Для
расчета
поля
II
I
используем закон полного тока:
l
r
2
=

I.
H

dl

I r3
L
dФ
1. Область I – 0 < r < r1
I
Рис. 14.8 B H
(рис. 14.8,б).  H  dl = H·2r;
L
r
I
 I
 I
; H=
·r; B = а1·H = a1 2 ·r; dФ = B·dS = a1 2 ·r·l·dr.
2
2
2r1
2r1
2r1
r1
Так как во внутреннем проводнике магнитный поток dФ сцеплен
только с частью тока I, которая пропорциональна отношению r2/r12, то
r2
магнитное потокосцепление d = dФ· 2 .
r1
Внутренняя индуктивность первой области вычисляется по формуле
I = I
2
r1
 d ( r )

L1 = = 0
I
I
 a1l 1 r1 3
 a1l r 4
=
· 2  r dr =
·
2r12 r1 0
2r14 4
r1
=
0
a1l
8
и, как видим, не зависит от радиуса жилы.
2. Область II – r1 < r < r2.
 I
 I
I
I = I; H =
; B = a 2 ; d = dФ = B·dS = a 2 ·l·dr.
2r
2r
2r
r2
 d ( r )
Внешняя индуктивность
L2 =
r1
I
=
 a 2l r2
ln .
2
r1
3. Область III – r2 < r < r3.
 a 3 I r32  r 2
 ( r 2  r22 )
I r32  r 2
I=I – I
; H=
; B=
;
2r r32  r22
2r r32  r22
 ( r32  r22 )
dФ=
 a 3 I r32  r 2
·l·dr.
2r r32  r22
100
r 2  r22
Этот поток сцеплен с током I и частью обратного тока, равной I 2 2 .
r3  r2
Поэтому элементарное потокосцепление
2
2
 r 2  r22 
r

r
3
d = dФ· 1  2 2  = dФ· 2 2 .
r3  r2
 r3  r2 
Внутренняя индуктивность третьей области:
r3
 d ( r )
L3 =
=
=
=
r2
I
 a 3l
( r32  r 2 )2
=
dr =

r
2 ( r32  r22 )2 r2
 a 3l
2 ( r32
r3 4
r3
 r22 )2
 a 3l
2 ( r32  r22 )
·[ 
r2
r
·[r 34 ln
2
r3
dr –
2r 32
r3
r3
r2
r2
3
 r  dr +  r  dr ] =
Н
Рис. 14.9
1
r3
– r 32 (r 32 –r 22 )+ (r 34 –r 42 )] =
r2
4
 a 3l
r3 3r32
[
ln –
2 ( r32  r22 )2 r2 4( r32
r34
 r22
 r22
].
r
r1
r2 r3
)
Внешняя индуктивность кабеля – Lе = L2; внутренняя индуктивность –
Li = L1 + L3; вся индуктивность – L = L1 + L2 + L3.
Примерный график зависимости Н(r) представлен на рис. 14.9.
Второй способ расчёта индуктивности коаксиального кабеля.
I
1. Область I – 0 < r < r1. H =
·r.
2r12
Энергия элементарного слоя dr (рис. 14.8) на расстоянии r от оси:
BH
H2
I 2l
I 2l 3
dW =
dV = a1
·2rl·dr = a1
r2·2rdr = a1
r ·dr.
2
2
4r14
4 2 r14  2
r
2
2 W1
 a1l r14  04 =  a1l .
I 2l 1 3
L1 = 2 = 2  dW = 2 a1
=
r
dr

8
I
I 0
I
4
2r14
4r14 0
2. Область II – r1 < r < r2.
I
I 2l
I 2l dr
I = I;
H=
; dW = a2
2r·dr = a2
.
2r
4 r
4 2 r 2  2
r
2
I 2l 2 dr  a 2l r2
L2 = 2 a2
 = 2 ln r .
I
4 r1 r
1
2W1
3. Область III – r2 < r < r3.
r32  r 2
H=
;
2r r32  r22
I
101
( r32  r 2 )2
( r32  r 2 )2
I 2l
I 2l
dW = a3
2r·dr = a3
dr.
2
2 2
2
2 2
r
4 2 r 2  2 ( r3  r2 )
4 ( r3  r2 )
h
r3 4
r3
r3
r3
2
I 2l
2
L3 = 2 a3
[  dr –2r 3  r  dr +  r 3  dr ] =
2
2
2
I
4 ( r3  r2 ) r2 r
r2
r2
 a 3l
r3
1 4 4
4
2 2
2
=
·[r
ln
–
r
(r
–r
)+
(r 3 –r 2 )].
3
3
3
2
r2
4
2 ( r32  r22 )2
ЗАДАЧА 14.10. Рассчитать внутреннюю индуктивность прямоугольной шины (рис. 14.10).
Решение
Плотность тока в шине –  = I/(а·h). В соответствии с законом полного
тока
Н·2h =  ·2хh, откуда Н = х, то есть
напряженность Н внутри шины заI
у
висит от х по линейному закону. На поверхности
шины
dS
I a I
Н =  ·½а =
= .
ah 2 2h
dФ
Индукция внутри шины
В = аН = 0х.
х
Магнитный поток сквозь сечение
dS = l·dx
dx
dФ = В·dS = 0хl·dx.
Этот магнитный поток
l
сцеплен только с частью тока I, которая
а
hx
2x
Рис. 14.10
пропорциональна
= , поэтому магнитное
ha / 2 a
2x
потокосцепление d = dФ . Внутренняя индуктивность
a
a/2
a/2
2
d



l
x 2 dx


0
a
2  l a / 2 0 la

0
Li = = 0
=
= 0 2 х3
=
.
ah
I
12 h
I
3ha
0
Внутренняя индуктивность не зависит от размеров шины, если
пропорция h/a сохраняется.
В случае двух шин, если токи в них направлены в разные стороны
(рис. 14.11,а), шины оказываются соединенными последовательно, и их
внутренняя индуктивность
I
I
б) I
a) I
0 la
Li = 2·Li =
;
6h
если токи направлены в одну сторону (рис.
14.11,б), шины соединены параллельно и тогда
Рис. 14.11
0 la
Li = ½·Li =
.
I
24 h
+
ЗАДАЧА 14.11. По металлической трубе, материал
которой обладает магнитной проницаемостью r и
r2 r1
102
Рис. 14.12
находящейся в воздухе, замыкается ток I, как показано на рис. 14.12.
Рассчитать магнитное поле внутри, вне и в теле трубы.
Решение
Расчет произведем с помощью закона полного тока в интегральной
форме. В качестве контура интегрирования возьмем окружность радиуса r,
центр которой совпадает с осью трубы. Для области, находящейся внутри
трубы (0 ≤ r ≤ r1), полный ток равен нулю, поэтому здесь напряженность Н
и индукция В равны нулю.
B теле трубы (r1 ≤ r ≤ r2)  H  dl =  H  dl = H  dl = H·2r, а полный ток
L
L
равен  ·S,
L
где  – плотность тока в теле трубы, а S – площадь кольца с
I
радиусами r1 и r. Поскольку  =
; S = (r2 – r12 ), то
2
2
 ( r2  r1 )
 0  r I ( r 2  r12 )
  S I ( r 2  r12 )
Н=
=
, а В = 0rН =
.
2r 2r( r22  r12 )
2r( r22  r12 )
Вне трубы (r2 ≤ r ≤ ∞)  H  dl = H ·2r, а полный ток равен I, следоL
вательно, Н =
I
2r
и В=
0 r I
.
2r
r
0
ЗАДАЧА 14.12. Плоская треугольная рамка
(рис. 14.13) имеет w = 400 витков и находится в I
среде с проницаемостью  = 10 в одной плоскости с длинным круглым проводом радиуса r0.
Размеры: а = 10 см, b = 20 см, c = 15 см. Определить взаимную индуктивность провода и рамки.
I
Решение
dr
с
y
а
b
r
 12

H ,B
= M21 = 21 = М.
Рис.
14.13
I1
I2
В данном случае удобнее задаться некоторым током I в проводе и рассчитать
магнитный поток сквозь рамку.
На расстоянии r от провода в треугольнике выделим элементарную
площадку dS = y·dr. Получим формулу магнитного потока сквозь неё.
По определению
M12 =
c
c
y = k·r + d; k = - ; d = (a + b);
b
b
 I
 I c
I
c
H=
; B = 0 ; dФ = B·dS = B·y·dr = 0 (- r + (a + b))dr.
2r
2r b
b
2r
r  a b
a

b
 Iс
dr
Ф =  dФ = 0
( r  a  b ) =

2b a
r
r a
103
a b  Iс
0 Iс
ab
[-r + (a + b)ln(r)]
= 0 [-b + (a + b)ln
];
2b
2b
a
a
ab
  wс
 = w·Ф; M = = 0 [-b + (a + b)ln
] = 77,75 мкГн.
2b
a
I
=
ЗАДАЧА 14.13. Энергия a)
б)
H
d
магнитного поля между проводами
I
I+
H 
двухпроводной воздушной линии
r1
r2
на единицу её длины (рис. 14.14,а) I
I
d
c
W = 6∙10-3 Дж/м; r0 = 3 мм; d = 40 см.
В
Требуется: а) определить ток r0
в проводах линии, построить
a b
график
изменения
магнитной
Рис. 14.14
индукции между проводами; б)
рассчитать взаимную индуктивность линии и прямоугольной рамки с числом
витков w = 200, находящейся в одной плоскости с линией, если а = 10 см;
b = 20 см; c = 30 см.
Решение
L0 I 2
Энергия магнитного поля между проводами линии W =
,
2
где L0 – внешняя индуктивность единицы длины линии.
Предположим, что по проводам линии протекает ток I как показано на
рис. 14.14,б. По закону полного тока с использованием метода наложения
определим составляющие напряженности поля Н и Н, направление которых
определяется правилом правоходового винта и они перпендикулярны
плоскости двухпроводной линии, затем магнитную индукцию и магнитный
поток между проводами (внешний по отношению к проводам). Для этого
расстояние от оси левого провода обозначим r1, а от оси правого r2. Тогда в
соответствии с (14.1) и (14.3)
 I
 I
0 I
I
I
Н =
; Н =
; В = 0 ; В = 0 =
;
2r1
2r2
2r1
2r2 2 ( d  r1 )
 I  l d  r0
 I  l d  r0
Ф = Ф = 0
; Ф = Ф + Ф= 0
.
ln
ln
2
r0

r0
Примерный вид графика изменения магнитной индукции между
проводами В = В+ В показан на рис. 14.14,б.
В рассматриваемом случае d >> r0, поэтому с достаточной степени
 I l d
ln , а внешняя индуктивность
точности можно положить, что Ф = 0

r0
единицы длины линии
Ф  0 d 4  10 7
0,4
L0 =
= 19,57·10 -7 Гн/м.

ln 
ln
I  l  r0

0,003
104
Тогда ток в проводах линии
I=
2W
= 78,31 А.
L0
w  Ф12
, где Ф12 –
I
магнитный поток, сцепленный с витками рамки. Его определим согласно
формуле (14.3):
 I c a b
 I c
d a
Ф12= 0
; Ф12= 0
;
ln
ln
2
a
2
d a b
 I c a b
 I  c ( a  b )( d  a )
d a
Ф12 = Ф12 + Ф12 = 0
.
(ln
 ln
) 0
ln
2
a
d a b
2
a ( d  a  b )
Тогда взаимная индуктивность
  w  c ( a  b )( d  a )
M= 0
= 2,637·10 -5 Гн.
ln
2
a ( d  a  b )
Взаимная индуктивность провода и рамки
M =
ЗАДАЧА 14.14. На рис. 14.15 схематически показан
якорь электрической машины, имеющий только один виток.
N
Активная длина якоря l = 60 см, наружный диаметр якоря
D = 25 см, диаметр окружности, на которой расположен провод, d = 20 см. Относительная магнитная проницаемость
стали μr = 600. Ток в витке I = 100 А. Считая поле под
полюсами однородным с индукцией B = 1,2 Тл, определить
вращающий момент, действующий на якорь; силу,
Рис. 14.15
действующую на провод, и момент этой силы.
Решение
Обозначим индукцию в зазоре слева от провода Вл, а справа – Вп. Так
как магнитная проницаемость стали намного больше проницаемости воздуха,
то в соответствии с законом полного тока можно считать, что (Вл – Вп) = 0I,
где  – зазор между статором и якорем.
Пусть при отсутствии тока в якоре индукция в зазоре равна В, тогда
Вл + Вп = 2В. Энергия магнитного поля (в единице объема) в зазоре слева от
В л2
Вп2
проводника w л 
, а справа – wп 
. Приращение энергии при
2 0
2 0
повороте якоря на угол Δ по часовой стрелке
2 
 Bл2
B
п
 2l D Δ =  I B  l DΔ = IBlDΔ.

ΔW = 

2
 
 2 0 2 0 
Изменением энергии в стали при повороте якоря на угол Δ можно
пренебречь, так как μr >>1.
Вращающий момент, действующий на якорь,
M = ΔW/Δ = IBlD = 18 Hм.
Силу, действующую на провод в пазу, можно оценить, исходя из
следующих соображений. Если паз глубокий, то можно считать, что
напряженность магнитного поля в нем приблизительно равна напряженности
105
поля в стали, а индукция в μr раз меньше, чем в стали. Следовательно, сила,
действующая на провод в пазу, F = BIl/μr = 0,12 H,
a момент этой силы
М0 = Fd = Md/(μr D) = 0,024 Hм.
Таким образом, момент, действующий на провод в пазу, примерно в μr
раз меньше момента, действующего на якорь.
ЗАДАЧА 14.15. По жиле двухслойного
коаксиального кабеля (рис. 14.16) замыкается
постоянный ток I = 80 А.
1 2
r1 = 3 мм, r2 = 8 мм, r3 = 15 мм, r4 = 18 мм, 1 = 3,
r1
r4
2 = 8. Жила и оболочка выполнены из немагнитного
r2
материала.
r3
Построить график изменения магнитной
индукции по сечению кабеля. Рассчитать внешнюю
Рис. 14.16
индуктивность кабеля длиной l = 25 м, найти
запасённую энергию магнитного поля.
  0 Ir
 2r 2  1,778  r Тл при 0  r  r1 ,
 1
   I 4 ,8  10  5
Тл при r1  r  r2 ,
 1 0 
2

r
r

   I 1,28  10  4
Тл при r2  r  r3 ,
Ответ: В(r) =  2 0 
r [м];
2

r
r

  I ( r 2  r 2 ) 0 ,162  ( 3,24  10  4  r 2 )
 0 42

Тл при r3  r  r4 ,
2
r
 2r( r4  r3 )
0 при r  r .
0.02
4


Рис. 14.17
график В(r) представлен на
0.015
рис. 14.17; Lе = 4·10 -5 Гн;
W = 0,128 Дж.
B( r) 0.01
30
с
с
2r0
30
0.005
30
30
a
a
0
0
0.005
0.01
0.015
b
b
r
Рис. 14.18
ЗАДАЧА 14.16. Прямолинейный проводник и две рамки с числами витков w = 300 находятся в воздухе в одной
плоскости (рис. 14.18). Размеры: r0 = 3 мм, а = 5 см, b = 15 см, с = 30 см.
1) Рассчитать взаимную индуктивность проводника и правой рамки.
2) Рассчитать взаимную индуктивность проводника и левой рамки.
106
Ответы: 1) h(r) = 2·(0,577r + 0,1211) м,
dS = dr·h(r), B = 0I/(2r),
r b
dФ = B·dS = I·
Ф =  dФ = I·7,63·10 -8 Bб, M =
r a
0,2366)·
r b
wФ
= 22,89 мкГн.
I
h(r) = 2·(-0,577r + 0,2366) м,
2)
dr
,
r
Ф =  dФ = I·8,089·10 -8 Bб, M =
r a
0
dr
·(0,577r + 0,1211)· ,

r
dФ = B·dS = I·
0
·(-0,577r +

wФ
= 24,27 мкГн.
I
ЗАДАЧА 14.17. Рассчитать магнитные напряжения UmАВ, UmСD, UmЕG
поля уединённого проводника с током I в однородной среде с магнитной
проницаемостью а (рис. 14.19).
Решение
Магнитное напряжение между точками A и
B
B, находящимися на радиальной линии:
H
B 
dl
UMАВ =  H  dl .
C
A
dl
A
Во всех точках отрезка AB угол между
H
r
векторами H и dl равен 90. Поэтому их

скалярное произведение равно нулю, а также
D
равно нулю напряжение
UmАВ = А – В = 0.
Скалярные магнитные потенциалы А и В
I
F
равны, следовательно, радиальная линия

G
является эквипотенциалью.
dl
Магнитное напряжение между точками С Рис. 14.19 E
H
и D, лежащими на дуге окружности:
D 
UmСD =  H  dl . Во всех точках дуги СD угол между векторами H и dl равен
C
0, скалярное произведение векторов можно заменить произведением их
I
модулей. Величина напряженности H одна и та же – H =
, поэтому
2r
напряженность можно вынести за знак интеграла, а интеграл от dl даст
длину дуги СD:
D
I
I
UmСD = H·  dl = H·lCD =
·r· =
·,  [рад].
2r
2
C
107
Магнитное напряжение между произвольными точками Е и G:
G 
UmЕG =  H  dl . В областях, не занятых проводниками, магнитное поле
E
является потенциальным, следовательно, магнитное напряжение не зависит
от путей интегрирования, если они не образуют контуров, связанных с
токами. Поэтому нужно выбрать путь интегрирования ЕG таким, чтобы
вычисление интеграла было простым – вдоль радиальных линий и по
окружности. Таким образом,
I
I
UmЕG = UmЕF + UmFG = · + 0 = ·.
2
2
Выводы. 1. Точки, лежащие на радиальной к проводнику линии,
имеют один и тот же потенциал, то есть радиальная линия является
эквипотенциалью.
2. Магнитное напряжение зависит от угла между точками и не зависит
от расстояния от них до провода. Напряжение для произвольной кривой LN
вычисляется по формуле
I
UmLN = 
·;
(14.4)
2
здесь  – выраженный в радианах угол, под которым дуга LN видна из центра
проводника.
3. Если интегрирование осуществляется вдоль силовых линий,
магнитное напряжение положительно, если против – отрицательно.
ЗАДАЧА 14.18. По жиле коаксиального кабеля (рис. 14.20) протекает ток I = 360 А. Определить
магнитное напряжение между точками А и B, если
 = 30.
Решение
Магнитное напряжение между точками А и В
H
dl
B
D
I
C

A
B
μ0
9μ0
определим по формуле UmAB =  H dl . Путь движения
A
Рис. 14.20
выберем А-С-D-В (рис. 14.20), учитывая, что из-за
различных магнитных проницаемостей сред напряженности в них разные.
Тогда
B
C
D
B
A
A
C
D
UmAB =  H dl =  H dl +  H dl +  H dl = -Н1·lAC – Н2·lCD,
где
B
 H dl = 0 из-за перпендикулярности векторов H 2 и dl ;
D
H 1 и H 2 – напряженности в областях с 0 и 90, соответственно;
напряжения Н·l взяты с минусом, поскольку направления векторов
H и dl противоположные.
Величины Н1 и Н2 определим с помощью закона полного тока
108
 H  dl = H1 
L
  rA
2
 H2 
3  rA   rA

( H1  3H 2 ) = I.
2
2
В силу того, что нормальная составляющая вектора B на границе
раздела двух сред непрерывна, имеем
0Н1 = 90Н2.
Решая совместно два последних уравнения, получаем
3I
I
Н1 =
; Н2 =
.
2rA
6rA
Учитывая, что lAC = rA·, где  должно быть выражено в радианах, и
lCD = rA·

, получаем
2
UmAB = -Н1·lAC – Н2·lCD = -
 I

3I
I
·rA· –
·rA· =
= -120 A.
6 6rA
2rA
2 3
ЗАДАЧА 14.19. Уединённый провод с током I = 10 А находится на
границе раздела сред (рис. 14.21): 1 = 2, 2 = 4, 3 = 6. Координаты точек
хА = уА = 10 см, хВ = -5 см, уВ = -15 см. Требуется:
1. Рассчитать напряжённости магнитного поля в точках А и В, а также
магнитное напряжение между ними.
у
2. Считая, что А и В являются точками
1
сечения длинных сторон прямоугольной рамки
А
длиной l = 1 м и с числом витков w = 100, найти

/3
магнитный поток рамки и взаимную индуктивность
провода и рамки.
х
I
Решение
Вычислим расстояния от центра провода до 3
2
точек А и В:
А
rA = 10 2 = 14,14 см, rB = 5 2  15 2 = 15,81 см.
В 
Рис. 14.21
Для расчета напряжённости магнитного поля
в точке А проведём через неё окружность с центром, совпадающим с осью
провода. На основании закона полного тока можно записать:

2
H1· rA + H2·
rA + H3· ·rA = I,
3
3
где H1, H2, H3 – напряженность поля в среде с проницаемостью, соответственно, 1, 2, 3.
Границы расположены радиально, поэтому векторы B и H на границе
имеют только нормальную составляющую. Граничное условие В1n = В2n = В3n,
откуда 1·H1 = 2·H2 = 3·H3.
 2


Таким образом, H1·( rA + 1 ·
rA + 1 ·rA) = I, откуда
3
2 3
3
109
 2


rA + 1 ·
rA + 1 ·rA) =
3
2 3
3
= 10·3/((1+0,5·2+1/3·3)· ·0,1414) = 22,51 А/м.
Аналогично, напряжённость в точке В:
 2




HВ = H3 = 1 H1 = 1 I/( rВ + 1 ·
rВ + 1 ·rВ) =
3
3 3
2 3
3
= 10/((1+0,5·2+1/3·3)· ·0,1581) = 6,71 А/м.
Магнитное напряжение между точками А и В при движении по часовой
стрелке (против силовых линий) можно вычислить по формуле (см. зад.
2
14.18): UmAB = -H1·rA· – H2·rA·
– H3·rA·;
3
H1·rA = 30/(3), H2·rA = 15/(3), H3·rA = 10/(3),
x
x
5

  
 = – arctg A = – = рад,  = arctg B = arctg = 0,3218 рад.
3
4 12
yA 3
15
yB
30  15 2 10
Таким образом, UmAB = –
– ·0,3218 = -5,24 А.
3 12 3 3 3
Трубки магнитного потока имеют вид колец вокруг проводника,
поэтому магнитный поток сквозь сечение АВ будет равен магнитному потоку
сквозь сечение АВ, где А – точка, удалённая от центра проводника на
расстояние rA, но находящаяся в среде с 3. Величина магнитного потока
 I l r
согласно (14.3): Ф = a 3 ln B , где I3 = H3·rA·2, a = 3·0.
2
rA
Таким образом,
r
10
15,81
Ф = 3·0·H3·rA·l·ln B = 6·4 ·10 -7· ·1·ln
= 0,893·10 -6 Вб.
14 ,14
rA
3
Взаимная индуктивность
w  Ф 100  0,893  10 6
М=
=
= 8,93·10 -6 Гн = 8,93 мкГн.
I
10
HА = H1 = I/(
2r0
2r0
у
ЗАДАЧА 14.20. Постоянный ток
x
I = 80 А замыкается по воздушной двухпроB
водной линии (рис. 14.22):
I
I
r0 = 2 мм, d = 30 см.
d
A
Рассчитать поле линии, найти
Рис. 14.22
энергию, запасённую между проводами
линии длиной
l = 1,5 м. Найти магнитное напряжение между точками
А[40 см; -10 см] и В[10 см; 10 см].
Решение
Расчет поля линии произведем методом наложения. Так, напряженa)
у
б)
у B
c)
1
x
x
110
I
I
H  H 
Рис. 14.23
I
1
C
A
у
B
2
C
x
I 2 A
ность магнитного поля в любой точке определится как H = H + H , где H  –
составляющая напряженности, созданная левым проводом, а H  – правым.
В точках, лежащих на оси х, напряженность поля определяется наиболее просто, так как составляющие H  и H  сонаправлены (рис. 14.23,а), а
каждая из них может быть рассчитана с помощью закона полного тока. Так, в
пространстве между проводами
I
I
H =
; H =
;
2 ( 0,5d  x )
2 ( 0,5d  x )
1
1
2d
I
I
H = H + H =
(
+
)= · 2
.
2 0,5d  x 0 ,5d  x  d  4 x 2
Энергия магнитного поля между проводами линии W = ½LI 2, где L –
внешняя индуктивность линии заданной длины l. Последняя же (см. задачу
14.8):
  l d  r0
L = 0 ln
;

r0
 0 I 2  l d  r0 4  10 7  80 2  1,5 30  0,2
W=
= 9,608·10 -3 Дж.
ln

ln
2
r0
2
0,2
Магнитное напряжение между точками А и В также определим с
помощью метода наложения UmАВ = UmAB + UmAB, где UmAB – составляющая, создаваемая левым проводом, а UmAB – правым. В соответствии с (14.4)
и рис. 14.23,б
I
UmAB =
(1 + 1),
2
| yA |
| yB |
1 = arctg
= 0,180 рад; 1 = arctg
= 0,381 рад;
0,5d  x A
0,5d  xB
 80
UmAB =
(0,18 + 0,381) = -7,14 A.
2
Аналогично составляющая UmAB, создаваемая током правого провода
(рис. 14.23,в)
I
UmAB =
(2 + ½ + 2),
2
| 0,5d  x A |
yB
2 = arctg
= 1,190 рад; 2 = arctg
= 1,107 рад;
| yA |
0,5d  xB
 80
UmAB =
(1,190 + 1,571 + 1,107) = -49,25 A.
2
Тогда
UmAB = UmAB + UmAB = -7,14 – 49,25 = -56,39 A.
111
14.4. РАСЧЁТ ВЕКТОРНОГО МАГНИТНОГО ПОТЕНЦИАЛА И
ЕГО ИСПОЛЬЗОВАНИЕ
ЗАДАЧА 14.21. Постоянный ток I = 100 А замыкается по биметаллической шине (рис. 4.24,a). Шина изготовлена из материала с относительной
магнитной проницаемостью  = 6 и находится в воздухе. Удельная проводимость слоёв шины 3 и . Размер а = 2 мм. Построить графики зависимости
векторного потенциала и напряжённости магнитного поля в функции
координат. Используя векторный магнитный потенциал, рассчитать
магнитный поток, замыкающийся
I
a) I
б)
по левой половине шины на
единицу длины.
z
Решение
2
1. Определим плотности тока
3
50а
в шине (1 – в левой половине, 2 – в
x
правой).
1 0
С одной стороны, ток в шине 3


равен I = 1·50а2 + 2·50а2.
С другой стороны, заметив,
что относительно границы раздела
y
аа
Рис. 14.24
сред вектор плотности тока имеет
только тангенциальную составляющую, на основании граничного условия
Е1t = Е2t и закона Ома в дифференциальной форме  = ·E получаем дополнительное уравнение 1/(3) = 2/ или 1 = 32. Таким образом, 42·50а2 =
I;
2 = I/(200а2) = 100/(200·4·10-6) = 125000 А/м2; 1 = 375000 А/м2.
2. Расчёт поля выполним, используя уравнение Пуассона:
 2 A = -a·  .
Направления осей декартовой системы координат выберем так, как
показано на рис. 14.24,б. Из рисунка видно, что вектор плотности тока
направлен по оси z, поэтому и векторный магнитный потенциал имеет только
одну составляющую – по оси z. Кроме того, так как высота шины
значительно больше её толщины, все величины зависят только от одной
A  A
координаты – x. Таким образом, Ах = Ау = 0,
= = 0. С учетом этого (см.
y  z
2 A 2 A 2 A 2 A
2
табл. 11.1):  A = 2 + 2 + 2 = 2 .
x
z
x
y
Произведём двукратное интегрирование этого уравнения для четырех
областей поля:
 2 A1
1) x < -a,
= 0,
А1 = С1·х + С2,
x 2
a
 2 A2
2) -a  x  0,
=

·

,
А
=
1·х2 + С3·х + С4,
a
1
2
2
2
x
112
3) 0  x  a,
 2 A3
x
 2 A4
2
= -a·2,
А3 = -
a
2
2·х2 + С5·х + С6,
= 0,
А4 = С7·х + С8.
x 2
3. Полученных уравнений недостаточно для определения постоянных
интегрирования С1÷С8, поэтому получим формулы для напряженности
магнитного поля. Векторный потенциал с напряжённостью связан
следующим образом: rot A = B = a· H .
Но согласно табл. 11.1
4) x > a,






i
j
k
i
j
0
k
A
.
0 =- j
x
Az
rot A = 
x
Ax
Тогда H = - j


y
Ay
z
Az
=
x
0
0
1 A
1 A
и H=.
 a x
 a x
Таким образом,
C
C
H1 = - 1 ; H2 = 1·х – 3 ;
  0
0
H3 = 2·х –
C5
;
  0
H4 = -
C7
0
.
4. Составим и решим уравнения для нахождения постоянных
интегрирования.
При x = -a в соответствии с законом полного тока (H-а·2·50а = -I –
знак «минус», так как с левой стороны шины напряжённость направлена
C
против оси у): H1(x = -a) = -I/(100a) = - 1
,
0
4  10 7  100
= 6,283·10-4.
100  0 ,002
100 a
При x = -a в соответствии с граничным условием H1t = H2t
H1(x = -а) = H2(x = -а) или -С1/0 = 1·(-а) – С3/(0); откуда
С3 = 1·(-а)·0 + С1· = -375000·0,002·6·4 ·10-7 + 6,283·10-4·6 = -1,885·10-3.
При x = 0 H2(x = 0) = H3(x = 0) или С3 = С5.
При x = a H3(x = а) = H4(x = а) или 2·а – С5/(0) = -С7/0; откуда
С7 = -2·а·0 + С5/ = -125000·0,002·4 ·10-7 + (-1,885·10-3)/6 = -6,283·10-4.
Примем, что при x = 0 А2(x = 0) = А3(x = 0) = 0, тогда С4 = С6 = 0.
При x = -a А1(x = -а) = А2(x = -а) или
С1·(-а) + С2 = -½а1·(-а)2 + С3·(-а) + С4, откуда
С2 = -½а1·(-а)2 + С3·(-а) + С4 – С1·(-а) = -½·6·4 ·10-7·375000·0,0022 +
+ 1,885·10-3·0,002 + 0 + 6,283·10-4·0,002 = -6,283·10 -7.
При x = a А3(x = а) = А4(x = а) или -½а2·а2 + С5·а + С6 = С7·а + С8,
откуда С8 = -½а2·а2 + С5·а + С6 – С7·а = -½·6·4 ·10-7·125000·0,0022 –
– 1,885·10-3·0,002 + 0 + 6,283·10-4·0,002 = -4,398·10 -6.
откуда С1 =
0 I
=
113
5. Окончательно получаем:
 6,283  10  4  x  6,283  10 7 Вб / м при х  a

 1,414  x 2  1,885  10 3  x Вб / м при  a  x  0

А(х) =
,
 0,471  x 2  1,885  10 3  x Вб / м при 0  x  a

4
6
  6,283  10  x  4,398  10 Вб / м при х  a
 500 A / м при х  a
 375000  x  250 A / м при  a  x  0
Н(х) = 
.
 125000  x  250 A / м при 0  x  a

 500 A / м при х  a
По этим формулам построены графики А(х) и Н(х), которые
представлены на рис. 14.25.
Н, А/м
А, Вб/м
0
-3
-2
1
2 x, мм
-1
500
3
-3
-2
x, мм
-1
0
-5·10-6
3
2
1
-500
Рис. 14.25
6. Для определения магнитного потока, замыкающегося по левой
половине шины на единицу длины, применим формулу
 
Ф =  A dl . В
L
качестве контура интегрирования возьмём прямоугольник 0-1-2-3-0 длиной
1м (рис. 14.24,б). Причём вдоль сторон 0-1 и 2-3 интеграл равен нулю, так
как на этих участках угол между A и dl составляет 90 (вектор A направлен
по оси z, а вектор dl – параллельно оси x). Вдоль стороны 3-0 значение А
равно нулю. Таким образом,
2 
Ф =  A dl = А(х = -а)·1м = -1,885·10-6 Вб.
а
1
I
z
Рис. 14.26
114
r
Знак «минус» в ответе для магнитного потока означает, что магнитный
поток направлен против поло-жительной нормали к контуру2), то есть снизу
вверх.
ЗАДАЧА 14.22. Постоянный ток I = 350 А замыкается по металлической цилиндрической шине радиусом а = 20 см (рис. 14.26). Шина изготовлена из материала с относительной магнитной проницаемостью  = 4 и
находится в воздухе. Построить графики зависимости векторного магнитного
потенциала и напряжённости магнитного поля в функции координат.
Решение
Порядок действий тот же, что и при решении задачи 14.21.
1. Плотность тока в шине  = I/(а2) = 2785 А/м2.
2. Векторный магнитный потенциал имеет только одну составляющую,
направленную параллельно оси z, и зависит только от координаты r. При
этих условиях уравнение Пуассона в цилиндрической системе координат
1   A   0 при r  a ,
принимает вид:  2А =
r =
r r  r  0 при r  a .
Его решение А1 = - ¼0 r2 + С1ln(r) + C2, А2 = С3ln(r) + C4.
Чтобы при r = 0 А1 не принимало бесконечных значений, слагаемое
С1ln(r) должно отсутствовать, то есть С1 = 0. Кроме того, пусть А1 = 0 при
r = 0, тогда C2 = 0 и А1 = - ¼0r 2.
1 dA
3. Напряжённость магнитного поля H = rot A /a = .
 a dr
C
C
Таким образом, Н1 = ½r – 1 = ½r; Н2 = - 3 .
0 r
0 r
4. При r = а Н1 = Н2, откуда С3 = - ½0а2 = -7·10-5,
А1 = А2, откуда С4 = - ¼0а2 – С3ln(а) = -25,26·10-5.
5. Окончательно получаем
  3,498  10  3 r 2 Вб / м при r  a ,
А(r) = 
5
5
 7  10 ln( r )  25,26  10 Вб / м при r  a ,
1393r A / м при r  a ,
Н(r) =  55,70
A / м при r  a.

 r
Построенные по этим формулам графики А(r) и Н(r) представлены на
рис. 14.27.
A, ·10-4 Вб/м
Н, А/м
r, м
0,4
0,3
0
0,1 0,2
300
-0,5
200
-1,0
Направление нормали с обходом контура связаны правилом буравчика: если смотреть из
-1,5 вектора нормали, то обход контура осуществляется против часовой стрелки.
конца
100
2)
115
-2,0
-2,5
Рис. 14.27
0
0,1
0,2
0,3
0,4
r, м
ЗАДАЧА 14.23. Постоянный ток
I = 35 А
замыкается по
двухпроводной линии. Радиус проводов
а = 2 мм, расстояние между
проводами d = 50 см (рис. 14.28). Провода изготовлены из материала с
относительной магнитной проницаемостью  = 4 и находятся в воздухе.
Построить графики зависимости векторного магнитного потенциала и
напряжённости магнитного поля в функции координаты х.
Решение
При решении задачи применим принцип наложения. Сначала
рассчитаем векторный магнитный потенциал и напряженность магнитного
поля, созданные каждым проводом в отдельности, а затем алгебраически
просуммируем полученные результаты.
При расчете поля от одного,
I
I
например, левого, провода воспользуемся
х
результатами, полученными в задаче
14.22. Плотность тока в проводах

Рис. 14.28
d
2
2
= I/(а ) = 2785000 А/м . Пусть начало
координат находится на оси левого провода. Тогда
А1 = - ¼ 0х2 = -3,498·х2 Вб/м, Н1 = ½x = 1,393·106·х А/м;
С3 = - ½ 0а2 = -7·10-6, С4 = - ¼ 0а2 – С3ln(а) = -57,50·10-6.
  3,498  x 2 Вб / м при x  a ,
Таким образом, А(х)= 
6
6
 7  10 ln( x )  57 ,50  10 Вб / м при x  a ,
1,393  10 6 x A / м при x  a ,
Н(х) =  5,57

A / м при x  a.
 x
Причём следует помнить, что поскольку провод с током является
конструкцией, симметричной относительно плоскости y0z, то функция А(х)
является чётной, а Н(х) – нечётной.3)
Примем, что начало координат находится посередине между
проводами. В этом случае формулы А(х) и Н(х) трансформируются
следующим образом (учитывается сдвиг начала координат на d/2):
 7  10  6 ln(  x  d / 2 )  57 ,5  10  6 Вб / м при x  a  d / 2,

А(х) =   3,498  ( x  d / 2 )2 Вб / м при  a  d / 2  x  a  d / 2 ,
  7  10  6 ln( x  d / 2 )  57 ,5  10  6 Вб / м при x  a  d / 2.

При построении графиков А(х) и Н(х) следует обращать внимание на наличие
симметричности у анализируемого устройства. Если оно симметрично относительно
осевой плоскости (например, плоская шина) или обладает центральной симметрией
(например, двухпроводная линия), график А(х) будет также симметричен, соответственно,
относительно оси ординат или начала координат. Функция Н(х) находится в
дифференциальной связи с А(х), поэтому они обладают разными симметриями: если
график А(х) симметричен относительно оси ординат, график Н(х) – относительно начала
координат, и наоборот.
3)
116
5,57

 x  d / 2 A / м при x  a  d / 2,

Н(х) = 1,393  10 6  ( x  d / 2 ) A / м при  a  d / 2  x  a  d / 2 ,
5,57

A / м при x  a  d / 2.
 x  d / 2
Ток правого провода направлен в противоположную сторону, поэтому
знак у функций меняется на противоположный; сдвиг начала координат
теперь составляет -d/2. Поэтому
7  10  6 ln(  x  d / 2 )  57 ,5  10  6 Вб / м при x  a  d / 2,

А(х) =  3,498  ( x  d / 2 )2 Вб / м при  a  d / 2  x  a  d / 2 ,
 7  10  6 ln( x  d / 2 )  57 ,5  10  6 Вб / м при x  a  d / 2.

  5,57
 x  d / 2 A / м при x  a  d / 2 ,

Н(х) =  1,393  10 6  ( x  d / 2 ) A / м при  a  d / 2  x  a  d / 2 ,
  5,57
A / м при x  a  d / 2.
 x  d / 2
Результирующее поле определяется наложением полей проводов. Как
правило, складывать потенциальные функции следует при условии, что они
имеют нулевое значение в некоторой одной общей точке. Пусть значение
векторного магнитного потенциала равно нулю в начале координат. Тогда
А(х) следует изменить везде на постоянную величину
N = -А(0) = 7·10-6 ln(d/2) + 57,5·10-6 = const,
а функцию А(х) – на величину А(0) = -N, то есть сумма А(х) = А(х) + А(х)
останется неизменной, так как константы N и -N при суммировании взаимно
уничтожатся. Окончательно получаем:
xd/2

6
7

10

ln
Вб / м при x  a  d / 2,

xd/2

6
6
2
7  10 ln(  x  d / 2 )  57 ,5  10  3,498  ( x  d / 2 ) Вб / м

при  a  d / 2  x  a  d / 2 ,

xd/2
А(х) = 7  10  6  ln
Вб / м при a  d / 2  x  a  d / 2 ,
xd/2

 7  10  6 ln( x  d / 2 )  57 ,5  10  6  3,498  ( x  d / 2 )2 Вб / м

при  a  d / 2  x  a  d / 2 ,

7  10  6  ln x  d / 2 Вб / м при x  a  d / 2.

xd/2
Н(х) = Н(х) + Н(х) =
117
 5,57
  5,57

 x  d / 2 x  d / 2 A / м при x  a  d / 2 ,

5,57
d
d
A / м при  a   x  a  ,
1,393  10  6 ( x  d / 2 ) 
xd/2
2
2

5,57
 5,57
=

A / м при a  d / 2  x  a  d / 2 ,
x  d / 2 x  d / 2
 5,57
d
d
 1,393  10  6 ( x  d / 2 ) A / м при  a   x  a  ,

2
2
x  d / 2
5
,
57

5
,
57


A / м при x  a  d / 2.
 x  d / 2 x  d / 2
Построенные по этим формулам графики А(х) и Н(х) представлены на
рис. 14.29 и 14.30.
A, ·10-5 Вб/м
6
4
А(х)
2
0,6
0
-1
-0,6
0,2
-0,2
-2
А(х)
1
А(х)
Рис. 14.29
-4
-6
3000
Н, А/м
2000
1000
0,3
-0,3
-0,5
-0,1 0
-1000
0,1
-2000
х, м
0,5
Рис. 14.30
ЗАДАЧА 14.24. По биметаллической шине прямоугольного сечения
протекает постоянный ток I = 1500 А (рис. 14.31). Относительные магнитные
проницаемости материалов шин 1 = 60, 2 = 0, удельные проводимости
1 = 2·107 См/м, 2 = 4·107 См/м. а = 1 см, h = 50 см.
118
Рассчитать и построить график векторного магнитного потенциала в
функции координат.
Ответы: плотности тока 1 = 105 A/м2, 2 = 2·105 A/м2,
1,885  10  3 y  5,655  10  5 Bб / м при у  а ,

2
3
 0,377  y  3,77  10 y Bб / м при  a  у  0,
A(у) = 
2
4
 0,1257  y  6,283  10 y Bб / м при 0  у  а ,

3
4
 1,885  10 у  1,257  10 Вб / м при у  a .
График A(у) представлен на рис. 14.32.
z
7.85310
I
h
1 2
х
0
7
0
2 10
5
A( y ) 4 10
5
6 10
5
8 10
5
1 10
4
у
1 2
a
a
Рис. 14.31
 9.42510
5
Рис. 14.32
0.01
 2 a
0
y
0.01
2 a
ЗАДАЧА 14.25. По двум параллельным шинам протекают одинаковые
токи I = 200 А (рис. 14.33). Относительная магнитная проницаемость шин
 = 5, окружающая среда – воздух.
Рассчитать и построить график векторного магнитного потенциала для
положительных значений координаты х. Рассчитать магнитный поток через
площадь рамки длиной l = 2 м, если А[3 см; 0]; В[5 см; 0 см] и а = 1 см, b =
2 см, h = 40 см.
Ответы: плотность тока в шине  = 5·104 A/м2;
0 при 0  x  0,5b ,

A(х) =  0,157 x 2  3,142  10  3 x  1,571  10  5 Вб / м при 0,5b  x  0,5b  a ,
 6,283 x  3,142  10  6 Вб / м при x  0,5b  a;

график A(х) представлен на рис. 14.34; A(хВ) = -3,456·10 -5, A(хА) = -2,199·10 5
,
119
магнитный поток сквозь рамку Ф = -l·(A(хВ) – A(хА)) = 25,13 мкВб.
у
I
I
h
z
l
0

a
a
5
2 10
5
3 10
5
A( x)
A

1 10
B х
Рис. 14.33
0
Рис. 14.34
0.01
0.02
0.03
x
½b ½b
ЗАДАЧА 14.26. Рассчитать и построить графики векторного
потенциала и магнитной индукции коаксиального кабеля, изоляция, жила и
оболочка которого выполнены из немагнитного материала (рис. 14.35).
r1 = 6 мм, r2 = 14 мм, r3 = 15 мм, I = 200 A.
Ответы: плотности тока 1 = 1,768·106 A/м2, 2 = 2,195·106 A/м2,
 0,556 r 2 Bб / м при 0  r  r1 ,

 4  10  5 ln r  2,246  10  4 Bб / м при r1  r  r2 ,
A(r) = 
2
4
0,6897 r  3,103  10 ln r  0,01514 Bб / м при r2  r  r3 ,

4
 5,530  10 Вб / м при r  r3 ;
1,111r Тл при 0  r  r1 ,

5
4  10 / r Тл при r1  r  r2 ,
В(r) = 
4
 1,379 r  3,103  10 / r Тл при r2  r  r3 ,
0 при r  r3 .
Графики A(r) и В(r) представлены на рис. 14.36.
120
I
0.008
r1
I
r3
0.006
r2
0.004
B( r)
A( r)  100
Рис. 14.35
0.002
0
0.002
0.004
Рис. 14.36
0.006
0
0.005
0.01
0.015
r
14.5. ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА ЗЕРКАЛЬНЫХ ИЗОБРАЖЕНИЙ
ЗАДАЧА 14.27. По уединенному проводу, находящемуся вблизи границы раздела разных магнитных сред протекает постоянный ток I = 130 А
(рис. 14.37,а). Расстояние d = 70 см, а радиус провода очень мал по сравнению с d.
б)
a)
y
0
30
A
D
х
d
I
B
I1
в)
30 y
A
30
H
1 dl
2
1
C
B
H B 
Рис. 14.37
A
0 y
0
HA
х
I
HB 
C
D
1
1
dl
H B
х
I2
HB
Требуется: 1) рассчитать напряженности магнитного поля в точках
А(xA = -15 см; yA = 30 см) и В(xB = 20 см; yB = -35 см), а также магнитное
напряжение между ними; 2) считая, что А и В являются точками сечения длинных сторон прямоугольной рамки длиной l = 5 м и с числом витков w = 200,
найти магнитный поток рамки и взаимную индуктивность провода и рамки.
Решение
Поскольку провод находится вблизи границы раздела сред с
различными магнитными проницаемостями, то для решения задачи
применим метод зеркальных изображений, согласно которому поле в правом
полупространстве может быть рассчитано согласно рис. 14.37,б, а поле в
левом – согласно рис. 14.37,в.
Определим коэффициенты для фиктивных токов:
121
 0  3 0
2  3 0
= -0,5;
k2 =
= 1,5.
 0  3 0
 0  3 0
Тогда I1 = k1I = -65 A; I2 = k2I = 195 A. В дальнейшем значение тока I1
будем брать положительным, но его направление поменяем на противоположное по сравнению с I, что отражено на рис. 14.37,б.
1. Расчет напряженностей.
В т. А напряженность создается только током I2 (рис. 14.10,в) и
определяется она в соответствии с законом полного тока:
I2
195
A
HA =
=
= 34,4
.
2
2
2
2
м
2 y  ( d  x ) 2 0 ,3  ( 0 ,7  0 ,15 )
k1 =
A
A
В т. В напряженность создается токами I и I1 (рис. 14.10,б). Вычислим
проекции на оси x и y составляющих HB и HB:
HBx = HB·cos1 =
 I  yB
 yB
I
A
=
=
= 19,4
;

2
2
2
2
2
2
м
2


(
y

(
d

x
)
)
2 y B  ( d  xB )
y B  ( d  xB )
B
B
I  ( d  xB )
A
HBy = HB·sin1 =
= 27,77
;
2
2
м
2  ( y B  ( d  x B ) )
HBx = HB·cos2 =
 I1  y B
I1
 yB
A
=
=
=
3,88
;

2
2
2
2
2
2
м
2


(
y

(
d

x
)
)
2 y  ( d  x )
y (d  x )
B
B
B
B
B
B
I1  ( d  x B )
A
=
9,99
.
м
2  ( y B2  ( d  x B )2 )
НВx = НВx – НВx = 15,52 A/м; НВy = НВy + НВy = 37,76 A/м;
HBy = HB·sin2 =
Тогда
2
2
 H By
НВ = H Bx
= 40,84 A/м.
2. Расчет магнитного напряжения.
Его произведем методом наложения. Составляющая напряжения,
создаваемая токами I и I2 (см. рис. 14.37) в соответствии с (14.4)
I  I2
UmAB =
(1 + 1),
2
где 1 и 1 – выраженные в радианах углы, показанные на рис. 14.37,в.
y
y
1 = arctg B = 0,61; 1 = arctg A = 0,34;
d  xA
d  xB
130  195
UmAB =
(0,61 + 0,34) = 49,14 A.
2
Составляющая UmAB, создаваемая током I1 (рис. 14.37,б)
yB
I
yA
UmAB = 1 (2 + 1), 2 = arctg
= 0,371; 1 = arctg
= 0,5;
d  xA
2
d  xB
122
 65
(0,371 + 0,5) = -9 A.
2
Тогда UmAB = UmAB + UmAB = 40,14 A.
3. Расчет магнитного потока.
Поскольку части рамки находятся в разных средах, то используем
промежуточную точку D, у которой (рис. 14.37,в)
y  yB
yD = yA – xA A
= 0,021 м.
x A  xB
Тогда составляющая магнитного потока в той части рамки, которая
находится в левом полупространстве в соответствии с (14.3)
UmAB =
y 2A  ( d  x A )2
 0 I 2  l rA  0 I 2  l
ln
Ф =
= 4,92·10 -5 Вб.
ln =
2
2
2
2
rD
d  yD
Составляющая магнитного потока в той части рамки, которая
находится в правом полупространстве

d 2  y D2
d 2  y D2
30  l 
 = 1,16·10 -4 Вб.
Ф =
I  ln
 I1  ln

2
2
2
2
2
y B  ( d  xB )
y B  ( d  x B ) 

Магнитный поток через рамку Ф = Ф+ Ф = 1,65·10 -4 Вб.
w Ф
Взаимная индуктивность провода и рамки М =
= 2,55·10 -4 Гн.
I
ЗАДАЧА 14.28. Плоская шина с током I = 500 А расположена вблизи
границы раздела различных магнитных сред (рис. 14.38,а) на расстоянии
а = 5 мм от границы. Требуется определить магнитную индукцию в точке А
и взаимную индуктивность шины и прямоугольной рамки, содержащей
w = 200 витков.
Решение
Для решения задачи применим метод зеркальных изображений.
Определим коэффициенты для фиктивных токов:
  4 0
2  4 0
k1 = 0
= -0,6; k2 =
= 1,6.
 0  4 0
 0  4 0
123
5a
а)
2a
0
40
б)
k1 I
40
a
40
a
a
a
a
a
a
I
I
100a
A
5a
в)
2a
0
a
0
k2 I
A
Рис. 14.38
Тогда магнитное поле в нижнем полупространстве рассчитаем согласно
рис. 14.38,б. Поскольку ширина шины намного больше её толщины, то
можно пренебречь краевым эффектом и в соответствии с законом полного
тока, а также методом наложения напряженность поля и индукция в точке А:
I  ( 1  k1 ) 500  ( 1  0 ,6 )
НА =
=
= 200 А/м; ВА = 40НА = 1,0·10 -3 Тл.
200

0
,
005
2  100 a
w Ф
Взаимная индуктивность провода и рамки М =
, где Ф –
I
магнитный поток, сцепленный с витками рамки. Его расчет произведем по
рис. 14.38,в:
Ф = S·0Н = 2а∙5а∙0∙k2∙I/(2∙100a).
Тогда М = 10а∙0∙k2∙w/200 = 0,10∙10 -6 Гн.
ЗАДАЧА 14.29. Уединённый провод с током I = 10 А находится вблизи
границы раздела сред (рис. 14.39,а) с 1 = 2, 2 = 6, r1 = 10 см. Координаты
точек хА = уА = -10 см, хВ = 5 см, уВ = 15 см. Требуется:
1. Рассчитать напряжённости магнитного поля в точках А и В, а также
магнитное напряжение между ними.
2. Считая, что А и В являются точками сечения длинных сторон
прямоугольной рамки длиной l = 1 м и с числом витков w = 100, найти
магнитный поток рамки и взаимную индуктивность провода и рамки.
Решение
1. Расчёт поля в левом полупространстве от границы выполним по рис.
14.39,б, составленному в соответствии с методом зеркальных изображений. В
качестве точки для перехода от одной области к другой возьмём любую
точку на границе, например, начало координат 0.
у
a)
В
1 2
r1
А
k1·I
0
А
H A 
HB
у
х
В

r1
0
в)
1 1
I
х
I
у
б)
r1
HA 

k2·I
HA
124
Рис. 14.39
r1
х
0
2 2
 2  1 6  2
=
= 0,5.
 2  1 6  2
Напряженность магнитного поля в точке А:
I
10
НА =
=
= 0,159 А/см;
2 (  y a ) 2 ( 10 )
НАх = НА = 0,159 А/см;
НАу = 0;
k1  I
5
НА =
=
= 0,036 А/см;
2
2
2
2
2 ( 2r1 )  y A 2 20  10
 yA
tg =
= 10/20 = 0,5,  = 0,4636 рад;
2r1
НАх = НА·sin = 0,036·0,4472 = 0,016 А/см;
НАy = -НА·cos = 0,036·0,8944 = 0,032 А/см;
Коэффициент неполного отражения
k1 =
НА = ( H Ax '  H Ax ' ' ) 2  ( H Ay '  H Ay ' ' ) 2 = ( 0,159  0,016 ) 2  ( 0  0,032 ) 2 =
= 0,178 А/см.
Магнитное напряжение согласно (14.4):
I  k1  I
10 5
UmA0 = UmA0 + UmA0 =
–
= –
0,4636 = 2,131 A.
2 2
2
4 2
Магнитный поток сквозь сечение A0 согласно (14.3):
( 2r1 )2  y 2A
 1  0 I  l  y A  1  0 k1 I  l
ФA0 = Ф + Ф =
ln
+
ln
=
r1
2
2
r1
2  4  10 7  5  1
500
ln
= 1,609·10-6 Вб (направлен сверху вниз).
2
10
2. Расчёт поля в правом полупространстве от границы выполним по
рис. 14.39,в.
2 1
4
k2 =
=
= 0,5;
 2  1 6  2
k2 I
5
НВ =
=
= 0,038 А/см;
2
2
2
2
2 ( r1  x B )  y B 2 15  15
yB
tg =
= 15/15 = 1,  = /4 рад;
r1  x B
k I
5 
Um0В = 2  =
= 0,625 А;
2
2 4
=0+
( r1  x B ) 2  y B2 6  4  10 7  5  1
2 0k2 I  l
450
Ф0В =
ln
=
ln
=
2
r1
2
10
= 4,512·10-6 Вб (направлен снизу вверх).
3. Окончательно получаем:
- напряжённости поля – НА = 0,178 А/см; НВ = 0,038 А/см;
- магнитное напряжение UmАВ = UmА0 + Um0В = 2,131 + 0,625 = 2,756 А;
125
- магнитный поток ФАВ = -ФА0 + Ф0В = (-1,609 + 4,512)·10-6 = 2,903·10-6 Вб;
- взаимная индуктивность провода и рамки
w  ФАВ 100  2,903
М=
=
= 29,03 мкГн.
I
10
ЗАДАЧА 14.30. По проводам двухпроводной линии, находящимся в
разных магнитных средах, протекает постоянный ток I = 130 А (рис. 14.40,a).
Радиус проводов r0 = 1 см, d = 50 см. Рассчитать магнитное напряжение
между точками А(-15 см; +30 см) и В(20 см; 10 см).
Ответ: коэффициенты неполного отражения:
6  16
26
2  16
k1 =
= -0,455, k2 =
= 0,545, k1 = -k1 = 0,455, k2 =
= 1,455;
6  16
6  16
6  16
углы в радианах, показанные на рис. 14.40,б и в:
1 = 1,249, 2 = 0,644, 1 = 0,219, 2 = 1,107;
расчётные эскизы для напряжений UmAO и UmOB показаны на рис. 14.40,б и в,
соответственно;
I
I
UmAO =
(1 + 2) = 39,2 A, UmOB =
(1 + 2) = -27,4 A, UmAB = 11,8 A.
2
2
y
y
y
a)
б) A
в)
B
(k1– k2)I= -I
60
16

0

1
I
I
I
I
1 2
2
x
x
x
O
O
d/2
d/2
(k1– k2)I= -I
d/2
d
d
d
160
60
160
160
Рис. 14.40
60
60
Ht
ЗАДАЧА 14.31. Цилиндрический провод радиN
K
усом r0 = 6 мм расположен в воздухе на расстоянии
h = 40 см (рис. 14.38) от железобетонной стены с отно- 40 0
сительной магнитной проницаемостью r = 4.
b
Требуется: 1. Определить какого направления и
2r0
величины необходимо пропустить ток по проводнику, чтобы в точке N(b = 30 см) тангенциальная
h
составляющая напряженности магнитного поля
Рис. 14.41
составляла Нt = 50 А/м.
2. Рассчитать силу, действующую при этом на 1 пм проводника.
3. По величине и направлению определить магнитную индукцию в
точке K.
4. Найти объёмные плотности энергии магнитного поля в точках K и
K, являющейся зеркальным отображением точки K.
Ответы: I = 490,6 А, ток направлен за плоскость рисунка;
F = 0,0361 Н/м, а проводник притягивается к стене;
ВK = 3,572∙10 -4 Тл; wK = 50,8∙10 -3 Дж/м3, wK = 3,36∙10 -3 Дж/м3.
126
14.6. ПРИМЕНЕНИЕ ПЭВМ ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
Применять ПЭВМ целесообразно для решения задач, требующих
большого объёма вычислительной работы. Ниже приведены решения
некоторых подобных задач.
y
ЗАДАЧА 14.32. По проводам трехпроводной
I+
воздушной линии протекает постоянный ток I как
H
Hy
показано на рис. 14.42. Расстояние между всеми проводами 2d = 140 см. Радиусы проводов намного
Hx
меньше d. Требуется рассчитать напряженности
2I
магнитного поля в точках А и В, а также магнитное
I
x
+
напряжение между ними, если I = 60 А, хА = -10 см;
Рис. 14.42
yА = -15 см; хВ = 15 см; yB = 20 см.
Решение
Для расчета напряженностей в точках А и В используем закон полного
тока в интегральной форме и метод наложения, причем обе напряженности
будем раскладывать на проекции в прямоугольной системе координат. С этой
целью рассмотрим произвольную точку, положение которой определяется
координатами х и у (рис. 14.42). Проекция напряженности поля в этой
точке на ось х:

2 y
y
3d  y
I 


Hx(x, y) :=
·
.
2    ( d  x )2  y 2 ( d  x )2  y 2 ( 3  d  y )2  x 2 
Она состоит из трех составляющих, создаваемых левым, правым и
верхним проводами линии, соответственно.
Аналогично проекция напряженности поля в этой точке на ось у:

dx
x
I  2 ( d  x )


Hy(x, y) :=
·
.
2    ( d  x )2  y 2 ( d  x )2  y 2 ( 3  d  y )2  x 2 
Полные значения напряженностей в точках А и В:
HA := Hx( x A , y A )2  Hy( x A , y A )2 HB := Hx( xB , y B )2  Hy( xB , y B )2
Магнитное напряжение между точками определим в соответствии с
B
соотношением: UM =  H  dl . Интегрирование выполним по горизонтали и
A
r1
вертикали. Тогда
I
I
d1
+
xB
yB
1
1
UM :=  Hx( x A , y A )dx +  Hy( x A , y A )dy .
r21
r12
xA
yA
h1
MathCAD-программа и ответ приведены r
2
в Приложении к разделу 14.
h2
2
r12
d2
ЗАДАЧА 14.33. Рассчитать взаимную
индуктивность двух двухпроводных линий,
Рис. 14.43
расположенных в воздухе (рис. 14.43), если
2
r1 = 4 мм, r2 = 2 мм, d1 = 0,5 м, d2 = 0,2 м, h1 = 20 см, h2 = 30 см.
127
Решение
Расчет выполним, используя векторный магнитный потенциал4).
Произведем вывод формулы для векторного магнитного потенциала вне
цилиндрического проводника с током I. Согласно уравнению Пуассона для
магнитного поля  2 A =  . Расписав выражение лапласиана в цилиндрической системе координат и учитывая, что вектор A в данном случае имеет
только одну составляющую A = k ·Az = k ·A, направленную по оси провода (по
оси z), и эта составляющая зависит только от координаты r в силу симметрии,
а также отсутствие плотности тока за пределами провода, получим
1   A 
 2A = ·  r  = 0.
r r  r 
Двукратное интегрирование по r дает A = C0·lnr + C1. Вектор-потенциал определяется с точностью до постоянной. Примем, что он равен нулю
на поверхности провода, т.е. при r = r0. Тогда C1 = -C0·lnr0 и A = C0·ln(r/r0).
Постоянную интегрирования С0 определим, используя напряжённость магнитного поля, которая связана с вектор-потенциалом формулой a· H = rot A .
Раскрыв выражение ротора в цилиндрической системе координат и
dA
учитывая, что A = k ·A и H = 1 ·H, получим a·H = - , откуда H =dr
C0
. На поверхности провода в соответствии с законом полного тока
a r
 I
 I r
I
H=
. Тогда C0 = - a и A = a ln 0 .
2
r
2  r0
2
Для определения взаимной индуктивности линий предположим, что по
проводам первой линии (1-1) замыкается ток I, как указано на рис. 14.43.
Исходя из формулы Ф =  Adl , определим составляющую магнитного потока
Ф1, пронизывающую плоскость участка второй линии длиной l и создаваемую током провода 1, а также составляющую Ф2, создаваемую током
провода 1:
 Il r  Il r  Il r
Ф1 = 0 ln 1 – 0 ln 1 = 0 ln 12' ,
2
r12 2
r12'
2
r12
 Il r
 Il r  Il r
Ф2 = 0 ln 1 – 0 ln 1 = 0 ln 1' 2 .
2
r1' 2' 2
r1' 2 2
r1' 2'
Входящие в эти формулы расстояния (см. рис. 14.43):
r12 = h1;
r12 = h22  d22  ( h2  h1 )2 ;
r12 = h12  d12 ;
r12 = h22  ( d1  d 22  ( h2  h1 )2 )2 .
4)
Отметим, что искомые магнитные потоки можно найти также, используя формулу (14.3).
128
0 I  l r1' 2r12'
.
ln
2
r12 r1' 2'
Ф  l r r
Взаимная индуктивность линий М = = 0 ln 1' 2 12' .
2
r12 r1' 2'
I
Поток взаимной индукции
Ф = Ф1 + Ф2 =
0  103 r1' 2r12'
При длине линий l = 1 км М =
.
ln
2
r12 r1' 2'
MathCAD-программа и ответ приведены в Приложении к разделу 14.
ЗАДАЧА 14.34. По уединённой плоской шине высотой h = 15 см и
толщиной 2a = 0,8 см протекает постоянный ток I = 3600 А (рис. 14.44).
Шина медная, расположена в воздухе. В плоскости х0у расположена
прямоугольная рамка длиной l = 0,5 м, причем сторона l параллельна оси
0х. Число витков рамки w = 150, b = 1 см, с = 0,5 см.
1) Рассчитать зависимость векторного магнитного потенциала поля в
функции координат и построить его график.
2) Используя векторный магнитный потенциал, рассчитать взаимную
индуктивность шины и рамки.
z
h
I
l
0
у
х
b
2a
с
2 10
4
1.5 10
4
A( y ) 1 10
4
5 10
5
0
0
0.004
0.008
y
0.012
Рис. 14.45
Рис. 14.44
6
2
Ответы: плотность тока в шине  = -3·10 A/м ;
 1,885 y 2 Вб / м при 0  у  а ,
A(у) = 
y [м];
6
0 ,01508 у  30 ,16  10 Вб / м при у  a ,
график A(у) представлен на рис. 14.45; A(b) = 1,206·10 -4, A(b+c) = 1,96·10 4
,
магнитный поток сквозь рамку Ф = l·(A(b+c) – A(b)) = 37,7·10 -4 Вб,
взаимная индуктивность М = Ф·w/I = 1,571 мкГн.
Пример MathCAD-программы, составленной в соответствии с
алгоритмом решения задачи 14.21, приведен в Приложении к разделу 14.
у
ЗАДАЧА 14.35. Постоянный ток
I = 600 А
I
I
замыкается по двухпроводной воздушной линии,
C D х
выполненной шинами прямоугольного сечения с
А
h
В
z
a 2a a
129
Рис. 14.46
размерами а = 4 мм, h = 200 мм (рис. 14.46). Магнитная проницаемость
левой шины r1 = 800, а правой r2 = 400.
Построить графики зависимости векторного маг-нитного потенциала и
напряженности магнитного поля в функции координат. Определить
магнитный поток, замыкающийся по телу левой шины длиной l = 1 м.
Рассчитать внутреннюю индуктивность единицы длины линии.
Решение
Выберем расположение декартовой системы координат как показано на
рис. 14.46. Для определения векторного магнитного потенциала применим
уравнение Пуассона. При этом учтем, что поскольку толщина шин и
расстояние между ними значительно меньше их высоты, то можно
пренебречь краевым эффектом. Так как вектор плотности тока имеет
проекцию только на ось z, то и вектор A в данной задаче имеет только одну
составляющую A  k Az  k A , направленную вдоль шин, а зависит она только
от координаты х.
I
Определим величину плотности тока в шинах  =
.
ha
Тогда с учетом того, что в правой шине вектор  направлен вдоль оси
z, а в левой – в противоположном направлении, получим
0 при    х  2а ,
    при  2а  х  а ,
1а
2
 A 
2
 A = 2 = 0 при  а  х  а ,
(1)
x

  2а   при а  х  2а ,
0 при 2а  х  .
Двукратное интегрирование (1) по x даёт
А0 = С0х + С1; А1 = 0,51а х2 + С2х + С3; А2 = С4х + С5;
А3 = -0,52а х2 + С6х + С7; А4 = С8х + С9.
(2)
Учитывая, что вектор-потенциал определяется с точностью до
постоянной величины, примем А2 = 0 при х = 0. Тогда С5 = 0.
Для определения остальных постоянных интегрирования используем
непрерывность вектор-потенциала, а именно:
при х = -2а А0 = А1 или
С0(-2а) + С1 = 0,51а(-2а)2 + С2(-2а) + С3;
(3)
2
при х = -а А1 = А2 или
0,51а(-а) + С2(-а) + С3 = С4(-а)+ С5;
(4)
2
при х = а А2 = А3 или
С4·а + С5 = -0,52а а + С6а + С7;
(5)
при х = 2а А3 = А4 или
-0,52а(2а) + С6(2а) + С7 = С8(2а) + С9.
(6)
С целью составления недостающего числа уравнений для определения
постоянных интегрирования используем напряженность магнитного поля,
которая связана с вектором А таким соотношением а H  rot A .
Раскрыв выражение ротора в декартовой системе координат и
dA
учитывая, что A  k A и H  jH , получим  a H  
или
dx
130
Н0 = -
C0
Н1 =  ·x –
;
C2
; Н2 = -
C4
; Н3 = - ·x –
C6
;
Н4 = -
C8
.
0
 2a
0
1a
0
Используя закон полного тока в интегральной форме, для нашего
устройства имеем
I
Н0 = 0, Н2 = - , Н4 = 0.
(7)
h
Кроме того, на основании граничных условий
при х = -2а Н0 = Н1, а при х = 2а Н3 = Н4.
(8)
Тогда из системы уравнений (3)…(8) получаем С0 … С9.
Все расчёты и построение графиков А(х) и Н(х) выполнены с помощью
системы MathCAD. Они приведены в Приложении к разделу 14.
Магнитный поток, замыкающийся по телу шин, определим используя
формулу Ф =  Adl . В качестве контура интегрирования возьмем прямоугольL
ник А-В-С-D-А (рис. 14.46). Вдоль сторон АВ и СD  Adl = 0, так как на этих
участках векторы А и dl взаимно перпендикулярны. Вдоль стороны ВD
векторы А и dl сонаправлены, а вдоль стороны СА они противоположны по
направлению, поэтому Ф = (А(х=-а) – А(х=-2а))l.
Для определения внутренней индуктивности аналогично определим
магнитный поток, замыкающийся по телу правой шины Ф = (А(х=2а) – А(х=а))l.
Тогда внутренняя индуктивность единицы длины линии
Ф  Ф'
Li =
.
I



2
A 4
ЗАДАЧА 14.36. По
3
I
dl
весьма длинной биметаллической трубе (рис. 14.47) про- 1
текает постоянный ток I=1кА.
r3
Проводимость внутреннего 1
2
слоя 1, а внешнего 2 =
r2
1,5·1.
Магнитная
r1
проницаемость внутреннего
Рис. 14.47
слоя 1a = 100, наружного
– 2a = 0. По-строить график зависимости векторного магнитного
потенциала от расстояния до центра трубы. Определить магнитный поток,
замыкающийся по телу трубы длиной 1 м, если r1 = 10 см, r2 = 15 см, r3 =
20 см.
Решение
Определим плотности тока в первой (r1<r<r2) и второй (r2<r<r3)
областях, используя граничные условия. Так как E1t = E2t и векторы E1 и E 2
в данном случае имеют только тангенциальные составляющие, то
131
1  2
.

1  2
С другой стороны,
Следовательно:
1( r22 –  r12) + 2( r32 –  r22) = I.
I
2 = 1  2 , 1 =
.
2
2
2
2
2
1
 ( r2  r1 )   ( r3  r2 )
1
Для определения векторного магнитного потенциала применим уравнение Пуассона в цилиндрической системе координат. Так как вектор плотности тока имеет проекцию только на одну ось z, то и вектор A в данной задаче
имеет только одну составляющую A = k ·A, направленную по оси трубы (по
оси z), и эта составляющая зависит только от координаты r в силу симметрии.
Тогда
для области внутри трубы 0;
для I области
-1a·1;
1  A
 2A =  ( r ) =
для П области
-2a·2;
r r r
для области вне трубы
0.
Двукратное интегрирование по r даёт:
A0 = C0·lnr + C1; A1 = -¼1а1r 2 + C2·lnr + C3;
A2 = -¼2а2r 2 + C4·lnr + C5; A3 = C6·lnr + C7.
Слагаемое C0·lnr должно отсутствовать, так как вектор A не может
принимать бесконечно большие значения при r = 0, отсюда следует, что
C0 = 0. Вектор-потенциал определяется с точностью до постоянной. Примем,
что на оси трубы (r = 0) он равен нулю, тогда C1 = 0 и A0 = 0.
Для определения остальных постоянных интегрирования используем
непрерывность вектор-потенциала:
1. При r = r1 A0 = A1. Тогда 0 = -0,251а1r12+ C2·lnr1 + C3.
2. При r = r2 A1 = A2,
следовательно:
-0,251а1r22 + C2·lnr2 + C3 = -0,252а2r22 + C4·lnr2 + C5.
3. При r = r3 A2 = A3, то есть -0,252а2r32 + C4·lnr3 + C5 = C6·lnr3 + C7.
С целью составления недостающего числа уравнений для определения
постоянных интегрирования используем напряжённость магнитного поля,
которую определим по формуле a H = rot A . Раскрыв выражение ротора в
цилиндрической системе координат и учитывая, что A = k ·A и H = 1 ·H,
получим a·H = -dA/dr, откуда
C
r C
 r C
H0 = 0;
H1 = 1 – 2 ,
H2 = 2 – 4 , H3 = - 6 .
 2a r
2 1a r
2  2a r
На основании граничных условий получим:
r C
4. При r = r1 H0 = H1 или 0 = 1 1 – 2 .
2 1a r1
1r2 C 2  2 r2 C 4
5. При r = r2 H1 = H2 или
–
=
–
.
 2 a r2
2
2 1a r2
C
 2 r3 C4
6. При r = r3 H2 = H3 или
–
=- 6 .
 2a r3
2  2a r3
Решение системы уравнений 1-6 даёт C2 … C7.
132
Все расчёты и построение графика А(r) выполнены с помощью системы
MathCAD. Они приведены в Приложении к разделу 14.
Для определения магнитного потока, замыкающегося по телу трубы,
воспользуемся формулой Ф =  A  dl . В качестве контура интегрирования
L
возьмём прямоугольник 1-2-3-4-1 (рис. 14.47), причём вдоль сторон 1-2 и 3-4
 A  dl = 0, так как на этих участках угол между A и dl равен 90. Вдоль
стороны 2-3
Следовательно:
 A  dl = 0, так как на внутренней поверхности трубы
1
Ф =  A  dl = -А[r =r3] ·l.
4
133
А = 0.
C. 133-139 – см. файл «Приложение к разделу 14».
134
135
136
137
138
139
140