ОПД.Ф.4 Уравнения_мат_физики

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ
федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Мурманский государственный гуманитарный университет»
(ФГБОУ ВПО «МГГУ»)
УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС
ДИСЦИПЛИНЫ
ОПД.Ф.04 - УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
Основная образовательная программа подготовки специалиста по специальности
010200 (010501) – Прикладная математика и информатика
Утверждено на заседании кафедры
математики и математических методов
в экономике факультета
физико-математического образования,
информатики и программирования
(протокол № 6 от 27 февраля 2013 г.)
Зав. кафедрой _______________О.М. Мартынов
1. 1. Автор программы: кандидат физ.-мат. наук, доцент Мартынов О.М.,
1. 2. Рецензенты: Локоть Вадим Владимирович, кандидат физ.-мат. наук, доцент кафедры
математики и МОМ, Беляев Владимир Яковлевич кандидат физ.-мат. наук, доцент кафедры Высшей
математики и ПО ЭВМ МГТУ.
1.3. Пояснительная записка:
Цели и задачи: Заложить фундаментальные знания, необходимые для применения
математических методов. Все эти методы должны базироваться на прочной основе математических
дисциплин.
В профессиональной подготовке математика курс занимает особое положение. Данным
курсом предусматривается изучение уравнений математической физики и применение изученного на
практике, используя методы математического моделирования. Известно, что в качестве
математических моделей реальных процессов могут быть использованы дифференциальные
уравнения. Роль дифференциальных уравнений с частными производными в физике, биологии,
химии и других областях науки велика. Многие процессы реальной жизни описываются с помощью
дифференциальных уравнений. Данный курс дает основу для дальнейшего изучения таких
дисциплин, как методы математической физики, теоретическая физика. Данный курс знакомит
студентов с прикладными аспектами математики, позволяет показать связь математики с решением
физических задач.
Главная цель курса – научить студента основам математической культуры, необходимой для
научного обоснования курса математики, сформировать практические навыки решения задач.
Предлагаемый курс имеет естественные межпредметные связи с курсами обыкновенных
дифференциальных уравнений, линейной алгебры и аналитической геометрии, информатики,
физики.
Программа курса составлена на основе Государственного образовательного стандарта
высшего профессионального образования по специальности 010200 Прикладная математика и
информатика, утвержденного 23.03. 2000 г.
В результате изучения курса студенты
должны знать: основные понятия и утверждения, входящие в содержание дисциплины,
доказательства теорем.
должны уметь: решать задачи по разделам курса, применять теоретический материал, творчески
подходить к решению профессиональных задач, строить математические модели
физических задач, приводить их к нужному виду, выбирать и реализовывать
наиболее рациональный метод решения поставленной задачи.
1.4. Извлечение из ГОС ВПО специальности.
ОПД.Ф.04Уравнения математической физики:
уравнения гиперболического, параболического и эллиптического типа; исследование основных задач
для уравнений математической физики.
1.5. Объем дисциплины и виды учебной работы
№
п/п
Шифр и
наименование
специальности
1
010200
«Прикладная
математика и
информатика»
010200
«Прикладная
математика и
информатика»
2
Курс
Семестр
Виды учебной работы в часах
Трудоем Всего
ЛК ПР/ ЛБ
Сам.
кость
аудит.
СМ
Работа
Вид
итогового
контроля
(форма
отчетности)
3
6
102
70
36
34
–
32
Зачет
4
7
102
70
34
36
–
32
Экзамен
1.6. Содержание дисциплины.
1.6.1. Разделы дисциплины и виды занятий (в часах). Примерное распределение учебного
времени:
№
п/п
1
2
3
4
5
Наименование раздела, темы
Уравнение колебаний струны.
Уравнение теплопроводности.
Уравнение Лапласа.
Единственность решения краевых задач.
Специальные функции. Операционное исчисление
и применение его к решению некоторых уравнений
математической физики.
Количество часов
Всего
ауд.
36
34
30
4
ЛК
ПР
ЛБ
Сам.раб.
18
18
16
4
18
16
14
–
–
–
–
16
14
10
8
36
14
22
–
16
1.6.2. Содержание разделов дисциплины.
Уравнение колебаний струны.
Основные понятия о дифференциальных уравнениях с частными производными 2-го порядка.
Однородные линейные дифференциальные уравнения с частными производными и свойства их
решений. Типы уравнений 2-го порядка с частными производными. Приведение к каноническому
виду. Вывод уравнения колебаний струны. Постановка начальных и краевых условий. Бесконечная
струна. Метод Даламбера. Корректность постановки задачи. Полубесконечная струна. Метод Фурье
для уравнения колебаний струны. Стоячие волны. Примеры на метод Фурье для уравнения
колебаний струны. Вынужденные колебания струны.
Уравнение теплопроводности.
Вывод уравнения линейной теплопроводности. Начальные и краевые условия для уравнения
теплопроводности. Метод Фурье для бесконечного стержня. Преобразование решения уравнения
теплопроводности. Фундаментальное решение уравнения теплопроводности и его физический
смысл. Примеры на теплопроводность в бесконечном стержне. Теплопроводность в конечном
стержне. Приведение к задаче с однородными краевыми условиями. Метод Фурье. Распространение
тепла в стержне в случаях постоянной температуры на концах или теплоизоляции концов. Примеры
на теплопроводность в конечном стержне. Теплопроводность в полубесконечном стержне.
Уравнение Лапласа.
Оператор Лапласа в полярных, цилиндрических и сферических координатах. Постановка
Краевых задач. Метод функции Грина для задачи Дирихле (трехмерный случай). Метод функции
Грина для задачи Дирихле (двумерный случай). Задача Неймана. Решение задачи Дирихле для шара
и полупространства. Решение задачи Дирихле для круга и полуплоскости. Потенциалы. Метод Фурье
для уравнения Лапласа.
Единственность решения краевых задач.
Теоремы единственности решения краевых задач.
Специальные функции. Операционное исчисление и применение его к решению некоторых
уравнений математической физики.
Гамма-функция. Цилиндрические функции. Сферические функции. Многочлены Чебышева - Эрмита и
Чебышева - Лагерра. Операционное исчисление.
1.6.3. Темы для самостоятельного изучения.
№
п/п
1
2
3
4
5
Наименование раздела
Дисциплины.
Тема.
Форма
самостоятельной
работы
Стоячие
волны.
Вынужденные колебания
струны.
Вопросы для
самостоятельного
изучения
Распространение тепла в
стержне в случаях постоянной температуры на
концах или теплоизоляции концов. Теплопроводность в полубесконечном
стержне.
Вопросы для
самостоятельного
изучения
Потенциалы.
Вопросы для
самостоятельного
изучения
Вопросы для
самостоятельного
изучения
Вопросы для
самостоятельного
изучения
Метод
Фурье
уравнения Лапласа.
для
Многочлены Чебышева Эрмита и Чебышева Лагерра.
Форма контроля
выполнения
самостоятельной
работы
Вопросы к
коллоквиуму
Количество
Часов
16
Вопросы к
коллоквиуму
14
Вопросы к
коллоквиуму
10
Вопросы к
экзамену
8
Вопросы к
экзамену
16
1.7. Методические рекомендации по организации изучения дисциплины.
1.7.1. Тематика и планы практических занятий по изученному материалу
Практические занятия по теме «Уравнение колебаний струны»
Приведение уравнений к каноническому виду. Задача Штурма – Лиувилля. Метод Даламбера.
Полубесконечная струна. Смешанная задача для волнового уравнения.
Литература:
1. Вуколов Э.А., Ефимов А.В., Земсков В.Н., Каракулин А.Ф., Лесин В.В., Поспелов А.С., Терещенко
А.М. Сборник задач по математике для втузов. Ч. 4. Методы оптимизации. Уравнения в частных
производных. Интегральные уравнения. М., Наука, 1990.
2. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. Ч.2. М.,
Высшая школа, 1996.
3. Кузнецов Л.А. Сборник заданий по высшей математике. СПб-Москва-Краснодар, Лань, 2005.
4. Очан Ю.С. Сборник задач по методам математической физики. М., Высшая школа, 1967.
Практические занятия по теме «Уравнение теплопроводности»
Уравнение теплопроводности для нестационарного случая. Смешанная задача для уравнения
теплопроводности.
Литература:
1. Вуколов Э.А., Ефимов А.В., Земсков В.Н., Каракулин А.Ф., Лесин В.В., Поспелов А.С., Терещенко
А.М. Сборник задач по математике для втузов. Ч. 4. Методы оптимизации. Уравнения в частных
производных. Интегральные уравнения. М., Наука, 1990.
2. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. Ч.2. М.,
Высшая школа, 1996.
3. Кузнецов Л.А. Сборник заданий по высшей математике. СПб-Москва-Краснодар, Лань, 2005.
4. Очан Ю.С. Сборник задач по методам математической физики. М., Высшая школа, 1967.
Практические занятия по теме «Уравнение Лапласа»
Задача Дирихле для круга и полуплоскости. Задача Дирихле для шара и полупространства.
Литература:
1. Вуколов Э.А., Ефимов А.В., Земсков В.Н., Каракулин А.Ф., Лесин В.В., Поспелов А.С., Терещенко
А.М. Сборник задач по математике для втузов. Ч. 4. Методы оптимизации. Уравнения в частных
производных. Интегральные уравнения. М., Наука, 1990.
2. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. Ч.2. М.,
Высшая школа, 1996.
3. Кузнецов Л.А. Сборник заданий по высшей математике. СПб-Москва-Краснодар, Лань, 2005.
4. Очан Ю.С. Сборник задач по методам математической физики. М., Высшая школа, 1967.
Практические занятия по теме «Специальные функции. Операционное исчисление и
применение его к решению некоторых уравнений математической физики»
Нахождение изображений функций. Отыскание оригинала по изображению. Свертка функций.
Изображение производных и интеграла от оригинала. Применение операционного исчисления к
решению некоторых дифференциальных и интегральных уравнений. Общая формула обращения.
Применение операционного исчисления к решению некоторых уравнений математической физики.
Литература:
1. Вуколов Э.А., Ефимов А.В., Земсков В.Н., Каракулин А.Ф., Лесин В.В., Поспелов А.С., Терещенко
А.М. Сборник задач по математике для втузов. Ч. 4. Методы оптимизации. Уравнения в частных
производных. Интегральные уравнения. М., Наука, 1990.
2. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. Ч.2. М.,
Высшая школа, 1996.
3. Кузнецов Л.А. Сборник заданий по высшей математике. СПб-Москва-Краснодар, Лань, 2005.
4. Очан Ю.С. Сборник задач по методам математической физики. М., Высшая школа, 1967.
1.8. Учебно-методическое обеспечение дисциплины.
1.8.1. Рекомендуемая литература:
Основная литература.
1. Араманович И.Г., Левин В.И. Уравнения математической физики.М., Наука, 1964.
2. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. М., МГУ – Наука, 2004.
3. Арсенин В.Я. Математическая физика. Основные уравнения и специальные функции. М., Наука,
1966.
4. Вуколов Э.А., Ефимов А.В., Земсков В.Н., Каракулин А.Ф., Лесин В.В., Поспелов А.С., Терещенко
А.М. Сборник задач по математике для втузов. Ч. 4. Методы оптимизации. Уравнения в частных
производных. Интегральные уравнения. М., Наука, 1990.
5. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. Ч.2. М.,
Высшая школа, 1996.
6. Кузнецов Л.А. Сборник заданий по высшей математике. СПб-Москва-Краснодар, Лань, 2005.
7. Очан Ю.С. Сборник задач по методам математической физики. М., Высшая школа, 1967.
Дополнительная литература
1. Кошляков Н.С., Глинер Э.Б., Смирнов М.М. Основные дифференциальные уравнения
математической физики. М., Физматлит, 1962.
2. Петровский И.Г. Лекции об уравнениях с частными производными. М., 1953.
3. Соболев С.Л. Уравнения математической физики. М., 1954.
1.9. Материально-техническое обеспечение дисциплины.
Не предусмотрено учебным планом.
1.10. Примерные зачетные тестовые задания.
Вариант № 1
1. Найти общее решение уравнения, приведя его к каноническому виду
u

2
u

u
u

4
u

0
x
x
x
y
y
y4
x
y
.
1 '
''
''
x
,0
2
,u
x
,0

c
o
s
x




t
2. Найти решение уравнения utt  uxx при начальных условиях u
.
1

x
3. Решить смешанную задачу
u

4
u
,
u
0
,
t

u
1
,
t

0
,
u
x
,
0

0
,
u
x
,
0

1
4
s
i
n
7
x








t
t
x
x
t
.
4. Решить смешанную задачу
u

8
1
u
,
u
0
,
t

u
5
,0
t

,,
u
x
0

s
i
n
x
,
u
x
,
0

1
8
s
i
n
2
x







t
t
x
x
t
.
5. Решить смешанную задачу
u

6
4
u
,0
u
,
t

u
6
,
t

0
,,
u
x
0

0
,
u
x
,
0

8
c
o
s
x








t
t
x
x
x
x
t
.
6. Решить смешанную задачу
u

4
u
,
u
0
,
t

0
,0
u
,
5
,
t

0
,,
u
x
0

s
i
n
9
x
,
u
x
,
0

0







t
t
x
x
x
t
.
7. Решить смешанную задачу
u

2
5
u
,
u
0
,
t

7
t
,
u
2
,
t


3
t
,
u
x
,
0

0
,,
u
x
0
1
0
s
i
n
2
x

7

5
x






t
t
x
x
t
.
8. Решить смешанную задачу
u

9
u
,
u
0
,
t


8
,
u
2
,2
t

,,
u
x
0
s
i
n
6
x

8

5
x
,
u
x
,
0

0







t
t
x
x
t
.
9. Решить смешанную задачу для данного неоднородного волнового уравнения с нулевыми
начальными и граничными условиями

8
t
u
x
,
0

u
x
,
0

0
,
u
0
,
tu

,
t

0
u
6
5
e
s
in
x






t
;u
.
tt 
x
x


 








Вариант № 2
 

8
u
;
u
x
,
0

2
0
s
i
n
2
x

7
s
i
n
3
x
,t
u
,t
0

0
6
1. Решить смешанную задачу: u
;u
.
t
x
x


uu
;
x
,
0

1
6
c
o
s
9

x
0
;t

0
;u
3
,
5
;t

0





3. Решить смешанную задачу: u
;u
.
5
;u
x
,
0

2
0
c
o
s
2
x
0
,t
u
5
,t
0






2. Решить смешанную задачу: uu
;u
.
x
x
t
x
x
t

x
x
x

6
u
;
u
x
,
0

8
s
i
n
43
x


4
x
0
;t

3
;u
2
;t


5





4. Решить смешанную задачу: u
;u
.
t
x
x
5. Решить смешанную задачу для данного неоднородного уравнения теплопроводности с нулевыми

x
,
0

0
,
u
0
,
t

0
,
u
,
t

0






начальным и граничными условиями u
:

6
3
t
u
7
u

4
e
s
i
n
3
x
.
t
x
x
1

u

1
0
s
i
n
3
t
s
i
n
6
x
;
u
x
,
0

2
0
s
i
n
1
8
x


6. Решить смешанную задачу: u
;
t
x
x
3
6
u
;t
u

;t

0
0

.
1

u

1
0
c
o
s
3
tx
s
i
n
5
;,
u
x
0

2
0
s
i
n
1
0
xx


2


7. Решить смешанную задачу: u
;
t
x
x
2
5
u
0
;t


;u



;t

.
 
Вариант № 3

1 '
''
''
x
,0
2
,u
x
,0

c
o
s
x




t
1. Найти решение уравнения utt  uxx при начальных условиях u
.
1

x
2. Решить смешанную задачу
u

2
5
u
,
u
0
,
t

7
t
,
u
2
,
t


3
t
,
u
x
,
0

0
,,
u
x
0
1
0
s
i
n
2
x

7

5
x






t
t
x
x
t
.



1

u

1
0
c
o
s
3
t
s
i
n
5
x
;
u
x
,
0

2
0
s
i
n
1
02
x


x


3. Решить смешанную задачу: u
;
t
x
x
2
5
u
0
;t


;u

;t





.

r1
,0


 ( r,  –
4. Найти решение уравнения Лапласа u  0 в круговом секторе 0
полярные координаты,   2 ), на границе которого искомая функция u  r,   удовлетворяет
 


1
, 
2
0
s
i
n
1
5
,
u
r
,
0

0
,
u
r
,

0



следующим условиям: u
.

6



1.11. Примерный перечень вопросов к зачету (экзамену).
1. Основные понятия о дифференциальных уравнениях с частными производными 2-го порядка.
Однородные линейные дифференциальные уравнения с частными производными и свойства их
решений
2. Типы уравнений 2-го порядка с частными производными. Приведение к каноническому виду.
3. Вывод уравнения колебаний струны.
4. Постановка начальных и краевых условий.
5. Бесконечная струна. Метод Даламбера.
6. Корректность постановки задачи.
7. Полубесконечная струна.
8. Метод Фурье для уравнения колебаний струны.
9. Стоячие волны. Примеры на метод Фурье для уравнения колебаний струны.
10. Вынужденные колебания струны.
11. Вывод уравнения линейной теплопроводности.
12. Начальные и краевые условия для уравнения теплопроводности.
13. Метод Фурье для бесконечного стержня.
14. Преобразование решения уравнения теплопроводности.
15. Фундаментальное решение уравнения теплопроводности и его физический смысл.
16. Примеры на теплопроводность в бесконечном стержне.
17. Теплопроводность в конечном стержне. Приведение к задаче с однородными краевыми
условиями. Метод Фурье.
18. Распространение тепла в стержне в случаях постоянной температуры на концах или
теплоизоляции концов.
19. Примеры на теплопроводность в конечном стержне.
20. Теплопроводность в полубесконечном стержне.
21. Оператор Лапласа в полярных, цилиндрических и сферических координатах.
22. Постановка краевых задач.
23. Метод функции Грина для задачи Дирихле (трехмерный случай).
24. Метод функции Грина для задачи Дирихле (двумерный случай).
25. Задача Неймана.
26. Решение задачи Дирихле для шара и полупространства.
27. Решение задачи Дирихле для круга и полуплоскости.
28. Потенциалы.
29. Метод Фурье для уравнения Лапласа.
30. Теоремы единственности решения краевых задач.
31. Гамма-функция.
32. Цилиндрические функции.
33. Сферические функции.
34. Многочлены Чебышева - Эрмита и Чебышева - Лагерра.
35. Операционное исчисление.
1.12. Комплект экзаменационных билетов.
Билет № 1
1. Сопряженные точки. Задача Дирихле для шара.

r1
,0

( r ,  u  0 в круговом секторе 0
полярные координаты,   2 ), на границе которого искомая функция ur,  удовлетворяет

1
,

s
i
n
6
,
u
r
,
0

u
r
,

0



условиям: u
.

3

2. Найти решение уравнения Лапласа


Билет № 2
1.Примеры к задаче Дирихле для шара. Задача Дирихле для внешности шара.

r1
,0

( r ,  u  0 в круговом секторе 0
полярные координаты,   2 ), на границе которого искомая функция ur,  удовлетворяет
1
,
2
c
o
s
2
,
u
r
,
0

u
r
,

0



условиям: u
.
2. Найти решение уравнения Лапласа



Билет № 3
1. Задача Дирихле для полупространства.

r

1
,0

2
на границе
u  0 в круге 0
,
o
s9

1
c
которого искомая функция ur,  имеет следующие значения: u
.
2. Решить задачу Дирихле для уравнения Лапласа
Билет № 4
1. Примеры к задаче Дирихле для полупространства.
2.
Найти
стационарное
распределение

температуры

в
прямоугольнике
D

x
,y
0

x

a
,0
y

b


, если на границе прямоугольника поддерживается заданная
x
,0

u
x
,b

0
,x
0
,a






температура: u
;
y
u
0
,
y

y

y
b

y
,
u
a
,
y

y

s
i
n








.
b


Билет № 5
1. Колебания прямоугольной мембраны. Стоячие волны прямоугольной мембраны.
2.
Найти

решение
u x, y
уравнения

Лапласа
u

u
u
0 в прямоугольнике
x
x
y
y
D

x
,y
0

x

a
,0
y

b


, удовлетворяющее следующим краевым условиям:

u
x
,
0,

u
x
b



u
0
,
y

y
b

y
,
u
a
,
y

0





.

y 
y
Билет № 6
1. Задача Дирихле для круга.
2.
Найти

решение
u x, y

уравнения
Лапласа
u0
в
прямоугольнике
D

x
,y
0

x

a
,0
y

b


, удовлетворяющее условиям:


u
x
,
0

u
x
,
b



u
0
,
y

,
u
a
,
y

y
,
 
0


.

y 
y
Билет № 7
1. Пример к задаче Дирихле для круга. Задача Дирихле для внешности круга.
0

xl

,0

ym
, закрепленная вдоль всего контура,
2. Однородная прямоугольная мембрана 
лежащего в горизонтальной плоскости, и имеющая в начальный момент форму
 
3
x8
y
,y
,0
u
x
,y
,0

s
i
ns
i
n , начала колебаться с начальной скоростью u
0. Найти


tx
l
m
закон свободных колебаний мембраны, если натяжение мембраны T0 равно ее поверхностной
2 T
0
плотности  , т.е. a  1.

Билет № 8
1. Задача Дирихле для полуплоскости. Пример.
2. Точкам закрепленной по контуру однородной квадратной мембраны со стороной l , находящейся в
начальный
момент
в
положении
равновесия,
придали
начальные
скорости
 
x2
y
u
x
,y
,0

s
i
ns
i
n . Найти закон свободных колебаний мембраны.


t
l
l
Билет № 9
1. Метод Фурье для уравнения Лапласа. Двумерное уравнение Лапласа и задача Дирихле для круга.
2. Закрепленной по контуру однородной квадратной мембране со стороной l придали форму

x y
u
x
,y
,0s

i
ns
i
n . Найти закон свободных колебаний, если начальная скорость точек


l
l
a
мембраны постоянна и равна , где a – входящая в уравнение колебаний постоянная.
l
Билет № 10
1. Разделение переменных в трехмерном уравнении Лапласа в сферических координатах.
Многочлены Лежандра.

r1
,0

( r ,  u  0 в круговом секторе 0
полярные координаты,   2 ), на границе которого искомая функция ur,  удовлетворяет

1
,

s
i
n
6
,
u
r
,
0

u
r
,

0



условиям: u
.

3

2. Найти решение уравнения Лапласа


Билет № 11
1. Вывод уравнения колебаний мембраны. Начальные и краевые условия.

r1
,0

( r ,  u  0 в круговом секторе 0
полярные координаты,   2 ), на границе которого искомая функция ur,  удовлетворяет
1
,
2
c
o
s
2
,
u
r
,
0

u
r
,

0



условиям: u
.
2. Найти решение уравнения Лапласа



Билет № 12
1. Колебания прямоугольной мембраны. Собственные функции.

r

1
,0

2
на границе
u  0 в круге 0
,
o
s9

1
c
которого искомая функция ur,  имеет следующие значения: u
.
2. Решить задачу Дирихле для уравнения Лапласа
Билет № 13
1. Колебания прямоугольной мембраны. Вторая часть метода Фурье. Двойные ряды Фурье. Пример.
2.
Найти

решение
u x, y
уравнения

Лапласа
u

u
u
0 в прямоугольнике
x
x
y
y
D

x
,y
0

x

a
,0
y

b


, удовлетворяющее следующим краевым условиям:

u
x
,
0,

u
x
b



u
0
,
y

y
b

y
,
u
a
,
y

0





.

y 
y
Билет № 14
1. Уравнение Бесселя.
2.
Найти

u x, y
решение

уравнения
Лапласа
u0
в
прямоугольнике
D

x
,y
0

x

a
,0
y

b


, удовлетворяющее условиям:


u
x
,
0

u
x
,
b



u
0
,
y

,
u
a
,
y

y
,
 
0


.

y 
y
Билет № 15
1. Условие ортогональности функций Бесселя нулевого порядка.
0

xl

,0

ym
, закрепленная вдоль всего контура,
2. Однородная прямоугольная мембрана 
лежащего в горизонтальной плоскости, и имеющая в начальный момент форму
 
3
x8
y
,y
,0
u
x
,y
,0

s
i
ns
i
n , начала колебаться с начальной скоростью u
0. Найти


tx
l
m
закон свободных колебаний мембраны, если натяжение мембраны T0 равно ее поверхностной
2 T
0
плотности  , т.е. a  1.

Билет № 16
1. Функции Бесселя первого порядка.
2. Точкам закрепленной по контуру однородной квадратной мембраны со стороной l , находящейся в
начальный
момент
в
положении
равновесия,
придали
начальные
скорости
 
x2
y
u
x
,y
,0

s
i
ns
i
n . Найти закон свободных колебаний мембраны.


t
l
l
Билет № 17
1. Колебания круглой мембраны. Стоячие волны круглой мембраны.
2. Закрепленной по контуру однородной квадратной мембране со стороной l придали форму

x y
u
x
,y
,0s

i
ns
i
n . Найти закон свободных колебаний, если начальная скорость точек


l
l
a
мембраны постоянна и равна , где a – входящая в уравнение колебаний постоянная.
l
Билет № 18
1. Оператор Лапласа в полярных, цилиндрических и сферических координатах.
3
u0
, 0
r
1
,u
,
s
.
1
2co
2. Решить задачу Дирихле для уравнения Лапласа в круге: 
Билет № 19
1. Постановка краевых задач для уравнения Лапласа.
2. Закрепленной по контуру однородной квадратной мембране со стороной l придали форму

x y
u
x
,y
,0s

i
ns
i
n . Найти закон свободных колебаний, если начальная скорость точек


l
l
a
мембраны постоянна и равна , где a – входящая в уравнение колебаний постоянная.
l
Билет № 20
1. Метод функции Грина для задачи Дирихле (трехмерный случай).
u0
, 0
r
1
,u
,
1
4sin3.
2. Решить задачу Дирихле для уравнения Лапласа в круге: 
Билет № 21
1. Метод функции Грина для задачи Дирихле (двумерный случай).
3
u0
, 0
r
1
,u
,
s
.
1
2co
2. Решить задачу Дирихле для уравнения Лапласа в круге: 
Билет № 22
1. Задача Неймана.
2.
Найти

решение
u x, y

уравнения
Лапласа
u0
в
D

x
,y
0

x

a
,0
y

b


, удовлетворяющее условиям:


u
x
,
0

u
x
,
b



u
0
,
y

,
u
a
,
y

y
,
 
0


.

y 
y
1.13. Примерная тематика рефератов.
Не предусмотрено учебным планом.
3. Содержательный компонент теоретического материала.
Лекция №1. Основные понятия и определения.
В данном курсе будут изучаться дифференциальные урав-
прямоугольнике
Лекция № 2. Однородные линейные дифференциальные с частными
производными и свойства их решений.
Если
Лекция № 3. Классификация уравнений с частными производными второго порядка.
Приведение к каноническому виду.
Лекция № 4. Вывод уравнения колебаний струны.
Пусть конеч-
Лекция № 5
Как уже
вия.
Лекция № 6
Прежде чем
Лекция № 7
Корректность постановки задачи. Полубесконечная струна.
Рассмотрим уравнение
Предположим
Лекция № 8
Рассмотрим за-
Лекция № 9
шения между амплитудами отдельных гармоник.
Лекция № 10
Пример 1. Найти колебания струны с закрепленными концами x  0 и
x  l , если начальные скорости точек
Пример 2. Пусть в условиях предыдущего примера начальная форма
nx

, где n  , а начальные скорости
l
s
in
A
струны задается функцией fx
равны нулю.
Лекция № 11
Методы, развитые в предыдущих лекциях, позволяют решить задачу и
о вынужденных колебаниях струны. Эта задача приводит к неоднородному
уравнению колебаний
Лекция № 12
Рас-
Лекция № 13
Лекция № 14
Рассмот-
РАЗДЕЛ 6. Изменения в рабочей программе, которые произошли после утверждения
программы.
Характер изменений
в программе
Номер и дата
Подпись
протокола заседания
заведующего
кафедры, на котором
кафедрой,
было принято данное
утверждающего
решение
внесенное изменение
РАЗДЕЛ 7. Учебные занятия по дисциплине ведут:
Подпись декана
факультета
(проректора по
учебной работе),
утверждающего
данное изменение
Ф.И.О., ученое звание и степень
преподавателя
Мартынов Олег Михайлович,
кандидат физ.-мат. наук
Мартынов Олег Михайлович,
кандидат физ.-мат. наук
Мартынов Олег Михайлович,
кандидат физ.-мат. наук
Учебный год Факультет
2010-2011
ФМОИП
2011-2012
ФМОИП
2012-2013
ФМОИП
Специальность
010200 – Прикладная
математика и информатика
010200 – Прикладная
математика и информатика
010200 – Прикладная
математика и информатика