2 - A5.ru

Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова
Физический факультет
Распределение электрического потенциала в прямоугольной
области
Курсовая работа по
программированию и информатике
студентки 218 группы
Черновой А. Д.
Преподаватель
доцент С. А. Шленов
Москва 2011
1
Содержание.
1. Введение
2. Уравнение Лапласа
3. Вывод формулы
4. Алгоритм численного решения
5. Итоги работы
6. Список использованной литературы.
Введение
Целью данной работы является нахождение распределения электрического потенциала внутри
прямоугольной области, на каждой из четырёх границ которой поддерживается свой собственный
постоянный электрический потенциал, а также графическое отображение этого процесса.
Часто такая задача встречается в физике. Одной из типичных задач электростатики является
задача о нахождении потенциала электрического поля при неизвестном местоположении
исходных зарядов, но заданном электрическом потенциале на границах области. Предположим,
например, что имеется система неподвижных проводников, помещенных в вакуум, а что каждый
проводник присоединен к батарее. Не составляет труда провести измерения и определить
потенциал V каждого проводника. В проводящем теле потенциал V везде имеет одно и то же
значение. Однако измерить положение зарядов на каждом проводнике сложно, поскольку их
местоположение определяется сложным неоднородным распределением, которое зависит от
формы тела. Второй типичной задачей электростатики является задача о нахождении потенциала
электрического поля, создаваемого заданным распределением в пространстве электрических
зарядов 𝜌(𝑥, 𝑦, 𝑧).
Хорошо известно, что прямой метод вычисления потенциала электрического поля 𝜑(𝑥, 𝑦, 𝑧) в этих
задачах состоит в решении уравнения Лапласа (задача 1)
𝜕2𝜑 𝜕2𝜑 𝜕2𝜑
∇ 𝜑(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 2 + 2 + 2 = 0
𝜕𝑥
𝜕𝑦
𝜕𝑧
2
и уравнения Пуассона (задача 2)
∇2 𝜑(𝑥, 𝑦, 𝑧) =
𝜕2𝜑 𝜕2𝜑 𝜕2𝜑
+
+
= 𝜌(𝑥, 𝑦, 𝑧)
𝜕𝑥 2 𝜕𝑦 2 𝜕𝑧 2
Конкретно в нашей работе мы рассматриваем первую задачу.
2
Уравнение Лапласа
Пусть задан потенциал в какой-то система границ и требуется найти потенциал 𝑉(𝑟) в какой-то
точке области, где нет зарядов. Как только мы узнаем 𝑉 внутри области, для нахождения E можно
воспользоваться соотношением E=-∇𝑉(𝑟). Такая задача называется краевой. Прямой метод
нахождения 𝑉(𝑥, 𝑦, 𝑧) основан на уравнении Лапласа, которое в декартовых координатах имеет
вид:
∇2 𝑉(𝑥, 𝑦, 𝑧) =
𝜕2𝑉 𝜕2𝑉 𝜕2𝑉
+
+
=0
𝜕𝑥 2 𝜕𝑦 2 𝜕𝑧 2
В данном прямом методе задача заключается в том, чтобы найти 𝑉(𝑥, 𝑦, 𝑧), которая
удовлетворяет уравнению (1) и заданным краевым условиям. В силу отсутствия каких бы то ни
было аналитических методов, для проводников произвольной формы единственным общим
подходом является использование приближенных численных методов.
Всё пространство разобьем сеткой или решеткой на мелкие квадратные ячейки. Ниже я покажу,
что потенциал в точке в отсутствие заряда в точке (𝑥, 𝑦) потенциал 𝑉(𝑥, 𝑦)(в данной задаче мы
рассматриваем двумерное изображение) определяется уравнением:
1
𝑉(𝑥, 𝑦) ≈ 4 [𝑉(𝑥 + ∆𝑥, 𝑦) + 𝑉(𝑥 − ∆𝑥, 𝑦) + 𝑉(𝑥, 𝑦 + ∆𝑦) + 𝑉(𝑥, 𝑦 − ∆𝑦) (2)
Иначе говоря, 𝑉(𝑥, 𝑦)является средним по значению по соседним ячейкам справа, слева, сверху и
снизу ( в трехмерном случае было бы шесть соседей). Это замечательное свойство 𝑉(𝑥, 𝑦) - не что
иное, как дискретный аналог уравнения Лапласа.
Вывод формулы (2)
Доказывать формулу (2) мы будем, аппроксимируя частные производные в уравнении (1)
конечными разностями.
𝜕 2 𝑉(𝑥, 𝑦)
𝑉(𝑥 + ∆𝑥) − 𝑉(𝑥, 𝑦) ′ −𝑉(𝑥, 𝑦) + 𝑉(𝑥 + ∆𝑥, 𝑦) − 𝑉(𝑥, 𝑦) + 𝑉(𝑥 − ∆𝑥, 𝑦)
=(
) =
2
𝜕𝑥
∆𝑥
∆𝑥 2
𝑉(𝑥 + ∆𝑥, 𝑦) + 𝑉(𝑥 − ∆𝑥, 𝑦) − 2𝑉(𝑥, 𝑦)
=
∆𝑥 2
𝜕 2 𝑉(𝑥, 𝑦) 𝑉(𝑥, 𝑦 − ∆𝑦) + 𝑉(𝑥, 𝑦 + ∆𝑦) − 2𝑉(𝑥, 𝑦)
=
𝜕𝑦 2
∆𝑦 2
Тогда:
𝑉(𝑥 + ∆𝑥, 𝑦) + 𝑉(𝑥 − ∆𝑥, 𝑦) − 2𝑉(𝑥, 𝑦) 𝑉(𝑥, 𝑦 − ∆𝑦) + 𝑉(𝑥, 𝑦 + ∆𝑦) − 2𝑉(𝑥, 𝑦)
−
=0
∆𝑥 2
∆𝑦 2
Считая, что ∆𝑥 = ∆𝑦 численно, получаем:
𝑉(𝑥, 𝑦) =
𝑉(𝑥 + ∆𝑥, 𝑦) + 𝑉(𝑥 − ∆𝑥, 𝑦) + 𝑉(𝑥, 𝑦 − ∆𝑦) + 𝑉(𝑥, 𝑦 + ∆𝑦)
4
3
Что и является формулой (2).
Алгоритм численного решения
Теперь, когда мы убедились в справедливости равенства (2), мы можем принять формулу (2) за
основу вычислительного метода решения задач, где мы можем определить потенциал
непосредственно из закона Кулона. Рассмотрим задачи, в которых несколько проводящих
областей имеют некоторый заданный потенциал и требуется найти потенциал во всем остальном
пространстве. В нашей задаче мы рассматриваем все в двухмерной геометрии. Подход,
называемый методом релаксации, базируется на следующем алгоритме:
1. Разбиваем рассматриваемую область сеткой или системой ячеек, покрывающей всю
область (рис. 1). Область должна окаймляться поверхностью, с заданным значением
потенциала по всей кривой. В нашем случае поверхностью является прямоугольная
область.
2. Ячейки делятся на граничные и внутренние. Присваиваем каждой граничной ячейке, т. е.
ячейке, центр которой лежит внутри области с заданным значение потенциала, значение
потенциала этой области.
3. Присваиваем всем внутренним ячейкам произвольный потенциал (лучше всего какоенибудь разумное начальное приближение).
4. На первом шаге для всех внутренних ячеек вычисляем новые значения V. Каждое новое
значение получается путем усреднения начальных значений потенциала по четырём
ближайшим соседним ячейкам. Это-первая итерация процесса релаксации.
5. Повторяем описанную в пункте 4 процедуру, используя значения V, полученные на
предыдущей итерации. Данный итерационный процесс продолжается до тех пор, пока
потенциал каждой внутренней ячейки не будет меняться в пределах требуемой степени
точности.
рис.1
4
Итоги работы
В моей программе можно задавать значение потенциала на границе, подсчитывать число
итераций, а так же узнать значение потенциала в данной точке, выбрав эту точку на форме. Ещё
для наилучшего понятия картины внизу прямоугольной области находится шкала, на которой
можно увидеть распределение от максимума к минимуму и соответствующее распределение
цвета.
По умолчанию у меня на границах стоят значение потенциала, равные 40, 50, 10 и 20 и,
соответственно, внутри области потенциал равен 30 (рис. 2).
40
40
40
40
40
40
40
40
10
30
30
30
30
30
30
30
30
20
10
30
30
30
30
30
30
30
30
20
10
30
30
30
30
30
30
30
30
20
10
30
30
30
30
30
30
30
30
20
10
30
30
30
30
30
30
30
30
20
10
30
30
30
30
30
30
30
30
20
10
30
30
30
30
30
30
30
30
20
10
30
30
30
30
30
30
30
30
20
50
50
50
50
50
50
50
50
(рис.2)
На следующем шаге матрица будет выглядеть уже иначе. Изображение матрицы показано на
рисунке 3.
40
40
40
40
40
40
40
40
10
27,5
32,5
32,5
32,5
32,5
32,5
32,5
30
20
10
25
30
30
30
30
30
30
27,5
20
10
25
30
30
30
30
30
30
27,5
20
10
25
30
30
30
30
30
30
27,5
20
10
25
30
30
30
30
30
30
27,5
20
10
25
30
30
30
30
30
30
27,5
20
10
25
30
30
30
30
30
30
27,5
20
10
30
35
35
35
35
35
35
32,5
20
50
50
50
50
50
50
50
50
(рис. 3)
Процесс изменения происходит следующим образом. Как уже было написано выше, потенциал в
каждой точке равен сумме потенциалов соседних с ним ячеек (верхняя, нижняя, правая и левая),
деленной на четыре. Таким образом, потенциал в точке (2,2) будет равен:
5
𝑉(2,2) =
𝑉(2,1) + 𝑉(2,3) + 𝑉(3,2) + 𝑉(3,1) 40 + 10 + 30 + 30
=
= 27,5
4
4
Для точки V(2,3) процесс аналогичен. Важно отметить, что каждый раз для любой точки значения
потенциала берутся первоначальные. То есть, для ячейки (4,4) из соседних областей берутся
значения не 32,5; 25; 30 и 30, а все 30. В следующей итерации происходит пересчёт заново, но
исходными значениями потенциала уже являются значения первой итерации и т. д. Этот процесс
повторяется и происходит до тех пор, пока разность между предыдущим и следующим
значением не станет меньше определенного параметра ℰ (эпсилон). Итоговая картина изменения
потенциала при значениях на границе, описанных выше, выглядит как на (рис. 4).
(Рис.4)
В случае, когда на всех границах области потенциал одинаковый, картина будет закрашенная
одним цветом, что логично, так как потенциал постоянен.
Вводить значения потенциала на границе можно совершенно различные. Вот, к примеру,
распределение потенциала при значениях на границах 10, 20,20,20 (рис.5).
6
(Рис.5)
Список использованной литературы
1. Э. Парселл. Электричество и магнетизм.
2. Х. Гулд, Я. Тобочник. Компьютерное моделирование в физике. Том 1.
3. А. А. Самарский, А. В. Гулин. Численные методы.
7