3617769_Matematika
реклама
ПРАВОСЛАВНЫЙ СВЯТО-ТИХОНОВСКИЙ ГУМАНИТАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ. Миссионерский факультет отделение Религиоведение V курс Заочное отделение Контрольная Работа Предмет : Математика Морозов А.С. Москва 2006 – 2007. 1 Вопрос: Докажите, что если А~В и В~ С, то транзитивностью отношения эквивалентности. А~С. Это свойство называют А,В,С — это множество, поэтому : Аi ~Вi, Вi ~ Сi Если любому Вi члену множества соответствует Сi член, то можно утвержадать, что каждому Аi члену соответствует Сi член. 2 Вопрос : Установите взаимно однозначное соответствие между окружностями на плоскости, имеющими радиус 1, и точками той же плоскости. у= R²–x² — уравнение окружности в прямоугольной системе нет координат 3 Вопрос : Каждой окружности на плоскости сопостовля её центр. Задается ли этим взаимно однозначное соответствие между множеством всех окружностей на плоскости и множеством точек той же плоскости? Хотя множество центров окружности на плоскости являюется подмножеством всех окружностей , но поскольку оба множества бесконечные, то одинаковое соответствие может быть установлено. 4 Вопрос : Постройте взаимно однозначное соответствие между множеством окружностей на плоскости и множеством квадратов, стороны которых параллельны осям координат. Каждому квадрату с центром в точке О соответствует вписанная окружность. .о .о у =уo + .о .о R²– ( x – хo) ² уравнение окружности с с центром в точке О Для каждой окружности такой квадрат единственный, другие квадраты вписанные в окружность имеют стороны непараллельные осям координат. 5 Вопрос : Установите взаимно однозначное соответствие между множеством точек полуокружности и множеством точек её диаметра. у Каждой точке на окружности соответствует её проекция на оси х . х = R cos f f е х = o…. С помощью параллельных линий, пересекающих полуокружность и перпендикулярных отрезку, соединяющему концы этой полуокружности, каждой точке полуокружности можно поставить во взаимно однозначное соответствие точку этого отрезка. 6 Вопрос : Установите взаимно однозначное соответствие между множеством точек квадрата и множеством точек окружности, вписанной в этот квадрат. С помощью линий, провиденных из одной точки, расположенной, например, в центре окружности можно поставить во взаимно однозначное соответствие каждой точки этой окружности – точку квадрата в который она вписана. 7.Вопрос : Доказать эквивалентность множества точек окружности множеству точек её диаметра. Обозначим величину диаметра окружности за d. Тогда длина окружности будет составлять dπ. Представим диаметр как полуинтервал [0,d), а окружность, как [0,dπ). Очевидно, что каждому числу х полуинтервала [0,d), можно поставить во взаимно однозначное соответствие на полуинтервале [0,dπ) число хπ. Значит, множества точек соответствующих фигур эквивалентны. 8.Вопрос : Доказать взаимно однозначное соответствие между множеством точек круга и множеством точек лежащих внутри квадрата. Представим круг радиуса R в виде множества отрезков радиуса (0, R]. Поставим в соответствие каждому такому отрезку отрезок, лежащий внутри квадрата и протянутый от его центра к границе: Между отрезками внутри круга и отрезками внутри квадрата устанавливается взаимнооднозначое соответствие. В свою очередь, между точками каждого отрезка круга и отрезка квадрата можно установить взаимнооднозначное соответствие (отрезки или равны, или могут быть представлены как подмножество одного другому) – по теореме Кантора - Бернштейна. Центр круга будет соответствовать центру квадрата. 9.Вопрос : Установите взаимно однозначное соответствие между множеством точек полусферы без точек её наибольшей окружности и множеством точек плоскости. Из центра полусферы проводим прямые, которые пересекают и полусферу и плоскость. Прямые линии каждой точке полусферы ставят во взаимно однозначное соответствие точку плоскости. 10. Вопрос: Теорема 10 Объединение нескольких множеств, имеющих мощность контининуума, имеют ту же мощность. Согласно определению мощности континуума (Методич. пособие, стр. 8) - любому множеству, имеющему мощность континуума можно поставить во взаимнооднозначное соответствие некоторый отрезок. Графически можно легко показать, что все отрезки, независимо от своей длины могут быть поставлены во взаимнооднозначное соответствие друг по отношению к другу, т.е. имеют одинаковую мощность. Согласно теореме КантораБернштейна, множество точек отрезка эквивалентно множеству соответствующего полуинтервала. Объединение первоначальных множеств можно представить как последовательное объединение полуинтервалов, которое можно провести так, чтобы получился единый общий полуинтервал (например, как соединение полуинтервалов некоторой длины на прямой), который как и всякий другой полуинтервал будет иметь ту же самую мощность континуума. Следовательно, объединение множеств, имеющих мощность континуума даст множество мощности континуума. 11. Вопрос: Теорема 11 Объединение счетной совокупности множеств, имеющих мощность контининуума, имеют ту же мощность. Любому множеству мощности континуума можно во взаимнооднозначное соответствие некоторый отрезок (Методич. пособие, стр. 8), или согласно следствию теоремы Кантора Бернштейна - полуинтервал [а,в). Бесконечной счетной совокупности множеств ставится во взаимнооднозначное соответствие бесконечная последовательность подобных полуинтервалов, которая эквивалентна последовательности полуинтервалов, образующих прямую линию. Прямой линии может быть поставлен во взаимнооднозначное соответствие интервал (0,π), как, например, показывает функция котангенса. То есть, прямая линия, соответствующая счетной совокупности множеств, имеющих мощность континуума, имеет ту же мощность континуума. 12.Вопрос : Установите взаимно однозначное соответствие между точками единичного куба и точками единичного отрезка Разобьем множество точек куба на два множества: точек его границы и внутренних точек. Граница куба будет иметь мощность континуума. Так как объединение внутренних точек шести квадратов, каждый из которых имеет по теореме 12 - мощность континуума, будет иметь по №10 мощность континуума; мощность континуума имеет и совокупность точек граней куба, представляющих собой отрезки (по определению континуума и №10). Каждая точка внутреннего пространства куба задается тремя координатами, например: М (x,y,z), где каждый x может быть записан в виде бесконечной десятичной дроби: х = 0,х1х2х3…; соответственно: у = 0,у1у2у3…, z = 0,z1z2z3... Поставим в соответствие точке М действительное число N = 0,x1y1z1x2y2z2x3y3z3…При этом, различным точкам однозначно соответствуют различные числа, значит, множества внутренних точек куба и точек единичного интервала равномощны. Объединение множества точек границы куба и его внутреннего пространства – по теореме 10 опять даст ту же мощность континуума. Следовательно, множества точек куба и отрезка взаимно однозначно соответствуют друг другу. 13.Вопрос : Установите взаимно однозначное соответствие между всеми прямыми на плоскости и всеми точками на оси ОХ координатой прямой (указание: точка на координатной прямой однозначно задается одним действительным числом – её координатой, а прямая на координатной плоскости однозначно задается двумя числами : координатой её пересечения с осью ОХ и её наклоном (тангесом угла наклона)) Каждая прямая отличается от другой набором своих параметров, которых – два: «а» тангенс угла наклона к координатной оси и «в» - координата пересечения прямой и оси. Представим каждому значению параметра «а» в однозначное соответствие число а΄, являющееся арккотангенсом от него и, соответственно, определенное на интервале (0,π). В свою очередь, для а΄- поставим в однозначное соответствие число а́΄΄ по правилу: а΄΄ = 10/πа΄. Представим теперь значение параметра «в» виде арккотангенса от него - в΄ = arcct в (в΄ определено на интервале (0,π)). Обозначим: а΄΄ = а΄΄1,а΄΄2а΄΄3….; в΄ = в΄1,в΄2в΄3… Перетасуем знаки этих чисел в третьем числе: с =в΄1,а΄΄1в΄2а΄΄2в΄3а΄΄3… Очевидно, что множество чисел «с» – будет взаимнооднозначно отвечать набору пар значений двух параметров «а» и «в». В свою очередь, множеству «с», определенному по условию построения на интервале (0,π), с помощью функции котангенса можно поставить во взаимнооднозначное соответствие точки на прямой, например – координатной ОХ. То есть всем прямым плоскости можно поставить во взаимнооднозначное соответствие координатную ось. 14.Вопрос : Установите взаимно однозначное соответствие между всеми точками плоскости и между всеми квадратами на этой плоскости ( указание : любой квадрат на плоскости однозначно задается четырьмя числами: координатами его центра (два числа) и длиной стороны и углом поворота. Каждый квадрат на плоскости задается набором четырех чисел: двумя числами координат его центра (х и у), длиной стороны (l) и углом поворота (а). Поставим в соответствие координатам х и у, как в предыдущем случае – их арккотангенсы: х΄ и у΄, которые определены на интервале (0,π). Представим эти числа в соответствующих видах: х΄ = х1΄,х2΄х3΄…; у΄ = у1΄,у2΄у3΄…
