Тема: Внутренняя энергия газов. Расчет параметров газа

Тема: Внутренняя энергия газов. Расчет параметров газа
Практическое занятие №2 (6 часов)
Цель: разобрать алгоритм решения задач по теме Внутренняя энергия газов. Расчет
параметров газа
Основные формулы и определения
1. Внутренняя энергия идеального газа — это кинетическая энергия его молекул. Для
3
U   RT
2
идеального одноатомного газа:
.
3
U  RT
2
.
2. Изменение внутренней энергии одноатомного газа
3. Концентрация частиц (молекул, атомов и т. п.) однородной системы
n=N/V,
где V — объем системы.
Здесь и далее кинетическая энергия молекул и других частиц обозначается
приходящаяся на все степени свободы молекулы (полная энергия молекулы)
;
поступательного движения молекулы
,
где k — постоянная Больцмана; Т — термодинамическая температура; i — число степеней
свободы молекулы;
вращательного движения молекулы
4. Зависимость давления газа от концентрации молекул и температуры
p=nkT.
средняя квадратичная
, или
;
средняя арифметическая
, или
наиболее вероятная
;
, или
,
где m1 — масса одной молекулы.
6. Количество теплоты Q, Дж — энергия, передаваемая в процессе теплообмена, без
совершения механической работы.
7. Удельная теплоемкость С, Дж/(кгК) — теплота необходимая, чтобы нагреть 1 кг
C УД 
вещества на 1 градус:
Теплоемкость С, Дж/ К
Q
m  (T2  T1 )
.
—теплота необходимая, чтобы нагреть тело на 1 градус:
C
Q
(T2  T1 )
Q  C m (T  T )
УД
2
1
8.При нагревании тела расходуется
теплоты.
9.Удельная теплота парообразования r = Q кип /m, Дж/кг — теплота необходимая, чтобы
превратить в пар 1 кг жидкости нагретой до температуры кипения.
10.Удельная теплота плавления  = Q пл /m, Дж/кг — теплота необходимая, чтобы
превратить в жидкость 1 кг твердого тела нагретого до температуры плавления.
1
11.Работа в термодинамике совершается при изменении объема газа A  P  V , V=V2
– V1 — изменение объема.
12.Первый закон термодинамики Q  U  A — теплота расходуется на изменение
внутренней энергии и работу газа.
13.Применение первого закона термодинамики к изопроцессам:
изохорный процесс — объем не меняется — работа не совершается A = 0,
Q = U — теплота идет на изменение внутренней энергии.
изобарный процесс — теплота расходуется на изменение внутренней энергии и работу газа:
Q = U + A, где A = P ( V2 - V1 ) =R ( T2 -T1).
изотермический процесс — происходит при постоянной температуре T  0, U  0 .
Внутренняя энергия не меняется, теплота идет на совершение работы: Q = A.
адиабатный процесс происходит без теплообмена Q=0. Работа совершается за счет
уменьшения внутренней энергии: А = – U .
14.Тепловой двигатель — устройство, превращающее внутреннюю энергию топлива в
механическую работу. Состоит из нагревателя, рабочего тела и холодильника.

Aп

Q1  Q2
Q1
max 
T1  T2
T1
Q1
15.КПД теплового двигателя:
Ап - полезная работа, Q1 (T1) — количество тепла (температура) полученное от нагревателя,
Q2 (T2) — количество тепла (температура) отданное холодильнику.
12.Относительная влажность воздуха это отношение абсолютной влажности к абсолютной
r

 НАС
 100%
влажности насыщенного пара при данной температуре.
.
Алгоритм решения задач по термодинамике
А.Исследование задачи:
Переписать условие.
Записать краткое условие, выразив все величины в единицах СИ.
В. Физическая часть решения:
Если газ не меняет своего состояния или меняется его масса, то, для определения его
параметров, следует использовать уравнение Менделеева – Клапейрона.
Если даны два состояния и масса газа не меняется, то можно использовать уравнение
Клапейрона или уравнение изопроцесса.
Если даны два состояния и масса газа меняется, то надо записать уравнение Менделеева –
Клапейрона для каждого состояния.
Ненасыщенный пар подчиняется всем законам идеального газа, насыщенный - уравнению
Менделеева – Клапейрона.
Пункты С.D.E. совпадают с обычным алгоритмом.
Примеры решения задач
Пример 1. В колбе вместимостью V=0,5 л находится кислород при нормальных условиях.
Определить среднюю энергию
колбе.
поступательного движения всех молекул, содержащихся в
Решение. Средняя энергия
поступательного движения всех молекул может быть
выражена соотношением
, (1)
где < п>— средняя энергия поступательного движения одной молекулы; N — число всех
молекул, содержащихся в колбе.
Как известно,
, (2)
где k — постоянная Больцмана; Т — термодинамическая температура.
Число молекул, содержащихся в колбе, найдем по формуле
2
N=vNA, (3)
где v — количество вещества кислорода; NA — постоянная Авогадро.
Количество вещества v найдем из таких соображений: известно, что при нормальных
-3 м3/моль. Так как, по условию задачи, кислород в
колбе находится при нормальных условиях, то количество вещества кислорода в колбе
выражается соотношением
v=V/Vm. (4)
Подставив выражение v по (4) в (3), получим
N=VNA/Vm. (5)
С учетом (2) и (5) выражение (1) энергии поступательного движения молекул примет вид
Проверим, дает ли правая часть расчетной формулы единицу энергии (джоуль). Для этого
вместо символов величин подставим единицы, в которых эти величины выражаются:
.
Подставив значения величин в (6) и произведя вычисления, найдем
Пример 2. Вычислить среднюю квадратичную скорость движения молекул водорода при
00С.
Решение:
Среднюю квадратичную скорость рассчитаем по формуле (17):
Расчет в СИ: R = 8,31
-3
.
; Т = 273 К.
.
Проверим размерность
.
.
Пример 3. Вычислить наиболее вероятную среднюю
арифметическую скорости молекул азота при температуре 420 К.
Решение:
При расчетах используем формулы (18), (17) и (19).
-3
; R = 8,31
квадратичную
и
среднюю
.
.
.
,
Пример 4. Чему равна средняя квадратичная скорость движения молекул воздуха при
температуре 270С?
Решение:
3
Среднюю квадратичную скорость молекул воздуха вычислим по формуле (17).
-3
R = 8,31
(для воздуха); Т = 2730К;
.
.
Пример 5. Вычислить среднюю энергию поступательного движения молекулы газа при
270С.
Решение:
Для расчета используем формулу (5).
.
В Си: К = 1,3810-23
; Т = 3000К.
.
Пример 6.Средняя квадратичная скорость молекул некоторого газа <c> = 450 м/с. Давление
Решение:
Основное уравнение молекулярно-кинетической теории запишем в виде:
. Так как
(масса газа); а
(плотность газа), то
или
. Откуда
.
Расчет в Си: р = 50103 Па; <c> = 450 м/с.
.
Проверим размерность:
.
.
Пример 7. Энергия поступательного движения молекул азота, находящегося в баллоне
объемом V = 20л, 5 кДж, а средняя квадратичная скорость его молекул <c> = 2103 м/с. Найти
массу m азота в баллоне и давление р под которым он находится.
Решение:
Энергия поступательного движения молекул азота может быть выражена как
откуда
. Известно, что
(А). В формуле (А) заменим m.
,
;
.
Расчет в Си: V = 2010-3 м3; W = 5103 Дж; <c> = 2103 м/с.
4
;
.
Пример 8. Средняя квадратичная скорость молекул некоторого газа при нормальных
условиях <c> = 461 м/с. Какое число молекул содержит единица массы этого газа?
Решение.
Известно, что массу одной молекулы можно найти
(А), где m - масса всех молекул, а
n - число молекул. По условию задачи нужно определить, какое число молекул содержит единица
массы газа, т.е. величину
. Откуда
. Из формулы (А) выразим
(В). Согласно формуле (17)
(С). Массу одной молекулы можно определить иначе (см. формулу
(3)).
. Так как
, то
равенство (В). Окончательно получим:
. Найденное значение m0 подставим в
.
Расчет в си:
нормальные условия:
; <c> = 461 м/с; k = 1,310-23
.
.
Пример 10
Какова внутренняя энергия 10 моль идеального одноатомного газа при 27 С?
Решение
Внутренняя энергия идеального одноатомного газа определяется формулой:
R  8,31
3
U   RT
2
,
где
Дж
моль  К - универсальная газовая постоянная.
3  10моль  8,31Дж/  моль К   300К
3
U   RT 
 3,74  104 Дж
2
2
U  37,4кДж .
Ответ:
.
Пример 11
Найти изменение внутренней энергии 40 г гелия при нагревании на 10 К. Молярная масса
гелия  = 4 г/моль.
Решение
Изменение внутренней энергия идеального одноатомного газа определяется формулой:
3
Дж
U   RT
R  8,31
2
моль  К - универсальная газовая постоянная,
, где

m
M — количество вещества.
5
U 
3m RT 3  0,04кг  8,31Дж/  моль К   10К

 1,25  103 Дж
2M
2  0,004кг
.
Ответ: U  1,25кДж .
Пример 12
В цилиндре с площадью основания 1 дм2 под поршнем находится газ. При изобарном
нагревании поршень переместился на 20 см. Какую работу совершил газ, если наружное давление
равно 100 кПа?.
Решение
Работа газа в термодинамике определяется формулой A  P  V ,
V  V2  V1 — изменение объема.
5
2 2
В нашем случае V  Sh , поэтому A  P  Sh  10 Па  10 м  0,2м  200Дж .
где
Ответ: A  200 Дж .
Пример 13
При изотермическом расширении идеальным газу сообщили 20 Дж теплоты. Какую работу
совершит газ? На сколько изменилась его внутренняя энергия?
Решение
Воспользуемся первым законом термодинамики Q  U  A ,
где U ~ T - изменение внутренней энергии.
Так
как
при
изотермическом
процессе
температура
T  0, U  0  Q  A .
Q  A  20Дж .
Вычисления
A  20Дж; U  0 .
Ответ:
не
меняется,
то
Пример 14
A. Для изобарного нагревания 800 моль идеального газа на 500 К ему сообщили 9,4 МДж
теплоты. Найти работу газа и изменение его внутренней энергии.
Решение
Работа газа в изобарном процессе определяется формулой A  RT .
Вычисления:
A  RT  800  8,31  500  3,32  106 Дж .
Изменение внутренней энергии определим из первого закона термодинамики
Q  U  A  U  Q  A .
U  Q  A  9,4  106  3,3  106  6,1  106 Дж .
Вычисления:
Ответ: A  3,3  10 Дж; U  6,1  10 Дж .
6
6
Пример 15
На сколько градусов надо нагреть 3,2 кг одноатомного газа, чтобы при его изобарном
нагревании была совершена работа 8,31 кДж? Определить, также, изменение внутренней энергии
газа. Молярная масса газа М = 32 г/моль.
Решение
Работа газа в изобарном процессе определяется формулой A  RT ,
6
где

m
M — количество вещества, поэтому
m
AM
RT  T 
M
mR ;
3
8,31  10 Дж  32  103кг/моль
T 
 10К
3,2кг  8,31 Дж/  моль  К 
A
.
Изменение внутренней энергии одноатомного газа определяет формула:
3
3
U  RT  A  U  3 A  3  8,31кДж  12,5кДж
2
2
2
2
.
Ответ: T  10К ; U  12,5кДж .
Пример 16
При адиабатном расширении 1 моля идеального одноатомного газа была совершена работа
А = 750 Дж. Найти конечную температуру и изменение внутренней энергии газа, если начальная
температура была 300К.
Решение
В адиабатном процессе не передается теплота, поэтому первый закон термодинамики
выглядит так: U   A .
Здесь А — работа, совершенная газом.
С другой стороны, изменение внутренней энергии идеального одноатомного газа можно
3
U  RT
2
рассчитать по формуле:
.
3
2A
2A
RT   A  T2  T1  
 T2  T1 
3R
3R
Таким образом, 2
T2  300К 
2  750
К  240K
3  1  8,31
.
Вычисления:
Ответ: T2  240 K ; U  750Дж .
Задачи для самостоятельного решения
Задача 1
При адиабатном сжатии 1 моля идеального одноатомного газа была совершена работа А =
250 Дж. Найти изменение температуры и внутренней энергии газа.
Ответ:
T  20K; U  250Дж .
Задача 2
При нагревании 5 кг газа в закрытом сосуде на 10 К его внутренняя энергия возросла на 50
кДж. Найти удельную теплоемкость газа в этом процессе.
C  103
Ответ:
Задача 3
Дж
кг  К .
При изобарном нагревании m  3,2 кг кислорода совершена работа A  8,31 кДж. Какое
количество теплоты пошло на нагревание газа, если удельная теплоемкость кислорода в
Cуд  0,913 кДж/  кг  К 
изобарном
процессе
,
молярная
масса
кислорода
M  32  103 кг/моль .
Ответ: 29,2 Дж.
7
Задача 4
При изобарном нагревании 40 г гелия была совершена работа 83,1 Дж. Найти удельную
теплоемкость гелия в этом процессе. Молярная масса гелия 4 г/моль.
Решение
C  5,2  103
Дж
кг  К .
Ответ:
Задача 5
В идеальной тепловой машине за счет каждого килоджоуля тепла, получаемого от
нагревателя, совершается 400 Дж полезной работы. Найти КПД машины и температуру
нагревателя, если температура холодильника равна 27С.
T  500K .
Ответ:   40%; 1
Задача 6
Найти количество теплоты, необходимое для превращения 100 г воды, взятой при
температуре 20С, в пар при температуре кипения 100С.
дельная теплоемкость воды равна 4,2 кДж/(кгК).
Удельная теплота парообразования 2,3 МДж/кг.
Ответ: Q  0,264  10 Дж .
6
Задача 7
Для охлаждения m1 = 200 г воды, взятой при температуре t1 = 80С, в нее бросают
m2 = 50 г льда при температуре t2 = - 10С. Найти температуру воды после установления
теплового равновесия. Удельная теплоемкость льда 2,1 кДж/(кгК); удельная теплота плавления
льда 330 кДж/кг; удельная теплоемкость воды 4,19 кДж/(кгК).
Ответ:   47,3C .
Задача 8
Найти массу водяного пара в помещении объемом в 100 м3 при относительной влажности
воздуха 60%, если плотность насыщенного пара при данной температуре равна 15 г/м3.
Ответ:
m  900 г.
Задача 9
На нагревание кислорода массой 320 г при постоянном объеме на 10 К израсходовано 2078
Дж теплоты. Определить количество теплоты, необходимое для нагревания этой же массы
кислорода на 10 К в изобарном процессе и удельную теплоемкость кислорода в изобарном
процессе. Молярная масса кислорода 32 .10 –3 кг/моль.
Q2  2909 Дж;
CP  909
Дж
кг  К .
Ответ:
Задача 10
Объем кислорода массой m  320 г при изобарном нагревании увеличился в два раза.
Найти работу A , совершенную газом, количество теплоты Q , затраченной на нагревание газа, и
изменение внутренней энергии газа
Давление кислорода
P  100 кПа , начальный объем V1  250 л ; Молярная масса
M  32  103 кг/моль;
C P  103 Дж/ (кг  К) .
кислорода
U .
Удельная
теплоемкость
при
постоянном
давлении
 U =71 кДж.
Ответ: A =25 кДж, Q =96 кДж,
8
Задача 11
При изобарном расширении   4 моль идеального газа была совершена работа A  5000
Дж. Найти конечную температуру газа, если его начальный объем
Давление газа P  10 кПа .
V1  1 м3.
T  451 К
Ответ: 2
.
Задача 12
A.В сосуд, содержащий 1,5 кг воды при 150С, впускают 200 г водяного пара при
температуре 1000С. Какая общая температура установиться после конденсации пара?
Удельная теплоемкость воды — 4,2 кДж/(кгК).
Удельная теплота парообразования — 2,3 МДж/(кгК).
E. Ответ: 890С.
9