9.2 Балки рационального сечения

Лекция №9
9.1 Расчеты на прочность
9.2 Балки рационального сечения
9.3 Балка со ступенчатым изменением сечения
9.4 Предельная нагрузка при изгибе балки из упругопластического
материала. Подбор сечения.
9.1 Расчеты на прочность.
Более правильно формулу для нормальных напряжений (8.17) следует
записать в виде
M ( x)
(9.1)
 ( x, y )  z
y.
Jz
В формуле (9.1) координата x - фиксирует сечение в балке, а координата y задает положение точки на главной центральной оси поперечного сечения.
При фиксированных координатах ( x, y ) напряжения вдоль оси z постоянны.
Из формулы (9.1) следует, что самым опасным сечением в балке
является сечение, в котором
действует наибольший по абсолютной
величине
изгибающий момент M z  M zmax (от действия расчетных
нагрузок).
В опасном сечении самой опасной точкой является точка наиболее
удаленная от нейтральной линии ( y  y max ) .
Условие прочности по нормальным напряжениям имеет вид
 max 
M zmax
Jz
y max 
M zmax
Wz
 R,
(9.2)
Jz
(9.3)
.
y max
- геометрическая характеристика поперечного сечения балки.
Wz - момент сопротивления поперечного сечения балки при изгибе
(момент сопротивления). Размерность момента сопротивления (м3).
Приведем примеры вычисления момента сопротивления для сечений:
(bh3 / 12) bh2

прямоугольник Wz 
; круглое сплошное и полое сечения
(h / 2)
6
Wz 
(D 4 / 64) D 3
( ( D 4  d 4 )) D 3
d4
; Wz 
Wz 


(1  4 ) ; тонкостенное
( D / 2)
32
64( D / 2)
32
D
3
2
(D  / 8) D 

трубчатое сечение   D , Wz 
(см. табл.9.1) .
( D / 2)
4
Таблица 9.1
Wz 
bh2
6
Wz 
D 3
32
Wz 
D 3
32
(1 
d4
D
)
4
Wz 
D 2
4
В балках из хрупкого материала с целью уменьшения наибольших
растягивающих напряжений более рационально применять несимметричные
сечений (рис.9.1).
Рис. 9.1 Балка с несимметричным сечением, материал хрупкий
Условие прочности по нормальным напряжениям имеет вид
M
M
 нx нz  R  ,
 вx нz  R  ,
Wz
Wв
(9.4)
где Wzн , Wzв -моменты сопротивления сечения относительно нейтральной
оси Оz для нижних и верхних волокон.
Пример 9.1 Шарнирно опертая балка перекрытия с пролетом 6 м
изготовляется из прокатного двутавра (рис. 9.2). Подобрать его сечение, если
расчетная равномерно распределенная нагрузка q=24 кН/м, расчетное
сопротивление стали R=240 МПа.
Рис. 9.2 К примеру 9.1
ql 2
Наибольший изгибающий момент в середине пролета
.

8
Поэтому условие прочности по нормальным напряжениям в этом сечении
(для крайних точек) будет иметь вид:
M zmax ql 2
 max 

R
Wz
8Wz
Отсюда найдем требуемый момент сопротивления сечения:
M zmax
ql 2 24  103  6 2
Wz 

 4,5  10  4 м3  450см 3
8R 8  240  105
Из таблицы сортамента находим двутавр №30, для которого Wz  472см 3 .
Проверяем его прочность:
 max 
24  10 3  6 2
 227 МПа<R=240 МПа (на 5,4 %)
8  4,72  10  4
Ближайшее меньшее сечение двутавр №27а имеет Wz  407 см3 и дает
перенапряжение  max  265 МПа>R=240 на 10,5%.
9.2 Балки рационального сечения
При заданных величинах R и M zmax из формул (9.2) определяем
требуемый момент сопротивления
M zmax

(9.5)
R
Будем считать, что значение Wzтреб задано. Для различных форм
сечения одинаковой высотой h определим сечение с наименьшей площадью
(балка с наименьшим расходом материала) (см. табл. 9.1).
W треб
D 2
D 3 A  h
Круг: Wzтреб 
(где A 
, h  D ), тогда A  8 z
.

4
32
8
h
Wzтреб
bh2 Ah
треб
Прямоугольник: Wz
, (где A  bh , h  h ), тогда A  6
.


6
6
h
Wzтреб
Wzтреб
Wzтреб
Трубчатое сечение (   D ) : A  4
. Двутавр A  3
.
h
h
Наименьшая площадь Amin  2(Wzтреб / h) требуется для идеального
двутавра. У идеального двутавра площадь стенки стремиться к нулю, а вся
площадь сосредоточена в полках, на уровне, где действуют максимальные е
Требуемые площади при заданном значении Wzтреб представлены в табл. 9.2
Таблица 9.2
9.3 Балка со ступенчатым изменением сечения
M z ( x)
M ( x)
(9.6)
 R  const ,
.
W z( x)  z
W z( x)
R
Добиться снижения веса балки можно также путем изменения размеров
сечения по ее длине в соответствии с эпюрой изгибающих моментов,
увеличивая сечение там, где моменты больше, и наоборот (рис 9. 3).
 xmax 
Рис. 9.3 Балка со ступенчатым изменением сечения
Рис 9.3,б Пять составных сечений балок с равной площадью и равной
высотой ( J z ,Wz - возрастают слева направо).
9.4 Предельная нагрузка при изгибе балки из упругопластического
материала. Подбор сечения.
Практический интерес представляет задача об определении несущей
способности балки, т.е. вычисление предельной нагрузки, которую она
может выдержать. Рассмотрим ее определение в случае плоского изгиба.
Для хрупкого материала, работающего вплоть до самого момента
разрушения почти линейно упруго (рис. 9.4,а)
предельная нагрузка
определяется из формулы
(9.7)
M
M zпр   вW z ,
 max  z   в ,
Wz
где  в - временное сопротивление (предел прочности) материала.
Сложнее обстоит дело с упругопластическим материалом. В целях
упрощения задачи для материала балки примем в качестве расчетной
диаграмму Прандтля (рис 9.4,б).
Пока напряжения    Т материал работает линейно-упруго и
применима формула (9.1). При достижении в крайних точках опасного
сечения напряжений    Т возникает текучесть и продольное волокно
в этих точках деформируется при постоянных напряжениях    Т .
Рис. 9.4 Диаграмма напряжений, материал хрупкий. Упругопластическая
работа материала, диаграмма Прандтля
Рассмотрим стадии развития деформаций, возникающие в балке, с
ростом нагрузки вплоть до исчерпания несущей способности (рис.9.5) .
При постепенном возрастании внешней силы F упругая стадия работы
заканчивается,
когда в крайних точках опасного сечения возникают
напряжения равные пределу текучести.
M Т   Т Wz ,
M
( F l / 4)
4   Т Wz
FТ 
 max  Т  Т
 Т ,
,
(9.8)
l
Wz
Wz
где FТ - нагрузка начала текучести.
При дальнейшем росте силы наступает упругопластическая стадия
работы балки. Зона текучести будет расширяться от указанных крайних
точек, а эпюра напряжений  будет трансформироваться ( F Т  F  Fпред ).
Когда внешняя сила станет равной предельной F  Fпред , эпюра
напряжений  переходит в ступенчатую эпюру с ординатами   Т .
Рис.9.5 Образование пластического шарнира в балке
Состояние сечения, когда во всех его точках развиваются
пластические деформации, называют пластическим шарниром.
При этом балка превращается в механизм, продолжающий увеличивать
прогибы v при постоянной внешней нагрузке Fпред . Такое состояние
называется пластическим механизмом. Fпред - нагрузка образования
пластического механизма. При разгрузке балки образуется остаточный
прогиб vост .
В поперечном сечении, где образовался пластический шарнир,
внутренний момент обозначим M пред
и назовем его пластическим
предельным моментом.
Выразим через M пред предельную нагрузку
Fпред 
4  M пред
(9.9)
l
Таким образом, в опасном сечении балки напряженное состояние
проходит три стадии: линейно-упругая ( M z  M Т ); упругопластическая
( M Т  M z  M пред ); чисто пластическая ( M z  M пред ).
Определим величину пластического предельного момента. Пусть
поперечное сечение балки имеет одну ось симметрии (рис. 9.6).
Рис. 9.6 Пластический шарнир в несимметричном сечении
При работе балки в линейно-упругой стадии нейтральная линия n  n
совпадает с осью z. В общем случае при образовании пластического шарнира
нейтральная линия n  n смещается от центра тяжести сечения С.
Всё сечение делиться на две части:
1) площадью Aр , где действуют растягивающие
напряжения  Т и
соответствующая продольная сила N р   Т  Aр ;
2) площадью Aсж ,
где действуют
напряжения сжатия  Т и
соответствующая продольная сила N сж   Т  Aсж ;
Так как суммарная продольная сила в сечении при поперечном
изгибе равна нулю, то из этого условия следует:
(9.10)
A
N  N р  N сж  Aр Т  Aсж Т  0 ,
Aр  Aсж  .
2
При образовании пластического шарнира нейтральная линия делит
площадь поперечного сечения на две равновеликие части.
И сходя из вида эпюры нормальных напряжений (рис 9.6,б),
внутренний момент M пред найдем по формулам:
M пред 
р
 y Т dA   y Т dA   Т  (S z
Aр
 S zсж ) ,
(9.11)
Aсс
где S zр , S zсж - статические моменты растянутой и сжатой частей сечения
(взятые по абсолютной величине):
(9.12)
S сжz   y Т dA
S рz   y Т dA
Aсж
Aр
.
,
Геометрическая характеристика
(9.13)
W zпл  S zр  S zсж
называется пластическим моментом сопротивления (Wz  J z / ymax -момент
сопротивления при работе материала балки в упругой стадии).
Таким образом, выражение для предельного момента имеет вид
(9.14)
M пред   Т Wzпл
Обозначим через  max коэффициент, показывающий во сколько раз
должна возрасти нагрузка от момента появления текучести в балке до
полного исчерпания ею несущей способности  max  M пред / M Т . С учетом
формул (9.8), (9.14) получим
M пред  Т Wzпл Wzпл
 max 


(9.15)
MТ
 Т Wz
Wz
Если сечение имеет две оси симметрии, то
(9.16)
W пл  2S пол ,
z
где
z
S zпол -
статистический момент половины поперечного сечения.
Для прямоугольного сечения
Wzпл (bh2 / 4)
 max 

 1,5
(9.17)
Wz
(bh2 / 6)
Для круглого сечения  max =1,7. Для двутавра  max =1,17.
В общем, можно заметить, чем рациональнее форма сечения по
обычной оценке напряжений, тем ближе значение Wz к Wzпл и тем меньше
различие между расчетами по напряжениям и по предельным нагрузкам.
Формула для подбора поперечного сечения балки из пластичного
материала имеет вид
Wzпл 
M zmax
(9.18)
R
Подберем поперечное сечение двутавра для балки из примера 9.1
(рис.9.2), используя расчеты по предельным нагрузкам:
2S zпол 
M zmax
R
, , S zпол 
ql 2
24  103  6 2

 2,25  10  4 м3  225
5
8  2  R 8  2  240  10
см3.
Из таблицы сортамента (по ГОСТ 8239-89) находим двутавр №30, для
которого статический момент полусечения S z  268см 3 . Таким образом,
расчеты по методу предельных состояний и методу разрушающих нагрузок
дали один и тот же результат (см. лекцию №6).