Вариант задания олимпиады памяти И.В.Савельева для 11 класса по физике... ответами и решениями 1. 1

Вариант задания олимпиады памяти И.В.Савельева для 11 класса по физике с
ответами и решениями
1. Стержень массой m  1 кг лежит около края стола, выступая за
край на 1/ 3 часть своей длины (см. рисунок). Какую минимальную силу нужно приложить к выступающему концу, чтобы опрокинуть стержень?
g  10 м/с2.
2. В вертикальном цилиндрическом сосуде под поршнем находится идеальный газ
при температуре T . Массу поршня уменьшают в два раза, одновременно увеличивая температуру газа на величину T . Во сколько раз увеличится объем газа? Атмосферным давлением пренебречь.
3. Четыре точечных заряда Q , 2Q , 3Q и 4Q связаны тремя ни-
Q
2Q
3Q
4Q
тями длиной l так, как показано на рисунке. Найти силу натяжения средней нити.
4. Точка А, расположенная над наклонной плоскостью на расстоянии
d от нее, соединена тонкой спицей с точкой В на плоскости. По спице
без трения соскальзывает маленькое колечко. При какой длине спицы
A
d
B

время движения колечка от точки А до плоскости будет минимально? Известно, что
угол наклона плоскости к горизонту равен   arccos(2 / 3) .
5. Имеется два кольца с радиусами 2R и R , плоскости которых параллельны друг другу. Кольца расположены на очень большом расстоянии x
друг от друга так, что их центры лежат на одной прямой, перпендикулярной плоскости колец. В кольцах текут одинаковые токи I . Найти силу взаимодействия колец.
Ответы и решения
1. Очевидно, в момент опрокидывания стержня сила
N
реакции опоры сосредоточена вблизи края стола. Поэтому из условия равенства нулю суммы моментов
внешней силы F и силы тяжести относительно края
mg
F
стола имеем
1
1
Fl  mgl
3
6
(здесь учтено, что точкой приложения силы тяжести является центр стержня, поэтому плечо силы тяжести относительно края стола равно l / 6 ). Отсюда находим
F
mg
 5 Н;
2
2. Из условия равновесия поршня заключаем, что давление газа в начальном состоянии вдвое больше давления газа в конечном. Поэтому из закона КлапейронаМенделеева для начального и конечного состояний газа имеем
2 pV1   RT
pV2   R T  T 
(1)
где V1 и V2 - объем газа в начальном и конечном состояниях. Деля уравнения (1) друг
на друга, находим
V2 T  T

V1
2T
3. Сила натяжения средней нити T компенсирует суммарную кулоновскую силу отталкивания, действующую на два правых (или два левых) заряда со стороны двух
левых (или правых) зарядов. Используя принцип суперпозиции и закон Кулона, получим
T  FQ ,3Q  FQ ,4Q  F2Q ,3Q  F2Q,4Q 
где k   4 0 
1
3kQ 2 4kQ 2 6kQ 2 8kQ 2

 2 
4l 2
9l 2
l
4l 2
- постоянная в законе Кулона (остальные обозначения очевидны).
Приводя подобные члены, находим
331 kQ 2
T
36 l 2
4. Если бы спица была расположена вертикально,
колечко имело бы максимальное ускорение a  g ,

d
однако путь, пройденный колечком до плоскости
был бы больше, чем путь, пройденный колечком по
спице, наклоненной вправо. Поэтому при каком-то

расположении спицы (см. рисунок) время движения колечка до плоскости будет минимально. Найдем это положение.
Пусть угол наклона спицы к перпендикуляру, опущенному на плоскость равен

(см. рисунок). Тогда, очевидно, угол наклона спицы к горизонту равен
90      . Следовательно, ускорение колечка a есть
a  g sin  90        g cos    
(1)
а пройденный им путь (который равен длине спицы) l –
l
d
cos 
(2)
Поэтому из закона равноускоренного движения имеем для времени движения колечка до плоскости
t
2l

a
2d

g cos  cos    
4d
g cos   cos   2  
(3)
Из формулы (3) заключаем, что время движения (3) как функция угла  минимально, если максимален cos   2  , или


2
Отсюда для длины спицы получаем
l
d
cos  / 2 
Используя далее известную тригонометрическую формулу
cos  / 2  
находим
1  cos 
,
2
(4)
6
d.
5
l
5. Найдем индукцию магнитного поля, созданного кольцом радиуса 2R в области
второго кольца, а затем по закону Ампера найдем силу взаимодействия колец.
Индукция магнитного поля кольца на его оси направлена вдоль
B
оси, а в точках, расположенных на некотором расстоянии от оси (т.е. в
области второго кольца) под некоторым углом к оси (см. рисунок). Ис-
пользуя далее, закон взаимодействия магнитного поля и тока (закон Ампера), заключаем, что суммарная сила Ампера, действующая на кольцо радиуса R со стороны магнитного поля второго кольца, направлена вдоль оси колец и определяется составляющей вектора B , направленной перпендикулярно оси
F  2 RIB
(1)
где B - составляющая вектора индукции, перпендикулярная оси кольца. Найдем B .
Используем известное выражение для индукции магнитного поля кольца на
его оси на расстоянии x от его плоскости
B
0
2
I  2R 
 2R 
2
2
x
2

(2)
3/ 2
где I - ток в кольце, 2R - его радиус. Рассмотрим вспомогатель-
B ( x  x )
ную цилиндрическую поверхность соосную оси кольца, с радиусом, равным радиусу второго кольца R , и малой высотой x (см.
x
B( x)
рисунок). Т.к. величина индукции на оси кольца уменьшается с
ростом расстояния от кольца, то поток вектора магнитной индукции через верхнее основание цилиндрической поверхности меньше потока через
нижнее. А поскольку поток вектора магнитной индукции через любую замкнутую
поверхность равен нулю (отсутствуют магнитные заряды), то разница потоков через
основания
   R2  B  x   B  x  x  
(3)
(  R 2 - площадь оснований цилиндра) равна потоку вектора магнитной индукции через боковую поверхность цилиндра
  B 2 Rx
(4)
где 2 Rx - площадь его боковой поверхности. Из формул (3), (4) находим
B  
R  B  x  x   B  x  
2
x
(5)
Т.к. x мало, то выражение (5) сводится к производной величины индукции по x .
Дифференцируя функцию (2), находим по формулам (5), (1) в пределе x
I 2 R4
F  60 4 .
x
R