МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФГБОУ ВПО «Саратовский государственный университет

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ
РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ФГБОУ ВПО «Саратовский государственный университет
имени Н.Г. Чернышевского»
Балашовский институт (филиал)
УТВЕРЖДАЮ:
Директор БИ СГУ
доцент А.В. Шатилова
_________________
«____» ___________ 20____ г.
Рабочая программа дисциплины
Элементы функционального анализа
Направление подготовки
050100 Педагогическое образование
Профиль подготовки
Математика
Квалификация (степень) выпускника
Бакалавр
Форма обучения
Очная
Балашов 2014
СОДЕРЖАНИЕ
1. ЦЕЛИ ОСВОЕНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ .......................................................... 3
2. МЕСТО ДИСЦИПЛИНЫ В СТРУКТУРЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЙ
ПРОГРАММЫ ....................................................................................................... 3
3. КОМПЕТЕНЦИИ ОБУЧАЮЩЕГОСЯ, ФОРМИРУЕМЫЕ В
ПРОЦЕССЕ ОСВОЕНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ ................................................... 3
ПЛАНИРУЕМЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ОБУЧЕНИЯ ПО ДИСЦИПЛИНЕ .............................. 3
4. СТРУКТУРА И СОДЕРЖАНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ ................................... 6
4.1. ОБЪЕМ ДИСЦИПЛИНЫ ................................................................................. 6
4.2. СТРУКТУРА ДИСЦИПЛИНЫ.......................................................................... 6
4.3. СОДЕРЖАНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ ...................................................................... 7
5. ОБРАЗОВАТЕЛЬНЫЕ ТЕХНОЛОГИИ, ПРИМЕНЯЕМЫЕ ПРИ
ОСВОЕНИИ ДИСЦИПЛИНЫ ........................................................................... 8
ИНФОРМАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ, ИСПОЛЬЗУЕМЫЕ ПРИ ОСУЩЕСТВЛЕНИИ
ОБРАЗОВАТЕЛЬНОГО ПРОЦЕССА ПО ДИСЦИПЛИНЕ ............................................ 9
6. УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ
САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ СТУДЕНТОВ. ОЦЕНОЧНЫЕ
СРЕДСТВА ДЛЯ ТЕКУЩЕГО КОНТРОЛЯ УСПЕВАЕМОСТИ,
ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ ПО ИТОГАМ ОСВОЕНИЯ
ДИСЦИПЛИНЫ.................................................................................................... 9
САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА СТУДЕНТОВ ПО ДИСЦИПЛИНЕ ............................. 9
ОЦЕНОЧНЫЕ СРЕДСТВА
ДЛЯ ТЕКУЩЕГО КОНТРОЛЯ УСПЕВАЕМОСТИ И
ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ ПО ДИСЦИПЛИНЕ
......................................... 10
7. УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ И ИНФОРМАЦИОННОЕ
ОБЕСПЕЧЕНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ ................................................................. 15
ЛИТЕРАТУРА ПО КУРСУ ................................................................................... 15
Основная литература .......................................................................... 15
Дополнительная литература .............................................................. 15
ИНТЕРНЕТ-РЕСУРСЫ ........................................................................................ 15
ПРОГРАММНОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ........................................................................ 16
8. МАТЕРИАЛЬНО-ТЕХНИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ
ДИСЦИПЛИНЫ.................................................................................................. 17
2
1. Цели освоения дисциплины
Целями освоения дисциплины «Элементы функционального анализа» являются: овладение основными фактами, идеями и методами функционального анализа (открытые, замкнутые, плотные, компактные множества, векторное и метрическое пространство, сходимость, полные метрические пространства, принцип сжимающих отображений и его приложения); развитие математического мышления, способностей доказывать теоремы, исследовать объекты различной природы аналитическими методами с применением современного математического аппарата; развитие способности применять методы
функционального анализа в научных исследованиях.
2. Место дисциплины
в структуре образовательной программы
Дисциплина относится к вариативной части профессионального цикла
(Б3.ДВ4 Дисциплины по выбору) и изучается в 7 семестре.
Принцип сжимающих отображений имеет широчайшее применение в
различных разделах математики и используется при решении многих теоретических проблем математики. Изучение дисциплины «Элементы функционального анализа» опирается на содержание основных дисциплин вариативной части профессионального цикла «Математический анализ», «Алгебра»,
«Геометрия», «Дифференциальные уравнения», «Численные методы» и
предшествует изучению дисциплины вариативной части профессионального
цикла «Теория функций комплексного переменного».
3. Компетенции обучающегося,
формируемые в процессе освоения дисциплины
Процесс изучения дисциплины «Элементы функционального анализа»
направлен на формирование следующих компетенций:
а) общекультурные (ОК):
- владеет культурой мышления, способен к обобщению, анализу, восприятию информации, постановке цели и выбору путей ее достижения (ОК-1);
- способен логически верно строить устную и письменную речь (ОК-6);
- способен использовать навыки публичной речи, ведения дискуссии и полемики (ОК-16);
б) общепрофессиональными (ОПК)
- осознает социальную значимость своей будущей профессии, обладает мотивацией к выполнению профессиональной деятельности (ОПК-1);
- владеет основами речевой профессиональной культуры (ОПК-3);
- способен нести ответственность за результаты своей профессиональной
деятельности (ОПК-4);
3
- способен к подготовке и редактированию текстов профессионального и
социально значимого содержания (ОПК-6);
в) специальными (СК):
- владеет основными фактами, идеями и методами математики, аксиоматическим методом (СК-1);
- владеет математическим языком (СК-2).
- способен доказывать теоремы (СК-3);
- способен создавать математические модели для решения задач из различных областей (СК-4);
- способен создавать и исследовать математические объекты аналитическими методами и с использованием компьютера (СК-5);
- знает место функционального анализа в системе математических знаний
(СК-6);
- владеет фактами и методами функционального анализа (СК-7);
- способен применять знания и методы других дисциплин в функциональном анализе (СК-8);
- умеет использовать знания функционального анализа в других научных
областях (СК-9);
- знает основные этапы развития математики (СК-10);
- владеет содержанием и методами элементарной математики, знает связь
разделов элементарной математики с высшей математикой и методикой
обучения математике (СК-11).
Планируемые результаты обучения по дисциплине
В результате освоения дисциплины обучающийся должен
знать:
 определение и примеры векторных пространств;
 определение, свойства и примеры скалярного произведения;
 неравенство Коши-Буняковского и примеры его применения;
 определение нормы и нормированного пространства; примеры нормированных пространств;
 определение метрики и метрического пространства, примеры метрических пространств;
 определение предельной, изолированной, внутренней, граничной точки, замыкания;
 определение предела последовательности;
 определение и примеры замкнутых и открытых множеств;
 формулировку теорем о пересечении, объединении конечного числа
замкнутых множеств, о пересечении конечного числа, объединении открытых множеств;
 определение и свойства плотного множества, компактного метрического пространства;
4
 различные определения непрерывного отображения метрических пространств; примеры таких отображений;
 формулировку теоремы Вейерштрасса;
 определение и примеры фундаментальной последовательности; достаточное условие фундаментальности;
 определение и примеры полных метрических пространств;
 формулировку теорем о полноте компактного метрического пространства, о вложенных шарах;
 определение и примеры неподвижной точки отображения;
 определение и примеры сжимающих отображений;
 формулировку принципа сжимающих отображений;
 области применения принципа сжимающих отображений;
 связь понятий функционального анализа и школьного курса математики;
 основные способы обработки математической информации в области
сжимающих отображений на компьютере;
 основы современных технологий сбора, обработки и представления
информации;
уметь:
 находить скалярное произведение;
 доказывать неравенство Коши-Буняковского;
 доказывать свойства нормы и вычислять нормы;
 доказывать свойства метрики и вычислять метрику;
 находить предел последовательности по определению в простейших
случаях;
 доказывать теоремы о пересечении, объединении конечного числа замкнутых множеств, о пересечении конечного числа, объединении открытых множеств;
 доказывать непрерывность некоторых отображений метрических пространств;
 доказывать равносильность разных определений непрерывности отображения метрических пространств;
 доказывать фундаментальность некоторых последовательностей;
 находить неподвижную точку отображения;
 доказывать, что отображение является сжимающим;
 применять принцип сжимающих отображений к решению уравнений с
одной переменной;
 применять принцип сжимающих отображений к решению систем линейных алгебраических уравнений;
 проверять достаточное условие сходимости метода итераций;
 применять принцип сжимающих отображений к доказательству теоремы существования и единственности решения дифференциальных
уравнений;
5
 применять принцип сжимающих отображений к решению интегральных уравнений;
 использовать в процессе обучения данной дисциплине разнообразные
ресурсы, в том числе потенциал других учебных предметов;
 использовать современное ППО для автоматизации расчетов и проведения компьютерного эксперимента в области сжимающих отображений;
владеть:
 навыками решения задач в области функционального анализа;
 навыками работы с программными средствами профессионального
назначения;
 способами ориентации в профессиональных источниках информации (в
том числе журналах, сайтах, образовательных порталах);
 различными средствами коммуникации;
 способами совершенствования профессиональных знаний и умений путем использования образовательной среды БИСГУ;
приобрести опыт:
 ознакомительного и изучающего чтения специальной литературы;
 проведения компьютерного эксперимента;
 решения задач в области функционального анализа.
4. Структура и содержание дисциплины
4.1. Объем дисциплины
Общая трудоемкость дисциплины составляет 3 зачетные единицы, 108
часов, из них: 14 часов лекций, 24 часа практических занятий, 70 часов самостоятельной работы. Дисциплина изучается в 7 семестре, ее освоение заканчивается зачетом.
4.2. Структура дисциплины
Самостоятельная работа
Практическая
работа
Се
мес
тр
Лекции
Раздел дисциплины
Всего часов
№
п/п
Неделя
семест
ра
Виды учебной работы, включая самостоятельную работу
студентов и трудоемкость (в
часах)
1
2
3
4
7
Векторные
пространства.
Метрические простран-
7
1
5
6
6
1
2
0
4
7
1-2
11
2
2
7
2
9
Формы текущего
контроля успеваемости (по неделям
семестра)
Формы промежуточной аттестации
(по семестрам)
10
6
3
4
5
6
7
8
9
ства.
Замкнутые и открытые 7
множества.
Непрерывные отображе- 7
ния метрических пространств.
Полные
метрические 7
пространства.
Полнота
компактного 7
метрического пространства
Принцип
сжимающих 7
отображений.
Приложения принципа 7
сжимающих отображений
Связь понятий функцио- 7
нального
анализа
и
школьного курса математики
Всего
Промежуточная аттестация
2-3
11
2
2
7
4
6
2
0
4
4
6
2
0
4
5
6
2
0
4
5
18
2
4
12
6-9
42
0
14
28
9-10
2
0
2
0
108
14
24
70
3
Контрольная
бота
ра-
Зачет в 7 семестре
4.3. Содержание дисциплины
Векторные пространства
Векторные пространства. Скалярное произведение. Свойства скалярного
произведения. Неравенство Коши-Буняковского. Определение нормы. Норма, нормированные пространства.
Метрические пространства
Метрические пространства. Предельные, изолированные, внутренние, граничные точки. Замыкание. Сходимость. Предел последовательности.
Замкнутые и открытые множества
Замкнутые и открытые множества. Теоремы о пересечении, объединении конечного числа замкнутых множеств, о пересечении конечного числа, объединении открытых множеств.
Непрерывные отображения метрических пространств
Плотные множества. Компактные метрические пространства. Свойства компактов. Непрерывные отображения метрических пространств.
Полные метрические пространства
Образ компакта при непрерывном отображении метрических пространств.
Теорема Вейерштрасса. Фундаментальная последовательность. Полные метрические пространства.
7
Полнота компактного метрического пространства
Полнота компактного метрического пространства. Теорема о вложенных шарах. Неподвижная точка отображения.
Принцип сжимающих отображений
Сжимающее отображение. Принцип сжимающих отображений. Теорема Банаха.
Приложения принципа сжимающих отображений
Приложения принципа сжимающих отображений: решение уравнений с одной переменной, решение систем линейных алгебраических уравнений, теорема существования и единственности решения задачи Коши 1-го порядка.
Связь понятий функционального анализа и школьного курса математики
Анализ содержания школьных учебников на предмет использования понятий
функционального анализа: открытые, замкнутые множества, непрерывные
отображения, сжимающее отображение, приложения принципа сжимающих
отображений (на школьном уровне).
5. Образовательные технологии,
применяемые при освоении дисциплины
Специфика дисциплины и объем учебного материала предполагают в
основном традиционную лекционную форму изложения материала, но желательно использование различных активных и интерактивных форм обучения.
В процессе чтения лекций рекомендуется использовать мультимедийное
оборудование для иллюстрации примеров применения принципа сжимающих
отображений, проведения компьютерного эксперимента в области итерационных методов решения уравнений и систем. Для контроля и сопровождения
самостоятельной работы студентов рекомендуется использование виртуальной обучающей среды Moodle.
Традиционные образовательные технологии:
– лекции:
– практические занятия;
Активные и интерактивные формы занятий:
– проблемная лекция;
– занятия в форме дискуссий.
Для обеспечения доступности обучения инвалидам и лицам с ограниченными возможностями здоровья учебные материалы могут быть адаптированы с учетом особых потребностей: в печатных материалах укрупнен шрифт,
произведена замена текста аудиозаписью, использованы звуковые средства
воспроизведения информации.
8
Информационные технологии, используемые
при осуществлении образовательного процесса по дисциплине
 Использование информационных ресурсов, доступных в информационно-телекоммуникационной сети Интернет (см. перечень ресурсов в
п. 7 настоящей программы).
 Лицензионное программное обеспечение Microsoft Office для написания программ и оформления лабораторных работ.
 Виртуальная обучающая среда Moodle.
6. Учебно-методическое обеспечение
самостоятельной работы студентов.
Оценочные средства для текущего контроля успеваемости,
промежуточной аттестации по итогам освоения дисциплины
Самостоятельная работа студентов по дисциплине
На практическом занятии рассматриваются типовые примеры по указанной теме, обсуждается ход решения, анализируются возможные варианты. К
самостоятельной работе студентов (СРС) относится: детальная проработка
лекций, учебной литературы, самостоятельное доказательство указанных
преподавателем теорем, выполнение домашних заданий, подготовка к контрольной работе, тесту, зачету, выполнение теста, контрольной работы. Перед самостоятельным выполнением упражнений студенту рекомендуется еще
раз проработать материал лекционных занятий и практического занятия и
разобрать примеры в указанной преподавателем литературе.
Для контроля текущей успеваемости и промежуточной аттестации используются рейтинговая и информационно-измерительная системы оценки
знаний.
Система текущего контроля включает:
 контроль общего посещения;
 контроль знаний, умений, навыков усвоенных в данном курсе в форме
письменной контрольной работы.
Посещение занятий оценивается преподавателем от 0 до 1 балла: 0
баллов — студент отсутствует; 1 — присутствует на занятии.
Контрольная работа проводится в запланированное время (планируется
одна контрольная работа при освоении дисциплины) и предназначена для
оценки знаний, умений и навыков, приобретенных в процессе теоретических
и практических занятий курса. Оценивается в 20 баллов.
9
Компьютерное тестирование представляет собой
интерактивное
выполнение теста с выбором ответа или вводом ответа в диалоге с
компьютером в учебных компьютерных классах. Число вариантов ответов на
каждое задание — не менее 4-х. Рекомендуемое число заданий в тестовом
варианте (индивидуально формируемом случайным образом комплекте
вопросов) — не менее 10 и не более 25 заданий. Продолжительность сеанса
тестирования — не более 90 минут. Рекомендуемое число различных
вариантов каждого вопроса — не менее 3-х. Планируется промежуточное и
итоговое тестирование при освоении модуля. Тест оценивается в 20 баллов.
Оценка за контрольную работу, тест или лабораторную работу
выставляется в соответствии со следующими критериями:
 оценка «отлично» (5 баллов) - 80-100% правильно решенных заданий;
 оценка «хорошо» (4 балла) - 65-79% правильно решенных заданий;
 оценка «удовлетворительно» (3 балла) - 50 -64% правильно решенных
заданий;
 оценка «неудовлетворительно» - 49% и менее правильно решенных
заданий.
Текущий рейтинг студента, выраженный в процентах, равен отношению
набранных студентом баллов к максимально возможному числу баллов,
которое складывается из оценок в баллах всех форм контроля.
В качестве итогового контроля (промежуточной аттестации) освоения
дисциплины «Элементы функционального анализа» выступает зачет. Зачет
выставляется на основе текущего рейтинга при освоении дисциплины и
собеседования на зачете. Степень полноты ответа оценивается
преподавателем в процентах. Окончательный рейтинг равен сумме текущего
рейтинга, умноженного на 0,6, и оценке в процентах на зачете, умноженной
на 0,4. Таким образом, полученные проценты дают оценку студента по
пятибалльной шкале, указанной выше, или, соответственно, количество
освоенных зачетных единиц. Зачет выставляется, если суммарный рейтинг
составляет не менее 50 баллов.
Оценочные средства
для текущего контроля успеваемости
и промежуточной аттестации по дисциплине
Контрольная работа
ДЕМОНСТРАЦИОННЫЙ ВАРИАНТ
1. Проверьте, что функция f ( x)  4 x  4 x 2 отображает промежуток [0; 1] в себя. Докажите, что это отображение не является сжимающим.
2. Уравнение e x  6 x  3  0 привести к виду, удобному для итераций, и вычислить один из корней с точностью   10 2 .
10
16𝑥1 − 5𝑥2 − 2𝑥3 + 𝑥4 = 55
𝑥1 + 2𝑥2 − 5𝑥3 − 𝑥4 = 28
3. Систему {
привести к виду, удобному для
−2𝑥1 + 6𝑥2 − 5𝑥3 − 25𝑥4 = 144
𝑥1 − 4𝑥2 + 2𝑥4 = −14
итераций, и найти третье приближение методом простой итерации. Оценить
погрешность.
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ ПО КУРСУ
1. Векторные пространства. Примеры. Векторное пространство Rn.
2. Скалярное произведение. Свойства скалярного произведения. Примеры
скалярных произведений. Стандартное скалярное произведение.
3. Неравенство Коши-Буняковского, примеры его применения.
4. Определение нормы. Норма, порожденная скалярным произведением,  нормы, евклидова норма. Определение нормированного пространств.
5. Подпространства нормированного пространства. Евклидовы пространства.
6. Определение метрики. Метрические пространства. Подпространства метрического пространства.
7. Предельные, изолированные, внутренние, граничные точки. Замыкание.
Сходимость.
8. Определение предела последовательности.
9. Замкнутые и открытые множества. Теоремы о пересечении, объединении
конечного числа замкнутых множеств, о пересечении конечного числа,
объединении открытых множеств. Примеры замкнутых и открытых множеств.
10.Плотные множества. Компактные метрические пространства.
11.Свойства компактов: ограниченность, замкнутость.
12.Определения непрерывного отображения метрических пространств. Равносильность этих определений.
13.Образ компакта при непрерывном отображении метрических пространств.
Примеры непрерывных отображений метрических пространств.
14.Теорема Вейерштрасса.
15.Определение фундаментальной последовательности. Достаточное условие
фундаментальности. Примеры.
16.Определение и примеры полных метрических пространств.
17.Теорема о полноте компактного метрического пространства.
18.Теорема о вложенных шарах.
19.Неподвижная точка отображения. Примеры.
20.Определение и примеры сжимающих отображений.
21.Доказательство принципа сжимающих отображений.
22.Применения принципа сжимающих отображений к решению уравнений с
одной переменной.
23.Применение принципа сжимающих отображений к решению систем линейных алгебраических уравнений.
11
24.Достаточное условие сходимости метода итераций.
25.Применения принципа сжимающих отображений к доказательству теоремы существования и единственности решения дифференциальных уравнений.
26.Применение принципа сжимающих отображений к интегральным уравнениям.
27.Связь понятий функционального анализа и школьного курса математики.
ТЕСТОВЫЕ ЗАДАНИЯ ДЛЯ ОЦЕНКИ ОСТАТОЧНЫХ ЗНАНИЙ
Компьютерное тестирование представляет собой интерактивное
выполнение теста с выбором ответа или вводом ответа в диалоге с
компьютером в учебных компьютерных классах. Число вариантов ответов на
каждое задание — не менее 4-х. Рекомендуемое число заданий в тестовом
варианте (индивидуально формируемом случайным образом комплекте
вопросов) — не менее 10 и не более 25 заданий. Продолжительность сеанса
тестирования — не более 90 минут. Рекомендуемое число различных
вариантов каждого вопроса — не менее 3-х. Планируется промежуточное и
итоговое тестирование при освоении модуля. Тест оценивается в 20 баллов.
Для промежуточного контроля в виде on-line тестирования рекомендуется использовать также возможности, предоставляемые Институтом мониторинга качества образования (г. Йошкар-Ола) на именной странице преподавателя на сайте http://www.fepo.ru.
Структура контрольно-измерительных материалов
№
задания
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Наименование темы задания
Свойства метрики
Предельные, изолированные, внутренние, граничные точки
Замкнутые и открытые множества
Замкнутые и открытые множества
Плотные множества
Определение сжимающего отображения
Определение сжимающего отображения
Определение сжимающего отображения
Метод итераций для уравнения с одной переменной
Метод итераций для уравнения с одной переменной
Погрешность метода итераций
Геометрическая интерпретация метода итераций
№
Кол-во
прабалллов
вильного ответа
3
1
1
1
2
1
5
1
4
1
2
1
3
2
5
2
3
2
2
2
3
2
3
1
ДЕМОНСТРАЦИОННЫЙ ВАРИАНТ ТЕСТА
1. В R1 метрика может быть задана формулой
1) 𝜌(𝑥1 , 𝑥2 ) = 𝑥1 − 𝑥2
2) 𝜌(𝑥1 , 𝑥2 ) = √𝑥1 2 + 𝑥2 2
12
3) 𝜌(𝑥1 , 𝑥2 ) = |𝑥1 − 𝑥2 |
4) 𝜌(𝑥1 , 𝑥2 ) = 1
5) 𝜌(𝑥1 , 𝑥2 ) = 𝑥1 + 𝑥2
2. Точка 1 для отрезка [0; 3] является
1) внутренней и предельной
2) предельной и граничной
3) изолированной и предельной
4) изолированной и граничной
5) внутренней и предельной
3. Открытыми в R1 являются множества
1) R1 и {1}
2) и (0; 3)
3) R1 и [0; +∞)
4) (0; 3) ∪ [5; 6] и
5) (0; +∞) и {0}
4. Замкнутыми в R1 являются множества
1) и (0; 1]
2) R1 и [0; 1]
3) [0; 1] ∪ (2; 3) и [0; 5]
4) и (0; +∞)
5) R1 и [0; 5]
5. Плотным в R1 является множество
1) N
2) Z
3) [0; 1]
4) Q
5) (0; 3)
6. Отображение f метрического пространства М в себя называется сжимающим, если
1) ∀𝑥1 , 𝑥2 ∈ 𝑀 ∶ 𝜌(𝑓(𝑥1 ), 𝑓(𝑥2 )) < 𝜌(𝑥1 , 𝑥2 )
2) ∃0 < 𝛼 < 1: ∀𝑥1 , 𝑥2 ∈ 𝑀 ∶ 𝜌(𝑓(𝑥1 ), 𝑓(𝑥2 )) ≤ 𝛼𝜌(𝑥1 , 𝑥2 )
3) ∀𝑥1 , 𝑥2 ∈ 𝑀 ∶ 𝜌(𝑓(𝑥1 ), 𝑓(𝑥2 )) ≤ 𝜌(𝑥1 , 𝑥2 )
4) ∀𝑥1 ∈ 𝑀 ∃𝑥2 ∈ 𝑀 ∶ 𝜌(𝑓(𝑥1 ), 𝑓(𝑥2 )) < 𝜌(𝑥1 , 𝑥2 )
5) ∃0 < 𝛼 < 1: ∀𝑥1 ∈ 𝑀 ∃𝑥2 ∈ 𝑀 ∶ 𝜌(𝑓(𝑥1 ), 𝑓(𝑥2 )) ≤ 𝛼𝜌(𝑥1 , 𝑥2 )
7. Отображение 𝑓(𝑥) = 4𝑥 + 4𝑥 2 отображает в себя пространство
1) [0; 1]
2) [−1; 1]
3) [−1; 0]
13
4) [−1/2; 0]
5) [0; 4]
8. Сжимающим отображением, отображающим пространство R1 в себя, является отображение
1) 𝑓(𝑥) = 𝑥 + 0,001
2) 𝑓(𝑥) = 𝑥 − 0,001
3) 𝑓(𝑥) = 2 sin 𝑥
4) 𝑓(𝑥) = 0,001𝑥 2
5) 𝑓(𝑥) = 0,9𝑥 + 1000
9. Уравнение 𝑥 − cos 𝑥 = 0, приведенное на отрезке [0; 1,5] к виду, удобному
для итераций, имеет вид
1) 5𝑥 − 5cos 𝑥 = 0
2) 𝑥 = arccos 𝑥
3) 𝑥 = cos 𝑥
4) 2𝑥 = 𝑥 + cos 𝑥
5) 10𝑥 = 9𝑥 + cos 𝑥
10. Уравнение 𝑥 + ln(𝑥 + 2) = 0, приведенное на отрезке [–0,8; 0] к виду,
удобному для итераций, имеет вид
1) 0,1𝑥 + 0,1ln(𝑥 + 2) = 0
2) 𝑥 = − ln(𝑥 + 2)
3) 𝑥 = 𝑒 −𝑥 + 2
4) 𝑥 = 𝑒 −𝑥 − 2
5) 𝑥 = ln(𝑥 − 2)
11. В методе итераций решения уравнения с одной переменной 𝛼 = 0,7,
𝑥0 = 1, 𝑥1 = 0,8. Условие |𝑥𝑛 − 𝜉| < 0,001 выполняется при наименьшем n,
равном
1) 2
2) 5
3) 19
4) 25
5) 203
12. На рисунке изображены графики функций 𝑦 = 𝜑(𝑥) и 𝑦 = 𝑥 и начальное
приближение 𝑥0 .
y
y
=x
y
= φ(x)
0
x
Итерационная последовательность 𝑥𝑛 = 𝜑(𝑥𝑛−1 ), 𝑛 = 1, 2, … является
14
1) убывающей, расходящейся
2) возрастающей, не ограниченной сверху
3) возрастающей, ограниченной сверху
4) сходящейся, немонотонной
5) убывающей, ограниченной снизу
7. Учебно-методическое и информационное
обеспечение дисциплины
Литература по курсу
Основная литература
1. Люстерник, Л.А. Краткий курс функционального анализа [Текст] : учебник
для вузов / Л. А. Люстерник, В. И. Соболев. – М. : Лань, 2009. – 272 c.
2. Люстерник, Л.А. Краткий курс функционального анализа [Электронный
ресурс] : учебник для вузов / Л. А. Люстерник, В. И. Соболев. – Электрон.
дан. – М. : Лань, 2009. – 272 c. (ЭБС «Лань»)
Дополнительная литература
1. Ильин, В.А. Математический анализ. В 2 т. [Текст] : учеб. для вузов. Том 1
/ В. А. Ильин, В. А. Садовничий, Бл. Х. Сендов, под ред. А. Н. Тихонова.
— М.: Наука, 1979. – 720 с.
2. Колмогоров, А.Н. Элементы теории функций и функционального анализа
[Текст] : учеб. / А.Н.Колмогоров, С.В.Фомин. — М.: Наука, 1976. — 544 с.
3. Петров В.А., Виленкин Н.Я., Граев М.И. Элементы функционального анализа в задачах. — М.: Просвещение, 1978.
4. Райков Д.А. Многомерный математический анализ [Текст]: учеб. пособ.
для мат. спец. вузов. — М.: Высшая школа, 1989. –271 с.
5. Чеботарев А.Ю. Функциональный анализ [Электронный ресурс]: Учебное
пособие / А.Ю.Чеботарев. – Электрон. дан. – Владивосток: ДВГУ, 2000. –
21 с. – Режим доступа:
http://window.edu.ru/window_catalog/files/r40890/dvgu011.pdf
6. Юргелас В.В. Функциональный анализ [Электронный ресурс]: Практикум /
В.В. Юргелас. – Электрон. дан. – Воронеж: ИПЦ ВГУ, 2007. - 56 с. – Режим доступа: http://window.edu.ru/window/library?p_rid=59420
Интернет-ресурсы
1. eLIBRARY.RU [Электронный ресурс]: научная электронная библиотека.
– URL: http://www.elibrary.ru
15
2. ibooks.ru [Электронный ресурс]: электронно-библиотечная система. –
URL: http://ibooks.ru
3. Znanium.com [Электронный ресурс]: электронно-библиотечная система.
– URL: http://znanium.com
4. Единая коллекция цифровых образовательных ресурсов [Электронный
ресурс]. – URL: http://scool-collection.edu.ru
5. Единое окно доступа к образовательным ресурсам сайта Министерства
образования и науки РФ [Электронный ресурс]. – URL:
http://window.edu.ru
6. Издательство «Лань» [Электронный ресурс]: электронно-библиотечная
система. – URL: http://e.lanbook.com/
7. Издательство
«Юрайт»
[Электронный
ресурс]:
электроннобиблиотечная система. – URL: http://biblio-online.ru
8. Издательство
МЦНМО
[Электронный
ресурс].
–
URL:
www.mccme.ru/free-books
.
Свободно
распространяемые
книги
издательства Московского центра непрерывного математического
образования.
9. Математическая библиотека [Электронный ресурс]. – URL:
www.math.ru/lib .Большая библиотека, содержащая как книги, так и серии
брошюр, сборников. В библиотеке представлены не только книги по
математике, но и по физике и истории науки.
10. Образовательный математический сайт [Электронный ресурс]. –
URL: http://www.exponenta.ru Содержит материалы по работе с
математическими пакетами Mathcad, MATLAB, Mathematical Maple и др.,
методические разработки, примеры решения задач, выполненные с
использованием математических пакетов. Форум и консультации для
студентов и школьников.
11. Руконт [Электронный ресурс]: межотраслевая электронная библиотека.
– URL: http://rucont.ru
12.Электронная библиотека БИ СГУ [Электронный ресурс]. – URL:
http://www.bfsgu.ru/elbibl
13. Электронная библиотека СГУ
[Электронный ресурс]. – URL:
http://library.sgu.ru/
Программное обеспечение
1. Программное обеспечение компьютеров: MS Office или Ореn Office;
2. Среда виртуального обучения Moodle;
3. Программная оболочка CiberTest;
16
8. Материально-техническое обеспечение дисциплины
 Библиотека с информационными ресурсами на бумажных и электронных носителях.
 Стандартно оборудованная лекционная аудитория № 35 для проведения интерактивных лекций: видеопроектор, интерактивная доска,
компьютер, обычная доска, пластиковая доска.
 Компьютерные классы с доступом к сети Интернет (аудитории №№
22, 23, 24, 25, 28).
 Офисная оргтехника.
Рабочая программа дисциплины «Элементы функционального анализа»
составлена в соответствии с требованиями ФГОС ВО по направлению
подготовки 050100 «Педагогическое образование» и профилю подготовки
«Математика» (квалификация (степень) «бакалавр») и требованиями приказа
Министерства образования и науки РФ № 1367 от 19.12.2013 г. о порядке
организации и осуществления образовательной деятельности по
образовательным программам высшего образования — программам
бакалавриата, программам специалитета, программам магистратуры.
Программа разработана в 2011 г. (одобрена на заседании кафедры
математики, протокол № 4 от «25» марта 2011 года).
Программа актуализирована в 2014 г. (одобрена на заседании кафедры
математики, протокол № 3 от «17» октября 2014 года).
Авторы:
к.ф.-м.н. доцент
Ляшко М.А.
к.ф.-м.н. доцент
Ляшко С.А.
Зав.кафедрой математики
к.ф.-м. н. доцент
Ляшко М.А.
Декан факультета МЭИ
к.п.н. доцент
(факультет, где разрабатывалась программа)
Кертанова В.В.
Декан факультета МЭИ
к.п.н. доцент
(факультет, где реализуется программа)
Кертанова В.В.
17