Лекция 24. Магнитное поле в веществе

Лекция № 24
МАГНИТНОЕ ПОЛЕ В ВЕЩЕСТВЕ
1.
2.
3.
4.
План
Понятие магнитного момента атома. Микро и макротоки.
Намагниченность. Магнитная восприимчивость вещества.
Закон полного тока для магнитного поля в веществе.
Напряженность магнитного поля. Магнитная проницаемость
среды. Индукция магнитного поля в веществе.
Условия для магнитного поля на границе раздела двух сред.
Типы магнетиков. Кривая намагничивания. Петля гистерезиса.
Домены. Точка Кюри.
1. Понятие магнитного момента атома.
Если имеется контур с током, то по определению магнитного момента


p m  IS n (см. лекцию №23). В атоме электроны движутся вокруг ядра.
Через площадку, расположенную в любом месте на пути электрона,
переносится в единицу времени заряд e , где e – заряд электрона, а  –
число оборотов в секунду.
Следовательно, движущейся по орбите
электрон (используем боровскую модель атома)
образует круговой ток силы i  e (рис. 24.1).
Магнитный момент создаваемого электроном тока
равен pm  iS  e  r 2 , где r – радиус орбиты.
2r
 2r
Свяжем pm со скоростью электрона  
T
Рис. 24.1
( T -период вращения электрона), получим отсюда

 r  ,
2
подставляя в выражение для pm , получим:
er
pm  er  r 
,
2
Итак, орбитальный магнитный момент электрона:
pm 
er
2
59
Учитывая, что направление тока противоположно скорости
электрона как отрицательно заряженной частицы орбитальный магнитный
момент электрона на рис. 24.1 направлен вверх по правилу буравчика.
Заметим, что кроме орбитального магнитного момента, электрон
обладает собственным (спиновым) магнитным моментом. Магнитный
момент атома равен векторной сумме этих магнитных моментов.
60
Микро и макротоки.
Орбитальное и спиновое движение электронов эквивалентны токам,
циркулирующим в молекулах (атомах) вещества, они получили название
молекулярных токов (или микротоков). Обычные токи, текущие по
проводникам, связанные с перемещением в веществе носителей тока
называются токами проводимости или макротоками.
Намагниченность.
Под воздействием магнитного поля всякое вещество способно
приобретать магнитный момент (намагничиваться), т.е. является

магнетиком. Намагниченное вещество создает магнитное поле B , которое

накладывается на внешнее поле B0 . Оба поля в сумме дают



результирующее поле B  B  B0 .
Степень намагничивания магнетика характеризуется магнитным
моментом единицы объема. Эту величину называют намагниченность

 pm

J  V
V
 pm n

где pm – магнитный момент отдельной молекулы (молекулярного тока).
Суммирование производится по всем молекулам, заключенным в объеме
V – физически бесконечно малом объеме в окрестности данной точки (но
много больше объема молекулы); pm - средний магнитный момент
одного молекулярного тока, n - их концентрация.
Намагниченность принято связывать не с магнитной индукцией, а с


напряженностью магнитного поля H (подробнее об H в п. 2).
Ограничимся пока рассмотрением магнетиков, для которых зависимость


между J и H имеет линейный характер:


J   H
(*)
где  - магнитная восприимчивость, безразмерная величина, характерная
для каждого данного магнетика.
В
отличие
от
диэлектрической
восприимчивости
æ,
которая
всегда
положительна, магнитная восприимчивость
бывает
как
положительной,
так
и
61
отрицательной. Соответственно магнетики, подчиняющиеся зависимости
(*) подразделяются на парамагнетики (   0 ) и диамагнетики (   0 ). У




парамагнетиков J  H , у диамагнетиков J  H . Кроме этих магнетиков
 
существуют ферромагнетики, у которых зависимость J ( H ) имеет весьма
сложный нелинейный характер (подробнее о магнетиках далее в п. 4).
Закон полного тока для магнитного поля в веществе.
Напряженность магнитного поля.
Постановка задачи. В пространство, окружающее макротоки I1 ,
I 2 … I n (рис. 24.2) вносим различного рода магнетики, которые в поле
токов I1 ,… I n будучи намагничиваться. Найдем связь напряженности

магнитного поля с токами. Предварительно свяжем намагниченность J с
молекулярными токами. Обозначим алгебраическую сумму макротоков I ,
алгебраическую сумму микротоков I  .

Рассмотрим элемент контура dl
(рис. 24.3). Токи молекул справа (вне
контура) не пронизывают контур. Слева
(внутри контура) пронизывают контур
дважды и вклад в алгебраическую
сумму токов равен нулю.
Дают вклад только те токи,
которые «нанизаны» на контур.

Элемент контура dl , образующий с

направлением намагниченности J угол
 , нанизывает на себя те молекулярные
токи, центры которых попадают внутрь
косого
цилиндра
с
объемом
dV  S m dl cos 
( Sm –
площадь,
Рис. 24.2
охватываемая отдельным молекулярным током, dl cos  – высота косого
цилиндра). Обозначим через n концентрацию токов I m в единице объема.
Сумма молекулярных токов в элементарном объеме dV :


dI   I m ndV  I m n dl S m cos   I m S m n cos  dl .
Произведение I m S m равно магнитному моменту отдельного
молекулярного тока pm  I mSm , в свою очередь pm n  J , следовательно:
62

 
dI   J dl cos   Jdl
(по определению скалярного произведения).

Проинтегрируем по контуру l :
 
J
 dl  I 
l
Циркуляция
 
 Jdl

вектора J по контуру l равна алгебраической
l
сумме молекулярных токов I  , натянутых на этот контур.
Закон полного тока с учетом токов проводимости и молекулярных
 
токов:  Bdl  0 ( I  I  ) , где I – алгебраическая сумма макротоков (знак
l
«+» или «-» берется в соответствии с правилом правого винта по
отношению к направлению обхода контура).
 
Раскроем скобки и заменим I  на  Jdl :
l
 
 
B
d
l


I


J
0
0

 dl
l
l
 
Поделив обе части на 0 и перенося  Jdl в левую часть, получим:
l

 B  
    J dl  I .

l 0
Обозначим

B
 
J H
0

где H – напряженность магнитного поля. Эта величина не имеет особого
физического смысла, но приносит пользу. С учетом введенного понятия

напряженности получаем теорему о циркуляции вектора H (закон полного
тока для магнитного поля в веществе):
 
H
 dl  I
l
Циркуляция вектора напряженности магнитного поля по некоторому
контуру равна алгебраической сумме макротоков, охватываемых этим
контуром.

Таким образом, используя в расчетах вектор H можно не учитывать
молекулярные токи.
63
Магнитная проницаемость среды. Индукция магнитного поля в
веществе.
В выражении

B
0
 


 J  H заменим J на   H , получим:



B
H
 H ,
0
отсюда:


B
H( 1   ) 
.
0
Обозначим 1     – относительная магнитная проницаемость или
просто магнитная проницаемость вещества, тогда:


B
H
 0

То есть напряженность поля H есть вектор, имеющий то же

направление, что и вектор B (для изотропных сред), но в  0 раз меньший
по модулю.
В случаях, когда однородный магнетик заполняет весь объем,

ограниченный поверхностями, которые образованы линиями вектора B0
(поле тока проводимости)
Тогда

B
 0


B0
0


H  H0
,


B0 .
[1].


B  B0
Магнитная индукция B внутри магнетика будет в  раз отличаться от
Например, поле внутри соленоида при отсутствии магнетика
B0  0 nI . Если магнетик заполняет все пространство соленоида, где поле
отлично от нуля (краевыми эффектами мы пренебрегаем), то магнитная

индукция B должна быть в  раз больше:
B  0 nI
64
В этом примере с соленоидом  показывает, во сколько раз магнитная
индукция поля образованного намагничивающим током в данном
веществе, отличается от индукции поля, образованного этим же током в
вакууме  
B
.
B0
Порядок расчета магнитного поля в магнетике.
1. Из закона полного тока, зная макротоки, создающие поле,

определяют напряженность поля H .
2. Зная относительную магнитную проницаемость, из формулы
B  0 H определяют индукцию магнитного поля.
3. Условия для магнитного поля на границе раздела двух сред.



Речь идет об условиях для векторов B и H
B1
на границе раздела двух однородных магнетиков

с магнитными проницаемостями 1 и  2
B1n


Представим себе цилиндрик очень малой
n
B1
высоты h , расположенный на границе раздела

1
магнетиков
(рис.
24.3).
Каждый
из
векторов
B
1 и
h
2

n

B2 n

B2

B2

B2
можно
нормальной
представить

Bn
и
в
виде
суммы
тангенциальной



B
составляющих. Вектора B1 и B2 относятся к
одной точке на границе раздела. Поток вектора
 

B наружу из этого цилиндрика  Bdl  0
l
(магнитных зарядов нет, силовые линии
магнитного поля замкнуты).
Пренебрегая потоком через боковую поверхность ( h  0 ), поток
можно записать так:
B2 n S  B1n S  0 ,
Сокращая на S , получим:
Рис. 22.4
B1n  B2 n

Т.е. нормальная составляющая вектора B не испытывает скачка и
одинакова по обе стороны границы раздела.
65

H 1
Воспользовавшись связью между векторами


B и H ( B  0 H ) и подставляя в равенство

H 1n
a
1
2

H2

H1
B1n  B2n , получим 10 H 1n  2 0 H 2 n , или
H 1n  2

H 2 n 1

b 0
Нормальная составляющая вектора H при
переходе границы раздела магнетиков испытывает
скачок и изменяется обратно пропорционально

H 2n
магнитной проницаемости магнетиков.
Найдем связь между тангенциальными

составляющими. Проведем на границе магнетиков
H 2
прямоугольный контур и вычислим для него

Рис. 24.5
циркуляцию вектора H (рис. 24.5).
 
Так как токов проводимости на границе раздела нет, то  Hdl  0 .
l
Устремляя b  0 , предыдущее уравнение примет вид H 1 a  H 2 a  0 .
Сокращая на a , получим
H1  H 2

Тангенциальная составляющая вектора H не испытывает скачка и
одинакова по обе стороны границы раздела.
4. Типы магнетиков. Кривая намагниченности.
Разнообразие типов магнетиков обусловлено различиями магнитных
свойств микрочастиц, образующих вещество, а также характера
взаимодействия между ними. Магнетики в зависимости от знака и
величины магнитной восприимчивости подразделяются на 3 группы:
-диамагнетики   0 (   1 )
(  ~ 106  109 )
Представители: Cu , Ag , Au , почти все газы: N 2 , H 2 , CO2 и т.д.
-парамагнетики   0 (   1 )
(  ~ 104  106 )
Представители: Al , Na , K , Ca …, из газов O2 ;
-ферромагнетики   1 (   1 )
(  ~ 103  105 )
66
Представители:
Fe , Ni , Co …, некоторые сплавы, например,
пермаллой и др.
Кривая намагничивания.
Намагниченность слабомагнитных веществ (пара и диамагнетики)
изменяется с напряженностью поля линейно (рис.24.6). Намагниченность
ферромагнетиков зависит от H сложным образом. Кроме нелинейности
характерно также наличие насыщения.
Петля гистерезиса.
Проведем эксперимент. Пусть имеется соленоид с сердечником из
ферромагнетика (рис.24.7).
Будет пропускать по обмотке
соленоида
постепенно
увеличивающийся постоянный ток,
начиная с нуля. Напряженность
магнитного
поля
H  nI .
Одновременно с напряженностью
будем регистрировать магнитную
B
индукцию
в
сердечнике
(рис.24.8).
Основная
кривая
намагничивания 0-1. Магнитная
Рис. 24.6
Рис. 24.7
индукция B  0 ( H  J ) .
При достижении насыщения J , B продолжает расти с ростом H по
линейному закону. С т.1 будем уменьшать ток, соответственно будет и
уменьшаться напряженность магнитного поля H , но индукция B следует
не по первоначальной кривой 1-0, а изменяется в соответствии с кривой 12.
В результате, когда напряженность
внешнего поля станет равной нулю,
намагниченность
не
исчезает
и
характеризуется величиной B , которая
называется
остаточной
индукцией.
Магнитная индукция обращается в ноль
лишь при перемене тока в соленоиде на
противоположное
направление.
(Соответственно
меняется
на

противоположное и направление H ).
67
B
Напряженность,
при
которой
обращается
в
ноль,
называется
Рис. 24.8
коэрцитивной силой и обозначается H c .
При дальнейшем увеличении тока противоположно первоначальному
направлению (и, соответственно увеличении H ), попадаем в точку 4,
затем, уменьшая ток (и H ) попадаем т. 5, сменив направление тока и H
на первоначальное, снова попадаем в т. 1. Вся фигура называется петлей
гистерезиса (греч. «запаздывание»). Смысл названия в том что, например,
при уменьшении напряженности из т. 1 B не попадает в т. 0, лишь с
«запаздыванием» (за счет обратного поля H c ) обращается в нуль.
Существование остаточной намагниченности дает возможность
изготовления постоянных магнитов, то есть тел, которые без затрат
энергии на поддержание макротоков обладают магнитным моментом и
создают в окружающем пространстве магнитное поле.
Гистерезис приводит к тому, что намагниченность ферромагнетика не
является однозначной функцией H ; она в сильной мере зависит от
предыстории образца.
Магнитные свойства ферромагнетиков обусловлены собственными
(спиновыми) магнитными моментами электронов.
При определенных условиях в кристаллах могут возникать силы,
которые заставляют магнитные моменты электронов выстраиваться
параллельно друг другу. В результате возникают области спонтанного
(самопроизвольного) намагничивания, которые называются доменами.
Для каждого ферромагнетика имеется определенная температура TC ,
при которой области спонтанной намагниченности распадаются и
вещество утрачивает ферромагнитные свойства. Эта температура
называется точкой Кюри ( TC ) (для железа TcFe  768C , а для никеля
TcNi  365C ).
Диамагнетики. Диамагнетики состоят из атомов, в которых
орбитальные магнитные моменты электронов скомпенсированы. Поэтому
магнитные моменты атомов равны нулю. Для анализа механизма
диамагнитного эффекта используем модель атома гелия.
68
Вокруг ядра обращаются два электрона. Опыт
показывает, что атом гелия не имеет магнитного
момента. Это можно объяснить тем, что оба
электрона обращаются вокруг ядра с одинаковой
скоростью по одинаковым орбитам, но в
противоположных направлениях (рис.24.9). Тогда
их орбитальные магнитные моменты будут равны
по величине, но противоположны по направлению и
суммарный магнитный момент оказывается равен
Рис. 24.9
нулю. Поместим атом гелия в магнитное поле.
Для простоты положим, что вектор индукции перпендикулярен
плоскости орбиты электрона. В этом случае на электрон действует две
силы – кулоновская сила притяжения к ядру и сила Лоренца. Их
равнодействующая сообщает электрону центростремительное ускорение.
Для 1-го электрона:
2e 2
m12
(1)
Fкул  Fлор 
 e1B 
r
40 r 2
Для 2-го электрона:
(*)
2
2e
m2
(2)
Fкул  Fлор

 e2 B 
2
r
40 r

В этих уравнениях полагаем, что
B
под действием магнитного поля
меняется только скорость движения
pm1
электрона, но не радиус орбиты. Из
полученной системы
уравнений
Fкул

1
следует
,что
под
действием
e i
магнитного поля скорость движения 11

(1)
2
Fлор
го электрона уменьшилась, а 2-го –
(2)
Fкул
Fлор
возрастает.
Соответственно
e
i2

изменяются и магнитные моменты:
pm2
Pm
pm1 возрастает, а pm2 уменьшается
Рис. 24.10
(рис.24.10).
Таким образом, под действием внешнего магнитного поля у атома
индуцированным микротоком i2 - i1 наводится (индуцируется) магнитный
e r e r er
момент: pm  pm2  pm1  2  2  ( 2  1 ) .
2
2
2
69

Индуцированный магнитный момент Pm направлен противоположно
вектору индукции внешнего поля.
Так как индуцированный микроток наводится внешним полем, то,
согласно правилу Ленца, у атома появляется составляющая магнитного поля,
направленная противоположно внешнему полю. Результирующее магнитное
поле в диамагнетике уменьшается магнитная восприимчивость для
диамагнетика величина отрицательная.
Парамагнетики.
Атомы парамагнетиков имеют некомпенсированные магнитные
моменты. Под действием внешнего поля эти магнитные моменты
поворачиваются, стремясь расположиться вдоль силовых линий поля.
Тепловое движение, естественно, какой то степени расстраивает этот
порядок.
Магнитная восприимчивость парамагнетиков положительная и
примерно в сто раз больше чем восприимчивость диамагнетиков.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
70
Вопросы для самоконтроля.
Чем обусловлен магнитный момент атома?
Как определяется намагниченность вещества? Каков ее физический
смысл?
Сформулируйте закон полного тока для магнитного поля в веществе.

Как связаны между собой векторы магнитной индукции B ,


напряженности магнитного поля H и намагниченности J ?

Покажите, что напряженность H играет в теории магнитного поля

такую же роль, как вектор D в теории электрического поля.
Какой физический смысл магнитной проницаемости среды?

Какова связь нормальной и тангенциальной составляющих векторов B и

H?
Чем различаются магнитные свойства диа- и парамагнетиков? Каковы
особенности магнитных свойств ферромагнетиков?