Учебник &quot

81
Раздел третий
ДИНАМИКА ТОЧКИ
Глава 9. ЗАКОНЫ ДИНАМИКИ. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ
ДИНАМИКИ ТОЧКИ
§43. Основные понятия
Динамикой называется раздел механики, в котором изучается движение
материальных объектов под действием сил. Простейшим материальным
объектом является материальная точка, обладающая массой, а размерами точки
можно
пренебречь.
Масса
является
мерой
инертности
тела,
которая
проявляется в том, что тело сохраняет свое движение при отсутствии
действующих сил.
Движение материальных тел следует рассматривать относительно
определенной системы отсчета. В классической механике, в основу которой
положены законы Ньютона, вводят инерциальную систему отсчета. Для
Солнечной системы инерциальной можно считать систему отсчета, начало
которой находится в центре Солнца, а оси направлены на одни и те же звезды
все время. Время в классической механике не связано с пространством и
протекает во всех системах отсчета одинаково.
Для
измерения
механических
величин
будем
использовать
Международную систему единиц СИ, в которой основными единицами
измерения являются метр (м), килограмм массы (кг) и секунда (с). Единицей
измерения силы является Ньютон (1 H  1 кг  м / c 2 ).
§44. Законы динамики
В
основе
динамики
лежат
законы,
изложенные
И. Ньютоном.
Сформулировать эти законы можно следующим образом:
Первый закон (закон инерции): изолированная от внешних воздействий
материальная точка сохраняет свое состояние покоя или равномерного
прямолинейного движения до тех пор, пока приложенные силы не заставят ее
82
изменить это состояние. Движение, совершаемое точкой при отсутствии сил,
называется движением по инерции.
Второй закон (основной закон динамики) устанавливает, как изменяется
скорость точки при действии на нее какой-нибудь силы, а именно:
произведение массы материальной точки на ускорение, которое она получает
под действием данной силы, равно по модулю этой силе, а направление
ускорения совпадает с направлением силы.
Математически этот закон выражается векторным равенством:
m a  F.
(1)
При этом между модулями ускорения и силы имеет место зависимость
ma = F.
(2)
Если на точку действуют одновременно несколько сил, то они, как это
следует
из
закона
параллелограмма
сил,
будут
эквивалентны
равнодействующей R , равной геометрической сумме данных сил. Уравнение
принимает в этом случае вид:
ma  R
Этот
же
или
результат
можно
m a   Fk .
получить,
(3)
используя
вместо
закона
параллелограмма закон независимости действия сил, согласно которому при
одновременном действии на точку нескольких сил каждая из них сообщает
точке такое же ускорение, какое она сообщила бы, действуя одна.
Третий закон (закон равенства действия и противодействия). Для двух
материальных точек он гласит: две материальные точки действуют друг на
друга с силами, равными по модулю и направленными вдоль прямой,
соединяющей эти точки, в противоположные стороны.
§45. Дифференциальные уравнения движения точки
Для решения задач динамики точки будем пользоваться одной из
следующих двух систем уравнений.
83
Уравнения в декартовых координатах. Движение точки в прямоугольных
декартовых координатах задается уравнениями
x  f1 ( t ) ,
y  f 2 (t) ,
z  f 3 (t) .
(4)
Рассмотрим материальную точку, движущуюся под действием сил
F1 , F 2 ,…, F n по отношению к инерциальной системе отсчета Oxyz. Проецируя
обе части равенства (3) на оси x, y, z и учитывая, что ax  x и т.д., получим:
mx   Fkx ,
Это
и
будут
my   Fky ,
mz   Fkz .
дифференциальные
уравнения
(5)
движения
точки
в
прямоугольных декартовых координатах. При этом в общем случае правая
часть каждого из уравнений может быть функцией переменных t, x, y, z, x , y , z
одновременно.
Уравнения в проекциях на оси естественного трехгранника. Для
получения этих уравнений спроецируем обе части равенства m a   F k на оси
М  nb, т.е. на касательную М  к траектории точки, главную нормаль Мn,
направленную в сторону вогнутости траектории, и бинормаль Mb. Тогда,
учитывая, что a  dV dt , an  V 2  , ab = 0, получим
m
dV
  Fk ,
dt
m
V2
  Fkn ,

0   Fkb .
(6)
Уравнения (6), где V  ds dt , представляют собой дифференциальные
уравнения движения точки в проекциях на оси естественного трехгранника.
§46. Первая задача динамики точки
Первая (прямая) задача динамики точки заключается в том, что зная массу
точки m и уравнения ее движения (4):
x=x(t),
y=y(t),
z=z(t),
нужно найти силу F , под действием которой осуществляется данное движение.
84
Дифференцируя дважды уравнения движения точки по времени t
определим проекции ее ускорения на оси координат:
ay  y ,
ax  x ,
az  z .
Умножая значения этих проекций на массу точки, найдем проекции
равнодействующей, то есть
X  mx ,
Y  my ,
Z  mz ,
где X  Fx , Y  Fy , Z  Fz .
Затем определим модуль равнодействующей сил:
F  X 2  Y 2  Z2
и ее направление по направляющим косинусам
cos  F 
X
,
F
cosF 
Y
,
F
cos  F 
Z
.
F
Если в задаче ускорение точки задано, то действующая сила сразу
находится по уравнениям (1) или (3).
§47. Решение основной задачи динамики
Движение
материальной
точки
будет
прямолинейным,
когда
действующая на нее сила имеет постоянное направление, а скорость точки в
начальный момент времени равна нулю или направлена вдоль силы.
Если при прямолинейном движении направить вдоль траектории
координатную ость Ох, то движение точки будет определяться первым из
уравнений (5), то есть уравнением
mx   Fkx .
(7)
Уравнение (7) называют дифференциальным уравнением прямолинейного
движения
точки.
Иногда
его
содержащими первые производные:
удобнее
заменить
двумя
уравнениями,
85
m
dVx
  Fkx ,
dt
dx
 Vx .
dt
(8)
Решение второй (основной) задачи динамики сводится к тому, чтобы из
данных уравнений, зная силы, найти закон движения точки, то есть x = f(t). Для
этого надо проинтегрировать дифференциальное уравнение второго порядка (7).
Если для данной конкретной задачи дифференциальное уравнение (7)
будет проинтегрировано, то в полученное решение войдут две постоянные
интегрирования С1 и С2 и общее решение уравнения будет иметь вид:
x  f ( t , C1 , C 2 )
(9)
Для определения постоянных С1 и С2 используются так называемые
начальные условия, которые задаются в виде
При t = 0, x  x 0 , Vx  V0 .
(10)
По начальным условиям (10) можно определить конкретные значения
постоянных С1 иС2 и найти частное решение уравнения (7), дающее закон
движения точки, в виде
x  f ( t , x 0 , V0 ) .
(11)
Поясним все сказанное на примере (см. задачу 12).
В случае криволинейного движения точки, рассмотрим решение второй
задачи динамики в прямоугольной декартовой системе координат. В этом
случае задача решается с помощью дифференциальных уравнений (5).
Начальные условия, определяющие положение и скорость точки в начальный
момент времени t = 0, задаются в виде:
При t = 0, x  x 0 , y  y 0 , z  z 0 ;
Vx  Vx 0 , Vy  Vy 0 , Vz  Vz 0 .
(12)
Проинтегрировав уравнения (5), находят координаты x, y, z движущейся
точки, как функции времени t, т.е. определяют закон движения точки. При этом
полученные решения будут содержать шесть постоянных интегрирования
С1, С2,…, С6, значения которых определяют по начальным условиям (12).
86
Задача 12. Груз весом Р начинает двигаться из состояния покоя вдоль
гладкой горизонтальной плоскости под действием силы F , значение которой
растет пропорционально времени по закону F = kt. Найти закон движения груза.
Решение. Выберем начало координат в начальном положении груза и
направим ось Ох в сторону движения. Тогда начальные условия будут:
При t = 0, x = 0, Vx  x  0 .
На тело действуют силы F , P (сила тяжести) и N (реакция плоскости).
Проекции этих сил на ось Ох имеют значения Fx  F  kt , Px  0 , N x  0 и
уравнение (8) примет вид:
m
d
x  kt .
dt
Рис. 76
Чтобы разделить переменные, умножим обе части уравнения на dt и
проинтегрируем
m  dx  k  tdt .
Тогда получим,
mx 
kt 2
 C1 ,
2
где С1 – постоянная интегрирования. Подставляя сюда начальные данные,
найдем, что С1 = 0. Представим тогда полученное уравнение в виде:
dx kt 2
.

dt 2m
87
Умножая обе части этого равенства на dt, опять разделим переменные и,
интегрируя, найдем
x
kt 3
 C2
6m
Подстановка начальных данных дает С2 = 0, и окончательно получаем
закон движения груза в виде
x
где
kg 3
t ,
6P
P
 m.
g
Таким образом, проходимый грузом путь будет расти пропорционально
кубу времени.
Глава 10. ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ ДИНАМИКИ ТОЧКИ
§48 Количество движения точки. Импульс силы
Количество движения материальной точки называется вектор q , равный
произведению массы точки на ее скорость, т.е
q  mV .
(13)
Количество движения материальной точки является динамической
характеристикой движения точки, единицей измерения которого в системе СИ
служит 1 H  c  1 кг  м / c .
Элементарным импульсом силы называется векторная величина d S ,
равная произведению силы F на элементарный промежуток времени dt:
d S  Fdt .
Рассмотрим
теперь
(14)
движение
материальной
точки
за
конечный
промежуток времени t 1 . Импульс S силы F за этот промежуток времени
вычисляется как предел интегральной суммы элементарных импульсов, т.е
88
t1
S   Fdt .
(15)
0
Следовательно, импульс силы за промежуток времени
t1
равен
определенному интегралу от элементарного импульса, взятому в пределах от
нуля до t 1 .
Если сила F постоянна, то S  Ft , в этом случае модуль S  Ft1 .
Проекции импульса силы на прямоугольные оси координат выражаются
формулами
t1
t1
t1
Sx   Fx dt,
Sy   Fy dt,
Sz   Fz dt .
0
0
0
(16)
Единица импульса силы – Н·с.
§49. Теорема об изменении количества движения точки
Уравнение
(3),
выражающее
основной
закон
динамики,
можно
представить в виде
d
(mv)   Fk .
dt
(17)
Формула (17) выражает теорему об изменении количества движения
точки в дифференциальной форме: производная по времени от количества
движения точки равна сумме действующих на точку сил.
Путь в начальный момент времени t = 0 скорость точки равна V0 , а в
момент t 1 равна V1 .
Умножим тогда обе части равенства (17) на dt, получим
d(mv)   Fk dt .
Проинтегрируем обе части равенства. При этом справа пределами
интеграла буду 0 и t1, а слева пределами интеграла будут значения скорости V0
и V1 , т.е
89
V1
t1
V0
0
 d(mv)    Fk dt .
В результате, в силу формулы (15) получим
mV1  mV0   Sk .
(18)
Уравнение (18) выражает теорему об изменении количества движения
точки в конечном виде: изменение количества движения точки за конечный
промежуток времени равно сумме импульсов сил, приложенных к точке, за тот
же промежуток времени.
Проецируя векторное равенство (18) на координатные оси, получим
mV1x  mV0 x   Skx ,
mV1y  mV0 y   Sky ,
mV1z  mV0z   Skz .
(19)
Заметим, что при прямолинейном движении, теорема выражается первым
из этих уравнений.
Задача 13. Грузу, имеющему массу m и лежащему на горизонтальной
плоскости, сообщают (толчком) начальную скорость
V0 . Последующее
движение груза тормозится постоянной силой F . Определить через сколько
времени груз остановится.
Решение. Выберем начало координат в начальном положении груза и
направим ось Ох в сторону движения (рис. 77). Составляем первое из
уравнений (19)
mV1x  mV0 x   Skx .
(а)
В данном случае V1x  0 ( V1 – скорость в момент остановки), а V0 x  V0 . На
тело действуют сила тяжести P , реакция плоскости N и тормозящая сила F .
Проекции этих сил на ось Ох имеют значения
Fx  F ,
Px  0 ,
Nx  0 .
Так как сила F постоянна, то Sx  Fx t1  Ft1 , где t1 – время торможения.
90
Рис. 77.
Подставляя эти данные в уравнение (а), получим  mV0   Ft1 , откуда
t1 
mV0
. Таким образом, время торможения растет пропорционально
F
начальной скорости.
§50. Теорема об изменении момента количества
движения точки (теорема моментов)
Моментом количества движения точки относительно некоторого центра 0
называется векторная величина m O (mv) , которая определяется равенством
mO (mV)  r  mV ,
(20)
где r – радиус-вектор точки, проведенной из центра О. Вектор mO (mV)
направлен перпендикулярно плоскости, проходящей через mV и центр О, а
mO (mV)  mv  h
(рис. 78); для сравнения на нем показан и вектор
mO ( F)  r  F .
Рис. 78.
91
Момент количества движения относительно оси Oz, проходящей через
центр О, будет равен проекции вектора m O (mv) на эту ось:
mz (mV)  mO (mV) cos  ,
(21)
где  – угол между вектором mO (mV) и осью Oz.
Теорема. Производная по времени от момента количества движения точки
относительно центра равна моменту силы относительно того же центра.
Для доказательства теоремы продифференцируем по времени выражение
(20):
d
dr
dV
( r  m V )  (  mV )  ( r  m
)  ( V  mV )  ( r  m a ) .
dt
dt
dt
Но V  mV  0 как векторное произведение параллельных векторов, а
m a  F , т.е
d
(r  mV)  r  F  mO ( F) .
dt
Следовательно
d
( m0 (mV ))  m0 ( F) .
dt
(22)
Теорема доказана.
Если спроецировать равенство (22) на ось Oz, проходящую через точку О,
то учитывая соотношение (21), получим
d
(m z (mV ))  m z ( F) .
dt
(23)
Это равенство выражает теорему об изменении момента количества
движения точки относительно оси. Из уравнения (22) следует, что если
m0 ( F)  0 , то m0 (mV)  const .
§51. Работы силы. Мощность
Элементарной работой силы F , приложенной в точке, называется
скалярная величина
92
dA  F  ds ,
(24)
где F – проекция силы F на касательную М к траектории точки М,
направленную в сторону перемещения точки, ds – модуль элементарного
перемещения точки М (рис. 79).
Учитывая, что F  F cos  , где  – угол между F и М, получим из (24):
dA  Fdscos .
(25)
Если угол  острый, то работа положительная. В частности, при  = 0,
dA  Fds . Работа положительна, когда составляющая F направлена в сторону
движения; работа отрицательная, когда
F направлена противоположно
направлению движения.
Равенство (25) можно представить как скалярное произведение двух
векторов:
dA  F  dr ,
(26)
где dr – вектор элементарного перемещения точки, | dr | ds .
Если в формуле (26) выразить скалярное произведение через проекции
векторов F и dr
на координатные оси и учесть, что F   Fx , Fy , Fz ,
dr  dx , dy, dz, то получим:
dA  Fx dx  Fydy  Fzdz .
(27)
Работа силы на конечном перемещении М0М1 (рис. 79) вычисляется как
предел интегральной суммы элементарных работ:
A M 0 M1  
M1 
 F ds
(28)
M 0 
или
A M 0 M1  
M1 
 Fx dx  Fy dy  Fz dz .
M 0 
(29)
93
Интегралы
берутся
вдоль
кривой
М0М1,
то
есть
являются
криволинейными.
В частности, когда сила постоянна по модулю и направлению ( F  const ),
а точка движется прямолинейно (рис. 80), в этом случае F  F  cos   const и
A M0M1   F  s1 cos .
Рис. 79
(30)
Рис. 80
Единицей измерения работы является 1 джоуль (1 Дж = 1Н∙м = 1 кг∙м2/с2).
Мощность есть величина, определяющая работу в единицу времени. В
общем случае
N
dA
ds
 F   F V .
dt
dt
(31)
В частном случае, если работа совершается равномерно, то мощность
N  A t 1 , где t1 – время, в течении которого произведена работа А.
Единицей измерения мощности является ватт (1 Вт = 1 Дж/с = 1 Н∙м/с).
Из равенства N  F V видно, что у двигателя при постоянной мощности
N, сила тяги F будет тем больше, чем меньше скорость V. Поэтому, например,
при подъеме у автомобиля включают низкие передачи, позволяющие при
меньшей скорости развивать большую силу тяги.
Пример вычисления работы силы тяжести. Вычислим работу по
перемещению точки М, на которую действует сила тяжести P , из положения
М0(x0, y0, z0) в положение М1(x1, y1, z1). При этом систему координат выберем
94
так, чтобы ось Oz была направлена вертикально вверх (рис. 81). Тогда проекции
силы P на координатные оси будут соответственно равны Px  0 , Py  0 ,
Pz  P . Подставляя эти значения в формулу (29), получим
z1
A M 0 M1    (P)dz  P(z1  z 0 )  P(z 0  z1 ) .
z0
Если точка М0 выше точки М1, то z0 – z1 = h, где h – вертикальное
перемещение точки; если же точка М0 ниже точки М1, то z0 – z1 = – h.
Окончательно получаем:
A M0M1   Ph .
(32)
Рис. 81
Работа положительна, если начальная точка выше конечной, и
отрицательна, если начальная точка ниже конечной.
Из полученного результата, следует, что работа силы тяжести не зависит
от траектории точки, а зависит от вертикального перемещения. Силы,
обладающие таким свойством, называются потенциальными.
§52. Теорема об изменении кинетической энергии точки
Кинетической энергией точки называется скалярная величина
mV 2
,
2
равная половине произведения массы точки на квадрат ее скорости. Единица
95
измерения кинетической энергии та же, что и работы – 1 Дж. Найдем
зависимость между этими двумя величинами.
Теорема (в конечном виде). Изменение кинетической энергии точки при
ее перемещении равно алгебраической сумме работ действующих на точку сил
на том же перемещении.
Пусть точка массой m перемещается из положения М0, где ее скорость V0,
в положение М1, где ее скорость V1. Используем в дальнейшем выражение,
выражающее основной закон динамики:
m a   Fk .
Проецируя обе его части на касательную М к траектории точки М,
направленную в сторону движения, получим
ma   Fk ,
где a – касательное ускорение точки, которое представим в виде
a 
dV dV ds
dV
,

  V
dt
ds dt
ds
тогда получим
mV 
dV
  Fk .
ds
Умножим обе части равенства на ds и внесем m под знак дифференциала
(т.к. m постоянная):
d(
mV 2
)   Fk  ds
2
или
mV 2
d(
)   dAk ,
2
(33)
где dA k  Fk  ds – элементарная работа силы Fk . Формула (33) есть выражение
теоремы об изменении кинетической энергии точки в дифференциальной
форме.
96
Проинтегрируем обе части равенства (33) в пределах, соответствующих
значениям переменных в точкам М0 и М1, получим окончательно:
mV12 mV02

  A M0M1  .
2
2
(34)
Уравнение (34) выражает теорему в конечном виде.
При несвободном движении точки в правую часть равенства (34) войдет
работа заданных (активных) сил Fka и работа реакции связи. Рассмотрим
движение точки только по неподвижной гладкой кривой или поверхности
(трение равно нулю). В этом случае реакция будет направлена по нормали к
траектории точки и касательная составляющая реакции N  равна нулю. Тогда
работа реакции связи будет равна нулю и уравнение (34) примет вид
mV12 mV02

  A(aM 0 M1 ) .
2
2
(35)
Если поверхность (кривая) не является гладкой, то к работе активных сил,
прибавляется работа силы трения.
Задача 14. Груз массой m = 2 кг, брошенный со скоростью V0 = 20 м/с из
пункта А, находящегося на высоте h = 5 м (рис. 82), имеет в точке падения С
скорость V1 = 16 м/с. Определить, чему равна работа, действующей на груз при
его движении силы сопротивления воздуха R .
Рис. 82
97
Решение. На груз действует сила тяжести P и сила сопротивления
воздуха R . По теореме об изменении кинетической энергии, считая груз
точкой, имеем
mV12 mV02

 A( P )  A( R ) .
2
2
Из этого равенства, так как согласно формуле (32) A( P)  Ph находим
A(R )  mV12 2  mV02 2  mgh  242 Дж .
Раздел четвертый
ДИНАМИКА СИСТЕМЫ
Глава 11. ВВЕДЕНИЕ В ДИНАМИКУ СИСТЕМЫ.
МОМЕНТЫ ИНЕРЦИИ
§53. Механическая система. Силы внешние и внутренние
Систему материальных точек, движение которой рассматривается,
называют механической системой.
Действующие на механическую систему активные силы
Fka и реакции
связей N k разделяются на внешние Fke и внутренние Fki (индексы e и i от
латинских exterior – внешний и interior – внутренний). Внешними называют
силы, действующие на точки со стороны точек, не входящих в состав системы.
Внутренними называют силы, с которыми точки системы действуют друг на
друга.
Внутренние силы обладают следующими свойствами:
1. Геометрическая сумма (главный вектор) всех внутренних сил системы
равна нулю. По третьему закону динамики две точки системы (рис.83)
действуют друг на друга с силами F12i и F21i , сумма которых равна нулю. Так как
аналогичный результат имеет место для любой пары точек, то
 Fki  0 .
98
Рис. 83
2. Сумма моментов (главный момент) всех внутренних сил системы
относительно центра или оси равняется нулю. Действительно, из рис. 83 видно,
что m O ( F12i )  m O ( F21i )  0 , следовательно, и для всей системы будет:
 mO (Fki )  0 .
Из доказанных свойств не следует, что внутренние силы взаимно
уравновешиваются, так как они приложены к разным точкам и могут вызвать
взаимное перемещение точек. Уравновешенной совокупность внутренних сил
будет у системы, представляющей абсолютно твердое тело.
§54. Масса системы. Центра масс
Масса системы равна арифметической сумме масс всех точек системы:
M   mk ,
где M – масса системы, m k - масса точки с координатами x k , y k , z k .
Преобразуем формулs (42) из § 18, определяющие координаты центра
тяжести тела к виду, явно содержащую массу. Для этого положим в этих
формулах p k  m k g и P  Mg , после чего, сократив на g, получим:
xc 
1
 mk x k ,
M
yc 
1
 mk yk ,
M
zc 
1
 mk z k .
M
(1)
Геометрическая точка С, координаты которой определяются формулами
(1), называется центром масс или центром инерции механической системы.
99
Если положение центра масс определить его радиусом-вектором rC , то из
равенства (1) для rC получается формула:
rC 
1
 m k rk ,
M
(2)
где rk – радиусы-векторы точек, образующих систему.
Из полученных результатов следует, что для твердого тела, находящегося
в однородном поле тяжести, положение центра масс и центра тяжести
совпадают.
§55. Момент инерции тела относительно оси. Радиус инерции
Моментом инерции тела (системы) относительно оси Oz называется
скалярная величина, равная сумме произведений масс точек тела (системы) на
квадраты их расстояний от этой оси:
J z   mk h 2k .
(3)
Для одной материальной точки, находящейся на расстоянии h от оси,
J z  mh 2 . Единицей измерения момента инерции будет 1 кг∙м2.
Моменты инерции относительно осей Оxyz определяются формулами:


J x   mk y 2k  z 2k ,


J y   m k z 2k  x 2k ,


J z   mk x 2k  y 2k .
(4)
Радиусом инерции тела относительно оси Oz называется линейная
величина  z , определяемая равенством
J z  M 2z ,
(5)
где М – масса тела. Радиус инерции геометрически равен расстоянию от оси Oz
той точки, в которой надо сосредоточить массу тела, чтобы момент инерции
одной этой точки был равен моменту инерции тела.
В случае сплошного тела, разбивая его на элементарные части, найдем,
что в пределе сумма, стоящая в равенстве (3), обратится в интеграл. В
результате, учитывая, что dm    dV , где  – плотность, V – объем, получим:
100
Jz 
h
2
dm
или
(V)
Jz 
 h
2
dV .
(6)
(V)
Найдем моменты инерции некоторых однородных тел.
1. Тонкий стержень длиной ℓ и массой m. Вычислим его момент инерции
относительно оси Az, перпендикулярной стержню (рис. 84). При этом h = x,
dm  1dx , где 1  M  – масса единицы длины стержня. В результате по
формуле (6) найдем:


J A   x dm  1  x 2 dx  1 3 3 .
2
0
0
Заменяя 1 его значением, окончательно найдем
J A  M 2 3 .
(7)
2. Тонкое круглое однородное кольцо радиусом R и массой М. Вычислим
его момент инерции относительно оси Сz, перпендикулярной плоскости кольца
и проходящей через его центр С (рис. 85). Так как h k  R , то по формуле (3)
найдем
JС   mk R 2  ( mk )R 2  MR 2 , окончательно для кольца
J С  MR 2 .
Такой
же
(8)
результат
получится
для
момента
инерции
тонкой
цилиндрической оболочки массой М и радиусом R относительно ее оси.
3. Круглая однородная пластина или цилиндр радиусом R и массой М.
Вычислим момент инерции относительно оси Сz, перпендикулярной
пластине и проходящей через ее центр (рис. 85). Для этого выделим
элементарное кольцо радиусом r и шириной dr (рис. 86, а). Площадь этого
кольца 2r 2 dr , а масса dm = 2∙2∙r∙dr, где  2  M r 2 – масса единицы
площади пластины. Тогда по формуле (8) для выделенного элемента кольца
будет dJ C  r 2 dm  2 2 r 2 dr , а для всей пластины:
101
R
J C  2 2  r 3dr   2 R 4 2 .
0
Заменяя  2 его значением, найдем окончательно
J C  MR 2 2 .
Рис. 84
(9)
Рис. 85
Рис. 86
Такая же формула получится и для момента инерции однородного
круглого цилиндра массой М и радиусом R относительно его оси (рис. 86, б).
4. Прямоугольная
пластина,
конус,
шар.
Приведем
формулы,
определяющие моменты инерции следующих тел:
а) сплошная прямоугольная пластина массой М со сторонами АВ = а и
BD = b (ость х направлена вдоль стороны АВ, ось y – вдоль BD):
J x  Mb 2 3 , J y  M a2 /3 ;
б) прямой сплошной круглый конус массой М с радиусом основания R
(ось z направлена вдоль оси конуса):
J z  0,3MR 2 ;
в) сплошной шар массой М и радиусом R (ось z направлена вдоль
диаметра):
J z  0,4MR 2 .
Моменты инерции неоднородных тел определяют экспериментально.
102
§56. Моменты инерции тела относительно параллельных осей.
Теорема Гюйгенса
Моменты инерции тела относительно разных осей будут, вообще говоря,
разными. Покажем, как, зная момент инерции относительно одной оси,
проведенной в теле, найти момент инерции относительно другой оси, ей
параллельной.
Теорема Гюйгенса: момент инерции тела относительно данной оси равен
моменту инерции относительно оси, ей параллельной, проходящей через центр
масс тела, сложенному с произведением массы тела на квадрат расстояния
между осями.
Проведем через центр масс С тела оси C x yz , а через любую точку О на
оси C x  – оси Oxyz, такие, что Oy || C y  , Oz || C z (рис. 87). Расстояние между
осями C z и Oz обозначим через d. Тогда по формулам (4) будет:
J Oz   m k (x 2k  y 2k ) ,
J Cz   m k (xk2  yk2 ) .
Как видно из рисунка x k  x k  d и x 2k  xk2  d 2  2 xk d , а y k  yk . Подставляя
значение x k , y k в выражение для JOz и вынося общие множители d2 и 2d за
скобки, получим:
J Oz   mk (xk2  yk2 )  ( mk )d 2  ( m k xk )2d .
В правой части равенства первая сумма равна J Cz , а вторая – массе тела
М.
Найдем
значение
третьей
суммы.
 m k xk  MxC . Так как точка С является
 m k xk  0 . Окончательно получаем:
J Oz  J Cz  Md 2 .
Теорема доказана.
На
основании
формулы
(1)
началом координат, то x C = 0 и
(10)
103
Рис. 87
Глава 12. ТЕОРЕМА О ДВИЖЕНИИ ЦЕНТРА МАСС СИСТЕМЫ
§57. Дифференциальные уравнения движения системы
Выделим в рассматриваемой механической системе какую-нибудь точку с
массой m k . Обозначим равнодействующую всех приложенных к точке
внешних сил (и активных, и реакций связей) через Fke , а равнодействующую
внутренних сил через Fki . Тогда уравнение, выражающее основной закон
динамики, примет для точки следующий вид:
mak  Fke  Fki ,
где ak – ускорение точки.
Аналогичный
результат
получим
для
любой
другой
точки.
Следовательно, для всей системы будет:
e
i
m1a1  F1  F1 , 

m2 a 2  F2e  F2i , 

........ ................ 
mn a n  Fne  Fni . 
(11)
Уравнения (11) являются дифференциальными уравнениями движения
системы в векторной форме. Проецируя эти равенства на координатные оси,
получим дифференциальные уравнения движения системы в проекциях на эти
оси.
104
§58. Теорема о движении центра масс
Теорема: произведение массы системы на ускорение ее центра масс равно
геометрической сумме всех действующих на систему внешних сил.
Для доказательства теоремы сложим почленно левые и правые части
уравнений (11). Тогда получим:
mk ak   Fke   Fki .
(12)
Преобразуем левую часть равенства. Из формулы (2) имеем
 m k rk  MrC .
Продифференцируем дважды по времени обе части этого равенства и учитывая,
что производная от суммы равна сумме производных, найдем:
 mk
d 2 rC
d 2 rk

M
dt 2
dt 2
mk ak = M aC ,
или
(13)
где aC - ускорение центра масс системы.
Так как по свойству внутренних сил системы
 Fki  0 , из равенства (12)
получим, учтя (13):
M aC   Fke .
(14)
Уравнение (14) выражает теорему о движении центра масс. Проецируя
обе части равенства (14) на координатные оси, получим:
e
e
e
, My   Fky
, Mz   Fkz
.
Mx   Fkx
(15)
Уравнения (15) являются дифференциальными уравнениями движения
центра масс в проекциях на оси декартовой системы координат.
Сравнивая уравнение (14) с уравнением движения материальной точки
(§44, формулы (3)), придем к другому выражению теоремы: центр масс
системы движется как материальная точка, масса которой равна массе системы
и к которой проложены все внешние силы, действующие на систему.
105
§59. Закон сохранения движения центра масс
1. Пусть сумма внешних сил, действующих на систему, равна нулю:
 Fke  0 .
Тогда
из
уравнения
(14)
следует,
что
aC = 0
или
VC = const.
Следовательно, если сумма внешних сил равна нулю, то центр масс системы
движется равномерно и прямолинейно. В частности, если в начале центр масс
был в покое, то он и останется в покое. Внутренние силы движение центра масс
изменить не могут.
2. Пусть сумма внешних сил не равна нулю, но силы таковы, что сумма их
проекций на ось (например на ось х) равна нулю:
 Fkxe  0 .
Тогда из первого уравнения формул (15) вытекает, что
x С  0 или x С  Vcx  const .
Если сумма проекций внешних сил на какую-нибудь ось равна нулю, то
проекция скорости центра масс системы на эту ось есть величина постоянная. В
частности, если в начальный момент Vcx  0 , то центр масс системы вдоль оси
х перемещаться не будет (xC = const). Эти результаты выражают закон
сохранения движения центра масс системы.
Пример. При отсутствии трения человек с помощью мускульных усилий
(силы внутренние) не мог бы двигаться вдоль горизонтальной плоскости, так
как сумма проекций на горизонтальную ость Ох приложенных к человеку
внешних сил (сила тяжести и реакция плоскости) будет равна нулю и центр
масс человека вдоль плоскости перемещаться не будет (xC = const).
Если, например, человек вынесет правую ногу вперед, то левая его нога
скользнет назад, а центр масс останется на месте. При наличии же трения
скольжению левой ноги назад будет препятствовать сила трения, которая в
этом случае будет направлена вперед. Эта сила и будет той внешней силой,
106
которая позволяет человеку перемещаться в сторону ее действия (в данном
случае вперед).
Глава 13. ТЕОРЕМА ОБ ИЗМЕНЕНИИ КОЛИЧЕСТВА
ДВИЖЕНИЯ СИСТЕМЫ
§ 60. Количество движения системы
Количеством движения системы называют векторную величину Q ,
равную геометрической сумме (главному вектору) количеств движения всех
точек системы (рис. 88).
Q   m k Vk .
(16)
Рис. 88
Пользуясь этим определением, найдем формулу, с помощью которой
значительно легче уяснить смысл величины Q . Из равенства (2) следует, что
 m k rk  MrC .
Продифференцируем обе части по времени, получим:
 mk
dr
drk
M C
dt
dt
или
 m k Vk  MVC .
Отсюда находим:
Q  MVC .
(17)
107
Количество движения системы равно произведению массы системы на
скорость ее центра масс. Формулой (17) удобно пользоваться при вычислении
количества движении твердого тела.
§ 61. Теорема об изменении количества движения
Рассмотрим систему, состоящую из n материальных точек.
Теорема: изменение количества движения системы за некоторый
промежуток времени равно сумме импульсов, действующих на систему
внешних сил за тот же промежуток времени.
Для доказательства теоремы сложим почленно левые и правые части
уравнений (11). Тогда получим:
mk ak   Fke   Fki .
Последняя сумма согласно свойству внутренних сил равна нулю. Кроме
того,
mk ak 
d
dQ
m k Vk 
.

dt
dt
Окончательно находим:
dQ
  Fke .
dt
(18)
Уравнение (18) выражает теорему об изменении количества движения
системы в дифференциальной форме. Спроецируем обе части равенства (18) на
координатные оси, получим:
dQx
e
,
  Fkx
dt
dQy
dt
e
  Fky
,
dQz
  Fkze .
dt
(19)
Пусть в момент времени t = 0 количество движения системы равно Q0 , а в
момент t1 – равно Q1 . Тогда, умножая обе части равенства (18) на dt и
интегрируя, получим:
108
t1
Q1  Q0    Fke dt
или
Q1  Q0   Ske .
(20)
0
Уравнение (20) выражает теорему об изменении количества движения
системы в интегральной форме.
Проецируя обе части этого уравнения на координатные оси, получим:
Q1x  Q0 x  Sekx ,
Q1y  Q 0 y   Seky ,
Q1z  Q0z  Sekz .
(21)
Практическая ценность теоремы состоит в том, что она позволяет
исключить из рассмотрения наперед неизвестные внутренние силы.
§62. Закон сохранения количества движения
1. Пусть сумма внешних сил, действующих на систему, равна нулю:
 Fke  0 .
Тогда из уравнения (18) следует, что Q = const.
2. Пусть внешние силы таковы, что сумма их проекций на ось (например,
ох) равна нулю:
 Fkxe  0 .
Тогда из первого уравнения формул (19) следует, что Qx = const.
Эти результаты выражают закон сохранения количества движения
системы. Из них следует, что внутренние силы изменить количество движений
системы не могут.
Пример (явление отдачи). Если рассматривать винтовку и пулю как одну
систему, то давление пороховых газов при выстреле будет силой внутренней,
она не может изменить количество движений системы, равное до выстрела
нулю. Пороховые газы, действуя на пулю, сообщают ей некоторое количество
движения, направленное вперед, то они одновременно должны сообщить
винтовке такое же количество движения в обратном направлении. Это вызовет
движение винтовки назад, то есть так называемую отдачу.
109
Задача 15. Пуля массой m, летящая горизонтально со скоростью u ,
попадает в установленный на тележке ящик с песком (рис. 89). С какой
скоростью начнет двигаться тележка после удара, если масса тележки вместе с
ящиком равна М?
Решение. Будем рассматривать пулю и тележку как одну систему. Сумма
проекций, приложенных к системе внешних сил (вес пули, вес тележки с
песком, реакция плоскости) на горизонтальную ось Ох равна нулю.
Следовательно, Qx = const или Q1x = Q0x, где Q0 – количество движения
системы до удара; Q1 – после удара. Так как до удара тележка была
неподвижная, то Q0x = mu.
После удара тележка и пуля движутся с общей скоростью, которую
обозначим через V. Тогда Q1x  (m  M)V . Приравнивая правые части
выражений Q1x и Q0x, найдем
V
mu
.
( m  M)
Рис. 89
Глава 14. ТЕОРЕМА ОБ ИЗМЕНЕНИИ МОМЕНТА
КОЛИЧЕСТВ ДВИЖЕНИЯ СИСТЕМЫ
§ 63. Главный момент количеств движения системы
Главным моментом количеств движения (или кинетическим моментом)
системы
относительно
центра
О
называется
величина
KO ,
равная
110
геометрической
сумме
моментов
количеств
движения
точек
системы
относительно этого центра.
K O   m0 (m k Vk ) .
(22)
Аналогично определяются моменты количеств движения системы
относительно координатных осей:
K x   m x (m k Vk ) ,
K y   m y (m k Vk ) ,
K z   m z (m k Vk ) .
(23)
При этом, K x , K y , K z представляют собой одновременно проекции
вектора K O на координатные оси.
В качестве конкретного примера найдем значение K z
для тела,
вращающегося вокруг неподвижной оси z (рис. 90). Для точки тела, отстоящей
от оси вращения на расстоянии h k скорость Vk  h k (  – угловая скорость
тела).
Рис. 90
2
Для этой точки m z (m k Vk )  m k Vk h k  m k h k  . Тогда для всего тела,
вынося общей множитель  за скобки, получим:
K z   m z (m k Vk )  ( m k h 2k )   .
Используя формулу (3) окончательно находим:
111
Kz  Jz  .
(24)
Кинетический момент вращающегося тела, относительно оси вращения
равен произведению момента инерции тела относительно этой оси на угловую
скорость тела.
§64. Теорема об изменении главного момента количеств
движения системы (теорема моментов)
Теорема, доказанная для одной точки, будет справедлива для каждой из
точек системы, т.е.
d
( mO (m k Vk ))  mO ( Fke )  mO ( Fki ) ,
dt
где
Fke
и
Fki – равнодействующие всех внешних и внутренних сил,
действующих на точку. Складывая почленно такие уравнения для всех точек
системы, получим:
d
( mO (m k Vk ))   mO ( Fke )   mO ( Fki ) .
dt
Но последняя сумма по свойству внутренних сил системы равна нулю. Тогда,
учитывая равенство (22), найдем окончательно:
dK O
  m O ( Fke ) .
dt
(25)
Полученное уравнение выражает теорему моментов для системы:
производная по времени от главного момента количеств движения системы
относительно центра равна сумме моментов всех внешних сил системы
относительно того же центра.
Проектируя обе части равенства (25) на оси Oxyz, получим:
dK y
dK x
dK z
  m y ( Fke ) ,
  m x ( Fke ) ,
  m z ( Fke ) .
dt
dt
dt
(26)
Уравнения (26) выражают теорему моментов относительно любой
неподвижной оси.
112
§ 65. Закон сохранения главного момента количеств движения
1. Пусть сумма моментов относительно центра О внешних сил равна
нулю
 mO ( Fke )  0 .
Тогда из уравнения (25) следует, что при этом K O = const.
2. Пусть внешние силы таковы, что сумма их моментов относительно
некоторой оси Oz равна нулю
 mz (Fke )  0 .
Тогда из уравнений (26) следует, что при этом Kz = const.
Эти результаты выражают собой закон сохранения главного момента
количеств движения системы. Из них следует, что внутренние силы изменить
главный момент количеств движения системы не могут.
Случай вращающейся системы. Рассмотрим систему, вращающуюся
вокруг оси z. Тогда по формуле (24) K z  J z   . Если в этом случае
 mz (Fke )  0 , то J z    const .
Отсюда приходим к следующим выводам:
а) если система неизменяемая (абсолютно твердое тело), то J z  const и,
следовательно,   const.
б) если система изменяемая, то под действием внутренних (или внешних)
сил отдельные ее точки могут удаляться от оси или приближаться к ней, что
приведет к изменению Jz. Но поскольку J z    const , то угловая скорость тоже
будет изменяться.
Таким образом, действием внутренних сил можно изменить угловую
скорость системы, так как постоянство K z не означает вообще постоянства  .
Глава 15. ТЕОРЕМА ОБ ИЗМЕНЕНИИ
КИНЕТИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ СИСТЕМЫ
§ 66. Кинетическая энергия системы
Кинетической энергией системы называется скалярная величина Т, равная
сумме кинетических энергий всех точек системы:
113
T   mk Vk2 2 .
(27)
Найдем формулы для вычисления кинетической энергии тела в разных
случаях движения.
1. Поступательное движение тела. В этом случае все точки тела движутся
с одинаковыми скоростями, равными скорости центра масс, следовательно,
Vk  Vc и формула (27) дает:
Т пост   mk VC2 2  ( m k ) VC2 2
или
Т пост  MVC2 2 .
(28)
Таким образом, кинетическая энергия тела при поступательном движении
равна половине произведения массы тела на квадрат скорости центра масс.
2. Вращательное движение. Если тело вращается вокруг оси Оz (см.
рис. 90), то скорость любой его точки Vk  h k , где h k – расстояние точки от
оси вращения, а  – угловая скорость тела. Подставляя это значение в формулу
(27) и вынося общие множители за скобки, получим
Tвр   m k 2 h 2k 2  ( m k h 2k )  2 2 .
Величина, стоящая в скобках представляет собой момент инерции тела
относительно оси z. Таким образом, окончательно найдем
Т вр  J z  2 2 ,
(29)
т.е. кинетическая энергия тела при вращательном движении равна половине
произведения момента инерции тела относительно оси вращения на квадрат его
угловой скорости.
3. Плоскопараллельное движение. При этом движении скорости всех
точек тела распределены так, как если бы тело вращалось вокруг оси,
перпендикулярной плоскости движения и проходящей через мгновенный центр
скоростей (МЦС) Р (рис. 91). Следовательно, по формуле (29) получим:
Т плос  J P 2 2 ,
(30)
114
где JP – момент инерции тела относительно названной выше оси,  – угловая
скорость тела. Ведем вместо JP постоянный момент инерции JC относительно
оси, проходящей через центр масс С тела. По теореме Гюйгенса (см. § 56):
J P  J C  Md 2 ,
где d=РС.
Рис. 91
Подставим это выражение для JP в (30). Учитывая, что точка Р – МЦС и,
следовательно, d    PC  VС , где VС – скорость центра масс С, найдем

Т плоск  J C  MPC
2

2 1
2
2
2

 M    PC  J C 
или
2 2
2
Т плоск  MVC2 2  J  2 2 .
(31)
Следовательно, при плоскопараллельном движении кинетическая энергия
равна энергии поступательного движения, со скоростью центра масс,
сложенной с кинетической энергией вращательного движения вокруг центра
масс.
§67. Вычисление работы силы вращающегося тела
Элементарная работа приложенной к телу силы F будет равна (см. § 51):
dA  F ds  F hd ,
так как ds  hd , где d – элементарный угол поворота тела.
115
Если разложить F по направлениям В, ВС и В z (см. рис. 92), то
mz ( F)  F h  mz ( F ) , так как моменты двух других составляющих равны нулю.
Будем называть величину M z  mz ( F) вращающим моментом. Тогда получим
dA  M z d .
(32)
Следовательно, элементарная работа равна произведению вращающего
момента на элементарный угол поворота. Формула (32) справедлива и при
действии нескольких сил, если считать M z   m z ( Fk ) .
При повороте на конечный угол 1 , работа
1
A   M zd ,
(33)
0
а в случае постоянного момента:
A  M z 1 .
(34)
Рис. 92
Укажем еще, как в данном случае определять мощность (см. § 51).
Пользуясь равенством (32) , находим
N
dA
d
 Mz 
 Mz   .
dt
dt
116
Следовательно, мощность равна произведению вращающего момента на
угловую скорость тел. При той же самой мощности вращающий момент будет
тем больше, чем меньше угловая скорость.
§68. Теорема об изменении кинетической энергии системы
Доказанная в § 52 теорема справедлива для любой из точек системы.
Следовательно, для рассматриваемой точки системы будет:
d(m k Vk2 2)  dA ek  dA ik ,
где A ek и A ik – элементарные работы действующих на точку внешних и
внутренних сил. Составляя уравнения для всех точек системы и складывая их
почленно, найдем, что
d( m k Vk2 2)   dAek   dAik
Равенство
(35)
Проинтегрировав
выражает
обе
части
или
теорему
равенства
dT   dAek   dAik .
в
в
дифференциальной
пределах,
(35)
форме.
соответствующих
перемещению системы из некоторого начального положения, где кинетическая
энергия равна T0 , в положение, где она становится равной T1 , получим:
T1  T0   Aek   Aik .
(36)
Это уравнение выражает теорему в интегральной форме: изменение
кинетической энергии системы при ее перемещении равно сумме работ на этом
перемещении всех приложенных к системе внешних и внутренних сил.
Рассмотрим частные случаи.
1. Неизменяемая система. Неизменяемой системой называют систему, в
которой расстояние между двумя точками остается постоянным.
Рассмотрим точки B1 и B 2 системы, действующие друг на друга с силами
F12i и F21i   F12i (рис. 93).
Тогда,
поскольку
при
движении
отрезка
В1В2
должно
быть
V1 cos 1  V2 cos  2 (см. § 38), то и ds1 cos 1  ds 2 cos  2 , так как ds1  V1dt ,
i
ds 2  V2 dt . Кроме того, F12i  F21
. В результате для суммы элементарных работ
этих сил получим:
117
i
dA1  dA 2  F12i ds1 cos 1  F21
ds 2 cos  2  0 .
В итоге приходим к выводу, что в случае неизменяемой системы сумма
работ всех внутренних сил равна нулю и уравнения (35) и (36) принимают вид
dT   dAek и T1  T0   Aek .
(37)
2. Система с идеальными связями. Рассмотрим систему, на которую
наложены связи, не изменяющиеся со временем. Разделим действующие на
точки системы внешние и внутренние силы на активные и реакции связей.
Тогда уравнение (35) можно представить в виде dT   dAka   dAkr , где Aka –
элементарная работа действующих на k-ю точку системы внешних и
внутренних активных сил, а Akr – элементарная работа реакций, наложенных на
ту же точку внешних и внутренних связей.
Как видно, изменение кинетической энергии системы зависит от работы и
активных сил и реакций связей. Однако можно ввести понятие о таких
“идеальных” системах, у которых наличие связей не влияет на изменение
кинетической энергии системы.
Для таких связей выполняется условие:
 dAkr  0 .
(38)
Если для связей, не изменяющихся со временем, сумма работ всех
реакций при элементарном перемещении системы равна нулю, то такие связи
являются идеальными.
Для
механической
системы,
на
которую
наложены
только
не
изменяющиеся со временем идеальные связи, будет
dT   dAka и T1  T0   Aka .
(39)
Таким образом, изменение кинетической энергии системы с идеальными,
не изменяющимися со временем связями при ее перемещении равно сумме
работ на этом перемещении приложенных к системе внешних и внутренних
активных сил.
118
Рис. 93
Задача 16. Стержень АВ длинной ℓ подвешен на шарнире в точке А
(рис. 94). Пренебрегая трением в шарнире, найти какую наименьшую угловую
скорость 0 надо сообщить стержню, чтобы он отклонился до горизонтального
положения.
Решение. Воспользуемся теоремой об изменении кинетической энергии.
Учитывая, что система неизменяемая, составим уравнение (37):
T1  T0   Aek .
(а)
Обозначая массу стержня через М, вычислим входящие в это уравнение
величины. По формуле (29) и формуле (7) из § 55 находим:
T0  J A 02 2  M 2 02 6 .
Так как в конечном положении скорость стрежня равна нулю, то T1  0 .
Работу совершает только активная сила P  Mg и A e  Ph С  Mg  2 .
Подставляя эти значения в уравнение (а), найдем:  M 2 02 6  Mg  2 ,
откуда 0  3 g  .
Рис. 94