Окружности и системы окружностей 1. C 4 № 484607. Две

Реклама
Окружности и системы окружностей
1. C 4 № 484607. Две окружности, радиусы которых равны 9 и 4, касаются внешним образом.
Найдите радиус третьей окружности, которая касается двух данных окружностей и их общей
внешней касательной.
Решение.
Возможны два случая взаимного расположения прямой и окружностей.
Первый случай. Пусть окружность с центром имеет радиус
окружность центром
имеет
радиус
а окружность с центром имеет радиус и касается двух данных окружностей и их
общей внешней касательной
Обозначим через
и точки касания окружностей с прямой а через
и — точки
касания самих окружностей. Отрезки
и
перпендикулярны прямой как радиусы,
проведенные в точки касания.
Опустим перпендикуляр
из центра меньшей из данных окружностей на радиус
большей окружности и перпендикуляры
и
из точки на радиусы
и
Поскольку
точки
и лежат на одной прямой, а так как
— прямоугольник,
то
Кроме того,
Далее имеем:
.
Второй случай. Пусть теперь окружность с центром имеет радиус
окружность с центром
O имеет радиус
а окружность центром
имеет радиус и касается двух данных окружностей и их общей внешней касательной
Аналогично случаю 1 имеем:
О т в е т : 1,44 или 36.
2. C 4 № 484609. Прямая касается окружностей радиусов и в точках и
расстояние между центрами равно причем
и
Найдите
Решение.
Пусть
— центр окружности радиуса
— центр окружности радиуса
ственно, — точки касания окружностей с их общей внешней касательной, и
но, — с внутренней, — основание перпендикуляра, опущенного из
на
Из прямоугольного треугольника
находим, что
а так как
Пусть
Известно, что
и соответсоответствен-
— прямоугольник, то
— основание перпендикуляра, опущенного из
на продолжение радиуса
Тогда
Ответ:
или
3. C 4 № 484616. Окружность S проходит через вершину C прямого угла и пресекает его стороны в точках, удаленных от вершины C на расстояния 6 и 8. Найдите радиус окружности, вписанной в данный угол и касающийся окружности S.
Решение.
Пусть окружность с центром и радиусом пересекает стороны данного прямого угла в
точках и ,
, искомая окружность с центром касается сторон и
угла
в
точках и соответственно, а окружности — в точке .
му
Точка — центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника
— середина его гипотенузы
.
, поэто-
.
Линия центров двух касающихся окружностей проходит через точку их касания, поэтому
точки , и лежат на одной прямой. Опустим перпендикуляр
из центра окружности на
прямую
.
Тогда
—
средняя
линия
треугольника
поэтому
и
, а так как центр окружности, вписанной в угол, лежит на его
биссектрисе, то
, поэтому
.
Опустим перпендикуляр
из центра искомой окружности на прямую
. Тогда
.
Предположим, что искомая окружность и окружность касаются внутренним образом. Тогда
.
Рассмотрим прямоугольный треугольник
. По теореме Пифагора
откуда находим, что
или
.
Если же искомая окружность касается данной внешним образом, то
.
Тогда из соответствующего уравнения
находим, что
.
Ответ: 4 или 24.
4. C 4 № 484619. Найдите длину отрезка общей касательной к двум окружностям, заключенного между точками касания, если радиусы окружностей раины 23 и 7, а расстояние между центрами окружностей равно 34.
Решение.
Пусть центры окружностей — точки и , а А и В — точки касания. Проведем через
точку Впрямую, параллельную
. Точку пересечения этой прямой с
обозначим К. Треугольник
— прямоугольный.
Возможны два случая расположения окружностей и общей касательной.
Случай 1. Окружности лежат по одну сторону от касательной.
Случай 2. Окружности лежат по разные стороны от касательной.
Обозначим радиусы окружностей R и r, расстояние между центрами окружностей l. В первом
случае
во втором случае
. Из прямоугольного треугольника
находим:
в первом случае
,
во втором случае
.
Ответ: 30 или 16.
5. C 4 № 484626. Дана окружность радиуса 4 с центром в точке О, расположенной на биссектрисе угла, равного
. Найдите радиус окружности, вписанной в данный угол и касающейся данной окружности внешним образом, если известно, что расстояние от точки О до вершины угла
равно 10.
Решение.
Пусть Q — центр искомой окружности радиуса х, М — точка касания с данной окружностью, В — точка касания с одной из сторон данного угла с вершиной А. Центр окружности, вписанной в угол, лежит на биссектрисе угла, поэтому
. Из прямоугольного треугольника BAQ находим, что
. Пусть точка Q лежит между А и О (рис. 1).
му
Линия центров касающихся окружностей проходит через точку их касания, поэто, или
, откуда находим, что
.
Пусть точка О лежит между А и Q (рис. 2),
тогда
, или
, откуда
.
Ответ: 2 или 14.
6. C 4 № 501692. Окружности радиусов и с центрами и
соответственно касаются в
точке Прямая, проходящая через точку вторично пересекает меньшую окружность в
точке а большую — в точке Найдите площадь треугольника
если
Решение.
Точки
ренные,
и
лежат на одной прямой. Поскольку треугольники
откуда
и
равнобед-
Возможны два случая. Первый случай: окружности касаются внутренним образом (рис. 1),
тогда точка лежит между точками и откуда
Второй случай: окружности касаются внешним образом (рис. 2), тогда точка
точками и откуда
лежит между
О т в е т : 2,5 или 10.
7. C 4 № 501712. Окружности радиусов 11 и 21 с центрами
внешним образом в точке
и
— параллельные
причём
Найдите
Решение.
Точки
ренные,
и
соответственно касаются
радиусы этих окружностей,
и А лежат на одной прямой. Поскольку треугольники
и
равнобед-
откуда
Возможны два случая. Первый случай: окружности касаются внутренним образом (рис. 1),
тогда точка B лежит между точками А иC, откуда
Второй случай: окружности касаются внешним образом (рис. 2), тогда точка А лежит между
точками B и C, откуда
О т в е т : 2,5 или 10.
8. C 4 № 501732. Окружности радиусов 2 и 9 с центрами и
соответственно касаются в
точке Прямая, проходящая через точку вторично пересекает меньшую окружность в
точке а большую — в точке
Найдите площадь треугольника
если
Решение.
Точки
ренные,
да
и L лежат на одной прямой. Поскольку треугольники
отку-
и
равнобед-
Возможны два случая. Первый случай: окружности касаются внутренним образом (рис. 1),
тогда точка лежит между точками и
откуда
Второй случай: окружности касаются внешним образом (рис. 2), тогда точка
точками и
О т в е т : 3,5 или 5,5.
9. C 4 № 501754. Окружности радиусов
внутренним образом в точке
и
причём
Найдите
Решение.
и
лежит между
с центрами и
соответственно касаются
— параллельные радиусы этих окружностей,
Точки
и лежат на одной прямой. Возможны два случая. Первый случай:
точки и лежат по одну сторону от прямой
(рис. 1). Отрезок
параллелен отрезку
(точка принадлежит
радиусу
),
следовательно,
—
параллелограмм:
В треугольнике
имеем
значит, треугольник
—
правильный, откуда
Второй случай: точки и лежат по разные стороны от прямой
(рис. 2). Отрезок
параллелен отрезку
(точка лежит на продолжении радиуса
за точку ), следовательно,
— параллелограмм:
В треугольнике
имеем
откуда
О т в е т : 10 или 38.
10. C 4 № 501947. Окружности радиусов 3 и 5 с центрами O1 и O2 соответственно касаются в
точке A. Прямая, проходящая через точку A, вторично пересекает меньшую окружность в точке B,
а большую — в точке C. Найдите площадь треугольника BCO2 , если ∠ABO1 = 15°.
Решение.
ки
и
Точки , ,
равнобедренные,
и
лежат
на
одной
прямой.
Поскольку треугольни, откуда
Возможны два случая. Первый случай: окружности касаются внутренним образом (рис.1),
тогда точка лежит между точками и , откуда
Второй случай: окружности касаются внешним образом (рис. 2), тогда точка
точками и ,
лежит между
Ответ: 2,5 или 10.
11. C 4 № 501987. Окружности радиусов 2 и 3 с центрами O1 и O2 соответственно касаются в
точке A. Прямая, проходящая через точку A, вторично пересекает меньшую окружность в точке B,
а большую — в точке C. Найдите площадь треугольника BCO2 , если ∠ABO1 = 30°.
Решение.
Точки
ренные,
лежат на одной прямой. Поскольку треугольники
отку-
и
равнобед-
да
Возможны два случая. Первый случай: окружности касаются внутренним образом (рис.
1),тогда точка B лежит
между точками А и С, откуда
Второй случай: окружности касаются внешним образом (рис. 2), тогда точка А лежит между
точками B и С,
Ответ:
12.
C 4 № 502077. В
окружности
проведены
хорды PQ и CD,
причём PQ = PD = CD = 8, CQ = 6. Найдите CP.
Решение.
Возможны два случая. Первый случай: точки D и Q лежат в разных полуплоскостях относительно прямой CP (рис. 1), тогда ∠PQC = 180° − ∠PDC.
В треугольниках PQC и PDC
откуда
Второй случай: точки D и Q лежат в одной полуплоскости относительно прямой CP (рис. 2),
тогда
В треугольниках PQC и PDC
откуда
О т в е т : 4 или
13.
C 4 № 502097. В
окружности
причём PQ = PD = CD = 10, CQ = 6. Найдите CP.
Решение.
проведены
хорды PQ и CD,
Решение.
Возможны два случая. Первый случай: точки D и Q лежат в разных полуплоскостях относительно прямой CP (рис. 1), тогда
В треугольниках PQC и PDC:
откуда
;
Второй случай: точки D и Q лежат в одной полуплоскости относительно прямой CP (рис.
2), тогда
В треугольникахPQC и PDC
откуда
;
Ответ:
14. C 4 № 504243. Две окружности пересекаются в точках P и Q. Прямая, проходящая через
точку P, второй раз пересекает первую окружность в точке A, а вторую — в точке D. Прямая, проходящая через точку Q параллельно AD, второй раз пересекает первую окружность в точке B, а
вторую — в точке C.
а) Докажите, что четырёхугольник ABCD — параллелограмм.
б) Найдите отношение BP:PC, если радиус первой окружности вдвое больше радиуса второй.
15. C 4 № 504264. Две окружности пересекаются в точках P и Q. Прямая, проходящая через
точку P, второй раз пересекает первую окружность в точке A, а вторую — в точке D. Прямая, проходящая через точку Q параллельно AD, второй раз пересекает первую окружность в точке B, а
вторую — в точке C.
а) Докажите, что четырёхугольник ABCD — параллелограмм.
б) Найдите отношение CP:PB, если радиус первой окружности втрое больше радиуса второй.
Похожие документы
Скачать