Контроль успеваемости [DOC, 357 КБ]

Реклама
Оценочные средства для текущего контроля успеваемости и промежуточной
аттестации
Текущая аттестация проводится еженедельно. Критерии формирования оценки –
посещаемость занятий, активность студентов на лекциях, уровень подготовки к
лекциям, выполнение докладов на семинарах, написание контрольных работ.
Примеры тем предлагаемых докладов:
1.
Замкнутость системы функций Бесселя как радиальной части собственных
функций круга.
2.
Сведение краевых задач для уравнения Гельмгольца к интегральным
уравнениям Фредгольма с несимметричным ядром.
3.
Разрешимость внешних задач для уравнения Гельмгольца.
4.
Пространства Соболева и их применение при решении задач математической
физики.
5.
Регулярность решения внешних краевых задач для уравнения Лапласа.
6.
Построение обобщенного решения краевой задачи моделирующей плоский
волновод с киральным заполнением.
7.
Применение конформных преобразований для построения функции Грина в
областях сложной геометрии.
8.
Интегральные преобразования Ханкеля, Мейера, Мелера-Фока, КонторовичаЛебедева, Гильберта, Лагерра и Лежандра и их применение в математической
физике.
Примеры домашних задач:
Задачи на соответствующие темы из учебных пособий:
1. Будак Б.М., Самарский А.А., Тихонов А.Н. Сборник задач математической физике.
М: «Физматлит», 2003.
2. Боголюбов А.Н., Кравцов В.В. Задачи по математической физике. М: Изд-во МГУ,
1998.
3. Боголюбов А.Н., Левашова Н.Т., Могилевский И.Е. , Мухартова Ю.В., Шапкина
Н.Е..
Функция Грина оператора Лапласа. М.: Физический факультет МГУ. 2012.
Промежуточная аттестация проводится на 9 неделе в форме коллоквиума с оценкой.
Коллоквиум состоит из двух частей: письменной, по результатам которой получившие
положительную оценку студенты допускаются к участию в устной части коллоквиума.
Критерии формирования оценки – уровень знаний пройденной части курса.
В конце мая проводится тестирование по всем темам курса.
Список контрольных вопросов для коллоквиума:
Первые 104 вопроса из перечня вопросов к экзамену.
Пример теста:
1. Какие из перечисленных функций удовлетворяют уравнению u  0 ? Переменные r , 
означают радиус и угол в полярной системе координат.
| u  2r cos 
| u  r cos 2
| u  r 2 cos 
| u  2r cos 3
| u  r 3 cos 2
2. Найдите решение задачи
u  0, 0  x  2, 0  y  1

x

u ( x, 0)  sin
2

u  0, y   u  2, y   u  x,1  0

 x sh 2 1  y 
| u  x, y   sin

2
sh
2

 x cos 2 1  y 
| u  x, y   sin

2
cos
2
1  y 

 x sin 2 1  y 
| u  x, y   sh

2
sh
| u  x, y   sin
x
2
1  y 
2
x y
sh
| u  x, y   sin
2
2
3. Найдите решение задачи


 сектор 
u  0, r  1, 0   
3

u 1,    sin 3

u  r , 0   u  r ,    0

 3
| u  r,    r 3 sin 3
| u  r,    r sin 3
r2
sin 3
3
| u  r,    sin 3
| u  r,  
| u  r,    r 3 cos3
4. Найдите решение задачи
 u  0, r  2, 0  z  1

u r  2  cos 3 z sin 2

u z z 0  u z z 1  0
| u  r, , z  
| u  r, , z  
| u r , ,   
| u  r, , z  
 цилиндр 
I 2  3 r 
cos 3 z sin 2
I 2  6 
I 0  3 r 
cos 3 z sin 2
I 0  6 
I 3 2r 
cos 3z sin 2
I 3 4 
K 2  3 r 
cos 3 z sin 2
K 2  6 
| u  r, , z  
J 2  3 r 
cos 3 z sin 2
J 2  6 
5. Пусть u - функция, гармоническая в круге r  1 и принимающая на его границе
значения u r 1  5sin5  . Переменные r и  означают радиус и угол в полярной системе
координат. Каково максимальное значение u ?
|u  5
| u  10
3
|u 
2
| u   2 , где  - наименьший корень уравнения J5     0
| u   2 , где  - наибольший корень уравнения J5     0
6. При каких из перечисленных ниже функций f задача Неймана
u  0, в круге r  1

 u
 f  
 r
 r 1
имеет решение? Переменные r и  означают радиус и угол в полярной системе
координат.
| f  sin 
| f 1
| f  sin 2 
| f  cos 2 
| f  1  cos 
7. Сколько решений имеет краевая задача
u  0 при r  1,

u r 1  1  sin  ,

u  0,
 rlim

рассматриваемая на плоскости вне единичного круга? Переменные r ,  означают радиус
и угол в полярной системе координат.
|ни одного
|одно
|два
|бесконечно много
|три
8. Какое из написанных ниже чисел является наименьшим положительным корнем
уравнения J1/ 2 ( x)  0 ?
|
|1
|e
|У этого уравнения нет положительных корней
| / 2
9. Как ведет себя функция Ханкеля H n1  x  при больших x? Здесь cn обозначает
некоторую константу, зависящую только от n.
c
| n eix
x
c
| n eix
x
c
| n ex
x
cn  x
|
e
x
c
| n cos x
x

10. Найдите сумму ряда
n
1 1
Pn      .

2 2
n 0
2 3
3
|0
|1
|Этот ряд расходится
2 2
|
3
|
11. Чему равен предел производной присоединенной функции Лежандра P10   x  при
1
x 1 ?
d 1
| lim P10   x   
x 1 dx
d 1
| lim P10   x   0
x 1 dx
d 1
P10  x   1
dx
d 1
| lim P10   x   10!
x 1 dx
d 1
| lim P10   x   2!
x 1 dx
| lim
x 1
12. Рассматривается задача на собственные значения
u  u  0 в квадрате

u  0 на его границе
Сколько линейно независимых собственных функций отвечает наименьшему
собственному значению?
|Одна функция
|Две функции
|Три функции
|Четыре функции
|Пять функций
13. Найдите собственные функции и собственные значения задачи Штурма-Лиувилля
u   u  0, 0  x  9

u (0)  u   9   0
n
n 
x, n  
| un  x   cos
 , n  0,1,...
9
 9 
2
| un  x   sin 3x, n   n  , n  1, 2,...
2
| un  x   cos 3x, n   3 n  , n  1, 2,...
2
| un  x   sin
n
n 
x, n  
 , n  1, 2,...
9
 9 
| un x   cos

18
2n  1x,
2


n   2n  1 , n  0,1,...
18

2
Примеры задач итоговой контрольной работы:
1. Решить задачу на собственные функции и собственные значения
u  u  0, x  0, a , y  0, b, z  0, c,

u x x 0  u x  a  0, u z 0  u z z c  0,

u y 0  u y b  0
2. Решить задачу Лапласа
u  0, x  0, a , y  0, b

u  V при x  0 и y  0,

u  V0 при x  a и y  b
3. Решить задачу Лапласа внутри круга:
u  0,

r  a, 0    2
 u
 u0 cos 
 r
 r a
4. Решить задачу Лапласа в кольцевом секторе a  r  b, 0     0
u  0,

 u
 sin  , u r b  cos 2  ,

 r r  a
u
 u    0
0
  0
u  u  0, r  a, b,   0,2 

 u
 0, u r  a  0,
5.Решить задачу Штурма-Лиувилля в кольце   u
r b
 r
u r ,    u r ,   2 

6. Решить задачу Штурма-Лиувилля в секторе прямого кругового цилиндра:


u  u  0, r  0, a ,   0, , z  0, l 
 u
u
 0, u  0 
0


r


r

a

 

u
 u  u

 0,
 z
z z l
z 0
7. Решить задачу Лапласа в секторе цилиндра:


u  0, r  0, a ,   0,  , z  0, l 

5
3z
cos
,
u r  a  2 sin
2
2l

 u
u
 u z l  0, u  0 
0

  
 z z 0
8. Решить задачу Штурма-Лиувилля в шаре:
u  u  0, r  0, a ,   0,2 ,  0,  

 u  ,

u r ,  ,   u r ,   2 , ,

 u  u
0
 r
r a
9.Решить задачу Лапласа в шаровом слое:
u  0, r  a, b,   0,2 ,  0,  

 u  ,

u r ,  ,   u r ,   2 , ,

u
u
 1,
 P32  cos  sin 2
 r  a
r r b
10.Решите задачу в цилиндре
r  (0,3),  0, 2  , z  0,3

 5 2 
t
r  cos 2 sin  z;
ut  u  2e J 2 

 3 

u z 0  0, u r 3  0,

u t 0  0,

 0
u  3J  3 r  , где J   n   0
0
n
k
 3 
 z 3



 
11.Решите задачу в круге
2

u t  a u; 0  r  2; t  0


u r r 2  3 cos 3 , u t 0  0.
12.Решите задачу в шаре
u tt  u; 0  r  4; t  0

1
u r  4  P3 cos   cos  ,

u t 0  u t t 0  0.
13. Решите задачу на полупрямой:
ut  a 2u xx  u0e 2 x , x  0, t  0;

u t 0  0; u x x 0  0.
14. Найдите ux, t  в момент времени t 
3
:
2a
utt  a 2u xx , x  0, t  0,

u  u0 sin x, x  [0, 2 ]
 t 0 0,
x  [0, 2 ]


u
 0, x  0,
 t t 0
u x
 x 0  u0 cos t , t  0.
15.Решите задачу в кольце:
u  25u  0, r  1, 2,   0, 2 ,

u r 1  2,

u r 2  3 sin 2.
16.Решите задачу в шаре радиуса 1:

u  11 2 u  0,

1
u r 1  P1 cos   cos  , u  ,

где J 1 2  1 2    0, k  1,2,...

 k 
17.Решите задачу вне круга:
u  u  0, r  2,   0, 2 ,

2
u r 2  cos  ,

u  0 при r  .
Итоговая аттестация экзамен.
Перечень вопросов к экзамену:
1 . Напишите общий вид уравнения в частных производных n-го порядка.
2. Напишите общий вид линейного относительно старших производных уравнения в
частных производных n-го порядка.
3. Напишите общий вид линейного уравнения в частных производных n-го порядка.
4. Напишите общий вид квазилинейного уравнения в частных производных n-го порядка.
5. Напишите общий вид уравнения специальных функций.
6. Что такое особые точки решения уравнения специальных функций?
7. Сформулируйте теорему о поведении решений уравнения специальных функций в
особых точках.
8. Какие особые точки имеют решения уравнения Бесселя?
9. Что такое цилиндрические функции? Приведите примеры.
10. Дайте определение функции Бесселя.
11. Сформулируйте основные свойства гамма-функции.
12. Постройте степенной ряд для функции Бесселя.
13. Напишите формулу, связывающую функции Бесселя порядков n и -n.
14. Напишите рекуррентные формулы для функции Бесселя.
15. Напишите формулы для функций Бесселя порядков 1/2 и -1/2. Всегда ли функции
Бесселя полуцелого порядка можно выразить через элементарные функции?
16. Напишите интегральное представление для функции Бесселя.
17. Дайте определение функции Ханкеля.
18. Как связаны между собой функции Ханкеля положительного и отрицательного
индексов?
19. Напишите рекуррентные формулы для функции Ханкеля.
20. Как связаны функции Бесселя и функции Ханкеля?
21. Дайте определение функции Неймана.
22. Как связаны между собой функции Бесселя, Неймана и Ханкеля?
23. Какие из цилиндрических функций являются линейно независимыми, а какие линейно зависимыми?
24. Напишите фундаментальную систему решений уравнения Бесселя.
25. Напишите определители Вронского для функций Бесселя и Ханкеля и для функций
Бесселя положительного и отрицательного индексов.
26. Напишите асимптотическую формулу метода перевала.
27. Напишите асимптотические формулы при больших значениях аргумента для функций
Ханкеля первого и второго рода.
28. Напишите асимптотическую формулу при больших значениях аргумента для функции
Бесселя.
29. Напишите асимптотическую формулу при больших значениях аргумента для функции
Неймана.
30. Опишите поведение функций Бесселя, Неймана и Ханкеля в окрестности нуля.
31. Докажите, что все нули функции Бесселя за исключением точки х=0 являются
простыми.
32. Докажите, что функция Ханкеля не может иметь вещественных нулей.
33. Поставьте задачу на собственные значения для уравнения Бесселя.
34. Напишите формулу для квадрата нормы собственной функции задачи для уравнения
Бесселя в общем случае.
35. Сформулируйте теорему Стеклова в случае задачи на собственные значения для
уравнения Бесселя.
36. Напишите собственные функции задачи на собственные значения для круга.
37. Напишите характеристическое уравнение для определения собственных значений
задачи для круга.
38. Напишите уравнение для цилиндрических функций чисто мнимого аргумента.
39. Дайте определение функции Инфельда.
40. Как связаны между собой функции Инфельда порядков n и -n?
41. Напишите асимптотическую формулу при больших значениях аргумента для функции
Инфельда.
42. Дайте определение функции Макдональда для собственных значений задачи для
полиномов Лежандра
43. Напишите асимптотическую формулу для функции Макдональда.
44. Покажите, что функции Инфельда и Макдональда являются вещественными
функциями чисто мнимого аргумента.
45. Напишите рекуррентные формулы для функций Инфельда и Макдональда.
46. Дайте определение классических ортогональных полиномов.
47. Сформулируйте теорему о нулях классических ортогональных полиномов.
48. Являются ли производные классических ортогональных полиномов классическими
ортогональными полиномами? С каким весом они ортогональны?
49. Напишите уравнение для классических ортогональных полиномов.
50. Поставьте задачу на собственные значения для классических ортогональных
полиномов.
51. Напишите выражение для собственных значений задачи для классических
ортогональных полиномов.
52. Напишите общую формулу для классических ортогональных полиномов (общую
формулу Родрига).
53. Напишите выражение для квадрата нормы классических ортогональных полиномов.
54. Дайте определение полиномов Якоби.
55. Напишите общую формулу для полиномов Якоби.
56. Поставьте задачу на собственные значения для полиномов Якоби.
57. Как связаны полиномы Якоби с полиномами Чебышева первого и второго рода?
58. Дайте определение полиномов Лежандра.
59. Поставьте задачу на собственные значения для полиномов Лежандра.
60. Напишите выражение собственных значений для полиномов Лежандра.
61. Напишите выражение квадрата нормы для полиномов Лежандра.
62. Дайте определение обобщенных полиномов Лагерра.
63. Дайте определение полиномов Лагерра.
64. Напишите общую формулу для полиномов Лагерра.
65. Поставьте краевую задачу для полиномов Лагерра.
66. Напишите выражение собственных значений для полиномов Лагерра.
67. Напишите выражение квадрата нормы для полиномов Лагерра.
68. Дайте определение полиномов Эрмита.
69. Напишите общую формулу для полиномов Эрмита.
70. Поставьте краевую задачу для полиномов Эрмита.
71. Напишите выражение собственных значений для полиномов Эрмита.
72. Напишите выражение квадрата нормы для полиномов Эрмита.
73. Дайте определение производящей функции классических ортогональных полиномов.
74. Напишите выражение производящей функции полиномов Лежандра.
75. Напишите выражение производящей функции полиномов Эрмита.
76. Дайте определение замкнутой системы функций.
77. Дайте определение полной системы функций.
78. Напишите равенство Парсеваля.
79. Как определяется функциональное пространство L2 ?
80. Как связаны понятия замкнутости и полноты системы функций в пространстве L2 ?
81. Является ли система полиномов Лежандра замкнутой?
82. Является ли система полиномов Лежандра полной?
83. Сформулируйте теорему Стеклова для полиномов Лежандра.
84. Дайте определение присоединенных функций Лежандра.
85. Напишите уравнение для присоединенных функций Лежандра.
86. Поставьте задачу на собственные значения для присоединенных функций Лежандра.
87. Напишите выражение собственных значений для присоединенных функций Лежандра.
88. Напишите выражение квадрата нормы для присоединенных функций Лежандра.
89. Является ли система присоединенных функций Лежандра замкнутой?
90. Является ли система присоединенных функций Лежандра полной ?
91. Сформулируйте теорему Стеклова для присоединенных функций Лежандра.
92. Дайте определение сферических функций.
93. Поставьте задачу на собственные значения для сферических функций.
94. Является ли система сферических функций замкнутой?
95. Является ли система сферических функций полной?
96. Напишите соотношение ортогональности для сферических функций.
97. Напишите выражение квадрата нормы для сферических функций.
98. Сформулируйте теорему Стеклова для сферических функций.
99. Дайте определение шаровых функций.
100. Являются ли шаровые функции собственными функциями соответствующей задачи
на собственные значения?
101. Является ли шаровая функция гармоническим полиномом?
102. Напишите собственные функции шара.
103. Напишите трансцендентное уравнение для определения собственных значений шара
в случае граничных условий Дирихле.
104. Напишите трансцендентное уравнение для определения собственных значений шара
в случае граничных условий Неймана.
105. Что такое характеристики уравнения в частных производных второго порядка в
случае двух переменных?
106. Дайте определения уравнениям эллиптического, гиперболического и
параболического типов в случае двух переменных.
107. Напишите каноническую форму уравнений эллиптического, гиперболического и
параболического типов в случае двух переменных.
108. Напишите каноническую форму уравнений эллиптического, гиперболического и
параболического типов в случае многих переменных.
109. Можно ли привести уравнение в частных производных к каноническому виду всюду
в области, в которой уравнение принадлежит к одному типу, в случае многих
переменных?
110. Что такое уравнение смешанного типа? Приведите пример.
111. Что такое начальные условия? Приведите примеры.
112. Что такое граничные условия? Приведите примеры.
113. Что такое начально-краевая задача?
114. Дайте определение корректно поставленной задачи по Адамару.
115. Дайте определение классического решения начально-краевой задачи.
116. Напишите уравнение колебаний.
117. Напишите уравнение теплопроводности.
118. Напишите уравнение Пуассона.
119. Напишите уравнение Лапласа.
120. Напишите уравнение Гельмгольца.
121. Что такое редукция общей начально-краевой задачи?
122. Изложите общую схему метода разделения переменных (метода Фурье).
123. Напишите общую задачу на собственные значения.
124. Перечислите свойства собственных функций и собственных значений.
125. Изложите применение метода Фурье в случае неоднородных граничных условий.
126. Дайте определение гармонических функций. Приведите примеры.
127. Что такое фундаментальное решение уравнения Лапласа?
128. Напишите первую формулу Грина. Каковы условия ее применимости?
129. Напишите вторую формулу Грина. Каковы услови ее применимости?
130. Напишите третью формулу Грина.
131. Сформулируйте теорему Гаусса для гармонических функций.
132. Сформулируйте теорему о среднем для гармогических функций.
133. Является ли гармоническая функция бесконечно дифференцируемой?
134. Сформулируйте принцип максимума для гармонических функций.
135. Сформулируйте принцип сравнения для гармонических функций.
136. Сформулируйте теорему единственности решения внутренней краевой задачи для
уравнения Лапласа в случае граничных условий Дирихле. Каким методом она
доказывается?
137. Сформулируйте теорему единственности решения внутренней краевой задачи для
уравнения Лапласа в случае граничных условий третьего рода. Каким методом она
доказывается?
138. Имеет ли место единственность решения внутренняя краевая задача Дирихле для
уравнения Лапласа в случае граничных условий второго рода?
139. Дайте определение регулярной на бесконечности функции в случае трех переменных.
140. Дайте определение регулярной на бесконечности функции в случае двух переменных.
141. Сформулируйте теорему единственности решения внешней задачи Дирихле для
уравнения Лапласа в трехмерном случае.
142. Сформулируйте теорему единственности решения внешней задачи Дирихле Лапласа
в двумерном случае.
143. Для каких функций во внешней области справедливы формулы Грина?
144. Сформулируйте теорему единственности решения внешней краевой задачи с
граничными условиями третьего рода для уравнений Лапласа.
145. Имеет ли место единственность решения внешней краевой задачи с граничными
условиями Неймана для уравнения Лапласа в трехмерном случае?
156. Дайте определение функции Грина внутренней задачи Дирихле для уравнения
Лапласа в трехмерном случае.
157. Напишите краевую задачу для функции Грина внутренней задачи Дирихле для
уравнения Лапласа в трехмерном случае.
158. Дайте определение функции Грина внутренней задачи Дирихле для уравнения
Лапласа в двумерном случае.
159. Напишите краевую задачу для функции Грина внутренней задачи Дирихле для
уравнения Лапласа в двумерном случае.
160. Что такое метод электростатических изображений? Для чего он применяется?
161. Напишите функцию Грина задачи Дирихле для уравнения Лапласа для верхнего
полупространства.
162. Напишите функцию Грина задачи Дирихле для уравнения Лапласа для шара.
163. Можно ли построить функцию Грина для уравнения Лапласа в случае граничных
условий Неймана аналогично тому, как строится функция Грина в случае граничных
условий Дирихле? Если нет, то почему?
164. Напишите краевую задачу для функции Грина внутренней задачи Неймана для
уравнения Лапласа в трехмерном случае.
165. Для каких функций можно ввести функцию Грина во внешней области?
166. Напишите функцию Грина задачи Неймана для уравнения Лапласа для верхнего
полупространства.
167. Дайте определение объемного потенциала. Перечислите его основные свойства.
168. Сформулируйте теорему о равномерной сходимости в точке несобственного
интеграла, зависящего от параметра.
169. Дайте определение поверхностного потенциала простого слоя.
170. Дайте определение поверхностного потенциала двойного слоя.
171. Дайте определение логарифмического потенциала простого слоя.
172. Дайте определение логарифмического потенциала двойного слоя.
173. Дайте определение поверхности Ляпунова.
174. Сформулируйте теорему о существовании и непрерывности потенциала простого
слоя.
175. Сформулируйте теорему о существовании потенциала двойного слоя.
176. Претерпевает ли разрыв при переходе через несущую поверхность потенциал
простого слоя?
177. Чему равно значение потенциала двойного слоя с постоянной плотностью внутри, на
и вне несущей поверхности?
178. Напишите формулу скачка потенциала двойного слоя при переходе через несущую
поверхность.
179. Напишите формулу скачка нормальной производной потенциала простого слоя при
переходе через несущую поверхность.
180. Напишите формулу скачка логарифмического потенциала двойного слоя при
переходе через несущую кривую.
181. Напишите формулу скачка нормальной производной логарифмического потенциала
простого слоя при переходе через несущую кривую.
182. Дайте определение полярного ядра и определение слабополярного ядра.
183. Напишите два союзных интегральных уравнения Фредгольма, к которым сводятся
внутренняя задача Дирихле и внешняя задача Неймана для уравнения Лапласа.
184. Напишите два союзных интегральных уравнения Фредгольма,к которым сводятся
внутренняя задача Неймана и внешняя задача Дирихле для уравнения Лапласа.
185. Сформулируйте теорему существования решений внутренней задачи Дирихле и
внешней задачи Неймана.
186. Сформулируйте теорему существования решений внутренней задачи Неймана и
внешней задачи Дирихле.
187. Напишите необходимое условие разрешимости внутренней задачи Неймана.
188. Что такое потенциал Робена? Каков его физический смысл?
189. Перечислите основные свойства собственных функций и собственных значений
задачи на собственные значения для оператора Лапласа с граничными условиями
Дирихле.
190. Напишите фундаментальные решения уравнения Гельмгольца в трехмерном и
двумерном случаях.
191. Дайте определение объемного потенциала для уравнения Гельмгольца.
192. Дайте определение потенциалов простого и двойного слоя для уравнения
Гельмгольца.
193. Выполняется ли принцип максимума для уравнения Гельмгольца ? Если да, то в
каком случае?
194. В каком случае имеет место единственность решения внутренних краевых задач для
уравнения Гельмгольца? Приведите формулировки соответствующих теорем.
195. Сформулируйте общую начально-краевую задачу для уравнения параболического
типа.
196. Дайте определение классического решения начально-краевой задачи для уравнения
параболического типа.
197. Сформулируйте принцип максимума для уравнения параболического типа.
198. Сформулируйте принцип сравнения для уравнения параболического типа.
199. Сформулируйте теорему единственности решения внутренней начально- краевой
задачи Дирихле для уравнения параболического типа.
200. Сформулируйте теорему устойчивости решения внутренней начально-краевой задачи
Дирихле для уравнения параболического типа.
201. Сформулируйте теорему существования классического решения начально-краевой
задачи Дирихле для однородного уравнения теплопроводности на отрезке.
202. Напишите функцию Грина для уравнения теплопроводности.
203. Напишите функцию Грина для уравнения теплопроводности на отрезке в случае
граничных условий Дирихле.
204. Поставьте начальную задачу для уравнения тепловодности на бесконечной прямой.
205. Сформулируйте теорему единственности решения начальной задачи для уравнения
теплопроводности на бесконечной прямой. Каким методом она доказывается?
206. Сформулируйте теорему существования классического решения задачи Коши для
уравнения теплопроводности на бесконечной прямой.
207. Что такое фундаментальное решение уравнения теплопроводности на бесконечной
прямой ?
208. Перечислите основные свойства фундаментального решения уравнения
теплопроводности на бесконечной прямой.
209. Что такое "парадокс бесконечной теплопроводности" ? Чем его можно объяснить ?
210. Поставьте начально-краевую задачу для уравнения теплопроводности на
полубесконечной прямой.
211. В чем заключается "метод продолжения" для построения решения начально-краевой
задачи для уравнения теплопроводности на полупрямой ?
212. Напишите функцию Грина для уравнения теплопроводности на полупрямой в случае
граничных условий Дирихле.
213. Напишите функцию Грина для уравнения теплопроводности на полупрямой в случае
граничных условий Неймана.
214. Напишите общий вид решения начально-краевой задачи для неоднородного
уравнения теплопроводности на полупрямой в случае однородных граничных условий.
215. Поставьте начальную задачу для уравнения теплопроводности в пространстве.
216. Сформулируйте теорему единственности решения начальной задачи для уравнения
теплопроводности в пространстве.
217. Сформулируйте теорему существования классического решения задачи Коши для
уравнения теплопроводности в пространстве.
218. Сформулируйте лемму о том, какой вид имеет фундаментальной решение уравнения
теплопроводности в пространстве, если начальная функция имеет вид произведения трех
одномерных функций.
219. Напишите функцию Грина для уравнения теплопроводности в верхнем
полупространстве в случае граничных условий Дирихле.
220. Напишите общий вид решения начально-краевой задачи для однородного уравнения
теплопроводности на полубесконечной прямой в случае однородного начального условия
и неоднородного граничного условия Дирихле.
221. В чем состоит принцип Дюамеля?
222. Поставьте общую начально-краевую задачу для уравнения гиперболического типа.
223. Дайте определение классического решения начально-краевой задачи для уравнения
гиперболического типа.
224. Сформулируйте теорему единственности решения общей начально-краевой задачи
для уравнения колебаний. Каким методом она доказывается ?
225. Сформулируйте теорему существования классического решения начально-краевой
задачи для однородного уравнения колебаний на отрезке в случае однородных граничных
условий Дирихле.
226. Дайте определение функции влияния мгновенного точечного импульса (функции
Грина) на отрезке.
227. Поставьте начальную задачу для уравнения колебаний на бесконечной прямой.
228. Напишите формулу Даламбера.
229. В чем состоит "метод распространяющихся волн"?
230. Сформулируйте теорему существования и единственности классического решения
задачи Коши для однородного уравнения колебаний на бесконечной прямой.
231. Сформулируйте теорему устойчивости решения задачи Коши для уравнения
колебаний на бесконечной прямой.
232. Дайте физическую интерпретацию решения однородного уравнения колебаний на
фазовой плоскости.
233. Что такое характеристический треугольник ?
234. В чем состоит "метод интегрирования по фазовой плоскости" ?
235. Напишите общую формулу решения начальной задачи для неоднородного уравнения
колебаний на бесконечной прямой.
236. Сформулируйте теорему существования и единственности классического решения
неоднородного уравнения колебаний на бесконечной прямой.
237. Сформулируйте лемму о свойстве решения задачи Коши для однородного уравнения
колебаний на бесконечной прямой в случае четных начальных функций.
238. Сформулируйте лемму о свойстве решения задачи Коши для однородного уравнения
колебаний на бесконечной прямой в случае нечетных начальных функций.
239. В чем состоит "метод продолжения" построения решения начально-краевой задачи
на полупрямой в случае однородных граничных условий Дирихле и Неймана?
240. Напишите решение начально-краевой задачи для однородного уравнения колебаний
на полупрямой в случае однородного начального условия и неоднородного граничного
условия Дирихле. Каким методом можно его получить?
241. Поставьте задачу Коши для уравнения колебаний в пространстве.
242. Напишите формулу Пуассона, выражающую решение задачи Коши для уравнения
колебаний в трехмерном пространстве.
243. В чем состоит "метод спуска"?
244. Напишите формулу Пуассона, выражающую решение задачи Коши для уравнения
колебаний в двумерном пространстве.
Скачать