О пользе вневписанных окружностей

МУНИЦИПАЛЬНОЕ БЮДЖЕТНОЕ
ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
«СРЕДНЯЯ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ШКОЛА №12
ГОРОДА ГОРНО-АЛТАЙСКА»
Вневписанная окружность.
Реферат по математике
Воробьев Александр Сергеевич
обучающийся 11 класса
МБОУ «СОШ №12 г.Горно-Алтайска»
Левченко Светлана Николаевна
учитель математики
ВКК
МБОУ «СОШ №12 г.Горно-Алтайска»
Горно-Алтайск 2012
1
Содержание
1. Введение ........................................................................................ 2
2. Вневписанная окружность как вспомогательный элемент в геометрии
треугольника ............................................................................... 4
2.1 Определение вневписанной окружности
2.2 Свойства вневписанной окружности
3. Вневписанная окружность в задачах ...................................... 6
3.1 Задачи на доказательство
3.2 Задачи на построение
3.3 Задачи на вычисление
4. Программа построения вневписанных окружностей ......... 11
5. Заключение................................................................................... 12
6. Список использованной литературы ...................................... 13
7. Приложение ................................................................................. 14
Введение
2
“Геометрия является самым могущественным средством для изощрения
наших умственных способностей и дает нам возможность правильно мыслить и
рассуждать”. Г. Галилей
Простейший из многоугольников — треугольник — играет в геометрии
особую роль. За несколько тысячелетий геометры столь подробно изучили
треугольник, что можно говорить о «геометрии треугольника».
Первые упоминания о треугольнике и его свойствах мы находим в египетских
папирусах, которым более 4000 лет. Через 2000 лет в Древней Греции изучение
свойств треугольника достигает высокого уровня — достаточно вспомнить
теорему Пифагора и формулу Герона.
Центральное место в геометрии треугольника занимают свойства так называемых
замечательных точек и линий:

три серединных перпендикуляра к сторонам треугольника пересекаются в
одной точке-центре описанной около треугольника окружности;

биссектрисы трех внутренних углов треугольника пересекаются в одной
точке — центре вписанной в треугольник окружности;
Эта окружность, найденная в XVIII в. великим ученым Л. Эйлером "(поэтому
ее часто также называют окружностью Эйлера), была заново открыта немецким
математиком XIX века К. Фейербахом. Дополнительно К. Фейербах выяснил, что
окружность девяти точек имеет еще четыре точки, тесно связанные с геометрией
любого данного треугольника. Это точки ее касания с четырьмя окружностями.
Одна из этих окружностей вписанная, остальные три — вневписанные.
Решение некоторых геометрических задач и, прежде всего, задач на
построение, связано с использованием понятия вневписанной окружности,
которая представляется изысканным элементом геометрии треугольника. При
более подробном знакомстве с вневписанной окружностью можно увидеть в ней
скрытую красоту и силу, можно применять ее в решении геометрических задач.
3
Цель данной работы: изучить свойства вневписанной окружности и
применить их при решении геометрических задач
Задачи:
1. Изучить специальную математическую литературу по данной теме
2. Изложить задачи, приводящие к понятию вневписанной окружности
3. Доказать свойства вневписанной окружности, показать ее связь с основными
элементами треугольника
4. Применить свойства вневписанной окружности при решении задач на
доказательство, построение и вычисление.
Методы исследования: Изучение специальной литературы, метод анализа,
метод систематизации и обобщения
Практическая значимость работы заключается в подборе редкого материала
по теме, не изучаемой в школьном курсе геометрии. Можно рассматривать
вневписанную окружность как подспорье в решении геометрических задач на
уроках, использовать изученный материал для занятий математического кружка и
факультатива, применять ее свойства при подготовке к олимпиадам.
Вневписанная окружность представляется в некотором смысле изысканным
элементом геометрии треугольника. Знакомство с ней зачастую ограничивается
определением, нахождением ее центра и решением нескольких популярных задач,
встречающихся на конкурсных экзаменах. Однако, как нам кажется, «взяв
правильный угол сердца» к вневписанной окружности, мы увидим в ней скрытую
красоту
и
силу,
станем
рассматривать
ее
как
подспорье
в
решении
геометрических задач.
4
2. Вневписанная окружность
2.1 Определение вневписанной окружности
Вневписанной
окружностью
называется
окружность,
касающаяся
стороны треугольника и продолжений двух других сторон.
Отметим, что для каждого треугольника существуют три вневписанные
окружности, их радиусы будем обозначать ra, rb и rc в зависимости от того, какой
стороны треугольника они касаются.
2.2 Свойства вневписанной окружности
Теорема 1. Биссектриса внутреннего угла ВАС треугольника ABC и
биссектрисы двух внешних углов при вершинах В и С пересекаются в одной
точке.
Доказательство. Проведем внешние биссектрисы из вершин В и С . Пусть они
пересекаются в точке Jа . Докажем, что биссектриса угла ВАС проходит через
точку J a . Все точки биссектрисы равноудалены от
сторон угла, значит, расстояния от точки J а
до
прямых ВС и АС равны, так как J a лежит на
биссектрисе
угла
ВСТ1.
Аналогично,
равны
расстояния от точки Jа до прямых ВС и АВ. Тогда
очевидно, что точка равноудалена от прямых АС и
АВ, т. е . лежит на биссектрисе угла ВАС.
Из теоремы 1 следует, что существует окружность с центром в точке J a ,
касающаяся прямых АС, АВ и ВС.
Теорема 2. Пусть Т1 - точка касания вневписанной окружности с
продолжением стороны АС треугольника ABC. Тогда длина отрезка АТ1 равна
полупериметру треугольника ABC.
5
Доказательство. Пусть Т2 и Т3 - точки касания
вневписанной окружности с прямыми АВ и ВС
соответственно. Тогда СТ1 = СТ 3 , ВТ2 = ВТ3 и
периметр треугольника ABC равен 2р=АС+ СТ3 +
BT3 + АВ=АС+СТ 1 + АВ + ВТ2 = AT1 + АТ2. А так
как АТ1 = АТ2, то р = AT1 , что и требовалось доказать.
Теорема 3. Площадь S треугольника ABC равна S = rа (р — а).
Доказательство. Легко видеть, что
S  S ABC  S J aCA  S J a BA  S J aCB 
1
1
1
ra b  ra c  ra a  ra ( p  a ).
2
2
2
Теорема 4. Пусть К - точка касания вписанной окружности со стороной ВС,
KR - диаметр вписанной окружности. Тогда точки A, R и Т3 лежат на одной
прямой.
Доказательство. Пусть прямая AR пересекает ВС в
некоторой точке X. Докажем, что X совпадает с Т3.
Проведем через R прямую, параллельную ВС.
Обозначим ее точки пересечения с АС и АВ через М
и N соответственно. Окружность, вписанная в ABC,
является вневписанной для AMN. Но ABC и ANM
гомотетичны. Следовательно, окружность,
вневписанная в ABC, будет касаться ВС в точке X. Таким образом, X совпадает с
Т3.
6
3. Вневписанная окружность в задачах
3.1 Задачи на доказательство.
Отметим, что условия следующих задач не содержат термина «вневписанная
окружность». Она появляется в решении как вспомогательная фигура.
Задача 1. Из точки А к данной окружности проведены касательные АТ1 и АТ2.
К окружности проведена касательная, пересекающая отрезки АТ 1 и АТ2 в точках
ВиС. Докажите, что периметр треугольника ABC не зависит от положения
касательной.
Решение. По теореме 2, независимо от положения касательной, периметр
треугольника ABC равен удвоенной длине отрезка АТ 1 .
Задача 2. К двум непересекающимся окружностям
проведены две общие внешние касательные и общая
внутренняя касательная. Докажите, что отрезок
внутренней касательной, заключенный между
внешними касательными, равен отрезку внешней
касательной, заключенному между точками касания.
Решение. Пусть O1 и O2 - данные окружности, а точки касания окружностей с
первой внешней касательной - А и B, со второй - С и D (рис.4). Пусть также
внутренняя касательная пересекает внешние в точках М и N. Продолжим прямые
АВ и CD до их пересечения в точке К. Тогда окружность O2 является вписанной в
треугольник MNK, а окружность O1 - вневписанной. Обозначим сторону MN
треугольника MNK через а и его полупериметр через р. Тогда АК = р и ВК = р - а.
Значит, АВ = а, т.е. АВ = = MN.
Задача 3. Докажите формулу Герона для площади треугольника:
S
p( p  a)( p  b)( p  c)
7
Решение. Воспользуемся обозначениями данного
рисунка. Треугольники CJaT1 и СОК подобны.
Значит, СТ1/rа = r/СК.
Но СК = р - с, а С Т 1 = р - АС = р - b .
Откуда (p - b ) / r a = r / (р - c), или r r a = ( р - с ) ( р b).
Но r a = S / ( p - а ) (теорема 3), а r = S / p , значит,
rra 
S
S
  ( p  c)( p  b)
( p  a) p
Отсюда и следует формула Герона.
S  p( p  a)( p  b)( p  c)
Задача 4. Докажите, что прямая, проходящая через середину стороны ВС и
точку пересечения биссектрис треугольника ABC, отсекает на высоте,
проведенной к стороне ВС, отрезок, равный радиусу вписанной в этот
треугольник окружности.
Решение. Обозначим середину стороны ВС
через М1, центр вписанной окружности через О, а
точку пересечения прямой М1О с высотой АН1
через Е. Через точку К1 касания вписанной
окружности со стороной ВС проведем диаметр
вписанной окружности K1R. По теореме 4 точки
А, R и Т1 лежат на одной прямой. Отрезок СТ1 равен р - b (см. решение задачи 2).
Но и отрезок ВК1 также равен р - b. Значит, точка М1 является серединой отрезка
Т1K1. Следовательно, М1О - средняя линия треугольника T1RK1. Значит, М1О || RТ1 .
А поскольку АН1 || RK1, то RAEO - параллелограмм. Т.е. отрезок АЕ равен радиусу
вписанной окружности, что и требовалось доказать.
8
Задача 5. Докажите формулу для площади треугольника:
S = R • pH,
где R - радиус описанной окружности, а pH - полупериметр треугольника,
образованного основаниями высот данного треугольника.
Решение. Известно, что углы Н1Н2Н3 равны 180° 2А, 180° - 2В, 180° - 2С и что высоты
треугольника ABC являются биссектрисами углов
Н1Н2Н3. Угол ТН2Н3 - смежный с углом H3H2H1,
Н2В - биссектриса угла Н3Н2Н1, а угол ВН2А прямой; следовательно, Н2А - биссектриса угла
ТН2Н3. А значит, точка А - центр вневписанной
окружности треугольника Н1Н2Н3. Следовательно, отрезок Н 1 Т равен рH. Из
прямоугольного треугольника АН1Т имеем:
pH = ha cosAH1T = ha cos(90° - A) = ha sin A
где ha - высота к стороне ВС, a - длина стороны ВС, А - величина угла ВАС.
Отсюда и следует доказываемая формула S = RpH.
3.2 Задачи на построение
Задача 1. Внутри угла с вершиной А дана точка М. Через точку М проведите
прямую так, чтобы она отсекала треугольник наименьшего периметра.
Решение. Проведем через точку М произвольную
прямую, пересекающую стороны угла в точках В и
С. Построим вневписанную окружность
треугольника ABC, касающуюся прямой АС в точке
Т. Тогда периметр треугольника ABC равен 2AT
(теорема 2). Для того чтобы построить треугольник с
наименьшим периметром, надо прямую ВС провести так, чтобы отрезок AT, а
значит и радиус вневписанной окружности, имел наименьшее значение. Это будет
тогда, когда вневписанная окружность проходит через точку М. Итак, для
построения треугольника с наименьшим периметром необходимо построить
9
окружность, проходящую через точку М и касающуюся сторон угла (это известная задача, решаемая с помощью гомотетии), затем провести к окружности
касательную в точке М. Проведенная касательная - искомая прямая.
Задача 2. Постройте треугольник, если дана сторона, противолежащий ей
угол треугольника и сумма двух других сторон.
Решение. Пусть дана сторона a, угол А и сумма сторон b + с. Тогда известна
длина полупериметра искомого треугольника р = (а + b + с)/2. Значит,
известны положения точек Т1 и Т2 на сторонах угла А. Восставив перпендикуляры
в этих точках к сторонам угла А, на их пересечении получим центр вневписанной
окружности, а значит, вневписанная окружность построена. Расстояние от точки
Т1 до точки касания вписанной окружности равно а. Следовательно, мы можем
найти точки касания вписанной окружности искомого треугольника со сторонами
угла A и построить саму вписанную окружность. Общая внутренняя касательная к
построенным окружностям отсекает на сторонах угла искомый треугольник.
3.3 Задачи на вычисления:
Задача 1. Дан квадрат ABCD со стороной а. На сторонах ВС и CD даны точки
М и N такие, что периметр треугольника CMN равен 2а. Найдите угол MAN.
Решение. Расстояния от вершины С треугольника CMN до
точек В и D равны его полу периметру. Значит, В и D - точки
касания вневписанной окружности, а ее центр находится в
вершине А квадрата ABCD. Тогда AM и AN - биссектрисы
углов BMN и MND соответственно.
Далее, CMN + CNM = 90°, значит,
AMN + MNA = 180° - (CMN + CNM)/2 = 135°. Откуда
MAN = 180° - (AMN + MNA) = 45°.
Задача 2. В прямой угол с вершиной С вписаны две окружности, которые не
пересекаются. К этим окружностям проведена общая касательная, которая
пересекает угол в точках А и В. Найдите площадь треугольника ABC, если
радиусы окружностей равны R1 и R2.
10
Решение. Отрезок СТ1 (Т1 — точка касания прямой
СВ и окружности радиуса R2) равен R2. Но окружность
радиуса R2 является вневписанной окружностью
треугольника АВС. Значит, СТ1 - полупериметр
треугольника
произведение
ABC.
Его
радиуса
площадь
находим
как
круга
на
вписанного
полупериметр:
S = rp = R1R2
Задача 3. В равносторонний треугольник вписана окружность. Этой
окружности и сторон треугольника касаются три малые окружности.
Найдите сторону треугольника, если радиус малой окружности равен r.
Решение. Обозначим через а длину стороны
треугольника. Тогда радиус окружности, вписанной в
данный треугольник ABC, равен . Проведем общую
касательную MN к большому и малому кругам.
Очевидно, что MN || АВ. Тогда треугольники MNC и
ABC подобны. А значит, отношение радиусов
вписанных в них окружностей равно отношению их периметров, т. е.
r
a 3/6

a
,
a  6 3r.
3a откуда
Задача 4. В треугольнике ABC проведены биссектрисы AL1 и BL1. Найдите угол
A, если известно, что L1L2 - биссектриса угла AL1C.
Решение. Точка L2 по условию лежит на пересечении биссектрисы внутреннего
угла AВС и биссектрисы внешнего угла AL1C треугольника ABL1. Значит, точка L2
является центром вневписанной окружности треугольника ABL1. Следовательно,
AL2 - биссектриса внешнего угла А треугольника ABL1. Несложно заметить, что в
этом случае угол А равен 120°.
11
4. Программа построения вневписанных окружностей
Программа была создана в среде разработки Borland Turbo Delphi с целью
наглядной иллюстрации определения центров вневписанных окружностей и
построение данных окружностей. (см. приложение)
Скриншот
12
5. Заключение.
Изучив свойства вневписанной окружности, мы в данной работе кратко
изложили задачи, приводящие к понятию вневписанной окружности, доказали ее
свойства, показали ее связь с элементами треугольника и применили их к
решению геометрических задач. Изученные свойства были применены при
решении задач на доказательство, вычисление и построение. Работая над данной
темой, я научился лучше рассуждать, анализировать и систематизировать и
надеюсь, что опыт выполнения этой работы пригодится мне в будущем.
Изящество
и
красота
применения
окружности
создают
ощущение
элитарности. К сожалению, в школьной программе этой фигуре уделяется
незначительное время и внимание, а про вневписанную окружность и не
упоминается.
13
6. Список использованной литературы.
1. Билецкий, Ю. Квант / Ю. Билецкий // О пользе вневписанной окружности. 2001. - №2. –С.28-30.
2. Березин, В.И. Сборник задач для факультативных и внеклассных занятий по
математике / В.И. Березин. – Москва: Просвещение, 1985 год.
3. Гнеденко, Б.Г. Энциклопедический словарь юного математика / Б.Г. Гнеденко. –
Москва: Просвещение, 1985 год
4. Понарин, Я.П. Элементарная геометрия / Я.П. Понарин. – Москва: МЦНМО,
2004 год.
14
Рецензия
На работу «Вневписанная окружность» Воробьева Александра, обучающегося
11 класса МБОУ «СОШ №12 г. Горно-Алтайска».
Данная работа посвящена одной из интересных тем математики «решение задач
с использованием свойств вневписанной окружности».
Цель автора работы: изучить свойства вневписанной окружности и
применить их при решении геометрических задач.
Исходя из цели, выделены следующие задачи:
1. Изучить специальную математическую литературу по данной теме
2. Изложить задачи, приводящие к понятию вневписанной окружности
3. Доказать свойства вневписанной окружности, показать ее связь с основными
элементами треугольника
4. Применить свойства вневписанной окружности при решении задач на
доказательство, построение и вычисление.
В основной части работы сформулированы и доказаны свойства вневписанной
окружности, а так же рассмотрено большое количество задач на доказательство,
вычисление и построение, при решении которых используется вневписанная
окружность.
Практическая значимость работы заключается в подборе редкого материала
по теме, не изучаемой в школьном курсе геометрии. Можно рассматривать
вневписанную окружность как подспорье в решении геометрических задач на
уроках, использовать изученный материал для занятий математического кружка и
факультатива, применять ее свойства при подготовке к олимпиадам.
Материал
излагается
последовательно,
согласно
плану.
К
работе
прилагается список используемой литературы.
Учитель математики ВКК
МБОУ «СОШ №12 г. Горно Алтайска»
__________Баженова Л.И.
15
16