Лопушенко И.В.

Гибридная схема метода дискретных источников для анализа граничных задач
нанооптики и плазмоники
Лопушенко Иван Владимирович
Аспирант
Московский государственный университет имени М.В.Ломоносова,
физический факультет, Москва, Россия
E-mail: [email protected]
Изучение рассеивающих свойств нанопленок и наночастиц имеет огромный
потенциал для практических приложений в современной нанооптике. Плазмонные
резонансы в пленках и отдельных частицах интенсивно изучаются исследователями с
целью разработки перспективных инновационных устройств [1]. Особую роль
применительно к предсказанию функциональных свойств подобных устройств играет
математическое моделирование, для проведения которого необходимы строгие
вычислительные методы, допускающие эффективную численную реализацию и
позволяющие получать корректные результаты с контролем точности. В настоящей
работе предлагается численный алгоритм решения задачи дифракции световых волн
тонкими проницаемыми наночастицами на подложке, получивший название гибридной
схемы метода дискретных источников (МДИ).
МДИ является одним из известных численных методов, эффективно решающих
задачу дифракции электромагнитных волн на рассеивающих структурах произвольной
формы [2]. Его ключевыми особенностями являются возможность проведения
апостериорной оценки погрешности результата, невысокие требования к
вычислительным ресурсам и аналитический способ учета взаимодействия между
рассеивателем и подложкой. Рассеянное поле в рамках МДИ представляется в виде
линейной комбинации полей дискретных источников (ДИ), которые могут быть
расположены внутри рассеивателя различными способами. Классический способ
размещения дипольных дискретных источников на вспомогательной поверхности не
дает возможности проводить точные вычисления для тонких наноструктур, поскольку
при уменьшении поперечного диаметра частиц источники становятся линейно
зависимыми. В связи с этим появилась потребность в разработке специальной
модификации МДИ (гибридной схемы), в которой дипольные источники располагаются
вдоль линии внутри рассеивателя и остаются линейно независимыми при уменьшении
толщины структуры.
Задача дифракции плоской линейно поляризованной волны {E0 ,H0} на локальном
объекте в слоистой среде формулируется в нашем случае следующим образом. Пусть
задана среда с двумя однородными изотропными слоями D0,1 , плоскостью границы
раздела  , и однородной проницаемой частицей Di с гладкой границей Di  C 2 вблизи 
в верхнем полупространстве D0 . Полагая все необходимые параметры системы
известными и вводя цилиндрическую систему координат (  ,  , z ) , в которой ось z
направлена перпендикулярно границе раздела полупространств {  : z  0 } в D0 ,
математическую постановку задачи рассеяния плоской волны {E0 ,H0} , падающей под
углом   0 относительно оси z на частицу Di , можно записать в виде:
rot H   jk  E ;
rot E   jk H  (в D ,   0,1, i ),
n p  Ei ( p)  E0 ( p)  0,
e z  E 0 ( p )  E1 ( p)   0,
p ;
p  Di ;
n p  H i ( p)  H 0 ( p)  0,
e z  H 0 ( p )  H1 ( p )   0,
r


lim r    0 E 0s    0 H 0s   0, r  M  , z  0;
r


r 
( E1s , H1s )   (exp{ Im k1 r}),
z  0.
Здесь
{E ,H }
 полное поле в соответствующей области
D
,
{Es , Hs }
 рассеянное
 единичная нормаль к поверхности Di , k       , M – некоторая точка
соответствующего полупространства D , а параметры сред удовлетворяют
соотношениям Im 0 , 0  0, Im1, 1  0 . Поставленная граничная задача имеет единственное
решение. Временная зависимость выбирается в виде exp( jt ) .
В соответствии с изложенной общей концепцией МДИ приближенное решение
поставленной задачи записывается как суперпозиция полей ДИ, распределённых внутри
рассеивателя и вид которых основан на тензоре Грина полупространства [3]. Такое
выражение для рассеянного поля аналитически удовлетворяет уравнениям Максвелла,
условиям на бесконечности и условиям сопряжения на границе раздела сред  . Для
решения задачи дифракции необходимо определить неизвестные амплитуды ДИ,
аппроксимируя условия сопряжения полей на поверхности тела Di .
Для того, чтобы поле падающей волны можно было аппроксимировать системой ДИ,
требуется полнота и замкнутость этой системы. В случае общей схемы МДИ, в которой
используются расположенные на вспомогательной поверхности внутри Di электрические
дипольные ДИ, полнота и замкнутость системы ДИ доказана [2]. В случае гибридной
схемы МДИ система электрических и магнитных дипольных ДИ, расположенных вдоль
линии внутри рассеивателя, не является полной и не может обеспечивать приближение
поля падающей плоской волны. Тем не менее, в случае частиц с достаточно малым
диаметром поперечного сечения (меньше 16нм при длине волны внешнего возбуждения,
равной 532нм) использование такой системы ДИ является обоснованным и гибридная
схема МДИ является работоспособной, что было показано автором в выпускной
дипломной работе. В настоящее время соответствующие материалы с подробным
математическим обоснованием гибридной схемы МДИ готовятся к публикации в
журнале «Вычислительная математика и кибернетика» вестника МГУ.
Далее, неизвестные амплитуды ДИ определяются с помощью обобщенного метода
коллокаций, который приводит к переопределённой системе уравнений [2]. Решение
такой системы ищется в норме l2 на поверхности частицы методами минимизации
невязки, а вычисление значения поверхностной невязки выполнения граничных условий
на другом наборе точек коллокаций дает апостериорную оценку погрешности
приближенного решения. Определив амплитуды ДИ, мы получаем полную информацию
о рассеянном поле вне частицы и можем вычислять различные характеристики
рассеяния, такие как дифференциальное сечение рассеяния (англ. DSC — Differential
Scattering Cross-Section) в верхнем полупространстве или индикатриса рассеяния в
подложке. Для DSC справедливо следующее представление:
поле,
np
E(r) E0 (r) 
exp{ jk 0 r}
F( , )  O(1 r 2 ),
r
2
r  , z  0
DSC( 0 , , )  F ( 0 , , )  F ( 0 , , )
2
Примеры DSC при дифракции плоской линейно поляризованной волны на системе
тонкая наночастица-подложка, полученные с помощью гибридной схемы МДИ для
наночастиц различной формы, будут представлены в ходе презентации.
Литература
1. Климов В.В. Наноплазмоника. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2010.
2. Еремин Ю.А., Свешников А. Г. Метод дискретных источников в задачах рассеяния
электромагнитных волн //Успехи современной радиоэлектроники. 2003. 10. с. 3-40.
3. Дмитриев В.И., Захаров Е.В. Метод интегральных уравнений в вычислительной
электродинамике. М.: МАКС Пресс, 2008.