2.3 Закон Ома для полной цепи

2.3 Закон Ома для полной цепи
2.3.1. Электрическая цепь состоит из
источника тока и двух сопротивлений,
одно из которых может через ключ соединяться параллельно со вторым сопротивлением. Сопротивление п R1 вдвое
больше сопротивления R2. Внутреннее
сопротивление источника тока r = 0,1 R1.
Определить, во сколько раз изменятся показания амперметра и
напряжение на клеммах источника при замыкании ключа К?
Решение
1. При разомкнутом ключе К закон Ома для полной цепи записывается следующим образом


10 
I R 2  I A1 


.
(1)
R 1 21R 1
R2  r
2R 1 
10
2. При замыкании ключа сопротивление нагрузки изменится
R 1R 2
R0 
.
(2)
R1  R 2
3. Закон Ома в этом случае примет вид


30 
IA2 


.
(3)
R 1R 2
R 1  2R 1 R 1 23 R 1
r

R1  R 2
R 1  2R 2 10
4. Отношение токов определится как
I A 2 30   21R 1

 2,7 .
(4)
I A1 10   23R 1
5. Падение напряжения на клеммах источника при разомкнутом
ключе
(5)
U1  I A1R 2  2I A1  R 1 .
6. Падение напряжения после замыкания ключа
R  2R 1 2
U 2  IA2 1
 I A2 R1 .
(6)
3R 1
3
7. Отношение напряжений на клеммах источника
U2
2I A 2 R 1
U
2,7
3


, 1 
 1,1 .
(7)
U1 3  2I A1R 1
3
U 2 27
119
2.3.2. Батарея замкнутая на сопротивлениеR1 = 10 Ом, даёт ток силой I1 = 3 А; замкнутая на сопротивлениеR2 = 20 Ом, она
даёт ток силой I2 = 1,6 А. Определите ЭДС
источника  и её внутреннее сопротивление r.
Решение
1. Запишем дважды уравнение закона Ома
для полной цепи


,
R 1  r 
 
I2 
.
R 2  r 
I1 
(1)
2. Выразим из первого уравнения системы (1) величину  и подставим во второе уравнение
I R I r
  I 2 R 2  I 2 r, I1  2 2 2 ,  I1R 1  I1r  I 2 R 2  I 2 r ,
(2)
R1  r
3. Разрешим полученное уравнение относительно внутреннего сопротивления источника r
I R I R
1,6  20  3 10
I1r  I 2 r  I 2 R 2  I1R 1 ,  r  2 2 1 1 
 1,4 Ом . (3)
I1  I 2
3  1,6
4. Значение величины  можно получить из любого уравнения системы (1) при подстановки в него r из уравнения (3)
  I1R1  I1r  30  3 1,4  34,2 B .
2.3.3. Батареи с ЭДС 1 = 20 В, 2 = 30 В
и внутренними сопротивлениями соответственно r1 = 4 Ом, r2 = 6 Ом соединены
параллельно и согласно. Каковы должны
быть параметры  и r эквивалентного источника, которым можно заменить соединение?
Решение
1. Определим силу тока, протекающего через источники при их
совместном включении

2
20
30

 3A .
I1  1 
 2 A I1 
(1)
r1  r2 10
r1  r2 10
120
2. Сила тока, который может быть получен от двух источников при
их совместной работе I0 = I1 + I2 = 5 A
3. Общее внутреннее сопротивление
r r
r0  1 2  2,4 Ом .
(2)
r1  r2
4. Определим далее эквивалентную ЭДС
(3)
 0  I 0 r0  2,4  5  12 B .
Таким образом, эквивалентный источник должен иметь ЭДС  = 12 В и
внутреннее сопротивление r = 2,4 Ом.
2.3.4. Две батареи с одинаковым внутренним сопротивлением соединены так, что ЭДС образовавшегося источника напряжения равна
. ЭДС одной из батарей 3/2. Нарисуйте все возможные схемы соединений. Для каждого варианта соединений определите ЭДС второй батареи.
Решение
1. Один из вариантов включение источников последовательно и встречно, когда ЭДС
второго источника равна 2 = 0,5, а 1 = . В
этом случае общая ЭДС  определится как
  1,5  0,5   . Внутренне сопротивление такого включения источников будет равно 2r.
2. Возможно и параллельное согласное
включение источников, общее сопротивление
которых будет равно r/2. Падение напряжения
на источниках будет одинаковым и равным .
Сила тока через общую шину определится как
2
I
.
(1)
r
Сила тока через первый источник

1,5
I1  1 
.
(2)
rr
2r
Сила тока через второй источник
2 1,5

I 2  I  I1 

 1,25 .
(3)
r
2r
r
Электродвижущая сила второго источника
(4)
 2  I 2 r  1,25 .
3. Следующий способ отличается от предыдущего тем, что источники включены встречно. Чтобы получить в результате батарею с ЭДС,
121
равной , необходимо, чтобы у второго элемента ЭДС была равна /2. Как и в предыдущем случае сила тока будет определяться
уравнением (1), потому что внутренние сопротивления включены параллельно. Сила
тока через первый источник будет определяться как
1,5
.
(5)
I1 
r
Ток через второй источник
0,5
.
r
Электродвижущая сила второго элемента должна составлять
 2  I 2 r  0,5 .
I 2  I  I1 
(6)
(7)
2.3.5. Три одинаковые батареи соединены параллельно и подключены к внешнему
сопротивлению. Как изменится сила тока
через это сопротивление, если полярность
одной из батарей поменять на обратную?
Решение
1. Отметим сразу что, в связи с идентичностью элементов в обоих случаях их
параллельного включения суммарное внутреннее сопротивление будет
в три раза меньше, чем у одного источника, при этом при согласном
включении сила тока через внешнее сопротивление R определится
уравнением

3
I 01 

.
(1)
r 3R  r
R
3
2. Проанализируем ситуацию при встречном включении одного из
источников тока. Результирующий ток определится как
3

2
I 02 


.
(2)
3R  r 3R  r 3R  r
3. Отношение сил токов
I 01 33R  r 

 1,5 .
(3)
I 02
2Rr 
122
2.3.6. Что покажет вольтметр,
если в цепи, изображённой на рисунке,
если источники одинаковы, ЭДС каждого из них  =1,5 В, внутреннее сопротивление r = 2 Ом? Чему будет равна
сила тока в цепи?
Решение
1. Будем считать, что вольтметр обладает бесконечно большим сопротивлением, в этом случае сила тока в цепи определится соотношением
 
I0 
  0,75 A .
(1)
rrr r
2. Поскольку все три элемента в данной схеме включения работают
в режиме короткого замыкания, и ток I0, по сути является током короткого замыкания, то в указанных на схеме точках разность потенциалов
будет равна нулю, т.е. UV =0.
2.3.7. Определите заряд конденсатора
С ёмкостью С = 4 мкФ в стационарном
режиме, если R1 = R2 = R3 = R= 100 Ом.
Источник тока обладает ЭДС  = 300 В и
нулевым внутренним сопротивлением.
Решение
1. Сопротивления R2 и R3 включены
параллельно, поэтому их можно представить эквивалентным одним сопротивлением величиной
R
R 2 ,3   50 Ом .
(1)
2
2. Определим силу тока в цепи

300
I0 

 2A .
(2)
R 1  R 2 , 3 150
3. Падение напряжения на сопротивлении R1 будет равно разности потенциалов на
обкладках конденсатора, который для постоянного тока обладает бесконечным сопротивлением
U C  I 0 R 1  200 B .
4. Заряд конденсатора определим из уравнения энергии
123
(3)
WC 
CU C2 Q 2

,  Q  CU  4 10 6  200  0,8 мКл .
2
2C
(4)
2.3.8. Два вертикально расположенных
стержня, имеющие длину L = 1 м и диаметр d =
1 см сопротивление на единицу длины  = 110  5
Омм, подсоединены через идеальный амперметр
к источнику ЭДС  = 1,5 В и внутренним сопротивлением r0 = 0,05 Ом. Полосок касается сопротивление R = 0,1 Ом, которое в поле тяжести g начинает соскальзывать вдоль них из
верхней точки вниз без нарушения контакта, как
показано на рисунке. В пренебрежении эффектами, связанными с магнитным полем, определить какое значение тока I покажет амперметр
через время  = 0,5 с после начала движения?
Силу трения не учитывать
Решение
1. Запишем кинематические уравнения движения сопротивления,
считая, что на него действует только сила тяжести и движение происходит по вертикальной оси с нулевой начальной скоростью
gt 2
y
,
(1)
2
и определим расстояние которое пройдёт сопротивление за время 
5  0,5 2

 0,625 м .
(2)
2
2. Определим электрическое сопротивление одного отрезка стержня
длиной 
4
4  0,625
(3)
r   2  110 5
 0,08 Ом .
d
3,14 10 4
3. Электрическая схема установки, таким образом представит собой три последовательно
включенных внешних сопротивления: R0 = R + 2r
и внутреннее сопротивление источника r0. Закон
Ома для полной цепи в этом случае запишется так

1,5
I

 4,8 A . (4)
R  3r  r0 0,1  0,16  0,05
124
2.3.9. Два гальванических элемента с 1
=1,5 В и 2 = 4,5 В соединены одноимёнными полюсами. Внутреннее сопротивление
первого источника r1 в два раза меньше
внутреннего сопротивления второго элемента r2, т.е. r2 = 2 r1. Каковы при этом
включении элементов будут показания
вольтметра?
Решение
1. Если считать, что вольтметр обладает бесконечным сопротивлением, то разность электродвижущих сил источников тока будет равна
сумме падений напряжения на их внутренних сопротивлениях
(1)
1   2  Ir1  Ir2 .
2. С другой стороны второй элемент является внешней нагрузкой
для первого элемента
(2)
1  Ir1  U ,
где U  показания вольтметра.
3. Выразим из последнего уравнения силу тока в цепи
 U
I 1
.
(3)
r1
4. Подставим значение силы тока в уравнение (1)
  U r1  1  U r2 ,
1   2  1
(4)
r1
r1
откуда
 
3
U  1  1 2  1,5 
 2,5 B .
(5)
r2
1 2
1
r1
2.3.10. Источник тока обладает
внутренним сопротивлением r = 1 Ом,
ёмкость конденсатора С = 10 мкФ, R1
= 5 Ом, R2 = 10 Ом. До замыкания
ключа вольтметр показывает напряжение U1 = 10 В, а после замыкания 
U2 = 8 В. Определить заряд конденсатора и величину сопротивления R3.
125
Решение
1. При разомкнутом ключе ток в цепи отсутствует, поэтому вольтметр будет демонстрировать величину ЭДС, U1 =  = 10 В.
2. Запишем далее уравнение общего сопротивления цепи, считая что
конденсатор для постоянного тока в стационарном режиме представляет
бесконечное сопротивление
R 1R 2
(1)
R0 
 R3 ,
R1  R 2
с другой стороны
U
U1  U 2 U 2
rU 2
(2)
I 2 ,

, R0 
 4 Ом .
R0
r
R0
U1  U 2
3. Определим величину сопротивления R3
RR
50
R3  R0  1 2  4 
 0,67 Ом .
(3)
R1  R 2
15
4. Определим падение напряжения на сопротивлении R3, которое
включено параллельно конденсатору
UR
U 3  IR 3  2 3 .
(4)
R0
5. Заряд, прошедший через конденсатор
CU 2 R 3 10 5  5  0,67
Q  CU 3 

 8,4 мкКл .
(5)
R0
4
2.3.11. Идеальный источник тока с  =
100 В включен в цепь, состоящую из конденсаторов С3 = С4 = 1 мкФ, С1 = 2 мкФ, С2 =4
мкФ и сопротивления R. Определить падение напряжения на конденсаторах С1 и С2.
Решение
1. При подключении схемы к источнику
в цепи потечёт ток до момента полной зарядки всех конденсаторов. После того как конденсаторы зарядятся ток прекращается, т.к. электрические ёмкости представляют для постоянного тока разрыв цепи.
2. Все обкладки конденсаторов, соединённые с сопротивлением будут иметь одинаковый потенциал, при этом пары конденсаторов С1 + С3
и С2 + С4 включены с источником тока последовательно.
3. Падение напряжения на конденсаторах определится уравнением
U1  U 2   .
(1)
126
4. Заряд конденсаторов определится как
(2)
Q  C3  C1 U1  C 2  C 4 U 2 .
5. Выразим из последнего уравнения величину U2, подставим её в
уравнение (1) и разрешим его относительно U1
C  C 2 U1 ,
U2  3
(3)
C 2  C 4 
C  C U
C  C 
 C  C2 
   ,
U1 1  3
2
4
 C2  C4 

100
U1 

 37 B .
C1  C 3 1  1,7
1
C2  C4
6. Определим далее величину U2 из уравнения (1)
U 2    U1  63 B .
U1 
3
2
1
 ,
(4)
(5)
(6)
2.3.12. Электрическая схема состоит из двух конденсаторов С1 = 2
мкФ и С2 = 4 мкФ и трёх сопротивлений R1 = 200 Ом, R2 = R3 = 100 Ом. В
цепь включён идеальный источник тока с  = 100 В. Определить падение
напряжения на конденсаторах U1, U2 и
их заряд Q1, Q2.
Решение
1. Падение напряжения U1 на конденсаторе С1 равно разности потенциалов между точками цепи 1 и 3, а напряжение на С 2 определяется
разностью потенциалов между точками 2 и 4
(1)
U1  3  1 , U 2  4  2 .
2. После зарядки конденсаторов цепь будет представлять собой три
последовательно соединённых сопротивления
(2)
R 0  R 1  R 2  R 3 =400 Ом.
3. Определим силу тока в цепи

100
I

 0,25 A .
(3)
R 0 400
4. Определим величину напряжений U1, U2 которые, как следует из
уравнений (1) будут равны сумме падений напряжения на сопротивлениях U1 = UR1 + UR2, U2 = UR3 + UR4
127
(4)
U1  IR 1  R 2   0,25  300  75 B ,
,
(5)
U 2  IR 3  R 4   0,25  200  50 B
5. Заряд конденсаторов определим, используя взаимосвязь падения
напряжения заряда и ёмкости
U1  C1 U1  2 10 6  75  1,5 10 4 Кл ,
(6)
U 2  C 2 U 2  4 10 6  50  2 10 4 Кл .
2.3.13. Два последовательно соединённых конденсатора С1 = 2 мкФ и С2 = 4 мкФ
замкнуты на источник тока с  = 20 В,
параллельно которому включено сопротивление R = 20 Ом. Ток короткого замыкания
источника IКЗ в три раза превышает рабочий стационарный ток в цепи I. Определить падение напряжения на
каждом из конденсаторов.
Решение
1. При последовательном соединении конденсаторов через них протекает одинаковый зарядный ток, поэтому заряд на их обкладках будет
одинаковым, т.е. Q1 = Q2
(1)
Q1  C1 U1 , Q 2  C 2 U 2 ,  C1 U1  C 2 U 2 .
2. Падение напряжения на конденсаторах можно представить в виде
суммы
(2)
U 0  U1  U 2 .
3. Выразим далее величину U2 из уравнения (1) подставим её в уравнение (2) и определим падение напряжения на С1 и С2
 C 
U 0 C1
U0C2
C
, U2 
(3)
U 2  U1 1 ,  U 0  U1 1  1 ,  U1 
C1  C 2
C2
C1  C 2
 C2 
5. Определим далее внутреннее сопротивление источника тока и
величину U0


R
R
I КЗ   3I, I 
,  r   10 Ом, U 0 
 13,3 В . (4)
r
Rr
2
R  0,5R
6. Подставим далее величину U0 в уравнения (3)
13,3  4 10 6
13,3  2 10 6
(5)
U1 
 8,87 B, U 2 
 4,43 B .
6
2  410
6 10 6
128
2.4 Правила Кирхгофа
2.4.1. Определить силу токов во всех
участках цепи, если источники тока обладают ЭДС: 1 = 10 B, 2 = 20 В, их внутренние сопротивления соответственно равны:
r1 = 2 Ом, r2 = 3 Ом. Источники нагружены
на внешнее сопротивление R = 100 Ом.
Решение
1. Задачу целесообразно решать, используя правила Кирхгофа, которые удобны при
расчетах параметров разветвлённых цепей. В общем виде математические выражения правил имеют вид:
in

I i  0,

i 1
(1)
.
in
k N

Ii R i   k .
i 1
k 1




2. В соответствие с первым правилом алгебраическая сумма сил токов в любом из узлов должна быть равна нулю
(2)
I1  I 2  I  0 .
3. Выделим два замкнутых контура, содержащих источники тока
(направление обхода контуров показано пунктиром) и запишем для них
второе правило Кирхгофа
(3)
I1r1  IR  1 , I 2 r2  IR   2 .
4. Таким образом, приходим к системе трёх алгебраических уравнений с тремя неизвестными величинами
I1  I 2  I  0, 

(4)
I1r1  IR  1 , 

I 2 r2  IR   2 .
5. Выразим из второго и третьего уравнений системы (4) силы тока
I1 и I2
  IR
  IR
I1  1
, I2  2
,
(5)
r1
r2
и подставим эти значения в первое уравнение системы с целью его решения относительно силы тока I
129
 r
1  IR  2  IR

I  0 ,
r1
r2
 IR r2   2 r1  IR r1  Ir1r2  0 ,
1r2   2 r1  IRr2  Rr1  r1r2  ,
1r2   2 r1
10  3  20  2
70
I


 1,25 A .
r1r2  R r1  r2  2  3  10(2  3) 56
6. Определим далее значение сил токов I1 и I2
1 2
I1 
(6)
(7)
(8)
(9)
1  IR 10  1,25 10

 1,25 A,
r1
2
(10)
 2  IR 20  12,5
I2 

 2,5 A.
r2
3
7. Знак минус для тока I1 показывает, что направление тока выбрано
неправильно, ток будет течь в обратном направлении.
8. Проверим правильность решения путём анализа баланса токов по
уравнению (1)
2,5  1,25  1,25  0 .
(11)
2.4.2. Электрическая цепь состоит из
резисторов R1 = R2 = 10 Ом и трёх идеальных источников тока, причём 1 = 10 В, 2 =
14 В. При каком значении ЭДС третьего источника 3 ток через сопротивление R3 не
потечёт?
Решение
1. Выберем направление токов, выделим
два контура и запишем уравнения правил
Кирхгофа в соответствии с уравнениями (1) предыдущей задачи
I 3  I1  I 2 ,


(1)
I1 R 1  I 3 R 3   3   1 , 
I 2 R 2  I 3 R 3   3   2 .

2. Так как по условию задачи I3 = 0, то I1 =  I2, уравнения (1) при
этом примут вид
I1 R 1   3  1 , 
(2)

 I1R 2   3   2 .
130
3. Поделим почленно последние уравнения друг на друга и полученное соотношение разрешим относительно 3
 
IR
 1 1  1 3 ,  R 1  2   3   R 2 1   3  ,
I1 R 2  2   3
R 1 2  R 1 3  R 2 1  R 2  3 ,
3 
R 1 2  R 2 1 10 14  10 10

 12 B .
R1  R 2
20
(3)
2.4.3. Схема состоит из трёх идеальных источников ЭДС, два из которых заданы: 1 = 10 В, 2 = 8 В, и трёх сопротивлений два из которых тоже известны: R1
= 100 Ом, R2 = 80 Ом. Определить при
каком значении 3 ток через сопротивление R3 ток течь не будет.
Решение
1.Выберем узел схемы для которого
запишем уравнение первого правила
Кирхгофа
(1)
I 3  I1  I 2 .
2. Выделим два замкнутых контура и совершим их обход в указанных пунктирной линией направлениях по второму правилу Кирхгофа
I1 R 1  I 3 R 3   3   1 , 
(2)
.
I 2 R 2  I 3 R 3   2   3 .
3. По условию задачи I3 =0, поэтому уравнения (1) и (2) можно переписать следующим образом
I1  I 2  0,


(3)
I 2 R 1   3  1 ,  .

I 2 R 2   2   3 .
4. Поделим почленно последние два уравнения системы (3) друг на
друга
 
R
 1  1 3 , R 1  2   3   R 2  3  1  ,
R 2  2  3
R 1 2  R 1 3  R 2 1  R 2  3 .
5. Определим из уравнения (4) значение 3
R 2  3  R 1 3  R 1 2  R 2 1 ,
131
(4)
3 
1R 2   2 R 1 10  80  100  8

 9B .
R1  R 2
180
(5)
2.4.4. Две аккумуляторные батареи
(1 = 8 В, r1 = 2 Ом; 2 = 6 В, r2 = 1,5
Ом) включены параллельно и согласно.
Параллельно источникам тока подсоединено сопротивление R = 10 Ом.
Определить силу тока текущего через
сопротивление.
Решение
1. Выберем узел, для которого запишем уравнение первого правила
Кирхгофа
(1)
I1  I 2  I .
2. Выделим два контура, показанные на схеме пунктирными линиями и составим для них уравнения второго правила Кирхгофа
I1r1  IR  1 ,
(2)
.
I 2 r2  IR   2 
3. Из уравнений (2) выразим токи I1 и I2 и подставим полученные
значения в уравнение (1)
  IR
  IR
I1  1
, I2  2
,
(3)
r1
r2
1  IR  2  IR

 I,  1r2  IRr 2   2 r1  IRr1  Ir1r2 ,
r1
r2
(4)
(5)
IRr 2  IRr1  Ir1r2  1r2   2 r1 .
4. Определим из уравнения (5) силу тока, протекающего через сопротивление R
(6)
IRr1  Rr 2  r1r2   1r2   2 r1 ,
1r2   2 r1
8 1,5  6  2
0

 0.
(7)
Rr1  Rr 2  r1r2 10  2  10 1,5  3 2
5. Определим далее токи через источники тока
8
6
(8)
I1 
 4A, I 2 
 4A .
2
1,5
Знак «минус» показывает, что направление тока I1 выбрано неверно.
I
132
2.4.5. Определить силу тока I3 в резисторе R3 и падение напряжения U3, если: 1 = 4
В, 2 = 3 В, R1 = 2 Ом, R2 = 6 Ом, R3 = 1 Ом.
Источники считать идеальными, их внутренним сопротивлением пренебречь.
Решение
1. Запишем три уравнения в соответствии с правилами Кирхгофа
I1  I 3  I 2 ,
(1) 

(1)
I1R 1  I 2 R 2  1 , (2)  .

I 3 R 3  I 2 R 2   2 . (3)
2. Выразим из первого уравнения системы (1) силу тока I1
I1  I 2  I 3 ,
и подставим полученное значение во второе уравнение
I 2  I3 R 1  I 2 R 2  1 ,
(2)
(3)
(4)
I 2 R 1  I 3 R 1  I 2 R 2  1 .
3. Разрешим третье уравнение системы (1) относительно силы тока I2
 I R
I2  2 3 3 .
(5)
R2
4. Подставим значение I2 из уравнения (5) в уравнение (4)
  2  I3R 3 
 I R 

R 1  I 3 R 1   2 3 3 R 2   2 .
(6)
 R2

 R2

5. Уравнение (6) содержит одну неизвестную искомую величину I3
(7)
 2 R 1  I 3 R 1R 3  I 3 R 1R 2   2 R 2  I 3 R 2 R 3  1R 2 .
 2 R 1  R 2   1R 2
32  6  4  6

 0.
(8)
R 1R 3  R 1R 2  R 2 R 3
2  12  6
Таким образом, ток через сопротивление R3 равен нулю, это значит, что
падение напряжения на этом резисторе тоже равно нулю.
I3 
2.4.6. Три источника с ЭДС 1 = 12 В, 2 = 5 В и 3 = 10 В с одинаковым внутренним сопротивлением r = 1 Ом соединены между собой одноимёнными полюсами. Пренебрегая сопротивлением соединительных
проводов, определить силы токов, протекающих через источники.
133
Решение
1. Выберем один из узлов и выделим два
замкнутых контура, для которых запишем три
уравнения первого и второго правила Кирхгофа
I 2  I1  I 3 ,


(1)
I1 r  I 2 r  1   2 ,  .

I 3 r  I 2 r   3   2 .
2. Подставим в последние два уравнения
системы (1) заданные числовые значения и сведём её к виду
I 2  I1  I 3 ,

(2)
I1  I 2  7,  .
I 3  I 2  5. 
3. Выразим значения сил токов I1 и I3
(3)
I1  7  I 2 , I 3  5  I 2 ,
и подставим эти значения в первое уравнение системы (2)
(4)
7  I2  5  I2  I2 ,  I2  4 A ,
следовательно
(5)
I1  7  I 2  3 A, I 3  5  I 2  1A .
2.4.7. Для заданной цепи определить величины сил токов через резисторы, если известно, что: 1 = 2
= 4 В; 3 = 2 В; R1 = 1 Ом; R2 = 4
Ом; R3 = 2 Ом. Внутренним сопротивлением источников тока и сопротивлением соединительных проводов пренебречь.
Решение
1. Запишем для данной цепи уравнения Кирхгофа, рассматривая баланс токов в узле А и баланс напряжений для выбранных контуров
I 2  I 3  I1 ,


(1)
I1 R 1  I 2 R 2  1   2 , 

 I 2 R 2  I 3 R 3   2   3 .
2. Подставим численные значения заданных по условию задачи величин
134
I 2  I 3  I1 ,


(2)
I1  4I 2  0, 

 4I 2  2I 3  2.
3. Выразим из первого уравнения системы (2) силу тока I3 и подставим это значение в третье уравнение
(3)
I 3  I1  I 2 ,
(4)
4I 2  2I1  2I 2  2 ,
(5)
2I1  6I 2  2, I1  3I 2  1 .
4. Образуем новую систему алгебраических уравнений из второго
уравнения системы (2) и уравнения (5)
I1  4I 2  0,
(6)
.
I1  3I 2  1. 
5. Выразим далее из второго уравнения системы (6) силу ток I1 и
подставим в первое уравнение
1
I1  1  3I 2 , 1  3I 2  4I 2  0, I 2   A .
(7)
7
6. Определим остальные две силы тока, воспользовавшись ранее
записанными соотношениями между ними
4
4
I1   0,  I1  A .
(8)
7
7
I 3  I1  I 2 ,
I3 
2.4.8.Определить силы токов,
текущих в каждой ветви цепи,
если: 1 = 6,5 В, 2 = 3,9 В; R1 = R2
= R3 = R4 = R5 = 10 Ом.
Решение
1. Для определения искомых
величин токов необходимо составить шесть уравнений: три уравнения баланса токов и три уравнения
баланса напряжений. Выберем для
баланса токов три узла, а для баланса напряжений выделим три
замкнутых контура.
135
4 1 5
  A.
7 7 7
(9)
2. Составим уравнения баланса токов для узлов a, b и с
I1  I 2  I 3  0, 

(1)
I 3  I 4  I 5  0, .
I 5  I1  I 6  0. 
3. Для обозначенных на схеме цепи пунктирными линиями замкнутых контуров 1, 2 и 3 составим уравнения баланса напряжений, направление обхода показаны стрелками
I1 R 1  I 5 R 5  1   3 , 

(2)
I 2 r2  r3   I 4 R 4   2 , .

I 4 R 4  I 6 R 6  I 5 R 5  0.
4. С учётом одинаковой величины всех сопротивлений R = 10 Ом
последнюю систему уравнений можно переписать следующим образом
I1  I 5  0,26,


(3)
I 2  0,5I 4  0,195 ,

I 4  I 6  I 5  0.

5. Совместное решение системы алгебраических уравнений (4)
I1  I 2  I 3  0,


I 3  I 4  I 5  0,

I 5  I1  I 6  0,

(4)

I1  I 5  0,26,

I 2  0,5I 4  0,195 ,


I 4  I 6  I 5  0.
методом подстановки позволяет прийти к следующим значениям сил
токов
I1  0,19 A, I 2  0,017 A, I 3  0,02 A,
(5)
I 4  0,05 A, I 5  0,07 A, I 6  0,12 A.
Отрицательные значения сил токов, полученные в результате решения,
показывают, что их направление было изначально выбрано неверно и
следует поменять на обратное.
136
2.5. Нелинейные элементы в цепях постоянного тока
2.5.1. Определить величину силы тока через идеальный источник (r
= 0,  = 10 В) при включении его в схему двумя способами, если R1 = R2 =
R3 = R4 = 10 Ом, а диод идеальный, т.е. обладает в прямом направлении
нулевым сопротивлением, а в обратном направлении бесконечно большим сопротивлением.
Решение
1. В первом случае (левая схема) диод будет представлять собой
бесконечно большое сопротивление, т.е., по сути, разрыв цепи. Во втором случае (правая схема) сопротивление диода будет мало. Таким образом эквивалентные схемы цепей можно преобразовать следующим
образом.
2. В случае большого сопротивления цепи резисторы R3 и R4 оказываются включенными последовательно, их общее сопротивление  R3,4
= 20 Ом, которое, в свою очередь включено параллельно резистору R2
R R
20 10
R 2 , 3, 4  3, 4 2 
 6,7 Ом .
(1)
R 3, 4  R 2 20  10
3. Определим эквивалентное сопротивление правой цепи
137
R 01  R 1  R 2, 3, 4  10  6,7  16,7 Ом .
(2)
4. Сила тока в первом случае включения источника тока

(3)
I1 
 0,6 A .
R 01
5. При открытом диоде, когда он обладает весьма малым сопротивлением схему тоже можно последовательно преобразовать, при этом
R 1,3 
R 1, 3, 4
R 02 
R 1  R 3 100

 5 Ом ,
R1  R 3
20
 R 1, 3  R 4  15 Ом ,
R 1, 3, 4  R 2
R 1, 3, 4  R 2

15 10
 6 Ом .
25
6. Сила тока при открытом диоде составит

10
I2 

 1,7 A .
R 02
6
(4)
(5)
(6)
(7)
2.5.2. Определить силу тока, протекающего через идеальный диод, если он включен в диагональ симметричного моста, составленного из сопротивлений R1 = 10 кОм, R2 = 15 кОм, R3
= 30 кОм R4 = 25 кОм. Мостик подключен к идеальному источнику тока
с  = 200 B.
Решение
1. Предположим, что диод заперт, т.е. между точками а и b бесконечно большое сопротивление. В этом случае общее сопротивление
схемы определится уравнением
138

  35  45  17,5 кОм .
1  R4 R2  R3
(1)
R1  R 2  R 3  R 4
90
2. Сила тока через источник определится как

200
I 01 

 0,01 A .
(2)
R 01 17 ,5 10 3
3. Эквивалентная схема цепи в этом случае
может быть представлена в виде последовательного соединения сопротивлений R1,4 и R2,3, которые, в свою очередь, включены параллельно источнику тока

200
I1, 4 

 0,0057 A ,
(1)
R 1  R 4 35 10 3
R 01 
R

200

 0,0044 .
R 2  R 3 45 10 3
4. Падение напряжения на элементах эквивалентной схемы
U1  I1, 4  R1  0,0056104  56 B ,
I 2,3 
U 4  I1, 4  R 4  0,0057 25 10  144 B ,
3
U 2  I 2,3  R 2  0,00441,5 104  68 B ,
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
U3  I 2,3  R 3  0,0044 3 10  132 B .
5. Разность потенциалов между точками
включения диода составляет U = 12 В, при
такой полярности в узловых точках диод должен быть открыт и должен представлять собой
весьма малое сопротивление. Другими словами
эквивалентная схема цепи будет представлять
собой параллельное включение сопротивлений
R1, R2 и R3,R4, которые образуют последовательную цепь. Общее сопротивление цепи в
этом случае определится как
 R 1  R 3   R 2  R 4   10  30   15  25 
  
  
R 02  

  16,9 кОм . (7)

 R 1  R 3   R 2  R 4   10  30   15  25 
6. Сила тока через источник

200
I 02 

 0,012 A .
(8)
R 02 16,9 10 3
7. Составим систему уравнений Кирхгофа для баланса токов в узлах
a и b, дополнив их двумя уравнениями закона Ома для участка цепи
4
139
I 0 2  I1  I 3 , (1) 

I D  I 3  I 4 , ( 2) 
I 4  I 2  I 0 2 , (3) 
(9)

I 1  I D  I 2 , ( 4) 
I1 R 1  I 3 R 3 , (5) 

I 2 R 2  I 4 R 4 . (6)
8. Подставив в уравнения (5) и (6) заданные значения сопротивлений, преобразуем их к виду
R
R
(10)
I1  I 3 3  3I 3 , I 2  I 4 4  1,7I 4 .
R1
R2
9. Подставим значение силы тока I1 из уравнения (10) в уравнение
(1) системы (9)
I
I 02  3I 3  I 3 ,  I 3  02  0,003 A  3 мА .
(11)
4
10. Сила тока I1 из уравнений (10) определится как
(12)
I1  3I 3  0,009 A  9 мА .
11. Далее подставим значение силы тока I2 из уравнения (10) в уравнение (4) системы (9)
I
(13)
I 4  1,7I 4  I 02 ,  I 4  02  4,4 мА .
2,7
12. Определим далее силу тока I2, воспользовавшись для этого уравнениями (10)
(14)
I 2  1,7I 4  7,5 мА .
13. Из уравнения (4) системы (9) найдём искомую величину силы
тока через диод
(15)
I D  I1  I 2  1,5 мА .
2.5.3. Фотоэлемент включён в диагональ моста, составленного из четырёх
резисторов R1 = 100 кОм, R2 = 400 кОм,
R3 = 200 кОм, R4 = 300 кОм. Идеальный
источник тока с ЭДС  = 1 кВ включен в
другую диагональ моста. Определить
напряжение на фотоэлементе, если через
него течёт ток силой ID = 10 мА.
140
Решение
1.Поскольку через фотоэлемент от анода к
катоду течёт, заданный по условию задачи ток
силой ID = 10 мА, то он открыт и представляет
собой малое сопротивление. Эквивалентная
схема цепи в этом случае может быть представлена в виде параллельного включения сопротивлений R1, R2, и R3, R4, которые в свою очередь соединены последовательно.
2. Определим эквивалентное сопротивление всей цепи
R 3R 4
R 1R 2
 100  400  3  200  300  3
R0 


 10  
 10  200 кОм . (1)
R 1  R 2 R 3  R 4  500 
 500 
3. Найдём величину силы тока через источник I0
1 10 3
I0 
 5 мА .
(2)
2 10 5
4. Составим систему из пяти (по количеству неизвестных величин)
алгебраических уравнений на основе первого правила Кирхгофа и условий равенства потенциалов узлов a и b
I1  I F  I 4 , (1) 

I 0  I1  I 2 , (2) 

I F  I 2  I 3 , (3) 
(3)

I1 R 1  I 2 R 2 , (4)

I 3 R 3  I 4 R 4 . (5)
5. Запишем уравнения (4), (5) с учётом заданных величин резисторов
R
R
I1  I 2 2 , I 3  I 4 4 .
(4)
R1
R3
6. Перепишем уравнение (2) системы (3) с учётом уравнений (4)
I
I 0  4I 2  I 2 ,  I 2  0  1,25 мА .
(5)
4
7. Определим из уравнения (2) системы (3) значение силы тока I1
(6)
I1  I 0  I 2  5  1,25  3,75 мА .
8. Найдём падение напряжений на резисторах R1 и R2
U1  I1 R 1  3,75 10 3 10 5  375 B .
(7)
U 2  I 2 R 2  1,25 10 3  4 10 5  500 B .
9. Напряжение на фотоэлементе: U F  U 2  U1  125 B .
141
(8)