5. В состав экспедиции входят Михаил, Сергей и Виктор. На

Краевое государственное бюджетное профессиональное
образовательное учреждение
«Павловский аграрный техникум»
Учебное пособие
по учебной дисциплине
«ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛОГИКИ»
по специальности
Программирование в компьютерных системах
Павловск 2014 г.
1
ОДОБРЕНА
на заседании цикловой комиссии
естественнонаучных дисциплин
протокол заседания №3
от 12.11.2014г.
Председатель: Гуляева Г.А.
Автор: Соколова И.А., преподаватель математики и информатики КГБПОУ
«ПАТ»
Рецензент: Дубских Л.П., преподаватель математики КГБПОУ «ПАТ»
Учебное пособие по
дисциплине «Элементы математической логики»
предназначено для обучающихся очной формы
по специальности
«Программирование в компьютерных системах».
2
СОДЕРЖАНИЕ
Введение
Методические рекомендации для студентов
Раздел 1. Формулы логики
1.1 Логические операции. Формулы логики
Таблица истинности
1.2 Законы логики.
Равносильные преобразования
Раздел 2. Множества
2.1 Основы теории множеств
Раздел 3. Предикаты
3.1 Предикаты
Практические задания к зачету
Содержание контрольных работ
Задания для тестового контроля знаний
Литература
.
3
4
6
7
7
16
22
22
31
31
39
41
44
51
Введение
Познание истины - одна из важнейших потребностей человека. Каждый из
нас и все человечество в целом нуждается в истинном знании, получении новой
информации о мире, в котором мы живем.
Это нужно для того, чтобы жить, что в данном случае означает ориентироваться в быстро меняющейся обстановке, принимать правильные решения
и на их основе совершать правильные действия.
Человек с древних времен стремился познать законы правильного мышления, т.е. логические законы.
Наука логика помогает познанию этих законов.
Законы развития есть у природы, общества, любой сложной системы и у
самого мышления. Существует мнение, что всякое движение нашей мысли,
постигающей истину, добро и красоту, опирается на логические законы. Мы
можем их не осознавать, но вынуждены всегда следовать этим законам, чтобы
жить в обществе, общаться с людьми, понимать их и быть понятыми.
В Древней Греции, Древней Индии, Древнем Риме законы и формы
правильного мышления изучались в рамках ораторского искусства. Применение логических приемов рассуждения позволяло ораторам более убедительно доносить до аудитории их точку зрения, склонять людей на свою
сторону.
Мыслить логично - значит мыслить точно и последовательно, не допускать
противоречий в своих рассуждениях, уметь вскрывать логические ошибки.
Логика - одна из древнейших наук. Ее основателем считается величайший
древнегреческий философ Аристотель, который первым систематизировал формы и правила мышления, обстоятельно исследовал категории "понятие" и "суждение", подробно разработал теорию умозаключений и доказательств, описал
ряд логических операций, сформулировал основные законы мышления.
Учебная дисциплина «Элементы математической логики» ориентирована
на формирование базовых понятий и умений, необходимых для изучения
профессиональных модулей, таких, как «Технология разработки и защиты баз
данных», «Технология разработки программного обеспечения» и др.
Практические и самостоятельные работы, выполняемые в ходе изучения
учебной дисциплины, включают в себя не только стандартное решение задач,
но и другие актуальные для данной специальности виды деятельности:
составление или поиск собственных прикладных задач, использующих при
решении изучаемые методы и модели.
В результате изучения данной дисциплины формируются общие
компетенции, включающие в себя способность:
ОК 1. Понимать сущность и социальную значимость своей будущей
профессии, проявлять к ней устойчивый интерес.
ОК 2. Организовывать собственную деятельность, выбирать типовые
методы и способы выполнения профессиональных задач, оценивать их
эффективность и качество.
ОК 3. Принимать решения в стандартных и нестандартных ситуациях и
4
нести за них ответственность.
ОК 4. Осуществлять поиск и использование информации, необходимой
для эффективного выполнения профессиональных задач, профессионального и
личностного развития.
ОК 5. Использовать информационно-коммуникационные технологии в
профессиональной деятельности.
ОК 6. Работать в коллективе и в команде, эффективно общаться
с коллегами, руководством, потребителями.
ОК 7. Брать на себя ответственность за работу членов команды
(подчиненных), за результат выполнения заданий.
ОК 8. Самостоятельно определять задачи профессионального и
личностного развития, заниматься самообразованием, осознанно планировать
повышение квалификации.
ОК 9. Ориентироваться в условиях частой смены технологий
в профессиональной деятельности.
В результате освоения учебной дисциплины обучающийся должен уметь:
 строить таблицы истинности для формул логики упрощать формулы
логики;
 представлять булевы функции в виде формул заданного типа, проверять
множество булевых функций на полноту;
 выполнять операции над множествами;
 выполнять операции над предикатами, записывать области истинности
предикатов, формализовать предложение с помощью логики предикатов;
 исследовать бинарные отношения на заданные свойства.
В результате освоения учебной дисциплины обучающийся должен знать:

основные принципы математической логики, теории множеств и
теории алгоритмов;

формулы алгебры высказываний;

методы минимизации алгебраических преобразований;

основы языка и алгебры предикатов.
5
Методические рекомендации для студентов
Учебное пособие по дисциплине «Элементы математической логики»
содержит теоретический и практический материал разделов учебной дисциплины «Элементы математической логики». Каждая тема пособия,
предназначенная для самостоятельного изучения открывается планом, который
является оглавлением и логическим конспектом темы. После плана следует
основной текст, заключающий научное содержание темы. Основной текст
сопровождается рисунками, схемами, таблицами. Используются выделения для
указания основных понятий.
В пособие включены различные теоретические и практические задания,
которые различаются как по характеру, так и по степени сложности. Обязательные задания рекомендуется выполнить всем студентам, дополнительные задания (помеченные *).
Блок самоконтроля «Проверь себя!» включает в себя контрольные вопросы
и задания, тесты, позволяет проверить результаты своей работы.
Для удобства работы с пособием предусмотрены следующие обозначения.
*
Тема для самостоятельного изучения

Запиши теоретический материал в тетрадь

Выполните практические задания
Проверь себя!
При выполнении самостоятельных внеаудиторных работ целесообразно
познакомится с подробным решением разобранного аналогичного примера,
приведенного в пособии, а затем приступать к выполнению своего задания.
Если оно окажется сложным, то можно решить более простые задания,
проверить правильность их выполнения, а потом приступать к выполнению
своего. Очень важно выполнять работу самостоятельно, можно прибегать к
консультациям товарищей или преподавателя, но обязательно понимать ход
решения и уметь самостоятельно выполнить все рассуждения.
При подготовке к контрольным работам целесообразно ознакомится с ее
структурой и содержанием. В отдельных случаях можно разобрать все задания.
В пособии приведено подробно разобранное упражнение, аналогичное каждому
заданию контрольной работы. При наличии вопросов, перед контрольной
работой необходимо обратиться за консультацией к преподавателю.
6
Раздел 1. ФОРМУЛЫ ЛОГИКИ
Тема 1.1
Логические операции. Формулы логики
Таблица истинности
План
1. Понятие высказывания
2. Логические операции
3. Формулы логики
4. Таблица истинности и методика ее построения
Цели
Ознакомиться с основными понятиями логики, логическими операциями выполняемыми над высказываниями. Научиться составлять таблицы истинности по
заданным формулам логики, формализовать высказывания.
Формируемые
компетенции
ОК 1. – ОК 5.
Умения
Строить таблицы истинности для формул логики упрощать
формулы логики;
Знания
Основные принципы математической логики, теории
множеств и теории алгоритмов;
Формулы алгебры высказываний;
Задания
1. Изучите теоретический материал по плану, выполните
задания и упражнения в соответствии с методическими
рекомендациями
2. Устно подготовьте ответы на контрольные вопросы.
1. Понятие высказывания
В быту мы часто используем слова “логика”, “логично”.
Логика (от древнегреческого λογικος — “наука о рассуждении”) — это
наука о том, как правильно рассуждать, делать выводы, доказывать
утверждения.
В естественном языке рассуждения всегда связаны с конкретными
предметами и утверждениями, и поэтому исследовать все это многообразие
достаточно сложно.
Древнегреческий философ Аристотель стал основоположником формальной логики, которая отвлекается от конкретного содержания и изучает
общие правила построения верных выводов из известной информации, которая
считается истинной.

7
Античную логику, основанную Аристотелем, принято называть формальной логикой.
Основной принцип формальной логики предполагает, что:
 каждое рассуждение, выраженное на некотором языке, имеет содержание
и форму;
 содержание не оказывает влияние на правильность рассуждения (поэтому
от него можно отвлечься).
 для оценки правильности рассуждений существует лишь его форма.
 форму рассуждения необходимо выделить в "чистом" виде и затем на
основе только формы решать вопрос о правильности рассуждения.
Формальная логика изучает высказывания.
Высказывание — повествовательное предложение, про которое можно
однозначно сказать, что оно истинно или ложно.

Определить являются ли высказываниями следующие предложения
1) Сейчас идет дождь.
2) Вчера жирафы улетели на север.
3) Красиво!
4) Который час?
5) В городе N живут более 2 миллионов человек.
6) Посмотрите на улицу.
7. У квадрата 10 сторон, и все разные.
8. История — интересный предмет.

Алгебра логики - это математический аппарат, с помощью которого
записывают, вычисляют, упрощают и преобразовывают логические
высказывания.
Алгебра логики определяет правила выполнения операций с логическими
величинами, которые могут быть равны только 0 или 1, то есть с двоичными
данными.
Высказывания бывают простые и сложные.
 Простые высказывания нельзя разделить на более мелкие высказывания,
например: “Сейчас идет дождь” или “Форточка открыта”.
 Сложные (составные) высказывания строятся из простых с помощью
логических связок (операций) “И”, “ИЛИ”, “НЕ”, “если…, то”, “тогда и только
тогда”.
В булевой алгебре высказывания обычно обозначаются латинскими
буквами. Обозначим буквой A высказывание “Сейчас идет дождь”, а буквой B высказывание “Форточка открыта”. Из них строятся сложные высказывания:
не A: “Сейчас нет дождя”.
не B: “Форточка закрыта”.
A и B: “Сейчас идет дождь, и открыта форточка”.
A или B: “Сейчас идет дождь, или открыта форточка”.
если A, то B: “Если сейчас идет дождь, то форточка открыта”.
8
2. Логические операции
Операция «НЕ» — называется отрицанием, или инверсией.
Выражение “не А” в алгебре логики записывается как A или ¬А,
в языках программирования Паскаль — как not A.


o
Операция «И» - называется логическим
конъюнкцией (от лат. conjunctio -союз, связь).
Обозначается А⋅B, А ∧ B или А & B.
умножением,

Операция “ИЛИ” - называется логическим сложением,
дизъюнкция (от лат. disjunctio (разделение).Обозначается как
А+B или А ∨ B, в языках программирования — “A or B”

Операция “исключающее ИЛИ”
разделительная дизъюнкция (это значит “один или другой,
но не оба вместе”), или сложением по модулю два. Второе
название связано с тем, что ее результат равен остатку
отделения “обычной” суммы A + B на 2:
A⊕B = (A + B) mod 2.
“Исключающее ИЛИ” в алгебре логики обозначается
знаком “⊕”, в языке Паскаль как xor (например, “A xor
B”). Эту операцию можно представить через базовые
операции (“НЕ”, “И”, “ИЛИ”) следующим образом:A⊕B =
A⋅B+ A⋅B .
9

Импликация - следование, обозначается стрелкой: A→B
(“если A, то B”, “из A следует B”).

Эквивалентность (также эквиваленция, равносильность)
— это логическая операция, которая соответствует связке
“тогда и только тогда”. Высказывание A↔B истинно
в том и только в том случае, когда A = B

Штрих Шеффера (“И–НЕ”, англ. nand = “not and”)
A|B = A⋅B
10

Стрелка Пирса (“ИЛИ–НЕ”, англ. nor = “not or”)
A↓B=A+B
Логические элементы компьютера

Триггер - происходит от английского слова trigger - “защелка”
или спусковой крючок. Так называют электронную схему, которая может находиться только в двух состояниях (их можно
обозначить как 0 и 1) и способна почти мгновенно переходить из
одного состояния в другое.
Триггер изобрели независимо друг от друга М.А. Бонч-Бруевич и англичане У.Икклз и Ф.Джордан в 1918 году.
В компьютерах триггер используют для запоминания одного бита
информации. Соответственно, для того чтобы запомнить 1 байт информации,
требуется 8 триггеров, а для хранения 1 Кб — 8 · 1024 = 8192 триггера.
11
3. Формулы логики
Обозначив простые высказывания буквами (переменными) и используя
логические операции, можно записать любое высказывание в виде логического
выражения.
Например, пусть система сигнализации должна дать аварийный
сигнал, если вышли из строя два из трех двигателей самолета. Обозначим
высказывания:
А — “Первый двигатель вышел из строя”.
B — “Второй двигатель вышел из строя”.
C — “Третий двигатель вышел из строя”.
X — “Аварийная ситуация”.
Тогда логическое высказывание X можно записать в виде формулы
X =(A·B) + (A·C) + (B·C). (*)
Таким образом, мы выполнили формализацию.
Формализация - это переход от конкретного содержания к
формальной записи с помощью некоторого языка.

Порядок действий:
1) действия в скобках;
2) отрицание (“НЕ”);
3) логическое умножение (“И”);
4) логическое сложение (“ИЛИ”) и “исключающее ИЛИ”;
5) импликация;
6)эквивалентность.
Каждая операция выполняется с двумя значениями. Такие операции
называются бинарными (от лат. Bis — дважды), или двухместными.
Операции, которые выполняются над одной величиной, называют
унарными (от лат. uno — один), или одноместными.
Пример унарной логической операции — это отрицание (операция “НЕ”).
*
3. Таблица истинности и методика ее построения
Методические рекомендации:
ознакомьтесь с теоретическим материалом,
изучите алгоритм составления таблиц истинности,
выполните задания и упражнения.
Любую формулу можно задать с помощью таблицы истинности, которая
показывает, чему равно значение логического выражения при всех возможных
комбинациях значений исходных переменных.
Таблица истинности задает логическую функцию, то есть правила
преобразования входных логических значений в выходные.
12
Сложные выражения удобно разбить на несколько более простых, сначала
вычислить значения этих промежуточных величин, а затем — окончательный
результат.
Количество комбинаций зависит от количества переменных и вычисляется
по формуле 2N, где n – количество переменных.

Выражение, истинное при любых значениях переменных,
называется тождественно истинным, или тавтологией.
Логическое выражение всегда ложное, называется тождественно
ложным или противоречием.
Если два выражения принимают одинаковые значения при всех
значениях переменных, они называются равносильными или
тождественно равными

Алгоритм составления таблиц истинности
1. Выяснить количество строк в таблице = 2n, где n - количество
переменных).
2. Выяснить количество столбцов = количество переменных +
количество логических операций
3. Установить последовательность выполнения логических операций.
4. Построить таблицу, указывая названия столбцов и возможные
наборы значений исходных логических переменных.

Выполните задания
1. Определите количество строк и столбцов таблицы истинности для
логического выражения
Решение:
Количество строк = ………
Количество столбцов = ……
Порядок действий …............
2. Заполните пустые ячейки таблицы истинности
А
В
B vА
0
0
0
0
1
0
1
1
13
(BvА)→A
3. Cоставьте таблицы истинности
4. Символом F обозначено одно из указанных ниже логических
выражений от трех аргументов: X, Y, Z.
Дан фрагмент таблицы истинности выражения F.
Какие из этих выражений могут соответствовать F?
5. Для предыдущего задания определите, сколько различных
логических функций соответствует заданной частичной таблице
истинности?
6. Задано 5 строк таблицы истинности некоторого логического
выражения с тремя переменными.
Сколько различных логических функций ей соответствуют?
Проверь себя!
1. Объясните значения слов “логика”, “формальная логика”, “алгебра
логики”.
2. Чем отличается формальная логика от “обычной”, бытовой?
3. Что такое высказывание?
4. Можно ли считать высказываниями эти предложения:
а) Не плачь, девчонка!
б) Почему я водовоз?
в) Купите слоника!
г) Клубника очень вкусная.
д) Сумма X и Y равна 36.
5. Как вы думаете, зачем в курсе изучается логика?
6. Даны два высказывания: A — “В Африке водятся жирафы” и B — “В
Мурманске идет снег”. Постройте из них различные сложные высказывания.
7. Дано высказывание “Винни-Пух любит мед, и дверь в дом открыта”.
Как бы вы сформулировали отрицание этого высказывания?
8. Что такое таблица истинности?
9. Почему в таблице истинности для операции “НЕ” две строки, а для
других изученных операций — четыре?
14
10.Сколько строчек в таблице истинности выражения с тремя переменными? с четырьмя? с пятью?
11. В каком порядке обычно записываются значения переменных в таблице
истинности?
12. Когда истинно высказывание “A и B”? “А или B”?
12. Какие электрические схемы можно использовать для иллюстрации
операций “И” и “ИЛИ”?
13. Какие знаки применяют для обозначения операций “НЕ”, “И”, “ИЛИ”?
14. Почему операция “И” называется логическим умножением, а “ИЛИ” —
логическим сложением?
15. В чем отличие “обычного” и логического сложения?
16. Чем отличается операция “исключающее ИЛИ” от “ИЛИ”?
17. Почему операция “исключающее ИЛИ” называется сложением по модулю
2?
18. Как можно доказать или опровергнуть логическую формулу?
19. Чем отличается смысл высказывания “если A, то B” в обычной речи и в
математической логике?
20. Запишите в виде формулы высказывание “если утюг горячий, то лоб
холодный”.
21. Запишите в виде формулы высказывание “неверно, что если утюг горячий,
то лоб холодный”. Можно ли в этом
случае сразу сказать, какой утюг и какой лоб?
22. Что такое формализация?
23. В каком порядке выполняются действия в логических выражениях?
24. Что можно сделать для того, чтобы изменить “естественный” порядок
действий?
25. Какие операции называются бинарными и унарными?
26. Что такое тавтология? противоречие? Приведите примеры.
27. Что такое равносильные выражения?
28. Для какого имени истинно высказывание:
¬ (Первая буква имени гласная → Четвертая буква имени согласная)?
1) ЕЛЕНА
2) ВАДИМ
3) АНТОН
4) ФЕДОР
29. Для какого символьного выражения неверно высказывание:
Первая буква гласная → ¬ (Третья буква согласная)?
1)abedc
2)becde
3) babas 4) abcab
30. Для какого числа X истинно высказывание (X>2)Ú(X>5)→(X<3)
1) 5
2) 2
3) 3
4) 4
31) Что такое триггер?
15
Тема 1.2
План
Цели
Формируемые
компетенции
Законы логики.
Равносильные преобразования
1. Законы логики.
2.Методика упрощения формул
равносильных преобразований
логики
с
помощью
Ознакомиться с основными законами логики
Научиться использовать законы логики для упрощения
формул логики и решения прикладных задач.
ОК 1 – ОК 5.
Умения
Строить таблицы истинности для формул логики упрощать
формулы логики;
Знания
Основные принципы математической логики, теории
множеств и теории алгоритмов;
Формулы алгебры высказываний;
Задания
Изучите теоретический материал по плану, выполните
задания
и
упражнения
используя
методические
рекомендации
1. Законы логики
Законы логики - это законы правильного мышления, а не
законы самих вещей и явлений мира

16
3. Методика упрощения формул логики с помощью равносильных
преобразований
При решении многих логических задач часто приходится упрощать
формулы, полученные при формализации условий задач.
Упрощение формул в алгебре высказываний производится на основе
эквивалентных преобразований, опирающихся на основные логические законы
17

Методика упрощения формул:
1. Заменить все “не базовые” операции (исключающее ИЛИ,
импликацию, эквивалентность и др.) на их выражения через базовые
операции “НЕ”, “И” и “ИЛИ”.
2. Раскрыть отрицания сложных выражений по законам
де Моргана так, чтобы операции отрицания остались только у
отдельных переменных.
3. Используя вынесение общих множителей за скобки, раскрытие
скобок и другие законы алгебры логики, упростить выражение.
Пример 1. Упростить формулу
Здесь последовательно использованы закон де Моргана, распределительный закон, закон исключения третьего, переместительный закон, закон
повторения, снова переместительный закон и закон поглощения.
Если приравнять два логических выражения - получим уравнение. Его
решением будут значения переменных, при которых уравнение превращается в
тождество, то есть значения левой и правой частей совпадают.
Пример 2. Требуется найти все решения уравнения
Решение:
Первый способ
Импликация равна нулю только тогда, когда первое выражение равно 1, а
второе - 0. Поэтому исходное уравнение сразу разбивается на два
Первое уравнение с помощью закона де Моргана можно преобразовать к
виду
, откуда сразу следует, что все три сомножителя должны быть
равны 1. Это значит, что A = 1, B = 0 и C = 0. Кроме того, из второго уравнения
следует, что D = 0.
Решение найдено, причем оно единственное.
Второй способ.
Заменяя
импликацию
по
формуле,
получаем
Используем закон де Моргана и закон поглощения
18
Для того чтобы логическая сумма была равна нулю, каждое слагаемое
должно быть равно нулю, поэтому A = 1,
B=C=D=0.
Третий способ
Построить таблицу истинности выражения в левой части и найти все
варианты, при которых оно равно 0. Однако таблица истинности выражения с
четырьмя переменными содержит 24 = 16 строк, поэтому такой подход
достаточно трудоемок.

Выполните задания
Упростите логические выражения
*
Варианты импликации
Методические рекомендации:
выполните упражнения используя методику упрощения формул по
законам логики
1. Упростите логические выражения
2. Решите уравнения
19
3.* Сколько различных решений имеют уравнения
*
Решение прикладных задач
Методические рекомендации:
1. Формализуйте условие задачи
2. Упростите формулу используя законы логики
3. Найдите решение задачи.
1. Три школьника, Миша, Коля и Сергей, остававшиеся в классе на перемене, были вызваны к директору по поводу разбитого в это время окна в
кабинете. На вопрос директора о том, кто это сделал, мальчики ответили
следующее: Миша: “Я не бил окно, и Коля тоже…” Коля: “Миша не разбивал
окно, это Сергей разбил футбольным мячом!” Сергей: “Я не делал этого, стекло
разбил Миша”. Выяснилось, что один из ребят сказал чистую правду, второй в
одной части заявления соврал, а другое его высказывание истинно, а третий оба
раза соврал. Кто разбил стекло в классе?
(Ответ: Миша)
2. В финал соревнований по настольному теннису вышли Наташа, Маша,
Люда и Рита. Болельщики высказали свои предположения о распределении
мест в дальнейших состязаниях. Один считает, что первой будет Наташа, а
Маша будет второй. Другой болельщик на второе место прочит Люду, а Рита,
по его мнению, займет четвертое место. Третий считает, что Рита займет третье
место, а Наташа будет второй. Когда соревнования закончились, оказалось, что
каждый из болельщиков был прав только в одном из своих прогнозов. Как
распределились места?
(Ответ: I — Наташа, II — Люда, III — Рита, IV — Маша)
3. На одной улице стоят в ряд 4 дома, в каждом из них живет по одному
человеку. Их зовут Алексей, Егор, Виктор и Михаил. Известно, что все они
имеют разные профессии: рыбак, пчеловод, фермер и ветеринар.
Известно, что
(1) Фермер живет правее пчеловода.
(2) Рыбак живет правее фермера.
(3) Ветеринар живет рядом с рыбаком.
(4) Рыбак живет через дом от пчеловода.
20
(5) Алексей живет правее фермера.
(6) Виктор — не пчеловод.
(7) Егор живет рядом с рыбаком.
(8) Виктор живет правее Алексея.
Определите, кто где живет.
(Ответ: пчеловод Михаил, фермер Егор, рыбак Алексей, ветеринар Виктор)
4. Дочерей Василия Лоханкина зовут Даша, Анфиса и Лариса. У них
разные профессии и они живут в разных городах: одна — в Ростове, вторая — в
Париже и третья — в Москве. Известно, что
(1) Даша живет не в Париже, а Лариса — не в Ростове.
(2) Парижанка — не актриса.
(3) В Ростове живет певица.
(4) Лариса — не балерина.
Определите, где живет каждая из дочерей и чем занимается.
(Ответ: Даша — певица, Ростов; Анфиса — балерина, Париж; Лариса —
актриса, Москва)
5. В состав экспедиции входят Михаил, Сергей и Виктор. На обсуждении
распределения обязанностей с руководителем проекта были высказаны
предположения, что командиром будет назначен Михаил, Сергей не будет
механиком, а Виктор будет утвержден радистом, но командиром не будет.
Позже выяснилось, что только одно из этих четырех утверждений оказалось
верным. Как распределились должности?
(Ответ: Виктор — командир, Михаил — механик, Сергей — радист)
6. В ходе заседания суда выяснилось, что:
(1) Если Аськин не виновен или Баськин виновен, то виновен Сенькин.
(2) Если Аськин не виновен, то Сенькин не виновен.
Виновен ли Аськин?
(Ответ: виновен)
7. Аськин, Баськин и Васькин стали свидетелями ограбления банка. Во
время расследования Аськин сказал, что взломщики приехали на синей
“Тойоте”. Баськин считает, что это был красный “BMW”, а Васькин утверждает, что это был “Форд-Фокус”, но не синий. Выяснилось, что каждый из них
назвал неправильно либо марку, либо цвет машины. На каком автомобиле
приехали преступники?
(Ответ: красная “Тойота”)
21
Раздел 2. МНОЖЕСТВА
Тема 2.1
Основы теории множеств
План
1. Общие понятия теории множеств
2. Теоретико-множественные диаграммы
3. Абстрактные законы операций над множествами
4. Картежи и декартово произведение множеств
5. Доказательства логических тождеств
6. Диаграммы Эйлера при доказательстве тождеств
Цели
Ознакомиться с основными понятиями множеств,
способами задания множеств, операциями, выполняемыми
над множествами.
Научиться доказывать логические тождества с использованием множеств и диаграмм Эйлера.
Формируемые
компетенции
ОК1-ОК5.
Умения
Выполнять операции над множествами;
Знания
Основные принципы математической логики, теории
множеств и теории алгоритмов;
Формулы алгебры высказываний.
Задания
1. Изучите теоретический материал по плану, выполните
задания и упражнения в соответствии с методическими
рекомендациями
2. Устно подготовьте ответы на контрольные вопросы.
1. Общие понятия теории множеств

Множество - это совокупность, класс отличающихся друг от друга
объектов, объединенных каким-либо общим свойством. Объекты,
входящие в эту совокупность, называются элементами множества.
Существует два основных способа задания неупорядоченных множеств:
1. перечисление всех его элементов;
2.описание характеристического (общего) свойства его элементов.
22
Первым способом задаются конечные множества.
Примеры:
А – множество чисел, являющихся делителями числа 20: А = {1, 2, 4, 5,
10, 20}.
В – список группы: В = {Архипов, Белов,…}.
Вторым способом можно задать конечные множества, бесконечные,
пустые. Множество элементов, обладающих характеристическим свойством Р.
{x | P(x)} и читается так: множество всех х таких, что х обладает свойством
Р(х).
{x | x €R, x2 – 4 = 0} - это конечное множество и его можно задать
перечислением элементов : {2, -2}.
{x | x € R, 2< x < 5 } – бесконечное несчетное множество, а именно,
числовой промежуток (2, 5).
{x | x € R, 1= sinx} – бесконечное счетное множество.
{x | x € R, x2 + 9 = 0 } – это пустое множество, т.к. ни одно вещественное
число не удовлетворяет данному уравнению.
Множество может быть замкнутым и незамкнутым, полным и пустым,
упорядоченным и неупорядоченным, счётным и несчётным, конечным и
бесконечным.

Пустое множество - множество, не содержащее ни одного элемента.
Универсальное множество (универсум)- множество, содержащее все
мыслимые объекты («множество, включающее все множества,
участвующие в рассматриваемой задаче»)
Упорядоченное множество - множество, на котором задано
отношение порядка.
Множество А является подмножеством множества В, если любой
элемент принадлежащий множеству А, также принадлежит множеству
В.
Количество элементов, входящих в состав множества называется
мощностью множества.

Выполните задания
23
2.Теоретико-множественные диаграммы
Множества А и В могут вступать друг с другом в различные отношения.
1. Множество А включено в множество В, если каждый элемент множества
А принадлежит множеству В
2. A равно B, если A и B включены друг в друга:
3. A строго включено в B, если A включено в B, но не равно ему:
Операции над множествами
Выражения, зависящие от небольшого количества переменных (обычно не
более четырех), удобно изображать в виде диаграмм, которые называют
диаграммами Венна, или кругами Эйлера.
На такой диаграмме каждой переменной соответствует круг, внутри
которого она равна единице, а вне его - нулю. Круги пересекаются, каждый с
каждым. Области, в которых рассматриваемое логическое выражение истинно,
закрашиваются каким-либо цветом.
 Объединением множеств А и В
называется множество, состоящее из всех
элементов, принадлежащих хотя бы
одному из множеств А или В.
АυВ={х | х€А или х€В}.
24

Пересечением множеств А и В
называется множество, состоящее из
всех элементов, принадлежащих
одновременно множеству А и В.
А∩В={х | х€А и х€В}.
Разностью А\В множеств А и В
называется множество, состоящее из
всех элементов множества А, которые
не принадлежат множеству В.
А\В={х | х €А и х₡В}
Дополнением множества А до множества В называется разность
В\А
Диаграммы удобно применять для решения задач, в которых используются
множества, например, множества ссылок, полученных от поисковой системы в
ответ на какой-то запрос.
Пример:
Известно количество ссылок, которые находит поисковый сервер по
следующим запросам (здесь символ “&”обозначает операцию “И”,
а “|” — операцию “ИЛИ”):
собаки 200
кошки 250
25
лемуры 450
кошки | собаки 450
кошки & лемуры 40
собаки & лемуры 50
Сколько ссылок найдет этот сервер по запросу
(кошки | собаки) & лемуры?
Решение:
Обозначим буквами С, К и Л высказывания
“ключевое слово - собаки”, “ключевое слово -кошки”
и “ключевое слово - лемуры”. Построим диаграмму с
тремя переменными и выделим интересующую
область, которая соответствует запросу
(кошки | собаки) & лемуры)
На рисунке эта область закрашена желтым
цветом. В общем виде задача очень сложна.
Поэтому, выделим три условия
собаки 200
кошки 250
кошки | собаки 450
Это означает, что область “кошки ИЛИ собаки” равна сумме областей
“кошки” и “собаки”, то есть эти области не пересекаются! Таким образом,
диаграмма выглядит так:
Области 1 (собаки & лемуры) и 2 (кошки & лемуры) известны, они
составляют соответственно 40 и 50 ссылок, поэтому по запросу (кошки |
собаки) & лемуры) поисковый сервер выдаст 40 + 50 = 90 ссылок.
*
Абстрактные законы операций
над множествами
Методические рекомендации:
выполните задания, используя определения операций над
множествами и диаграммы Эйлера при решении задач (сделайте
чертеж)
1. Найдите пересечение и объединение множеств А и В
а) A = {1,2,3,4},B = {3,4,5,6,7}.
б) А={2,4,6,8,10}, В = {3,6,9,12}.
26
2. Даны множества А = {3,5, 0, 11, 12, 19}, В = {2,4, 8, 12, 18,0}.
Найдите множество AU В
3.Составьте не менее семи слов, буквы которых образуют подмножества
множества А -{к, а ,р, у, с, е, л, ь}.
4. Пусть A - это множество натуральных чисел, делящихся на 2, а В множество натуральных чисел, делящихся на 4. Какой вывод можно сделать
относительно данных множеств?
5. На фирме работают 67 человек. Из них 47 знают английский язык, 35 немецкий язык, а 23 - оба языка. Сколько человек фирмы не знают ни
английского, ни немецкого языков?
6. Из 40 учащихся нашего класса 32 любят молоко, 21 - лимонад, а 15 - и
молоко, и лимонад. Сколько ребят в нашем классе не любят ни молоко, ни
лимонад?
7.12 студентов любят читать детективы, 18 - фантастику, трое с
удовольствием читают и то, и другое, а один вообще ничего не читает. Сколько
студентов в группе?
8. Известно количество ссылок, которые находит поисковый сервер по
следующим запросам:
собаки 250
кошки 200
лемуры 500
собаки & лемуры 0
собаки & кошки 20
кошки & лемуры 10
Сколько ссылок найдет этот сервер по запросу кошки | собаки | лемуры?
9. Известно количество ссылок, которые находит поисковый сервер по
следующим запросам:
собаки 120
кошки 270
лемуры 100
кошки | собаки 390
кошки & лемуры 20
собаки & лемуры 10
Сколько ссылок найдет этот сервер по запросу кошки | собаки | лемуры?
10. Осуществите операции над множествами А = {2, 4, 6, 8}, В = (3, 6, 9},
если U = {1, 2, 3,..., 10}
27
*

Картежи и декартово произведение множеств
Методические рекомендации:
ознакомьтесь с теоретическим материалом,
выполните задания и упражнения.
Вектором (кортежем) называют упорядоченный набор
элементов.
Декартово произведение множеств [Cartesian product] - множество
А × В всех упорядоченных пар элементов (a, b), из которых a
принадлежит множеству A, b — множеству B.
Пусть А1 , А2 , …, Ап – конечные множества и их мощности
соответственно равны | А1| = m1 , |А2| = m2 , …,
| Ап|= mn, тогда мощность множества
|А1 х А2 х … х Аn| = | А1| х |А2| х…х| Ап|
Следствие: |An| = |A|n
Порядок следования пар может быть любым, но расположение элементов в
каждой паре (векторе, кортеже) определяется порядком следования
перемножаемых элементов. Поэтому A × B ≠ B × A, если B ≠ A.
Пример 1.
При записи шахматной партии:
А={а,b,…h} – для обозначения вертикалей
Декартово произведение числа множеств:
А1×А2×…×Аn = {(х1… хn)| х∈А, i=1...n}
Упорядоченный набор х=(х1… хn) – вектор, х – проекции вектора: х=npx.
При А1=А2=…=Аn=А, получим Аn
Пример 2. Определите длину и количество векторов прямого произведения
AxBхC множеств A={1,4,7}, B={0,2},
={5}.
Решение:
Элементы прямого произведения трех множеств являются тройки, т.е.
длина каждого вектора равна трем.
Количество векторов найдем, используя формулу: 3х2х1 = 6.
Найдем векторы прямого произведения : AхBхC = {(1,0,5), (1,2,5), (4,0,5),
(4,2,5), (7,0,5), (7,2,5)}
28

Выполните задания
1. Определите длину каждого вектора: а(1,2,3,4), b(1,2,2,4,4), с(0), d(5,8),
е(1,2,4).
2. Укажите равные векторы: а(2,2,3,4), b(2/1;3;4), с(2,0; 2/1; 3; 4), d(2,3,4,2),
f(2,3,4).
3. Определите количество векторов и их длину прямого произведения
множеств АхВхС, если А={a1, a2,…,a6}, B={b1, b2, b3}, C={c1, c2}.
4. Найдите АхВ и ВхА, если А={2,5,8}, B={6,7,7,5,8}.
5. Найдите произведения числовых отрезков [3, 5] на [0, 2]; [3, 5] на [0, 2] и на
[1, 3].
Доказательства логических тождеств
Диаграммы Эйлера при доказательстве
тождеств
Методические рекомендации:
ознакомьтесь с теоретическим материалом,
примером выполнения доказательства тождества, выполните
задания
*

Тождеством называется равенство, выполняющееся при любых
значениях переменных, входящих в него.
Закон тождества: в процессе определённого рассуждения всякое понятие и
суждение должны быть тождественны самим себе.
Закон непротиворечия: невозможно, чтобы одно и то же в одно то же время
было и не было присуще одному и тому же в одном и том же отношении. То
есть невозможно что-либо одновременно утверждать и отрицать.
Закон исключённого третьего: из двух противоречащих суждения одно
истинно, другое ложно, а третьего не дано.
Закон достаточного основания: всякая истинная мысль должна быть
достаточно обоснована.
Доказать законы алгебры высказываний можно следующими способами:
- построив таблицу истинности для правой и левой частей равенства;
- выполнив эквивалентные преобразования над правой и левой частями
равенства для приведения их к одному виду;
- с помощью диаграмм Эйлера- Венна;
- путём правильных логических рассуждений.
29
Пример: Доказательство закона де Моргана с помощью логического
рассуждения:
     
     

 
    
 

 
Доказательство закона поглощения с помощью диаграмм Эйлера- Венна

Выполните задания
1.Доказать тождества с помощью логического рассуждения:
а) (AUB)\A=B\A;
б) (A\B)U(B\A)=(AUB)\(AIB);
в) C\(AIB)=(C\A)U(C\B).
2. Доказать справедливость следующих тождеств с помощью диаграмм
Эйлера-Венна:
А) закон поглощения А ۸(А۸В) = А;
Б) закон де Моргана отрицание конъюнкции;
*В) правило замены операции импликации
Проверь себя!
1. Объясните понятие множества. Приведите примеры множеств. Как
обозначаются множества и их элементы?
2. Какие существуют способы задания множеств?
3. С помощью характеристического свойства задайте конечное, бесконечное
несчетное, бесконечное счетное и пустое множества.
4. Как обозначается принадлежность элемента множеству и не принадлежность?
5. Какие существуют отношения между двумя множествами?
30
6. Перечислите операции над множествами с приведением соответствующих
диаграмм Эйлера – Венна.
7. Задайте различными способами множество М2n всех чисел, являющихся
степенями двойки: 2,4,8,16,..., не превышающих 300?
8. Задайте различными способами множество натуральных чисел, кратных
пяти: 5,10,15,20,...
9. Что такое вектор?
10. Что называется длиной вектора?
11. Что называется прямым произведением двух, n – множеств?
31
Раздел 3. ПРЕДИКАТЫ
Тема 3.1
Предикаты
План
1. Понятие предиката. Области определения и истинности
предиката.
2. Построение отрицаний к предикатам, содержащим
кванторные операции. Формализация предложений с помощью логики предикатов
3. Понятие бинарного отношения, примеры бинарных
отношений.
4. Диаграмма бинарного отношения. Рефлексивные бинарные отношения. Симметричные бинарные отношения.
Транзитивные бинарные отношения.
Цели
Ознакомиться с основными понятиями предикатов,
способами задания, операциями выполняемыми над
предикатами.
Научиться строить отрицания к предикатам, содержащим
кванторные операции, представлять предикатную формулу
в виде ПНФ, формализовать предложения с помощью
логики предикатов.
Формируемые
компетенции
ОК 1 –ОК 5.
Умения
Выполнять операции над предикатами, записывать области
истинности предикатов, формализовать предложение с
помощью логики предикатов;
Исследовать бинарные отношения на заданные свойства.
Знания
Основы языка и алгебры предикатов.
Задания
1. Изучите теоретический материал по плану, выполните
задания и упражнения в соответствии с методическими
рекомендациями
2. Устно подготовьте ответы на контрольные вопросы.
32
1. Понятие предиката.
Области определения и истинности предиката

Предикат - (от лат. praedicatum — заявленное, упомянутое, сказанное)
это утверждение, содержащее переменные.
Предикаты часто обозначаются буквой P, например,
P(N) = "В городе N живут более 2 миллионов человек".
Если мы задаем конкретные значения переменных, предикат превращается
в логическое высказывание.
Например, для предиката P(N) полученное высказывание будет истинно
для N = “Москва” и ложно для N = “Якутск”.
Предикат, зависящий от одной переменной, — это свойство. Например,
только что рассмотренный предикат
P(N) характеризует свойство города.
Предикаты:
Простое(х) = "х — простое число"
Студент(x) = "х – студент"
Спит(х) = "х всегда спит на уроке"
Предикаты могут зависеть от нескольких переменных:
Больше(x,y) = "x больше y"
Живет(x,y) = "x живет в городе y"
Любит(x,y) = "x любит y"

Область определения предиката- (называется множество, элементы
которого могут быть подставлены в предикат, обозначается Х

Множество истинности предиката- называется множество,
элементы которого подставленные в предикат, обращают его в
истинное высказывание, обозначается Т
Тождественно – истинным называется предикат, который принимает
истинное значение на всей области определения (множество истинности
совпадает с областью определения)
Тождественно – ложным называется предикат, который принимает ложное
значение на всей области определения (множество истинности пустое).
Пример. Множество истинности двухместного предиката
2
2
S (x, y) = « x  y  9 » , заданного на множестве R2 , есть множество всех
таких пар действительных чисел, которые являются координатами точек
плоскости, образующими окружность с центром в начале координат радиуса 3.
33
Пример. Множеством истинности одноместного предиката А(х) = « | x | > 2 »
  ,  2  2 ,   
будет
Логические операции над предикатами
Логические операции над предикатами аналогичны операциям алгебры
логики. Необходимо при этом для каждой операции устанавливать связь
между множествами истинности исходных предикатов и множеством
истинности предиката, полученного в результате выполнения логической
операции.
Пусть даны предикаты, заданные на множестве D, причем предикат
A(X) - имеет множество истинности P
В (Х) - имеет множество истинности Q.

Отрицание предиката А(х) называется новый предикат, который
принимает значение «истина» при всех значениях х, при которых
предикат А(х) принимает значение «ложь», и принимает значение
«ложь», если А(х) принимает значение «истина».
Множеством истинности предиката, является дополнение Т' к
множеству Т в множестве Х.
2
2
Пример. Отрицанием предиката sin x  cos x  1 является предикат
sin 2 x  cos 2 x  1 , (x , y Є R).

Конъюнкцией двух предикатов А(х) и В(х) называется новый
предикат А(х)∧В(х) , который принимает значение «истина» при тех
и только тех значениях х Є Т, при которых каждый из предикатов
принимает значение «истина», и принимает значение «ложь» во всех
остальных случаях. Множеством истинности Т предиката А(х) В(х),
х Є Х является пересечение множеств истинности предикатов А(х) –
Т1 и В(х) – Т2, т.е. Т= Т1 ∩Т2.
Конъюнкция предикатов, используется при решении системам уравнений
или неравенств, решение которых есть конъюнкция множеств истинности
(множеств решений) каждого уравнения или неравенства. При нахождении
области определения функции, состоящей из нескольких других функций,
также используется конъюнкция предикатов.
Пример. Конъюнкцией двух одноместных предикатов
« x = 0 » и « y = 0 » , заданных на R , будет двухместный предикат
x  0    y  0  x  0    y  0  , заданный на

R2
Дизъюнкцией двух предикатов А(х) и В(х) называется новый
предикат А(х)νВ(х), который принимает значение «ложь» при тех и
только тех значениях х Т, при которых каждый из предикатов
34
принимает значение «ложь» и принимает значение «истина» во всех
остальных случаях. Областью истинности предиката является
объединение областей истинности предикатов А(х) и В(х).
Дизъюнкция предикатов, например, используется при решении системам
уравнений или неравенств, решение которых есть дизъюнкция. множеств
истинности (множеств решений) каждого уравнения или неравенства.
Пример. Дизъюнкцией двух одноместных предикатов
« x ≠ 0 » и « y ≠0 » ,определенных на R , будет двухместный предикат
 x  0   y  0 

Импликацией предикатов А(х) и В(х) называется новый предикат А(х)
В(х), который является ложным при тех и только тех значениях х Т,
при которых А(х) принимает значение «истина», а В(х) – значение
«ложь» и принимает значение «истина» во всех остальных случаях.
Читают: «Если А(х), то В(х)».
Множеством истинности предиката А(х) В(х) является объединение
множества Т2 – истинности предиката В(х) и дополнения к множеству
Т1 истинности предиката А(х).
Пример.
А(х): «Натуральное число х делится на 3».
В(х): «Натуральное число х делится на 4», можно составить предикат: «Если
натуральное число х делится на 3, то оно делится и на 4».
2. Построение отрицаний к предикатам, содержащим кванторные
операции. Формализация предложений с помощью логики предикатов

Квантор (от лат. quantum - сколько) - это знак или выражение,
обозначающее количество.
Различают два вида кванторов:
1. Квантор общности - соответствует словам: любой, всякий, каждый и
иными словам такого смысла. Обозначается символом .
2. Квантор существования - соответствует словам: существует,
найдется, хотя бы один и иными словам такого смысла. Обозначается
символом .
Предикаты с кванторами можно записать в виде:
(x)A(x)
(.x)A(x)
x P( x) 
 И , если Р( х)  тождествен но истинный предикат ;

 Л , если Р( х)  опровержим ый предикат .
 x P ( x )  
 Л , если Р ( х )  тождествен но ложный предикат ;

 И , если Р ( х)  выполнимый предикат .
35
Пример. Пусть на множестве Х простых чисел задан предикат
А(х)="Простое число x нечетное"
Поставим перед этим предикатом слово "всякое", тем самым получим
высказывание "Всякое число x нечетное" - ложное, т.к. число 2 относится к
четным числам.
Поставим перед этим предикатом слово "существует", тем самым получим
высказывание "Существует число x нечетное" - истинное, т.к., например
число 5 – нечетное число.
Действие квантора может распространяться, как на всю формулу, так и
на ее часть. Часть формулы, на которую распространяется квантор, называется
область действия квантора.
Для установления области действия могут вводиться скобки. Если
формула или ее некоторая часть находится непосредственно после квантора, то
они входят в зону действия непосредственно и скобки могут быть
опущенными.
 Переменные называются связанными, если они входят в зону
действия квантора, остальные переменные называются
свободными.
Отрицания предикатов
Пример. Имеются два утверждения:
1. Для лечения любого известного компьютерного вируса имеются программы.
2. Существуют новые (неизвестные) компьютерные вирусы, для лечения
которых программы еще не разработаны
Записать их с помощью формул логики предикатов.
Решение. Введем обозначения элементарных формул:
А(х) - известен компьютерный вирус х;
В(х) - для лечения вируса х существует программа.
С помощью логических связок и кванторов можно записать такие формулы как:
х(А(х) - любой вирус известен;
х( А(х)) - существуют новые (неизвестные) вирусы;
x(A(x)→B(x))- если вирус давно известен, то имеется программа для его
лечения.
36

Выполните задания
1. Какие из следующих высказываний являются предикатами?
2. Укажите область определения и множество значений предикатов:
а. х+1=10
б. Космическое тело x – спутник Солнца.
в. Если число x – делится на 4, то оно делится на 2.
3. Образуйте из предиката В(х)="Число x кратно 5" новые предикаты с
кванторами и установить их истинность
4. Установите истинность высказываний и записать их в виде
(х)A(x) или (x)A(x). Установить истинность полученных высказываний.
а. Любое натуральное число – четное.
б. Существуют действительные числа большие 1000.
г. Не существует рационального числа, квадрат которого равен 2.
д. Квадратное уравнение имеет два корня.
5*. Запишите с помощью кванторов следующие утверждения
а) Некоторые школьники ходят в театр
б) Все кошки серые
в) встречаются злые собаки
г) Люди ошибаются
д) Все лебеди белые или черные
6. Найдите отрицания для следующих утверждений
7. Запишите логической формулой следующий текст: "Если компьютер при
запуске не выдает ошибку при проверке оперативной памяти, то она исправна.
Если при запуске он выдает ошибку при проверке оперативной памяти и память
установлена правильно, то либо оперативная память дефектна, либо дефектна
материнская плата. Тогда если эта оперативная память правильно установлена в
другой (контрольный) компьютер и он при запуске не выдает ошибку при
проверке оперативной памяти, то оперативная память исправна".
37
*
Понятие бинарного отношения,
примеры бинарных отношений
Методические рекомендации:
Изучите теоретический материал
Выполните задания

Бинарным отношением называется подмножество декартова
произведения двух множеств.
Бинарные отношения могут обладать различными свойствами, такими как:
Рефлексивность -отношение R называется рефлексивным, если для любого
объекта х из области его определения выполняется xRx
(если всякий элемент этого множества находится в отношении R с
самим собой)
Антирефлексивность- если всякий элемент данного множества не
находится в отношении сам с собой
Симметричность - если для каждой пары элементов (х;у) данного
множества выполнение отношения хRу влечёт выполнение отношения уRх
АнтисимметричностьТранзитивность - если х и у находится в отношении и у находится в
отношении с z, то х находится в отношении с z
Бинарное отношение, обладающее свойствами рефлексивности,
симметричности и транзитивности называется отношением эквивалентности.
Отношение эквивалентности можно обозначать знаком ~.
Пример. Отношение равенства x = y является эквивалентностью на любом
множестве A , так как оно рефлексивно (x = x) , симметрично (если x =y, то y =
x), транзитивно ( если x = y и y = z, тогда x=z).
Бинарное отношение называется отношением порядка, если оно обладает
свойствами рефлексивности, транзитивности, антисимметричности.
38

Выполните задания
1. Определите свойства отношений, заданных:
На множестве натуральных чисел N:
а) R1 - "быть не больше <";
б) R2 - "быть делителем";
в) R3 - "быть равным".
На множестве точек действительной плоскости R ´ R:
а) R4 - "находиться на одинаковом расстоянии от начала координат";
б) R5 - "быть симметричным относительно оси X".
На множестве людей:
а) R8 - "быть сыном";
б) R9 - "жить в одном городе";
в) R10 - "быть братом".
2. Заполните таблицу определив не указанные свойства заданных в ней
отношений.
Рефлек
Симметрич- АнтисимТранзи- Эквива
Отношения
сивность ность
метричность тивность лентность
а=b
а≠b
а=bр
а>b
a<b
a║b
a=b (mod m)
39
Практические задания к зачету
1. Определите логическое значение последнего высказывания, исходя из
логических
значений
всех
предыдущих
высказываний
 (( A  B)  A)  1,  ( A  B)  1,  ( A  B )  ?
2. Составить таблицу истинности для формулы и указать к какому классу
она относится (выполнимая, опровержимая, тождественно истинная
(тавтология),
тождественно
ложная
(противоречие)):
(( P  Q )  Q)  ( P  Q ) .
3. Докажите,
что
справедливы
следующие
логические
следования,
руководствуясь определением этого понятия: ( P  Q)  R  P  (Q  R) .
4. Преобразуйте формулу равносильным образом так, чтобы она содержала
только логические связки: отрицание, конъюнкцию и дизъюнкцию:
X  (Y  Z ) .
5. Формулу преобразуйте равносильным образом так, чтобы отрицание
было отнесено только к пропозициональным переменным и не стояло
перед скобками: ( X  Y )  ( X  Z ) .
6. Формулу преобразуйте равносильным образом так, чтобы она содержала
только логические связки: отрицание и конъюнкцию: ( X  Y )  Z .
7. Формулу преобразуйте равносильным образом так, чтобы она содержала
только логические связки: отрицание и дизъюнкцию: ( X  Y )  Z .
8. Применяя равносильные преобразования, приведите следующую
формулу к возможно более простой форме: ( P  Q)  ( P  Q) .
9. С помощью равносильных преобразований докажите, что формула
является тождественно ложной: (( P  Q )  (( R  S )  ( P  Q)))  ( R  P) .
10.С помощью равносильных преобразований докажите, что формула
является тождественно истинной (тавтологией): ( P  (Q  Q ))  P .
11.Приведите равносильными преобразованиями следующую формулу к
дизъюнктивной нормальной форме: ( X  Z )  ( X  Y ) .
12.Приведите равносильными преобразованиями следующую формулу к
конъюнктивной нормальной форме: ( X  Z )  ( X  Y ) .
13.Для следующей формулы алгебры высказываний найдите СДН-форму с
помощью ее таблицы истинности: ( X  Y )  ( X  Z ) .
14.Для следующей формулы алгебры высказываний найдите СКН-форму с
помощью ее таблицы истинности: ( X  Y )  ( X  Z ) .
15.Найдите наипростейшую из равносильных формул от трех переменных,
которая принимает значение 1 тогда и только тогда, когда либо первый ее
аргумент равен 1, либо все аргументы равны нулю.
16.Пользуясь законом контрапозиции, докажите теорему: если две прямые
порознь параллельны третьей прямой, то они параллельны между собой.
17.Решить логическую задачу:
40
Во всех зоопарках, где есть гиппопотамы и носороги, нет жирафов. В
каждом зоопарке есть хотя бы один носорог или гиппопотам. Наконец, во
всех зоопарках, где есть гиппопотамы и жирафы, есть носороги.
Известно, что в Вишкильском зоопарке есть жираф. Есть ли там: а)
носорог; б) гиппопотам?
18.Проверьте равносильность следующих релейно-контактных схем:
19.Доказать, что  x  y  x  y .
20.Доказать, что из совокупности H  { A, B} можно вывести A  B . Записать
полученный вывод.
21.Из следующего предиката с помощью кванторов постройте
всевозможные высказывания и определите, какие из них истинны, а какие
ложны ( x  R ): x  y  16 .
22.Выясните, равносильны ли следующие предикаты, если их рассматривать
над множеством действительных чисел R, над множеством рациональных
чисел Q, над множеством целых чисел Z, над множеством натуральных
2
2
чисел N: x  1, ( x  1)( x  2 )( x  1,5)( x  1)  0 .
23.Покажите, что каждая интерпретация следующей формулы логики
предикатов на одноэлементном множестве дает истинное высказывание:
P( y )  (x)( P( x)) .
24.Докажите, что формулы в каждой из следующих пар равносильны между
(x)( P( x)  Q( x))
собой
на
одноэлементном
множестве:
и
(x)( P( x)  (x)(Q( x)) .
2
41
Содержание контрольных работ
1. Алгебра высказываний. Истинностные (булевы) функции.
Задание 1
Определите логическое значение последнего высказывания, исходя из
логических значений всех предыдущих высказываний:
1)  ( А  В)  1 ,  ( А  В)  0 ,  ( В  А)  ?
2)  ( А  В)  0 ,  ( А  В)  1 ,  ( В  А )  ?
Существуют ли три таких высказывания А, В, С, чтобы одновременно
выполнялись для них следующие условия:
3)  ( А  В)  1,  ( А  С )  0 ,  ( А  В  С )  0 .
4)  ( А  В )  1 ,  ( В  С )  1 ,  (( В  А)  С )  0 .
Задание 2
Докажите, что следующие формулы выполнимы, не составляя для них
таблиц истинности, а указав какие-нибудь значения входящих в них
пропозициональных переменных, при которых эти формулы обращаются в
истинные высказывания:
1) (( P  Q)  (Q  R))  ( P  R) .
2) (( P  Q )  ( P  Q))  ( P  Q) .
Докажите, что следующие формулы опровержимы, не составляя для них
таблиц истинности, а указав какие-нибудь значения входящих в них
пропозициональных переменных, при которых эти формулы обращаются в
ложные высказывания:
3) (( P  Q)  ( R  Q )  ( P  R))  R .
4) (( P  Q )  (Q  R)  ( R  S ))  (S  Q) .
Задание 3
Применяя равносильные преобразования,
формулы к возможно более простой форме:
42
приведите
следующие
1) ( P  Q)  (( P  Q )  P ) .
2) ( P  Q )  (( P  Q)  ( R  P)) .
С помощью равносильных преобразований докажите, что следующие
формулы являются тождественно ложными:
3) (Z  ( X  Z ))  (( X  Z )  X  Y ) .
4) ( P  (Q  R))  ( P  Q)  P  R .
Задание 4
Приведите равносильными преобразованиями каждую из следующих
формул к ДН и КН формам:
1) ( X  Y )  ( Z  T ) .
2) (( X  Y )  (Z  X ))  (Y  Z ) .
3) ( X  (Y  Z ))  (( X  Z )  ( X  Y )) .
4) (( X  Y )  Z )  ( X  ( X  Z )) .
2) Логика предикатов.
Задание 1
Применяя правило подстановки и правило заключения, установить
доказуемость формул:
1) A  A  A
2) A  A  A
3) A  B  B  A
4) A  B  B  A
Задание 2
Доказать, что:
1) H  {A  B, B  C}  A  C
2) H  {A  C}  C  A
3) H  {A  B, B}  A
4)
43
H  { A, A  B}  B
Задание 3
Для следующих формул логики предикатов найдите равносильную им
приведенную форму
1) ((x)( P( x))  (y )(Q( y )))
2) (x)( P( x))  (Q( y )  (z )( R( z )))
3) ((x)( P( x)  (y)(Q( y)))  R( z )
4) (y)( P( y )  (x)(Q( x)))
44
Задания для тестового контроля знаний
Высказывания и логические операции над ними
1. Выделите все утверждения, являющиеся высказываниями:
а) 5  x  40
б) 5  8  40
в) 5  7  40
г) 5  8  ?
2. Выберите высказывание:
а) 7  x  21
б) Студент государственного педагогического университета
в) Соблюдайте правила дорожного движения
г) Все простые числа нечетны
3. Установите соответствие между высказываниями и их отрицаниями:
1) 6 > 3
1) 6 ≠ 3
2) 6 = 3
2) 6 < 3
3) 6 ≤ 3
3) 6 ≤ 3
4) 6 > 3
4. Укажите пару высказываний, являющихся отрицаниями друг друга
а) «5 < 10», «5 > 10»
б) «функция f – четная», «функция f – не четная»
в) « 5  N », « 5  N »
г) «Все простые числа нечетны», «Все простые числа четны»
5. Таблица истинности конъюнкции имеет вид:
6. Таблица истинности дизъюнкции имеет вид:
45
7. Таблица истинности импликации имеет вид:
(верно)
8. Таблица истинности эквивалентности имеет вид
(верно)
Формулы алгебры высказываний
9. Укажите последовательность символов, являющуюся формулой алгебры
высказываний:
а) (( P  Q)  (Q  P))
б) (( P  Q) R  S )
в) ( P  Q)  RS
г) ( P  Q)  (Q  P)
10.Упорядочить логические операции в соответствии с их приоритетом
1) конъюнкция
46
2) отрицание
3) импликация
4) дизъюнкция
Ответ: отрицание; конъюнкция; дизъюнкция; импликация
11.Формула алгебры высказываний называется …, если она обращается в
истинное высказывание при всех наборах значений пропозициональных
переменных
1) выполнимой
2) тождественной истинной
3) тождественно ложной
4) опровержимой
12.Выберите набор значений пропозициональных переменных, на котором
формула алгебры высказываний P  ( P  Q ) принимает значение 0:
1)  ( P)  1,  (Q)  1 (верно)
2)  ( P)  1,  (Q)  0
3)  ( P)  0,  (Q)  1
4)  ( P)  0,  (Q)  0
13.Укажите тождественно ложную формулу алгебры высказываний:
1) X  X
2) X  X
3) X  X
4) X  X
14.Укажите тождественно истинную формулу алгебры высказываний:
1) X  X (верно)
2) X  X
3) X  X
4) X  X
Равносильность формул алгебры высказываний
15.Установите соответствие между тавтологиями и их названиями:
1) X  X
1) закон двойного отрицания
2) X  X
2) закон де Моргана
3) X  X
3) закон исключенного третьего
4) закон тождества
16.Установите соответствие между равносильными формулами алгебры
высказываний:
1) A  B
1) B  A
2) A  B
2) A  B
3) A  B
3) B  A
4) A  B
17.Из приведенных равносильностей выберите закон поглощения:
1) A  A  A
2) A  B  A  B
3) A  ( B  A)  A (верно)
4) A  B  A  B
47
18.Из приведенных формул алгебры высказываний выберите закон
контрапозиции:
1) ( P  Q)  (Q  P ) (верно)
2) ( P  (Q  P))  P
3) ( P  Q)  ( P  Q )
4) ( P  (Q  P))  Q
19.Из приведенных равносильностей выберите законы де Моргана:
1) A  B  A  B (верно)
2) ( A  B)  ( B  A )
3) A  B  A  B (верно)
4) A  ( B  A)  A
20.Тавтология (( P  Q)  R)  ( P  (Q  R)) определяет свойство …
1) идемпотентность конъюнкции
2) коммутативность конъюнкции
3) ассоциативность конъюнкции (верно)
4) дистрибутивность конъюнкции относительно дизъюнкции
Нормальные формы для формул алгебры высказываний
21.СКН-форма не существует у формулы алгебры высказываний, если она
…
1) тождественно истинная (верно)
2) тождественно ложная
3) выполнимая
4) опровержимая
22.СДН-форма не существует у формулы алгебры высказываний, если она
…
1) тождественно истинная
2) тождественно ложная
3) выполнимая
4) опровержимая
23.По набору значений переменных (0, 1) укажите конъюнктивный
одночлен, принимающий значение 1 только на этом наборе значений
переменных:
1) X  Y
2) X  Y
3) X  Y
4) X  Y
24.По набору значений переменных (1, 0) укажите дизъюнктивный
одночлен, принимающий значение 0 только на этом наборе значений
переменных:
1) X  Y
2) X  Y
3) X  Y
4) X  Y
25.Среди формул алгебры высказываний выберите ДН-форму:
1) ( X  Y  Z )  ( X  Y )
2) ( X  Y  Z )  ( X  Y )
3) ( X  Y  Z )  ( X  Y )
4) ( X  Y  Z )  ( X  Y )
48
26.Среди формул алгебры высказываний выберите КН-форму:
1) ( X  Y  Z )  ( X  Y )
2) ( X  Y  Z )  ( X  Y )
3) ( X  Y  Z )  ( X  Y ) (верно)
4) ( X  Y  Z )  ( X  Y )
27.Среди формул алгебры высказываний выберите СКН-форму:
1) ( X  Y  Z )  ( X  Y )
2) ( X  Y  Z )  ( X  Y  Z )
3) ( X  Y  Z )  ( X  Y )
4) ( X  Y  Z )  ( X  Y  Z )
28.Среди формул алгебры высказываний выберите СДН-форму:
1) ( X  Y  Z )  ( X  Y )
2) ( X  Y  Z )  ( X  Y  Z )
3) ( X  Y  Z )  ( X  Y )
4) ( X  Y  Z )  ( X  Y  Z )
29.Укажите СКН-форму, удовлетворяющую условиям F (1,0)  F (1,1)  0 :
1) ( X  Y )  ( X  Y )
2) ( X  Y )  ( X  Y )
3) ( X  Y )  ( X  Y ) (верно)
4) X
30.Укажите СДН-форму, удовлетворяющую условиям F (1,0)  F (1,1)  1 :
1) ( X  Y )  ( X  Y ) (верно)
2) ( X  Y )  ( X  Y )
3) ( X  Y )  ( X  Y )
4) X
Булевы функции
31.Количество всевозможных булевых функций одной переменных равно …
32.Количество всевозможных булевых функций двух переменных равно …
33.Количество всевозможных булевых функций трех переменных равно …
34.Последовательно соединенным контактам РКС соответствует операция
…
a. Отрицание
b. Конъюнкция (верно)
c. Дизъюнкция
d. Импликация
35.Параллельно соединенным контактам РКС соответствует операция …
a. Отрицание
b. Конъюнкция
c. Дизъюнкция (верно)
d. Импликация
36.Булева функция, заданная по правилу
49
называется …
a. Штрих Шеффера
b. Стрелка Пирса
c. Сложение по модулю два
d. Эквивалентность
37.Булева функция, заданная по правилу
называется …
a. Штрих Шеффера
b. Стрелка Пирса
c. Сложение по модулю два
d. Эквивалентность
38.Булева функция, заданная по правилу
называется …
a. Штрих Шеффера
b. Стрелка Пирса
c. Сложение по модулю два
d. Эквивалентность
39.Релейно-контактной схеме
соответствует функция проводимости
a. ( x' yz )( x  y )
b. ( x' y  xz)( x  y )
c. ( x' y  z )( x  y )
d. ( x' y  z )( x  y)
40.В виде формулы алгебры высказываний могут быть представлены …
a. Все булевы функции кроме тождественно истинных
b. Все булевы функции кроме тождественно ложных
c. Произвольные булевы функции
d. Булевы функции от двух переменных
50
Литература
1. Иванов Б.Н. Дискретная математика. Алгоритмы и программы. – М.:
Физматлит, 2002.- 288 с.
2. Компаниец Р.И., Маньков Е.В., Филатов Н.Е. Системное программирование.
/ Учебное пособие для высших и средних учебных заведений. – СПб:КОРОНА
принт, 2000. – 256с.
3. Кузнецов О.П. Дискретная математика для инженера. - СПб.: Изд. «Лань»,
2004.- 400с.
4. Лавров И.А. Максимова И.П. Задачи по теории множеств, мат. Логике, и
теории алгоритмов. М.: Физматлит, 2004.-560 с.
5. Новиков Ф.А. Дискретная математика для программистов. – СПб: Питер,
2000. – 304с.
6. Судоплатов С.В., Овчинникова Е.В. Элементы дискретной математики:
Учебник. – М.: ИНФРА-М, Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2002.-280с.
Интернет-ресурсы
1. Лаборатория математической логики: http://logic.pdmi.ras.ru/
2. Математическая логика в курсе информатики: http://infologos.narod.ru/
3. Электронные библиотеки по математике: www.4tivo.com/education/;
www.matburo.ru/literat.php; www.plib.ru; http://nehudlit.ru;
www.gaudeamus.omskcity.com; www.alleng.ru; www.symplex.ru;
www.math.ru.
51