Глава 10. Числовые и степенные ряды

ГЛАВА 10. ЧИСЛОВЫЕ И СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ
10.1. Последовательность и её предел
Рассмотрим функцию целочисленного аргумента, который обозначим буквой n, а значения функции – какой-нибудь другой буквой,
нижним индексом которой возьмём соответствующее значение аргумента: an  f (n) .
О п р е д е л е н и е 1. Последовательностью называется множество чисел, пронумерованных с помощью целых неотрицательных значений n и расположенных в порядке возрастания номеров:
a1  f (1) , a2  f ( 2) , …, an  f (n) , … .
(10.1)
Например, члены геометрической прогрессии 1 , 1 , 1 ,  явля2 4 8
ются последовательными значениями функции f (n)  1/ 2 n .
Может случиться, что с увеличением n значения an  f (n) будут
неограниченно приближаться к некоторому числу A. Тогда говорят,
что число A есть предел последовательности a1 , a2 , , an ,  при
n  ∞, и записывают:
(10.2)
lim f (n)  A или lim an  A .
n
n
О п р е д е л е н и е 2. Число A называется пределом последовательности a1 , a2 , , an ,  , если для всякого сколь угодно малого
числа   0 можно указать такое число N  0 , что при всех n  N
справедливы неравенства
(10.3)
| an  A |  .
Мы видим, что понятие предела последовательности можно считать частным случаем определения предела функции бесконечно
большого аргумента x   ∞, когда этот аргумент принимает только
целые значения.
П р и м е р ы. 1) Покажем, что последовательность
1 , 2 , 3 , , n , 
2 3 4
n 1
имеет предел, равный 1. Действительно, для выполнения неравенства
вида (10.3), принимающего в нашем случае вид
n 1  1   ,
n 1
n 1
достаточно взять n  1  1/  , т. е. n  N  1 1 . А это и означает, что 1

есть предел рассматриваемой последовательности.
2) В элементарной геометрии доказывается, что периметр правильного вписанного в данную окружность n-угольника, как функция
205
целочисленного аргумента n, имеет предел, который и принимается в
качестве длины окружности. Аналогично и площадь этого n-угольника
имеет предел, который принимается за площадь круга.
3) Последовательность
n
sin  , sin 2 , sin 3 , sin 4 ,  , sin
,
2
2
2
2
2
n
не имеет предела, так как an  sin
при n  1, 2, 3, 4,  последова2
тельно принимает значения 1, 0, – 1, 0 и затем опять те же значения в
том же порядке и т.д. Нет числа A, к которому an неограниченно приближалось бы.
4) Последовательность с общим членом an  2n 1 , значения которой при n  1, 2, 3, 4,  составляют последовательность целых нечётных чисел 1, 3, 5, 7, …, не стремится к пределу, так как значения an
при n  ∞ неограниченно увеличиваются.
О п р е д е л е н и е 3. Последовательность
(10.4)
a1 , a2 , a3 ,  , an , 
называется ограниченной сверху, если существует такое число M, что
для всех n выполняется неравенство an  M , и называется ограниченной снизу, если существует такое число m, что для всех n выполняется
неравенство an  m . Если последовательность ограничена и сверху, и
снизу, то она называется ограниченной.
Предположим, что последовательность (10.4) монотонная, т. е. её
члены либо только возрастают, либо только убывают. Укажем один
простой признак существования предела такой последовательности.
Т е о р е м а. Если последовательность (10.4) монотонна и ограничена, то она имеет конечный предел.
З а м е ч а н и е. Если последовательность (10.4) монотонная, но
неограниченная, то lim an   ∞ при n  ∞. Для немонотонной последовательности возможны не два, а три случая: 1) последовательность
имеет предел; 2) последовательность стремится к бесконечности;
3) последовательность не имеет предела ни конечного, ни бесконечного (например, последовательность an  (1) n ).
Благодаря указанному простому признаку можно убедиться в
наличии предела, хотя сам по себе признак и не указывает, чему равен
этот предел. Наиболее важным примером является доказательство существования второго замечательного предела
n
lim 1  1   e ,
(10.5)
n
n 
значение которого e  2,718 было найдено позже другими методами.
206
10.2. Числовые ряды и их свойства
О п р е д е л е н и е 1. Пусть дана бесконечная последовательность чисел a1 , a2 , a3 ,  , an ,  Бесконечным рядом (или просто рядом)
называется выражение, которое получится, если все члены этой последовательности соединить формально знаком плюс:

a1  a2  a3   an     an .
(10.6)
n1
Числа a1 , a2 , a3 ,  называются членами ряда. Выражение для nго члена ряда при произвольном n называется общим членом ряда.
Чаще всего общий член задаётся формулой, определяющей любой член
ряда в зависимости от его номера n. Например, если an  1 / 2 n , то ряд
имеет вид
1  1  1    1  .
2 4 8
2n
Иногда ряд задаётся при помощи рекуррентного соотношения,
связывающего последующий член ряда с предыдущими. При этом задаются несколько первых членов ряда и формула, по которой находятся следующие его члены. Например, пусть a1  1 , a2  1 , а рекуррент2
ная формула такова:
an  1 an1  1 an2 .
2
3
Последовательно находим по ней
a3  1  1  1 1  7 , a4  1  7  1  1  11 и т.д.
2 2 3
12
2 12 3 2 24
Таким образом, получаем ряд
1  1  7  11  61  .
2 12 24 144
Более сложной является обратная задача. Например, по заданному ряду найти его общий член an :
1  3  5  7  .
2 4 8 16
Заметим, что числители членов данного ряда есть нечётные числа, определяемые формулой 2n  1 , а знаменатели – числа, представляющие собой степень числа 2, т. е. 2 n . Следовательно, общий член
ряда имеет вид an  2n n 1 .
2
Если в дальнейшем будем говорить, что дан ряд, то будем подразумевать, что задан его общий член.
Выражение (10.6) является формальным, поскольку сумма бесконечного числа слагаемых не определена. Тем не менее в этом выраже207
нии между членами ряда поставлен знак суммирования и, следовательно, подразумевается, что члены ряда как-то складываются. Сумма любого конечного числа слагаемых будет найдена, если их складывать
последовательно по одному. Это приводит к мысли поставить в соответствие ряду по определённому правилу некоторое число и называть
его суммой ряда. С этой целью вводят понятие частичной суммы ряда.
Назовём частичными суммами ряда (10.6) следующие суммы
конечного числа его членов:
S1  a1 , S2  a1  a2 , … , Sn  a1  a2  a3   an .
(10.7)
Так как число слагаемых ряда бесконечно, то можно составить бесконечную последовательность частичных сумм
S1 , S 2 , S3 , … , S n ,.
(10.8)
О п р е д е л е н и е 2. Ряд (10.6) называется сходящимся, если
существует конечный предел последовательности его частичных сумм:
(10.9)
lim S n  S .
n
В этом случае число S называют суммой ряда и записывают:

 an  S .
n1
Если же последовательность (10.8) стремится к бесконечности
или вообще не имеет никакого предела, то говорят, что ряд (10.6) расходится. Расходящийся ряд суммы не имеет.
Таким образом, определение нового понятия суммы бесконечного
ряда дано с помощью двух уже известных действий: сложения конечного числа членов ряда и нахождения предела бесконечной последовательности чисел.
П р и м е р 1. Рассмотрим ряд

 n (n11)  11 2  21 3  31 4  .
n1
Прежде всего заметим, что общий член ряда можно записать сле1
 1  1 . Поэтому
дующим образом:
n (n  1) n n  1
S n  1 1    1  1    1  1    1  1    1  1   1 1 .
n 1
 2  2 3 3 4
 n 1 n   n n 1 
Отсюда следует, что

lim S n  lim 1  1   1  lim 1  1 и  1
 1.
n 1 
n
n
n n  1
n1 n (n  1)
П р и м е р 2. Исследуем сходимость ряда, составленного из членов бесконечной геометрической прогрессии, первый член которой
равен a, а знаменатель q:
a  a q  a q 2    a q n1   .
208
(10.10)
Рассмотрим частичную сумму этого ряда S n и произведение q S n :
S n  a  a q  a q 2    a q n1 ,
(10.11)
q n1  a
q Sn  a q  a  a    a
.
(10.12)
Вычитая равенства (10.11) и (10.12) почленно, получим формулу
a  a qn
Sn 
 a  a qn , q 1 .
(10.13)
1 q
1 q 1 q
Следует различать четыре случая.
1. Если | q | 1 , то lim q n  0 , а поэтому
q2
q3
qn
n


lim S n  lim  a  a q n   a  a lim q n  a  S .
1 q
n  1  q 1  q
 1  q 1  q n
n
2. Если | q | 1 , то q  ∞ и lim S n  ∞; ряд (10.10) расходится.
n
n
3. Если q  1 , то имеем ряд a  a  a  a  ; для него
S n  n a . При n  ∞ получим S n   ∞ в зависимости от знака a, т.е.
ряд (10.10) расходится.
4. Если q  1 , то имеем ряд a  a  a   (1) n1 a   . Его частичные суммы Sn  0 при чётном n и S n  a при нечётном n. Но такая последовательность не имеет предела, ряд (10.10) расходится.
Итак, геометрический ряд (10.10) сходится при | q | 1 и расходится при | q | 1 .
Сходящиеся бесконечные ряды обладают свойствами, которые
позволяют действовать с ними, как с конечными суммами. Свойства
вытекают из определения сходящегося ряда и теорем теории пределов.


С в о й с т в о 1. Если ряд  a n  S , то   a n   S , где   число.
n 1
n 1
С в о й с т в о 2. Если



n1
n 1
n 1
 an  S ,  bn  S  , то  (an  bn )  S  S  .
С в о й с т в о 3. Свойство сходимости или расходимости ряда не
нарушится, если в ряде отбросить или приписать к нему любое конечное число членов, начиная с начала.
Например, если сходится ряд (10.6) и его сумма равна S, то сходится и ряд

an1  an2  an3    ank     ank ,
(10.14)
k 1
полученный из данного отбрасыванием его первых n членов.
Ряд (10.14) называется n-м остатком ряда (10.6) и обозначается
(10.15)
rn  S  S n ,
209
где S n  частичная сумма исходного ряда. Отсюда вытекает свойство.
С в о й с т в о 4. Для того, чтобы ряд сходился, необходимо и достаточно, чтобы при n  ∞ остаток ряда стремился к нулю:
(10.16)
lim rn  lim (S  Sn )  0 .
n
n
Абсолютная величина остатка сходящегося ряда
(10.17)
| rn |  | S  Sn |
будет как угодно мала, если только число n взято достаточно большим.
Таким образом, мы всегда имеем возможность приближённо подсчитать сумму сходящегося ряда S  S n , взяв достаточно большое число
первых его членов. Поэтому первой основной задачей теории рядов
является исследование сходимости ряда. Установить же сходимость
ряда путём определения частичной суммы S n и вычисления её предела, как это было сделано в примерах 1 и 2, возможно далеко не всегда
из-за принципиальных сложностей при нахождении S n . Практически
используют другие способы, дающие возможность лишь установить
факт сходимости (или расходимости) ряда с помощью косвенных признаков, к рассмотрению которых и перейдём.
10.3. Необходимый признак сходимости ряда
Т е о р е м а. Если ряд сходится, то предел его общего члена при
n  ∞ равен нулю, т. е.
lim an  0 .
(10.18)
n
Д о к а з а т е л ь с т в о. Запишем частичные суммы ряда (10.6):
S n  a1  a2  a3    an1  an ,
S n1  a1  a2  a3    an1 .
Вычитая из первого равенства второе, получим
(10.19)
an  S n  S n1 .
Пусть ряд (10.6) сходится. Тогда из определения сходящегося ряда
следует, что lim S n  S , и, следовательно, lim S n1  S . Переходя в раn
n
венстве (10.19) к пределу, получим
lim an  lim ( S n  S n1 )  lim S n  lim S n1  S  S  0 ,
n
n
n
n
что и требовалось доказать.
С л е д с т в и е. Если предел общего члена ряда при n  ∞ не равен нулю:
(10.20)
lim an  0 ,
n
то ряд расходится.
З а м е ч а н и е. Равенство (10.18) называется необходимым признаком (условием) сходимости, а соотношение (10.20) является достаточным признаком (условием) расходимости ряда.
210
П р и м е р 1. Исследуем сходимость ряда
2  4  6    2n  .
3 5 7
2n 1
Общий член ряда при n  ∞ имеет предел, отличный от нуля:
2 1 0 .
2 1
n
Значит, данный ряд расходится.
Условие lim an  0 при n  ∞ является необходимым для сходимости ряда, но не является достаточным. Это означает, что существуют ряды расходящиеся, для которых это условие выполняется.
Рассмотрим два примера.
П р и м е р 2. Исследуем сходимость ряда
lim an  lim
n
n
1  1  1    1  .
1
2
3
n
Здесь lim an  lim 1/ n  0 . Однако легко показать, что ряд расходитn
n
ся. Для этого оценим частичную сумму ряда:
S n  1  1  1    1  1  1  1  1  n  1  n .
1
2
3
n
n
n
n
n
n
Отсюда непосредственно следует, что lim S n  ∞, и, следовательно,
n
данный ряд расходится.
П р и м е р 3. Рассмотрим ряд

1  1  1    1    1 ,
(10.21)
2 3
n
n1 n
который называют гармоническим рядом. Очевидно, что lim an  0 ,
n
т. е. для гармонического ряда необходимое условие сходимости выполнено. Докажем, что ряд (10.21) расходится.
Из второго замечательного предела (10.5) и монотонности ограниченной последовательности bn  (1  1/ n) n следует, что при любом n
имеет место неравенство (1  1/ n) n  e , логарифмируя которое по основанию e, получим:
n ln (1  1 )  1  ln n 1  1  1  ln (n 1)  ln n .
n
n
n
n
Подставляя в полученное неравенство поочерёдно n  1, 2, , n 1, n,
оценим частичную сумму гармонического ряда:
Sn  1  1  1    1  (ln 2  ln 1)  (ln 3  ln 2)  (ln 4  ln 3)  
2 3
n
 ln n  ln (n 1)  ln (n  1)  ln n  ln (n  1) .
211
Поскольку lim ln (n  1)  ln  lim (n  1)   ∞, получаем lim Sn  ∞,
n
n
 n

т. е. гармонический ряд расходится.
Исследование сходимости ряда обычно начинают с проверки выполнения условия (10.18), чтобы сразу выделить расходящиеся ряды,
для которых это условие не выполняется. Однако выполнение условия
(10.18) говорит лишь о том, что ряд может сходиться. Сходится ли он
или расходится, должно показать дополнительное исследование с помощью достаточных признаков.
10.4. Признаки сходимости положительных рядов
Пусть дан ряд, все члены которого неотрицательны, т. е.
an  0 (n  1, 2, ) . Тогда S n1  S n  an1  S n (n 1, 2, ) , т. е. последовательность частичных сумм S1 , S 2 , , S n ,  является монотонно возрастающей. На основании достаточного признака существования предела монотонной последовательности, указанного в теореме п. 10.1,
справедливо следующее утверждение.
Т е о р е м а 1. Если все частичные суммы ряда с неотрицательными членами ограничены сверху S n  M , то ряд сходится.
С помощью этой теоремы доказываются достаточные признаки
сходимости рядов, которые удобны для практического применения.
Т е о р е м а 2. (Признак Даламбера). Пусть дан ряд с положительными членами
(10.22)
a1  a2  a3   an   .
(an  0)
и существует конечный или бесконечный предел
a
(10.23)
lim n1  l .
n an
Тогда ряд сходится при l  1 и расходится при l  1 .
З а м е ч а н и я. 1) Если l  1 , то ряд (10.22) может быть как сходящимся, так и расходящимся. В этом случае приходится исследовать
ряд с помощью других признаков.
2) Признак Даламбера целесообразно применять, когда общий
член ряда содержит выражение a n (a  0, a  1) или выражение
n!  1 2  3(n 1)  n (эн факториал).
П р и м е р 1. Исследовать сходимость рядов:
 3n n !
а) 1  22    nn  ;
б)  n .
2 2
2
n1 n
a
Р е ш е н и е. а) Так как lim n1  lim  n n11 : nn   lim n  1  1  1 ,
n an
n  2
2  n 2n 2
то по признаку Даламбера ряд сходится.
212
 3n1 (n  1) ! 3n n! 
an1
3n  3  (n  1)  n n  n!

 lim 
:

lim

n1
n an
n
n n  n (n  1) n  (n  1)  3n  n!
 (n  1)
б) lim
n
n n  3 lim  n  


n ( n  1) n
n  n  1 
3
3

 3 1 .
n
n
e
n

1
1

lim 
lim 1  
n  n 
n 
n
По признаку Даламбера ряд расходится.
Т е о р е м а 3. (Интегральный признак Коши). Пусть члены ряда
(10.22) положительны и не возрастают, т. е.
(10.24)
a1  a2  a3   an   .
 3 lim
Если существует непрерывная невозрастающая функция f (x), заданная
при x  1 , такая, что f (n)  an , то справедливы следующие утверждения:
1) ряд сходится, если интеграл

 f ( x) dx имеет конечное значение;
1
2) ряд расходится, если указанный интеграл равен бесконечности.
З а м е ч а н и е. Теорема остаётся справедливой, если неравенства
(10.24) выполняются, лишь начиная с некоторого номера N. Тогда в
интеграле нижний предел можно заменить любым числом a  1 .
П р и м е р 2. Исследовать сходимость рядов:

1 ;
2
n 1 1  n
а) 

б)  1p ,
n 1 n
(p – любое действительное число).
1 . Заменив в формуле
1 n2
общего члена n на x, получим функцию f ( x)  1 2 , удовлетворяю1 x
щую условиям интегрального признака. Вычислим несобственный интеграл по определению, данному формулой (5.31):
Р е ш е н и е. а) Общий член ряда a n 


1
1
 f ( x) dx  
b
b
dx
dx

lim
 lim arctg x 

2
2
b


b


1
1 x
1 1 x
 lim (arctg b  arctg 1)  lim arctg b         .
b
b
4 2 4 4
Так как несобственный интеграл имеет конечное значение, то по интегральному признаку данный ряд сходится.
б) Общий член ряда an  1p . При p  0 не выполняется необn
ходимый признак сходимости, так как lim 1p  0 при p  0 , и, согласn n
но формуле (10.20), в этом случае ряд расходится. При p  0 необходимый признак сходимости lim an  0 выполняется, и ряд может схоn
213
диться. Сходится ли он или расходится, установим по интегральному
признаку. Заменив в формуле общего члена n на x, получим функцию
f ( x)  1p , которая удовлетворяет при p  0 условиям интегрального
x
признака на промежутке [ 1,  ∞). Вычислим несобственный интеграл
от функции f (x) при p  1 и p 1 :
 1
b
dx  lim x  p dx  lim x  p1 b  lim b1 p 1   p 1, если p  1,

 p b 
b  p 1 1 b 1 p
1 x
1
 , если p  1.


b
b
dx
dx
ln x  lim ln b   ∞.
 x  blim
 x  blim



1 b
1
1
Ряд

 1p называется рядом Дирихле. Из решения следует, что
n1 n
ряд Дирихле сходится при p  1 и расходится при p  1 . Рассмотренный ранее расходящийся гармонический ряд есть частный случай ряда
Дирихле при p  1 .
Иногда быстрей приводит к цели не непосредственное исследование данного ряда с помощью рассмотренных признаков Даламбера и
Коши, а сравнение его с рядом, поведение которого уже известно. В
качестве «эталонных» рядов часто используют уже рассмотренные ряды:
1. Геометрический ряд

 a q n1  сходится при | q | 1 , расходится
n1
при | q | 1 ;
2. Гармонический ряд

 1n  расходится;
n1

3. Ряд Дирихле  1p  сходится при p  1 и расходится при p  1 .
n1 n
Т е о р е м а 4. (Предельный признак сравнения). Пусть даны два
положительных ряда


n1
n1
 an и  bn . Если существует конечный, от-
личный от нуля предел отношения общих членов этих рядов
a
lim n  A
(0  A  ∞),
n bn
то оба ряда сходятся или расходятся одновременно.
П р и м е р 3. Исследовать сходимость рядов:
а)

1 ;
3

2n
n1

б)

 sin 1n ;
n 1
214
в)

 3  n3 .
n 1
2n
(10.25)
Р е ш е н и е. а) Сравним данный ряд с геометрическим рядом

 1n , который сходится при q  12 1 . Имеем
n 1 2
an
2n
1
 lim  1 : 1   lim

1 .
bn n  3  2 n 2 n  n 2 n (1  3 ) 1  lim 3
n 2 n
2n
Данный ряд сходится по предельному признаку сравнения.
б) Общий член ряда имеет вид an  sin 1 . Сравним данный ряд с
n

расходящимся гармоническим рядом  1 , общий член которого обоn1 n
lim
n
sin 
значим bn  1 . Используя первый замечательный предел lim
1 ,
n
0 
получим
sin 1
a
n  lim sin   1 .
lim n  lim
n bn
n 1
0 
n
Согласно теореме 4 исследуемый ряд расходится.
в) Общий член ряда an  3  n3 имеет отношение старших степе2n
ней числителя и знаменателя, равное 1/ n2 . Поэтому сравним данный
ряд с рядом Дирихле

 12 , который сходится при p  2 . Получаем:
n 1
n
1 3
3  3n 2
an


3

n
n
n 1 .
1
lim
 lim 
:   lim
 lim
n bn
n  2  n 3 n 2  n n 3  2
n
1  23
n
По теореме 4 данный ряд сходится.
В п. 10.2 были приведены некоторые свойства, аналогичные свойствам конечных сумм, которыми обладает всякий сходящийся ряд. Положительные же сходящиеся ряды обладают ещё двумя свойствами
конечных сумм.
С в о й с т в о 1. Положительные ряды обладают переместительным свойством: в них можно менять местами члены и это не влияет ни
на сходимость ряда, ни на величину его суммы.
С в о й с т в о 2. Если два сходящихся положительных ряда перемножать по правилу умножения конечных сумм (т. е. каждый член одного ряда помножить на каждый член другого ряда), то полученный в
результате умножения положительный ряд также сходится и сумма его
равна произведению сумм исходных рядов.
215
10.5. Знакочередующиеся и знакопеременные ряды
О п р е д е л е н и е 1. Числовой ряд вида

a1  a2  a3  a4    (1) n1 an     (1) n1 an ,
(10.26)
n1
где an  0 для всех n и любые два соседних члена имеют противоположные знаки, называется знакочередующимся.
Т е о р е м а 1. (Признак Лейбница). Знакочередующийся ряд
(10.26) сходится, если выполняются два условия:
1. Последовательность абсолютных величин членов ряда монотонно убывает, т. е. a1  a2  a3    an   ;
2. Общий член ряда стремится к нулю: lim an  0 .
n
При этом сумма S ряда (10.26) удовлетворяет неравенствам
(10.27)
0  S  a1 .
З а м е ч а н и я. 1. Исследование знакочередующегося ряда вида
a1  a2  a3  a4  
с отрицательным первым членом сводится путём умножения всех
его членов на (1) к исследованию ряда (10.26). Согласно свойству 1,
п. 10.2, эти ряды ведут себя одинаково, т. е. или оба сходятся, или оба
расходятся. Следовательно, не нарушая общности, будем всегда считать первый член знакочередующегося ряда положительным.
2. Сумму S сходящегося по признаку Лейбница ряда можно представить как S  S n  rn , где S n  сумма первых n членов ряда, а
rn  сумма остатка ряда. Соотношение (10.27) позволяет получить простую и удобную оценку погрешности приближённого равенства S  S n .
Отбрасываемый остаток ряда представляет собой также знакочередующийся ряд (1) n1 (an1  an 2  an3  ) , сумма которого по модулю
будет удовлетворять неравенству
(10.28)
| rn || S  S n |  | an1 | .
Поэтому погрешность приближённого равенства S  S n меньше
модуля первого из отброшенных членов.
1 1 1
П р и м е р 1. Дан ряд 1     .
2! 3! 4!
Исследовать сходимость ряда и, в случае его сходимости, вычислить сумму ряда с точностью до 0,01.
Р е ш е н и е. Так как ряд знакочередующийся, то применим признак Лейбница: 1  1  1  1   1   ; lim 1  0 . Оба условия
2! 3! 4!
n!
n n !
признака Лейбница выполняются, ряд сходится. Тогда сумма S ряда
216
существует и равна S  S n  rn , где, по условию, | rn |  0,01 . Найдём
теперь первый из отбрасываемых членов ряда, удовлетворяющий аналогичному условию | an1 |  0,01 . Имеем:
| a2 |  1  1 ,
| a3 |  1  1  1 ,
2! 2
3! 2  3 6
1
1
1
1
1
| a4 |  

| a5 |  
 1  0,01 .
,
4! 6  4 24
5! 24  5 120
Так как | a5 |  0,01 , то требуемая точность будет достигнута, если
| a1 |  1 ,
S  S 4 . Таким образом,
S 1  1  1  1  1  1  5  0,625  0,63 .
2 6 24 2 8 8
Рассмотрим теперь ряды с членами произвольных знаков. Такие
ряды называются знакопеременными рядами.
Возьмём какой-нибудь знакопеременный ряд

a1  a2  a3    an     an ,
(10.29)
n1
где числа a1 , a2 , a3 , , an ,  могут быть как положительными, так и
отрицательными, причём расположение положительных и отрицательных членов в ряде произвольно. Рассмотренный выше знакочередующийся ряд (10.26) является его частным случаем. Одновременно рассмотрим ряд, составленный из абсолютных величин членов ряда
(10.29):

| a1 |  | a2 |  | a3 |    | an |    | an | .
(10.30)
n1
Может оказаться, что сходятся оба ряда: и (10.29), и (10.30).
Сходимость ряда (10.30) зависит от скорости стремления к нулю его
членов. Возьмём, к примеру, в качестве ряда (10.29) ряд
 ( 1) n1
1 1  1  1  1  
.
2
4 9 16 25
n1 n
Это знакочередующийся ряд, который, очевидно, сходится по признаку Лейбница. Если составить для него ряд (10.30):

1  1  1  1  1     12 ,
4 9 16 25
n1 n
то он также сходится как ряд Дирихле при p  2 1 .
Может оказаться и так, что ряд (10.29) сходится, а ряд (10.30) при
этом расходится. Например, если в качестве исходного ряда (10.29)
 (1) n1
взять ряд 
, также сходящийся по признаку Лейбница, то соn
n1
ставленный для него ряд (10.30) (гармонический ряд) будет уже расходящимся рядом.
217
Таким образом, для некоторых сходящихся рядов с членами произвольных знаков соответствующие им положительные ряды вида
(10.30) сходятся, а для некоторых – расходятся. Те сходящиеся ряды,
для которых соответствующие им ряды (10.30) также сходятся, выделяют в особую группу рядов. А именно – даётся следующее определение.
О п р е д е л е н и е 2. Сходящийся ряд (10.29) называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд (10.30), составленный из абсолютных величин членов первого ряда. Ряд (10.29) называется условно
сходящимся, если он сходится, а ряд, составленный из абсолютных величин его членов, расходится.
Заметим, что деление сходящихся рядов на абсолютно и условно
сходящиеся существенно. Дело в том, что абсолютно сходящиеся ряды
так же похожи по своим свойствам на конечные суммы, как и положительные ряды, тогда как условно сходящиеся ряды некоторыми из этих
свойств не обладают.
Риманом доказана теорема, что если дан условно сходящийся ряд,
то для любого числа A можно найти такую перестановку членов данного ряда, что после перестановки получится сходящийся ряд, имеющий суммой число A. Можно также указать такую перестановку членов условно сходящегося ряда, которая превратит его в расходящийся
ряд. Теорема Римана подчёркивает, что некоторые из привычных нам
свойств конечных сумм теряют силу при переходе к бесконечным
суммам.
Для знакопеременных рядов имеет место следующий общий достаточный признак абсолютной сходимости.
Т е о р е м а 2. Если ряд (10.30) сходится, то ряд (10.29) тоже
сходится и притом абсолютно.
Для установления абсолютной сходимости используют все признаки сходимости знакоположительных рядов, указанные в п. 10.4, заменяя всюду общий член ряда его модулем.
П р и м е р 2. Исследовать сходимость рядов:

 ( 1) n n
 ( 1) n
3;
а)  (1) n 4n 
б)
;
в)
.


5n
n 1 10 n  1
n1
n 2 ln n
Р е ш е н и е. а) Составим ряд из абсолютных величин

 | an |
n1

3 . Для его исследования воспользуемся признаком Даламбера:
  4n 
n
5
n1
n
| an1 |
3   lim (4n  7) 5  1 lim 4  7 / n  1 1 .
 lim  4nn17 : 4n 

n | an |
n  5
5n  n 55n (4n  3) 5 n 4  3/ n 5
Таким образом, ряд из абсолютных величин по признаку Даламбера
сходится. По теореме 2 заданный ряд сходится абсолютно.
lim
218
б) Составим ряд из абсолютных величин


 | an |   ln1n . Для ис-
n 2
n 2
следования сходимости этого ряда сравним его члены с членами гармонического ряда. Для любого n  2, 3,  справедливы неравенства
ln n  n  1  1 . Согласно примеру 3, п. 10.3, предел частичных
ln n n
сумм гармонического ряда равен бесконечности. Следовательно, предел частичных сумм ряда

 ln1n тоже равен бесконечности, т.е. ряд рас-
n 2
ходится. Таким образом, заданный ряд абсолютной сходимости не имеет.
 (1) n
Поскольку ряд 
 знакочередующийся, то для исследоваn2 ln n
ния его сходимости можно использовать признак Лейбница. Так как
оба условия признака Лейбница выполняются:
1  1  1  1  ,
lim 1  0 ,
ln 2 ln 3 ln 4
ln n
n ln n
то данный ряд сходится. Поэтому, согласно определению 2, данный
знакочередующийся ряд сходится условно.
в) Данный знакочередующийся ряд расходится, так как для него
не выполняется необходимое условие сходимости:
1
lim | an |  lim n  lim
 1 0.
n
n 10 n  1 n 10  1 / n 10
10.6. Степенные ряды
Будем теперь рассматривать ряды, членами которых являются не
числа, а функции:
(10.31)
u1 ( x)  u2 ( x)    un ( x)   ;
такие ряды называются функциональными.
Если членами функционального ряда (10.31) являются степенные
функции, т. е. он имеет вид

c0  c1 x  c2 x 2  c3 x 3    cn x n     cn x n , или
(10.32)
n0

c0  c1 ( x  a)  c2 ( x  a) 2  cn ( x  a) n  cn ( x  a) n ,
(10.33)
n0
то ряд называется степенным, а числа c0 , c1 , c2 ,  называются коэффициентами степенного ряда. Ряд (10.32) есть частный случай ряда
(10.33) при a  0 . Подстановка x  a  x при a  0 приводит (10.33) к
ряду вида (10.32):
2
3
n
c0  c1 x  c2 x  c3 x    cn x   .
219
Поэтому для изучения степенных рядов достаточно рассмотреть подробно ряды вида (10.32).
Если в степенном ряде (10.32) придать x какое-либо значение x0 ,
то получим числовой ряд
c0  c1x0  c2 x02  c3 x03   cn x0n  ,
который может сходиться или расходиться. Совокупность всех тех
значений x, при которых степенной ряд сходится как числовой ряд,
называется областью его сходимости и устанавливается с помощью
теоремы Абеля.
Т е о р е м а А б е л я. 1) Если степенной ряд сходится при значении x  x0  0 , то он сходится абсолютно при всех значениях x таких,
что | x |  | x0 | . 2) Если степенной ряд расходится при x  x1 , то он расходится при всех значениях x таких, что | x |  | x1 | (рис.75).
абсолютно
сходится
расходится
 | x1 |  | x0 |
0
расходится
x
| x0 | | x1 |
Рис.75
Из теоремы Абеля следует, что для всякого степенного ряда существует такое число R  0 , что при | x |  R ряд сходится абсолютно, а
при | x |  R ряд расходится (рис.76). В точках x   R ряд может сходиться или расходиться, т. е. в этих точках необходимо дополнительное исследование.
расходится
?
абсолютно
сходится
?
R
0
R
расходится
x
Рис.76
Число R называется радиусом сходимости, а интервал (R ; R)
называется интервалом сходимости степенного ряда. В отдельных
случаях, зависящих от конкретного исследуемого ряда, к интервалу
сходимости добавляются один или оба его конца. У некоторых степенных рядов интервал сходимости вырождается в точку x  0 (при R  0) ,
а у других охватывает всю числовую ось (,  ) (при R  ) .
Найдём формулу для вычисления радиуса сходимости R степенного ряда (10.32). Для этого используем достаточный признак абсолютной сходимости Даламбера для знакопеременных рядов:
lim
n
u n1 ( x)
c x n1
c
| x|
 lim n1 n  | x |  lim n1 
 1.
n cn
u n ( x) n cn x
R
220
(10.34)
Пусть существует конечный и не равный нулю предел вида
R  lim
n
cn
.
cn1
(10.35)
Тогда из (10.34) получаем | x |  R , т. е. число R , определённое формулой (10.35), является радиусом абсолютной сходимости степенного ряда (10.32) в интервале (R ; R) (рис.76).
Для степенного ряда вида (10.33) радиус сходимости R вычисляется также по формуле (10.35), а интервалом сходимости является конечный или бесконечный интервал (a  R ; a  R) с центром в точке
x  a , внутри которого этот ряд сходится абсолютно, а вне его расходится (рис.77).
В точках x  a  R и x  a  R
абсолютно ? расходится
расходится ?
сходится
ряд может как сходиться (абx
aR
aR
a
солютно или условно),
Рис.77
так и расходиться, что определяется с помощью дополнительного исследования в этих точках.
З а м е ч а н и е. Формула радиуса сходимости R степенного ряда
получена в предположении, что все коэффициенты членов ряда, начиная с некоторого, отличны от нуля. Поэтому применение формулы
(10.35) допустимо только в этом случае. Если это условие нарушается,
то радиус сходимости степенного ряда следует искать, решая непосредственно неравенство (10.34) относительно | x | .
П р и м е р. Найти области сходимости степенных рядов:
а)

n
 xn;
n 1
б)
n3

n
 xn! ;
в)
n 1

 n! ( x  5) n ;
n1
г)

( x  2) n
.
n2
n1

Р е ш е н и е. Чтобы найти область сходимости степенного ряда,
надо сначала определить его интервал сходимости и затем выяснить
сходимость ряда на концах интервала.
а) Для данного ряда имеем
1
1
,
cn  n , cn1 
(n  1) 3n1
n3
R  lim
n
cn
(n  1) 3n 3
 1
 lim
 3 lim 1    3 .
n
n 
cn1 n n 3
n
Интервалом абсолютной сходимости является интервал (3 ; 3) .
Теперь выясним поведение ряда на концах интервала сходимости.
При x  3 получаем ряд

(3) n
n1
n 3n


(1) n 3n
n1
n 3n

(1) n
1 1 1
 1     .
n
2 3 4
n1


221
Это знакочередующийся ряд, который сходится условно по признаку
1 1
1
1
Лейбница, так как 1       и lim  0 . При x  3 получим
n n
2 3
n
гармонический расходящийся ряд

 1
3n
1 1
1
   1       .
n
n
2
3
n
n
3
n1
n1
Таким образом, областью сходимости данного степенного ряда
является конечный полуинтервал [3 ; 3) .
б) Для данного ряда

c
1
1
n! (n  1)
, cn1 
, R  lim n  lim
 lim (n  1)  ∞.
n

n

n
cn1
n!
(n  1) !
n!
Так как R  ∞, то исследуемый степенной ряд сходится абсолютно при
любом конечном значении x, т. е. областью сходимости является вся
числовая ось (,  ) .
cn 
в) Здесь cn  n ! , cn1  (n  1) ! , R  lim
n
Следовательно, ряд
cn
n!
 lim
0.
cn1 n n !(n  1)

 n! ( x  5) n сходится лишь тогда, когда выполня-
n1
ется равенство ( x  5)  0 , т. е. в точке x  5 .
г) Аналогично предыдущим примерам найдём
1
1
,
cn  2 , cn1 
n
(n  1) 2
2
R  lim
n
cn
(n  1) 2 
 1 
 lim
  lim 1    1 .
2
cn1 n n
n  n 
Так как степенной ряд вида

 cn ( x  a) n сходится абсолютно в
n0
интервале (a  R ; a  R) с центром в точке x  a , то при a  2 и R  1
получаем интервал (1; 3).
Исследуем сходимость ряда на концах интервала. При x  1 полу(1) n
. При x  3 получим
2
n 1 n

чим знакочередующийся сходящийся ряд 


1
, сходящийся при p  2 1 . Следоn2
вательно, знакочередующийся ряд сходится абсолютно при x  1 , а заданный степенной ряд сходится абсолютно на отрезке [1; 3] .
положительный ряд Дирихле
n 1
222
10.7. Свойства степенных рядов
Пусть степенной ряд

 cn x n имеет радиус сходимости R  0 . То-
n0
гда для каждого x (R ; R) ряд имеет определённую конечную сумму.
Эта сумма является функцией аргумента x, определённой при
R  x  R и, может быть, в одной или обеих точках x   R . Обозначая функцию через f (x) , будем иметь равенство:
(10.36)
f ( x)  c0  c1x  c2 x 2  c3 x3   cn x n   .
В этом случае говорят, что функция f (x) разлагается в степенной
ряд на интервале (R ; R) . Вне интервала сходимости равенство
(10.36) не имеет смысла.
В математическом анализе доказывается, что свойства сходящихся степенных рядов аналогичны свойствам многочленов, представляющих собой конечные суммы степенных функций. Сформулируем некоторые, наиболее важные, свойства степенных рядов.
Т е о р е м а 1. Сумма f (x) степенного ряда (10.36) есть непрерывная и дифференцируемая функция в любой точке интервала сходимости ряда.
Т е о р е м а 2. Степенной ряд (10.36) в интервале его сходимости
можно почленно дифференцировать неограниченное число раз, причём
получающиеся при этом степенные ряды имеют тот же радиус сходимости, что и исходный ряд, а суммы их соответственно равны
(10.37)
f ( x) , f ( x) , , f (n) ( x) , .
Т е о р е м а 3. Степенной ряд (10.36) можно неограниченное число раз почленно интегрировать в пределах от 0 до x, если x ( R ; R) ,
причём получающиеся при этом степенные ряды имеют тот же радиус
сходимости R, что и исходный ряд, а суммы их соответственно равны
x
x x

(10.38)
 f ( x) dx ,
   f ( x) dx  dx ,  .
0
0 0

В частности, степенной ряд можно почленно интегрировать на
каждом отрезке [a ; b]  (R ; R) . Это значит, что при  R  a  b  R
справедливо равенство:
b
b
b
b
a
a
a
a
2
 f ( x) dx  c0  dx  c1  x dx  c2  x dx   .
(10.39)
Сформулированные свойства степенных рядов по степеням x сохраняются и для рядов по степеням двучлена ( x  a) , т. е. рядов вида
(10.33), сходящихся в интервале (a  R ; a  R) .
223
10.8. Разложение функций в степенные ряды.
Ряды Тейлора и Маклорена
В различных приложениях важное значение имеет представление
функции в виде суммы степенного ряда, так как появляется возможность приближённо заменить её суммой нескольких первоначальных
членов степенного ряда, т. е. многочленом. Это позволяет с заданной
точностью осуществлять приближённое вычисление значений функций
и определённых интегралов от функций, не интегрируемых в конечном
виде, находить приближённые решения дифференциальных уравнений.
Пусть функция f (x) является суммой степенного ряда
f ( x)  c0  c1 ( x  a)  c2 ( x  a) 2    cn ( x  a) n   ,
(10.40)
интервал сходимости которого (a  R ; a  R) . В этом случае говорят,
что функция f (x) разлагается в степенной ряд в окрестности точки
x  a или по степеням двучлена x  a .
Найдём коэффициенты c0 , c1, , cn ,  этого степенного ряда.
Мы знаем, что в интервале сходимости степенной ряд можно почленно
дифференцировать неограниченное число раз, причём в результате получается ряд, имеющий тот же интервал сходимости (a  R ; a  R), что и
исходный ряд. Последовательно дифференцируя равенство (10.40) получим тождества, справедливые для любого x из интервала сходимости:
f ( x)  1 c1  2  c2 ( x  a)  3  c3 ( x  a) 2    n  cn ( x  a) n1   ,
f ( x) 12c2  23c3 ( x  a) 34c4 ( x  a) 2  (n 1)ncn ( x  a) n2  ,
f ( x) 1 2  3c3  2  3 4c4 ( x  a)  (n  2)( n 1) ncn ( x  a) n3  ,
………………………………………………………………………….
f (n) ( x)  n !cn  (n  1) !cn1 ( x  a)  
………………………………………………………………………….
Полагая в равенстве (10.40) и полученных тождествах x  a , имеем
f (3) (a )
f ( a )
f ( n) (a)
f (a)
,, cn 
, .(10.41)
, c2 
, c3 
2!
3!
n!
1!
Подставляя найденные значения коэффициентов в равенство
(10.40), получим представление функции в виде ряда
c0  f (a) , c1 
f ( x)  f ( a ) 
f (a)
f (a)
f ( n) (a)
( x  a) 
( x  a) 2 
( x  a) n  , (10.42)
1!
2!
n!
который называется рядом Тейлора для функции f (x) , а коэффициенты членов этого ряда, определяемые по формулам (10.41), называются коэффициентами Тейлора для функции f (x) в точке x  a .
224
В частном случае, при a  0 ряд (10.42) принимает вид
f (0)
f (0) 2
f ( n) (0) n
(10.43)
f ( x)  f (0) 
x
x  
x .
1!
2!
n!
Этот ряд называется рядом Маклорена для функции f (x) .
Итак, если функция разлагается в ряд по степеням x a , то этот
ряд является её рядом Тейлора (или рядом Маклорена, если a  0 ).
З а м е ч а н и е 1. Если заранее не предполагать, что функция
f (x) может быть разложена в степенной ряд, но считать её бесконечное число раз дифференцируемой и формально составить для неё ряд
Тейлора, то ниоткуда не следует, что этот ряд будет сходиться при
значениях x, отличных от a (при x  a ряд (10.42) всегда сходится, так
как имеет вид f (a) 00 ). Более того, может оказаться, что ряд
Тейлора, составленный для функции f (x) , сходится, но его сумма есть
вовсе не f (x) , а какая-то другая функция.
Выясним теперь, при каких условиях сумма ряда Тейлора данной
функции совпадает с функцией, для которой этот ряд составлен. Запишем частичную сумму ряда Тейлора
f (a)
f (a)
f ( n) (a)
S n ( x)  f ( a ) 
( x  a) 
( x  a) 2 
( x  a) n .(10.44)
1!
2!
n!
Эта частичная сумма называется многочленом Тейлора степени n. Рассмотрим разность между функцией f (x) и её многочленом Тейлора
степени n. Эта разность называется остаточным членом ряда Тейлора
и обозначается через Rn (x) :
(10.45)
Rn ( x)  f ( x)  S n ( x) .
Величина остаточного члена Rn (x) даёт при этом ту погрешность, которая получается при замене функции f (x) многочленом Тейлора S n (x) .
З а м е ч а н и е 2. Не следует смешивать остаточный член ряда
Тейлора с остатком ряда Тейлора. Остаток ряда Тейлора – это разность между его суммой S (x) и частичной суммой S n (x) , т. е.
rn ( x)  S ( x)  S n ( x) , а остаточный член ряда Тейлора Rn (x)  это разность между функцией f (x) , для которой этот ряд составлен, и S n (x) .
Остаток ряда Тейлора rn (x) совпадает с остаточным членом ряда Тейлора Rn (x) только в случае, если S ( x)  f ( x) .
Сходимость ряда Тейлора к функции f (x) в точке x означает, что
lim [ f ( x)  S n ( x)]  lim Rn ( x)  0 .
n
n
(10.46)
Если функция f (x) во всех точках некоторого интервала, содержащего точку x  a , имеет производную f ( n1) ( x) , то остаточный член
225
Rn (x) ряда Тейлора для любой точки этого интервала может быть записан в форме Лагранжа
f (n1) (c)
ac x.
(10.47)
( x  a) n1 ,
(n  1) !
Отсюда вытекает достаточное условие сходимости ряда Тейлора
для функции f (x) к этой функции.
Т е о р е м а. Если в интервале (a  R ; a  R) функция f (x) имеет
производные любого порядка, ограниченные одним и тем же числом
M 0 , т. е.
Rn ( x) 
f ( n) ( x)  M ,
(n 1, 2 , 3,) ,
(10.48)
то ряд Тейлора функции f (x) сходится в (a  R ; a  R) к f (x) .
Д о к а з а т е л ь с т в о. Оценим остаточный член
(a  R ; a  R) , используя неравенство (10.48):
Rn ( x)  M R n1 .
(n  1) !
Rn (x) в
(10.49)
Здесь в правой части стоит общий член сходящегося ряда при любом

n 1
R, так как ряд  x
сходится абсолютно при любом конечном
(
n
 1) !
n 0
значении x  (  ∞,  ∞) (см. пример б) из п. 10.6). В силу необходимого
признака сходимости этот общий член стремится к нулю при n  ∞ и,
следовательно, lim Rn ( x)  0 при n  ∞ для любого x из (a  R ; a  R) .
Равенство (10.46) выполняется и тем самым теорема доказана.
Принимая во внимание соотношения (10.44), (10.45) и выражение
(10.47) для остаточного члена, получим
f (a)
f (a)
f ( x)  f ( a ) 
( x  a) 
( x  a) 2  
(10.50)
1!
2!
f ( n ) (a)
f ( n1) (c)
ac x.
( x  a) n 
( x  a) n1 ,
n!
(n  1)!
Формула (10.50) называется формулой Тейлора, а её частный
случай при a  0 называют формулой Маклорена:

f ( x)  f (0) 
f (0)
f (0) 2
f ( n) (0) n f ( n1) (c) n1
x
x 
x 
x ,(10.51)
1!
2!
n!
(n 1)!
где c заключено между 0 и x.
Используя оценки (10.48) и (10.49), формулу Маклорена (10.51),
теоремы 2 и 3 п. 10.7 о свойствах степенных рядов, и признак абсолютной сходимости Даламбера, получают разложения основных элементарных функций в ряды Маклорена, представленные в таблице 4.
226
№
Разложения
x
x 2 x3
xn
1 e  1  x  2!  3!    n !  
Таблица 4
Область
сходим.
(  ∞;  ∞)
2 sin x  x 
x3 x5 x7
x 2 n1


   (1) n1

3! 5! 7 !
(2n  1) !
(  ∞;  ∞)
3 cos x  1 
x2 x4 x6
x 2n


   (1) n

2! 4! 6!
( 2n) !
(  ∞;  ∞)
m
4 (1 x) 1
m(m 1)(m  n 1) n
m m(m1) 2
x
x 
x 
1!
2!
n!
5 ln (1  x)  x 
x 2 x3 x 4
xn


   (1) n1

2
3
4
n
2n1
n1 x
x3 x5 x 7

6 arctg x  x  3  5  7    (1)
2n  1
7 arcsin x  x 
1 x3 1 3 x5 1 3 5 x7



2 3 24 5 246 7
(1; 1)
(1; 1]
[1; 1]
[1; 1]
Разложение многих других функций в степенной ряд можно получить теперь с помощью формул таблицы 4 методом подстановки,
сущность которого ясна из приведённых ниже примеров.
П р и м е р ы. Разложить в степенной ряд по степеням x функции:
а) f ( x)  x e 2 x ; б) f ( x)  ln(1 x 3 ) ; в) f ( x)  sin 2 x ; г) f ( x)  (1  x)5 .
Р е ш е н и е. а) В формуле 1 таблицы 4 заменим x на (2 x) , после чего получим:
 (2 x) (2 x) 2 (2 x)3

(2 x) n
x e 2 x  x 1 



  


1!
2!
3!
n!


2 2
3 3


(1) n 2n x n
 x 1  2 x  2 x  2 x   
  
 1!

2!
3!
n!


2
2 3
3 4
(1) n 2 n x n1
 x  2x  2 x  2 x  
 .
1!
2!
3!
n!
Полученный ряд имеет ту же область сходимости, что и ряд
функции e x , так как если  ∞  x   ∞, то и  ∞  2 x   ∞, или
 ∞  x   ∞. Таким образом, x  (  ∞;  ∞).
б) Для разложения функции f ( x)  ln (1  x 3 ) в ряд по степеням x
заменим в формуле 5 таблицы 4 x на ( x 3 ) , тогда получим
227
( x 3 ) 2 ( x 3 ) 3 ( x 3 ) 4
(1) n1 ( x 3 ) n


 
 
2
3
4
n
6
9
12
3n


   x 3  x  x  x    x   .
2
3
4
n


ln (1 x 3 )  ( x 3 ) 
Найдём интервал сходимости полученного ряда, используя признак абсолютной сходимости Даламбера, из неравенства
| u n1 ( x) |
u ( x)
x 3n3 n
n
 lim n1
 lim
 | x |3 lim
| x |3  1 .
n | u n ( x) |
n u n ( x)
n (n 1) x 3n
n n 1
lim
Решаем неравенство: | x |3 1 , или | x |1 . Следовательно, x(1;1) .
Исследуем сходимость составленного ряда на концах интервала (1;1) .
При x  1 получим ряд
 (1)3n  (1)3n1

1  1  1  1   .
n
n
2 3 4
n1
n1
Этот знакочередующийся ряд сходится по признаку Лейбница, так как
1  1  1    1   и lim 1  0 .
2 3
n
n  n
При x  1 получим ряд




3n
  1n    1n  1  12  13    1n   ,
n1
n1
отличающийся от расходящегося гармонического ряда лишь множителем   1 , что не меняет его расходимости.

Таким образом, степенной ряд ln (1  x 3 )   
n 1
x 3n
сходится к поn
рождающей его функции для любого x [1;1) .
в) Используем формулу sin 2 x  (1  cos 2 x) / 2 . Функция cos 2 x
имеет, согласно формуле 3 таблицы 4, разложение
cos 2 x  1 
( 2 x) 2 ( 2 x) 4
( 2 x) 2 n

   (1) n

2!
4!
( 2n ) !
2 2
4 4
2n 2n
 1  2 x  2 x    (1) n 2 x   .
2!
4!
( 2n) !
Отсюда получаем
1
2 x 2 23 x 4 25 x 6
2 2n1 x 2n
sin 2 x  (1 cos 2 x) 


 (1) n1
 .
2
2!
4!
6!
(2n) !
Равенство справедливо для каждого x  (  ∞;  ∞).
228
г) f ( x)  (1  x)5 . Применим формулу 4 таблицы 4 при m  5 :
5!
(1  x) 5  1  5 x  5  4 x 2  5  4  3 x 3  5  4  3  2 x 4  x 5 
1!
2!
3!
4!
5!
 1  5 x  10 x 2  10 x 3  5 x 4  x 5 .
В некоторых случаях функция f (x) или её производные теряют
смысл при x  0 , как например, функции f ( x) ln x, f ( x)  x , f ( x) 1/ x .
Такие функции не могут быть разложены в ряд Маклорена по
степеням x. Для разложения подобного рода функций можно воспользоваться более общим рядом Тейлора, т. е. степенным рядом по степеням двучлена ( x  a) , где a  0 .
П р и м е р. Разложить f ( x)  1 в ряд по степеням ( x  2) .
x
Р е ш е н и е. Используем метод подстановки. Полагая t  x  2 ,
получим x  t  2 , 1  1   1 1   1 1  t 
x t 2
2 1 t / 2
2  2
таблицы 4 при m  1 находим
1
. По формуле 4
2
3
1   1 1 (1)   t   (1)( 2)   t   (1)( 2)( 3)   t   







x
2 
1!  2 
2!  2 
3!
 2

2
3
n


  1 1  t  t  t    t   
2
3
n
2 2 2
2
2



( x  2) 2 ( x  2)3
( x  2) n
  1 1  x  2 


  .

2
2
22
23
2n


Исследуем сходимость полученного ряда по признаку абсолютной
сходимости Даламбера:
un1 ( x)
( x  2) n1 2 n 1
 lim
 | x  2 |1.
2
n u n ( x)
n 2 n1 ( x  2) n
lim
Решая последнее неравенство, находим интервал сходимости:
| x  2 |  2   2  x  2  2   4  x  0 . Границы интервала исследуем

отдельно. Подставляя в ряд x  4 и x  0 , получим ряды  ( 1) n1 и
n1

 1 , которые расходятся, так как для них не выполняется необходи-
n 1
мое условие сходимости lim an  0 . Следовательно, интервал сходиn
мости ряда Тейлора для функции f ( x) 1/ x есть интервал (4 ; 0) .
229
10.9. Примеры применения рядов
0
П р и м е р 1. Раскрыть неопределённость вида   :
0
x  sin 2 x
.
lim
x0 x  tg 3 x
Р е ш е н и е. Сделаем преобразование в знаменателе и разложим
sin 2x , sin 3x и cos 3x в ряды, используя таблицу 4 разложений основных элементарных функций:
x  sin 2 x
( x  sin 2 x) cos 3x
lim
 lim

x0 x  tg 3x
x0 x cos 3x  sin 3x


8x 3
x   2 x 
 
3
!


 lim

2
3
x0 
 

9
x
27
x
x 1 
    3x 
 
4!
3!

 

4
 x  x 3   
3
  lim
 lim
x0
x0
3  33
 2 x  x   
 8



4
x  1  x 2   
3






2  33
x  2  x   
 8


4
 1  x 2   
3
 1 .
 lim
x0
2
33
 2  x 2   
 8

x
1
П р и м е р 2. Вычислить lim 1    e с точностью до 0,001.
x 
x
Р е ш е н и е. Воспользуемся формулой 1 разложения e x при x  1
таблицы 4 разложений основных элементарных функций:
e 11 
1 1 1 1 1
1 1 1
1
1
     2   



2! 3! 4! 5! 6!
2 6 24 120 720
 2  0,5  0,1667  0,0417  0,0083  0,0014    2,7181  2,718 .
Допущенная погрешность приближённого значения e  2,718
равна сумме остатка ряда:

1 1 1
1
1 1
1 1 1
r7       1  
   1   2   .
7! 8! 9!
7!  8 8  9
 7!  8 8

Выражение в скобках есть геометрический ряд, первый член которого a  1 , знаменатель q 1/ 8 , а поэтому сумма его равна значению
230
S
a
1
8

 .
1  q 1  1/ 8 7
Следовательно, допущенная погрешность r7 
П р и м е р 3. Вычислить
3
8
 0,00023 .
5040  7
30 с точностью до 0,001.
Р е ш е н и е. Воспользуемся биномиальным рядом, записанным в
формуле 4 таблицы 4 разложений основных элементарных функций.
Для этого необходимо представить 3 30 в виде степени суммы двух
чисел, из которых одно – ближайший к 30 куб целого числа, т. е.
27  33 . Следовательно,
1/ 3
3
1
1
30  3 27  3  3 27 1    3 1  
 9
 9
.
Используя биномиальный ряд при m  1/ 3 и x  1/ 9 и ограничиваясь четырьмя членами ряда, получим

11 

  1
1
1 1 3 3  1
3
30  3 1    3 1    
 2
 3 9
2
 9
9



1  1  1 
1
2

3  3  3  1 

 3  3  0,1111  0,0041  0,00025 
6
9 


1/ 3
 3  0,1111  0,0041  3,107 .
Итак, 3 30  3,107 , причём погрешность не превосходит абсолютной величины первого из отброшенных членов | r3 | | a4 |  0,00025 знакочередующегося биномиального ряда.
П р и м е р 4. Вычислить с точностью до 0,0001 определённый
0,5

интеграл
0
2
ex 1
dx .
x
Р е ш е н и е. Для разложения подынтегральной функции в степенной ряд воспользуемся формулой 1 таблицы 4 основных разложений, заменив в ней x на ( x 2 ) :

( x 2 ) 2 ( x 2 ) 3 ( x 2 ) 4
e  x  1 1 
 1  x 2 


   1 
x
x
2!
3!
4!

2
231
x3 x5 x7
x3 x5 x7


 x 


 .
2! 3! 4!
2
6 24
Так как отрезок интегрирования [0 ; 0,5] целиком содержится
внутри области сходимости ряда ( ;  ) , то на основании свойства
о почленном интегрировании степенных рядов получим
 x 
0,5

0
2
ex 1
dx   ( x) dx 
x
0

x2
2
0,5
0,5
0

x4
8
0, 5
0

x6
36
0,5
0,5
3

5

0,5
7
x
x
x
 2 dx     6  dx   24 dx   


0
0
0
0, 5

0
x8
192
0, 5

0
 0,125  0,00781  0,00022  0,00000009   .
Получили знакочередующийся числовой ряд, удовлетворяющий
условиям признака Лейбница. Так как | a4 | 0,0001 , то приближённое
значение суммы полученного ряда есть S  S3  a1  a2  a3 с погрешностью | r3 |  | a4 | 0,0001 . Таким образом,
0, 5  x 2

0
e
1
x
dx  0,125  0,00781  0,00022  0,1174 .
П р и м е р 5. Найти решение уравнения y  y 2  x 3 , удовлетворяющее начальному условию y(0)  1/ 2 .
Р е ш е н и е. Так как x0  0 , представим искомое решение в виде
ряда Маклорена
y (0)
y (0) 2 y (3) (0) 3 y ( 4) (0) 4
y ( x)  y (0) 
x
x 
x 
x  .
1!
2!
3!
4!
Из начального условия имеем y(0)  1/ 2 , тогда из уравнения находим
y(0)  y 2 (0)  03  (1/ 2) 2 1/ 4 .
Дифференцируя
заданное
уравнение
y  y 2  x 3 ,
находим
y  2 yy  3x , тогда
2
1 1 1
y (0)  2 y (0) y (0)  3  0 2  2    .
2 4 4
Снова дифференцируя уравнение, находим y (3)  2( y) 2  2 yy  6 x .
Подставляя значения x  0 , y(0)  1/ 2 , y(0)  1/ 4 , y(0)  1/ 4 ,
получаем y (3)  3 / 8 , и так далее. Следовательно, решение дифференциального уравнения имеет вид
1 1
1 2 3 3
1 1
1
1
y 
x
x 
x     x  x 2  x3   .
2 1! 4
2! 4
3!8
2 4
8
16
232