ЛР Приближенные вычисления с помощью рядов

Федеральное агентство
по сельскому хозяйству РФ
ФГОУ ВПО “Орловский государственный
аграрный университет”
Кафедра математики
Лабораторная работа
«Приближённые вычисления
с помощью рядов»
Методические указания и набор заданий
для выполнения типового расчета,
лабораторной работы и самостоятельной работы
предназначены для студентов дневного отделения
инженерных специальностей.
Составитель: старший преподаватель Волынкина Т.И.
2
Содержание:
1. Цель…………………………………. 4стр.
2. Краткие теоретические сведения…. 5стр.
3. Примеры вычислений……………… 9стр.
4. Набор заданий…………… ……….. 13стр.
5. Литература…………………………. 17стр.
3
Цель: Отработка навыков приближенных вычислений
различных функций при заданных значениях аргумента,
приближенных вычислений определенных интегралов и
интегрировании
дифференциальных
уравнений
с
использованием известных разложений функций в
степенные ряды.
Порядок выполнения работы: из набора заданий
каждый студент выбирает задания своего варианта и
проводит приближенные вычисления с точностью до
0,0001 путем разложения в ряд соответствующих
функций.
4
Краткие теоретические сведения.
Приближенные вычисления значений функций с
помощью степенных рядов.
В инженерной практике, а также при выполнении
различных расчетно-графических и курсовых работ, часто
приходится вычислять значения тригонометрических,
показательных, иррациональных и других функций.
Приближенно такие вычисления можно производить,
представив заданную функцию в виде степенного ряда:
f ( x)  a0  a1 ( x  x0 )  a2 ( x  x0 ) 2  ...  an ( x  x0 ) n  ...
(1)
или
f ( x)  a0  a1 x  a2 x 2  ...  an x n  ...
(2)
Коэффициенты a0 , a1, a2 ,..., an ,... находятся вычислением
значений функции f (x) и ее производных при
x  x0 .Подставляя их в (1) и (2) получим:

f ( x0 )
x  x0   f ( x0 ) x  x0 2  ... 
1!
2!
(3)
n 
f ( x0 )
n
x  x0   ...

n!
f ( x)  f ( x0 ) 
или
f (0)
f (0) 2
f n  (0) n
f ( x)  f (0) 
x
x  ... 
x  ...
1!
2!
n!
(4)
Ряд (3) называется рядом Тейлора, а ряд (4) - рядом
Маклорена. Очевидно, что найти коэффициенты рядов (3)
или (4) можно, если f (x) - дифференцируемая бесконечное
число раз функция, и если все ее производные
существуют при x  x0 или, соответственно, при x  0 .
5
Легко получить разложение в ряд Маклорена следующих
функций:
x3 x5 x 7
x 2 n 1
n
(5)
   ...   1
 ...
2n  1!
3! 5! 7!
2n
x 2 x 4 x6
n x
(6)
cos x  1     ...   1
 ...
2n!
2! 4! 6!
x x 2 x3
xn
(7)
e x  1     ...   ...
1! 2! 3!
n!
1  x m  1  m x  mm  1 x 2 
1!
2!
(8)
mm  1m  2 3
mm  1...m  n  1 n

x  ... 
x  ...
3!
n!
1
 1  x  x 2  x 3  ...  x n  ...
(9)
1 x
n 1
x 2 x3 x 4
n x
ln 1  x   x     ...   1
 ...
(10)
2
3 4
n 1
2 n 1
x3 x5 x 7
n x
arctgx  x     ...   1
 ...
(11)
3 5 7
2n  1
1 x3 1  3 x5 1  3  5 x7
arcsin x  x   
 
  ... 
2 3 24 5 246 7
(12)
1  3  5...2n  1 x 2 n 1


 ...
2  4  6...2n  2n  1
sin x  x 
Радиусы
сходимости
(соответственно
сходимости) определяются по формуле: R  nlim

области
an
,
an 1
где an и an 1 - коэффициенты n-ого и (n+1)-го членов ряда.
6
Ряды, соответствующие функциям (5) - (7), имеют область
сходимости: -∞< х < +∞, а ряды, соответствующие
функциям (8) - (12), имеют область сходимости: -1 <х < 1 .
Используя формулы (5) - (12) можно приближенно
вычислять значения функций f (x) при любых значениях x
из области сходимости. Для этого достаточно вычислить
сумму первых n членов ряда. Так,
2
4
2n

0,25 0,25
n 0,25
cos 0,25  1 

 ...   1
2n!
2!
4!
Результат получится тем точнее, чем больше слагаемых
будет использовано. Ошибка вычислений будет равна
сумме остатка ряда, начинающегося с (n+l) члена.
Если полученный ряд знакочередующийся, то, на
основании теоремы Лейбница, для обеспечения
погрешности, можно не учитывать слагаемое, значение
которого меньше, чем . Для рядов с положительными
членами погрешность оценивается с учетом скорости
сходимости ряда. Иногда (в том числе и в наших
заданиях) для вычисления с точностью  следует
остановить подсчет на том слагаемом, которое окажется
меньше .
Вычисление определенных интегралов с помощью
рядов.
Существуют определенные интегралы, которые как
функции верхнего предела не выражаются в конечном
виде через элементарные функции либо нахождение
первообразной сложно. Такие интегралы иногда бывает
удобно вычислять с помощью рядов.
7
Пусть требуется вычислить
b
 f x dx
с точностью до
a
  0 . Если подынтегральную функцию
можно
разложить в ряд по степеням x и интервал сходимости
(-R;R) включит в себя отрезок a; b , то для вычисления
заданного интеграла можно воспользоваться свойством
почленного интегрирования этого ряда. Ошибку
вычислений определяют так же, как и при вычислении
значений функции.
f (x )
Интегрирование дифференциальных уравнений с
помощью рядов.
Если решение дифференциального уравнения не
выражается через элементарные функции в конечном виде
или способ его решения слишком сложен, то прибегают к
приближенным методам интегрирования уравнения.
Одним из таких методов является представление решения
уравнения в виде ряда Тейлора; сумма конечного числа
членов этого ряда будет приближенно равняться
искомому частному решению.
Пусть, например, требуется решить уравнение
(13),
y  f x; y; y ,
удовлетворяющее начальным условиям
y x  x  y0 , y x  x  y0 .
(14).
0
0
Решение y  y (x) уравнения (13) ищем в виде ряда
Тейлора (3), при этом первые два коэффициента находим
из начальных условий (14). Подставив в уравнение (13)
значения x  x0 , y  y0 , y  y0 , находим третий коэффициент:
8
yx0   f x0 ; y0 ; y0  . Значения yx0 , y  IV  x0 ,... находим путем
последовательного дифференцирования уравнения (13) по
x и вычисления производных при x  x0 . Найденные
значения производных подставляем в равенство (3). Ряд
(3) представляет искомое частное решение уравнения (13)
для тех значений x, при которых он сходится. Частичная
сумма этого ряда будет приближенным решением
дифференциального уравнения(13).
Рассмотренный способ применим и для построения
общего решения уравнения (13), если y0
и y0
рассматривать как произвольные постоянные.
Рассмотренный
способ
последовательного
дифференцирования
применим
для
решения
дифференциальных уравнений любого порядка.
Примеры вычислений:
Вариант 30.
№1. Вычислить
1
2
1  cos x
dx с точностью до 0,0001.
x2
0

Решение: Заменив в подынтегральном выражении cos x
его
разложением
в
степенной
ряд
cos x  1 
2n
x 2 x 4 x6
n x
   ...   1
 ... ,
2n!
2! 4! 6!
получим
9
1
2
1
2
1  cos x
dx  
2
x
0
0

11
1
x 2 x 4 x6
   ...
2
 1 x2 x4

2! 4! 6!

dx




...
2
0  2! 4! 6! dx 
x
1
1
2
x3
x5
1
1
1
  x

 ... 


 ... 
3
5
4!3 6!5
 2!
 0 2!2 4!3  2 6!5  2
 0,25  0,0017  0,00000868  ...  0,25  0,0017  0,2483
Полученный ряд знакочередующийся и третий член ряда
(подчеркнутый) меньше 0,0001, то его можно не
учитывать.
№2. Вычислить e0,3 .
Решение: Записываем разложение в ряд функции e x :
ex  1 
x x 2 x3
xn
   ...   ...
1! 2! 3!
n!
Вычисляем последовательно каждое слагаемое при х=-0,3
до тех пор, пока не получим значение меньшее 0,0001.
Это и последующие слагаемые можно не учитывать.
e-0.3 =1-0,3+0,045-0,0045+0,0003375 - 0,00002 +...
Т.к. полученный ряд знакочередующийся и шестой член
ряда (подчеркнутый) равен 0,00002, т.е. меньше чем
 =0,0001, то его уже можно не учитывать. Сумма
оставшихся членов ряда равна 0,740838.
Следовательно, e-0.3 = 0,7408 с точностью = 0,0001.
№3. Вычислить 5 24 .
Решение: Т.к. близким к числу 24 числом, из которого
легко извлекается корень 5-й степени, является число 32,
10
то преобразуем
5
24  5 32  8  5 321  1 4  25 1  1 4  21  1 4
15
1
1 5
Вычисление 24 сводится к вычислению бинома 1   .
 4
m
Записываем разложение в ряд бинома 1  x  :
1  x m  1  m x  mm  1 x 2  mm  1m  2 x3  ... 
1!
2!
3!
mm  1...m  n  1 n

x  ...
n!
1
1
Вычисляем каждое слагаемое при m  и x     до тех
5
 4
5
пор, пока достигнем значения 0,0001:
1  4
 
2
1  1 5  5  1
 1
  
1    1      
5  4
2
 4
 4
1  4  9
1  4   9   14 
  
   
3
4
5  5  5  1 5  5  5  5   1

  
  
6
24
 4
 4
1
5
1  4   9   14   19 
    
5
5  5  5  5   5   1

     ...
120
 4
1
 1 5
1    1  0,05  0,005  0,00075  0,000131  0,000025  ...
 4
Т.к. шестое слагаемое (подчёркнутое) получилось меньше,
чем =0,0001, и видно, что в дальнейшем слагаемые будут
уменьшаться быстро из-за увеличения n и, соответственно
11
n!, то требуемая точность обеспечивается, если найти
сумму этих шести слагаемых.
Следовательно, с точностью до 0,0001
1
 1 5
1    0,944094, а
 4
1
5
 1 5
24  21    1,8882 .
 4
№4. Вычислить cos18o с точностью до 0,0001.
Решение: Воспользуемся разложением cos x в ряд,
полагая x  18o . Имеем

1 
1 
cos18  cos  1        ...;
10
2!  10  4!  10 
o

2
4
 
 
 0,31416,    0,09870,    0,00974.
10
 10 
 10 
2
Достаточно
взять
4
три
члена
ряда,
так
как
1  
      0,0001. Тогда
 6!   10 
0,09870 0,00974
cos18o  1 

; cos18o  0,9511.
2
24
4
№5. Проинтегрировать приближенно с помощью ряда
Тейлора уравнение y  x 2  y 2 , y(0)  1, взяв первые шесть
членов разложения, отличных от нуля.
Решение: Из уравнения и начальных условий находим
y(0)  02  12  1 .
Дифференцируя данное уравнение,
последовательно получаем
y  2 x  2 yy, y  2  2 y2  2 yy,
y IV  6 yy  2 yy, yV  6 y2  8 yy  2 yy IV .
12
Полагая x  0 и используя значения y (0)  1, y(0)  1 ,
последовательно находим
y(0)  2, y(0)  8, y IV ( 0)  28, yV (0)  144 .
Искомое
решение
имеет
y  1
2
3
4
вид
5
x 2 x 8x
28 x 144 x




 ...
1! 2!
3!
4!
5!
Набор заданий.
Задания 1-4. Вычислить с точностью до =0,0001.
Задание 5. Проинтегрировать приближенно с помощью
ряда Тейлора уравнение, взяв шесть первых членов
разложения, отличных от нуля.
Ва
ри
ант
1
1
Номер задания
2
3
4
x
e0,15
3
28
sin 0,5
y  xy2  y, y0  1
sin x
e0, 2
4
90
sin 0,6
y  y  xy2 , y0  2
e 0,3
5
34
sin 0,7
y  2 y  x2 , y0  1
e0, 4
6
60
cos 0,1
y  3 y  x3 , y0  8
1

 e 2 dx
0
2
1

x
0
3
1
2

3
dx
1  x 2 dx
0
4
1
2

5
1  x 3 dx
0
13
5
7
130 cos 0,2
y  xy  2 y,
y 0   0, y 0   1
3
218 cos 0,3
y  x 2  y 2 ,
y 0  y0  1
e
4
626 cos 0,4
y  x cos x  y, y0  1
3
e
4
620 cos 0,5
y  x sin x  y, y0  1
4
e
4
78
1
e 0 , 5
1
2

3
1  x3 dx
0
6
1
 arctg
0
7
8
x2
dx
2
e 0,1
1
2
1
0 1  x 2 dx
1

3
x cos xdx
0
cos 0,6
y  yx  1  y 2 , y0  1
9

10
 x2 
ln
0 1  2 dx
5
e
3
135 cos 0,7
y  x 2  y 2 , y0  1
11
1
e 0 ,1
3
56
cos 0,8
y  e x  y 2 , y0  1
e 0 , 2
3
31
cos 0,9
y  e x  xy, y0  1
3
24
cos 0,75 y  y 2  x 2 , y0  1
4
18
cos
1
x sin xdx
0

x arctgxdx
0
12
sin x 2
0 x dx
13
1
2
1

0
14
2
e
sin x
dx
x2
1
 x ln 1  x dx
2
3
0
14
1
6
e 0 , 4
2
3
y  y  x3 , y0  1
15
1

x
0
16
4
14
sin 0,2
y  x3  y , y0  1
e 0 , 6
4
12
sin 0,3
y  x3 y  y 2 , y0  1
e 0 , 7
3
222 sin 0,4
1
4
e
 e 2 dx
1
 x sin x dx
2
0
17
1
2

1

x
xe dx
e 0,8
3
210 sin 0,1
y  e x y  x2 , y0  1 ,
e 0 , 9
3
145 sin 0,8
y  y cos x  x 2 , y0  1
1
5
e
3
126 sin 0,9
y  x 2  y cos x, y0  1
1
3
4
627 sin 2
3
4
630 sin 1
4
5
40
cos 0,15 y  ye x  2 x, y0  1
5
20
cos
0
19
1
2
y  x,
y0  y0  1
x cos xdx
0
18
y 
 arctgx dx
2
0
20
1
2

1  x 2 dx
0
21
1
 cos
3
xdx
e

0
22
2
1
2
 ln 1  x dx
e3
0
23
1
2

3
1  x3 dx
e

2
3
0
24
1
2

0
2
1
1  x3
dx
e5
1
4
y  y sin x  e x , y0  1
y  2 x  ye x , y0  1
y  x 2  уe x , y0  1
15
25
1
2
3

4
e5
1  x 4 dx
0
26
1
2
1

1  x4
0
27
1
4
dx


e


3
5
e 0,15
3
7
82
sin 0,35 y  ye x  x 2 , y0  1
120 sin 0,45 y  2 x  1 y  1,
y0   1, y 0   0
2
x
144 sin 0,55 y  y  e , y0  1
x ln 1  x 2 dx
0
28
x
0 1  x4 dx
29
1
3
1
x
3
sin xdx
e

1
6
1,07 sin 2
5
5
1,5
cos
5
24
cos 0,25 y  x 2  ye x , y0  1
0
30
1
3
e
0
16
e 0,3
x
dx
y  xe x  y 2 , y0  1
4
e4
2
5
y  y 2  x sin x, y0  1
Литература
1. Н.С.Пискунов «Дифференциальное и интегральное
исчисление», Москва, «Наука»,1985.
2. В.П.Минорский «Сборник задач
математике», Москва, «Наука»,1987.
по
высшей
3. П.Е.Данко, А.Г.Попов и др. «Высшая математика в
упражнениях и задачах»,
часть 2, Москва, «Высшая школа», 1986.
4. Д.Т.Письменный «Конспект лекций по высшей
математике», часть 2,Москва, «Айрис-пресс», 2006.
17