Теория вероятностей и математическая статистика

РОССИЙСКАЯ ФЕДЕРАЦИЯ
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ
ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ
ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО
ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
«ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»
СУРГУТСКИЙ ИНСТИТУТ ЭКОНОМИКИ, УПРАВЛЕНИЯ И ПРАВА
(ФИЛИАЛ)
«УТВЕРЖДАЮ»:
Зам. директора по учебно-методической работе
____________________________/Кинзибаева И.Г./
«___» ___________ 201_г.
ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА
УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС
для студентов направления 060800 (080502.65)«Экономика и управление на
предприятии»
очной и заочной форм обучения
«ПОДГОТОВКА К ИЗДАНИЮ»:
Автор работы _________________/_____________
«__» ___________ 20___ г.
Рассмотрено на заседании кафедры _______________________________,
протокол от _____________, № _______
Соответствует требованиям к содержанию, структуре и оформлению.
РЕКОМЕНДОВАНО К ПЕЧАТНОМУ ИЗДАНИЮ
Заведующий кафедрой _____________________________/Любимов С.В./
г. Сургут
Гайдамак И.В., Панарина С.Н., Рублева Г.В., Шутова Е.И. Математика:
Теория вероятностей и математическая статистика. Учебно-методический
комплекс. Рабочая программа для студентов направления
060800
(080502.65)«Экономика и управление на предприятии»
Рабочая программа составлена в соответствии с требованиями ГОС
ВПО для студентов специальности «Финансы и кредит».
Рабочая программа дисциплины опубликована на сайте ТюмГУ:
Теория вероятностей и математическая статистика [электронный ресурс] /
Режим доступа: http://www.umk.utmn.ru, свободный.
Рекомендовано к изданию кафедрой математического анализа и теории
функций. Утверждено проректором по учебной работе Тюменского
государственного университета.
ОТВЕТСТВЕННЫЙ РЕДАКТОР: Хохлов А.Г., зав кафедрой математического
анализа и теории функций, к.ф.-м.н.
1. Пояснительная записка
1.1.
Требования ГОС к содержанию курса
Случайные события; частота и вероятность; основные формулы для
вычисления вероятностей; случайные величины; числовые характеристики
дискретной и непрерывной случайных величин; нормальный закон
распределения; генеральная совокупность и выборка; оценки параметров;
корреляция и регрессия.
1.2.
Цели и задачи дисциплины
Целью изучения данной дисциплины является знакомство студентов с
основными понятиями и закономерностями теории вероятностей, методами
математической статистики, обретение навыков решения типовых задач.
Задачи дисциплины: в рамках данной дисциплины студенты должны
овладеть знаниями по таким разделам теории вероятностей, как случайные
события и случайные величины, закон больших чисел и предельные теоремы;
научиться применять методы математической статистики - анализировать и
идентифицировать исследуемую прикладную задачу, выбирать адекватные
методы ее решения, решать задачу, интерпретировать результаты в терминах
прикладной области и прогнозировать поведение исследуемого процесса при
изменении влияющих факторов. В процессе обучения закрепляются такие
общие
профессиональные
умения
как
классификация
(типов
формализованных задач), оценивание (результатов расчета), моделирование
и формализация процессов (как типовых, так и нестандартных видов).
1.3.
Требования к уровню освоения содержания дисциплины


В результате освоения дисциплины студент должен:
иметь представление:
об основных задачах теории вероятностей;
об основных понятиях и условиях применения вероятностных методов
для исследования случайных явлений;
об основных вероятностных моделях.



знать:
аксиомы теории вероятностей;
виды случайных событий и их возможные комбинации;
способы вычисления вероятностей случайных событий;
виды случайных величин, способы их задани, математические
операции над случайными величинами и их числовые характеристики;
основные законы распределений;
важнейшие теоремы теории вероятностей.

уметь:
определять количество элементов в конечных множествах;









вычислять вероятности случайных событий;
определять тип случайной величины и находить ее числовые
характеристики;
задавать распределение случайной величины;
делать выводы после получения основных результатов;
анализировать и идентифицировать исследуемые прикладные задачи;
осуществлять выбор адекватных методов решения поставленных задач.
2. Структура и трудоемкость дисциплины.
Таблица 1
Всего часов (3 семестр)
Вид занятий
для очной формы
обучения
для заочной формы
обучения
Общая трудоёмкость
118
118
Аудиторные занятия
54
16
Лекционные занятия
18
8
Практические занятия
36
8
Самостоятельная работа
64
102
Вид итогового контроля
Контрольная
работа, зачет
Зачет
3. Тематический план.
Таблица 2
Для очной формы обучения
№
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
Наименование темы
Модуль 1.
Элементы теории множеств и
комбинаторики
Основные понятия теории
вероятностей
Классическое, геометрическое и
статистическое определения
вероятности
Условная вероятность. Теоремы
сложения и умножения
вероятностей
Априорные и апостериорные
вероятности
Повторные независимые
испытания
Лекции
Сем.
занятия
Сам.
работа
Баллы
1
2
4
0-2
1
2
2
0-2
1
2
4
0-10
1
2
2
0-3
1
2
2
0-3
1
2
4
0-5
1.7
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
2.6
2.7
Дискретные случайные величины
Всего
Модуль 2.
Непрерывные случайные
величины
Закон больших чисел и
предельные теоремы
Случайные процессы
Основы выборочного метода
Статистические оценки
параметров распределения
Проверка статистических гипотез
Корреляционно-регрессионный
анализ
Всего
Итого (часов, баллов):
2
8
4
16
8
26
0-15
0-40
2
4
8
0-18
1
2
4
0-5
1
1
2
2
4
4
0-2
1
2
4
0-5
2
4
8
0-10
2
4
6
0-20
10
18
20
36
38
64
0-60
0-100
Таблица 3
Для заочной формы обучения
№
Наименование темы
1
Элементы теории множеств и
комбинаторики
Основные понятия теории
вероятностей
Классическое, геометрическое и
статистическое определения
вероятности
Условная вероятность. Теоремы
сложения и умножения
вероятностей
Априорные и апостериорные
вероятности
Повторные независимые
испытания
Дискретные случайные величины
Непрерывные случайные величины
Закон больших чисел и предельные
теоремы
Случайные процессы
Основы выборочного метода
Статистические оценки параметров
распределения
Проверка статистических гипотез
Корреляционно-регрессионный
анализ
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
Лекции
Сем.
занятия
Сам.
работа
8
1
1
8
1
1
8
1
1
6
6
6
1
1
1
1
10
10
1
1
6
1
6
6
1
6
8
1
1
8
Итого (часов):
8
8
102
4. Виды и формы оценочных средств в период текущего
контроля (для очной формы обучения)
№ темы
Устный опрос
Письменные работы
Коллоквиумы
Контрольные работы
Итого
количество
баллов
Модуль 1.
1.1 Элементы теории
множеств и
комбинаторики
1.2 Основные понятия
теории вероятностей
1.3 Классическое,
геометрическое и
статистическое
определение вероятности
1.4 Условная вероятность.
Теоремы сложения и
умножения вероятностей
1.5 Априорные и
апостериорные
вероятности
1.6 Повторные
независимые испытания
1.7 Дискретные
случайные величины
Всего
Модуль 2.
2.1 Непрерывные
случайные величины
2.2 Закон больших чисел и
предельные теоремы
2.3 Случайные процессы
2.4 Основы выборочного
метода
2.5 Статистические
оценки параметров
распределения
2.6 Проверка
статистических гипотез
2.7 Корреляционнорегрессионный анализ
Всего
Итого
0-5
0-5
0-5
0-5
0-3
0-5
0-8
0-2
0-5
0-7
0-5
0-5
0-5
0-5
0-5
0-5
0-10
0-10
0-35
0-45
0-3
0-10
0-13
0-2
0-5
0-7
0-1
0-5
0-6
0-2
0-5
0-7
0-2
0-5
0-7
0-5
0-5
0-10
0-10
0-45
0-80
0-55
0-100
0-10
0-20
5. Содержание разделов дисциплины.
Модуль 1.
1.1. Элементы теории множеств и комбинаторики. Операции над
множествами: объединение, пересечение, дополнение, разность множеств,
сумма множеств, декартово произведение. Теорема о дополнении, теорема де
Моргана. Элементы комбинаторики: правила сложения, умножения,
вычитания, объединения. Перестановки, сочетания, размещения, размещения
с повторениями, перестановки с повторениями.
1.2. Основные понятия теории вероятностей. Опыт, эксперимент,
элементарный исход, случайные события, совместные и несовместные
события, равновозможные и единственно возможные события, полная группа
событий, противоположные события. Относительная частота появления
события. Свойство статистической устойчивости относительных частот.
1.3. Классическое, геометрическое, статистическое определение
вероятности. Понятие об аксиоматике А.Н.Колмогорова. Комбинации
случайных событий: сумма, произведение событий, их свойства, разность
событий, свойства вероятности, теорема о сумме вероятностей событий,
образующих полную группу. Модель для экспериментов с конечным числом
равновозможных исходов (классическая модель). Модель для экспериментов
с бесконечным числом равновозможных исходов (модель геометрических
вероятностей). Статистические идеи: уровень значимости, принцип
практической уверенности.
1.4. Условная вероятность. Теоремы сложения и умножения
вероятностей. Независимые и зависимые случайные события, попарная
независимость и независимость в совокупности. Вероятность появления хотя
бы одного события.
1.5. Априорные и апостериорные вероятности. Формула полной
вероятности. Формула Байеса. Понятия априорной и апостериорной
вероятности. Коэффициенты регрессии и корреляции случайных событий.
Измерители тесноты и направления связи случайных событий.
1.6. Повторные независимые испытания. Понятие повторных
независимых испытаний. Схема Бернулли. Наивероятнейшее число
появления события в независимых испытаниях. Асимптотические
приближения формулы Бернулли: формула Пуассона, локальная и
интегральная теоремы Муавра-Лапласа. Повторные независимые испытания
с различными вероятностями появления события в каждом испытании.
Определение производящей функции. Применение производящей функции
для подсчёта вероятностей в модели Бернулли. Применение производящей
функции для подсчёта вероятностей различных событий.
1.7. Дискретные случайные величины. Ряд распределения дискретной
случайной величины. Функция распределения дискретной случайной
величины и ее свойства. Способы задания: таблица распределения
вероятностей, функция распределения и ее свойства, многоугольник
распределения, аналитическое задание (по формуле). Математические
операции над дискретными случайными величинами. Числовые
характеристики дискретных случайных величин: математическое ожидание,
дисперсия, ковариация, среднее квадратическое отклонение, мода, медиана.
Свойства основных числовых характеристик. Основные законы
распределения дискретных случайных величин: равномерный закон
распределения на множестве, распределение Пуассона, геометрический закон
распределения, гипергеометрический закон распределения, биномиальный
закон распределения.
Модуль 2.
2.1. Непрерывные случайные величины. Функция распределения
непрерывной случайной величины. Функция плотности распределения
вероятностей и ее свойства. Числовые характеристики непрерывных
случайных величин: математическое ожидание, дисперсия, среднее
квадратическое отклонение, мода, медиана, квантили, центральные и
начальные моменты. Характеристики формы распределения: асимметрия и
эксцесс. Основные законы распределения непрерывных случайных величин:
равномерный закон распределения на интервале, нормальный закон
распределения,
логарифмически-нормальный
закон
распределения,
экспоненциальный
закон
распределения,
распределение
Парето.
Распределения, близкие к нормальному: распределение Фишера,
распределение Стьюдента, хи-квадрат распределение.
2.2. Закон больших чисел и предельные теоремы. Неравенство
Маркова. Неравенство и теорема Чебышева. Теорема Бернулли. Теорема
Пуассона. Центральная предельная теорема. Теорема Ляпунова.
2.3.Случайные процессы. Определение случайного процесса и его
характеристики. Понятие Марковского случайного процесса с дискретным
множеством состояний.
2.4. Основы выборочного метода. Генеральная и выборочная
совокупности. Основные числовые характеристики выборки. Оценка
функции распределения и плотности. Полигон и гистограмма относительных
частот.
2.5. Статистические оценки параметров распределения. Точечные
оценки и требования к ним: несмещенность, состоятельность,
эффективность. Интервальные оценки параметров: вероятности (генеральной
доли), математического ожидания, дисперсии и среднего квадратического
отклонения.
2.6. Проверка статистических гипотез. Виды гипотез: простые и
сложные, параметрические и непараметрические, основная и альтернативная
гипотезы. Статистический критерий, область принятия гипотезы и
критическая область, ошибки первого и второго рода, уровень значимости,
мощность критерия. Общая логическая схема проверки статистических
гипотез. Проверка гипотез о равенстве параметров генеральной совокупности
(доли, средней и дисперсии) заданным значениям (стандартам). Проверка
гипотезы о равенстве вероятностей (генеральных долей). Проверка гипотезы
о равенстве дисперсий двух и нескольких нормально распределенных
генеральных совокупностей. Проверка гипотезы о равенстве генеральных
средних двух нормально распределенных генеральных совокупностей.
Проверка гипотезы о наличии грубых ошибок. Проверка гипотез о согласии
эмпирического распределения и выбранной модели: критерии согласия хиквадрат, Колмогорова-Смирнова, Романовского.
2.7. Корреляционно-регрессионный анализ. Корреляционный анализ:
выявление факторных признаков, оказывающих существенное влияние на
результативный признак; оценка тесноты связи между признаками.
Регрессионный анализ: получение аналитического выражения взаимосвязи;
выбор наилучшей модели. Однофакторные модели: корреляционные поле;
виды моделей; линеаризация модели; интерпретация полученных
результатов.
6. Планы семинарских занятий.
ДЛЯ ОЧНОЙ ФОРМЫ ОБУЧЕНИЯ
Модуль 1.
1. Элементы теории множеств и комбинаторики. Расчет мощности
множеств. Вычисление числа сочетаний, перестановок, размещений,
размещений с повторениями, перестановок с повторениями.
2. Основные понятия теории вероятностей. Операции со случайными
событиями, определение совместности случайных событий, представление
сложного события через элементарные.
3. Классическое и статистическое определение вероятности. Вычисление
вероятности для случайных событий с конечным числом равновозможных
исходов.
4. Геометрическое определение вероятности. Вычисление вероятности
для случайных событий с бесконечным числом равновозможных исходов.
5. Условная вероятность. Теоремы сложения и умножения вероятностей.
Вычисление вероятностей независимых и зависимых событий, вероятности
появления хотя бы одного события.
6. Априорные и апостериорные вероятности. Вычисление вероятности
для события, которое может наступить при осуществлении одной из гипотез,
образующих полную группу. Вычисление априорных и апостериорных
вероятностей.
7. Повторные независимые испытания. Вычисление вероятности
совмещения нескольких отдельных простых событий. Определение
наивероятнейшего числа появления события в независимых испытаниях.
Вычисление вероятности по приближенным формулам для схемы Бернулли:
по формуле Пуассона, с помощью локальной и интегральной теорем МуавраЛапласа.
8. Дискретные случайные величины. Задание закона распределения
вероятностей, построение многоугольника распределения. Вычисление
функции распределения и построение ее графика.
9. Нахождение числовых характеристик дискретных случайных величин:
математического
ожидания,
дисперсии,
ковариации,
среднего
квадратического отклонения, моды, медианы. Решение задач на
распознавание
моделей
законов
распределения:
геометрическое,
гипергеометрическое,
биномиальное
распределения,
распределение
Пуассона.
Модуль 2.
1. Непрерывные случайные величины. Вычисление функции
распределения и плотности распределения вероятностей, построение их
графиков.
2. Решение задач на вычисление числовых характеристик нерперывных
случайных величин: математического ожидания, дисперсии, среднего
квадратического отклонения, моды, медианы, квантилей, центральных и
начальных моментов, асимметрии, эксцесса для различных законов
распределения непрерывных случайных величин. Приобретение навыков
пользоваться специальными вероятностными таблицами.
3. Закон больших чисел и предельные теоремы. Решение задач с
применением неравенства Маркова, неравенства Чебышева, теоремы
Чебышева, Бернулли, Ляпунова.
4. Случайные процессы. Вычисление числовых характеристик случайного
процесса. Состояние системы массового обслуживания, переходные
вероятности.
5. Основы выборочного метода. Составление статистических рядов.
Графическое изображение полученных данных: полигон и гистограмма
частот или относительных частот, кумулята. Расчет основных числовых
характеристик статистических распределений.
6. Статистические оценки параметров распределения. Вычисление
точечных оценок параметров распределений. Получение интервальных
оценок параметров: вероятности (генеральной доли) биномиального
распределения, математического ожидания, дисперсии и среднего
квадратического отклонения нормального распределения.
7. Проверка статистических гипотез. Классификация ошибок при
проверке статистических гипотез. Построение критической области и
области принятия гипотезы. Статистическая проверка гипотезы о параметрах
распределений. Статистическая проверка гипотезы о законе распределения.
Получение выводов на основании проведенного исследования.
8. Корреляционно-регрессионный анализ. Построение корреляционного
поля. Выдвижение статистической гипотезы о наличии или отсутствии
взаимосвязи между случайными признаками, направлении зависимости.
Вычисление коэффициента взаимосвязи, оценка его значимости. Получение
оценок параметров уравнения регрессии.
9. Уравнения линейной и нелинейной регрессий. Оценка качества
построенной модели. Интерпретация результатов в терминах прикладной
области. Прогнозирование поведения исследуемого процесса при изменении
влияющих факторов.
ДЛЯ ЗАОЧНОЙ ФОРМЫ ОБУЧЕНИЯ
1.
Основные понятия теории вероятностей. Операции со случайными
событиями, определение совместности случайных событий, представление
сложного события через элементарные. Классическое, геометрическое,
статистическое определение вероятности.
2.
Условная вероятность. Теоремы сложения и умножения вероятностей.
Вычисление вероятностей независимых и зависимых событий, вероятности
появления хотя бы одного события. Дискретные случайные величины.
Задание закона распределения вероятностей, построение многоугольника
распределения. Вычисление функции распределения и построение ее
графика. Нахождение числовых характеристик дискретных случайных
величин.
3.
Непрерывные
случайные
величины.
Вычисление
функции
распределения и плотности распределения вероятностей, построение их
графиков. Решение задач на вычисление математического ожидания,
дисперсии, среднего квадратического отклонения.
Закон больших чисел и
предельные теоремы. Решение задач с применением неравенства Маркова,
неравенства Чебышева, теоремы Чебышева, Бернулли, Ляпунова.
4.
Основы выборочного метода. Составление статистических рядов.
Графическое изображение полученных данных: полигон и гистограмма
частот или относительных частот, кумулята. Расчет основных числовых
характеристик
статистических
распределений.
Корреляционнорегрессионный анализ. Построение корреляционного поля. Выдвижение
статистической гипотезы о наличии или отсутствии взаимосвязи между
случайными признаками, направлении зависимости. Уравнения линейной и
нелинейной регрессий.
7. Самостоятельная работа студентов.
Самостоятельная работа студентов организуется в двух формах:
- аудиторной – на лекционных и практических занятиях при решении
поставленных индивидуальных задач;
- внеаудиторной – проработка лекций, изучение рекомендованной
литературы; подготовка к устным опросам, контрольным работам,
коллоквиуму.
7.1. Вопросы к зачету
1. Правила и формулы комбинаторики, условия их применения.
2. Основные понятия теории вероятностей, действия над событиями.
3. Свойство статистической устойчивости относительных частот,
классическое и статистическое определение вероятности случайного
события.
4. Комбинации случайных событий.
5. Аксиомы и свойства вероятности случайного события.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
Геометрическое определение вероятности.
Зависимые и независимые случайные события. Условная вероятность.
Теоремы сложения и умножения вероятностей.
Формула полной вероятности, условия её применения.
Формула Байеса, условия её применения.
Повторные независимые испытания, формула Бернулли.
Формула Пуассона, условия её применения.
Локальная теорема Муавра-Лапласа, условия её применения.
Определение дискретной случайной величины и способы её задания.
Числовые характеристики дискретных случайных величин.
Основные законы распределения дискретных случайных величин.
Определение непрерывной случайной величины и способы её задания.
Числовые характеристики непрерывных случайных величин.
Свойства математического ожидания и дисперсии.
Основные законы распределения непрерывных случайных величин.
Нормальный закон распределения.
Закон больших чисел и предельные теоремы.
Основные идеи выборочного метода.
Точечные оценки параметров распределения и требования к ним.
Интервальные оценки параметров распределения.
Общая логическая схема проверки статистических гипотез.
Основные этапы корреляционно-регрессионного анализа.
Виды регрессионных моделей.
7.2. Вопросы для самопроверки
Модуль 1.
1.
Что такое случайное событие. Какие виды случайных событий Вы
знаете? Приведите примеры.
2.
Какие операции применимы к случайным событиям? Какими
свойствами они обладают? Приведите примеры.
3.
Чем отличаются и в чём схожи такие понятия комбинаторики, как
сочетания, размещения и перестановки? Приведите примеры.
4.
Сформулируйте классическое определение вероятности. В чем
ограниченность этого определения? В чем различие между
вероятностью и относительной частотой?
5.
Когда применяют геометрическое определение вероятности? Почему в
этих случаях нельзя пользоваться классическим определением?
6.
Сформулируйте и докажите теорему о сложении вероятностей
несовместных событий.
7.
Дайте определение произведения событий. Приведите примеры:
произведения двух независимых событий; произведения двух
зависимых событий.
8.
Что такое условная вероятность?
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
Сформулируйте теорему об умножении вероятностей для двух событий
(общий случай). Какую форму принимает эта теорема в случае, когда
события независимы?
В каких случаях применяется формула полной вероятности? Каким
свойствам должны удовлетворять гипотезы?
Что такое априорные и апостериорные вероятности? Применение и
значение формулы Байеса.
Какие испытания являются повторными независимыми? Приведите
пример.
В каких случаях применяются: формула Бернулли, теорема Пуассона,
теорема Муавра-Лапласа?
Что такое дискретная случайная величина? Приведите пример.
Какими способами можно задать дискретную случайную величину?
Какими свойствами обладает функция распределения дискретной
случайной величины?
Назовите основные числовые характеристики дискретной случайной
величины, способы их вычисления и свойства.
Модуль 2.
18.
Что такое непрерывная случайная величина? Приведите пример.
19.
Какими свойствами обладает функция распределения непрерывной
случайной величины?
20.
Какими способами можно задать непрерывную случайную величину?
21.
Какими свойствами обладает функция плотности вероятностей
непрерывной случайной величины? Что она показывает?
22.
Назовите основные числовые характеристики непрерывной случайно
величины, способы их вычисления и свойства.
23.
Как называется функция плотности вероятностей нормального закона
распределения и какими свойствами обладает?
24.
Что такое функция Лапласа, для чего она используется и какими
свойствами
обладает?
Функция
распределения
нормально
распределённой случайной величины.
25.
Стандартный нормальный закон распределения. Его свойства.
26.
Математическое ожидание и дисперсия нормально распределённой
случайной величины, их влияние на график функции плотности
вероятностей.
27.
Свойства случайной величины, имеющей нормальный закон
распределения. Правило трёх сигм.
28.
Что такое закон больших чисел в широком смысле и в узком смысле?
29.
Что позволяет оценить лемма Маркова и неравенство Чебышева?
30.
Сформулируйте теорему Чебышева и условия её применения.
31.
Сформулируйте теорему Бернулли и теорему Пуассона.
32.
Что устанавливает центральная предельная теорема? Сформулируйте
теорему Ляпунова.
33.
Запишите равенство Маркова и поясните его сущность.
34.
35.
36.
37.
38.
39.
40.
41.
42.
43.
44.
45.
46.
Что называется случайным процессом? Какие Вы знаете виды
случайных процессов?
Дайте определения генеральной и выборочной совокупности
Какие свойства точечных оценок Вы знаете.
Назовите основные методы получения точечных оценок.
Какие основные этапы получения интервальных оценок можно
выделить
Укажите распределения статистик, используемых при интервальном
оценивании определенных параметров распределения.
Что называют статистической гипотезой? Приведите примеры нулевой,
конкурирующей, простой, сложной гипотез.
Что называется ошибкой первого рода, второго рода?
Дайте определение критической области. Какие виды критических
областей вам известны? Приведите примеры критериев для каждого
случая.
Что называется уровнем значимости?
Что такое критерий согласия? Сформулируйте правило проверки
гипотезы о законе распределения с помощью критерия согласия
Пирсона.
Укажите алгоритм расчета мощности критерия при проверке
различных статистических гипотез.
Назовите основные этапы процедуры проверки гипотезы о виде
законов распределения генеральной совокупности.
7.3. Задачи для самопроверки
1. В ящике 2 белых и 4 чёрных шара. Один за другим вынимаются все
имеющиеся в нём шары. Найти вероятность того, что последний шар будет
чёрным.
2. В партии товара, состоящей из 30 мужских пальто, находится 20 изделий
местного производства. Товаровед наудачу выбирает 3 изделия. Какова
вероятность того, что все 3 изделия окажутся: а) местного производства; б)
не местного производства.
3. Статистика запросов кредитов в банке такова: 10% - государственные
органы, 30% - другие банки, остальные - физические лица. Вероятности
невозврата взятого кредита соответственно таковы: 0,01, 0,05 и 0,2. Найти
вероятность невозврата очередного запроса на кредит. Начальнику
кредитного отдела доложили, что получено сообщение о невозврате кредита,
но в факсимильном сообщении имя клиента было неразборчиво. Какова
вероятность, что данный кредит не возвращает какой-то банк?
4. Какова вероятность выпадения хотя бы двух шестёрок при трёх бросаниях
игральной кости?
5. Всхожесть семян данного растения равна 0,9. Найти вероятность того, что
из 900 посаженых семян: а) прорастёт ровно 700; б) число проросших не
менее 790 и не превышает 830.
6. Инвестор покупает ценные бумаги за счет займа, взятого с процентной
ставкой i под залог недвижимости. Процентная ставка на ценные бумаги X случайная величина с М(Х)=a, a>i, D(X)≤72. Какова вероятность того, что
инвестор не сможет вернуть долг и лишится своей недвижимости? Указание:
оценить с помощью неравенства Чебышева вероятность события (Х<i).
7. Ценная бумага может подорожать на 1% в течение следующего месяца с
вероятностью 0,6. Она также может подешеветь на 1% в течение следующего
месяца с вероятностью 0,4. Предполагая, что ежемесячные изменения цены
независимы, рассчитайте: а) вероятность того, что за три месяца цена станет
равной (1,01 )3 от первоначальной; б) вероятность того, что затри месяца
цена станет равной 0,99 (1,01)2 от первоначальной.
8.
На крупном промышленном предприятии при проведении курса
технической подготовки, предназначенного для всех принятых работников
рабочих специальностей, было установлено, что имеется зависимость между
возрастом работника и временем, необходимым для освоения определенных
навыков и умений. В таблице приведен возраст 8 работников, выбранных
произвольно, а также время, необходимое для выработки у них навыков в
определенной области.
Работник
A
Б
В
Г
Д
Е
Ж
З
Возраст (лет)
18
19
20
21
22
23
29
38
Время
(часов)
4
3
4
6
5
8
6
7
подготовки
а) с помощью метода регрессии определите продолжительность подготовки,
необходимую для нового работника в возрасте 30 лет; б) определите
коэффициент корреляции и прокомментируйте точность вашей оценки в том,
что касается части (а). Какие другие факторы могут повлиять на
продолжительность подготовки, необходимой для каждого работника?
9. Поступление страховых взносов в 130 филиалов страховых организаций в
регионе А составило 26∙104 ден. ед., в регионе В на 100 филиалов пришлось
18∙104 ден. ед. Стандартное отклонение величины страховых взносов в
регионе А равна 39∙108 ден. ед., в регионе В – 25∙108 ден. ед. На уровне
значимости α = 0,05 определите, существенно ли различается средняя
величина поступления страховых взносов в регионах А и В из расчета на 1
филиал.
8. Учебно-методическое
дисциплины.
и
информационное
обеспечение
Основная литература:
1.
2.
3.
4.
Руководство
к
решению
задач
по теории вероятностей
и математической статистике: учеб. пособие для студ. вузов/ В. Е.
Гмурман. - 11-е изд., перераб.. - Москва: Высшее образование, 2007. 404 с.
Сборник задач по высшей математике для экономистов : аналитическая
геометрия,
линейная
алгебра, математический
анализ,
теория вероятностей, математическая статистика,
линейное
программирование: учеб. пособие для студ. вузов, обуч. по напр.
"Экономика" и эконом. спец./ Рос. эконом. академия им. Г. В.
Плеханова; ред. В. И. Ермаков. - 2-е изд., испр.. - Москва: ИНФРА-М,
2008. - 575 с.
Теория вероятностей и математическая статистика: учеб. для студ. вузов,
обуч. по эконом. спец./ Н. Ш. Кремер. - 3-е изд., перераб. и доп. Москва: ЮНИТИ, 2007. - 551 с.;
Теория вероятностей и математическая статистика: учеб. пособие для
студ. вузов/ В. Е. Гмурман. - 12-е изд., перераб. - Москва: Высшее
образование, 2008. - 479 с.
Дополнительная литература:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Калинина В.Н., Панкин В.Ф. Математическая статистика. - М.: Высшая
школа, 2001. – 335 с.
Колемаев В. А., Калинина В. Н. Теория вероятностей и математическая
статистика: учебник/под ред. В.А.Колемаева. – М.: ИНФРА-М, 1997. –
302 с.
Кремер Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика:
Учебник для вузов. - М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2004 – 573 с.
Математика для экономистов: теория вероятностей и мат. статистика :
курс лекций : учеб. пособие для студ. вузов, обуч. по напр. 080100
"Экономика"/ Л. Н. Фадеева. - Москва: ЭКСМО, 2006. - 400 с.
Никитина Н.Ш. Математическая статистика для экономистов: учеб.
пособ. для студ. высш. уч. зав., обуч. по экономич. спец. – М.: ИНФРАМ, 2001. – 170 с.
Рублева Г.В., Шутова Е.И. Математика: теория вероятностей и
математическая статистика. Учебно-методический комплекс для
студентов направления «Экономика». Тюмень: Изд-во ТюмГУ, 2007 г. 226 с.
7.
8.
9.
Савельев Л.Я. Комбинаторика и вероятность: учеб.пособие. Изд-во
«Наука», Новосибирск, 1975. - 423 с.
Сборник задач по высшей математике. 2 курс. Кол-в авторов: Лунгу
К.Н., Норин В.П., Письменный Д.Т., Шевченко Ю.А.; под ред. Федина
С.Н. М.: Изд-во «Айрис-Пресс», 2005. - 592 с.
Теория вероятностей и математическая статистика: учебное пособие/ Е.
Г. Пыткеев, А. Г. Хохлов; Тюм. гос. ун-т. - Тюмень: Изд-во ТюмГУ,
2012. - 536 с.
Методические материалы:
1.
2.
3.
Гайдамак И.В., Кузнецова Н.Л., Лукашенко С.Н., Шутова Е.И. Теория
вероятностей и математическая статистика (контрольные мероприятия).
Учебно-методический комплекс. Тюмень: Изд-во ТюмГУ, 2007 г. – 110
с.
Гайдамак И.В. Математика: теория вероятностей и математическая
статистика.
Учебно-методический
комплекс
для
студентов
специальности «Экономика». Тюмень: Изд-во ТюмГУ, 2010 г. – 84 с.
Бобров Н.Е., Гайдамак И.В. Практикум по статистике на компьютере –
Тюмень: Издательство Тюменского государственного университета,
2003.
Программное обеспечение и Интернет – ресурсы:
1.
http://teorver-online.narod.ru/
(А.Д.Манита,
МГУ,
Интернет-учебник
«Теория вероятностей и математическая статистика» для студентов
естественных факультетов)
2.
3.
4.
5.
6.
7.
http://www.ksu.ru/infres/volodin/ (И.Н.Володин, Казанский ГУ, лекции по
теории вероятностей и математической статистике)
http://www.exponenta.ru/educat/class/courses/student/tv/examples.asp
(примеры решения типовых задач курса теории вероятностей, решенные
в среде математического пакета Mathcad)
http://dfe3300.karelia.ru/koi/posob/PT/ (Web-версия учебного курса
«Теория вероятностей» )
http://www.statsoft.ru/home/textbook/default.htm. (Электронный учебник
по статистике. Москва, StatSoft, Inc.)
http://www.astro.spbu.ru/staff/nsot/Teaching/tver/zadachi.html
(Первоапрельский задачник по теории вероятностей)
http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library/mathematics/probability.htm (книги по
теории вероятностей и математической статистике)