алгебра - Самарский государственный университет

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»
Механико-математический факультет
УТВЕРЖДАЮ
Проректор по учебной работе
________________В.П. Гарькин
«____»_______________ 2014 г.
ПРОГРАММА КОМПЛЕКСНОГО ВСТУПИТЕЛЬНОГО ИСПЫТАНИЯ
«АЛГЕБРА»
Направление подготовки 01.04.01 Математика
Магистерская программа
«Алгебра»
Форма обучения
Очная
Самара
2014
Аннотация программы
Программа включает в себя основные вопросы базовых математических
дисциплин. В каждой из них выделены базовые понятия и методы, которые
являются важными для освоения методологии преподавания математики и
информатики. Ключевые вопросы в каждом блоке вопросов предполагают
владение теоретическим материалом и должны сопровождаться практическими
примерами и иллюстрироваться решением задач на основе излагаемой теории.
Научный руководитель программы
Панов А. Н.
Составитель программы
Севостьянова В.В.
2
Раздел 1. Математический анализ
Тема 1.1 Понятие предела
Основные варианты определения предела. Предел функции в точке и предел
числовой последовательности. Предельная точка последовательности и
множества. Замкнутые и открытые множества. Различные варианты критерия
Коши. Непрерывность и свойства, связанные с ней. Реализация идеи предела в
формировании понятия числового ряда. Признаки сходимости: необходимые и
достаточные. Формула Тейлора и идеи аппроксимации.
Тема 1.2 Интегрирование
Формирование идеи интеграла. Неопределенный и определенный интеграл.
Интегральные суммы и их пределы. Определенный интеграл Римана. Условия
интегрируемости функции. Основные классы интегрируемых функций. Основные
свойства интеграла. Формула Ньютона-Лейбница, связь неопределенного и
определенного интегралов.
Тема 1.3 Функциональные ряды
Виды сходимости функциональных рядов. Признаки равномерной сходимости.
Степенные ряды, как основной аналитический аппарат.
Круг и радиус сходимости. Основные свойства степенных рядов. Представление
элементарных функций рядами. Тригонометрические ряды и тригонометрические
ряды Фурье. Гармонический анализ функций.
Раздел 2. Геометрия и топология
Тема 2.1 Геометрические структуры
Евклидовы пространства. Построение ортонормированного базиса.
Типы кривых 2-го порядка. Приведение общего уравнения кривой к
каноническому виду. Кривые в R^3. Формулы Френе.
Поверхности в R^3.
Первая квадратичная форма и ее свойства.
Вторая квадратичная форма
поверхности. Гауссова и средняя кривизны.
Тема 2.2 Функциональный анализ
Метрические и топологические пространства. Компактность в метрических и
топологических пространствах. Нормированные и топологические линейные
пространства. Непрерывные линейные функционалы. Сопряженное пространство.
Слабая топология и слабая сходимость. Линейные операторы. Пространство
линейных ограниченных операторов. Компактные операторы. Гильбертовы
пространства. Теорема Рисса об общем виде линейного функционала в
гильбертовом пространстве.
3
Раздел 3. Алгебра
Тема 3.1 Структуры
Основные алгебраические структуры (группы, кольца, поля). Определения и
примеры. Кольцо многочленов. Разложение в произведение неприводимых
многочленов.
Тема 3.2 Пространства и операторы
Линейные пространства (размерность суммы и пересечения подпространств).
Линейные операторы. Канонический вид линейного оператора простой
структуры.
Тема 3.3 Системы уравнений
Системы линейных уравнений. Фундаментальная система решений. Билинейные
и квадратичные формы; приведение к каноническому виду.
Тема 3.4 Определители и ранги
Понятие определителя n-го порядка. Свойства определителя. Формулы Крамера
Понятие ранга матрицы. Теорема о ранге матрицы и следствия из нее. Методы
вычисления ранга матрицы.
Теорема Кронекера-Капелли. Понятие фундаментальной системы решений
однородной системы линейных уравнений. Решение систем линейных уравнений
общего вида в векторной форме.
Обращение матрицы (единственность и существование). Методы построения
обратной матрицы.
Тема 3.5 Поле комплексных чисел
Понятие кольца и поля. Построение поля комплексных чисел. Операции над
комплексными числами в алгебраической и тригонометрической форме записи.
Извлечение квадратных корней и корней n-ой степени из комплексных чисел.
Тема 3.6 Многочлены
Наибольший делитель двух многочленов. Алгоритм Евклида.
Теорема о разложении многочлена в произведение неприводимых множителей.
Тема 3.7 Жордановы формы
Теорема о жордановой форме матрицы.
Билинейные и квадратичные формы. Теорема Лагранжа о приведении
квадратичной формы к диагональному виду. Теорема инерции вещественных
квадратичных форм. Критерий Сильвестра положительной определенности
вещественной квадратичной формы.
Тема 3.8 Поля вычетов
Идеалы и факторкольца коммутативных колец. Кольца и поля вычетов. Теорема о
гомоморфизме в теории колец.
4
Конструкция простого расширения поля. Классификация конечных полей.
Кольцо целых в алгебраическом расширении.
Теорема Машке о полной проводимости представления конечной группы.
Классификация конечно порожденных абелевых групп.
5
Вопросы к собеседованию (для абитуриентов, поступающих на места,
финансируемые из средств федерального бюджета и имеющих диплом бакалавра
по направлению, соответствующему направлению магистерской подготовки или
диплом специалиста, соответствующий профилю магистерской подготовки, а
также для абитуриентов, поступающих на места по договорам с оплатой
стоимости обучения):
1. Предельная точка последовательности и множества. Замкнутые и открытые
множества.
2. Критерий Коши сходимости последовательности. Предел функции. Критерий
Коши существования предела функции.
3. Непрерывные функции и их свойства.
4. Числовые ряды. Виды сходимости. Признаки сходимости.
5. Формула Тейлора и ее приложения.
6.
Определенный интеграл Римана; условия интегрируемости; основные
свойства; формула Ньютона-Лейбница.
7. Виды сходимости функциональных рядов. Признаки равномерной сходимости.
8. Степенные ряды. Круг сходимости. Основные свойства степенных рядов.
9. Тригонометрический ряд Фурье. Полнота тригонометрической системы.
10. Частные производные и дифференцируемость функций многих переменных.
11. Кратные интегралы Римана. Сведение кратных интегралов к повторным.
12. Криволинейный интеграл 1-го рода.
13. Криволинейный интеграл 2-го рода.
14. Формула Грина. Выражение площади через криволинейный интеграл.
15. Поверхностный интеграл 1-го рода.
16. Ориентация поверхностей. Поверхностный интеграл 2-го рода.
17. Теорема Гаусса-Остроградского.
18. Формула Стокса.
19.
Теорема о существовании и единственности решения задачи Коши для
уравнения 1-го порядка. Формулировка аналогичной теоремы для системы из n
уравнений.
6
Системы однородных линейных дифференциальных уравнений с постоянными
коэффициентами. Вид общего решения.
20. Классификация квазилинейных уравнений с частными производными
2-го порядка. Постановка основных краевых задач математической физики.
Корректность краевых задач.
21. Основные свойства гармонических функций.
22. Кривые в R^3. Формулы Френе.
23. Поверхности в R^3. Первая квадратичная форма и ее свойства.
24. Вторая квадратичная форма поверхности. Гауссова и средняя кривизны.
25. Метрические и топологические пространства. Компактность в метрических и
топологических пространствах.
26.
Нормированные и топологические линейные пространства. Непрерывные
линейные функционалы. Сопряженное пространство.
27. Слабая топология и слабая сходимость.
28. Линейные операторы. Пространство линейных ограниченных операторов.
Компактные операторы.
29. Гильбертовы пространства. Теорема Рисса об общем виде линейного
функционала в гильбертовом пространстве.
30. Голоморфные функции. Условия Коши-Римана. Элементарные функции.
31. Интегральная теорема Коши. Интегральная формула Коши.
32. Теорема о среднем. Принцип максимума модуля.
33.
Ряд Лорана голоморфной функции в окрестности изолированной особой
точки.
34. Изолированные особые точки. Вычеты, теорема о вычетах. Классификация
особых точек.
35. Основные алгебраические структуры (группы, кольца, поля). Определения и
примеры.
36.
Кольцо
многочленов.
Разложение
в
произведение
неприводимых
многочленов.
37. Линейные пространства (размерность суммы и пересечения подпространств).
7
38. Линейные операторы. Канонический вид линейного оператора простой
структуры.
39. Системы линейных уравнений. Фундаментальная система решений.
40. Билинейные и квадратичные формы; приведение к каноническому виду.
41. Евклидовы пространства. Построение ортонормированного базиса.
42. Типы кривых 2-го порядка. Приведение общего уравнения кривой к
каноническому виду.
8
Вопросы к экзамену (для абитуриентов, поступающих на места,
финансируемые из средств федерального бюджета и имеющих диплом бакалавра
по направлению, не соответствующему направлению магистерской подготовки
или имеющих диплом специалиста, не соответствующий профилю магистерской
подготовки):
1. Предельная точка последовательности и множества. Замкнутые и открытые
множества.
2. Критерий Коши сходимости последовательности. Предел функции. Критерий
Коши существования предела функции.
3. Непрерывные функции и их свойства.
4. Числовые ряды. Виды сходимости. Признаки сходимости.
5. Формула Тейлора и ее приложения.
6.
Определенный интеграл Римана; условия интегрируемости; основные
свойства; формула Ньютона-Лейбница.
7. Виды сходимости функциональных рядов. Признаки равномерной сходимости.
8. Степенные ряды. Круг сходимости. Основные свойства степенных рядов.
9. Тригонометрический ряд Фурье. Полнота тригонометрической системы.
10.
Понятие определителя n-го порядка. Свойства определителя. Формулы
Крамера
11.
Понятие ранга матрицы. Теорема о ранге матрицы и следствия из нее.
Методы вычисления ранга матрицы
12.
Теорема Кронекера-Капелли. Понятие фундаментальной системы решений
однородной системы линейных уравнений. Решение систем линейных уравнений
общего вида в векторной форме.
13.
Обращение
матрицы
(единственность
и
существование).
Методы
построения обратной матрицы.
14.
Понятие кольца и поля. Построение поля комплексных чисел. Операции над
комплексными числами в алгебраической и тригонометрической форме записи.
Извлечение квадратных корней и корней n-ой степени из комплексных чисел.
15.
Наибольший делитель двух многочленов. Алгоритм Евклида
9
16.
Теорема о
разложении
многочлена в
произведение неприводимых
множителей.
17.
Линейные (векторные) пространства, подпространства. Понятие базиса и
размерности. Сопряженное (двойственное) линейное пространство
18.
Собственные векторы и собственные значения линейного оператора.
Критерий диагонализируемости оператора
19.
Теорема о жордановой форме матрицы.
20.
Евклидовы и унитарные (эрмитовы) пространства. Свойства нормы и
скалярного произведения. Ортогонализация базиса.
10
Литература
1. Никольский С.М. Курс математического анализа. Т. 1, Т. 2. М.: Наука, 1990,
1991.
2. Кудрявцев Л.Д. Краткий курс математического анализа. Т. 1, Т. 2. М.:
Физматлит, 2002.
3. Зорич В.А. Математический анализ. Ч. 1, Ч. 2. М.: МЦНМО, 2002.
4. Фихтенгольц Г.М. Основы математического анализа. Ч. 1, Ч. 2. Лань, 2008.
5. Тихонов А.Н. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Физматлит,
2005.
6. Бибиков Ю.Н. Курс обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Лань,
2011.
7. Петровский И.Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных
уравнений. М.: Физматлит, 2009.
8. Владимиров В.С., Жаринов В.В. Уравнения математической физики. М.:
Физматлит, 2008.
9. Ефимов Н.В., Розендорн Э.Р. Линейная алгебра и многомерная геометрия. М.:
Физматлит, 2005.
10. Фоменко А.Т., Мищенко А.С. Краткий курс дифференциальной геометрии и
топологии. М.: Физматлит, 2004.
12. Свешников А.Г. , Тихонов А.Н. Теория функций комплексной переменной.
М.: Физматлит, 2010.
13. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального
анализа. М.: Физматлит, 2009.
15. Кострикин А.И. Основы алгебры. М.: МЦНМО, 2009.
16. Кострикин А.И. , Манин Ю.И. Линейная алгебра и геометрия. М.: Лань, 2008.
17. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Аналитическая геометрия. М.: Физматлит, 2004.
11