Методические указания и задания к контрольной работе № 1 по

Министерство образования Республики Беларусь
БЕЛОРУССКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
Кафедра «Высшая математика № 2»
Методические указания и задания
к контрольной работе № 1 по высшей математике
для студентов заочного отделения ФТУГ
экономических специальностей
Минск 2010
УДК 51 (075.4)
ББК 22.1я7
М54
Настоящее издание включает в себя программы, и контрольные задания (30 вариантов) по высшей
математике по темам «Линейная алгебра», «Аналитическая геометрия», «Введение в анализ»,
«Дифференциальное исчисление», «Функции многих переменных».
Авторы постарались кратко и доступно изложить в соответствии с программой весь теоретический
материал по указанным темам. Основные теоретические положения наглядно проиллюстрированы
решением большого числа примеров и задач.
Если в ходе усвоения материала возникнут некоторые вопросы, то их можно задать на
консультациях по высшей математике для студентов-заочников, которые проводятся по субботам на
кафедре.
Студент должен выполнить контрольное задание по номеру варианта, который совпадает с двумя
последними цифрами зачетной книжки (шифра). Если номер шрифта больше тридцати, то следует из
него вычесть число тридцать. Полученный результат будет номером варианта.
Авторы искренне надеются, что данные указания помогут студентам самостоятельно выполнить
контрольную работу по математике и хорошо сдать экзамен. Желаем вам успехов!
Составители:
З.М.Алейникова, Л.И.Бородич, И.Г.Латышева, М.Н.Покатилова, А.Ф.Шидловская
Рецензент
Канд.физ.-мат.наук, доцент Т.С.Яцкевич
Канд.физ.-мат.наук, доцент В.В.Карпук
ПРОГРАММА
Тема 1. Линейная алгебра
Матрицы. Линейные операции над матрицами. Умножение матриц. Транспонирование
матриц.
Определитель матрицы. Алгебраические дополнения. Обратная матрица. Правило Крамера.
Системы m линейных уравнений с n неизвестными. Ранг матрицы. Методы его вычисления.
Теорема Кронекера-Капелли. Метод Гаусса. Системы однородных линейных уравнений.
Тема 2. Аналитическая геометрия
Векторы. Линейные операции над векторами. Угол между векторами. Скалярное
произведение векторов. Векторное и смешанное произведение векторов, их геометрический
смысл.
Уравнение прямой на плоскости и в пространстве. Уравнение плоскости. Взаимное
расположение прямой и плоскости.
Кривые второго порядка на плоскости: эллипс, гипербола, парабола.
Тема 3. Введение в анализ
Функция. Предел функции. Функция натурального аргумента. Предел числовой
последовательности. Основные теоремы о пределах. Раскрытие неопределенностей.
Замечательные пределы.
Бесконечно малые и бесконечно большие функции. Сравнение бесконечно малых функций.
Непрерывность функции. Точки разрыва и их классификация.
Тема 4. Дифференциальное исчисление
Производная, ее геометрический и физический смысл. Понятие о дифференциале. Правила
дифференцирования. Дифференцирование элементарных функций. Предельный анализ в
экономике. Уравнения касательной и нормали к плоской кривой. Производные высших
порядков. Дифференцирование неявных функций. Теоремы о среднем. Правило Лопиталя.
Исследование функций на экстремум. Наибольшее и наименьшее значения функции на
отрезке. Выпуклость и вогнутость. Асимптоты графика функции. Общее исследование функций
и построение графиков.
Тема 5. Функции многих переменных
Функции многих переменных. Область определения. Предел. Непрерывность. Частные
производные.
Дифференцируемость функции многих переменных, полный дифференциал. Производные от
сложной функции. Инвариантность формы первого дифференциала. Неявные функции и их
дифференцирование.
Касательная плоскость и нормаль к поверхности. Геометрический смысл полного
дифференциала, функции двух переменных. Частные производные высших порядков.
Дифференциалы высших порядков. Формула Тейлора для функции двух переменных.
Экстремум функции многих переменных. Необходимое и достаточное условия экстремума.
Условный экстремум. Метод множителей Лагранжа. Производная по направлению. Градиент.
Метод наименьших квадратов.
5
1. Матрицы, определители, системы линейных уравнений (СЛАУ)
1.1. Матрицы. Операции над матрицами
Матрицей А размером m  n называется прямоугольная таблица чисел aij , состоящая из m строк и
n столбцов. Числа aij называются элементами матрицы; i  1, 2, ..., m; j  1, 2, ..., n .
Матрица А с элементами aij обозначается ( aij ) или
Amn
 a11

a21
 A
 ai1

 am1
a12
... a1 j
a22
... a2 j
ai 2
...
aij
am 2 ... amj
... a1n 

... a2 n 
.
... ain 

... amn 
Квадратичной матрицей n-го порядка называется матрица размера n  n .
2 3 0 


 4 5 1
 3 2 4 


Диагональной матрицей называется квадратная матрица, у которой все элементы вне главной
x 0 
диагонали (т.е. с индексами i  j ) равны нулю. 
.
2
0 x 
Единичной матрицей Е называется диагональная матрица с единицами на главной диагонали.
1 0 0


0 1 0
0 0 1


0 0
Нулевой называется матрица, все элементы которой равны нулю. 

0 0
Суммой (разностью) матриц Amn  (aij ) и Bmn  (bij ) одинакового размера называется матрица
Cmn  (cij ) того же размера, причем, cij  aij  bij , i, j .
Свойства операции сложения матриц:
Для любых матриц А, В, С одного размера выполняются равенства:
1. А + В = В + А (коммутативность).
2. (А + В) + С = А + (В + С) = А + В + С (ассоциативность).
Произведением матрицы А = ( aij ) на число λ называется матрица В = ( bij ) того же размера, что и
матрица А, причем bij = λ∙ aij ,  i, j.
Свойства операции умножения матриц на число:
1. λ ∙ ( ∙А) = (λ ∙ ) ∙А (ассоциативность).
2. λ(А + В) = λА + λВ (дистрибутивность относительно сложения матриц).
3. (λ + ) ∙А = λ∙А + ∙А (дистрибутивность относительно сложения чисел).
Матрицы Amn и Bmn согласованы, если число столбцов матрицы А равно число строк матрицы
В. Перемножать можно только согласованные матрицы.
Произведением А ∙ В матриц А и В (размеров m n , n  k соответственно) называется матрица С
размером m  k такая, что cij  ai1  b1 j  ai 2  b2 j  ...  aik  bkj  ...  ain  bnj 
6
n
a
k 1
ik
 bkj .
Свойства операции умножения матриц
2.
 A  B   C  A   B  C   A  B  C (ассоциативность).
 A  B   C  A  C  B  C (дистрибутивность).
3.
A  B  B  A (коммутативность отсутствует).
1.
Транспонированной к матрице А = ( aij ) называется матрица АТ = ( aij T ) такая, что aij T = a ji ,  i, j
(т.е. все строки АТ равны соответствующим столбцам матрицы А).
Элементарными преобразованиями матрицы называются следующие операции:
1. Перемена местами двух строк (столбцов).
2. Умножение строки (столбца) на число не равное 0.
3. Прибавление к элементам одной строки (столбца) соответствующих элементов другой строки
(столбца).
Матрица В, полученная из матрицы А с помощью элементарных преобразований, называется
эквивалентной матрице А (обозначается ВА).
 1 3 1
 2 5 3 
; B  
.
2 0 4 
 2 1 1 
Пример 1.1. Найти A  B, A  B , 3  A , где A  
Решение.
 1  2 3  5 1  3   3 8 4 
A  B  C 

.
 2  2 0 1 4 1  0 1 5 
3  5 1  (3)   1 2 2 
 1 2
A  B  C 

.
4  1   4 1 3 
 2  (2) 0  1
 3  1 3  3 3  (1)   3 9 3 
3 A  B  

.
 3  2 3  0 3  4   6 0 12 
 2 3 0 
Т
Пример 1.2. Дана матрица A  
 . Найти А .
4

1
2


2
4




Решение. AT  3 1 .
0 2


3 4 5 
1 2 3 


Пример 1.3. Даны матрицы A  
 , B   6 0 2  . Найти произведение A  B и B  A
1
0

1


7 1 8 


(если возможно).
Решение. Число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В, значит A23  B33  C23 .
 3 4 5
1 2 3  
1  4  2  0  3 1
1  5  2  ( 2)  3  8 
  1 3  2  6  3  7
AB
   6 0 2   

1 0 1
1

3

0

6

(

1)

7
1

4

0

0

(

1)

1
1

5

0

(

2)

(

1)

8



  7 1 8


 36 7 25 

.
 4 3 3 
1.2. Определители. Алгебраические дополнения
Для любой квадратной матрицы существует числовая характеристика, которая называется
определителем и обозначается A  det A   .
7
Вычисление определителей
1. Определитель второго порядка равен разности произведений элементов, стоящих на главной и
побочной диагоналях, т.е.
a11 a12
1 3
 1  2  5  3  2  15  13.
 a11  a22  a21  a12 . Например,
5 2
a21 a22
2. Для определителей третьего порядка используется правило «треугольников» (правило Саррюса).
a11
a12
A33  a21 a22
a31 a32
a13
a23 
a33
 a11  a22  a33  a12  a23  a31  a21  a32  a13  a31  a22  a13  a21  a12  a33  a32  a23  a11.
Схематично это правило изображается так:
=
–
Например,
3 0 4
1 2 5  3  2  1  0  5  (5)  (1) 1  4   (5)  2  4  (1)  0 1  1  5  3   6  0  4  20  0  15  7.
5 1 1
3. Для вычисления определителей более высокого порядка сформулируем некоторые правила и
свойства определителей.
Минором элемента aij определителя n-го порядка называется определитель (n-1)-го порядка,
полученный вычеркиванием i-ой строки и j-го столбца, на пересечении которых стоит этот элемент.
Обозначается Mij.
Алгебраическим дополнением элемента aij называется его минор, умноженный на (-1)i+j .
Обозначается Аij, т.е. Aij   1
i j
 M ij .
Теорема разложения. Определитель матрицы равен сумме произведение элементов любого ряда
на их алгебраические дополнения.
Например, вычислим определитель, разлагая его по элементам второй строки.
2 5 4
1 0 2  1  A21  0  A22  2  A23  1  (1) 21 M 21  0  (1) 2 2 M 22  2  (1) 23 M 23 
3 1 6

5 4
2 5
 0  2
 (30  4)  2(2  15)  34  26  60.
1 6
3 1
Свойства определителей
1. Если у определителя какая-либо строка (столбец) состоит только из нулей, то A  0.
2. Если какие-либо 2 строки (столбца) пропорциональны, то такой определитель равен 0.
3. Если какую-либо строку (столбец) определителя умножить на произвольное число, то и весь
определитель умножается на это число.
4. Если две строки (два столбца) поменять местами, то определитель изменит знак.
5. Если к какой-либо строке (столбцу) определителя прибавить какую-либо другую строку (столбец),
умноженную на произвольное число, то определитель не изменится.
6. Определитель произведения матриц равен произведению их определителей.
Для вычисления определителя порядка выше третьего удобно пользоваться теоремой разложения.
Можно преобразовать определитель к треугольному виду (все элементы определителя ниже или выше
8
главной диагонали равны нулю). Определитель треугольной матрицы равен произведению элементов,
стоящих на главной диагонали.
1 2 3 4
5 6 7 2
Пример 1.4. Вычислить определитель A 
.
1 0 1 2
3 4 5 6
Решение. Применим свойство (5) к третьей строке определителя. Первый столбец сложим с
третьим, затем первый столбец умножим на 2 и сложим с четвертым столбцом, получим
1 2 2 6
5 6 12 8
A
.
1 0 0 0
3 4 8 12
Разложим этот определитель по элементам 3-ей строки, получим
A  (1)  A31  0  A32  0  A33  0  A34  (1)  (1)31 M 31   M 31 
2 2 6
Í à î ñí î âàí èè ñâî éñòâà 3
1 1 3
  6 12 8  âû í åñåì 2 èç ï åðâî é ñòðî êè,  2  2  4 3 6 4 
4 8 12
2 - ñî âòî ðî é, 4 - èç òðåòüåé
1 2 3
 16 1  6  3  1  4  1  3  2  3  1  6  3  2  4  1  3  (1)  3  16 18  4  18  18  8  9  
 16  15  240.
1 2 3 4
1 3 3 4
Пример 1.5. Вычислить определитель
.
1 1 7 4
1 2 5 2
Решение. Первый столбец умножим на (-2) и прибавим ко второму столбцу. Затем первый столбец
умножим на (-3) и прибавим к третьему столбцу и, наконец, первый столбец умножим на (-4) и прибавим
к четвертому столбцу.
1 2 3 4 1 0 0 0
1 3 3 4 1 1 0 0

 1  1  4  (2)  8.
1 1 7 4 1 3 4 0
1 2 5 2 1 4 2 2
1.3. Ранг матрицы
Минором k-го порядка произвольной матрицы А называется определитель, составленный из
элементов матрицы, расположенных на пересечении каких-либо k строк и k столбцов.
1 2

Например, в матрице A  4 5

7 8

1 2
– для 2-го порядка:
минор
4 5
1 2 3
1

4  можно указать такие миноры:
9 7 
a21 a24
a11 a12 4
4
,
минор
и т.д.;
a31 a34
a22 a22 7 7
3
6
1 3
1
2 3
1
– для 3-го порядка: 4
5 6, 4 6 4 , 5 6 4 .
7 8 9 7 9 7 8 9 7
9
Рангом матрицы А называется наибольший из порядков ее миноров, не равных нулю. Обозначает 3 2 2 
ся r(A), rang(A). Например, A  
 , r ( A)  1 , т.к. все миноры 2-го порядка равны нулю.
0 0 0
Базисным минором матрицы называется всякий отличный от нуля ее минор, порядок которого
равен рангу матрицы.
Рассмотрим некоторые методы вычисления ранга матрицы.
Метод окаймляющих миноров. Минор порядка k + 1, содержащий в себе минор порядка k,
называется окаймляющим минором. Вычисляя ранг матрицы удобнее переходить от миноров меньших
порядков к минорам больших порядков. Если найден минор k-го порядка, отличный от нуля, а все
окаймляющие его миноры порядка k + 1 равны нулю, то ранг матрицы равен k.
Метод элементарных преобразований. Этот метод основан на следующей теореме.
Теорема. При элементарных преобразованиях ранг матрицы не меняется. К элементарным
преобразованиям матрицы относятся:
1. Перестановка двух строк (столбцов).
2. Умножение какой-либо строки (столбца) на число, отличное от нуля.
3. Прибавление к какой-либо строке (столбцу) матрицы другой строки (столбца), умноженной на
произвольное число.
Путем элементарных преобразований исходную матрицу можно привести к трапециевидной
форме:
 bn b12 ... b1k ... b1n 


 0 b22 ... b2 k ... b2 n 
 0 0 ... bkk ... bkn  ,


 0 0 ... 0 ... 0 
 0 0 ... 0 ... 0 


где элементы bn , b22 , ..., bkk отличны от нуля. Тогда ранг полученной матрицы равен k.
 1 2 1 


Пример 1.6. Найти ранг матрицы 3 4
0  методом окаймляющих миноров.

 5 8 2 


1 2 1
1 2
Решение. M 22 
 4  6  2  0. M 33  3 4 0  8  0  24  20  0  12  0.
3 4
5 8 2
Следовательно, r(A) = 2.
 2 1 5 6 


Пример 1.7. Найти ранг матрицы 1 1 3 5 методом элементарных преобразований.


 1 5 1 3 


 2 1 5 6   1 1 3 5 

 

Решение.  1 1 3 5    2 1 5 6  
 1 5 1 3   1 5 1 3 

 

Óì í î æàåì ï åðâóþ ñòðî êó í à (-2) è ï ðèáàâëÿåì êî âòî ðî é,




 çàòåì ï åðâóþ ñòðî êó óì í î æàåì í à (-1) è ï ðèáàâëÿåì ê òðåòüåé ñòðî êå. 


 Óì í î æàåì âòî ðóþ ñòðî êó í à (-2)  

 

0

3

1

4
 
  rA  2.
è
ï
ðèáàâëÿåì
ê
ñòðåòüåé
ñòðî
êå.

 

10
1
1
3
5
0
0
0
0
1 1 3 5 


 0 3 1 4  
 0 6 2 8 


1.4. Системы линейных уравнений (СЛАУ)
Линейной системой m уравнений с n неизвестными x1 , x2 , ..., xn называется система вида
a11 x1  a12 x2  ...  a1n xn  b1 ;
a x  a x  ...  a x  b ;
 21 1 22 2
2n n
2

................................................

am1 x1  am 2 x2  ...  amn xn  bm .
Числа a11 , a12 , ..., amn
называются коэффициентами системы, b1 , b2 , ..., bm – ее свободные
члены. Если все bi , i  1, m равны нулю, то система однородная, в противном случае – неоднородная.
Линейную систему можно записать в матричной форме: A  X  B , где
 a11 a12

A   a21 a22
a
 m1 am 2
 b1 
a1n 
 
b

a2 n  – матрица системы; B   2  – матрица-столбец свободных членов;
 
amn 
 
 bm 
 x1 
 
x
X   2  – матрица-столбец неизвестных.
 
 
 xm 
Матрица А/В называется расширенной матрицей системы и имеет вид:
 a11

A / B   a21
a
 m1
a12
a22
am 2
a1n
a2 n
amn
b1 

b2  .
bm 
Решением системы m уравнений с n неизвестными называется совокупность значений неизвестных x1  a1 , x2  a2 , ..., xn  an , при подстановке которых все уравнения системы обращаются в
тождества.
Система называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение. В противном случае она
называется несовместной.
Однородная система линейных уравнений всегда совместна, т.к. имеет нулевой решение.
Решение невырожденных систем линейных уравнений
Система n уравнений с n неизвестными называется невырожденной, если A  0 .
Правило Крамера. Невырожденная система имеет единственное решение, которое можно найти
по формулам xi 
i
, i  1, n , где   A , i – определитель, полученный из  заменой i-го столбца

на столбец свободных членов.
3x1  4 x2  x3  17,

Пример 1.8. Решить систему линейных уравнений  2 x1  x2  x3  0,
2 x  3x  5 x  8.
1
2
3

 3 4 1 


Решение. Матрица системы A   2 1 1 . Определитель   15  8  6  2  9  40  48.
 2 3 5 


11
17 4 1
3 17 1
1  0 1 1  85  32  0  8  51  0  96;  2  2 0 1  0  34  16  0  24  170  144;
8 3 5
2 8 5
3 4 17
 3  2 1 0  24  0  102  34  0  64  48.
2 3 8
x1 

1 96

144
48

 2; x2  2 
 3; x3  3 
 1.
 48

48
 48
Решение произвольных систем линейных уравнений
Теорема Кронекера-Капелли. Система линейных уравнений совместна тогда и только тогда,
когда ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы системы r(A) = r(A/B).
При этом возможны 3 варианта: 1) если r ( A) < r ( A / B) – система несовместна; 2)
r ( A) = r ( A / B)  n (n – число неизвестных), то система имеет единственное решение; 3) если
r ( A) = r ( A / B)  n , то система имеет бесчисленное множество решений.
Для исследования систем линейных уравнений и нахождения их решений можно использовать
метод Гаусса. С помощью элементарных преобразований над строками приведем расширенную матрицу
системы (А/В) к трапециевидной форме. Такой матрице соответствует система, которую легко решить,
начиная с последнего уравнения.
 x1  x2  x3  4;

Пример 1.9. Исследовать систему уравнений  x1  2 x2  3x3  0; и в случае совместности решить ее.
2 x
 2 x3  16.
1

Решение. Приведем к трапециевидной форме расширенную матрицу системы. Первую строку
умножим на (-1) и прибавим ко второй; первую строку умножим на 2 и прибавим к третьей. Вторую
строку умножим на (-2) и прибавим к третьей.
 1 1 1 4   1 1 1 4   1 1 1 4 

 
 

 1 2 3 0    0 1 2 4    0 1 2 4  .
 2 0 2 16   0 2 4 8   0 0 0 0 

 
 

В результате элементарных преобразований над строками получим систему равносильную исходной.
1 1
 1.
Выберем в качестве базисного минора минор, стоящий в первых двух строках и столбцах:
0 1
Тогда x1 и x2 – базисные переменные, а x3 – свободная переменная. Придадим свободной переменной
произвольное значение x3  C , тогда со второго уравнения x2  2 x3  4 следует, что x2  2C  4 . Из
x1  x2  x3  4
x1   x2  x3  4 .
первого
уравнения
следует,
что
Следовательно,
x1  2C  4  C  4  C  8. Общее решение системы (-С - 8; 2С + 4; С).
Для существования нетривиального решения однородной системы линейных уравнений необходимо
и достаточно, чтобы r(A) = k < n (n – число неизвестных). Тогда общее решение однородной системы
может быть записано в виде
X  C1 E1  C2 E2  ...  Cn  k En  k ,
где Ei – матрицы-столбцы, которые называются фундаментальной системой решений.
 x1  2 x2  x3  3x4  x5  0;

Пример 1.10. Найти фундаментальную систему решений  x1  3x2  x3  2 x4  x5  0;
 x  7 x  x  4 x  x  0.
2
3
4
5
 1
Решение. Как в предыдущем примере, проведя элементарные преобразования над строками,
получим решение системы
12
 x1   C1  2, 6C2  C3 
 1
 2, 6 
 1
  





 
0, 2C2
 x2  

 0
 0, 2 
0
  C1  1  C2  0   C3  0  ,
X   x3   
C1
  

 


 
C2
 x4  

 0
 1 
0




1
x  

C3
 0
 0 
 
 5 

где C1 , C2 , C3 - произвольные постоянные.
 1 
 
 0
Тогда матрицы-столбцы  1 ;
 
 0
 0
 
 2,6 


 0, 2 
 0 ;


 1 
 0 


 1
 
0
 0  образуют фундаментальную систему решений.
 
0
1
 
2. Аналитическая геометрия
2.1. Векторы. Операции над векторами
Вектором называется направленный отрезок. Вектор с началом в точке А и концом в точке В
обозначается AB (или одной буквой a, b , …). Длина отрезка АВ называется длиной или модулем
вектора AB и обозначается AB , a . Вектор, длина которого равна нулю, называется нулевым вектором
и обозначается 0 или просто 0. Вектор, длина которого равна единице, называется единичным вектором
и обозначается e .
Единичный вектор, направление которого совпадает с направлением вектора a , называется ортом
вектора a и обозначается a o . Два ненулевых вектора называются противоположными, если они имеют
одинаковую длину и противоположные направления. Вектор, противоположный a , обозначается - a
(вектор, противоположный AB будет BA , т.е. BA = - AB ).
Векторы a è b называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на
параллельных прямых, записывают a || b . Три вектора называют компланарными, если они лежат в
одной плоскости или в параллельных плоскостях.
Суммой двух векторов a è b называется вектор c , соединяющий начало вектора a с концом
вектора b , отложенного от конца вектора a (правило треугольника).
a
b
a  b  c.
c
Замечание. На векторах a è b можно построить параллелограмм, в котором одна диагональ будет
их суммой AC  a  b , вторая – разностью BD  b  a . Такой способ сложения и вычитания векторов
называется правилом параллелограмма.
b
B
ab
a
C
a
b  a
D
А
b
13
Произведением вектора a  0 на число   0 называется вектор  a , который имеет длину
|  |  | a | и вектор  a имеет направление вектора a , если   0 и противоположное направление, если
  0.
b
Углом между векторами a è b
называется
наименьший угол φ, на который нужно повернуть один

вектор, чтобы он совпал по направлению с другим
вектором.
a
ï ðab
Проекцией вектора a на вектор b называется число, равное длине | a | умноженное на cos .
Обозначается ï ð a b = | a | ∙ cos .
Для ненулевых векторов возможны три варианта произведений.


1. Скалярное произведение – a, b  a  b .
2. Векторное произведение –  a, b   a  b .


3. Смешанное произведение трех векторов – abc  a, b, c .
Скалярным произведением двух векторов a è b называется число, равное произведению длин


этих векторов на косинус угла φ между ними, т.е. a, b  a  b | a | | b |  cos   cos  




 a, b  .
| a | | b |
Таким образом a, b  | b |  ï ðb a  | a |  ï ð a b . Например, a, a | a | | a |  cos 0o  | a |2 .
Векторным произведение неколлинеарных векторов a è b называется вектор c
c  a, b  ,
определяемый условиями:
1) вектор c перпендикулярен векторам a è b , т.е. c  a , c  b ;
2) длина вектора c равна площади параллелограмма, построенного на векторах a è b как на сторонах,
т.е. c | a |  | b |  sin  ;
3) векторы a , b , c образуют правую тройку, т.е. при наблюдении из конца вектора c кратчайший
поворот от a ê b виден против часовой стрелки.
Пример 2.1. Даны два вектора a è b , для которых | a |  2, | b |  6 и угол между ними равен

6
Найти площадь параллелограмма, построенного на этих векторах
Решение. S  a  b  | a |  | b |  sin   2  6  sin

 6 (кв.ед.).
6
Смешанным произведением трех векторов a  b  c называется число, равное скалярному
произведению  a, b  на вектор с. Обозначается a b c ( a b c =  a, b  , c ).
Геометрически модуль смешанного произведения интерпретируется как число, равное объему
параллелепипеда, построенного на векторах a , b и c как на ребрах ( a b c > 0, если данные векторы
образуют правую тройку, a b c < 0, если – левую). Объем пирамиды равен
1
abc.
6
Два вектора ортогональны, если угол между ними равен 90о. Нулевой вектор ортогонален любому
вектору.
Необходимое и достаточное условие ортогональности. Два ненулевых вектора ортогональны
тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю, т.е.
 a, b   0  | a | | b |  cos 
14
 0  cos   0   

2
.
Необходимое и достаточное условие коллинеарности. 1). Два ненулевых вектора a è b коллинеарны тогда и только тогда, когда они пропорциональны, т.е. b   a , где  - произвольное число,
отличное от нуля. 2). Два ненулевых вектора коллинеарны тогда и только тогда, когда их  a, b   0
(площадь параллелограмма равна нулю).
Необходимое и достаточное условие компланарности векторов. Три ненулевых вектора
компланарны тогда и только тогда, когда их смешанное произведение равно нулю (объем параллелепипеда равен нулю).
2.2. Действия над векторами, заданными в координатах
Если i, j , k – орты координатных осей прямоугольной системы координат Oxyz, то любой вектор a
единственным образом можно представить в виде их суммы (линейной комбинации) с коэффициентами
ax , a y , az : a  ax  i  ay  j  az  k (рис. 1)
z
M  ax , a y , az 
ar
k
0
j
M2
y
i
M1
M0
x
Рис. 1
OM  OM o  M o M  OM 1  OM 2  M o M  ax  i  a y  j  az  k ;
a 
ax 2  a y 2  az 2 .
Здесь ax , a y , a z - координаты вектора a  OM  r ( r – радиус-вектор точки М).
Если A(ax , a y , az ) и B (bx , by , bz ) , то координаты вектора AB вычисляются по формуле
AB  (bx  ax , by  a y , bz  az ) .
Орты (единичные векторы) i, j , k называются базисными (ортонормированными)
векторами
( | i | | j |  | k |  1, i  j , i  k , j  k ).
Пусть даны два вектора a(ax , a y , az ) и b(bx , by , bz ) , тогда:
1)
a  b  (ax  bx , a y  by , az  bz ) ;
2)
a  b  (ax  bx , a y  by , az  bz ) ;
3)
 a  ( ax ,  a y ,  az ) ;
4)
(a, b)  (ax  bx  a y  by  az  bz ) .
Следовательно, cos  
ax  bx  a y  by  az  bz
(a, b)
.

| a | | b |
ax 2  a y 2  az 2  bx 2  by 2  bz 2
15
5)
i
 a, b   a x


bx
j
ay
by
6)
ax
a, b, c  bx
cx
k
az   a y bz  az by  i   az bx  axbz  j   axby  a y bx  k ;
bz
ay
by
cy
az
bz .
cz
Пример 2.2. Даны вершины пирамиды A(5; 1;  4), B(1; 2;  1), C (3; 3;  4), S (2; 2; 2) . Найти длину
высоты, опущенной из вершины S на грань АВС.
Решение. Так как объем V пирамиды равен
S
1
S î ñí .  h , то
3
3V
, где h | SO | – высота пирамиды, Sосн. – площадь
Sî ñí .
основания.
h
h
B
O
A
C
AB  (1  5; 2  1;  1  4)  (4; 1; 3),
AC  (2; 2; 0),
AS  (3; 1; 6).
Находим объем пирамиды
4 1 3
1
1
1
1
V  AB AC AS  mod 2 2 0  48  0  6  18  0  12  | 24 | 4 (êóá.åä.) .
6
6
6
6
3 1 6
Находим площадь основания
Sî ñí .
i
j k
1
1
1
1
1
 [ AB, AC ]  mod 4 1 3  6 i  6 j  6k 
(6) 2  (6) 2  (6) 2  6 3  3 3 (êâ.åä.)
2
2
2
2
2
2 2 0
Подставляем в формулу h 
3V
3 4 4 3


.
Sî ñí . 3 3
3
2.3. Прямая
Нормальным вектором прямой называется любой вектор, перпендикулярный прямой.
Направляющим вектором прямой называется любой вектор, лежащий на этой прямой.
2.3.1. Прямая на плоскости. Различные виды прямой
Каждая прямая на плоскости Oxy определяется линейным уравнением первой степени с двумя
неизвестными.
1.
Общее уравнение прямой. На плоскости Oxy составим уравнение прямой l, проходящей через
точку M o ( xo , yo ) , с нормальным вектором n  ( A, B) (рис.2).
16
Возьмем произвольную
лежащую на прямой l.
y
M o M  x  xo , y  yo  .
n( A, B)
Mo
x
0
M(x, y)
Рис. 2
точку
M(x,
MoM  n
y),
(по
определению нормального вектора).
Следовательно, их скалярное произведение
(n, M o M )  0 . В координатной форме это
равенство пример вид:
A( x  xo )  B( y  yo )  0  Ax  By  Axo  Ayo  0 
 Ax  By  C  0, ãäå C = - Axo  Byo .
Уравнение Ax  By  C  0 называется общим уравнением прямой, где А и В не равны одновременно
нулю ( A2  B 2  0 ).
Если B  0 , то уравнение можно представить в виде уравнения с угловым коэффициентом
A
C
; b
(k  tg , где φ – угол наклона прямой к оси Ох).
B
B
2. Уравнение прямой, проходящей через точку M o ( xo , yo ) , с направляющим вектором s  ( m, n)
y  kx  b, ãäå k  
Строим чертеж (рис.3).
Пусть M(x, y) – произвольная точка прямой l. Тогда
у
вектор M o M  x  xo , y  yo  коллинеарен вектору
s
s  ( m, n ) .
Следовательно,
пропорциональны, т.е.
М
Мо
х
Рис. 3
координаты
x  xo y  yo

.
m
n
l
0
их
Такое уравнение
уравнением прямой.
называется
каноническим
Из этого уравнения следует параметрическое уравнение прямой
 x  xo  mt;
x  xo y  yo

t  
m
n
 y  yo  nt.
3. Уравнение прямой, проходящей через две точки
M1 ( x1 , y1 ), M 2 ( x2 , y2 ) . В качестве
направляющего вектора прямой можно взять вектор s  M1M 2  x2  x1 , y2  y1  . Тогда искомое
уравнение примет вид
x  x1
y  y1

.
x2  x1 y2  y1
Пример 2.3. Вершины треугольника находятся в точках A(2; 2), B(1,  2), C (1, 0). Найти проекцию
точки А на ВС.
Решение. Строим чертеж (рис.4). Проекция точки А на ВС есть точка пересечения основания ВС с
высотой АН. Составим уравнение прямой ВС по двум точкам
17
x  xB
y  yB
x  1 y  (2)
x 1 y  2





 2( x  1)  2( y  2)  x  1   y  2 
xC  xB yC  yB
1  1 0  (2)
2
2
 x  y  1  0  î áù åå óðàâí åí èå ï ðÿì î é ÂÑ.
Так как AH  CB , следовательно, скалярное произведение  BC, AH   0.
AH  x  2, y  2  и BC  1  1; 0  (2)   BC  2; 2  .
у
 BC;
А(2; 2)
С(-1; 0)
х
Н(х; у)
В(1; -2)
AH   0 , следовательно,
2  x  2   2( y  2)  0   2 x  2 y  0   x  y  0
– общее уравнение АН.
Для нахождения координат точки Н решим систему
 x  y  1;
2 y  1;
1
1

 x ; y .

2
2
 x  y  0.
 x  y.
 1 1
Ответ. H   ;   .
 2 2
Рис.4
2.3.2. Прямая в пространстве. Различные виды прямой
Уравнение прямой l, проходящей через M o  xo , yo , zo  , с направляющим вектором s  ( m, n, p ) в
пространстве Oxyz составляются аналогично прямой в пространстве Оху.
Строим чертеж (рис.5). Пусть M(x, y) – произвольная точка прямой l. Тогда вектор
M o M || s 
x  xo y  yo z  zo


. Такое уравнение называется каноническим уравнением прямой.
m
n
p
Параметрическое уравнение прямой примет вид
z
x  xo y  yo z  zo
x  xo
y  yo


t 
 t;
 t;
m
n
p
m
n
l
M(x, y, z)
Mo(xo ,yo ,zo)
s  (m, n, p)
y
0
 x  xo  mt ;
z  zo

 t   y  yo  nt ;
p
 z  z  pt.
o

x
Рис.5
Уравнение прямой, проходящей через две точки M1  x1 , y1 , z1  и M 2  x2 , y2 , z2 
x  x1
y  y1
z  z1
.


x2  x1 y2  y1 z2  z1
Общее уравнение прямой в пространстве задается как линия пересечения двух плоскостей.
2.4. Плоскость
Плоскость в пространстве можно задать разными способами: тремя точками; точкой и вектором,
перпендикулярным плоскости. В зависимости от этого рассматриваются различные виды ее уравнение.
1. В пространстве Oxyz составим уравнение плоскости p, проходящей через точку M o  xo , yo , zo 
перпендикулярно нормальному вектору плоскости n   A, B, C  (рис.6).
18
z
n   A, B, C 
Mo
M(x, y, z)
p
O
y
х
Рис. 6
Возьмем любой точку M(x, y, z), лежащую на плоскости р. Векторы M o M и n перпендикулярны.
Следовательно, скалярное произведение этих векторов равно нулю, т.е. ( M o M , n)  0 или в координатной форме A( x  x0 )  B( y  yo )  C ( z  zo )  0. Уравнение Ax  By  Cz  D  0 , где A, B, C не равны
одновременно нулю (A2 + B2 + C2  0) называется общим уравнением плоскости.
2. Уравнение плоскости, проходящей через три точки M1  x1 , y1 , z1  , M 2  x2 , y2 , z2  ,
M 3  x3 , y3 , z3  , не лежащие на одной прямой.
Пусть M(x, y, z) – произвольная точка плоскости, тогда векторы M1M   x  x1; y  y1; z  z1  ,
M1M 2   x2  x1 ; y2  y1 ; z2  z1

M 2 M 3   x3  x1 ; y3  y1 ; z3  z1

компланарны, а, следовательно,
их смешанное произведение равно нулю, т.е. M1M M1M 2 M 2 M 3  0 . В координатной форме запишется
так:
x  x1
y  y1
z  z1
x2  x1
x3  x1
y2  y1
y3  y1
z2  z1  0 .
z3  z1
Это и есть уравнение плоскости, проходящей через три точки.
Задачи на прямую и плоскость: пусть заданы две непараллельные плоскости, заданные общими
уравнениями. В этом случае плоскости пересекаются по прямой, определяемой общими уравнениями
прямой.
 A1 x  B1 y  C1 z  D1  0;

 A2 x  B2 y  C2 z  D2  0.
Замечание. Одна и та же прямая может быть задана различными системами двух линейных
уравнений, т.к. через одну прямую можно провести бесчисленное множество плоскостей.
 x  2 y  3z  2  0,
привести к каноническому виду.
2 x  2 y  z  5  0.
Пример 2.4. Общие уравнения прямой 
Решение. Для решения этой задачи надо знать какую-либо точку прямой и ее направляющий вектор
s . Выберем точку на прямой следующим образом: положим z = 0, тогда для определения абсциссы x и
 x  2 y  2  0;
ординаты y этой точки получим систему уравнений 
2 x  2 y  5  0.
3
3
Решая систему, находим x  1, y   . Итак, на прямой известна точка (1;  ; 0) . Направляющий
2
2
вектор прямой находим по формуле s   n1 ; n2  ( n1 ; n2 – векторы нормалей плоскостей), так как он
принадлежит обеим плоскостям и, следовательно, удовлетворяет условиям s  n1 , s  n2 .
19
n1  1; 2;  3 ; n2   2;  2; 1 ,
i
j k
2 3
3 1
1 2
s  1 2 3  i 
 j
k
 4i  7 j  6k , т.е. s = (-4; -7; -6).
2 1
1 2
2 2
2 2 1
3
3
y_
y
x 1
z

0
x

1
2
2z –
Тогда канонические уравнения прямой имеют вид:
или


4
7
6
4
7
6
искомые уравнения прямой.
2.5. Угол между двумя прямыми на плоскости и в пространстве
Пусть s1   m1 , n1 , p1  è s2   m2 , n2 , p2  – направляющие векторы двух прямых в пространстве.
Угол между двумя прямыми есть угол между их направляющими векторами, т.е.
cos  
s1 s2

s1  s2
m1m2  n1n2  p1 p2
m12  n12  p12  m22  n22  p22
.
Тогда на плоскости s1   m1 , n1 , p1  è s2   m2 , n2 , p2 
cos  
m1 m2  n1 , n2
m12  n12  m22  n22
Условие параллельности двух прямых: s1 || s2 , т.е.
.
m1 n1 p1


.
m2 n2 p2
Условие перпендикулярности двух прямых: s1  s2  ( s1 , s2 )  0, ò.å. m1m2  n1n2  p1 p2  0.
Угол между двумя плоскостями есть угол между их нормальными векторами. Пусть
n1  ( A1 , B1 , C1 ) è n2  ( A2 , B2 , C2 ) – нормальные векторы двух плоскостей в пространстве, тогда
cos  
n , n  
1
2
n1  n2
A1 A2  B1 B2  C1 C2
A12  B12  C12  A22  B22  C22
Условие параллельности двух плоскостей. n1 || n2 , т.е.
.
A1 B1 C1

 .
A2 B2 C2
Условие перпендикулярности двух плоскостей. n1  n2  ( n1 , n2 )  0 , т.е.
A1 A2  B1B2  C1 C2 = 0.
2.6. Угол между прямой и плоскостью в пространстве
Пусть прямая l задана каноническими уравнениями
x  xo y  yo z  zo
, а плоскость p – общим


m
n
p
уравнением Ax  By  Cz  D  0 .Углом между прямой и плоскостью называется острый угол между
20
прямой и ее проекцией на плоскость. Он является дополнительным до
s   m, n, p  è n   A, B, C  (рис. 7).
π
к углу между векторами
2
z
n   A, B, C 
l
s   m, n, p 
φ
M(x, y, z)
π/2-φ
Mo
p
O
y
х
Рис. 7
 

 n, s
  

2
 ns
Тогда sin   cos 
A m  B  n  C  p
A  B 2  C 2  m2  n2  p 2
2
Условие перпендикулярности прямой и плоскости. n || s , т.е.
.
A B C
  .
m n p
Условие параллельности прямой и плоскости. n  s  (n , s )  0  A  m  B  n  C  p  0.
Пример 2.5. Составить уравнение прямой, проходящей через точку M 1 (1;  2; 3) и перпендикулярной
x  5 y  4 z  3 x  2 y  4 z 1


,


.
3
1
2
2
5
4
x 1 y  2 z  3
Решение. Искомое уравнение прямой будет


, где s   m, n, p  – направляюm
n
p
к прямым
щий вектор прямой. Так как искомая прямая перпендикулярна двум заданным прямым, то
3  m  1 n  2  p  0;
s  s1 , s  s2  
2  m  5  n  4  p  0.
Выразим две неизвестные через третью. Первое уравнение умножим на 2 и сложим со вторым урав-
3
n . Подставим m в любое уравнение (пусть во второе), получим
8
3
3
17
2  n  5n  4 p  0  n  5n  4 p  0  p  n.
8
4
16
нением, получим 8m  3n  0  m 
Тогда искомое уравнение пример вид :
Пример
2.6.
Найти
величину
x 1 y  2 z  3
x 1 y  2 z  3





.
3
17
n
6
16
17
n
n
8
16
угла
между
прямой
4 x  2 y  2 z  3  0.
Решение. sin  
4 1  2 1  2   2 
1  1  4  16  4  4

x3 y 6 z 7


1
1
2
и
плоскостью
6
1
π
   .
6
6  24 2
21
3. Введение в математический анализ
3.1. Функция. Предел функции
Пусть даны два непустых множества X и Y. Если каждому элементу x  X по определенному
правилу (закону) поставлен в соответствии единственный элемент y  Y , то говорят, что на множестве Х
определена функция y  f ( x) , где х – аргумент или независимая переменная, а у – функция или
зависимая переменная. Относительно самих х и у говорят, что они находятся в функциональной
зависимости.
Множество Х называется областью определения функции и обозначается D(f). Множество всех
y  Y называется множество значений функции f и обозначается E(f).
Число А называется пределом функции y  f ( x) в точке x0 (или при x  x0 ), если для любого
  0 , можно указать такое число  ( )  0 , что для всех х, удовлетворяющих неравенству | x  x0 |   ,
выполняется неравенство f ( x)  A   . Тот факт, что А является пределом функции y  f ( x) в точке x0
записывается в виде lim f ( x)  A .
x  x0
Если функция f ( x) определена в точке x0  X и в некоторой ее окрестности существует предел
функции при x  x0 , равный значению функции в этой точке, т.е. lim f ( x)  f ( x0 ) , то функция f ( x)
x  x0
называется непрерывной в точке x0  X . Функция непрерывна на множестве Х, если она непрерывна в
каждой точке этого множества. Всякая элементарная функция непрерывна в области определения.
Следовательно, для нахождения предела непрерывной функции в любой точке области определения,
достаточно вычислить значение функции в этой точке. Под знаком непрерывной функции можно


переходить к пределу: lim f  ( x)   f lim  ( x) .
x  x0
x  x0
x 2  3x  2
.
x 1 2 x 2  2 x  4
2
1  3  1  2

x 2  3x  2
0
Решение. lim 2


 0.
2
x 1 2 x  2 x  4
2  1  2  1  4 4
Пример 3.1. Найти lim
3.2. Основные теоремы о пределах
Теорема 1. Предел постоянной равен самой постоянной lim C  C .
x  x0
Теорема 2. Пусть lim f ( x)  A и lim g ( x)  B , тогда
x  x0
1)
2)
3)
x  x0
lim f ( x)   f ( x)  g ( x)   lim f ( x)  lim g ( x)  A  B.
x  x0
x  x0
x  x0
lim f ( x)   f ( x)  g ( x)   lim f ( x)  lim g ( x)  A  B.
x  x0
x  x0
x  x0
lim f ( x)   c  f ( x)   c lim f ( x)  c  A.
x  x0
x  x0
lim f ( x)
4)
lim
x  x0
f ( x) x  x0
A

  B  0.
g ( x) lim g ( x) B
x  x0
Из 2) теоремы 2 следует, что если lim f ( x)  A , то
x  x0
lim  f ( x)   A , n  N ;
n
n
x  x0
lim
n
x  x0
f ( x)  n A A  0, n  ÷åòí î å 
x 2  3x  2
.
x 1 x 2  2 x  5
Решение. Воспользовавшись теоремами о пределах частного, суммы, произведения, получим
x 2  3lim x  lim 2 1  2  3 6 3
 x2  3x  2 lim
x 2  3x  2 lim
x 1
x 1
x 1
x 1
lim 2



  .
2
x 1 x  2 x  5
lim  x 2  2 x  5 lim x  2lim x  lim5 1  2  5 4 2
Пример 3.2. Найти предел lim
x 1
22
x 1
x 1
x 1
Непосредственное применение теорем о пределах, однако, не всегда приводит к цели. Если
0 
вычисление пределов приводит к неопределенным выражениям вида , ,   , 0   , необходимо
0 
тождественно преобразовать функцию, предел которой ищем, т.е. «раскрыть неопределенность». Как это
делается покажем на конкретных примерах.
1  3x  1
3x 2  x  2
5x2  6 x  1
Пример 3.3. Найти пределы: а) lim 2
; б) lim
; в) lim 2
;
x 0
x 1 4 x  5 x  1
x  6 x  4 x  2
5x
3x 4  2
3 
 1
г) lim
; д) lim x  x2  5x ; е) lim 

.
8
x 1
x 
x 1 1  x
1  x3 

x  3x  4
Решение. а) При х = 1 числитель и знаменатель обращается в нуль, т.е. получается неопределенность
0
вида
. Преобразуем дробь, разложив числитель и знаменатель на множители и сократив на
0
множитель x  1  0 , получим
2
2


 2
3( x  1)  x  
3  x   3 1  
3x 2  x  2
3
3

  lim 
   3   5.
lim 2
 lim
x 1 4 x  5 x  1
x 1
1  x 1 
1

 1 3
4( x  1)  x  
4  x   4 1  
4
4


 4
0
б) Имеем неопределенность вида
. Избавимся от иррациональности в числителе, умножив
0
числитель и знаменатель дроби на сопряженное к числителю выражение 1  3x  1 :


lim
x 0
1  3x  1
 lim
x 0
5x

5x
 lim
x 0

1  3x  1
5x


1  3x  1
3 x

  lim
1  3x  1

1  3x  1
x 0
 lim
x 0
5

1  3x  1
5x
3


1  3x  1

1  3x  1


3
.
10
в) Числитель и знаменатель дроби конечного предела не имеют. Имеем неопределенность вида
Разделим числитель и знаменатель дроби на высшую степень х, т.е. на х2:

.

6 1
5  2
5x2  6 x  1
x x  500  5.
lim 2
 lim
x  6 x  4 x  2
x 
4 2
6  2 600 6
x x
г) Имеем неопределенность вида
3x 4  2
lim
x  3x  4
x 1
8
3
 lim
x 1
2
x4

. Разделим числитель и знаменатель на х4:


3
 3.
1
3
4
 8
7
x
x
д) Имеем неопределенность вида    . Умножим и разделим выражение в сколках на сопряженное:

lim x  x  5 x
x 
2

1
x 
 lim
x 
 lim
x 
x2  5x
x 
5 x
x  x  5x
2
 x 
x2  5x
x2  5x
 lim
x 

  lim x
x 
2
 x2  5x
x  x2  5x

5
5
 .
2
5
1 1
x
е) Неопределенность вида    преобразуется к неопределенности
0
привидением функции к
0
общему знаменателю.
23
 1

3 
3
1  x  x2  3
 1


lim 


lim


lim


x 1 1  x
1  x3  x 1  1  x (1  x) 1  x  x 2   x 1 (1  x) 1  x  x 2 



x2  x  2
( x  1)( x  2)
( x  2)
3
 lim
 lim
   1.
x 1 (1  x ) 1  x  x 2
x 1 (1  x ) 1  x  x 2
x 1 1  x  x 2
3




 lim
3.3. Замечательные пределы
При вычислении пределов, содержащих тригонометрические функции, часто используют предел
sin x
 1 , который называют первым замечательным пределом. Этот предел применяется для
x 0
x
lim
раскрытия некоторых неопределенностей вида
0
. Из данного равенства вытекает:
0
x
 1;
x  0 sin x
tgx  0 
sin x
1
 sin x 1 
lim
    lim 

 lim
 11  1;
  lim
x 0 x
x

0
x

0
x

0
x
cos x
0
 x cos x 
lim
arc sin x  0  arc sin x  y  x  sin y 
y
 
 lim
 1;

x 0
y

0
x
sin y
 0  x  0  y  0

arctgx
lim
 1 (àí àëî ãè÷í î ).
x 0
x
1  cos x
2 x  arctgx
Пример 3.4. Найти пределы: а) lim
;б) lim
2
x 0
x  0 2 x  arcsin x
3x
4
x

2 x
2sin
sin 
1  cos x  0 
2  2 lim 
2  1  1 1  1 .


lim
Решение. а) lim




2
2
x 0
3x
3 x 0  x  4 6
6
 0  x 0 3 x
 2 
arctgx
2
2 x  arctgx  0 
2 1 1
x
    lim

 .
б) lim
x 0 2 x  arcsin x
x

0
arcsin
x
2

1
3
0
2
x
lim
x
 1
Предел lim 1    e называют вторым замечательным пределом. Если в этом равенстве
x 
 x
1
положить   (  0 при x   ), получим другую форму записи второго замечательного предела
x
1
lim 1     e .
x 
Число е называют неперовым числом. Это иррациональное число (е = 2,718281828… ( e  2, 72 ).
Логарифмы по основанию е называют натуральными логарифмами и обозначают lnx, т.е.
ln x  log e x . Второй замечательный предел применяется для раскрытия неопределенностей вида 1 .
3x
 x2
x 1  tg 3 x ; в)
lim  5  2 x  x2 4 .
 ; б) lim
x 0
x 2
 x3 
x
Пример 3.5. Найти пределы: а) lim 
x 
24
2
 x2
x  1  1 , имеем неопределенность вида 1 . Для ее
Решение. а) Так как lim 
  lim
x  x  3
x 
3
1


1
x
1
x
раскрытия воспользуемся вторым замечательным пределом, выделив предварительно у дробей целую
часть:

5 
 x2
 x 35 


1  5 
lim 

1

lim

lim
1


lim







x  x  3
x 


 x  3  x  x  3  x  x  3 

x
x
б) lim x 1  tg3x  lim 1  tg3x 
x 0
1
x
x 0
â) lim  5  2 x  x2 4  1
3x

x 2
x
1



 1   lim 1  tg3x  tg 3 x 
x 0



  lim 1  (4  2 x) 
 lim e
x 2
6 x ( x  2)
( x  2)( x  2)
x 2
6 x
3x
x2  4
 lim e x  2  e
x 2

 tg3 x
x
 lim e
x 3
5
 tg3 x
3
3x
x 0
3x


 lim 1  (4  2 x)  42 x 
x 2


12
4




5x
x 3
5x
 lim e x 3  e5 .
x 
 e3.
3 x (4  2 x )
x2  4

 e3 .
3.4. Бесконечно малые и бесконечно большие функции. Сравнение бесконечно малых функций
Функция y  f ( x) называется бесконечно малой при x  x0 (или x   ), если lim f ( x)  0 .
x  x0
Функция y  f ( x) называется бесконечно большой при x  x0 (или x   ), если lim f ( x)   .
x  x0
Между бесконечно малыми и бесконечно большими функциями существует связь. Если f ( x ) –
бесконечно малая функция при
x  x0 , то
1
– бесконечно большая функция при x  x0 и
f ( x)
наоборот.
Алгебраическая сумма и произведение конечного числа бесконечно малых функций при
x  x0
есть функция бесконечно малая при x  x0 .
Произведение бесконечно малой при x  x0 функции на ограниченную функцию есть бесконечно
малая функция при x  x0 .
Пусть  ( x ) и  ( x ) – бесконечно малые функции при x  x0 . Для сравнения двух бесконечно
малых находят предел их отношения при x  x0 , т.е. находят lim
x  x0
 ( x)
 A.
 ( x)
При этом, если:
1. A  0, A  R , то  ( x ) и  ( x ) называют бесконечно малыми одного порядка малости;
2. A  0 , то  ( x ) называется бесконечно малой более высокого порядка, чем  ( x ) .
A  1 , то  ( x ) и  ( x ) называются эквивалентными бесконечно малыми при x  x0 и
sin x
 1.
пишут  ( x )   ( x ) при x  x0 . Например, sin x x , так как lim
x  x0
x
Если  ( x ) бесконечно малая при x  x0 , т.е. lim  ( x)  0 , то справедливы следующие
3.
x  x0
асимптотические соотношения:
sin  ( x)  ( x),
tg ( x)  ( x),
arc sin  ( x)  ( x),
arctg ( x)  ( x),
n
1
 ( x),
n
ln 1   ( x)   ( x).
1   ( x)  1
25
При вычислении предела отношения двух бесконечно малых функций каждую из них можно
заменить бесконечно малой, ей эквивалентной, т.е. если  ( x) 1 ( x),  ( x) 1 ( x) при x  x0 , то
lim
x  x0
Пример 3.6. Найти пределы: а) lim
x 0
 ( x)
 ( x)
 lim 1 .
 ( x) x  x 1 ( x)
0
sin(1  2 x)
1  3x  1
; б) lim
.
1
4x2 1
arctg5 x
x
2
1  3x  1
Решение. а) Так как
1
  3 x  , arctg5 x
2
5 x при x  0 , то
3
 x
1  3x  1
3
lim
 lim 2   .
x 0 arctg5 x
x 0 5 x
10
1
sin(1  2 x)
1 2x
1
1
 lim
 lim
 .
б) При x  sin(1  2 x) 1  2 x. Поэтому lim
2
1
1
1
2
4x 1
2
x
x  (2 x  1)(2 x  1)
x 2 x  1
2
2
2
4. Дифференциальное исчисление функции одной переменной
y  f ( x) определена в некоторой окрестности
фиксированной точки x0 и пусть х – произвольная точка этой окрестности. Тогда x  x0  x приращение аргумента (положительное или отрицательное) такое, что x  x принадлежит окрестности
этой точки и приращение функции в точке x0 выразится формулой f ( x0 )  f ( x0  x)  f ( x0 ).
Определение производной. Пусть функция
Производной функции y  f ( x) в точке x0 называется предел отношения приращения функции к
приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю. Обозначение производной в
точке x0 : y '( x0 ), f '  x0  ,
df  x0  dy
,
dx
dx
. Следовательно, по определению
x  x0
f ( x0 )
f ( x0  x)  f ( x0 )
 lim
.

x

0
x
x
Таким образом, производная функции в точке x  x0 (если существует) – есть определенное число.
f '  x0   lim
x 0
Если же производная существует в произвольной точке х, то она является функцией от х и обозначается:
y ', f '( x),
dy df ( x)
,
.
dx
dx
Операция нахождения производной от функции f(x) называется дифференцированием этой
функции. Дифференцируемой называется функция, которая имеет производную.
Геометрический смысл производной. Пусть кривая L является графиком функции y  f ( x) , а
точка M 0  x0 , y0   L. Тогда значение производной функции
f ( x ) при x  x0 равно угловому
коэффициенту касательной к графику функции в точке с абсциссой, т.е. f ( x0 )  tg  k (k – угловой
коэффициент касательной).
Экономический смысл производной. Пусть    (t ) – объем продукции, произведенной за время
t . Тогда отношение
26

t
является средней производительностью за время t . Производная

называется производительностью в момент времени t . В экономических моделях
t  0 t
y
y / y
наряду с отношением
рассматривают отношение относительных приращений
.
x
x / x
Эластичностью функции y  f ( x) в точке х называется предел
y / y
y x
x
Ex  lim
 lim
  f ' x  .
x 0 x / x
x 0 x y
y
Эластичность Ex ( y ) задает приближенный процент прироста функции при изменении независимой
 '(t )  lim
переменной на 1%.
4.1. Основные правила дифференцирования
Пусть с – постоянная, u ( x) и v ( x ) - дифференцируемые функции. Тогда
1. c '  0.
4. (c  u ) '  cu '.
 u  u ' v  uv '
5.   
 v  0.
v2
v
'
2.
(u  v) '  u ' v '.
3.
(uv) '  u ' v  uv '.
Если y  f (u ) , u  u ( x) , где u ( x) – дифференцируема в точке x, а функция f (u ) дифференцируема в соответствующей точке u  u ( x) , то сложная функция y  f (u ( x)) дифференцируема в точке
x и ее производная y '  fu' (u )u '( x).
4.2. Таблица производных основных элементарных функций
 
2.  a  '  a  ln a  u ',
3.  e  '  e  u '.
1. u n '  n  u n 1  u ', n  R.
u
u
u
u'
.
cos 2 u
u'
.
9.  ctgu  ' 
sin 2 u
u'
.
10.  arc sin u  ' 
1 u2
u'
.
11.  arccosu  '  
1 u2
u'
.
12.  arctgu  ' 
1 u2
u'
.
13.  arcctgu  '  
1 u2
8.  tgu  ' 
a  0, a  1.
u
4.  log a u  ' 
u'
, a  0, a  1.
u  ln a
u'
.
u
6.  sin u  '  cos u  u '.
5.  ln u  ' 
7.  cos u  '   sin u  u '.
Пример 4.1. Применяя правила и формулы дифференцирования, найти производные следующих
функций: а) y  x5arctgx ; б) y  3 2  x 4 ; в) y  e x arctge x  ln 1  e2 x ; г) y  arcsin
2 x2
.
1  x4
1
x5
4
 5 x arctgx 
.
Решение. а) y '  ( x )'arctgx  x (arctgx) '  5 x arctgx  x
1  x2
1  x2
5
5
4
5
'
1
2


1
4 x3
4 3 
4
.
б) y '   (2  x )   (2  x ) 3 (2  x 4 ) ' 
3 3 (2  x 4 ) 2

 3
1
в) Запишем данную функцию в виде y  e x arctge x  ln 1  e 2 x  , получим
2
27
1
1
1
e2 x
e2 x
x
2x
x
x
y '  e arctge  e
 e  ln
 e  2  e arctge 

 e x arctge x .
2x
2x
2x
2x
1 e
2 1 e
1 e
1 e
x
x
x
г)
y' 
1
 2x2 
1 
4 
 1 x 
2

4 x 1  x 4   2 x 2  4 x3
1  x 
4 2

1
1  2 x 4  x8

4 x 1  x 4  2 x 4 
1  x4
4
1 4 x 1  x 
4x



.
4
4
1 x
1 x
1  x4
4.3. Производные высших порядков
Производная y '  f '( x) функции y  f ( x) является функцией от х и называется первой
производной (или производной первого порядка) этой функции.
Второй производной (или производной второго порядка) функции y  f ( x) называется
производная от ее первой производной и обозначается y ", f "( x),
Производная от второй производной, если она существует,
d2y
. Таким образом, y "  ( y ') ' .
dx 2
называется производной третьего
3
порядка и обозначается y "', f "'( x),
d y
. Итак, y "'  ( y '') ' . Аналогично определяются производные
dx3
более высоких порядков.
Производной n-го порядка (или n-ой производной) функции y  f ( x) называется производной от
 n
 n 1
) ' . Первые три производные обозначаются штрихами,
производной (n-1)-го порядка, т.е. y  ( y
 4
èëè y  IV  – производная четвертого
последующие – римскими цифрами или числами в скобках ( y
порядка).
Пример 4.2. Найти производную четвертого порядка функции y  ln x .
Решение.
y '   ln x  '  ke kx ; y "   ln x  "   ke kx  '  k 2e kx ; y '"   ke kx  "   k 2e kx  '  k 3e kx ,...;
y n  k ne kx .
4.4. Неявная функция и ее дифференцирование
Пусть функция
y  f ( x)
задана уравнением
F  x, y   0 , т.е. уравнением, связывающим
независимую переменную х с функцией у, не разрешенным относительно у. В этом случае говорят, что
функция y  f ( x) задана неявно.
Производную от функции F  x, y   0 можно найти дифференцированием по х обеих частей этого
уравнения с учетом того, что у – функция от х. Полученное после дифференцирования уравнение будет
содержать x, y, y ' . Разрешая его относительно y ' , найдем производную y ' функции y  f ( x) ,
которая в общем случае зависит от х и у.
Продифференцировав по х первую производную, рассматривая у как функция от х, получим вторую
производную от неявной функции, в которую войдут x, y, y ' . Подставляя уже найденное значение y '
в выражение второй производной, выразим y " через х и у.
Аналогично поступаем для нахождения y III , y IV и более высоких порядков.
Пример 4.3. Найти производную второго порядка неявной функции y  x  e x  y .
Решение. Найдем первую производную 1  y '  e x  y (1  y ') . Следовательно, y ' 
Дифференцируем последнее равенство по х, получаем
y" 
28
1  y ' x  y  1  1  y ' x  y  1  2 1  y ' .
2
2
 x  y  1
 x  y  1
e x y  1 x  y  1
.

e x y  1 x  y  1
 x  y 1 
2 1 
4 x  y
x  y  1 

Подставим в выражение для y " значение y ' : y " 

.
2
3
 x  y  1
 x  y  1
4.5. Дифференциал функции
С понятием производной теснейшим образом связано фундаментальное понятие математического
анализа – дифференциал функции.
Пусть функция y  f ( x) дифференцируема в окрестности точки x0 . Производная этой функции в
точке x0 определяется равенством lim
x  0
y
 f '  x0  .
x
y
 f '  x0  x    x  , y  f '  x0  x    x  x где   x  – бесконечно малая функция
x
при x  0 .
Приращение функции представлена в виде суммы двух слагаемых, первое из которых f '  x0  x
Тогда
называется главной частью приращения функции y  f ( x) в точке x0 .
Дифференциалом функции y  f ( x) в точке x0 называется главная часть ее приращения,
линейная относительно x и обозначается dy, df  x0 
 dy  f '  x  x  .
0
Но дифференциал и
приращение независимой переменной х равны между собой, т.е. x  dx , поэтому dy  f '  x0  dx .
Следовательно, дифференциал функции y  f ( x) в точке x0 равен произведению производной функции
в этой точке на дифференциал независимой переменной.
Пример 4.4. Найти дифференциал функции y  cos 4 5 x в точке х.
Решение. Дифференциал в произвольной точке х находится по формуле dy  f  x  dx . Для нашего
примера dy  4cos3 5 x sin 5 x  5dx  20cos3 5 x sin 5 xdx.
4.6. Правило Лопиталя
Ранее нами были рассмотрены элементарные способы нахождения предела функции для случаев,
когда аргумент неограниченно возрастает или стремится к значению, которое не входит в область
определения функции. Весьма эффективным средством нахождения предела для указанных случаев,
является способ, основанный на применении производной. Этот способ получил название правила
Лопиталя.
Пусть функции f ( x ) и  ( x ) непрерывны и дифференцируемы в окрестности точки x0 и
обращаются в нуль в этой точке f ( x0 ) =  ( x0 ) =0. Пусть  '( x0 )  0 в окрестности точки x0 . Если
f ' x
f  x  0 
f ' x
    lim
.
, то lim
x  x0   x 
x  x0  '  x 
 0  x  x0  '  x 
существует предел lim
Полученную формулу сформулируем в виде правила Лопиталя: предел отношения двух бесконечно
малых равен пределу отношения их производных, если этот предел существует или равен .
Это правило остается верным и в случае, если
f  x   
f ' x
    lim
.
x  x0   x 
x  x0
x  x0
   x  x0  '  x 
Правило Лопиталя справедливо и в случае, если x   .
lim f  x    è
lim   x   , т.е. lim
29
f ' x
0

в точке x0 вновь будет представлять неопределенность вида
или
и
 ' x
0

f '( x) и  '( x ) удовлетворяют условиям, сформулированным для функций f ( x ) и  ( x ) , то можно
Если частное
снова применять правило Лопиталя и т.д.
1  cos ax
x 
e2 x  1
x2  1
 1

; б) lim
; в) lim 2 x ; г) lim 
;
x  0 1  cos bx
x 1 ln x
x 0 sin x
x  5
x 1 

Пример 4.5. Найти пределы: а) lim
д) lim xctg2 x ; е) lim  tgx 
x 0
x
2cos x

.
2
e2 x  1  0 
2e2 x 2
    lim
  2.
x 0 sin x
 0  x0 cos x 1
1  cos ax  0 
a sin ax  0 
a 2 cos ax a 2
б) lim
    lim
    lim 2
 2.
x 0 1  cos bx
 0  x0 b sin bx  0  x0 b cos bx b
x2  1   
2x
x
x

в) lim 2 x     lim 2 x
 lim 2 x
    lim 2 x 2
 0.
x  5
x

x

x

5 ln 5  2
5 ln 5   
5 ln 5  2

Решение. а) lim
Неопределенности вида 0 и   
сводятся к неопределенностям
0
0
или


путем
преобразования функции к виду дроби.
1
1  ln x  x 
x 
x  1  x ln x  0 
 1
x  lim  x ln x   0  
ã) lim 

       lim
    lim

 
x 1 ln x
x 1  x  1 ln x
x 1 x ln x  x  1
x 1 

 0  x 1 ln x  x  1
0
x
1
ln x  x 
x   1.
 lim
x 1
1
2
ln x  x   1
x
x
1
1
0
д) lim xctg2 x   0     lim
    lim
 .
x 0
x 0 tg2 x
1
 0  x 0
2 2
2
cos 2 x

В случае неопределенностей вида 1 , 0 , 00 следует воспользоваться логарифмическим
0

тождеством f ( x)  eln f ( x ) и свести указанные неопределенности к виду или
.
0

е) lim  tgx 
x
2cos x

2
 
0
  lim e
x

2
ln  tgx 
lim 2cos x ln tgx
2 cos x
 lim e
x

2cos x ln tgx
e

x
2
. Вычислим предел степени.
2
1
1

ln tgx   
cos x
tgx cos 2 x
lim 2cos x ln tgx   0     2 lim
    2 lim
 2 lim 2  0.




1
1
x
x
x
x  sin x

 sin x
2
2
2
2
2
cos x
cos x
2cos x
 e0  1.
Тогда lim  tgx 
x

2
5. Функции нескольких переменных
На практике часто приходится рассматривать величины, значения которых зависят от нескольких
изменяющихся независимо друг от друга переменных. Для изучения таких величин вводят понятие
функции нескольких переменных.
30
5.1. Основные понятия
Определение. Переменная u называется функцией n переменных x1, x2,…xn, если каждой системе
значений (x1, x2,…xn) из области их изменения соответствует одно вполне определённое значение
величины u и обозначается ( u  f  x1 , x2 ,...xn  ).
Рассмотрим функцию двух переменных (n = 2). Практически все понятия и теоремы, сформулированные для n = 2, легко переносятся на случай n > 2. Рассмотрение функций двух переменных
позволяет использовать геометрическую иллюстрацию основных понятий.
Определение. Переменная z называется функцией двух переменных х и у, если каждой упорядоченной паре допустимых значений (х, у) соответствует единственное значение z ( z  f  x, y  ; х, у –
независимое переменные (аргументы); z – зависимая переменная (функция)).
Геометрическим изображением функции z = f(x ,y) является некоторая поверхность в пространстве, а
проекция этой поверхности на плоскость ХОУ является областью определения функции – D(f). Это
может быть вся плоскость или её часть, ограниченная линиями. Линии, ограничивающие область D,
называют её границей.
Точки, не лежащие на границе, но принадлежащие области, называются внутренними точками этой
области.
Область, состоящая только из внутренних точек, называется открытой. Если же в область входят
точки, принадлежащие границе, она называется замкнутой.
Е(f) – множество значений функции z = f(x, y).
Частное значение функции при x = x0, y = y0 - f(x0, y0) – число. Функция z = f(x, y) может быть задана
таблицей, аналитически, графиком. Чаще используется аналитический способ – формулой.
Пример 5.1. Найти область определения функции z  25  16 x 2  9 y 2 .
Решение. Данная функция определена
Z
лишь
для
неотрицательных
значений
подкоренного выражения, т.е. для тех значений (х, у), для которых 25 - 16х2 - 9у2 ≥ 0,
Z  25  16 x  9 y
Значит для всех точек, лежащих на эллипсе
2
2
x2 y 2

 1 и внутри его (рис.8).
25 25
16 9
y
x
Рис. 8
D
5.2.Частные производные
Частные производные первого порядка и их геометрический смысл. Пусть задана функция
z = f(x; y). Так как х и у – независимые переменные, то одна из них может изменяться, другая сохранять
своё значение. Дадим независимой переменной х приращение x , сохраняя значение y неизменным.
Тогда z получит приращение, которое называется частным приращением z по х и обозначается  x z :
 x z  f  x  x, y   f  x, y 
Аналогично получаем частное приращение по y:  y z  f  x, y  y   f  x, y 
Полное приращение z определяется равенством: z  f  x  x, y  y   f  x, y 
f  x  x   f  x 
x z
 lim
, то он называется частной
x  0 x
x  0
x
производной функции z = f(x; y) в точке М(х, у) по переменной х и обозначается одним из символов:
Определение. Если существует предел
lim
31
z 'x , f x,
z f
, .
x x
Частная производная по х в точке М0(х0, у0) – число, которое обозначается f x  x0 , y0  ,
f x M .
0
Таким образом, частная производная функции
нескольких переменных определяется как
производная функция одной из этих переменных при условии постоянства значений остальных
независимых переменных. Поэтому частные производные функции f(x,y) находят по формулам и
правилам вычисления производных функций одной переменной.

Пример 5.2. Найти частные производственные функции z  tg 5 e x  y 3

Решение.
z
x
z
y
y const
 5tg 4  e x  y 3  
1
 ex
cos  e x  y 3 
 5tg 4  e x  y 3  
1
 3y2
x
3
cos  e  y 
x  const
2
2
Итак, все формулы и правила нахождения производной функции одного переменного без изменений
переносятся на функции нескольких переменных.
5.3. Полный дифференциал функции нескольких переменных
Если полное приращение Δz функции z  f  x; y  в точке М(x;y) можно представить в виде:
z 
где;  (x, y)  0,  (x, y )  0
z  x; y 
z  x; y 
y  x  y ,
x
y
при x  0, y  0 , то функция z = f(x; y), называется
x 
z  x; y 
z  x; y 
x 
y называется полным
x
y
дифференциалом функции z = f(x; y) в точке M(x; y). Так как x  dx, y  dy , то полный
дифференцируемой в точке M(x;y), а выражение
дифференциал записывают в виде
dz 
z
z
dx  dy
x
y
(5.1)
Формула (5.1) справедлива и для функции n переменных (n > 2).
Например, при n = 3, u = f(x, y, z) имеем:
u
u
u
dx  dy  dz
x
y
z
Формула (5.1) может быть записана в виде dz  d x z  d y z
du 
z
z
dx , d y z  dy - частные дифференциалы функции z = f(x; y).
x
y
Пример 5.3. Найти дифференциал функции u  x yz , x > 0, в произвольной точке M(x; y) и в точке
где d x z 
M0(2; 1; 4).
u
u
u
u
u
u
 yzx yz 1 ,
 x yz  ln x  y .
dx  dy  dz ,
 x yz   ln x  z ,
x
z
x
y
z
y
yz 1
yz
yz
Тогда du  yzx dx  x  ln x  zdy  x  ln x  ydz .
Решение. du 
Заменяя в последнем выражении x,y,z их значениями в точке M0(2,1,4), получим
du  2,1, 4  16  2dx  4ln 2dy  ln 2dz  .
Теоремы и соответствующие формулы для дифференциалов, установленные для функций одной
переменной, остаются справедливыми и для функций n переменных x.
32
5.4. Частные производные высших порядков
Рассмотрим функцию z = f(x0; y). Её частные производные первого порядка
функции
двух переменных
 x, y   D .
z  x, y 
x
и
z  x, y 
y
-
Эти функции могут иметь частные производные, которые
называются частными производными второго порядка:
  z   2 z
z " xx, f x2 ,  x, y  ;
 
x  x  x 2
  z   2 z " "
 zxy , f xy  x, y   ;
 
y  y  yx
  z   2 z
2 z
 z "xy 
 f xy  x, y  ;
 
y  x  xy
xy
  z   2 z
 z "yy  f y2  x, y  ю
 
y  y  y 2


Аналогично определяются частные производные 3-го, 4-го, …, n-го порядков:
  2 z 
3 z
n z
4 z
  3 z 
;
;
.






y  x 2  x 2y xyx 2 x  xyx  x k y n  k
Частная производная второго и более высокого порядка, взятая по различным переменным,
называется смешанной частной производной.
2 z 2 z
Пример 5.4. Показать, что функция z  sin 2  y  ax  удовлетворяют уравнению a 2 2  2 .
y
x
Решение:
z
y
z
x
y  const
 2sin  y  ax  cos  y  ax   sin 2  y  ax  ;
x  const
2 z
y 2
 2 cos 2  y  ax  ;
x  const
2 z
a2 2 z  2 z
 2sin  y  ax  cos  y  ax  a   a sin 2  y  ax  ; 2  2a 2 cos 2  y  ax  
 2
x
y 2
x
Пример 5.5. Найти частные производные второго порядка функции z  x3  xy 2  5xy 3  y 5 .
Решение:
z
 3x 2  y 2  5 y 3 ;
x
2 z
 2 y  15 y 2 ;
xy
2 z
z
2 z
2
4

6
x
,

2
xy

15
xy

5
y
;
 2 x  30 xy  20 y 3 ,
x 2
y
y 2
2 z
2 z
2 z
. Этот результат не случаен.

 2 y  15 y 2 , получили, что
xy yx
yx
Теорема. Если частные производные высшего порядка непрерывны, то смешанные производные
одного порядка, отличающиеся лишь порядком дифференцирования, равны между собой.
5.5. Экстремум функции двух переменных
Основные определения. Пусть функция z = f(x, y) определена в некоторой области D, точка
M0(x0, y0)  D. Точка (x0,y0) называется точкой максимума (минимума) функции z = f(x, y), если
существует такая -окрестность точки (x0, y0), что для каждой точки (x, y), отличной от (x0, y0), из этой
окрестности выполняется неравенство.
 f ( x, y)  f ( x0 , y0 )  .
f ( x, y)  f ( x0 , y0 )
Значение функции в точке максимума (минимума) называется максимумом (минимумом)
функции. Максимум и минимум функции называют её экстремумами.
Замечание. В силу определения, точка экстремума функции лежит внутри области определения
функции; максимум и минимум имеют локальный характер: значение функции в точке (x0, y0)
сравнивается с её значениями в точках, достаточно близких к (x0, y0). В области D функция может
иметь несколько экстремумов или не иметь ни одного.
Необходимые и достаточные условия экстремума. Рассмотрим условия существования
экстремума.
33
Теорема 1. (необходимое условие экстремума). Если в точке M0(x0, y0) дифференцируемая
функция
z = f(x , y) имеет экстремум, то её частные производные в этой точке равны нулю:
 f 'x ( x0 , y0 )  0,

 f ' y ( x0 , y0 )  0
Геометрические равенства f x  x0 ; y0   0 и f y  x0 ; y0   0 означают, что в точке экстремума
функции z = f(x, y) касательная плоскость к поверхности, изображающей функцию f(x, y), параллельна
плоскости Оху, т.к. уравнение касательной плоскости z  z0  f x  x0 ; y0  x  x0   f y  x0 ; y0  y  y0 
принимает вид z = z0.
Замечание. Функция может иметь экстремум в точках, где хотя бы одна из частных производных
не существует .
Например, функция z  1  x 2  y 2 имеет максимум в точке О(0, 0), но не имеет в этой точке
частных производных.
Точка, в которой частные производные первого порядка функции z = f(x, y) равны нулю, называется
стационарной точкой функции z = f(x, y).
Стационарные точки и точки, в которых хотя бы одна частная не существует, называются
критическими точками.
В критических точках функция может иметь экстремум, а может и не иметь. Равенство нулю частных
производных является необходимым, но не достаточным условием существования экстремума.
Например, функция z = xy. Для неё точка О(0, 0) – критическая точка, так как z 'x =y и z ' y =x
обращаются в нуль в этой точке. Однако экстремума в ней функция z = xy не имеет по определению: в
достаточно малой окрестности точки О(0, 0) найдутся точки для которых z > 0 (точки I и III четвертей) и
z < 0 (точки II и IV четвертей).
Таким образом, для нахождения экстремумов функции в данной области необходимо каждую
критическую точку функции исследовать на экстремум.
Теорема 2. (достаточное условие экстремума). Пусть в стационарной точке (x 0 , y 0 ) и некоторой её
окрестности функция f(x,y) имеет непрерывные частные производные до второго порядка включительно.
С  f yy (x 0 ,y 0 ). Обозначим
Вычислим в точке (x 0 ,y 0 ) значения А  f xx (x 0 ,y 0 ), В  f xy (x 0 ,y 0 ),

АВ
 АС - В 2 . Тогда:
ВС
1)если ∆ > 0, то функция f(x, y) в точке (x 0 , y 0 ) имеет экстремум: максимум, если А < 0;минимум,
если А > 0;
2)если ∆ < 0, то функция f(x, y) в точке (x 0 , y 0 ) экстремума не имеет.
3)если ∆ = 0 экстремум в точке (x 0 ,y 0 ) может быть, может не быть. Необходимы дополнительные
исследования.
Исследование функции z = f(x, y) на экстремуме проводится по схеме:
1) Найти область определения функции.
2) Найти частные производные функции
z
z
и
.
 x y
 z
 x  0;
3) Решить систему уравнений 
и найти критические точки функции.
 z  0

 y
4) Найти частные производные второго порядка, вычислить их значения в каждой критической точке и с
помощью достаточного условия сделать правильный вывод о наличии экстремумов.
5) Найти экстремальные значения функции
Пример 5.6. Исследовать функцию z  x 3  y 3  6 xy на экстремум.
Решение. Исследуем функцию по схеме:
34
1) Функция z  x 3  y 3  6 xy определена для всех точек плоскости.
2)
z
z
 3x 2  6 y ;
 3 y 2  6 x , Точек, в которых частные производные не существуют, нет.
x
y
3) Найдём стационарные точки, решая систему уравнений:

x2
y
3x 2  6 y  0  x 2  2 y  0 

2
;
;
; x 4  8 x  0 ; x( x 3  8)  0 ; x1  0, y1  0 ; x2  2, y2  2 .
 2
 2
 4
3 y  6 x  0  y  2 x  0  x
 2x  0
 4
Стационарные точки функции M1(0, 0), M2(2, 2).
2
2
2
4) Находим частные производные второго порядка:  z2  6 x;  z  6;  z2  6 y и их значения в
x
xy
y
стационарных точках:
a) M1 (0;0).
A
2 z
x 2
 0, B 
M1
2 z
xy
 6, C 
M1
2 z
xy
 0,    AC - B2  36  0,
M1
экстремума в точке М1(0,0) – нет.
b) M 2 (2; 2).
A
2 z
x 2
 12, B 
Ì
2
2 z
xy
 6, C 
Ì
2 z
y 2
2
 12,    AC - B2  108  0, точка
Ì
2
М2(2; 2) – точка экстремума, а так как A = 12 > 0, то точка М2(2; 2) является точкой минимума.
5) Находим экстремум функции zmin = z (2; 2) = -8.
Пример 5.7. Исследовать функцию z = sinx + siny + sin(x + y), при 0  x 
экстремум.
Решение.
1 Находим частные производные:

2
, 0 y

2
на
z
z
= cosx + cos(x+y),
= cosy + cos(x+y).
y
x
2) Находим стационарные точки, решая систему уравнений:
cos x  cos( x  y )  0
 cosx = cosy  x = y.

cos y  cos( x  y )  0
сosx + cos2x = 0, так как 1 + cos2x = 2cos 2 x, то cos 2 x +
1
1
cosx = 0;
2
2
1
1

1 1

 ;  если cosx = , то x 1 = ; если cosx = -1, то x 2 =  – не подходит так как

4
2
3
16 2
 
  
x =   0,  . Итак, стационарная точка – M 0  ;  .
 2
3 3
  
3) Проверим выполнение в точке M 0  ;  достаточного условия экстремума:
3 3
2
 z
2 z
2 z
=
-sinx
–sin(x+y);
=
-sin(x+y);
= -siny – sin(x+y).
 2
x 2
xy
  
Подсчитаем значения этих производных в стационарной точке M 0  ;  .
3 3
3
3
3
2 z


2
2 z
3
A=
=
-sin
sin(2
)=
=
.
B
=
= -sin
=; C=A=- 3.
2
3
2
2
2
 Ì
3
3
 Ì
cosx = -
0
0
35
Так как  = AC - B 2 = 3 -
3
9
  
=  0 , то в точке M 0  ;  есть экстремум. А так как A= - 3  0 ,
4
4
3 3
  
;  - точка максимума.
3 3
то точка M 0 
   3
3.
4) Находим значение экстремума функции z max = z  ;  .=
3 3 2
5.6. Скалярное поле
Рассмотрим функцию u = u(x, y, z), определённую и дифференцируемую в некоторой области D.
Скалярное поле − это всё пространство (или его часть), в каждой точке которого задана некоторая
скалярная величина u = u(x, y, z).
Если рассматриваемая величина u = u(x, y) задана в плоской области, то поле называется плоским.
Характеристики скалярного поля u = u(x, y, z):
1. Множество точек, в которых функция u(x, y, z) (или u(x, y)) принимает постоянное значение,
называется поверхностью уровня (линией уровня): u(x,y,z)= c, (u(x,y=c)).
Пример 5.8. Найти поверхности уровня функции u = x2 + y2 + z2.
Решение. Приравняем значение функции к постоянной с: x2 + y2 + z2 = с, получим:
а) если с < 0, поверхностями уровня является семейство двуполостных гиперболоидов
x2 y2 z2


1.
c
c
c
б) с  0 x2  y 2  z 2  0 – семейство однополостных гиперболоидов.
в) c  0 ,
x2 y2 z2


 1 – круговой конус второго порядка с вершиной в начале координат.
c
c
c

2.
Производная функции поля u = u(x, y, z) в точке M(x, y, z) по направлению l равна
u

l

u
u
u
cos  
cos  
cos 
x
y
z

где , , γ – углы, образованные вектором l

направления l , т.е. l
0

0
с координатными осями; l
0
– единичный вектор
=( cos  , cos  , cos  ).

Производная по направлению не зависит от длины вектора l , а только от направления этого
вектора.


Частные случаи: а) l  l (1, 0, 0),




u u
u u
u u


; б) l  j (0,1,0),
; в) l  k (0,0,1),
,

l z
l z
l y
т.е. частные производные выражают скорость изменения функции в направлении осей координат.
Градиент скалярного поля – вектор, координаты которого есть значения частных производных
функции поля в точке M(x, y, z).
grad u (M ) 
u  u  u 
i
j k .
x
y
z
Это означает, что в области V определено векторное поле – поле градиентов данной функции поля.

Связь производной функции поля u = u(x, y, z) по направлению l с градиентом этого поля:

u
1.
 (qrad u, l0 )
l
2.
36

u
 qrad u cos   np l qrad u ,  - угол между векторами grad u и l0 .
l

3. Производная функции в точке по направлению l имеет наибольшее значение, если направление

l совпадает с направлением градиента данной функции, которое равно модулю вектора grad u
u
 grad u cos     0  grad u  (u 'x ) 2  (u ' y ) 2  (u ' z ) 2 .
l
Пример 5.9. Найти скорость изменения скалярного поля, заданного функцией




u  5x 2 yz  7 xy 2 z  5xyz 2 в направлении вектора a  8 i  4 j  8 k в точке M 0 (1,1,1).
Решение: 1. Найдём значения частных производных в точке M 0 (1,1,1)
u
x
u
z
 (10 xyz  7 y 2 z  5 yz 2 )
Ì
u
y
 8,
M0
0
 (5 x 2 z  7 xy 2  10 xyz )
M0
если а (а х , а у , а z ), то а 
8
M0
 (5 x 2 z  14 xyz  5 xz 2 )
M0
M0
 4 ,
и направляющие косинусы:
а х2  а 2у  а z2 , cos =
àõ
à
, cos  
ày
, cos  
à
àz
.
à
Вычислим косинусы углов вектора а с осями координат:
1
2
8
2
cos  
 ; cos  
; cos   .
3
3
64  16  64 3
u u
u
u

cos   cos   cos  .
y
y
l x
2
2
 1 
 8   (4)     8  12 .
3
3
 3 
Скорость изменения поля в точке M(x, y, z) равна:
Тогда в точке M 0 (1, 1, 1) имеем:
u
l
M0
Пример 5.10. Найти величину и направление градиента поля u  x3  y 3  z 3  3xyz в точке
M 0 (2, 1, 1) . Определить, в каких точках grad u перпендикулярен оси OZ.
Решение.
1 grad u 
u
x
u u
u
i
j  k.
x
y
z
 9;
M0
u
y
 3;
M0
u
 3x 2  3 yz;
x
u
z
u
 3 y 2  3xz;
y
u
 3 z 2  3 yx;
z
 3;  grad u ( M 0 )  9i  3 j  3k .
M0
2  grad u ( M 0 )  81  9  9  3 11.
3 grad u  OZ , åñëè (grad u, k )  0, k (0, 0,1). (grad u, k )  3( z 2  xy ), z 2  xy  0,
z 2  xy.
То есть в точках лежащих на гиперболическом параболоиде z 2  xy gradu  0Z .
37
Задания для самостоятельного решения
Задание 1. Доказать совместность данных систем и решить по формулам Крамера.
2 x1  3x2

1.1.  3x1  x2
 x  x
2
 1

 3x3
 x3
 5;
 3.
 2 x1  x2

1.3.  x1  x2
2 x  x
2
 1


 x1  x2

1.5. 2 x1  x2
 3x  x
2
 1
 7;
 3.
 3x3
 x3
 4;
 13.
 4 x3

 5 x3

x3
 11;
 1.
 0;
 4 x3
 2 x3
 6;
 4.
 x1  3x2

1.15. 2 x1  x2
 3x  2 x
2
 1
 3x1  3x2

1.17.  x1  2 x2
2 x 
x2
 1
x3
 2 x3

x3


 2;
 x3
 3x3
 0;
 7.

x3
 0;
 2 x3
 3x3
 1;
 5.
x3
 2;
 3x3
 x3
 3;
 1.
 4;


x3
x3



x3

1;
0.
1;
 2;
 0.
 x3

 x3
 x3
 1;
 5.
 x1  2 x2

1.10. 2 x1  x2
 x  3x
2
 1
3;
 2 x3
 2 x3
 2 x3
x2
2 x1 

1.8.  3x1  4 x2
 x  x
2
 1
 7;
 2.
x3

2 x1  x2

1.6.  3x1  x2
 x  x
2
 1
8;
 2 x3
x2
 3x1 

1.13.  x1 
x2
2 x  2 x
2
 1
 x1  2 x2

1.4.  3x1  x2
 x 
x2
 1
1;
 2;

 x1  x2

1.2. 2 x1  3x2
 x  x
2
 1
4;
 2 x3
x2
 2 x1 

1.11. 3x1  x2
 x  2x
2
 1
38
x3
 2 x3

x3
 3x1  2 x2

1.7. 2 x1  4 x2
 x  2x
2
 1
2 x1  x2

1.9. 4 x1  x2
 x  x
2
 1

x3
 x1  2 x2

1.12. 2 x1 
x2
 3x  x
2
 1
1;
 x3

 x3
 x3
 11;

1.
0;
 x3
 6;
 x3
 x3
 7;
 2.
 2 x3

 x3
 3x3
 6;

5.
 x1  2 x2

1.14. 3x1 
x2
 x  3x
2
 1

x3
 3;
 2 x3
 3x3
 7;
 10.
2 x1  2 x2

1.16.  3x1  x2
 x  2x
2
 1

 2;
x2
 x1 

1.18.  x1  2 x2
 2 x  3x
2
 1
x3
1;
 4 x3
 2 x3


 3x3
 2;

x3
 2 x3


4;
5.
5;
4.
 3x1  2 x2

1.19.  x1  2 x2
2 x 
x2
 1

 2 x3
 3x3
2 x1  3x2

1.21.  x1  2 x2
 4x 
x2
 1
x2
 3x1 

1.23.  x1  2 x2
 x  5 x
2
 1
2 x1  x2

1.25.  3x1  x2
 x  x
2
 1

x3
 3x1  3x2

1.20.  x1  2 x2
2 x  2 x
2
 1
5;
 0;
 3.
 4 x3



 1;
 1.
x3
x3



 1;
 1.

x3
x3
x3
 3x3
 2 x3

3;
 13;
 2.
2 x1  x2

1.27.  3x1  2 x2
 x  4x
2
 1
 2 x3

 x3
 3x3
 9;
 5.
 x1  2 x2

1.29.  3x1 
x2
4 x  3x
2
 1
 2 x3
 1;




x3
x3
 x1  2 x2

1.24. 2 x1  2 x2
 x 
x2
 1
7;
1;



0;
6.
 1;
x3
 2 x3
 3x3


4;
7.
 3x3
 3;

x3
 2 x3
 3;
 10.
2 x1  3x2

1.26.  x1  4 x2
 3x  2 x
2
 1


 x3
 3x3
 3;
 1.
7 x1  2 x2

1.28.  x1  5 x2
 3x  4 x
2
 1
 3x3
 3;

x3
 2 x3
 14;
 10.
 2 x3

 x3
 3x3
 9;
 5.
2 x1  x2

1.30.  3x1  2 x2
 x  4x
2
 1
2;
5.
 2;
x3
 2 x3
 3x3
 x1  2 x2

1.22.  2 x1 
x2
 x  2 x
2
 1
7;
 2 x3

x3
5;
1;
Задание 2. Решить систему линейных алгебраических уравнений методом Гаусса.
 x1  3x2
2 x  6 x

2
2.1.  1
 x1  3x2
 3x1  3x2

 x1  2 x2
2 x  x

2
2.3.  1
4 x1  7 x2
 3x1 
x2

 x1  5 x2
2 x

2.5.  1
 x1  3x2
 5 x1  x2
x3
 4 x4

 4 x3
 3x3
 3x3
 8 x4
 4 x4
 4 x4
 1;
 4;
 0.
 4 x3
 18 x3

x3
 3x4
 11x4
 2 x4
 x1  4 x2
 x  2x

1;

2
2.4.  1
 13;
 2 x1  6 x2
 3x1

9.
 3x3
 2 x4
 0;
 x3
 5 x3
 6 x3
 4 x4
 2 x4
 2 x4
 0;
 0;
 0.
3x3

 x1  3x2
2 x  6 x

2
2.2.  1
4 x1  9 x2
 x1
1;
x4

8;
x2
 x1 
 x  2x

2
2.6.  1
2
x

x
2
 1
 x1  4 x2

x3

4 x4

1;
 4 x3
 2 x3
 5 x3
 8 x4
 12 x4
 1;
 1;
 3.
 5 x3
 4 x4
 15;
 2 x3

x3

x3
 4 x4



 2 x3

x4
 0;
 2 x3

x3
 4 x4

x4
 10 x4
 0;
 0;
 0.
 2 x4
3;
6;
11.
39
 x1  x2
 3x  2 x

2
2.7.  1
 x1  3x2
 x1
 3x3
 4 x4


 2 x4
 2 x4

x4
 3;
 3;
 0.
x3
 4 x3
 x1  2 x2
 5 x  8 x

2
2.9.  1
 4 x1  7 x2
2 x1  3x2
 2 x3

 4 x3
 5 x3

x3
 12 x4
 12 x4
 4 x4
x2
 x1 
2 x  3x

2
2.11.  1
4 x1  2 x2
6 x1  5 x2

x2
 x1 
2 x  3x

2
2.13.  1
 3x1  4 x2
 5 x1
 2 x4
 8 x3
 19 x3
 11x3
 4 x4

x4
 3x4

x3

x4


4;
x2
 x1 
 3x 
x2

2.15.  1
2 x1  4 x2
7 x1  5 x2



 2 x3
 3x3
 6 x3
 2 x4
 6 x4
 6 x4
 2;
 7;
 6.
x2
 x1 
 x  2x

2
2.17.  1
3x1  2 x2
 x1  5 x2


x4
 0;
 4 x4
 5 x4
 8 x4
 0;
 0;
 0.
 x1
x

2.19.  1
 x1
 x1
1;
 2 x2
 2 x3
 2 x4

 2 x2
 2 x2
 2 x2

x3
 4 x3
 3x3
 2 x4
 5 x4
 4 x4
 1;
 13;
 9.
 x1  2 x2
2 x  3x

2
2.21.  1
4 x1  9 x2
 x1  6 x2
40
 3x3
 x3
 x3
3x3
 2 x4

 4 x3
 5 x3
 10 x3
 3x4
 8 x4

x4
 10;
 16;
 18.
x2
 x3

x2
x2
x2



 x4
 x4
 x4
x2
 x1 


1;
2 x  3x2
2.12.  1
 8;
 3x1  4 x2
 5 x1
 3.
 1;
 11;
 11.
x3

5;
 4 x3
 3x4

 3x3

x3
 4 x3
 2 x4
 8 x4
 8 x4
 2;
 3;
 4.
1;
 x1 
x 

2.14.  1
 x1 
 x1 
x3
x3
x3

2;
 x4
 6 x4
 2 x4
x4
x2
 x2
 x2
 3x2
 x1 
x 
 4;

2.10.  1
 1;
 x1 
 x1 
 3.

x3
 2 x3
 4 x3
x3

 2;
4 x4
7 x3
 x1
3 x

2.8.  1
5 x1
5 x1
6;

x3
 2 x3
 4 x3

 x3

x2
x2
x2



 x4
 x4
 x4
x3
x3
x3
x2

 x  x

2
2.18.  1
5 x2

2 x1  3x2

7;
 1;
 1;
 5.
x4
 x4
 6 x4
 2 x4
x2
x2
 x1 
 2x  x

2
2.16.  1
x2
 4 x1 
5 x1  2 x2
 x1
x

2.20.  1
 x1
 x1
x3
x4
x4
4;


 1;
 11;
 11.
7;
 1;
 1;
 5.
 x3
 3x3

x4
 4 x4
 2;
 0;

 2 x4
 x4
 4;
 6.

x3

x3
 6 x3
 7 x3
 5 x3
x4
 3x4
 4 x4
 2 x4

 2 x3
 3x4
 1;
 x2
 x2
 x2
 3x3

x3
 4 x3
 2 x4
 4 x4

x4
 1;
 1;
 1.
 3x3

 6 x3
 2 x3

x3
 3x4
 x4
 x4
x4
3;
 3;
 5;
 1.
 x2
 x1  2 x2
 x 
x2

2.22.  1
2 x1  2 x2

x2
4;

2;
 3;

1;
 3.
x2
 x1 
2 x  x

2
2.23.  1
 3x1  2 x2
2 x1  4 x2

x3
 2 x3


x4
x4
 10;
 2;

x3
 3x4
 x4
 2;

6.
x2
 x1 
 x  x

2
2.25.  1
 x1  2 x2
2 x1 
x2

x3


2;
 x3
 3x3
 x3
 x4
 5 x4
 2 x4
 14;
 4;
 7.
 3x3
 2 x4

 3x3
 x3
 2 x3
 5 x4

x4
 4 x4
 3;
 3;
 8.
 2 x2

x3

x4

 3x2
 5 x2

x2

x3

x4
 2;
 3;
 1.
x2
 x1 
 x  2 x

2
2.27.  1
 2 x1  3x2
 3x1  x2
 x1
2 x

2.29.  1
 3x1
 x1
x4
 2 x3
 2 x4
6;
1;
 4 x2
 5 x3
 6 x4
 0;
 2 x2
 3x2

x2

x3
 2 x3
 4 x3
 4 x4

x4
 9 x4
 0;
 0;
 0.
 x1  2 x2
2 x  x

2
2.26.  1
4 x1  3x2
7 x1  4 x2
 3x3



x3
 5 x3
 7 x3
 2 x4
 2 x4
 5 x4
 2;
 4;
 7.
x2
 2 x3
 2 x4

 2 x2
 3x2
 4 x2

x3
 4 x3
 7 x3

x4
 2 x4
 5 x4
 1;
 4;
 7.
 x1  3x2
 x  x

2
2.30.  1
2 x1  x2
 x1  x2
 2 x3

x4
 4;



 2 x4

x4
 2 x4
 3;

5;
 3.
 x1
 3x

2.24.  1
2 x1
4 x1
 x1
 3x

2.28.  1
 5 x1
7 x1

x3
x3
x3
x4
1;
2;
Задание 3. Вершины треугольной пирамиды находятся в точках A 1, A 2, A 3, A 4 . Найти,
используя векторы (a, b) : а) косинус угла между ребрами A 1 A 2 , A 1 A 4 ; б) длину высоты,
опущенной из вершины A 4 на грань A 1 A 2 A 3 ; в) уравнение ребра A 1 A 4 ; г) уравнение плоскости
A 1 A 2 A 3 ; д) уравнение высоты, опущенной из вершины A 4 на плоскость A 1 A 2 A 3 ; е) угол между
ребром A 1 A 4 и плоскостью A 1 A 2 A 3 .
3.1. A 1  7; 2; 4  , A 2  7;  1;  2  , A 3  3; 3; 1 , A 4  4; 2; 1.
3.2. A 1 1; 3; 6  , A 2  2; 2; 1 , A 3  1; 0; 1 , A 4  4; 6;  3.
3.3. A 1 1; 2; 0  , A 2  3; 0;  3 , A 3 5; 2; 6  , A 4 8; 4;  9 .
3.4. A 1  5; 1;  4  , A 2 1; 2;  1 , A 3  3; 3;  4  , A 4  2; 2; 2 .
3.5. A 1 1; 1; 1 , A 2  1; 2; 4  , A 3  2; 0; 6  , A 4  2; 5;  1.
3.6. A 1  6; 1; 4  , A 2  2;  2;  5 , A 3  7; 1; 3 , A 4 1;  3; 7 .
3.7. A 1 1; 2; 6  , A 2  0; 3; 8 , A 3  5;  1; 4  , A 4  3; 2;  6 .
3.8. A 1 1; 2; 3 , A 2  3; 3; 2  , A 3  2; 3; 1 , A 4 12; 0; 0 .
3.9. A 1  2;  3; 5 , A 2  0; 2; 1 , A 3  2;  2; 3 , A 4 3; 2; 4 .
3.10. A 1 1; 1; 1 , A 2  2; 0; 2  , A 3  2; 2; 2  , A 4 3; 4;  3.
3.11. A 1  3; 1; 4  , A 2  1; 6; 1 , A 3  1; 1; 6  , A 4  0; 4;  1.
3.12. A 1 1; 4; 2  , A 2  3; 1; 2  , A 3  5; 2; 4  , A 4  2; 3; 4 .
3.13. A 1 1; 1; 5 , A 2  2; 5; 1 , A 3 1; 4; 3 , A 4 5; 3; 2 .
3.14. A 1 1; 1; 3 , A 2  3; 5; 4  , A 3  3; 2; 4  , A 4  0; 4; 1.
3.15. A 1  4; 2; 5 , A 2  0; 7; 2  , A 3  0; 2; 5 , A 4 1; 4; 0 .
3.16. A 1 1;  1; 5 , A 2  4; 4;  1 , A 3  1; 2; 0  , A 4 5; 1; 5 .
41
3.17. A 1  9; 5; 5 , A 2  3; 7; 1 , A 3  5; 7; 8  , A 4  6; 9; 2 .
3.18. A 1 1; 1; 1 , A 2  4; 4; 4  , A 3  3; 5; 5 , A 4  2; 4; 7 .
3.19. A 1  0; 0; 1 , A 2  2; 3; 5 , A 3  6; 2; 3 , A 4 3; 7; 2 .
3.20. A 1 1; 2; 3 , A 2  2; 4; 1 , A 3  7; 6; 3 , A 4  4;  3;  1.
3.21. A 1  0; 0; 0  , A 2  5; 2; 0  , A 3  2; 5; 0  , A 4 1; 2; 4 .
3.22. A 1  2; 4; 3 , A 2  7; 6; 3 , A 3  4; 9; 3 , A 4  3; 6; 7 .
3.23. A 1  3; 5; 4  , A 2  5; 8; 3 , A 3 1; 9; 9  , A 4  6; 4; 8 .
3.24. A 1  3; 3; 9  , A 2  6; 9; 1 , A 3 1; 7; 3 , A 4 8; 5; 8.
3.25. A 1  6; 6; 2  , A 2  5; 4; 7  , A 3  2; 4; 7  , A 4  7; 3; 0 .
3.26. A 1 1; 2; 3 , A 2  9; 6; 4  , A 3  3; 0; 4  , A 4  5; 2; 6 .
3.27. A 1  0; 0; 0  , A 2  3; 0; 5  , A 3 1; 1; 0  , A 4  4; 1; 2 .
3.28. A 1  3; 1; 4  , A 2  1; 6; 1 , A 3  1; 1; 6  , A 4  0; 4;  1.
3.29. A 1  0; 6; 4  , A 2  3; 5; 3 , A 3  2; 11;  5  , A 4 1;  1; 4 .
3.30. A 1  0; 0; 0  , A 2  3; 4;  1 , A 3  2; 3; 5 , A 4  6; 0;  3.
Задание 4. Вычислить пределы.
x2  6x  5
;
x 5 2 x 2  11x  5
cos x  cos3 x
;
x 0
x2
1. a) lim
á ) lim
4 x6  x  5
4.2. a) lim
;
x 
3x 6  1
sin x(1  x)
á ) lim
;
x 1
x 1
4x  3  3
4.3. a) lim
;
x 3
x2  9
1  cos 2 x
á ) lim
;
x 0
x sin x
3x 2  14 x  5
;
x 5 x 2  7 x  10
á ) lim
4.5. a) lim
x3  27
;
3x  x
á ) lim
4.6. a) lim
x2  x
;
1 x
á ) lim
x
;
x 0 sin x  tg5 x
4.4. a) lim
x 3
x 1
4 x  5x  1
4.7. a) lim
;
x 1
x2 1
4
4.8. a) lim
x 
2
 x  3
3
7 x3  5 x 2  4 x  1
x2 2
;
x 2
x2
x 2  3x  10
4.10. a) lim 3
;
x 5
x  125
4.9. a) lim
4.11. a) lim
x 
42

3x
1 

â) lim 1  
x 
 2x 
 x3
â) lim 

x  x  2


3x2
.
 x 5
.
 2x  3 
â) lim 

x  2 x  41


5 x  3
.
tg2x  sin 7 x
;
x 0
3x3
â) lim  7  6 x  3 x 3 .
2 x 2  3x
;
x 0 sin 5 x
 x5
â) lim 

x  x  3




sin  x  
4

á ) lim
;

x  1  2 cos x
4
 4x 
â) lim ln 

x 
 1 4x 
1  cos 3x
á ) lim
;
x 0 1  cos 4 x
;
 x4
â) lim 
 .
x  x  8


x
x 1
3 x 5
.
 x  50
 2 x2  3 
â) lim  2

x  2 x  3


.
5 x2
.
1
arcsin 5 x
;
â) lim  cos 3 x  5 x2 .
x 0
x 0
7x
1  cos x
á ) lim
;
â) lim 2 x  ln(3  x   ln x).
x 0 cos 3 x  cos x
x 
3x
cos 2 x  cos3 2 x
22 x .
x2  9  x2  9 ;
á ) lim
;
â
)
lim
5

4
x


x 0
x 1
3x 2
á ) lim

x 1  2
;
2x  3  3
4.12. a) lim
x 3
x 0
x 4  81
;
x3  27
á ) lim
4.14. a) lim
8 x 2 ( x  2)
;
x  2 3 x 2  12
9 x 3
4.15. a) lim
;
x 0 arctg2 x
4.13. a) lim
x 3
16  x  4
;
x 0 sin  ( x  4)
x 

arctg10 x
;
x 0 1  cos 5 x
 7
â) lim 1  
x 
 x
esin x  1
á ) lim
;
x 0
2x
â) lim
5 x5  3x 2  5 x
4.22. a) lim
;
x  x  4 x 4  3 x 5
2 x2  7 x  4
4.23. a) lim
;
1
10 x  5
x
x 1
4.25. a) lim
x 
x2  x
;
x 1
x  3 1
;
x 5 3
 x3

4.26. a) lim  2
 x ;
x  x  5


4 x  5  30  x
4.27. a) lim
;
x 5
5  5x
2 4 x
4.28. a) lim
;
x 16 4 
x
 x  2
3
4.29. a) lim
x 
4.30. a) lim
x 5
3x3  8
;
1  3x  2 x  6
;
x2  5x
x 1
x 0
â) lim 3x  ln(5  2 x)  ln 2 x  .
x 


sin  x  
4

á ) lim
;

x  1  2 cos x
4
9 x 3
;
1  cos 5 x
x 0
x 0
1
â) lim  cos 6 x  5 x2 .
x 0
cos3x  1
;
x 0
xtg2 x
á ) lim
 x
x 
x
2;
x 3
1
â) lim 1  5 x 
á ) lim
1  sin
2x
â) lim  2 x  5  x 3 .
â) lim 1  sin 2 3x 1cos 2 x .
2tg 6 x
;
1  cos 4 x
á ) lim
1
ln 1  2 x .
3x
x 0
arcsin10 x
;
x 0 x 2  2 x
x 0
.
3
á ) lim
á ) lim
4 x 5
â) lim 1  tg 2 3x  x2 .
sin 3x
;
x 0 xe7 x
8 x
x
x 0
.
â) lim  3x  5   ln  x  5   ln x  .
x 
cos x  cos x
;
x 0
x2
5
á ) lim
2
4.24. a) lim
5x
á ) lim

 x3
3x 2 
4.21. a) lim  2

;
x  5 x  1 15 x  1


ln(1  5 x)
.
x
á ) lim
x2  x  1  x2  x ;
2 
 1
4.19. a) lim 

;
x 1 1  x
1  x2 

1  3x  2 x  6
4.20. a) lim
;
x 5
x2  5x
x 0
â) lim  3 x  2  x2 1 .
7 x3  5 x 2  4 x  1
;
x 
( x  2)3
4.17. a) lim
â) lim
1  cos x
;
x 0
x2
4.16. a) lim
4.18. a) lim
1  cos 6 x
;
3xtg3x
á ) lim
2x
â) lim  2  x 1 x .
x 1
5x2
;
x 0 1  cos 3 x
â) lim 10  3x  x 3 .
cos 6 x  1
;
x 0 x sin 5 x
 3x 
â) lim 
 .
x  1  3 x


á ) lim
á ) lim
á ) lim x 2ctg 2 5 x;
x 0
á ) lim
x 1
á ) lim
x

4
sin 1  x 
x 1
;
cos x  sin x
;
cos 2 x
cos 2 x  cos 4 x
;
x 0
1  cos 6 x
arctg10 x
á ) lim
;
x 0 1  cos 5 x
á ) lim
4
x 3
4x
1
â) lim  cos 2 x  sin 2 x .
x 0
â) lim 3 x  ln  5  2 x   ln 2 x  .
x 
ln(1  8 x)
.
x 0
4x
â) lim
5x
â) lim  3x  2  x2 1 .
x 1
4
â) lim 1  5 x  7 x .
x 0
43
Задание 5 . Найти производные
x 2 1
5.1. a) y  5arcsin
dy
.
dx
á ) y sin x  cos  x  y  .
 ln tg 2 x;
sin 2 x
5.2. a) y  3x 4  2 x  5 
 x  2
5
ln x
5.3. a) y  arcsin x 2  1 
x 1
2
;
á ) y 2  xe  xy .
;
á )  x  y    x  3 y   0.
1
5.4. a) y  x arccos x  ln arctg ;
x
5.5. a) y  tg 3  x 2  1  ln x5  4;
cos 2 ax
;
sin 3 ax
 2
e x  e x 
5.7. a) y  ln  cos arctg
;
2 x 

arcsin 4 x
5.8. a) y 
 ln 3 x 4  1;
cos x
5.6. a) y  ln


5.9. a) y  e 2 x sin cos 2  tg 3 x  ;
5.10. a) y 
2arccos
3
x
;
x 3
cos x
1
x
5.11. a) y 
 ln tg ;
2
2sin x 2
2
2
5.12. a) y  arctg
1 x
;
1 x
5.15. a) y  1  ln sin 2 x   2cos3 x ;
2
5.16. a) y  ln tg x 3  5 
x 2 1
1
;
x  4x  6
2
 ln tg 2 x;
a2  x2
a

 arccos x ;
ax
ax
1
5.19. a) y  ctg 2  x  1  arccos ;
x
 sin x
3
5.20. a) y  2
arcsin 2 x;
5.18. a) y  ln
5.21. a) y  ln 2 arccos
44
2
á ) x ln y  y ln x  8.
á ) x  y  arctgy  0.
y
á ) y 2 x  acrtg .
x
á ) x 3  y 3  3axy  0.
á ) sin  x  y   2 xy  0.
á ) ln y 
x
 x  y.
y
á ) arcsin xy 
x
 x.
y
á ) e 2 y  e3 x 
y
 0.
x
á ) xy  ln 1  y  .
x 
x 
5.13. a) y  tg 2     2 ln cos    ;
2 4
2 4
2
x
5.14. a) y  4  x 2  e x arcsin ;
2
5.17. a) y  5arcsin
2
1
;
x
á ) x 2  x sin y  0.
x
 1.
y
y
x
á )  acrtg .
x
y
á ) ln y 
á ) x sin y  y cos x  0.
y
á ) e x  y  sin .
x
á ) e y  x 2e  y  2 x.
á ) e xy  x 2  y 3  0.
á ) sin  x  y   2 x  3 y  0.
á ) x 4  y 4  2 y  0.


5.22. a) y  arctg 2 x  1  x 2 ;
á ) cos 2 ( x  y)  xy.
5.23. a) y  ln ln  e x cos x  e x sin x  ;
á ) y  x  arctgxy  0.
1
2
1
5.24. a) y  sin 3 x  sin 5 x  sin 7 x ;
3
5
7
1
á ) 1  x  ln  x  2 y  .
2
5.25. a) y  e x cos 1  x 2 ;
á ) y  x  arctgy  0.
3
5.26. a) y 
arccos 3 x 2  2
;
tg 2 x
á ) x  y  e xy .
1  x  cos 3x ;
y
2
5.27. a )
á ) e x  e y  2 xy  1.
arccos 5 x
5.28. a ) y 
e  tg
3
x
4 x  3x  1
2
á ) cos 2 ( x  y )  xy.
;
5.29. a ) y  ln cos3 arctge3 x ;
5.30. a ) y  ctg 2
á)
x
x
 2 ln sin ;
2
2
1 2
x  2 ln x  3 ;
4
6.2. y  e2 x cos 2 x;
6.3. y  eax
2
 bx  c
;
6.11. y 
y
x 2  y 2  2arctg .
x
á)
Задание 6. Найти производные второго порядка
6.1. y 
y
y
y
 e x  3  0.
x
x
d2y
.
dx 2
3x  2
;
x  2x  5
6.21. y 
2
6.12. y  arcsin 2 x;


6.13. y  ln x  a 2  x 2 ;
 
arcsin x
;
1  x2
1
2
6.22. y   x sin 3x  cos 3 x;
9
27
2x
6.23. y  2 ;
x 1
6.4. y   x 2  1 e 3 x ;
6.14. y  arctg e  x ;
6.24. y  ln  x 2  5 x  6  ;
6.5. y  ctgx  x 2 e x ;
6.15. y  x 2 e3 x ;
6.6. y  x ln 1  x 2  ;
6.16. y  x 2 sin 3 x;
x
6.25. y  arcsin 2 ;
2
2
6.26. y  1  x  arctgx;
6.7. y  ln ctg 2 x;
6.17. y  cos  4 x 2  x  ;
6.27. y  ln 3 1  x 2 ;
6.8. y  x cos  x 2  1 ;
6.18. y   x  1 cos 2 x;
6.9. y  x 2  a 2 ;
6.19. y  ectg3 x ;
x
6.28. y  e3 x cos ;
3
1
6.29. y  x 2 ln ;
x
6.10. y  x 2 sin x  x cos x;
6.20. y  arctg
2
x
;
x 1
2
6.30. y  2 xarctgx.
45
Задание 7. Дана функция u  u  x, y, z  , точка M ( x0 , y0 , z0 ) и вектор s . Найти в точке М:
а) производную по направлению
z
;
2y
u
по направлению вектора s ; б) градиент grad u .
s
s  j  k;
M 0 1; 1; 0  .
7.2. u  x 2  y 2  z 2 ;
s  i  2 j  2k ;
M 0  3;  4; 5  .
y
 zy;
z
x
7.4. u  x 3 z  sin  y 5 ;
z
s  i  j  k;
M 0  2; 1; 1 .
s  3i  6 j  2k ;
7.5. u  ln  5 x 2  xy  z  ;


M 0  ; ; .
2

s  2i  3 j  3 k ;
M 0 1; 2; 4  .
7.6. u  x 2 yz 2  2 x  1;
s  2i  3 j  k ;
M 0 1;  2; 2  .
5.7. u  3x  y  4 z x;
s  3i  4k ;
7.1. u  5 xy  z  sin
7.3. u  x 2 ln
4
2
5.8. u  arctg  xyz   ln  x  y  z  ;
5.9. u  sin
x
 z 2 y;
y
s  2i  j  2k ;
M 0 1; 0; 1 .


M 0  ; 1; 2  .
2

M 0 1; 0; 1 .
7.10. u  x ln  x 2  y   z 2 y;
s  8i  4 j  8k ;
7.11. u  cos 2 xy  3z;
s  i  3 j  4k ;


M 0  ;  1; 2  .
4

s  5i  12k ;
M 0  1; 2; 1 .
s  12 j  5k ;
M 0  2; 1; 0  .
s  i  2 j  k;
  
M 0 1; ; 1  .
 4 
s  i  8 j  4k ;
  
M 0  2; ; 1  .
2 

7.16. u  sin 2 yz  2 x 2 y;
s  5i  j  k ;


M 0  3; 1;
.
4

z
7.17. u  2 xy  y 2 z  ;
x
3 2
7.18. u  x y  ln  5 xz  y 2  ;
s  i  4 j  2k ;
M 0  2; 2; 0  .
s  4i  j  k ;
M 0  2; 1; 1 .
7.19. u  5  y 2 x 2 ;
s  i  2 j  4k ;
M 0 1; 1;  1 .
7.20. u  x xz  x 2 z;
s  i  5 j  2k ;
M 0  2; 2; 1 .
7.21. u  xe y  ye x  z 2 ;
2y
7.22. u  e xy  2 ;
z
s  i  j  k;
M 0  3; 0; 2  .
s  4i  2 j  k ;
M 0 1; 2;  1 .
7.12. u  arcsin
z2
 x2 ;
y
z
y
7.13. u  e  ln x;
7.14. u  ctgyz 
y
;
x2
7.15. u  2 xz  cos
y
;
2z
x
2z
46
s  i  k;
M 0 1; 1; 2  .
7.23. u  y ln( x 2 z )  2 x 2 y;
7.24. u  xyz  ln
x
;
2z
7.25. u  2 y x  3 y 2 3 z 2 ;
7.26. u  e3 x
2
 2 y  xyz
2
3
;
x y z
  ;
y x x
y
7.28. u  ctg  x 2 ;
z
z
7.29. u  2  yx 2 ;
x
7.30. u  cos xy  z 2 y;
7.27. u 
s  i  j  3k ;
M 0 1; 1; 2  .
s  i  2 j  2k ;
M 0  4; 1;  2  .
s  2i  3 j  3k ;
M 0  4;  2; 1 .
s  6i  8 j;
M 0 1;  1;  1 .
s  3i  6 j  2k ;
M 0  1; 1; 2  .
s  2i  11 j  10k ;
M 0 1;  ; 2  .
s  4i  4 j  2k ;
M 0 1;  2; 1 .
s   j  k;
M 0  0; 2; 3 .
47
Литература
1.Высшая математика. Общий курс/ Под ред. С.А. Самоля. – Минск: Вышэйшая шк., 2000.
2. Высшая математика для экономистов/ Под ред. Н.Ш. Кремера. – М.: ЮНИТИ, 1998.
3. В.С. Шипачев. Высшая математика. – М.: Высш. шк., 1985.
4.Сборник индивидуальных заданий по высшей математике. Учебное пособ. В 3 ч./ Под ред.
А.П. Рябушко. – Мн. Вышэйшая школа, 1991.
48
Содержание
Стр.
П Р О Г Р А М М А .................................................................................................................................................5
1. Матрицы, определители, системы линейных уравнений (СЛАУ) .................................................................6
1.1. Матрицы. Операции над матрицами ........................................................................................................6
1.2. Определители. Алгебраические дополнения ...........................................................................................7
1.3. Ранг матрицы ..............................................................................................................................................9
1.4. Системы линейных уравнений (СЛАУ) .................................................................................................11
2. Аналитическая геометрия ................................................................................................................................13
2.1. Векторы. Операции над векторами.........................................................................................................13
2.2. Действия над векторами, заданными в координатах ............................................................................15
2.3. Прямая .......................................................................................................................................................16
2.3.1. Прямая на плоскости. Различные виды прямой ............................................................................16
2.3.2. Прямая в пространстве. Различные виды прямой .........................................................................18
2.4. Плоскость ..................................................................................................................................................18
2.5. Угол между двумя прямыми на плоскости и в пространстве ..............................................................20
2.6. Угол между прямой и плоскостью в пространстве ...............................................................................20
3. Введение в математический анализ ................................................................................................................22
3.1. Функция. Предел функции ......................................................................................................................22
3.2. Основные теоремы о пределах ................................................................................................................22
3.3. Замечательные пределы ...........................................................................................................................24
3.4. Бесконечно малые и бесконечно большие функции. Сравнение бесконечно малых функций ........25
4.
Дифференциальное исчисление функции одной переменной ...............................................................26
4.1. Основные правила дифференцирования ................................................................................................27
4.2. Таблица производных основных элементарных функций ...................................................................27
4.3. Производные высших порядков..............................................................................................................28
4.4. Неявная функция и ее дифференцирование...........................................................................................28
4.5. Дифференциал функции ..........................................................................................................................29
4.6. Правило Лопиталя ....................................................................................................................................29
5. Функции нескольких переменных ..................................................................................................................30
5.1. Основные понятия .........................................................................................................................................31
5.2.Частные производные ....................................................................................................................................31
5.3. Полный дифференциал функции нескольких переменных .......................................................................32
5.4. Частные производные высших порядков ....................................................................................................33
5.5. Экстремум функции двух переменных .......................................................................................................33
5.6. Скалярное поле ..............................................................................................................................................36
Задания для самостоятельного решения ...........................................................................................................38
Литература ............................................................................................................................................................48
49
Учебное издание
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И ЗАДАНИЯ
К КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЕ № 1 ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ
ДЛЯ СТУДЕНТОВ ЗАОЧНОГО ОТДЕЛЕНИЯ ФТУГ
ЭКОНОМИЧЕСКИХ СПЕЦИАЛЬНОСТЕЙ
Составители:
З.М.Алейникова, Л.И.Бородич, И.Г.Латышева, М.Н.Покатилова, А.Ф.Шидловская
Редактор
Подписано в печать _____________2010.
Формат 60  84 1 . Бумага офсетная.
16
Отпечатано на ризографе. Гарнитура Таймс.
Усл.печ.л. ________Уч.-изд.л.________Тираж________. Заказ_______
Издатель и полиграфическое исполнение:
Белорусский национальный технический университет.
ЛИ № 02330/0131627 от 01.04.2004.
Проспект Независимости, 65, 220013, Минск.
50