V = a2h. (1) - Донбаська державна машинобудівна академія

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ
ДОНБАССКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ
МАШИНОСТРОИТЕЛЬНАЯ АКАДЕМИЯ
Составители:
А.Н.Обухов
С.А.Колесников
Б.Н.Горшунов
ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА
Методические указания,
индивидуальные и тестовые задания
для студентов-заочников
инженерно-технических специальностей
Утверждено на
заседании метод.совета
Протокол №
Краматорск 2006
от
УДК 517
Высшая
математика:
Методические
указания,
индивидуальные и тестовые задания для студентов-заочников
инженерно-технических специальностей /Сост. А.Н.Обухов,
С.А.Колесников,
Б.Н.Горшунов. – Краматорск: ДГМА, 2006 –
76 с.
Данные методические указания содержат в кратком виде
основной теоретический материал по курсу высшей математики,
изучаемый в первом триместре, для студентов технического
направления.
заданий.
Приведены
Указана
образцы
тематика
и
решения
характер
контрольных
примеров
для
рейтингового тестирования модулей.
Составители:
А.Н.
Обухов,
доц.
каф.
высшей
математики,
С.А. Колесников, доц. каф. высшей
математики,
Б.Н. Горшунов, ассистент каф. высшей
математики.
Отв. за выпуск В.А. Паламарчук, доц. каф. высшей
математики.
2
1 МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ ПО РАЗДЕЛАМ
1-ГО ТРИМЕСТРА
1.1 АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
Литература [2, гл. 2, § 1-6, гл. 3;
5, ч.1, гл. 1-4, гл. 5; § 24 – 36;
6, гл. 2; 7, ч.1, гл. 1-3, ч. 2, гл. 1-5].
Длина отрезка (расстояние между точками) определяется
по формуле
d  ( x1  x2 ) 2  ( y1  y 2 ) 2  ( z1  z 2 ) 2 ,
где М1 (x1, y1, z1), М2 (x2, y2, z2) – координаты данных точек.
Каноническое уравнение прямой в пространстве имеет
вид
x  x0 y  y 0 z  z 0
,


m
n
p
где точка M(x0,y0,z0) принадлежит прямой, а m, n, p – координаты
вектора l .
Угол
между
прямыми
находим
направляющими векторами по формуле


cos l1 , l 2 
3
l1  l 2
l1  l 2
,
как
угол
между
где l1  l2 - скалярное произведение векторов;
l1  l 2 - произведение длин направляющих векторов.
Скалярное произведение векторов:




a  a x , a y , a z ; b  bx , b y , bz ;
a  b  a x  bx  a y  b y  a z  bz .
Формула длины вектора a :
a  a x2  a 2y  a z2 .
Угол между прямой
x  x0 y  y 0 z  z 0


m
n
p
и плоскостью Ax  By  Cz  D  0 sin  
где
ln
ln
,
l  m, n, p ; n   A, B, C .
Уравнение плоскости через три точки имеет вид
Площадь
x  x1
y  y1
x 2  x1
x 3  x1
y 2  y1 z 2  z 1  0
y 3  y1 z 3  z 1
треугольника
z  z1
равна
половине
модуля
векторного произведения векторов, выходящих из одной
вершины:
S  ABC 
1
 AB  AC .
2
4
Прямая
на
плоскости
определена
следующими
параметрами:
а) двумя точками - M1(x1,y1), M2(x2,y2):
y  y1
x  x1
;

y2  y1 x2  x1
б) точкой M 0  x0 , y0  и вектором нормали n   A, B :
A  x  x0   B   y  y 0   0 .
в) точкой
M 0  x0 , y0  и направляющим вектором l  m, n  :
x  x0 y  y 0

m
n
г) угловым коэффициентом k и точкой:
M 0 x0 , y 0  ;
y  y 0  k  x  x0  .
д) отрезками, которые отсекает прямая от осей координат (a,b):
x y
  1.
a b
Все уравнения приводятся к виду
Ax  By  C  0 - общее уравнение прямой.
Условие параллельности двух прямых -
A1 B1
.

A2 B2
Условие перпендикулярности двух прямых A1  A2  B1  B2  0 .
Пример 1. Даны уравнения трех прямых на плоскости: l1,
l2, l3. Требуется доказать, что прямые образуют прямоугольный
5
треугольник, и найти уравнение высоты, проведенной из
вершины М2,3.
l1: x – 2y = 2; l2 : 8x + 4y = 36; l3: x + y = 7.
Решение. Найдем нормальные векторы:
n1  {1,2} , n2  {8,4}, n3  {1,1} .
Вычислим скалярное произведение следующих векторов:
n1  n2  1  8  (2)  4  0; n1  n3  1 1  (2)  1  1;
n2  n3  8 1  4  1  12.
Так как n1  n2  0 , то прямые l1 и l2 перпендикулярные.
Найдем координаты вершины М2,3.
8 x  4 y  36;

 x  y  7;
y 
8 36
1
7
 20;

8 4
 4;
1 1
x 
x
x 8
  2;
 4
y
36 4
7
1
 8;
y 20

 5.

4
Так как высота, проведенная из вершины М2,3 перпендикулярна к
прямой l1, то нормальный вектор этой прямой является
направляющим для высоты.
lh :
x 2 y 5

 y  2 x  9 .
1
2
Пример 2. Уравнение кривой второго порядка привести к
каноническому виду, определить ее основные характеристики,
сделать чертеж.
9 x2  54 x  4 y 2  16 y  61  0.
6
Решение.

9( x 2  6 x)  4( y 2  4 y )  61  0 =>
 

9 ( x  3) 2  9  4 ( y  2) 2  4  61  0 =>
9( x  3) 2  4( y  2) 2  36  0 =>
каноническое
уравнение
( x  3) 2 ( y  2) 2

 1–
4
9
эллипса,
центр
которого
находится в точке М0 (–3, 2); полуоси равны а = 2, b = 3.
Вычислим расстояние от центра до фокусов по формуле:
c2  b2  a 2  9  4  5  c   5 .
Для
данной
кривой
выполняется соотношение b > a, поэтому координаты
фокусов эллипса равны: F1(3,2; 5 ) , F2 (3,2; 5 ) .
y
5
4
3
M0
–
5
–
3
2
– 0
1
–
1
1
7
x
1.2 ПРЕДЕЛЫ. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ
Литература: [6, гл. 2, § 1-6, §11;
2, гл. 2, § 2.1-2.3, §2.10, §3.2-3.4;
2, гл. 4, § 4.1-4.13; 6, гл. 3, §1-27;
2, гл. 4, § 4.17, 4.18; 6, гл. 5, § 3-8].
При вычислении пределов часто используют следующую
таблицу эквивалентностей:
a 0 x n  a 1 x n 1  a 2 x n 2    a n ~ a 0 x n
k
a0 x n  a1 x n1  a2 x n2    an ~ k a0 x n
sinαx  ~   x 


tg  x  ~   x 


arcsin   x  ~   x 
arctg  x  ~   x  
при x   ;
при x   .
-следствия первого
замечательного предела.
sin x
 1,
x0 x
lim
где α(x) – бесконечно малая величина.
e ( x )  1 ~  ( x )


 ( x)

a
 1 ~  ( x) ln a
 -следствия второго замечательного
ln(1   x ) ~  ( x)


m
(1   x )  1 ~ m ( x)
предела.
8
1
x
x
1

lim 1    lim 1  x   e ,
x
x
x0
lim (1   ( x))
 ( x)
x  x0
e
lim  ( x )  ( x )
x  x0
.
где α(x) – бесконечно малая величина; β(x) – бесконечно большая
величина.
Функция y=f(x) называется непрерывной в точке x0, если
выполняется условие
lim f ( x)  lim f ( x)  f ( x0 ) .
x x0  0
x  x0 0
Если в точке x0 нарушено хотя бы одно из условий, то x0
называется точкой разрыва, где
lim
x x0 0
f ( x) - предел справа;
lim
x x0 0
f ( x) - предел слева.
x
 x2  x  3  x2

Пример 3. Вычислить lim 
.

x  2
x

1


Решение.
x
x
 x 2  x  3  x 2

x 2  x  3  x 2

lim 
 lim 1 
 1

x 2
x 2
x

1
x

1




x
lim  


 0
 x 2  4  x2 

 0


 lim 1 
 lim 1     e


x 2
 0
x 1 

  

9
x 2 4 x
lim

x1 x 2
x

2
e
( x2) x
lim
 e x2 x1
8
 e3 .
ТАБЛИЦА ПРОИЗВОДНЫХ
1
y  x ;
y  x 1 .
2
y  ax ;
y  a x  ln a .
3
y  ex ;
y  e x ;
1
y 
.
x ln a
1
y  .
x
y  cos x .
y   sin x .
1
y 
.
cos 2 x
1
y   2 .
sin x
1
.
y 
1  x2
1
.
y 
1  x2
1
y 
.
1  x2
1
y 
.
1  x2
y  chx .
4
y  log a x ;
5
y  ln x ;
6.
7
y  sin x ;
y  cos x ;
8
y  tgx ;
9
y  ctgx ;
10
y  arcsin x ;
11
y  arccos x ;
12
y  arctgx ;
13
y  arcctgx ;
14
y  shx ;
10
y  shx .
1
y  2 .
ch x
1
y  2 .
sh x
y  chx ;
15
16
y  thx ;
17
y  cthx ;
ОСНОВНЫЕ ПРАВИЛА НАХОЖДЕНИЯ ПРОИЗВОДНОЙ
1
U ( x)  V ( x)  U ( x)  V ( x) .
2
U ( x) V ( x)  U ( x) V ( x)  U ( x) V ( x) .
3

 U ( x)  U ( x)  V ( x)  U ( x)  V ( x)

 
.
V 2 ( x)
 V ( x) 
4
f xU ( x)   fU  U x ( x) .
5
U ( x)   V ( x) U
6
V ( x)
V 1
 x  x ( t );

 y  y( t );
 U ( x)  U ( x)V ( x)  ln U ( x)  V ( x) .
yx 
y (t )
,
x (t )
где y (t )  y (t ); x (t )  x(t ) .
Пример 4. Найти производную функции
y
arcsin x
1 x
11
2
.
Решение.




 arcsin x  (arcsin x) 1  x 2  arcsin x 1  x 2
 
y   

2 

2
 1 x 
1 x


1
2
 1 x

 1  x 2  arcsin x 
1  x 
2
1  x 2  x arcsin x
(1  x 2 ) 3
Ответ: y 
 2x
2 1  x2 
.
1  x 2  x arcsin x
(1  x 2 )3
.
Пример 5. Найти производную функции
y  (shx) tgx .
Решение.

y   (shx ) tgx
  tgx  (shx) tgx1  (shx)  (shx) tgx  ln shx  (tgx) 
 chxtgx (shx ) tgx 1  (shx ) tgx  ln shx 
1
cos 2 x


ln shx 
 .
 (shx ) tgx  cthx  tgx 
cos 2 x 

ln shx 
Ответ: y  (shx) tgx  cth x  tgx 
.
cos 2 x 

12
Пример 6. Найти производную функции заданной в
параметрической форме.
t

x  cos ;
2

y  t  sin t.
Решение. Найдем соответствующие производные:


t
t t
1
t

x (t )  x (t )   cos  t   sin      sin ;
2
2 2
2
2

1
t
x (t )   sin ;
2
2
t
y (t )  y(t )  (t  sin t )t  1  cost  2 sin 2 .
2
t
2  4 sin t .
Тогда y   y 
x
1
x  sin t
2
2
2
2 sin 2
t

x  cos ;

2
Ответ: 
 y   4 sin t .
 x
2
Пример 7. В каком отношении находятся наибольший
объем правильной четырехугольной пирамиды, вписанной в
шар, к объему этого шара?
Решение. Пусть радиус шара равен R.
13
S
R
L
O
R
A
K
C
Рассмотрим
осевое
сечение
нашей фигуры плоскостью, проходящей через высоту пирамиды
SK и одну из диагоналей основания АC.
Обозначим: AC = a и SK = h.
Тогда V =
1
Sосн·SK.
3
Известно, что Sосн=
1
a2
АС2, т.е. Sосн =
и
2
2
V=
1 2
a h.
6
(1)
Установим связь между параметрами a и h. Из подобия
треугольников ΔASK~ΔOSL  запишем:
AS SO

. Так как
SK AS
центром окружности, описанной около треугольника, является
точка
О,
которая
лежит
на
пересечении
срединных
перпендикуляров сторон треугольника, то LS =
1
AS, AK =
2
14
1
AC. Учитывая, что SO = R, AS =
2
h2 
a2
,будем иметь:
4
1
1 2 a2
2
SO·SK =
AS  ( h 
) = Rh  a2 = 4 (2Rh – h2).
2
2
4
Подставляя выражение а в (1) получим зависимость объема
пирамиды от ее высоты:
V=
2
(2Rh2 – h3), ОДЗ  0<h<2R.
3
Исследуем эту функцию на экстремум. Найдем V'(h):
V'(h) =
2
(4Rh – 3h2).
3
Согласно необходимому условию экстремума V'(h) = 0 
2
(4Rh – 3h2) = 0 найдем критические точки: h1=0  ОДЗ. и h2=
3
4
2
4
R  ОДЗ. Найдем: V''(h) = (4R – 6h), вычислим V''( R) = –
3
3
3
8
2
R < 0. Следовательно, при V''(h) =
(4R – 6h), вычислим
3
3
V''(
4
8
R) = – R<0 объем вписанной четырехугольной пирамиды
3
3
максимальный и равен: Vmax=V(
4
64 3
R) =
R.
3
81
15
Вычислим
Vmax
. Учитывая, что VШ =
VШ
4 3
πR , получим:
3
Vmax 16
.

VШ
27 π
Ответ:
16
.
27 π
1.3 МАТРИЦЫ. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ.
КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ
Литература [ 1, ч. 1, гл. 4, § 2; гл. 5, § 4;
6, § 15 - 21; 6, гл. 8, § 1, 2, 3, 4;
2, гл. 8, § 1, 4, 5, 6, 7, 8, 13, 14, 16;
1, ч. 1, гл. 5, § 7; 4, § 22 - 26].
Прямоугольная квадратная таблица, составленная из h n
элементов aij некоторого множества, называется матрицей
порядка n и записывается в виде:
 a11 a12  a1n 
a

 21 a22  a2 n 
A
.

 
 
an1 an 2  ann 
16
Минором
элемента
aij является
определитель
Мij,
получаемый из матрицы А вычеркиванием строки с номером i и
столбца с номером j.
Если определитель Δ, составленный из элементов матрицы,
отличен от нуля, то матрица А имеет обратную матрицу
А-1.
При этом справедливы равенства:
A  A1  A1  A  E ,
где Е – единичная матрица порядка n,
1
0

E


1
0
1



0

0
0



1

Известно, что матрица А-1 единственная, и она определяется
формулой:
 A11

1 A
A1   12
 

 A1n
A21
A22



A2n

An1 
A2n 

,
 
Ann 

где Aij  (1) i j M ij - алгебраическое дополнение элемента aij.
Рассмотрим матрицу-столбец X и столбец B:
 x1 
x 
 
X   2
 

 xn 

;
17
 b1 
b 
 
B   2
 

bn 

и запишем систему линейных алгебраических уравнений в
матричной форме:
A X  B .
Решение этой системы имеет вид:
X  A1  B .
Вектор X называется собственным для матрицы A, если
выполняется равенство AX=X, где  - её собственное число.
Для нахождения собственных чисел матрицы A необходимо
найти корни характеристического уравнения:
a11   a12
 a
a 21
a 22    a

a n1

an2

 a nn  
 0.
Собственный вектор Х находится как решение системы
уравнений, которая в матричной форме имеет вид
( A  E ) X  0 .
При отыскании собственных векторов следует иметь в
виду, что они определяются с точностью до произвольного
множителя.
Таким
образом,
фактически
определяется
собственная прямая, остающаяся неизменной при данном
линейном преобразовании с помощью матрицы А.
18
НЕОБХОДИМОЕ
УСЛОВИЕ
ЭКСТРЕМУМА
ФУНКЦИИ ДВУХ ПРЕМЕННЫХ.
Если дифференцируемая функция f(x, y) имеет в точке
(x0,y0) экстремум, то:
f ( x 0 , y 0 )
0
x
;
f ( x 0 y 0 )
 0.
y
Далее введём обозначения:
2 f
M  2  f xx ;
1
x
M2 
f xx

f yx
f xy
.

f yy
ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ ЭКСТРЕМУМА
Если функция z = f(x, y) имеет в окрестности точки (x0
,y0) первые и вторые непрерывные частные производные, то в
точке (x0 ,y0), в которой fx’=0, fy’=0 имеет место экстремум, если
M2(x0, y0) > 0, причём максимум, если M1(x0, y0) < 0 и минимум,
если M1(x0, y0) > 0. Если же M2 < 0, то функция экстремума не
имеет.
При отыскании наибольшего и наименьшего значений
функции двух переменных в замкнутой области следует найти
все внутренние точки, где функция может иметь экстремум.
Затем нужно исследовать функцию на границе области и найти
точки, где функция может принимать наибольшее и наименьшее
значения. Для получения ответа сравнить числовые значения
функции во всех найденных точках.
19
ГРАДИЕНТ. ПРОИЗВОДНАЯ ПО НАПРАВЛЕНИЮ
Рассмотрим функцию трёх переменных U=f(x, y, z),
которая имеет
вектор
частные производные первого порядка. Тогда
 u u u 
grad u   , , 
 x y z 
называют
градиентом
функции, он задаёт направление возрастания функции U (x, y, z)
с наибольшей скоростью.

Производная по направлению вектора a  a x , a y , a z

вычисляется по формуле
u grad u  a

.
a
a
Пример 8. Найти производную функции U= ze-xy в точке
M0(0,1,1) по направлению вектора a   2,2,1 .
Решение. Найдем частные производные:
u
 z  e  xy  ( y )   yze  xy ;
x
u
 z  e  xy  ( x )   xze  xy
y
и вычислим grad u
Тогда
M0
 (1,0,1) .
u  1  (2)  0  2  1  1

1.
a
3
20
;
u
 e  xy ,
z
Однородный многочлен второй степени относительно
переменных x, y: F ( x, y)  a11 x  2a21 xy  a22 y называется
2
2
квадратичной формой от этих переменных.
Если
положить
a12=a21,
то
квадратичной
форме
можно
подставить в соответствие квадратную матрицу:
a12 
a
 .
A   11
a
a
 21
22 
Собственные векторы X, Y матрицы A определяют на
плоскости два собственных направления x, y  . При этом, если
1, 2 собственные числа, то квадратичная форма в базисе
собственных векторов X, Y записывается в каноническом виде:
F  1 x 2  2 y  2 .
Рассмотрим квадратичную форму трёх переменных:
F  a11 x 2  a22 y 2  a33 z 2  2a12 xy  2a13 xz  2a23 yz,
где a11=a21, a23=a32, a13=a31. В базисе собственных векторов X, Y и
Z эта квадратичная форма имеет вид:
F  1 x  2   2 y  2  3 z  2 .
Приведение квадратичной формы к каноническому виду
используют для приведения к каноническому виду уравнений
линий и поверхностей второго порядка.
21
2 ЗАДАНИЯ ДЛЯ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ И
ТЕСТИРОВАНИЯ ПО РАЗДЕЛАМ КУРСА ВЫСШЕЙ
МАТЕМАТИКИ
2.1 АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
Задание 1. Даны уравнения трех прямых на
плоскости l1, l2, l3.
Требуется:
а) найти точки пересечения прямых: М1,2, М1,3, М2,3;
б) доказать, что полученный треугольник прямоугольный;
в) найти угол при вершине М1,3;
г) найти уравнение медианы, проведенной из вершины М1,2
и расстояние от этой прямой до вершины М2,3;
д) найти уравнение высоты, проведенной из вершины М1,2;
Варианты заданий
1
3
l1: 2x – y = 6;
l2: 4x + 8y = –8;
l3: x + 6y = –2.
l1: 4x + 3y = 5;
l2: 3x – 4y = –15;
l3: x + 5y = –5.
2
4
22
l1: 3x + y = 2;
l2: 2x – 6y = 8;
l3: 5x + y = –8.
l1: 5x – y = 9;
l2: x + 5y = 7;
l3: 4x + 2y = –8.
5
7
9
11
13
15
17
19
21
l1: 8x – y = 7;
l2: 4x + 2y = 6;
l3: x + 3y = –1.
l1: x + 4y = 14;
l2: 4x – y = 5;
l3: 3x + 2y = 1.
l1: 6x – y = 10;
6
8
10
l2: x + 6y = 14;
l3: x – y = 7.
l1: 3x – y = 7;
l2: x + 3y = 9;
l3: x + y = 7.
l1: 2x + 4y = 6;
l2: 6x – 3y = 3;
l3: x + y = 5.
l1: 4x – 3y = 5;
l2: 3x + 4y = 10;
l3: x + y = 2.
l1: 6x – y = 11;
l2: – x + 6y = 4;
l3: x + y = 10;
12
14
16
18
l1: x + 8y = 10.
l2: – 8x + y = –15;
l3: x + y = –6.
l1: x + 10y = 14;
l2: – 10x + y = –39;
20
22
23
l1: 6x + y = 12;
l2: – x + 6y = 35;
l3: 8x + y = –35.
l1: 5x + y = 11;
l2: x – 5y = –3;
l3: x + y = 5.
l1: 7x – y = 5;
l2: x + 7y = 15;
l3: x + 3y = 11.
l1: 4x + y = 9;
l2: 2x – 8y = –4;
l3: x + y = 8.
l1: 10x – y = 9;
l2: x + 10y = 11;
l3: x + y = –7.
l1: 3x – y = 8;
l2: x + 3y = 6;
l3: x + 2y = 8.
l1: 4x + 4y = 12;
l2: – x + y = 1;
l3: 2x – y = 5;
l1: 5x + 2y = 12.
l2: – 2x + 5y = 1;
l3: x + 2y = –5.
l1: 5x – 2y = 12;
l2: 2x + 6y = –1;
23
25
l3: x + y = –6.
l1: 12x + y = 10;
l2: – x + 12y = –23;
l3: x + y = 10.
l1: 3x + 5y = 11;
l2: – 5x + 3y = –7;
l3: x + y = 11.
24
l3: x + 4y = 1.
l1: 8x + y = 10;
l2: x – 8y = –15;
l3: x + y = –6.
Задание 2. Даны координаты вершин треугольника:
А 1 (х 1 ,у 1 ), А 2 (х 2 ,у 2 ), А 3 (х 3 ,у 3 ).
Требуется:
а) найти вектор А2 А1 ;
б) найти длину стороны А1 А2 ;
в) найти координаты середины стороны А2 А3 ;
г) записать уравнение медианы, проведенной из
вершины А1 ;
д) вычислить площадь треугольника;
е) проверить перпендикулярность сторон А1 А2 и
А1 А3 .
Варианты заданий
1 А 1 (1,3), А 2 (-2,5), А 3 (7,9).
2 А 1 (3,1), А 2 (5,-2), А 3 (9,7).
24
3 А 1 (2,5), А 2 (3,7), А 3 (5,9).
4 А 1 (5,2), А 2 (7,3), А 3 (9,5).
5 А 1 (-2,4), А 2 (3,2), А 3 (5,7).
6 А 1 (4,-2), А 2 (2,3), А 3 (7,5).
7 А 1 (0,4), А 2 (5,1), А 3 (7,2).
8 А 1 (4,0), А 2 (1,5), А 3 (2,7).
9 А 1 (3,0), А 2 (5,4), А 3 (-1,2).
10 А 1 (0,2), А 2 (4,0), А 3 (6,4).
11 А 1 (1,1), А 2 (5,7), А 3 (3,3).
12 А 1 (0,-2), А 2 (5,0), А 3 (-3,-4).
13 А 1 (-1,-1), А 2 (6,4), А 3 (2,-1).
14 А 1 (8,-2), А 2 (-2,4), А 3 (0,6).
15 А 1 (9,1), А 2 (7,3), А 3 (5,7).
16 А 1 (-2,-3), А 2 (-4,7), А 3 (0,5).
17 А 1 (-5,0), А 2 (3,0), А 3 (7,4).
18 А 1 (1,1), А 2 (5,5), А 3 (7,3).
19 А 1 (-1,1), А 2 (3,-7), А 3 (5,1).
20 А 1 (2,9), А 2 (6,-1), А 3 (0,5).
22 А 1 (-2,0), А 2 (4,-6), А 3 (8,-2).
25
21 А 1 (5,0), А 2 (-1,6), А 3 (7,-2).
23 А 1 (0,2), А 2 (8,4), А 3 (6,0).
24 А 1 (3,-1), А 2 (-5,1), А 3 (7,-3).
25 А 1 (4,7), А 2 (0,-3), А 3 (8,-5).
Задание 3. Определить тип кривой второго порядка и
построить её.
Варианты заданий
1 а) 3х 2  3 у 2  25  0 ;
б) 2 х 2  у 2  4 у  0 .
2 а) 2 х 2  3 у 2  12  0 ;
б)  2 х 2  4 х  2 у 2  3 у  0 .
3 а) 3 у 2  2 х  6  0 ;
б) х 2  6 х  3 у 2  6 у  0 .
4 а) 3х 2  2 у  6  0 ;
б) 3х 2  6 х  2 у 2  4 у .
5 а) 2 х 2  3 у 2  6  0 ;
б) 5 х 2  3 у 2  6 у  12  0 .
6 а) 3х 2  2 у 2  6  0 ;
б) 3х 2  6 х  3 у 2  9 у  0 .
7 а) 5 х 2  5 у 2  25  0 ;
б)  4 х  5 у 2  10 у  0 .
8 а) 4 х 2  5 у 2  20  0 ;
б) 3х 2  6 х  8 у  0 .
9 а) 5 х 2  4 у 2  20  0 ;
б) 8 у 2  8 у  5 х  0 .
10 а) 5 х 2  3 у 2  15  0 ; б) х 2  2 х  у 2  4 у  0 .
11 а) 3х 2  5 у  0 ;
б) х 2  4 х  2 у 2  2 у  0 .
26
12 а) 5 у 2  12 х  0 ;
б) 3х 2  9 х  2 у 2  4 у  0 .
13 а) у 2  8 у  0 ;
б) 5 х 2  10 х  3 у 2  6 у  0 .
14 а) х 2  4 у  0 ;
б) х 2  4 х  3 у 2  6 у  0 .
15 а) 3х 2  4 у 2  12  0 ;
б) 3х 2  6 х  5 у  0 .
16 а) 4 у 2  3х 2  24  0 ;
б) 2 у 2  4 у  5 х  0 .
17 а) у 2  2 х 2  9  0 ; б)  2 х 2  4 х  3 у 2  6 у  0 .
18 а) 4 х 2  5 у 2  40  0 ; б) 2 у 2  4 у  х 2  4 х  0 .
19 а) 3 у 2  5 х  0 ;
б) х 2  4 х  3 у 2  6 у  0 .
20 а) 5 х 2  3 у  0 ;
б)  3х 2  6 х  2 у 2  4 у  0 .
21 а) х 2  2 у 2  4  0 ;
б)  х 2  4 х  у 2  6 у  0 .
22 а) 2 у 2  х 2  4  0 ;
б) 5 у 2  3х  10 у  0 .
23 а) 7 х 2  3 у 2  21  0 ; б) 3х 2  4 у  9 х  0 .
24 а) 3х 2  3 у 2  14  0 ; б) х 2  4 х  3 у 2  6 у  0 .
25 а) 5 у 2  4 х  0 ;
б) 2 х 2  6 х  3 у 2  9 y  0 .
Задание 4. Уравнение кривой второго порядка привести к
каноническому виду, определить ее характеристики, сделать
чертеж.
Варианты заданий
1
5x2 + 9y2 – 30x + 18y + 9 = 0.
27
2
16x2 + 25y2 + 32x – 100y – 284 = 0.
3
4x2 + 3y2 – 8x + 12y – 32 = 0.
4
9x2 – 18x + 4y2 + 8y – 23 = 0.
5
4x2 – 8x + 16y2 – 32y – 44 = 0.
6
4x2 – 8x + 16y2 – 64y + 4 = 0.
7
9x2 – 18x + 16y2 + 32y – 191 = 0.
8
25x2 – 100x + 9y2 – 18y – 116 = 0.
9
9x2 – 18x + 25y2 – 50y – 119 = 0.
10
9x2 + 36x + 4y2 – 24y + 36 = 0.
11
16x2 + 64x + y2 + 6y + 57 = 0.
12
x2 + 6x + 16y2 + 64y + 57 = 0.
13
9x2 – 18x + 16y2 + 32y – 119 = 0.
14
25x2 + 50x + y2 + 2y + 1 = 0.
15
x2 – 4x + 25y2 – 50y - 71 = 0.
16
4x2 + 8x – 12 = y.
17
3x2 + 6x – 9 = y.
18
4y2 + 8y – 12 = x.
19
3y2 + 6y – 9 = x.
20
5y2 – 10y – 15 = x.
21
5x2 – 10x – 15 = y.
22
y2 + 10y + 25 = x.
23
x2 + 6x + 9 = y.
24
y2 + 2y + 11 = x.
25.
x2 + 4x + 5 = y.
28
Задание 5.
Даны координаты вершин пирамиды
А1 А2 А3 А4 .
Необходимо:
а) записать уравнение прямой А1 А2 ;
б) записать уравнение плоскости А1 А2 А3 ;
в) вычислить угол между ребром А1А4 и гранью
А1 А2 А3 ;
г) записать уравнение высоты, опущенной из
вершины А4 на грань А1 А2 А3 ;
д) вычислить объем пирамиды.
Варианты заданий
Вар.
А1
А2
А3
А4
1
(4, 1, 4)
(-3, -1, -4)
(4, -5, 1)
(-6, 2, -6)
2
(-6, 1, -2)
(-8, 1, -3)
(-2, 3, -2)
(12, 2, 8)
3
(1, 3, 2)
(-2, 13, 4)
(4, -13, -3)
(6, -14, -2)
4
(6, 4, 2)
(10, -1, -3)
(12, -2, -3)
(-8, 8, -2)
5
(4, 4, 13)
(3, 4, 11)
(-1, -1, -7)
(-4, 8, 2)
6
(-4, 2, -2)
(-6, 3, -2)
(-18, 4, 3)
(-16, 2, 2)
7
(1, 4, -8)
(2, -3, 4)
(2, -4, 6)
(-4, 2, 8)
29
Вар.
А1
А2
А3
А4
8
(3, 1, -5)
(-1, -2, 9)
(4, 4, -13)
(4, 6, -14)
9
(-4, 6, -1)
(1, -8, 1)
(-2, 2, -1)
(-4, 4, -2)
10
(-1, 6, -4)
(-3, 0, 1)
(-3, -4, -1)
(2, 28, 8)
11
(3, 4, -2)
(-11, -2, -3)
(-5, 1, -3)
(-26, -6, -6)
12
(1, 1, 2)
(1, 3, -6)
(-1, 1, 2)
(2, -6, 12)
13
(-3, 2, -3)
(-2, 2, -1)
(4, -4, -1)
(-4, 2, -6)
14
(-4, 14, -4)
(4, -14, 2)
(-3, 12, -4)
(-2, -16, 8)
15
(0, 2, -1)
(6, -1, -1)
(-14, 4, 4)
(28, -6, -6)
16
(3, -4, -2)
(-1, -3, 4)
(-2, 1, -2)
(-4, 8, -16)
17
(3, 4, 11)
(3, -4, 5)
(1, -2, 5)
(4, 2, -6)
18
(-3, -2, 4)
(-7, 3, 1)
(-9, 3, 2)
(-6, 6, -2)
19
(-1, 6, 1)
(2, -4, -1)
(-3, 16, 4)
(4, -12, -4)
20
(-5, 4, 1)
(-9, 4, -1)
(3, 1, 2)
(22, -6, 4)
21
(7, 4, -1)
(-7, -4, -2)
(-9, -1, 2)
(10, 4, -4)
22
(-3, -3, -3)
(2, -3, 2)
(-4, -5, -3)
(8, 18, -4)
23
(4, -8, 1)
(-3, 2, -1)
(2, -2, 2)
(6, -28, -6)
24
(-3, 2, 14)
(2, -3, 6)
(2, -1, 2)
(8, 2, 4)
25
(3, -2, -2)
(4, -4, -4)
(-1, -3, -12)
(-6, 6, -8)
30
2.2 ПРЕДЕЛЫ. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ И
ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ.
Задание 6. Найти пределы, не пользуясь правилом
Лопиталя.
Варианты заданий
1 а) lim
3n 2  4n  6
n
5  6n  7 n 2
б) lim  x4  x2  x4  x2  ;
;
x 

x 3
 3x  13  x 8
в) lim 
;

x  8 2 x  5 
2 а) lim
n 
2 n 2  5n  2
3
6n  3n  4
г) lim
sin 3x
x 0 x  x 2
б) lim
;
x 
.
4
x 2  6 x  x 2  5x
x2
 4 x  7  x2
в) lim 
;

x  2 3 x  5 
arcsin 5 x
.
x 0 x  2 x 2
г) lim
3n 2  4n  6
; б) lim  x2  11x  x2  3x  ;
5n  7
n 

x 
3 а) lim
1
в)
 x 2  3 x  1  3 x

lim 
;
x  3 2 x  5 
tg (3x  x 2 )
.
x0
x
г) lim
31
;
4 а)
x 2  16
lim
;
x 3 x  4
б) lim
1
x 2 3 x
x  2  x4


x  4 2 
в) lim 
x 0
x 


2x  1  2x  1 ;
arctg 3x
.
x0 2 x  x 2
г) lim
;
2
x 5

 3x  x 2  2 x ;
2
б) lim
x  25
6 а) lim
;
x5
2
arctg (3x  x)
г) lim
.
4x
 x 2  2  x 1
 ;
в) lim 
x  1
 x 
x2  9
5 а) lim
;
x 3 x  3
x
x 
б) lim
x 
x
2

 5 x  x 2  3x ;
2
 x 2  x  x2
 ;
в) lim 
x 2
 2 
3x
.
x0 sin( 3 x 2  x)
г) lim
x  81
lim
;
x9
2
7 а)
б) lim
x 9
 2x  2 
в) lim 

x 0 x  2


x4
x
;
x 
2
x  3x  x 2  2 x
2
2x  x2
;
x0 sin 3 x
г) lim
32
;
2 x  3x  5
x  196 x 2  x  4 x 2
8 а) lim
; б) lim
;
2x 1
x 
x 1
2
x 1

x 5
x2 9x20 ;
1
в) lim 6 x  x 2  4
3n 2  8n  2
9 а) lim
n
3
3n  9n  4
5x  x 2
.
x0 tg 6 x
г) lim
б) lim
;
x 
x
2

 6 x  x 2  8x ;
2
 2 x 2  8 x  8  x1
в) lim 
 ;
x 1
x

1


10 а)
6n 2  2n  6
;
3n  7
n 
lim
x  3x 
в) lim 

 x8 
2
n
б) lim
x 
9x  3
x3  x  x3  x2
;
3
7x
.
x0 arcsin( x 2  x)
4 x
x 4
11 а) lim
4x  x2
.
x0 arctg 6 x
г) lim
г) lim
;
3n 2  8n  2
3n  9n
 8x  4  x 2
в) lim 
x    1  x 2
2
4
; б) lim
x 
x

 ;


x
2
4 x 2  3x
.
x0 arcsin x
г) lim
33

 7 x  x 2  3x  1 ;
5
6n  2n  6
3x 2  2 x 4  12 x
; б) lim
;
3
x 
3n  7
3x 2  5 x  1
3
12 а)
lim
n 
2
2
в) lim x 2  x  1 x 1 ;
5x
.
x0 tg (6 x 2  x )
г) lim
x  1
x2  1
;
x 1 x  1
13 а) lim
3x
3n
3
4x
;
x0 arctg ( x  3 x 2 )
б) lim
;
x 
x 1
 x 2  3x  2  x

;
в) lim 

x2
x  0

x  9x  5
;
6 x  5x  2
x

 10 x  x ;
2
x  2x
г) lim
.
arctg 2 x
2
x 0
2
15 а) lim
x 

x 3
2
в) lim x 2  8 x  16
;
г) lim
;
2n 2  n  10
n
x x7
x 
 x 2  4x  1 

в) lim 
x  1 
x  1
14 а) lim
4 x 2  9 x 3  4 x 2  3x
б) lim
x2 5x6 ;
б) lim
x 
3
x xx
1
34
;
г) lim
x 0
2
sin( 3x   )
.
xx
2
8n  3n  10
2
16 а) lim
; б) lim
;
x 
3n  2n  2
x2  5  x 2  7x
3
n 
2
53 x
 x 2  3x  2 x

в) lim  2
;
x  2 x  4 


г) lim
x0
sin 2 x
.
x  4x2
x  2x  5
x 4  x 2  x 4  8x 3
17 а) lim
б) lim
;
x 
x 1
6 x  5x  2
2
x 
3
x6
в) lim x 2  9 x  21 x  4 ;
г) lim
x0
x 4
x  16
;
x4
2
18 а) lim
x 4

2
в) lim x  8
x  3

1
2( x  3) ;
x  25
19 а) lim
;
x 5
б) lim
x 
2 x 1
 4  x  x2  x
в) lim 
;

x  0 4  3 x 
5 x 2  x  3 6x 2  x
x4 x
sin( 3x 2  3x)
г) lim
.
x0
6x
2
x 5
sin 7 x
.
2 x  5x2
б) lim
x 
5x
x 4  2x3  x 2
;
arcsin( x  x 2 )
г) lim
.
x0
 5x
35
;
3x  2 x  8
x 2  32  x 2  62 ;
; б) lim
x 
9x  2x  2
x 4  3  x 4  6x3
2
20 а)
в)
lim
x 
3
x 2 3
x  13  x 8

lim 

x   x  5 
sin( 5 x 2  2 x)
.
x
x 0
г) lim
;
2 x  9 x  12
x3  9x 2  x3  x 2
21 а) lim
; б) lim
;
x 
x3
x  5 x  25
2
x 
2
 6  3x  x 
в) lim 
 ;
 x  2x 
2
x 
3x
arctg ( x 2  x)
.
x0
4x
г) lim
2
22а) lim
12 n 3  8n  10
n 
3n 2  2n  1
 2x  1 
в) lim 

x 1 x  2


x 2 10 x  7
x 1
б) lim
;
x 
г) lim
;
x  144
23а) lim
;
x  12
x 0
2
б) lim
x 
x 1 2
 2x  4  x
в) lim 
x 3
 x2
2




4
x 3

3x  4  3x  1 ;
arctg (  x )
.
4x  x2
3  2 x  8x 2
x2  x4  x2
tg (3x 2  x)
г) lim
.
x0
4x
;
36
;
24 а) lim
x 
x  2x  8 ;
x  10 x  24
2
б) lim
x 
3
 x 1

в) lim 
x  1 x  3 


2
x 2 3
x 1
;
г) lim
x0


3x  5  3x  2 ;
tg 3 x
.
4x2  2x


3x 2  8 x  12
25 а) lim
; б) lim x 2  x  x 2  5 x ;
n   x 2  x  47
x 
3 x 1
 2  x  x2
в) lim  2  ;
x 2
 x 
2x
.
x0 arcsin( 3 x 2  x)
г) lim
Задание 7. Найти производные данных функций:
1
в) y  sin 3 
2
б) y  ln( x  3);
а) y  3x 2  x ;
1 sin 2 3x
;
3 cos 6x
3
б) y  sin( 2x  1);
a) y  2 x  1 ;
в) y  cos ln 2 
a) y 
г) y  x sin x .
1 cos2 3x
;
3 sin 6x
1
;
x3
г) y  x 2 x 5 x ;
б) y  3 sin 2x;
37
1
3
в) y  tg lg 
4
1 sin 2 4 x
;
4 cos 8 x
x 1
;
x
a) y 
в) y  ctg3 5 
5
1 cos2 4x
;
8 sin 8x
a) y  3x 2  1;
7
ctgx
б) y  cos(2x  1);
1
eх
г) y  (sin x ) .
б) y  3 sin 5x;
sin cos 3  cos2 2x
;
4 sin 4x
a) y  x 2  9x  2;
2
в) y  cos ln 7  sin 7x ;
7 cos14 x
8
a) y 
1
;
x3
.
г) y  x e .
a) y  2x 3  x  3;
в) y 
cos x
б) y  5 cos 2x;
cos sin 5  sin 2 2x
в) y 
;
2 cos 4x
6
г) y  x e
г) y  x 3 2 x.
x
б) y  2 cos 3x;
г) y  ( x 2  1) cos x .
б) y  ln 5x;
38
в) y  cos ctg2 
9
a) y 
a) y 
г) y  (sin х) 2 .
4
;
x 1
б) y  3 sin 5x;
в) y  ctg cos 2 
10
5x
1 cos2 8x
;
16 sin 16 x
1 sin 2 6x
;
6 cos12 x
г) y  ( x 4  5) ctgx .
x 1
;
x3
б) y  x 2  5x  10;
2
в) y  3 ctg2  1 cos 10 x ;
г) y  ( x 3  4) tgx .
20 sin 20 x
11
a) y 
1
( x  1) 3
б) y  sin( 3x  1);
;
2
1
1 1 sin 10 x
в) y  costg 
;
3
2 10 cos 20 x
12
a) y 
1
x2
г) y  ( x 2  1) shx .
б) y  3 sin( 5x  1);
;
2
1 1 cos 12 x
;
в) y  ln sin 
2 24 sin 24 x
13
a) y  x 3  5x;
г) y  x sin x .
б) y  cos(2x  3);
39
3
в) y  8 sin ctg3 
14
a) y  5x 2  x  1;
в)
15
16
17
18
 sin 2 5x
;
5 cos10 x
г) y  ( x 8  1) thx .
б) y  5 cos 3x;
cos ctg 3  cos 2 14 x
y
;
28 sin 28x
г) y  (cos 2 x)
ln(
cos 2 x
)
4
б) y  10 ln 2x;
a) y  4x  5;
1
cos tg ( )  sin 2 15 x
3
в) y 
;
15 cos 30 x
г) y  (5  2 x)
a) y  x 2  2x  7;
б) y  2 cos 4 x,
в) y 
sin tg7  cos2 16 x
;
32 sin 32 x
a) y 
x
;
x 1
в) y 
ctg sin 3  sin 2 17 x
;
17 cos 34 x
a) y 
1
;
x2
ch
г) y  ( x sin x )
x
2
x sin x
б) y  ln( 3x  1);
x
г) y  (cos 5x) e .
б) y  2 ln 7x;
40
.
.
.
в) y 
19
a) y 
a) y 
в)
21
23
б) y  5 cos 3x;
tg ln 2  sin 19 x
;
19 cos38 x
2
x2
;
x
y  ctg cos 5 
y  tg 4 
1 cos 2 20 x
;
40 sin 40 x
г) y  (
x
2
sin 2 21x
;
21cos 42 x
в)
y  cos ln 13 
a)
y
в)
y  ctg
г) y  (ln( 3  5x)) 3 x
б) y  ln( 5x  1);
1 cos 2 22 x
;
44 sin 44 x
г) y  (sin( 1  2 x)) ln x .
б) y  5 sin x ;
1
;
3x  2
3
2  3x arcsin x
)
.
4
б) y  cos ;
a) y  x 3  2x  3;
1
г) y  (ctg3x) 2 x .
б) y  2 sin 5x;
a) y  3x 2  x  1;
в)
22
36 sin 36 x
1
г) y  (tg ) ln(3 2 x ) .
x
;
5
;
x4
в) y 
20
ctg2  cos 2 18 x
5
2

1 cos 2 24 x
;
48 sin 48 x
г) y  (arcsin( 3  x)) 4 x
41
24 a) y 
1
x3
б) y  5 ln( 3x  2);
;
2
в) y  sin ln 1  sin 25x ;
2
г) y  (sin
25 cos 50 x
x
2
25 a) y  5x  2;
в)
б) y  2 cos ;
cos 2 28 x
;
56 sin 56 x
y  sin 3 tg 2 
Задание 8. Найти
Вычислить значение
dy
dx
dy
dx
и
г) y  (arctgx ) ln(arctgx ) .
d2y
dx 2
для заданных функций.
в точке t 0 .
Варианты заданий
1
t
x  cos 2 ;
2
x ) ln sin x .
y  t  sin t;
t0  .
x  t 3  8t ;
y  t 5  2 t;
t 0  1.
3
x  t  sin t;
y  1  cos t;
t0  .
4
x  e 2t ;
y  cos t;
t 0  0.
5
x  3 cos t;
y  4 sin 2 t;
t 0   2.
6
x  3 cos 2 t;
y  2 sin 3 t;
t 0   4.
42
7
x  3t  t 3 ;
y  3t 2 ;
t 0  2.
8
x  2t  t 3 ;
y  2t 2 ;
t 0  1.
9
x  t  ln cos t; y  t  ln sin t; t 0   3 .
10
x  ln t;
11
x  1  cos t;
y  sin 2 t;
t 0   4.
12
x  ctg2e t ;
y  ln tge t ;
t 0  0.
13
t
x  arctg ;
2
y  e t  1;
t 0  0.
14
x  a (t  sin t ); y  a (1  cos t ); t 0   .
x
15
16
2t  t 2
1 t3
y
y
;
17
2t  t 2
1 t3
t 0  1.
;
t 0  1.
t0   .
4
y  sin t;
x  3 cos t;
x  arcsin
1
1
(t  );
2
t
t
1 t2
; y  arccos
1
1 t2
18
x  sin t;
y  cos 2t;
t0   .
6
19
x  t 3  1;
y  t2;
t 0  1.
20
x  sin t;
y  et ;
t 0  0.
21
x  2 sin 2 t  sin 2t; y  sin t;
43
;
t 0  0.
t 0  0.
y  t 2  t  1;
t 0  1.
22
x  t 3  1;
23
x 1 t2;
24
x  ln(1  t 2 ); y  t  arctgt; t 0  1.
25
x
1 t2
2
t 1
;
y  t  t3;
y
t
2
t 1
t 0  1.
t 0  2.
;
Задание 9. Приложение дифференцирования.
Записать уравнения касательной и нормали к линии
заданной уравнением y = f(x) в точке х0. Построить графики
функции, касательной и нормали.
Варианты заданий
1
y
3x  4
, x0  1 .
3 x
3
y
2x 1
, x0  1 .
2 x
2 y
3x  2
, x0  1 .
3 x
4 y
3x  4
, x0  0 .
3 x
5 y
x4
, x0  1 .
1 x
6 y
3x  1
, x0  0 .
2 x
7 y
x4
, x0  1 .
3 x
8 y
2x  4
, x0  0 .
1 x
44
y
x2
, x0  1 .
x5
10 y 
3x  4
, x0  1 .
3 x
11 y 
x3
, x0  1 .
2 x
12 y 
3x  2
, x0  1 .
3 x
13 y 
2x 1
, x0  1 .
2 x
14 y 
x4
, x0  0 .
5 x
15 y 
x4
, x0  1 .
1 x
17 y 
x4
, x0  1 .
7x
18 y 
8x  2
, x0  1 .
6 x
19 y 
2x  5
, x0  1 .
6 x
20 y 
2x  4
, x0  0 .
4 x
21 y 
2x  4
, x0  1. .
1 x
22 y 
3x  5
, x0  0 .
2 x
23 y 
7x  4
, x0  1 .
3 x
24 y 
7x  2
, x0  1 .
3 x
9
16 y 
45
3x  1
, x0  0 .
2 x
25 y 
5x  1
, x0  1 .
2 x
Задание 10. Задачи прикладного характера.
Варианты заданий
1 Из круга радиуса R необходимо вырезать сектор, при
сворачивании
которого
получается
воронка
(коническая)
наибольшего объема. Найти этот объем.
2 Полотняный шатер объемом Vo имеет форму прямого
кругового конуса. Каково должно быть отношение высоты
конуса к его радиусу основания, чтобы на шатер ушло
наименьшее количество полотна?
3
На
параболе
удаленную от прямой
y x -3 .
y  x 2  2x найти
точку,
наименее
Вычислить это расстояние.
4 В каком отношении находятся наименьшая площадь
равнобедренного треугольника, описанного около круга, к
площади этого круга?
5 Найти наибольший объем конуса при заданной длине L
его образующей.
6 В полукруг вписан прямоугольник с наибольшей
площадью. В каком отношении находятся площади полукруга и
прямоугольника?
7 Из проволоки длиной L нужно сделать модель призмы,
в основании которой лежит правильный треугольник. Какова
46
должна быть сторона основания призмы, чтобы ее боковая
поверхность была наибольшей?
8 Найти наибольший объем конуса, вписанного в шар
радиуса R.
9 В каком отношении находятся наименьший объем
конуса, описанный около шара, к объему шара?
10 В каком отношении находятся наибольшая площадь
равнобедренного треугольника, вписанного в круг, к площади
этого круга?
11 В эллипс с полуосями a и b вписан прямоугольник
наибольшей площади. Найти в каком отношении находятся их
площади, если известно, что площадь ограниченная эллипсом
S=πab.
12 Требуется изготовить из жести ведро цилиндрической
формы без крышки данного объема Vo . Каковы должна быть
размеры ведра, чтобы на его изготовление ушло наименьшее
количество жести?
13
При
цилиндрическая
каких
банка
линейных
вместимости
размерах
Vo
будет
закрытая
иметь
наименьшую полную поверхность?
14 Окно имеет форму прямоугольника, завершенного
полукругом. Периметр окна равен Р. При каких размерах сторон
прямоугольника окно будет пропускать наибольшее количество
света?
47
15 Требуется изготовить открытый цилиндрический бак
объема Vo. Стоимость квадратного метра материала, идущего на
изготовление дна бака, равно р1, а стенок – р2 грн. Каковы
должны быть радиус дна и высота бака, чтобы затраты на
материал для его изготовления были наименьшими?
16 – 20 При подготовке к экзамену студент за t дней
изучает
t
tk
–ю часть курса, а забывает
α
t-ю часть. Сколько
дней нужно затратить на подготовку, чтобы была изучена
максимальная часть курса?
2
1
16.k= 2 , α 49
1
2
17. k 2 , α  121 .
18. k
1
 1 , α 25 .
1
19. k1 ,   36 .
1
20. k2 , α 18 .
21 – 25 Тело массой m0=3000 кг падает с высоты H(м) и
теряет массу(сгорает) пропорционально времени падения.
Коэффициент пропорциональности k=100кг/с. Считая, что
начальная
скорость
Vo=0,
48
ускорение
g=10м/с2,
и
пренебрегая сопротивлением воздуха, найти наибольшую
кинетическую энергию тела.
21 H=500м.
22 H=1280м.
23 H=1805м.
24 H=845м.
25 H=2000м.
Задание 11. Для функции у  f х  необходимо:
а) найти критические точки;
б) найти интервалы монотонности функции;
в) схематически построить график функции.
Варианты заданий
1 а) y  5  3 x  x 3 ;
б) y  4 х  х . .
2 а) y  x 3  6 x 2  9 x  3 ;
б) y 
2
4
x4
 8x .
4
3 а) y  ( x  1) 2 (4  x) ;
б) y   х  8 х  16. .
4 а) y  x( x  3) 2 ;
б) y  2 х  4 х . .
4
4
5 а) y  х  1  3х  1.;
3
2
2
б) y  18 x 2  8 x 3  3x 4 .
x4
 x3 .
4
6 а) y  x 2 ( x  2) 2 ;
б) y 
7 а) y  2  3x  x 3 ;
б) y  3x 4  8 x 3  6 x 2 .
8 а) y  9 x 2 (1  x) ;
б) y  1  4 x 3  3x 4 .
49
9 а) y 
1 4
x  x3 ;
4
б). y  x 3  3x 2  2
1
2
10 а) y  ( x 3  3x 2  12) ;
б) y  x 4  4 x 2  5 .
11 а) y  3x 2  x 3  4 ;
б) y  x 5  x 3  4 x  1 .
12 а) y  x 3  3x 2 ;
б) y 
13 а) y  x 3  3x 2 ;
б) y  х  4x .
14 а) y  3x 5  5 x 4 ;
б) y  x 3  3x  5 .
15 а); y  3x 4  4 x 3  1
б) y  2 x 3  6 x  3 .
1
5
5
3
x4 5 2 9
 x  .
4 2
4
4
1
5
3
16 а) y  x 5  x 4  x 3 ;
б) y   x 3  3x .
17 а) y  x (3  x ) ;
б) y  x 3  5 x 2  3x  1 .
2
18 а) y 
2
1 3
x  x 2  3x ;
3
б) y  x  4 x  4 .
4
2
2
3
1
3
19 а) y  ( x  1) 2 ( x  2) ;
б) y   x 3  2 x  1 .
20 а) y  2 x 2  x 4 ;
б) y  8 x 3  6 x .
21 а) y  x( x  3) 2 ;
б) y  x 4  8 x 2  16 .
22 а) y 
3 3
x  4x 2 ;
2
б) y 
x 4 x3

 3x 2 .
4
3
б) y  2 x  3 x  1 .
23 а) y  x 3  3x 2  2 ;
4
50
2
1
4
б) y  x  1,5 x .
24 а) y  x 3  3x ;
3
4
б) y  x  3x .
25 а) y  2  3x 2  x 3 ;
4
2
Задание 12. Исследовать методами дифференциального
исчисления функцию и, используя результаты исследования,
построить график функции.
Варианты заданй
1 а) y 
x3  4
x
2 a) y 
3 а) y 
4 а) y 
5
2
б) y  (2x  3)e -2(x 1) .
;
x 2 -x 1
;
x -1
2
x 2  2x
4x 2
3 x
12x
а) y 
9 x 2
2
б) y  (2x  3)e-2(x1) .
б) y  3ln
;
б) y  (3 - x)e x-2 .
;
б)
;
6 а) y 
x 2  3x  3
;
x 1
7 a) y 
4-x3
x2
x
1 .
x 3
y
e 2 x
2- x
б) y  ln
.
x
 1.
x 2
б) y(x2)e3x .
;
51
8 a) y 
x 2 4x 1
x 4
9 a) y 
2x 3 1
;
x2
б) y e
;
2(x 1)
.
2(x 1)
б) y 33ln
2
10 a) y  (x 1)
;
2
x
x 4
.
б) y(2x 1)e2(x1) .
x
11 а) y 
x2
(x 1) 2
12 a) y  (1 
б) y e
;
2(x  2)
1 2
) ;
x
б) yln
2
13. a) y  1223x ;
2
14 а) y  926x 3x ;
б) y 
x 2x 13
8x
;
x2 4
16 а) y  (
x 1 2
) ;
x 1
б) y e
x
(x 1)2
.
e3 x
3 x
.
x
1 .
x 1
б) y(4x)e x 3 .
4
4x
x
2
x 2
б) y  2ln
17 a) y 2x 31 ;
18 a) y
.
б) y(2x 5)e2(x 2) .
x 12
15 а) y 
2(x  2)
2(x  2)
.
2(x  2)
б) y2ln x 3 3 .
;
x
19 а) y 8(x 1)2 ;
б) y(2x 1)e2(1x) .
(x 1)
52
2
20 a) y 12x2 ;
б) y e
(x  2)
x
21 а) y
22 а) y
4
;
2
x  2x 3
4
3 2x  x 2
б) y  2ln
2
б) y e
x
3 .
x 4
x 3
x 3
x  2x 3
1
;
4
x 1
25 а) y  (
.
б) y(x 1)e2(x 2) .
;
23 а) y x 2  2x 7 ;
24 а) y 
x 2
.
б) yln xx5 1 .
б) y(2x 3)e2(x 2) .
x 2
) ;
x2
2.3 МАТРИЦЫ. ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ
Задание 13. Дана система линейных уравнений
а11 х1  а12 х2  в1;

а21 х1  а22 х2  в2 .
Необходимо:
а)
записать матрицу системы, свободных членов и
неизвестных;
б) записать систему в матричной форме;
в) вычислить определитель системы;
53
г) найти обратную матрицу системы;
д) записать решение системы в матричной форме;
е) найти собственные числа и собственные векторы
матрицы системы.
Варианты заданий
1 а11  1; а12  2; а21  4 ; а22  3; в1  5; в2  10 .
2 а11  5; а12  4; а21  2 ; а22  3; в1  9; в2  7.
3 а11  5; а12  6; а21  8; а22  7; в1  22; в2  30.
4 а11  -1; а12  -2 ; а21  -4 ; а22  -3; в1  5; в2  10.
5 а11  -2; а12  -3; а21  -5; а22  -4; в1  5; в2  10.
6 а11  7; а12  8; а21  10; а22  9; в1  -1; в2  1.
7 а11  -7; а12  -6; а21  -4; а22  -5; в1  -8; в2  -3.
8 а11 
1
1
5
3
; а12  - ; а21  - ; а22  - ; в1  2; в2  1 .
2
2
2
2
9 а11 
1
3
7
5
; а12 
; а21  ; а22  ; в1  4; в2  12 .
2
2
2
2
10 а11  -3; а12  -4; а21  -7; а22  -5; в1  1; в2  -2 .
11 а11  4; а12  5; а21  7; а22  6; в1  13; в2  20.
12. а11 
5
7
11
9
; а12 
; а21 
; а22  ; в1  -6; в2  -10.
2
2
2
2
13 а11  -4; а12  -5; а21  -7; а22  -6; в1  -18; в2  -26 .
54
14 а11  8; а12  7; а21  5; а22  6; в1  15; в2  11.
15 а11  9; а12  8; а21  6; а22  7; в1  1; в2  -1.
16 а11  8; а12  9; а21  11; а22  10; в1  -10; в2  -12.
17 а11  10; а12  9; а21  7; а22  8; в1  39; в2  29.
18 а11  10; а12  11; а21  13; а22  12; в1  -1; в2  1.
19 а11  -9; а12  -10; а21  -12; а22  -11; в1  -8; в2  13.
20 а11 
9
7
3
5
; а12 
; а21  ; а22  ; в1  16; в2  8 .
2
2
2
2
21 а11  
11
15
13
9
; а12  
; а21  
; а22   ; в1  5;
2
2
2
2
в2  7.
22 а11  11; а12  12; а21  14; а22  13; в1  5; в2  20
1
.
2
23 а11  -11; а12  -10; а21  -8; а22  -9; в1  -32; в2  -25.
24 а11  12; а12  11; а21  9; а22  10; в1  1; в2  -1.
25 а11  -12; а12  -13; а21  -15; а22  -14; в1  4; в2  13.
Задание 14. Найти производную функции U x, y, z  в
точке М по направлению вектора
55
a.

U  x2  y2  z2
1

3/ 2

2 a  2i  j  k ;
a  i  j  k;
M 1.1.1.
M 2.1.1.

U  x 2 y  xy  z 2 ;
3
a  2i  2k ;
M 1.5.  2.
4 a  z i  3 j  2k ;
M 0.1.1.

a  8i  4 j  8k ;
M 1.1.0 .
6
9
U
2
x
yz

;
y
x y
10 a  2i  k ;
M 4.1.  2 .
a  j  k;
M 1.  3.4.
U  xy  9  z 2 ;
11
M 1.3.2.
8 a  5i  6 j  2 5 k ;
M 1.1.2 .
U x  y z ;
2
a  i  2 j  2k ;
U  x 2 y 2 z 2  ln  z  1;
a  4i  3 j;
M  2 . 3 2 .3.
3

U  ln 3  x 2  xy 2 z;
U  sin  x  2 y   xyz ;
7

U  y ln 1  x 2  arctgz;
U  xln y  arctgz ;
5

U  x  ln z 2  y 2 ;
;
U  2 x  y  yarctgz;
12 a  4i  3k ;
M 3.  2.1.
a  2i  2 j  k ;
M 1.2.  1.
56
U  xy 

x
;
y

U  ln x  y 2  z 2 ;
13 a  5i  j  k ;
a  2i  j  k ;
M 1.  3.4.
14
M  4.3.  1.
Задание 15. Найти угол между градиентами функций
U x, y, z  и V x, y, z  в точке М.
Варианты заданий
1V
x3
 6 y 3  3 6z 3;
2
2V
4 6
6 3

 ;
x
9y z
3 V  9 2x3 
y3

5V
4z 3
;
3
x
 6 y 3  3 6z 3;
2
y2
x2
U
3
3 4
1
 
;
x y
6z
6 V  3 2x 2 
yz 2
 3 2z 2 ;
7 V  6 6x3  6 6 y 3  2z 3 ;
6
6
2

 ;
2 x 2 y 3z
z3
xy 2
z
U
3 2
;
;
x y
U
x2
yz 2
U
2
8V

1 1 
M  2 ,
,
 .
2 3

;
U  x 2 yz 3 ;
2 2
4 V
U
U
U
57
xy 2
;
xz 2
;
y
yz 2
;
x
1
3
.
M  ,2,

3
2



1 
.
M 1,2,
6


1 1 
.
M  2 ,
,
2 3

;
z2
 1 3
.
M  2, ,

 3 2
1
2 
M  ,2,
.
3
3


 1 1 
M 
,
,1.
 6 6 
 1 1 1 
.
M 
,
,
 2 2 3
9 V  3 2x 2 
y2
 3 2z 2 ;
U
xy 2
2
10 V 
z
3 4
1
 
;
x y
6z
11 V  
4 2
2
1


;
x
9y
3z
U
3
1
;
2
x yz
U  xyz;
2 3
6


;
x 2 y 4z
14 V  2 x 2 
1
2 
M  ,2,
.
3 
3
;
x3 y 2
;
z
U
12 V  x 2  9 y 2  6 z 2 ;
13 V 
2
U
y3
x2z
;
y 2  6 2 z 2 ; U  xy 2 z;
2
15 V  x 2  y 2  3z 2 ;
U
16 V  x 2  9 y 2  6 z 2 ;
yz 2
;
x
U
1
;
xyz

M 1,2,

 1
M  2, ,
 3
1 
.
6
1 
.
6
 1 1 
.
M 1, ,
 3 6
 2 3 1
M 
,
, .
3
2
2

 2 1 
.
M 1, ,
 3 6
 1 1 1 
.
M 
,
,
 2 2 3
 1 1 
.
M 1, ,
 3 6
Задание 16. Найти наибольшее и наименьшее значение
функции Z  Z x, y  в области D. ограниченной заданными
линиями.
Варианты заданий
1 Z  3x  y  xz,
2 Z  xy  z  2 y,
D : y  x, y  4, x  0
D : x  3, y  x, y  0.
3 Z  x 2  2 xy  4 x  8 y,
D : x  0, x  1, y  0, y  2.
4 Z  5 x 2  3xy  y 2 ,
D : x  0, x  1, y  0, y  1.
5 Z  x  2 xy  y  4 x,
D : x  y  1  0, x  3, y  0.
2
2
58
6 Z  x 2  y 2  2 x  2 y  8,
D : x  0, y  0, x  y  1  0.
7 Z  2 x  xy  y ,
D : x  0, x  1, y  0, y  6.
8 Z  3x  6 y  x 2  xy  y 2 ,
D : x  0, x  1, y  0, y  1.
9 Z  x  2 y  xy  6 x  1,
D : x  0, y  0, x  y  3.
10 Z  Z  x 2  2 xy  10,
11 Z  xy  2 x  y,
D : y  0, y  x 2  4.
D : x  0, x  3, y  0, y  4.
3
2
2
2
2
1 2
x  xy,
D : y  8, y  2 x 2 .
2
13 Z  3x 2  3 y 2  2 x  2 y  2, D : x  0, y  0, x  y  1.
12 Z 
15 Z  x 2  2 xy  y 2  4 x  1,
9 2
x , y  0.
4
D : x  3, y  0, x  y  1.
2
2
16 Z  2 x  3 y  6 x,
D : x  y  0; x  2; y  0.
2
2
17 Z  xy  2 x  2 y  6,
D : x  2; x  2; x  y  2.
1 2
x  y 2  4 xy  3,
2
2 1 2
19 Z  2 x  3xy  x  y ,
2
D : x  0; y  2; x  y.
2
20 Z  x  x  3 y  4,
D : x  y  1; x  1; y  0.
2
21 Z  3x  4 y  2 y  6,
D : x  y  1; y  2; x  1.
2
2
22 Z  2 x  3 y  x  3 y  2,
D : x  y  2; y  2; x  2.
D: y  9
14 Z  2 x 2  3 y 2  1,
18 Z 
2
23 Z  6  x  4 x 
D : x  y  1; y  0; x  2.
1
y  y,
2
D : y  1; x  y  2; x  1.
2
2
24 Z  4  x  y  2 x  3 y ,
D : y  2; x  y  1; x  3.
D : y  3; x  3; x  y.
2
2
25 Z  3 x  5 y  6 x  4 xy ,
59
2
26 Z  5 x 
1 2
y  5 xy  4 y,
2
D : y  3; x  2; x  2 y  2.
Задание 17. Для функции двух переменных необходимо:
а) найти критические точки;
 , Z yy
 , Z xy
 ;
б) найти Z xx
 Z yy
  Z xy
 2 ;
в) вычислить D  Z xx
г) найти экстремальные значения функции.
Варианты заданий
2 Z  x 3  8 y 3  6 xy  5.
1 Z  y x  2 y 2  x  14 y.
3 Z  1  15x  2 x 2  xy  2 y 2 .
4 Z  1  6 x  x 2  xy  y 2 .
5 Z  x 3  y 2  6 xy  39 x  18 y.
7 Z  3x 3  3 y 3  9 xy  10.
6 Z  2 x 3  2 y 3  6 xy  5.
8 Z  x 2  xy  y 2  x  y  1.
9 Z  4x  y   x 2  y 2 .
10 Z  xy6  x  y .
11 Z  x 3  8 y 3  6 xy  1.
12 Z  y x  y 2  x  6 y.
13 Z  x 2  xy  y 2  2 x  y.
14 Z  x 3  y 3  3xy.
15 Z  x 2  3 y 2  4 x  8 y  2 xy  6 .
16 Z  3x  x 2 3xy  4 y 2  4 y  3 .
17 Z  x 2  6 x  y 2  12 y  4 xy  2 .
2
2
18 Z  6 x  5 x  4 xy  y  2 y  4 .
19 Z  8 y  y 2  5 x  3x 2  4 xy  6 .
60
20 Z  5 y 2  8 y  3 x 2  6 xy  25 .
21 Z  4 y 2  8 y  3x 2  4 x  4 xy  9 .
2
2
22 Z  5 y  6 y  3x  4 x  5 xy  7 .
23 Z  4 x 2  6 x  2 y 2  2 y  2 xy  5 .
2
2
24 Z  3x  5 x  2 y  10 y  7 xy  6 .
25 Z  7 x  4 x 2  3 y  2 y 2  xy  8 .
26 Z  2 x 2  8 x  3 y 2  10 y  4 xy  2 .
Задание 18. Для функции двух переменных z  f x; y 
а) найти область определения функции;
б) найти
zx и z y ;
в) записать уравнение касательной плоскости и нормали
к поверхности z  f x; y  в точке М 0 .
Варианты заданий
1 z  16  4 x 2  y 2 , M 0 (1, 3,3) .
2 z  6  x 2  y 2 , M 0 (1,1,2) .
3 z  16  4 x 2  y 2 , M 0 ( 3 ,0,3) .
4z 
10  4 x 2  2 y 2 , M 0 (1,1,3) .
5 z  12  2 x 2  y 2 , M 0 (1,1,3) .
6 z  12  x 2  2 y 2 , M 0 (1,1,3) .
7 z  18  x 2  y 2 , M 0 (1,1,4) .
61
8 z  18  4 x 2  y 2 , M 0 (2,1,1) .
9 z  16  4 x 2  y 2 , M 0 (1, 3 ,3) .
10 z  6  x 2  y 2 , M 0 (1,1,2) .
11 z  12  2 x 2  y 2 , M 0 (1,1,3) .
12 z  25  x 2  y 2 , M 0 (4,0,3) .
13 z  25  4 x 2  y 2 , M 0 (1,0,3) .
14 z  30  2 x 2  y 2 , M 0 (1, 3 ,5) .
15 z  16  4 x 2  y 2 , M 0 (1, 3 ,3) .
16 z  6  x 2  y 2 , M 0 (1,1,2) .
17 z  16  4 x 2  y 2 , M 0 ( 3 ,0,3) .
18 z  10  4 x 2  2 y 2 , M 0 (1,1,2) .
19 z  12  2 x 2  y 2 , M 0 (1,1,3) .
20 z  12  x 2  2 y 2 , M 0 (1,1,3) .
21 z  18  x 2  y 2 , M 0 (1,1,4) .
22 z  18  4 x 2  y 2 , M 0 (2,1,1) .
23 z  25  x 2  y 2 , M 0 (4,0,3) .
24 z  25  4 x 2  y 2 , M 0 (1,0,3) .
25 z  30  2 x 2  y 2 , M 0 (1, 3 ,5) .
3 РЕКОМЕНДАЦИИ СОСТАВЛЕНИЯ ТЕСТОВ
62
3.1 АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
Тест 1
1 Даны уравнения прямых: l1: 2x – y = 6; l2: 4x + 8y = –8.
Построить их и найти точку пересечения.
2 Даны координаты вершин треугольника А 1 (3,1), А 2 (5,-2),
А 3 (9,7). Найти длину стороны А1 А2 .
3 Определить тип кривой и построить её: 3х 2  2 у  6  0 .
4 Даны координаты вершин треугольника: А1 (6, 4, 2), А2 (10, -1,
-3), А3 (12, -2, -3). Найти вектор А1 А2 и уравнение прямой А1 А2 .
5 Даны координаты вершин пирамиды: А1 (6, 4, 2), А2 (10, -1, -3),
А3 (12, -2, -3), А4 (-8, 8, -2). Найти ее объем.
Тест 2
1 Даны уравнения прямых: l1: 2x – y = 6; l2: x + 2y = –2.
Построить их и доказать аналитически перпендикулярность.
2 Даны координаты вершин треугольника А 1 (3,1),
А 2 (5,-2),
А 3 (9,7). Найти уравнение прямой А2 А3 .
2
2
3 Определить тип кривой и построить её: 4 х  9 у  36 .
4 Даны координаты вершин треугольника: А1 (6, 4, 2), А2 (10, -1,
-3), А3 (12, -2, -3). Найти угол при вершине А1 .
63
5 Найти расстояние от точки
M 0 2, 0, 4  до плоскости
2 x  2 y  z  14  0 .
Тест 3
1 Даны уравнения прямых: l1: 2x – y = 6; l2: 3x + 2y = 9.
Построить прямую l1 и найти точки пересечения прямых l1 и l2 с
координатными осями.
2 Даны координаты вершин треугольника: А 1 (3,1), А 2 (5,-2),
А 3 (9,7). Найти угол при вершине А 1 .
2
2
3 Определить тип кривой и построить её: 4 х  9 у  36 .
4 Даны координаты вершин треугольника: А1 (6, 4, 2), А2 (10, -1,
-3), А3 (12, -2, -3). Написать уравнение плоскости которой он
принадлежит.
5 Написать уравнение прямой через точку M 0 2, 0, 4 
перпендикулярно плоскости 2 x  2 y  z  14  0 .
Тест 4
1 Даны уравнения прямых: l1: 2x – y = 6; l2: -4x +2y = 9. Найти
точку пересечения прямых и доказать их перпендикулярность.
2 Даны координаты вершин треугольника: А 1 (3,1), А 2 (5,-2),
А 3 (9,7). Найти уравнение медианы, проведенной из вершины
А1 .
64
2
2
3 Определить тип кривой и построить её: 4 х  9 у  36 .
4 Даны координаты вершин треугольника: А1 (6, 4, 2), А2 (10, -1,
-3), А3 (12, -2, -3). Написать уравнение плоскости, которой он
принадлежит.
5 Написать уравнение прямой через точку M 0 2, 0, 4 
перпендикулярно плоскости 2 x  2 y  z  14  0 .
Тест 5
1 Даны точки: А 1 (3,1), А 2 (5,-2). Найти A2 A1 и A2 A1 .
2 Даны координаты вершин треугольника: А 1 (3,1), А 2 (5,-2),
А 3 (9,7). Найти уравнение высоты проведенной из вершины А 1 .
2
2
3 Определить тип кривой и построить её: 4 х  4 у  16 .
4. Даны координаты вершин треугольника: А1 (6, 4, 2), А2 (10, -1,
-3),
А3 (12, -2, -3).
Написать уравнение плоскости которой он
принадлежит.
5 Написать уравнение прямой через точку M 0 2, 0, 4 
перпендикулярно плоскости 2 x  2 y  z  14  0 .
65
3.2 ПРЕДЕЛЫ. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ И
ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ
Тест 6
1 Найти предел lim
n
3n 2  4n  6
5  6n  7 n 2
.
2 Вычислить производную функции y  x 2  4 x  cos 3x  5 .
3. Написать уравнение касательной к графику функции
y
4  3x
в точке x 0  2 .
x 1
4 Найти интервалы монотонности функции y  x 2 ( x  2) 2 .
5 Сумма двух положительных чисел a  b  10 . Найти
наибольшую величину их произведения.
Тест 7
arctg ( x 2  x)
.
x0
4x
1 Найти предел lim
2 Вычислить производную функции y  x  cos 4 x .
3 Написать уравнение нормали к графику функции
y
4  3x
в точке x 0  1 .
x
66
4 Найти точки экстремума y  x 2 ( x  2) 2 .
3
5 Точка движется по закону S  t 2  3t  3 . Найти момент
4
времени t, когда скорость равна нулю и S - путь,
пройденный точкой к этому времени.
Тест 8
x 2 3
x  13  x 8


x   x  5 
1 Найти предел lim 
.
dy
2 Вычислить dx в точке t 0 .
x  e 2t , y  cost, t 0  0 .
3
2
3 Найти под каким углом кривая y  x 2  x пересекает ось
ОХ в точке x 0  1 .
4 Найти критические точки y  x 2 ( x  2) 2 .
67
3
5 Точка движется по закону S  t 2  3t  3 . Найти путь,
4
пройденный точкой к моменту остановки.
Тест 9
x 2  144
.
n 12 x  12
1 Найти предел lim
dy
2 Вычислить dx в точке x 0 .
y  cos 2 x , x 0   .
3 Найти тангенс угла наклона касательной графика
функции y  x 2 
3
x в точке x0  3 .
2
4. Найти точки перегиба
y  x 4  8 x 2  16.
3
5 Точка движется по закону S  t 2  3t  3 . Найти её
4
ускорение.
68
1 Найти предел lim
x 

Тест 10

3x  5  3x  2 .
2 Вычислить производную:
f ( x)  cos( 2 x  1) .
3 Составить уравнение касательной к графику функции в
точке t 0 .
x  3t , y  6t  t 2 , t 0  2 .
4 Найти интервалы выпуклости и вогнутости y 
1 4
x  x3 .
4
t
5 Задана скорость движения точки V  t  e . Найти её
ускорение.
3.3 МАТРИЦЫ. ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ
Тест 11
1 Дана система линейных уравнений
69
 х  2 y  3;

 2 х  y  1.
Записать матрицу системы, свободных членов и
неизвестных.
 2 0  4


2 Для матрицы A   1 3  2  найти M 12 , A12.
0  6 0 


3 Для функции двух переменных z  49  x 2  y 2 найти
область определения функции.
2
2
4 Для функции двух переменных z  x  y  6 x  9 y  xy  5
найти критические точки.


5 Вычислить grad U : U  ln 3  x 2  xy 2 z.
Тест 12
1 Дана система линейных уравнений
Записать систему в матричной форме.
70
 х  2 y  3;

 2 х  y  1.
 2 0  4


2 Для матрицы A   1 3  2  найти M 22 , A22.
0  6 0 


3 Для функции двух переменных z  49  x 2  y 2 найти
zx .
4 Для функции двух переменных z  x 2  y 2  6 x  9 y  xy  5
 .
найти Z xx
5 Вычислить grad U в точке M 0 :


U  ln 3  x 2  xy 2 z ,
M 0 1.3.2
Тест 13
1 Дана система линейных уравнений
 х  2 y  3;

 2 х  y  1.
Найти решение системы.
 2 0  4


2 Для матрицы A   1 3  2  вычислить определитель.
0  6 0 


3 Для функции двух переменных z  49  x 2  y 2 найти zx
в точке M 0 1, 6 .
71
4 Для функции двух переменных z  x 2  y 2  6 x  9 y  xy  5
 .
найти Z yy
5 Вычислить grad U в точке M 0 .


U  ln 3  x 2  xy 2 z ,
M 0 1.3.2
Тест 14
1 Дана система линейных уравнений
 х  2 y  3;

 2 х  y  1.
Найти обратную матрицу системы.
 2
3
 0 2
 найти 2 A  B.
 и B  
2 Для матриц A  
4 1
  1 4
2
2
3 Для функции двух переменных z  49  x  y найти
z y .
2
2
4 Для функции двух переменных z  x  y  6 x  9 y  xy  5.

найти Z xy
5. Вычислить grad U в точке M 0 :


U  ln 3  x 2  xy 2 z ,
M 0 1.3.2 .
Тест 15
72
1 Дана система линейных уравнений
 х  2 y  3;

 2 х  y  1.
Записать решение системы в матричной форме.
 0 2
 2 3
 . Найти A  B.
 и B  
2 Для матриц A  
4 1
  1 4
3 Для функции двух переменных z  49  x 2  y 2 найти
z y в точке M 0 1, 6 .
4 Для функции двух переменных z  x 2  y 2  6 x  9 y  xy  5
 
 Z yy
  Z xy
 2
вычислить D  Z xx
5 Найти наибольшее и наименьшее значение функции
Z  3 x  y  xz в области D : y  x, y  4, x  0 .
73
Литература
1 Я. С. Бугров, С. М. Никольский. Высшая математика.
Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии. – М.
Наука, 1980. –
с,
2 Я. С. Бугров, С. М. Никольский. Высшая математика.
Дифференциальное и интегральное исчисление. – М.: Наука,
1988. - с.
3 Я. С. Бугров, С. М. Никольский. Высшая математика.
Дифференциальные уравнения. Кратные интегралы. Ряды.
Функции комплексного переменного. – М.: Наука, 1989. - с.
4 П.Е. Данко, А. Г Попов, Т. Я. Кожевникова. Высшая
математика в упражнениях и задачах. – М.: Высшая школа,
1980.- Ч. I, II.
5 Ефимов Н.В. Краткий курс аналитической геометрии. –
М .;ФН, 1963. - с.
6 Пискунов М. С. Дифференциальное и интегральное
исчисления. – М.: Наука, 1970-1985. - т. 1, 2.
7 Привалов
И.И.
Аналитическая
Наука,1964. – с.
74
геометрия.–М.:
СОДЕРЖАНИЕ
1 Методические рекомендации по разделам 1-го
триместра.
3
1.1 Аналитическая геометрия.
3
1.2 Пределы. Дифференциальное исчисление функции
одной переменной и его приложения.
8
1.3 Матрицы. Функции нескольких переменных.
Квадратичные формы.
16
2 Задания для контрольных работ и тестирования по
разделам курса высшей математики.
22
2.1 Аналитическая геометрия.
22
2.2 Пределы. Дифференциальное исчисление и его
приложения.
31
2.3 Матрицы. Функции многих переменных.
53
3 Рекомендации составления тестов.
63
3.1 Аналитическая геометрия.
63
3.2 Пределы. Дифференциальное исчисление функции
одной переменной и его приложения.
66
3.3 Матрицы. Функции нескольких переменных.
70
75
НАВЧАЛЬНЕ ВИДАННЯ
Обухов Анатолій Миколайович,
Колесников Сергій Олексійович,
Горшунов Борис Миколайович
МЕТОДИЧНІ ВКАЗІВКИ,
ІНДИВІДУАЛЬНІ Й ТЕСТОВІ ЗАВДАННЯ
для студентів
інженерно-технічних спеціальностей
заочного відділення
Редактор Н.О.Хахіна
Подп. до друку
Формат 60x84/16
Папір офсетний. Ум. вид.аркуш. 4,75.
Обл.- вид.аркуш. 3,45.
Тираж 500 прим. Зам. №
Виконавець і виготівник
«Донбаська державна машинобудівна академія»
84313, м. Краматорськ, вул. Шкадінова,72.
Свідоцтво про внесення до державного реєстру
серія ДК № 1633 від 24.12.03р.
76