 

7 класс
Задание 3
1) Целые числа x и y такие, что 3x  7 y
делится на 19.
делится на 19. Доказать, что 43x  75 y
тоже
Решение. Выделим из выражения 43x  75 y максимально возможное число слагаемых вида
3x  7 y : 43x  75 y  103x  7 y   13x  5 y  103x  7 y   13x  5 y  19x  y   19x  y  
 103x  7 y   6x  14 y  19x  y   103x  7 y   23x  7 y   19x  y   83x  7 y   19x  9.
Каждое слагаемое делится на 19, значит и результат 43x  75 y делится на 19.
2) Даны два трехчлена вида ax 2  bx  c . Сумма их равна  2x  6 , а их разность равна 4x 2 .
Запишите эти трехчлены.
Решение. Так как разность трехчленов равна 4x 2 , то 2ой и 3ий члены равны между собой.
Так как сумма трехчленов равна  2x  6 , то коэффициенты, стоящие при x 2 должны быть
противоположны. Итак, 1ый член равен 2x 2 или  2x 2 , 2ой равен  x , 3ий равен 3.
Искомые трехчлены 2 x 2  x  3 и  2 x 2  x  3.
Ответ: 2 x 2  x  3 и  2 x 2  x  3.
3) Решить уравнение a 2 x  ax  2  2 .
Решение. Запишем уравнение в виде:
одновременно является и ответом:
aa  1x  2a  1.
если aa  1  0 , т.е. a  0, a  1, то x 
Решение приведем, оно
2
,
a
если a  0, то 0  x  2. Решения нет.
если a  1, то x - любое действительное число.
4) Участники математического кружка сели по два человека за каждую парту, и 9 парт
остались свободными. Если же они сядут по одному за каждую парту, то одному человеку не
хватит парты. Сколько было участников кружка?
Решение. Пусть было x участников кружка. Значит, парт было x  1. С другой стороны, их
x
x
было  9. Имеем уравнение:  9  x  1. Решая его, получим x  20.
2
2
Ответ: 20 учеников.
5) Если биссектриса угла при основании равнобедренного треугольника делит пополам
боковую сторону, то доказать, что этот треугольник – равносторонний.
Решение. Продолжим биссектрису AD так, чтобы AB = BE. Получим равнобедренный
треугольник ABE. Отсюда AD = DE, BD = DC (по условию).  BDE =  ADC (как
вертикальные). Значит, ΔADC = ΔDBE (по первому признаку). Отсюда BE = AC, но BE =
AB (по построению). Значит, AB = AC. Получим, что ΔABC - равнобедренный, что и
требовалось доказать.
1
B
E
D
2
1
A
C
2