3) a

9 класс, алгебра
Индивидуальные задания по теме «Неравенства»
Сравнение чисел
1. a > b, если разность a - b – положительное число
а < b, если разность a - b – отрицательное число
а) Какому выражению соответствует неравенство x < y:
1) x – y = - 0,0005; 2) x – y = 0,01; 3) y – x = 0,03;
4) y – x = - 7?
б) Какому выражению соответствует неравенство x > y:
1) x – y = - 0,0005; 2) x – y = 0,01; 3) y – x = 0,03; 4) y – x = - 7?
2 . a > b, если разность a - b – положительное число
а < b, если разность a - b – отрицательное число
a = b, если a – b = 0
сравни числа a u b, если
1) a – b = 3,4; 3) a- b = 0; 5) b – a = - 7,1; 7) a – b = 6; 9) b – a = 0,8;
2) a – b = - 0,9;4) b – a = 7,1; 6) a – b = - 8; 8) a – b = 0; 10) b – a = - 0,8.
Доказательство неравенств
Образец 1.
(a+2)2 > 4а
рассмотрим разность:
(a+2)2 - 4a = a2+4a+4 - 4a = a2+4
a2+4 > 0 для любого a, значит
(a+2)2 > 4а
Образец 2.
a(a - 6) < (a - 3)2
рассмотрим разность:
a(a - 6) - (a - 3)2 = a2 - 6a - a2+6a – 9 = - 9 < 0,
значит
a(a - 6) < (a - 3)2
Докажи самостоятельно:
1) (a+6)2 >12a;
2) (a+2)(a-2) > 11;
3) b(b - 4) > - 4.
Докажи самостоятельно:
1) x(x+10) < (x+5)2;
2) 14x < (x+7)2;
3) (x - 5)(x+8) < (x+5)(x - 2).
Свойства числовых неравенств
1. К обеим частям верного числового неравенства можно прибавлять одно и то же
число.
а > b,
a+3 > b+3;
a - 4 >b - 4
Сравни:
1) а - 8 и b - 8;
2) a+1,2 u b+1,2;
3) b+9 u a+9;
4) b - 0,5 u а - 0,5.
5)Известно, что a > b. Расположите в порядке возрастания числа:
a+8; b - 4; a+3; a; b - 1; b.
2. Обе части верного числового неравенства можно умножать или делить на одно и то
же положительное число.
а > b,
3a > 3b;
a:7 > b:7
сравни: 1) 6а и 6b;
2) a:0,1 u b:0,1;
3) 14b u 14a;
Сравни эти же выражения, при а < b.
4) b:5 u a:5.
3. Обе части верного числового неравенства можно умножать или делить на одно и то
же отрицательное число, поменяв при этом знак неравенства на противоположный.
а > b,
- 5a < - 5b;
a:(- 9) < b:(- 9);
-a<-b
сравни: 1) - 2a u - 2b; 2) a:(- 4,8) u b:(- 4,8); 3) - 6b u - 6a; 4) b:(-7) u a:(-7).
Сравни эти же выражения, если a < b.
4.Верные числовые неравенства одного знака можно почленно складывать.
а>b
c>d
a+c > b+d
1) верно ли, что если a > 5 u b > 7, то
3<5
7<9
10 < 14
a) a+b > 12; б) a+b > 10; в) a+b > 15?
2) сложите почленно неравенства: а) 6 > 2 u 16 > 10;
б) 0 < 8 u – 1 < 6;
в) - 1,5 > - 2,5 u 1,5 > 0,3
5. Неравенства одного знака с положительными членами можно почленно
перемножать.
а>b
c>d
a•c>b•d
3<5
7<9
21 < 45
1)Перемножьте почленно неравенства: а)16 > 14 u 2 > 1;
б)101 < 103 u 10 < 20;
в)1,4 < 1,6 u 0,01 < 0,1.
2)Верно ли что если a > 4 u b > 6,то ab > 24; ab >2 0;
ab > 22;
Если a < 7 u b < 3, то ab < 21?
6. Докажите, что если a > 8 и b > 2, то a) 3a+b > 26;
б) 5a+3b > 46.
7. Пусть a u b -
Верно ли, что:
положительные числа.
а) если a > b, то a2 > b2; б) если a2 > b2, то a > b?
Oценка суммы, разности, произведения и частного
а≤ x ≤ b
a ≤ x ≤b
а ≤ x≤ b
c≤ y ≤ d
c ≤ y ≤ d
a+c ≤ x+y ≤ b+d
a-d≤ x-y≤ b-c
a ≤ x ≤ b
c ≤ y ≤ d
c ≤ y ≤ d
ac ≤ xy ≤ bd
a:d ≤ x:y ≤ b:c
(a, b, c, d > 0)
(a, b, c, d >0)
Образец: оценить значение выражения, зная, что 8 ≤ х ≤ 15
3 ≤ у ≤ 4
8+ 3≤ х+у ≤ 15+4
8 - 4 ≤ х – у ≤ 15 - 3
11 ≤ х+у ≤ 19
4 ≤ х - у ≤ 12
8∙3 ≤ ху ≤ 15 ∙ 4
24 ≤ ху ≤ 60
Оцени значение выражения, зная, что:
9 < x <24; 1 < y < 8
а) х+ у;
б) х-у;
в) ху;
г) х:у;
д) 1/3 х+у;
е) х-2у.
8:4 ≤ х:у ≤ 15:3
2 ≤ х:у ≤ 5
Числовые промежутки
Геометрическое изображение
ₒ////////////////ₒ
а
в
.///////////////////.
а
в
ₒ ////////////////////.
а
в
. /////////////////////ₒ
а
в
ₒ /////////////////////////////
Обозначения
(а; в)
Запись с помощью
неравенств
а<x<b
[а; в]
a≤x≤b
(а; в]
a<x≤b
[а; в)
a≤x<b
[а;+∞)
x≥a
(-∞;в]
x≤b
(а;+∞)
x>a
(-∞;в)
x<b
[4;6)
4<x<6
а
///////////////////////////..
в
ₒ//////////////////////////////
а
//////////////////////////ₒ
в
Заполни таблицу правильно!
. ////////////////.
4
6
(-3;+∞)
x≤ -3
. /////////////////////////
-3
[4;6]
4<x≤6
. /////////////ₒ
4
6
(-∞;-3]
x≥ -3
///////////////////ₒ
-3
[-3;+∞)
x>-3
ₒ ///////////////////////
-3
(4;6)
4≤x<6
ₒ ///////////////////.
4
6
(4;6]
4≤x≤6
ₒ ///////////ₒ
(-∞;-3)
x<3
4
6
//////////////////////.
-3
1.Отметь на числовой прямой и запиши в виде неравенств промежутки: (-9;1), [-9;1], [-9;1), (9;1], (-∞;2], (-∞;7), (0;+∞), [0;+∞)
2. Отметь на числовой прямой и запиши в обозначениях решения неравенств: x>0; x<0; x≥8;
x≤6; -2<x<0; -2≤x<0; -2<x≤0; -2≤ x≤0.
3. Запиши в виде неравенств и с помощью обозначений промежутки, изображенные на рисунках:
. /////////////////////ₒ
ₒ ///////////////////.
-4
2
-4
2
ₒ //////////////////////ₒ
. ////////////////////.
5
9
5
9
///////////////////////////ₒ
////////////////////////////.
8
4
ₒ ///////////////////////////
.////////////////////////////
-2
-2
Решение линейных неравенств
Свойство неравенства
образец
Реши!
1. слагаемое можно
переносить
из одной части
неравенства в
другую, поменяв при
этом его знак
x+3>8
x>8-3
x>5
2. обе части
неравенства можно
умножать или делить
на одно и то же
положительное число
3. обе части
неравенства можно
умножать или делить
на одно и
то же отрицательное
число,
поменяв при этом
знак неравенства
на противоположный
3x<12
x<4;
x/3>1
x>3
-8x>24
x<-3
4.
образец
7x<3x-16
7x-3x<-16
4x<-16
x<-16:4
x<-4
Реши!
1) -5+x<4
Из данных
ответов
выбери
правильный
x<-1; x<9
1) -9+x<4
Из данных
ответов
выбери
правильный
x<-5; x<13
2) x-1>-4
x>-3; x>-5
2) x-1>-9
x>-8; x>-10
3)12+x<2
x<10; x<-10;
x<14
3)18+x<2
x<16; x<20;
x<-16
1) 3x>9
2) 4x<-8
3) 7x<21
4) x/8<1
5) x/5>2
1)-3x<9
x<3;x>-3;
x<-3
2)-x>-8
x>8; x<8
3)-3x>6
x>-2;x<-2;
x<2
4) –x/5<1 x>5;x>-5;
x<-5
5)-0,5x>-2 x>4;x<4;x<-4
выполни самостоятельно!
1) 5x<2x-18
2)8x>3x-20
3)4-12x>7-13x
4)x-9<2(3-x)
3-2x>11
-2x>11-3
-2x>8
x<8:(-2) деление на
x<-4 отрицательное число!
1) 6-4x>22
2)6x<8x-2
3)4x+19>5x-1
4)3(2-x)>4-x
1) 3x>12
2) 4x<-4
3) 7x<28
4) x/9>1
5) x/2<5
1)-3x<6
2)-x>-4
3)-2x>6
4)-x/4>1
5)-0,1x<2
x<2;x>-2;
x<-2
x>4;x<4
x>-3;x<-3;
x<3
x>4; x<4
x>20;x<-20
x>-20
выбери ответ
x>-6; x>6;
x<-6; x<6
x<-4; x>-4;
x<4; x>4
x>3; x>-3;
x>11;x>-11
x<5; x<-5; x>1; x<-1
x>4; x<4;
x>-4; x<-4
x>1; x<1;
x>-1; x<-1
x<20; x<-20;
x>2; x<-2
x>-1;x<-1; x>1;x<1