ОЛИМПИАДА РАДИОТЕХНИЧЕСКИЕ И ТЕЛЕКОММУНИКАЦИОННЫЕ СИСТЕМЫ

А
ОЛИМПИАДА РАДИОТЕХНИЧЕСКИЕ И
ТЕЛЕКОММУНИКАЦИОННЫЕ СИСТЕМЫ
Олимпиада имеет своей целью активизацию творческой активности
студентов, приобретение ими дополнительных знаний и умения решать
задачи, требующих как углубленных знаний по специальным и
общепрофессиональным дисциплинам, так и способности оригинально
мыслить и принимать нестандартные решения.
Учредителями олимпиады являются СПбГЭТУ «ЛЭТИ» им.
В.И.Ульянова (Ленина) и СПб отделение НТО РЭС им. А.С.Попова.
К участию в олимпиаде привлекаются студенты вузов,
осуществляющих подготовку специалистов по направлениям в области
радиотехники и телекоммуникаций, Северо-Западного региона России.
Координацию работы по проведению олимпиады осуществляет
организационный комитет, в состав которого входят представители вузов,
участвующих в олимпиаде.
В зависимости от особенностей организации учебного процесса в
вузах-участниках, олимпиада проводится ежегодно в одну из суббот
апреля-мая в СПбГЭТУ, который осуществляет всю организационную
работу по проведению олимпиады (предоставляет помещения для
участников олимпиады и проверки работ и т.д.), обеспечивает
организацию встреч-консультаций с представителями вузов, участвующих
в региональном туре, для обмена опытом и проведения ежегодной
корректировки направленности заданий олимпиады, учитывающих
специфику и направленность подготовки студентов;
Конкурсные задачи, предлагаемые участникам олимпиады,
формируются представителями вузов, участвующих в олимпиаде, и
обсуждаются членами организационного комитета. Выбор окончательного
варианта заданий осуществляется накануне дня проведения олимпиады с
полноправным представительством по числу задач всех вузов.
Продолжительность олимпиады – 3-4 астрономических часа без
перерыва. Проверка решений проводится сразу после окончания
олимпиады. Жюри регионального тура олимпиады (в состав которого
включаются Председатель организационного комитета и руководители
команд вузов-участников) ежегодно корректирует порядок и правила
формирования пакета заданий и подведения итогов с учетом опыта
проведения предшествующих олимпиад и руководствуясь принципами
создания одинаковых условий всем участникам конкурса и объективности
оценки результатов. Члены жюри, оценивают решения только задач,
представленных их вузом. Работы кандидатов в призеры (первые шесть
мест в личном зачете) проверяются всей конкурсной комиссией.
Победители в олимпиаде определяются как в личном, так и в
командном зачете.
Ниже приводятся примеры задач, предлагаемых участникам олимпиад
за последние 10 лет.
1. На входе фильтра с амплитудно-частотной характеристикой
1, | f | F ,
h( f )  
действует шум с корреляционной функцией
0
,
|
f
|

F

sin F0
. Построить график зависимости дисперсии на выходе
R( )   2
F0
фильтра в зависимости от полосы пропускания фильтра F.
2. Построить корреляционную функцию случайного процесса на
выходе интегрирующей RC-цепи, если на ее входе действует
стационарный случайный процесс, соседние отсчеты которого, взятые в
равноотстоящие моменты времени ti и ti+1 (ti - ti+1=1/(2Fв), Fв – верхняя
частота спектральной плотности мощности шума) имеют коэффициент
корреляции, равный -1, и каждый из них описывается плотностью
1
вероятности w( x) 
.
2
 1 x
3. Постоянная времени Т интегрирующей RC-цепи является
случайной величиной равномерно распределенной в интервале [Tmin, Tmax].
На вход цепи подается стационарный процесс с корреляционной функцией
R( )   2 exp(   ) , причем >>1/Tmin. Найти распределение дисперсии
процесса на выходе цепи.
4. Случайный процесс  t   xt  y t , где x(t) и y(t) – независимые
стационарные
процессы
с
корреляционными
функциями
sin 1
sin  2
и K y     2y
, причем  2  31 . Найти
K x     x2
1
 2
спектральную плотность мощности процесса  t  .
5. Стационарный узкополосный нормальный случайный процесс  (t )
с корреляционной функцией R ( )   2 exp( 2 ) cos(0 ) складывается
с процессом вида  (t )  A cos( 0 t   ) , где A и  - случайные величины с
совместной
плотностью
вероятности
 A
A2
exp(
), A  0,   [ ,  ],

2
w( A,  )   2 2
Процессы  (t ) и  (t )
2 A
A

0, A  0,   [ ,  ].

независимы. Найти корреляционную функцию суммарного процесса
 (t )   (t )   (t ) и плотность вероятности отсчетов его огибающей.
6. Стационарный узкополосный нормальный случайный процесс  (t )
с корреляционной функцией R ( )   2 exp( 2 ) cos(0 ) возводится в
квадрат и в одном случае складывается с процессом  (t )  A cos( 0 t   ) ,
где  - случайная величина равномерно распределенная на интервале
[ ,  ] , а во втором – перемножается с процессом  (t ) . Процессы  (t ) и
 (t )
независимы.
Найти
спектральную
плотность
мощности
результирующих процессов 1 (t )   2 (t )   (t ) и  2 (t )   2 (t ) (t ) . Какой
из них, выступая в роли помехи будет более опасен при обнаружении
сигнала вида s(t )  U exp(t 2 ) cos(30t ) ,
  3 0 ?
7. Построить зависимость максимально достижимого отношения
sin F0
сигнал-шум для сигнала s(t )  U m
и стационарной помехи с
F0
корреляционной функцией R( )   2
8. На
фильтров
sin F 
F 
от отношения F / F0 .
последовательность независимо включенных линейных
с
импульсными
характеристиками
вида
k 2
T
 , t  [0, 2 ],
k k=1,2... подается сумма нормального белого шума с
hk (t )   T
T
 0, t  [0, ],

k2
двусторонней спектральной плотностью мощности N0/2 и сигнал
s(t)=Umexp(-аt2)), где a=540/(4T2). Найти отношение сигнал-шум на

выходе. Справка: 
1
k 1 k
2

2
6
 1
4

.
4
90
k 1 k
, 
9. Найти структуру фильтра, максимизирующего отношение сигналsin F0
шум, для сигнала s(t )  U m
и помехи, представляющей собой
F0
сумму двух независимых случайных процессов с корреляционными
sin F0
sin 0,5F0
функциями R( )   2
и R( )   2
. Определить
F0
0,5F0
полученное при этом отношение сигнал-шум.
10. На вход последовательно включенных
N
фильтров
с
l 2
), l  1,2,..., N поступает
N
аддитивная смесь белого шума со спектральной плотностью мощности
коэффициентами передачи K l ( )  K 0 exp(
N 0/ 2 и сигнал s(t )  U exp(t 2 / 2) . Считая N  1 , найти отношение
сигнал-шум на выходе системы фильтров.
11. При записи выражения для импульсной характеристики
согласованного фильтра студент ошибся и написал h(t )  s(t ) . Момент
измерения отношения сигнал-шум он определил как момент окончания
сигнала s(t ) . К какому проигрышу по сравнению с правильным решением
Ut
, t  [0, T ],
это приведет для сигнала s(t )   T
Помеха белый шум со
 0, t  [0, T ] ?
спектральной плотностью мощности N 0 / 2 . Для каких сигналов эта
ошибка не приведет к проигрышу?
12. При построении фильтра, согласованного с прямоугольным
видеоимпульсом студент поменял местами знаки на входе сумматора
(минус после интегратора и плюс после линии задержки). Как изменятся
качественные показатели обнаружителя, если при правильном включении
вероятности ошибок были равны  и  . Как с помощью изменения порога
восстановить исходный результат?
13. Сигнал s (t ) и белый шум n(t) со спектральной плотностью
мощности N0/2 подаются на линейную систему (см.рис.1), где n1(t) - шум
n(t) со спектральной плотностью мощности N01/2. Найти K1 ( j ) и
K 2 ( j ) , обеспечивающие максимизацию отношения сигнал-шум на
выходе. Каким оно будет?
n2(t)
s(t)+n(t)
K1 ( j)
+
K 2 ( j )
Рис.1
N 01
проходит
2
через канал с коэффициентом передачи K ( j ) . На выходе канала к
14. Сигнал S(t) и белый шум с двусторонним СПМ
полному выходному сигналу добавляется белый шум с двусторонним


Um, t 

N
~
~

2
СПМ 01 . Считая сигнал S (t )  
, а K ( j )  S ( j ) , где S ( j )
2
0, t  

2
- спектральная плотность сигнала S (t ) , найти сигнал на выходе фильтра,
максимизирующего отношение сигнал-шум, для описанной выше модели
N
N
сигнала и помехи для двух крайних случаев: а) 01  1 , б) 01  1 .
N 02
N 02
15. Случайный процесс (t) принимает значения i в моменты времени
ti, образующие пуассоновский поток с параметром  (- среденее число
моментов ti в единицу времени) и сохраняет их неизменными до
следующего момента времени ti . i – независимые случайные величины с
нулевым средним и дисперсией 2. Найти корреляционную функцию
процесса (t). Сравнить полученный результат со случаем, когда i –
независимые случайные величины, равновероятно принимающие значения
А и –А. Объяснить результат.
100
16. Случайный процесс y(t )   xi (t ) , где xi (t ) - независимые,
i 1
стационарные
процессы,
имеющие
нулевые
средние значения и
sin 
одинаковые корреляционные функции K xi ( )   2
. Найти

спектральную плотность мощности процесса y (t ) .
17. Найти вероятность ошибки различения на фоне нормального
белого
шума
двух
равновероятных
ЛЧМ
сигналов
вида
2
2


U m cos(0t  1t , | t | T / 2,
U m cos(0t   2t , | t | T / 2,
и s2 (t )  
s1 (t )  
2
2


0
,
|
t
|

T
/
2
0
,
|
t
|

T
/2


при условиях 1T 2  1 ,  2T 2  1, 0  T и 1 /  2  2 .
2
 sin F0 
 на фоне
18. Необходимо выделить сигнал вида s(t )  U m 

F

0


белого шума, не изменив его форму. Каким должен быть фильтр? Каким
будет отношение сигнал-шум на выходе?
19. Для какого из трех, приведенных на рис.2 сигналов, имеющих
одинаковую энергию, можно обеспечить большее отношение сигнал-шум с
помощью интегрирующей RC – цепи с постоянной времени T   и на фоне
нормального белого шума со спектральной плотностью мощности N 0 / 2 .
Каким будет проигрыш по сравнению со случаем обработки сигнала
согласованным фильтром.
S1(t)
S2(t)
S3(t)
Um
Um
и
t
Um
и
t
и
Рис.2
sin 2Ft
20. Для сигнала s(t )  U m
сравнить эффективность двух
2Ft
видов помех: x1 (t ) - стационарный случайный процесс с корреляционной
функцией K ( )   2 exp(   ) ; x 2 (t ) - результат дискретизации x1 (t ) с
запоминанием значения x1 (kT ) , где T - период дискретизации, причем
T  1. Эффективность оценивается по величине отношения сигнал-шум
на выходе согласованного фильтра. Считать   10 F .
Сравнить два варианта:
1. Используется согласованный фильтр, рассчитанный на белый шум
2. Используется фильтр, максимизирующий отношение сигнал-шум
для действующей помехи x1 (t ) или x 2 (t ) .
Сравнение провести на основе качественных рассуждений.
t
U ,| t | T / 2,
21. Фильтр согласован с сигналом s(t )   m
. Каким будет
0
,
|
t
|

T
/
2

отношение сигнал-шум на выходе фильтра, если на его входе кроме белого
шума со спектральной плотностью мощности N0/2 действует
синусоидальная помеха U m sin( 0t   ) , случайная величина с
равномерной плотностью вероятности.
22. Для формирования и согласованной фильтрации ЛЧМ-сигнала
2

U cos(0t  t ), t [0, T ],
используется фильтр на ПАВ. Какие
s(t )  
N

0, t [0, T ],
будут потери, если при обработке сигнала использовать формирующий
вход, т.е. h(t )  s(t ) ? От чего будет зависеть проигрыш? Отсчет берется в
момент окончания сигнала.
23. Помеха формируется как произведение двух независимых
стационарных случайных процессов n1 (t ) и n2 (t ) , спектральные
плотности мощности приведены на рис.3. Там же показан вид амплитудночастотного спектра сигнала. Какую амплитудно-частотную характеристику
будет иметь фильтр, максимизирующий отношение сигнал-шум на
выходе?
S1(f)
-2F
│S1(f)│
S2(f)
2F
f
-F
F
f
-2F
2F
Рис.3.
24.
Для
фильтрации
сигнала
s (t )  U m
sin  c t
ct
используется
1,    ф ,
K ( j )  
0,    ф .
Помеха имеет спектральную плотность мощности, равномерную в полосе
идеальный ФНЧ с частотной характеристикой
[ п ,  п ] . Как зависит отношение сигнал-шум на выходе фильтра от его
полосы ф? Оценить потери по отношению к случаю оптимальной (по
критерию максимума отношения сигнал-шум) обработки.
25. На вход согласованного фильтра для прямоугольного импульса
длительности Т0 помимо нормального белого шума со спектральной
плотностью мощности N0/2 подается прямоугольный импульс
длительности Т. Построить зависимость отношения сигнал-шум на выходе
фильтра от параметра Т.
26. На вход фильтра, согласованного с прямоугольным
видеоимпульсом
длительности
T,
подается
сигнал
U m , t  [0,4T ),

s (t )  U m / 2, t  [4T ,10T ], в смеси с белым шумом со спектральной
0, t  [0,10T ]

плотностью мощности N0/2. Какой линейный фильтр следует включить
после указанного выше фильтра, чтобы обеспечить для сигнала s(t )
максимальное отношение сигнал-шум? Каким будет отношение сигналшум после первого и второго фильтров?
27. Помеха имеет вид x(t )  n(t ) cos2 2f 0 t , где n(t) – нормальный
случайный
процесс,
спектральная
плотность
мощности
которого
 N / 2,   ,
S n ( )   0
,   2  10 3 f 0 . Найти структуру (алгоритм
 0,   ,
работы) оптимального обнаружителя и определить вероятность ложной
тревоги и пропуска сигнала, если обнаруживаемый сигнал имеет вид
U , t  [0,3T ],
0 .
S (t )   m
 0, t  [0,3T0 ]
 4
 ak cos0t , t  [0, T ],
28. Сигнал вида s (t )  k
, где a k - независимые
1

0, t  [0, T ],

случайные величины, принимающие значения  U с вероятностью p и
 U с вероятностью q 1  p обнаруживается на фоне нормального белого
шума со спектральной плотностью мощности N 0 / 2 .
Какой будет
структура оптимального обнаружителя? Какой будет при заданной
вероятности ложной тревоги  вероятность правильного обнаружения?
При каких соотношениях между p и q
вероятность правильного
обнаружения будет максимальной?
 2 N 1
k
U  cos(0t 
  ), t  [0, T ],
29. Сигнал вида s (t )   k  0
где  N

0, t  [0, T ],

случайная величина равномерно распределенная на интервале [ ,  ] ,
обнаруживается на фоне нормального белого шума со спектральной
плотностью мощности N 0 / 2 . При установленном пороге z п вероятность
ложной тревоги равна  . Какой будет вероятность пропуска сигнала?
30.
Возможно
ли
безошибочное
обнаружение
сигнала
U ,| t | T / 2,
на фоне помехи n(t )  A sin( 0t   ) , где А и  s(t )   m
0
,
|
t
|

T
/
2

независимые случайные величины с совместной плотностью вероятности
w( A, ) 
A
A2
exp(
), A  0, [ , ] . Если да, то как это
2 2
2 2
реализовать?
31. Какому условию должен удовлетворять спектр сигнала s(t ) ,
ds(t )
на фоне
dt
нормального белого шума со спектральной плотностью мощности N 0 / 2
чтобы качественные показатели обнаружителя s(t ) и
были бы одинаковыми. Приведите пример такого сигнала.
32. Эргодический гауссовский процесс x(t) с корреляционной
функцией
K ( )   2 exp(   )
записывается
со
скоростью
v
и
воспроизводится со скоростью kv. Каким должно быть k, чтобы для
sin t
сигнала s(t )  U
создать наихудшие условия для его обнаружения?
t
33. На вход оптимального обнаружителя полностью известной
псевдослучайной последовательности (ПСП) длиной N, рассчитанного на
белый шум поступает в качестве помехи сумма большого числа (М>>1)
ПСП (каждая из которых имеет ту же длину и амплитуду что и полезная
ПСП и дает отклик согласованного фильтра со среднеквадратическим
отклонением
N ). Как следует выбрать N, чтобы при заданном М
обеспечить требуемые характеристики обнаружения сигнала.
34.
Найти
структуру
оптимального
обнаружителя
сигнала
N 1
s (t )   Ak s 0 (t  kT ) на фоне нормального белого шума со спектральной
k 0
U , t  [0, ],
плотностью мощности N 0 / 2 , если s0 (t )   m
T  10 , Ak  0, t  [0, ],
независимые случайные величины, равновероятно принимающие значения
+1 и –1. Для случая N  1 вычилить вероятности ошибок.
35. При появлении сигнал s (t ) с вероятностью 1/3 имеет задержку t0, и
с вероятностью 2/3 задержку 10t0. Априорная вероятность появления
сигнала 10-2. Найти структуру обнаружителя оптимального по критерию
минимума среднего риска, считая потери (риски) из-за ошибочных
решений одинаковыми. Обнаружение ведется на фоне нормального белого
шума со спектральной плотностью мощности N0/2.
36. Необходимо обнаружить частотно-манипулированный сигнал,
приведенный на рис.4, на фоне
T0
нормального белого шума
с
T0=T / 2N
Um
двусторонней
спектральной
плотностью мощности N 0 / 2 .
f 1 f0 f 1 f 0
f 1 f0
-Um
T
Рис.4
Определить
структуру
обнаружителя, оптимального по
критерию
максимума
правдоподобия,
считая
все
параметры сигнала (время прихода,
Um,
амплитуда
длительность
сигнала, длительность T , число элементов N ) известными, за
исключением начальных фаз посылок.
Рассмотреть два случая:
начальные фазы всех посылок случайны, независимы и равномерно
распределены на интервале [0,2 ] ;
посылки одинаковых частот имеют одинаковые начальные фазы (  0
и 1 - соответственно для частот f 0 и f1 ), которые случайны, независимы
и равномерно распределены на интервале [0,2 ] .
Как будет зависеть вероятность правильного обнаружения при
фиксированной вероятности ложной тревоги от N для обоих случаев.
Ответ обосновать.
T0  1 /( f1  f 0 ) .
Считать,
что
всегда
выполняется
условие
U ,| t | T / 2,
37. На вход оптимального обнаружителя сигнала s(t )   m
 0,| t | T / 2
на фоне белого гауссовского шума при истинности гипотезы о наличии
сигнала с вероятностью Р приходит сигнал S1(t), а с вероятностью (1-Р)
U ,| t | T / 4,
сигнал s(t )   m
. Найти выражения для вероятностей ложной
 0,| t | T / 4
тревоги и пропуска.
t

U m (1  ), t  T ,
38. Найти структуру обнаружителя сигнала s(t )  
T

0, t  T
на фоне нестационарного нормального белого шума со спектральной
 N 01 / 2, t  0,
плотностью мощности S ( , t )  
. Какой будет структура
N
/
2
,
t

0
 02
обнаружителя при N 02  ?
39. На входе обнаружителя могут присутствовать либо не зависимые
между собой отсчеты
шума,
подчиняющиеся распределению
 exp(xi ), xi  0,
w( xi )  
(гипотеза Н0), либо сумма отсчетов шума и
0
,
x

0
i

независимого с шумом случайного сигнала, отсчеты которого независимы
между собой и могут принимать с вероятностью 0,5 значения 2 и 20.
Предложить алгоритм работы обнаружителя и методику определения его
качественных показателей. Какое решение примет обнаружитель, если на
его вход поступит следующая последовательность отсчетов {17,28, 35, 1,
29, 46, 17, 6}? Ответ обосновать.
40. Сигнал s(t ) , приведенный на рисунке, обнаруживается на фоне
нестационарного нормального белого шума, спектральная плотность
мощности которого G(, t ) меняется во времени (см. рис. 5). Найти
структуру оптимального обнаружителя и при заданном значении
вероятности ложной тревоги Рлт определить вероятность правильного
обнаружения Рпр.
S(t)
Um
0
G(,t
)
и
Т
N0/2
Т+и
N0
2Т
2Т+и
t
3N0/2
t
Рис.5
41. Помеха представляет собой сумму N независимых стационарных
процессов, отсчеты которых распределены равномерно в интервале [S0
1В,1В], а спектральная плотность мощности имеет вид S ( ) 
,
1  (T ) 2
где Т- заданная величина, равная 1с, а S 0 необходимо определить. Считая
N  100, N  1 , найти структуру оптимального обнаружителя полностью
известного видеоимпульса длительностью T и имеющего амплитуду 201В.
Оценить качественные показатели (вероятности ложной тревоги и
пропуска).
42. Обнаруживаемый на фоне нормального белого шума со
спектральной плотностью мощности N 0 / 2 сигнал может равновероятно
U , t  [0, T ],
занимать одно из двух положений на временной оси: s1 (t )   m
 0, t  [0, T ]
U , t  [,   T ],
или s 2 (t )   m
Какую структуру имеет оптимальный
0
,
t

[

,


T
].

обнаружитель. Как зависит вероятность правильного обнаружения Рпр при
фиксированной вероятности ложной тревоги Рлт от величины ?
43. На оптимальный обнаружитель полностью известного
прямоугольного видеоимпульса длительности  и имеющего амплитуду
U m , спроектированного в расчете на нормальный белый шум, в качестве
N
помехи подается случайное напряжение вида x(t )   Ak cos(0t   k ) ,
k 1
где N - заданная величина ( N  100 ), Ak и  k - независимые случайные
величины,
имеющие
распределения
1
 ,   [ ,  ],
w( k )   2 k
 0,  k  [ ,  ].
Определить
A
Ak2
k

exp(
), Ak  0,
w( Ak )   2
2
2

A
 A
0
,
A
k  0,

качественные
показатели
(вероятности ложной тревоги и пропуска) процедуры обнаружения, если
0  2k .
44.
На
вход
обнаружителя
детерминированного
сигнала
4
U , t  T / 2,
a1  1, a2  1, a3  1, a4  1,
S (t )   ai S0 (t  iT ) , где S0   m
0,
t

T
/
2,
i 1

на фоне нормального белого шума подается сигнал с кодовой
последовательностью a1  1, a2  1, a3  1, a4  1. Как следует изменить
величину U m для получения тех же вероятностей ошибок, что и в штатной
ситуации. В какой момент времени следует брать отсчет с выхода
согласованного фильтра для получения наилучших качественных
показателей?
45.
Сигнал
s(t )  U m exp(t 2 )
обнаруживается
на
фоне
нормального белого шума со спектральной плотностью мощности N 0 / 2 .
Как изменится вероятность правильного обнаружения при сохранении
неизменным значения вероятности ложной тревоги, если вместо сигнала
s(t ) будет обнаруживаться s(at) ?
46. Обнаружение прямоугольного радиоимпульса амплитуды U m и
длительности
Т
осуществляется
с
помощью
устройства
оптимизированного в расчете на белый шум. Постановщик помехи
формирует асинхронный случайный мешающий сигнал ограниченной
мощности минимизирующий отношение сигнал-шум на входе порогового
устройства. Оценить эффективность помехи.
47. По проводному каналу связи передается бинарная
псевдослучайная последовательность полностью известной амплитуды
U m , содержащих М сигналов. Помеха, присутствующая в канале, суперпозиция N
N  1
колебаний, каждое из которых представляет
случайный синхронный телеграфный сигнал амплитуды U m . Найти
вероятности  и  .
48. При каких условиях, предъявляемых к спектру сигнала s(t ) ,
ds(t )
, где k - единичный коэффициент размерности [с], можно
dt
обнаружить с большей вероятностью правильного обнаружения, нежели
сигнал s(t ) . В обоих случаях используются оптимальные обнаружители;
сигнал k
обнаружение осуществляется на фоне нормального белого шума со
спектральной плотностью мощности N 0 / 2 , вероятности ложной тревоги –
одинаковые.
t

U m (1  ),
49. В сигнале вида s(t )  
T t [0, T ], амплитуда Um и

 0, t [0, T ]
2
длительность Т связаны соотношением k1U m
 k 2T 2  c 2 , где k1 и k 2 -
единичные коэффициенты, обеспечивающие единство размерностей
слагаемых, с2 – фиксированная константа. При каком соотношении между
Um и Т вероятность правильного обнаружения данного сигнала на фоне
нормального белого шума со спектральной плотностью мощности N0/2 для
заданного значения вероятности ложной тревоги будет максимальна?
50. На входе оптимального обнаружителя детерминированного
прямоугольного импульса длительности Т на фоне нормального белого
шума со спектральной плотностью мощности N0/2 помимо шумовой
составляющей присутствует помеха в виде случайного синхронного
телеграфного
сигнала
с
корреляционной
функцией
||
 2
a (1  ), |  | T0,
R()  
. Как изменятся вероятности ложной тревоги и
T0

0, |  | T0
пропуска, если а) T  T0 , б) T  T0 ?
51. Найти структуру оптимального по критерию Неймана-Пирсона
sin 4 0 t

, t  [0, T ],
U m
T  2 0 на
обнаружителя сигнала вида s(t )  
sin  0 t

0, t  [0, T ],
фоне нормального белого шума со спектральной плотностью мощности
N 0 / 2 и определить вероятность правильного обнаружения, считая
U m  5 мВ, N 0 / 2  5  10 9 Вт/Гц, Т=10-3с и вероятность ложной тревоги
  10 3 .
52. Найти алгоритм оптимального по критерию Неймана-Пирсона
обнаружения сигнала
s(t ) 
N 1
 ak s0 (t  iT ) ,
i 0
где
ak
- независимые
случайные величины, принимающие значение 1 с вероятностью pk и 0 с
U , t  [0, T0 ],
вероятностью q k , s0 (t )   m
, T  T0 на фоне нормального
 0, t  [0, T0 ]
белого шума со спектральной плотностью мощности N0/2?
53. Полезный сигнал имеет форму равнобедренного треугольника с
боковыми сторонами, равными а. При каком значении угла при основании
вероятность правильного обнаружения для заданного значения
вероятности ложной тревоги и шума со спектральной плотностью
мощности N0/2 будет максимальным.
54. При каком значении параметра  нормальный случайный
процесс с корреляционной функцией K ( )   2 exp(   ) создаст для
sin t
cos0t наихудшие условия для его обнаружения?
t
(Минимум вероятности правильного обнаружения при фиксированном
значении вероятности ложной тревоги).
55. Выходные сигналы фильтров, согласованных с s1 (t ) и s 2 (t ) ,
сигнала s(t )  U
имеющими энергии E1 и E 2 соответственно, суммируются с весовыми
коэффициентами a1 и a 2 . Полезные сигналы сфазированы так, что их
максимальные значения на выходах согласованных фильтров достигаются
в одинаковые моменты времени. Шумы на входах согласованных
фильтров независимые белые со спектральными плотностями мощности
N 01 / 2 и N 02 / 2 . Найти весовые коэффициенты, обеспечивающие
максимальное отношение сигнал-шум на выходе сумматора.
56. Как изменится ошибка различения двух равновероятных
противоположных сигналов одинаковой энергии на фоне нормального
белого шума, если от задачи чистого различения перейти к задаче
различения- обнаружения? Каким будет алгоритм работы обнаружителя-
различителя? Качественные показатели процедуры обнаружения (  и  )
считать заданными.
57. Найти структуру оптимального различителя сигналов
s1 (t )   (t )   (t ) и s 2 (t )   (t )   (t ) на фоне нормального белого шума
со спектральной плотностью мощности N 0 / 2 . Сигналы s1 (t ) и s 2 (t )
полностью известны и имеют одинаковые энергии. Вычислить
вероятности ошибок, считая, что сигналы равновероятны.
58. Финитный сигнал s(t ) имеет энергию Е. Найти максимальную
вероятность правильного различения сигналов s(t ) и s (t ) на фоне
нормального белого шума со спектральной плотностью мощности N0/2?
Найти
59.
структуру
оптимального
различителя
сигналов


U sin 4 2f 0 t , t  [0, T ],
U cos4 2f 0t , t  [0, T ],
и s 2 (t )   m
на фоне
s1 (t )   m


0, t  [0, T ]
0, t  [0, T ]


нормального белого шума со спектральной плотностью мощности N 0 / 2 и
вычислить вероятность ошибки, считая T  1 / f 0 .
60. Найти структуру оптимального по критерию максимума
правдоподобия различителя двух случайных сигналов, представляющих
собой независимые, стационарные, нормальные случайные процессы с
sin 
sin 2
корреляционными функциями K1 ( )   12
и K 2 ( )   22
,

2
причем  22  2 12 . Различение ведется на фоне нормального белого шума
со спектральной плотностью мощности N 0 / 2 , независимого с
различаемыми сигналами. Интервал наблюдения [0,T ] и T  2 / F .
61. Вычислить вероятности различения по методу максимального
правдоподобия для двуз пар сигналов, приведенных ниже, на фоне
нормального белого шума со спектральной плотностью мощности N 0 / 2

s1 и s2
 s12 и s 22 ,
cos0t , t [0, T ],
sin 0t , t [0,T ],
T  2 / 0 .
где s1  
s2  
 0, t [0, T ],
 0, t [0,T ],
62.
s 2 (t )  U m
Различение
сигналов
s1 (t )  U m
sin 2Ft
2Ft
и
sin 2F (t  )
происходит на фоне нормального белого шума со
2F (t  )
спектральной плотностью мощности N 0 / 2 . При какой величине 
достигаются наилучшие качественные показатели различения? Чему при
этом равна вероятность ошибки?
0 ,
63.
Как
выбрать
параметр
чтобы
сигналы
U sin 0t , t  [0, T ],
U cos0t , t  [0, T ],
и s 2 (t )  
различались бы
s1 (t )  
0, t  [0, T ],
0, t  [0, T ],


на фоне нормального белого шума наилучшим образом?
64.
Задача
различения
двух
равновероятных
сигналов
S1 (t )  S 0 (t ) cos  0 t и S 2 (t )   S1 (t ) на фоне нормального белого шума,
 2E

где S 0 (t )   T , t  [0, T ], решается в условиях радиопротиводействия.
 0, t  [0, T ]
Противник располагает информацией о виде сигналов, но не знает, какой
из них излучается в данный момент времени. Какое мешающее
воздействие ограниченной энергии Е будет наиболее опасным? Ответ
обосновать.
65. Решается задача различения равновероятных сигналов


S1 (t )  S 0 (t ) cos  0 t и S 2 (t )   S1 (t ) , где S 0 (t )  

нормального
белого
шума.
К
шуму
2E
, t  [0, T ], на фоне
T
0, t  [0, T ]
добавилась
помеха
n(t )  E / T cos  0 t . Как изменится вероятность перепутывания сигналов?
Ответ обосновать.
66. Определить вероятность ошибки при различении сигнала и его
производной, считая их энергии одинаковыми и равными E на фоне
нормального белого шума со спектральной плотностью мощности N 0 / 2 .
Необходимо
различить
равновероятные
сигналы
t
t


a2  b2 sin , t  [0, T ],
a1  b1 sin , t  [0, T ],
и s2 (t )  
на фоне
s1(t )  
T
T


0, t  [0, T ]
0, t  [0, T ]

67.
нормального белого шума со спектральной плотностью мощности N0/2.
Величины a1, b1, a2 , b2 удовлетворяют условию a12  b12  a22  b22  A . Как
следует выбрать эти величины, чтобы вероятность ошибки различения
была бы минимальна?
68. Различаемые методом максимального правдоподобия сигналы
начинаются в момент времени t0  0 и имеют вид прямоугольных
импульсов одинаковой энергии Е. Как следует выбрать соотношение
длительностей этих импульсов, чтобы получить минимальную ошибку их
различения на фоне нормального белого шума со спектральной
плотностью мощности N0/2?
69. Символы a1, a2 , a3 , поступающие от источника сообщений с
вероятностями P(a1 )  P(a 2 )  1 / 6 и P(a3 )  2 / 3 , передаются с помощью
прямоугольных видеоимпульсов длительности Т и амплитуды U. Для
передачи отводится интервал времени [0, 2T]. С помощью изменения
временного положения импульсов (но, не выходя за пределы интервала [0,
2T]) и полярности сформировать набор символов минимизирующих
вероятность ошибки при приеме сигналов на фоне нормального белого
шума со спектральной плотностью мощности N0/2. Пользуясь аддитивной
границей, оценить вероятность ошибки.
70. Необходимо измерить разность фаз колебаний U m1 sin( 0t  1 ) и
U m 2 sin( 0t   2 ) , принимаемых по двум каналам в течении времени Т.
Помехи в каналах независимы и являются нормальным белым шумом.
Найти алгоритм оценивания и определить его точность.
71. Постоянный во времени сигнал может принимать значение 5В с
вероятностью 0,3 и 8В с вероятностью 0,7. Наблюдение ведется на фоне
нормального шума с нулевым средним и дисперсией 16В2, используется 10
независимых отсчетов. Найти алгоритм оценки по правилу максимума
апостериорной вероятности. Каким будет результат измерения, если
вектор наблюдений y  (0; 4;  2; 10; 5; 8; 0; 1; 12; 28) ?
72. Для измерения запаздывания фазовым методом используются два
U cos2f1t , t [0,T ],
U cos2f 2t , t [0, T / 2],
сигнала s1 (t )   m
и s2 (t )   m
0, t [0,T ],
0, t [0, T / 2],


T
1

. Найти структуру максимально правдоподобного измерителя
2
f1  f 2
и оценить точность измерения, считая помеху нормальным белым шумом
со спектральной плотностью мощности N 0 / 2 . Считать min
i
2 Ei
 1 .
N0
73. Генератор гармонического колебания может работать на частоте
10 Гц или 106+1Гц. Амплитуда сигнала – 1мВ. Спектральная плотность
мощности нормального белого шума, на фоне которого производится
6
определение частоты генератора N 0 / 2  10  4 В2/Гц. Сколько времени
надо обрабатывать наблюдаемое колебание, чтобы вероятность ошибки в
определении частоты не превысила бы 10-2.
74. Определить дисперсию максимально правдоподобной оценки
постоянной скорости сближения V передатчика, излучающего частоту f0 и
неподвижного приемника, полученной на основе использования эффекта
Доплера. Амплитуда принимаемого периодического колебания Um, помеха
– НБШ со спектральной плотностью мощности N0/2, время излучения Т и
амплитуда сигнала Um обеспечивает выполнения условия q 
2E
 1 ,
N0
где Е - энергия обрабатываемого полезного сигнала.
75. Излучаемый сигнал может содержать один или два прямоугольных
импульса, все параметры которых в точке приема известны. Возможно
отсутствие излучения. Необходимо определить факт получения и оценить
количество излучаемых в этом случае сигналов. Предложить структурную
схему и для заданного значения вероятности ложной тревоги определить
вероятность ошибки при определении числа импульсов, считая амплитуду
импульсов равной U m , а длительность -  .
76. Измерение временного запаздывания  осуществляется фазовым
методом с помощью двух радиоимпульсов, все параметры которых, за
исключением
,
являются
известными.
Сигналы
s1 (t , )  S1 (t   ) cos(1 (t   ) и s 2 (t , )  S 2 (t   ) cos( 2 (t   ) поступают
по двум каналам. Считая, что помехой являются собственные шумы
приемников, которые предполагаются независимыми между собой
нормальными белыми шумами с одинаковыми спектральными
плотностями мощности N 0 / 2 ; энергии сигналов равны соответственно Е1 и
Е2, а устранение многозначнеости фазовых отсчетов осуществляется

безошибочно. Найти алгоритм формирования оптимальной оценки  на
основе метода максимального правдоподобия и получить выражение для
дисперсии оценки.
77. Какой должна быть несущая частота f 0 радиоимпульса
Um
sin 2F (t   )
cos 2f 0 (t   ) , чтобы оценить методом максимального
2F (t   )
правдоподобия время запаздывания  с заданной вероятностью
устранения многозначности. Все остальные параметры сигнала (кроме  )
считаются известными. Помеха - нормальный белый шум со спектральной
плотностью мощности N 0 / 2 . Выполняется условие
2E
 1 , где Е –
N0
энергия сигнала.
78. Необходимо
измерить временной интервал между двумя
sin  2 (t   2 )
sin 1(t  1 )
сигналами S1 (t )  U m1
и S 2 (t )  U m 2
на фоне
1(t  1 )
 2 (t   2 )
нормального белого шума, т.е. оценить величину Δt=τ2 –τ1 . Амплитуды
Um1 и Um2 должны удовлетворять условию Um12 + Um22 . Как выбрать Um1 и
Um2, чтобы среднеквадратическая ошибка была минимальна и найти ее
значение. Считать, что Δtмин>>max[1/Ώ1, 1/Ώ2], спектры сигналов не
перекрываются и отношение сигнал-шум на выходе фильтров,
согласованных с сигналами.
79. Измеряемая методом максимального правдоподобия частота
гармонического колебания U m cos t лежит в диапазоне [ min ,  max ] .
Какое минимальное число периодов необходимо обработать, чтобы
измерить частоту с относительной ошибкой   /   1% ? Измерения

проводятся на фоне нормального белого шума со спектральной
плотностью мощности N0/2.
80. Какое максимальное число периодов гармонического колебания
A cos( 0t  ) необходимо обработать, чтобы измерить методом
максимального правдоподобия амплитуду А с относительной ошибкой
  / A  1% и фазу с точностью    0,1o ? Значение амплитуды лежит в
A

диапазоне [ Amin , Amax ] , а фазы в диапазоне [0,2] . Частота 0 известна.
Измерения проводятся на фоне нормального белого шума со спектральной
плотностью мощности N0/2.
81. Необходимо оценить начальную фазу гармонического колебания
U cos( 0 t   ) на фоне нормального белого шума с СПМ N 0 / 2 . Каким
должен быть интервал наблюдения [0,T], чтобы выполнилось условие
 2   2 ? Сигнал может присутствовать на входе с вероятностью р. В


случае необнаружения сигнала измеритель выдает оценку   0 . Априори
фаза распределена равномерно на интервале [ ,  ] .
sin (t   )
может появиться на входе
(t   )
обнаружителя с равновероятным запаздыванием   kt , где k  1,2,.., N , а
t   /  . Какой должна быть амплитуда сигнала, чтобы на фоне
аддитивного белого гауссовского шума со спектральной плотностью
82. Сигнал вида s(t )  U
мощности N0/2 обеспечит вероятности ложной тревоги   10 6 и
пропуска   10 4 , а также среднеквадратическую ошибку оценивания 
равную   ? Параметр  считается заданным, N=100.
83. Оценить методом максимального правдоподобия временное
sin (t  kt )
положение сигнала s(t )  U
, k  1,2,.., N , t   /  ,
(t  kt )
принимаемого на фоне нормального белого шума со спектральной
плотностью мощности N0/2. Параметры сигнала U ,  известны. Найти
структуру
максимально
правдоподобного
измерителя
и
среднеквадратическую ошибку оценки   kt .
84. Какое время нужно потратить, чтобы последовательно оценить в
10 точках частотного диапазона АЧХ и ФЧХ линейного фильтра на входе
которого присутствует аддитивный нормальный белый шум со
спектральной плотностью мощности N0/2 и для измерений используется
генератор гармонических колебаний с амплитудой U. Необходимо, чтобы
для всех 10 точек вероятность того, что ошибка измерения АЧХ и ФЧХ
превысит 10% от измеряемой величины, не превосходила бы 10-2.
85. Для оценки постоянной времени интегрирующей RC цепи
используется N независимых отсчетов выходного сигнала. Входной сигнал
- нормальный белый шум со спектральной плотностью мощности N0/2.
Найти максимально правдоподобную оценку постоянной времени цепи.