Теория вероятностей Министерство образования Российской Федерации Саратовский государственный технический университет

Министерство образования Российской Федерации
Саратовский государственный технический университет
Теория вероятностей
Методические указания
к практическим занятиям по дисциплине
«Теория вероятностей,
математическая статистика и случайные процессы»
для студентов специальности 220400
Саратов 2004
Тема 1. Элементы комбинаторики
Теоретические сведения
При выборе m элементов из n различных элементов говорят, что они
образуют соединение из n элементов по m. Различают три вида соединений
элементов:
1. Размещениями называются соединения, которые отличаются друг
от друга составом элементов или их порядком, и каждое из которых содержит
m элементов, взятых из n различных элементов.
Например, выпишем все размещения элементов a, b, c, d по два:
ab, ba, ac, ca, ad, da, bc, cb, bd, db, cd, dc.
2. Перестановками из n элементов называются соединения, каждое из
которых содержит n различных элементов, взятых в определенном порядке.
Например, выпишем все перестановки из элементов a, b, c:
abc, acb, bac, bca, cab, cba.
3. Сочетаниями из n элементов по m называются соединения,
отличающиеся друг от друга, по крайней мере, одним элементом, каждое из
которых содержит m элементов, взятых из n различных элементов.
Например, выпишем все сочетания из элементов a, b, c, d, e по три:
abc, abd, abe, acd, ace, ade, bcd, bce, bde, cde.
Задача о числе размещений: Сколькими способами можно выбрать и
разместить по m различным местам n разных предметов? Количество таких
способов обозначается Anm и читается: «число размещений из n по m».
n!
An0  1 (по определению)
,
Anm  nn  1n  2n  m  1 
n  m!
Пример 1. Сколько всего пятизначных телефонных номеров, в каждом из
которых ни одна цифра не повторяется?
Решение. Это задача о выборе и размещении по пяти разным местам пяти из
десяти различных цифр. Поэтому число указанных телефонных номеров
5
 10  9  8  7  6  30240 .
равно A10
Пример 2. Сколько существует двузначных чисел, в которых цифра десятков
и цифра единиц различные и нечетные?
Решение. Поскольку нечетных цифр пять, а именно 1, 3, 5, 7, 9, то эта задача
сводится к выбору и размещению на две разные позиции двух из пяти
различных цифр. Следовательно, указанных чисел имеется A52  5  4  20 .
3
Задача о числе перестановок: Сколькими способами можно переставить n
разных предметов, расположенных на n разных местах? Количество таких
способов обозначается Pn и читается: «число перестановок из n».
Pn  n!  1  2    n , P0  0!  1 (по определению)
Пример 1. Сколько всего шестизначных четных чисел можно составить из
цифр 1, 3, 4, 5, 7, 9, если в каждом из этих чисел ни одна цифра не
повторяется?
Решение. Из всех указанных цифр последней может быть только цифра 4.
Остальные пять цифр могут стоять на оставшихся пяти местах в любом
порядке. Значит, нужно найти число перестановок из пяти элементов.
P5  5!  120 . Таким образом, можно составить 120 указанных чисел.
Пример 2. Сколькими способами семь книг разных авторов можно поставить
на полке в один ряд?
Решение. Эта задача о числе перестановок семи разных книг P7  7!  5040 .
Следовательно, имеется 5040 способов осуществить расстановку книг.
Задача о числе сочетаний: Сколькими способами можно выбрать m из n
разных предметов? Количество таких способов обозначается С nm и читается:
«число сочетаний из n по m».
nn  1n  2 n  m  1 Anm
n!
m
Cn 


; С nm  C nn  m ; С nn  C n0  1 .
m!
m! m!n  m !
Пример 1. Сколькими способами читатель может выбрать две книжки из пяти
имеющихся?
Решение. Искомое число способов равно числу сочетаний из пяти по два. Так
54
как С52 
 10 , то указанную выборку читатель может осуществить
2!
десятью способами.
Пример 2. В выпуклом семиугольнике проведены всевозможные диагонали,
при этом никакие три из них не пересекаются в одной точке. Сколько точек
пересечения указанных диагоналей?
Решение. Каждой точке пересечения диагоналей соответствуют четыре
вершины семиугольника, а каждой четверке вершин семиугольника
соответствует одна точка пересечения. Поэтому число всех точек пересечения
диагоналей равно числу способов, которыми среди семи вершин можно
выбрать четыре вершины. Поскольку С74  35 , то число точек пересечения
диагоналей равно 35.
4
Правило сложения
Если некоторый предмет A1 может быть выбран из совокупности
предметов m1 способами, а другой предмет A2 может быть выбран m2
способами, то выбрать либо A1 , либо A2 можно m1  m2 способами. Правило
распространяется на совокупность A1 , A2 ,  , Al .
Правило умножения
Если некоторый предмет A1 можно выбран из совокупности предметов
m1 способами и после каждого такого выбора предмет A2 может быть выбран
m2 способами, то пара объектов ( A1 , A2 ) в указанном порядке может быть
выбрана m1  m2 способами. Правило распространяется на совокупность
A1 , A2 ,  , Al .
Пример 1. Из двух математиков и десяти экономистов надо составить
комиссию в составе восьми человек. Сколькими способами может быть
составлена комиссия, если в нее должен входить хотя бы один математик?
Решение. В указанной комиссии может быть либо один математик и семь
экономистов, либо два математика и шесть экономистов. Выбор одного
математика из двух возможен С21  2 способами, а семи экономистов из
10  9  8
7
3
десяти – С10
 С10

 120 способами. По правилу произведения
1 2  3
число способов выбора комиссии из одного математика и семи экономистов
7
 2  120  240 . Выбор двух математиков из двух возможен
равно С 21  С10
6
4
 С10
 210 способами.
способом, а шести экономистов из десяти – С10
По правилу произведения число способов выбора комиссии из двух
6
 1  210  210 . Общее число
математиков и семи экономистов равно С 22  С10
способов выбора комиссии с одним или с двумя математиками по правилу
сложения равно 240  210  450 .
С 22  1
Пример 2. Сколько существует делителей числа 210?
Решение. Разложим данное число на простые множители: 210  2  3  5  7 .
Число делителей, составленных из произведения двух простых множителей,
равно С42  6 (это числа 6, 10, 14, 15, 21, 35); число делителей, составленных
из произведения трех простых множителей, равно С 43  С 41  4 (это числа 30,
42, 70, 105); число простых делителей равно четырем (это числа 2, 3, 5, 7).
Кроме того, делителями являются число 1 и число 210. Итак, согласно
правилу сложения, число всех делителей равно 6  4  4  1  1  16 .
5
До сих пор рассматривались соединения, в каждое из которых любой из
n различных элементов входит один раз. Можно рассматривать соединения с
повторениями.
Размещения с повторениями. Например, выпишем размещения по три из
элементов 4 и 5 с повторениями: 444, 445, 454, 544, 555, 554, 545, 455.
Задача о числе размещений с повторениями: Сколькими способами можно
разместить по m различным местам любые m предметов, выбранных из n
различных предметов с повторениями каждого из них любое число раз, но не
более m?
Anm п   n m .
Пример 1. Каждый телефонный номер состоит из 5 цифр. Сколько всего
телефонных номеров, содержащих только цифры 2, 3, 5 и 7?
Решение. Это задача о числе размещений в пяти разных местах пяти цифр,
выбранных из четырех разных цифр с повторениями каждой из них любое
число раз, но не более пяти. Так как A45 п   4 5  1024 , то число всех
указанных телефонных номеров равно 1024.
Пример 2. Буквы азбуки Морзе состоят из символов – точка и тире. Сколько
букв получим, если потребуем, чтобы каждая буква состояла не более чем из
пяти указанных символов?
Решение. Число всех букв, каждая из которых записывается одним символом,
равно A21 п   21  2 . Число всех букв, каждая из которых записывается
двумя символами, равно A22 п   2 2  4 . Число всех букв, каждая из которых
записывается тремя символами, равно A23 п   2 3  8 . Число всех букв,
каждая из которых записывается четырьмя символами, равно A24 п   2 4  16 .
Число всех букв, каждая из которых записывается пятью символами, равно
A22 п   2 5  32 . Число всех указанных букв равно 62.
Перестановки с повторениями – перестановки из n предметов, в каждую из
которых входят n1 одинаковых предметов одного типа, n2 одинаковых
предметов другого типа и т.д. n1  n2    nk  n . Например, выпишем
перестановки с повторениями цифр 4 и 5, каждая из которых взята по два
раза: 4455, 5544, 4545, 5454, 4554, 5445.
Задача о числе перестановок с повторениями: Сколькими способами
можно переставить n предметов k различных типов каждого типа
6
соответственно n1 , n 2 ,  , nk одинаковых предметов, расположенных на n
разных местах?
n!
.
Pn n1 ,..., nk  
n1!n2 !...nk !
Пример 1. Сколькими способами можно расположить в ряд 2 зеленые и 4
красные лампочки?
6!
Решение. P6 2,4 
 15 способами.
2!4!
Пример 2. Сколькими способами можно переставить буквы в слове какао,
чтобы получались всевозможные различные наборы букв?
5!
Решение. P5 2,2,1 
 30 способами.
2!2!1!
Сочетания с повторениями. Например, выпишем все сочетания из трех цифр
3, 4,5 по два с повторениями: 33, 34 (43), 35 (53), 44, 45 (54), 55.
Задача о числе сочетаний с повторениями: Если имеется по m одинаковых
предметов каждого из n различных типов, то сколькими способами можно
выбрать m из этих mn предметов?
С nm п   C mm n1 
m  n  1 !
m!n  1 !
Пример 1. В кондитерской имеется пять разных сортов пирожных.
Сколькими способами можно выбрать набор из четырех пирожных?
Решение. С54 п   С 4451  С84  70 способов.
Пример 2. Сколькими способами можно выбрать четыре монеты из четырех
пятирублевых и из четырех двухрублевых монет?
Решение. С 24 п   С 44 21  С 54  5 способов.
1)
2)
3)
4)
Упражнения
Сколько можно составить сигналов из 6 флагов разного цвета, взятых по 2?
Сколькими способами можно из 20 студентов группы выбрать старосту и
профорга?
Сколькими способами можно разложить 8 разных писем по 8 разным
конвертам, если в каждый конверт кладется только одно письмо?
12 человек играют в городки. Сколькими способами они могут набрать
команду из четырех человек на соревнования?
7
В розыгрыше первенства по футболу принимают участие 16 команд, при
этом любые две команды играют между собой только один матч.
Сколько всего игр?
6) Сколькими способами можно разместить восемь пассажиров в три
вагона?
7) Сколько будет костей домино, если использовать в их образовании все
цифры?
8) Десять книг (7 книг различных авторов и трехтомник одного автора)
помещены на книжной полке. Сколькими способами их можно
расставить на полке так, чтобы книги автора трехтомника стояли рядом?
9) Сколькими способами можно рассадить на скамейке пять человек?
10) Сколько всего четырехзначных чисел, делящихся на 2?
11) В подразделении 30 солдат и три офицера. Сколькими способами можно
выделить патруль, состоящий из трех солдат и одного офицера?
12) Сколькими способами можно разделить группу из 15 человек на две
группы так, чтобы в одной было 4 человека, а в другой 11?
5)
Тема 2. Непосредственный подсчет вероятностей
Теоретические сведения
Некоторый эксперимент будем называть случайным экспериментом,
если его исходы неоднозначны. Исходы случайного эксперимента
называются случайными событиями и обозначаются А, В, С. Каждый из
возможных результатов эксперимента называется элементарным случайным
исходом.
Пример 1. Игрок бросает игральный кубик. Бросок – это эксперимент.
Появление грани с точками – событие. А = {1} – появление грани 1, В = {н} –
появление нечетной грани.
Пример 2. В урне есть пронумерованные шары. Из урны наудачу берут один
шар. Извлечение шара из урны – эксперимент. Появление шара с
определенным номером – событие.
Событие называется достоверным, если оно осуществляется при
каждой реализации случайного эксперимента и обозначается .
Невозможным называется событие, которое заведомо не произойдет, оно
обозначается .
Событие А влечет за собой событие В  А  В  , если при каждом
осуществлении события А осуществляется событие В. Для любого события
8
А:   А   . События А и В называются эквивалентными  А  В  , если
одновременно А  В и В  А .
Объединением (суммой) событий А  В ( А  В ) называется событие,
эквивалентное осуществлению или события А или В. Для любого события А:
  А  А,   А  ,      .
Пересечением (произведением) событий А  В ( А В ) называется
одновременное осуществление событий А и В. Если пересечение двух
событий является невозможным событием, то они называются
несовместными. Для любого события А:   А  ,   А  А,      .
Разностью событий  А \ В  называется событие, при котором
произошло событие А, но не произошло В.
Событие А называется противоположным событию А, если оно
осуществляется тогда и только тогда, когда событие А не осуществляется.
Два события взаимно противоположны, если: а) А  А   ;b) А  А   .
Несколько событий А1 ,..., Ап ,... образуют полную группу событий, если в
результате эксперимента появится одно и только одно из них, т.е. выполнятся
условия: a)

 An   , b) i 
n 1
j : Ai  A j   .
Пример 1. Эксперимент состоит в 5 выстрелах по мишени. Даны события А0
– ни одного попадания, А1 – ровно 1 попадание, А2 – ровно 2 попадания, А3 –
ровно 3 попадания, А4 – ровно 4 попадания, А5 – ровно 5 попаданий. Тогда
А = А0 + А1 + А2 – событие «не более 2 попаданий», а В = А3 + А4 + А5 –
событие «не менее 3 попаданий»
Пример 2. По мишени производится 3 выстрела. Даны события А1 – промах
при 1-м выстреле, А2 – промах при 2-м выстреле, А3 – промах при 3-м
выстреле. Тогда событие А = А1 + А2 + А3 состоит в том, что в мишень не
будет ни одного попадания.
Классическое определение вероятности
Пусть пространство элементарных исходов конечно, т.е.    i i 1 , и
исходы равновозможны. Тогда вероятность каждого исхода постоянна, и в
сумме они дают единицу. Если событию А соответствует m частных случаев
из полной группы в n равновозможных событий, то вероятностью события
m
А называют величину РА  . Вероятность события есть отношение числа
n
благоприятных исходов к общему числу исходов.
n
Пример 1. Набирая номер телефона, абонент забыл одну цифру и набрал ее
9
наудачу. Найти вероятность того, что набрана нужная цифра.
Решение. Обозначим событие А = {набрана нужная цифра}. Абонент мог
набрать любую из 10 цифр, поэтому общее число возможных элементарных
исходов = 10. Эти исходы несовместны, равновозможны и образуют полную
группу. Благоприятствует событию А только один исход (нужная цифра лишь
одна). Искомая вероятность: Р  А  1 10 .
Пример 2. Набирая номер телефона, абонент забыл две последние цифры и,
помня лишь, что эти цифры разные, набрал их наудачу. Найти вероятность
того, что набраны нужные цифры.
Решение. Обозначим В = {набраны нужные цифры}. Сколько можно набрать
различных цифр? Сколько может быть составлено размещений из 10 цифр по
2
 10  9  90 . Эти исходы несовместны, равновозможны и образуют
2: А10
полную группу. Благоприятствует событию В только один исход. Искомая
вероятность: Р В  1 90 .
Пример 3. Брошены две игральные кости. Найти вероятность того, что
сумма выпавших очков равна 4 (событие А).
Решение. Общее число равновозможных исходов испытания равно 6  6  36 ,
т.к. каждое число, выпавшее на одном кубике, может сочетаться со всеми
числами на другом. Событию А благоприятствуют 3 исхода: {1,3}, {2,2},
{3,1}. Искомая вероятность: Р  А  3 36  1 12 .
Пример 4. В партии из 10 деталей 7 стандартных. Найти вероятность того,
что среди 6 взятых наудачу деталей 4 стандартных.
Решение. Общее число возможных элементарных исходов равно числу
6
 210 . Определим
способов, которыми можно извлечь 6 деталей из 10: С10
число исходов, благоприятствующих событию А = {среди 6 взятых деталей 4
стандартных}. 4 стандартные детали из 7 можно взять С 74  35 способами.
При этом остальные 2 детали должны быть нестандартными. Взять 2
нестандартные детали из 3 можно С32  3 способами. Число благоприятных
исходов
равно
С 74  С32  105 .
Р  А   С74  С32  С106  105 210  1 2 .
1)
2)
10
Искомая
вероятность:
Упражнения
В ящике 50 одинаковых деталей, из них 5 окрашенных. Наудачу
вынимают одну деталь. Найти вероятность того, что извлеченная деталь
окажется окрашенной.
Участники жеребьевки тянут из ящика жетоны с номерами от 1 до 100.
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
11)
12)
13)
14)
Найти вероятность того, что номер первого извлеченного жетона не
содержит цифры 5.
В мешочке имеется 5 одинаковых кубиков с буквами: О, П, Р, С, Т.
Кубики вынимают по одному и располагают в ряд Найти вероятность
того, что получится слово СПОРТ.
На шести карточках напечатаны буквы: А, Т, М, Р, С, О. Карточки
перемешаны. 4 карточки вынимают по одной и располагают в ряд. Найти
вероятность того, что получится слово ТРОС.
Куб, все грани которого окрашены, распилен на 1000 одинаковых
кубиков, которые тщательно перемешаны. Найти вероятность того, что
наугад взятый кубик будет иметь: а) 1 окрашенную грань, б) 2
окрашенные грани, в) 3 окрашенные грани.
Из набора 28 костей домино наудачу извлечена 1 кость. Найти
вероятность того, что вторую наудачу извлеченную кость можно
приставить к первой, если первая: а) дубль, б) не дубль.
В замке на общей оси 5 дисков. Каждый диск разделен на 6 секторов.
Замок открывается только при определенном положении дисков. Найти
вероятность того, что при произвольной установке дисков замок будет
открыт.
8 различных книг расставлены на полке наугад. Найти вероятность того,
что 2 определенные книги окажутся рядом.
Среди 10 различных книг: 5 книг по 40 руб, 3 книги по 10 руб, 2 книги по
30 руб. Найти вероятность того, что 2 взятые наугад книги стоят 50 руб.
В урне 10 пронумерованных по порядку шаров. Наугад вынимают один
за другим все, находящиеся в ней шары. Найти вероятность того, что
номера вынутых шаров будут идти по порядку.
В урне 10 пронумерованных по порядку шаров. Наугад вынимают один
шар, записывают его номер, кладут шар обратно и перемешивают. Найти
вероятность того, что номера вынутых шаров будут идти по порядку.
В урне 6 белых и 8 черных шаров. Из урны вынимают одновременно 2
шара. Какое событие более вероятно: А – шары одного цвета, В – шары
разных цветов.
В урне 10 пронумерованных по порядку шаров. Из урны 7 раз
вынимается по одному шару, номер записывается и шар кладется
обратно в урну. Найти вероятность того, что все записанные номера
будут различны.
В лифт 9-этажного дома на первом этаже вошли 3 человека. Каждый из
них с одинаковой вероятностью выходит на любом этаже, начиная с
11
15)
16)
17)
18)
19)
20)
21)
22)
23)
12
третьего. Найти вероятность следующих событий: А – все пассажиры
выйдут на 5 этаже, В – все пассажиры выйдут одновременно (на одном и
том же этаже), С – все пассажиры выйдут на разных этажах.
10 человек случайным образом рассаживаются за круглым столом. Найти
вероятность того, что два фиксированных лица А и В окажутся рядом.
10 человек случайным образом рассаживаются за прямоугольным столом
вдоль одной из его сторон. Найти вероятность того, что два
фиксированных лица А и В окажутся рядом.
Батарея из 10 орудий ведет огонь по группе из 15 самолетов. Орудия
выбирают себе цели случайным образом и независимо от других. Найти
вероятность того, что все 10 орудий будут стрелять по одной и той же
цели.
В розыгрыше первенства по баскетболу участвуют 18 команд, из
которых случайным образом формируются 2 группы по 9 команд в
каждой. Среди участников соревнований имеется 5 команд экстракласса.
Найти вероятность того, что а) все команды экстракласса попадут в одну
и ту же группу; б) две команды экстракласса попадут в одну из групп, а
три в другую.
В барабане револьвера семь гнезд, из них в пяти заложены патроны, а два
оставлены пустыми. Барабан приводится во вращение, в результате чего
против ствола случайным образом оказывается одно из гнезд. После
этого нажимается спусковой крючок; если ячейка была пустая, то
выстрела не происходит. Найти вероятность того, что повторив такой
опыт два раза подряд, оба раза выстрел не произойдет.
В условиях предыдущего упражнения найти вероятность того, что оба
раза выстрел произойдет.
В партии, состоящей из 50 изделий, имеется 5 дефектных. Из партии
выбирается для контроля 10 изделий. Найти вероятность того, что из них
ровно 3 будут дефектными.
Ирочка Маслова наивно верит, что если она соберет 20 разных наклеек
от жвачек Барби и отошлет их по указанному адресу, то добрые тети и
дяди пришлют ей взамен настоящую куклу Барби. Объясните Ирочке
строго математически нереальность ее затеи, вычислив вероятность
собрать 20 разных наклеек, купив ровно 20 жвачек.
Пустые горшочки с медом Винни-Пух ставит на полочку вместе с
полными для того, чтобы вид уменьшающегося числа горшков не
слишком портил ему настроение. В настоящий момент в Пуховом буфете
вперемежку стоят 5 горшочков с медом и 6 абсолютно пустых. Какова
вероятность того, что в двух взятых на ужин горшочках окажется мед?
24) Когда Костя Сидоров, ученик 6 «б» класса, наконец-то обнаружил в
буфете кулек с конфетами, он услышал, как отворилась входная дверь.
Это пришла из магазина бабушка Пелагея Марковна. Времени на выбор
не было, и Костя, запустив руку в кулек, едва успел переместить к себе в
карман две конфеты. Какова вероятность того, что ему достался хотя бы
один "Мишка на Севере", если в кульке было 7 конфет с помадкой, 5
соевых батончиков и 3 "Мишки на Севере"?
25) Ученик 6 «б» класса Костя Сидоров застал двухлетнюю сестренку Катю
в момент, когда та инспектировала свой тайник, расположенный в
проеме между стеной и книжным шкафом. В тайнике у Кати хранились
пуговицы, срезанные в разное время с различных предметов одежды: 5
белых пуговиц с теперь уже не новой папиной рубашки, 3 красные
пуговки с маминого халатика и 4 пуговицы с купленной три дня назад
Костиной джинсовой куртки. Не обращая внимания на Катины протесты,
Костя просунул руку в щель, нащупал 2 пуговицы и вытащил их. Какова
вероятность того, что это пуговицы с куртки?
26) Чайный сервиз на 6 персон состоит из 6 чашек, 6 блюдец, чайника,
сахарницы и молочника. Во время ссоры нигде не работающая Клава
запустила в своего сожителя Григория тремя первыми попавшимися под
руку предметами из сервиза. Какова вероятность того, что не пострадали
чашки?
Тема 3. Теоремы сложения и умножения вероятностей
Теоретические сведения
Объединение событий
Вероятность объединения двух несовместных событий ( A  B   ):
PA  B  PA  B  PA  PB.
В общем случае A, B : PA  B  PA  PB  PA  B.
Вероятность объединения нескольких несовместных событий:
n  n
P  Ai    PAi .
i 1  i 1
В общем случае
n 
P   Ai    PAi    PAi  A j   PAi  A j  Ak  ...
.
i, j
i, j , k
i 1  i
  1n PA1  A2  ...  An 
13
Если события A1 ,..., An образуют полную группу, то
вероятностей противоположных событий PA  PA 1 .
n
 PAi   1. Сумма
i 1
Пересечение событий
Вероятность события А при условии, что осуществилось событие В,
называется условной вероятностью и обозначается PB A. События А и В
называются независимыми, если появление одного из них не меняет
вероятности появления другого. Для независимых событий Р А В  РВ и
Р В А  РА .
Вероятность
пересечения
двух
событий
РА  В  РА  Р А В  РВ  Р В А.
Для
независимых
событий:
РА  В  РА РВ. Вероятность пересечения нескольких событий:
n 
P  Ai   PA1   PA1 A2   PA1 A2 A3   ...  PA1... An 1 An .
Для
независимых
i 1 
n 
событий: P  Ai    PAi .
i 1 
Упражнения
1) В урне 10 белых и 8 черных шаров. Из урны в случайном порядке, один
за другим, вынимают все находящиеся в ней шары. Найти вероятность
того, что вторым по порядку будет вынут белый шар.
2) В урне 8 белых, 10 черных и 6 красных шаров. Три из них вынимаются
наугад. Найти вероятность того, что по крайней мере два их них будут
одноцветными.
3) Ведется стрельба по самолету. Чтобы поразить самолет, достаточно
поразить два двигателя вместе или кабину пилота. Вероятность
поражения первого двигателя равна 0.7, второго – 0.8, кабины пилота –
0.6. Агрегаты самолета поражаются независимо друг от друга. Найти
вероятность того, что самолет будет выведен из строя.
4) В партии, состоящей из 50 деталей, имеется 10 дефектных. Из партии
выбирается для контроля 5 изделий. Если среди контрольных окажется 3
дефектных, бракуется вся партия. Найти вероятность того, что партия
будет забракована.
5) Прибор состоит из п блоков. Выход из строя каждого блока означает
выход из строя прибора в целом. Блоки выходят из строя независимо
друг от друга. Вероятность безотказной работы (надежность) каждого
блока равна р. Найти надежность Р прибора в целом.
14
6)
7)
8)
9)
10)
11)
12)
13)
Для повышения надежности прибора он дублируется другим точно таким
же прибором. Надежность каждого прибора равна р. При выходе из строя
первого прибора происходит мгновенное переключение на второй.
Надежность переключающего устройства равна 1. Определить
надежность этой системы.
В условиях предыдущей задачи надежность переключающего устройства
равна р1.
Для повышения надежности прибора он дублируется (п-1) другими
такими же приборами. Надежность каждого прибора равна р. Найти
надежность системы. Сколько надо взять приборов чтобы повысить
надежность до заданной Р1?
Водопроводчик Вася поздно вечером возвращается домой. У него в
руках связка из пяти ключей, причем только один подходит к дверям
квартиры. По причинам, о которых можно только догадываться, Вася
пробует ключи наугад так, что при каждой попытке любой ключ,
включая нужный, выбирается с одинаковой вероятностью. За этим
захватывающим зрелищем через замочную скважину дверей соседней
квартиры внимательно следят Иван Кузьмич и Пелагея Марковна. Иван
Кузьмич готов биться об заклад, что Васька и с третей попытки в дом не
попадет. Сердобольная же Пелагея Марковна утверждает, что, по
крайней мере, на третий раз дверь поддастся. У кого больше шансов
победить в споре?
Ослик Иа-Иа к словам песенки "и-а" пытается наугад подобрать
мелодию. Какова вероятность того, что ему это удастся хотя бы на 40-ой
раз? (Указание: а) ослиному крику соответствует сочетание нот ля-до; б)
ослик пользуется основной октавой и уже проверенные парные
сочетания не запоминает, но безошибочно отреагирует на подходящую.)
Симпатичная студентка Люся Копейкина к зачету успела выучить только
10 вопросов из 20, но надеется, что в случае неудачи уговорит
профессора Аркадия Аристарховича задать ей второй вопрос. По
многолетним наблюдениям профессора можно разжалобить в двух
случаях из трех, и это соотношение не меняется с годами. Каковы
Люсины шансы сдать зачет?
Симпатичная студентка Люся Копейкина знает к зачету только 15
вопросов из 30. Она считает, что если пойдет отвечать вторая, то ее
шансы вытянуть счастливый билет увеличатся. Права ли она? Докажите.
Студент филфака Петя Чернышев ставит три ящика пива против двух,
что, выучив 12 билетов из 30, он сдаст зачет по крайней мере со второго
раза. Стоит ли его приятелю заключать пари? (Указание: найти
15
отношение вероятностей благоприятного и неблагоприятного для Пети
событий.)
Тема 4. Формула полной вероятности. Формула Байеса
Теоретические сведения
Если об эксперименте можно сделать n исключающих друг друга
предположений (гипотез) H 1 ,..., H n и если событие А может появиться
только при одной из этих гипотез, то вероятность события А вычисляется по
формуле полной вероятности:
n
PA   PHi A  PH i   PH1 A  PH1   PH 2 A  PH 2   ...  PH n A  PH n 
i 1
Если до эксперимента вероятности гипотез были PH 1 ,..., PH n , а в
результате эксперимента появилось событие А, то с учетом этого условные
вероятности гипотез вычисляются по формуле Байеса:
PH i  PH i A
PA H i   n
.
 PHi A PH i 
i 1
Если после эксперимента, закончившегося появлением события А,
производится еще один эксперимент, в котором может появиться или не
появиться событие В, то условная вероятность последнего события
вычисляется по формуле полной вероятности, в которую подставлены не
прежние, а уточненные вероятности гипотез:
n
PA B   PHi A B PA H i .
i 1
1)
2)
16
Упражнения
Группа студентов состоит из 3 отличников, 4 хорошо успевающих и 3
занимающихся слабо. На экзамене отличники могут получить только
отличные оценки. Хорошо успевающие студенты могут получить с
равной вероятностью хорошие и отличные оценки. Слабо занимающиеся
студенты могут получить с равной вероятностью хорошие,
удовлетворительные и неудовлетворительные оценки. Для сдачи
экзамена вызывается наугад один студент. Найти вероятность того, что
он получит хорошую или отличную оценку.
В группе из 10 студентов, пришедших на экзамен, 3 подготовлены
отлично, 4 – хорошо, 2 – удовлетворительно, 1 – неудовлетворительно. В
билетах 20 вопросов. Отлично подготовленный студент может ответить
3)
4)
5)
6)
7)
8)
на все 20 вопросов, хорошо подготовленный – на 16, удовлетворительно
– на 10, неудовлетворительно – на 5. Вызванный наугад студент ответил
на три произвольно заданных вопроса. Найти вероятность того, что этот
студент подготовлен: а) отлично, б) неудовлетворительно.
В группе спортсменов 20 лыжников, 6 велосипедистов и 4 бегуна.
Вероятность выполнить квалификационную норму для лыжника равна
0.9, для велосипедиста – 0.8, для бегуна – 0.75. Найти вероятность того,
что наудачу выбранный спортсмен выполнит норму.
В телевизионном ателье имеется 4 кинескопа. Вероятности того, что
кинескоп выдержит гарантийный срок службы, соответственно равны
0.8, 0.85, 0.9, 0.95. Найти вероятность того, что взятый наудачу кинескоп
выдержит гарантийный срок службы.
Имеются три урны: в первой из них 10 белых шаров и 5 черных, во
второй – 8 белых шаров и 12 черных, в третьей – 20 белых шаров, черных
нет. Некто выбирает наугад одну из урн и вынимает из нее шар. Этот шар
оказался белым. Найти вероятность того, что этот шар вынут из первой,
второй или третьей урны.
Ученик 6 «б» класса Костя Сидоров и два его приятеля засели с
рогатками в кустах школьного двора, чтобы пострелять по голубям,
воркующим на карнизе окна директорского кабинета. Едва они сделали
по одному выстрелу, как оконное стекло со звоном разлетелось, и всей
компании пришлось спасаться бегством от выскочившего во двор
завхоза. Какова вероятность того, что разбитое окно дело рук Кости
Сидорова, если из 10 выстрелов он обычно попадает 8 раз, а его приятели
по 7? (Примечание: случай коллективного попадания в окно
исключается.)
Ученик 6 «б» класса Костя Сидоров и его приятель, заняв выгодную
позицию вблизи школьных дверей, обстреливали снежками всех
выходящих девчонок. Когда дверь в очередной раз открылась, два
снежка одновременно полетели в голову застывшего на пороге завуча Маргариты Викентьевны. Какова вероятность того, что цель была
поражена, если известно, что Костя обычно попадает 8 раз из 10, а его
приятель только 7?
Любимое занятие двухлетней девочки Кати - срезать пуговицы с одежды.
Пока мама готовила кашу, Кате удалось отстричь все 5 белых пуговиц с
папиной пижамы и 3 черные пуговицы с маминого вечернего платья.
Одну пуговицу Катя проглотила, а остальные засунула в глубокую щель
между полом и плинтусом. За этим занятием ее и застала мама. С
большим трудом мама сумела выковырять из щели 2 пуговицы. Какова
17
вероятность того, что платье можно привести в порядок, если одна
запасная пуговица у мамы есть?
9) Пока мама пекла пирог, двухлетняя девочка Катя успела срезать 7 белых
пуговиц с новой папиной рубашки и 3 красные пуговицы с маминого
халатика. Одну пуговицу Катя проглотила, а остальные засунула в щель
между книжным шкафом и стеной. Маме, заставшей Катю за этим
занятием, удалось с помощью реквизированных ножниц выковырять изза шкафа одну белую пуговицу. Остальные достать не удалось. Какова
вероятность того, что проглочена пуговица с папиной рубашки?
10) В понедельник, после двух выходных, токарь Григорий вытачивает
левовинтовые шурупы вместо обычных правовинтовых с вероятностью
0.5. Во вторник этот показатель снижается до среднецехового - 0.2. В
остальные дни недели Григорий ударно трудится и процент брака среди
изготавливаемых им шурупов составляет 10 %. При проверке недельной
партии шурупов, выточенных Григорием, случайно выбранный шуруп
оказался дефектным. Какова вероятность того, что шуруп изготовлен в
понедельник?
11) Имеются две урны: в первой 10 белых шаров и 8 черных, во второй – 6
белых и 12 черных. Выбирается наугад одна из урн и вынимается из нее
один шар. Этот шар оказался белым. Найти вероятность того, что
следующий шар, который мы вынем из той же урны, будет тоже белым.
Тема 5. Законы распределения случайных величин
Теоретические сведения
Распределение дискретной случайной величины задается таблицей, где

pi  P  xi ;  pi  1:

i 1
p
x1
p1
…
…
xi
pi
…
…
Распределение непрерывной случайной величины задается плотностью
распределения p  x   0 :

 px dx  1 .

Функцией распределения случайной величины называется функция
F  x   P  x. В непрерывном случае F  x   P  x 
x
 pt dt .

Вероятность попадания случайной величины на участок  ,   :
P       F    F   . Для непрерывной случайной величины
18
P     0 и P       F    F   

 px dx .

Биномиальное распределение: P  m  Pn m   C nm p m q nm , q  1  p .
Распределение Пуассона: P  m  Pm  
m
m!
e  ,   0 .
 1
, x   ,  

Равномерное распределение в интервале: p x      
.
 0, x   ,  
e  x , x  0
,  0.
Показательное распределение: p x   
0
,
x

0

Нормальное распределение N a,   : p x  
1)
2)
3)
4)
5)
1

 x  a 2
, a  R,   0 .
 2
Упражнения
Стрелок производит три выстрела по мишени. Вероятность попадания
при каждом выстреле равна 0.4. За каждое попадание стрелку
засчитывается 5 очков. Построить распределение числа выбитых очков.
Стрелок ведет стрельбу по мишени до первого попадания, имея боезапас
4 патрона. Вероятность попадания при каждом выстреле равна 0.6.
Построить распределение боезапаса, оставшегося неизрасходованным.
В нашем распоряжении имеется 5 лампочек, каждая из них с
вероятностью 0.4 имеет дефект. Лампочка ввинчивается в патрон, и
включается ток. При включении тока дефектная лампочка сразу
перегорает, после чего заменяется другой. Построить распределение
числа испробованных лампочек.
Ученица 6 «б» класса Ирочка Маслова, идя из школы домой,
останавливается на перекрестке. Ей нужно перейти 2 улицы. В
зависимости от того, как горит светофор, Ирочка либо сначала переходит
через Средний проспект, оказывается перед лотком с мороженым, после
чего пересекает 3-ю линию, либо же переходит линию, утыкается в ларек
со жвачками, а затем уже переходит через Средний. Найти вероятность
того, что в течение школьной недели Ирочка два раза лакомилась
мороженым.
Симпатичная студентка Люся Копейкина со своим приятелем Петей
Чернышевым катаются на лыжах. Люся - первоклассная лыжница. Ей
ничего не стоит съехать с длинной крутой горы, на которой нужно к тому
e
2 2
19
же сделать пять поворотов. Что касается Пети, то его шансы упасть или
не упасть на каждом повороте равны. Какова вероятность того, что Петя
съедет с горы, упав не больше двух раз?
6) Самый правдивый человек на свете барон Мюнхгаузен иногда все же
любит несколько приукрасить действительность и в одном случае из
пяти грешит против истины. Какова вероятность того, что из четырех
рассказанных им историй - про чудесную штопку коня, разрубленного
пополам, про путешествие на ядре в неприятельский город, про оленя,
подстреленного вишневой косточкой и про жареных куропаток на
шомполе, - хотя бы две абсолютно правдивые.
7) Чингачгук и его бледнолицый брат, засев в башне с круговым обстрелом,
отражают нападение пяти французских солдат. У каждого из героев в
карабине по 5 пуль, и пока они могут стрелять, подступиться к ним
невозможно. У французов большое количество патронов. Кроме того, у
них достаточно удобная позиция за скалами, и вероятность попасть в
любого из них равна 1/2. Какова вероятность того, что французы будут
полностью разбиты?
8) Том Сойер ставит свою дохлую крысу на веревочке против
приятельского сломанного будильника, что при подбрасывании 6 монет
выпадет 3 орла. Том считает, что шансы получить или не получить
загаданный результат равны. Прав ли он?
9) По многолетним наблюдениям в районе 6-м телескопа из 30 ноябрьских
ночей ясных бывает в среднем 10. Группе астрономов, собирающихся
сделать мировое открытие, выделено 4 ночи для наблюдений. Найти
вероятность того, что мировое открытие будет совершено, если для этого
требуется по крайней мере 2 ясные ночи.
10) Игрок Смит бросает 6 игральных костей и выигрывает, если выпадет
хотя бы одна единица. Игрок Джонс бросает 12 игральных костей и
выигрывает, если выпадет хотя бы две единицы. У кого больше шансов
выиграть?
11) Среднее число вызовов, поступающих на АТС в одну минуту равно 2.
Найти вероятность того, что за 5 минут поступит а) 2 вызова; б) менее
двух вызовов; не менее двух вызовов. Считать, что число вызовов
распределено по закону Пуассона.
12) При работе компьютера время от времени происходят сбои. Среднее
число сбоев за сутки равно 1.5. Считая, число сбоев распределенным по
закону Пуассона, найти вероятности следующих событий: А – за двое
суток не будет ни одного сбоя; В – в течение суток произойдет хотя бы
один сбой; С – за неделю работы произойдет не менее трех сбоев.
20
13) Известно, что на 100 булочек с изюмом попадается одна, в которой
изюма нет вообще. Ученик 6 «б» класса Костя Сидоров ставит одну
жвачку Dirol против одной приятельской, что из купленной в школьном
буфете булочки он выковыряет хотя бы 4 изюминки. Справедливо ли
такое пари? (Указание: найти вероятность того, что в купленной булочке
будет по крайней мере 4 изюминки, считая, что число изюминок в
булочке подчиняется закону Пуассона)
14) В дневнике ученика 6 «б» класса Кости Сидорова 60 страниц, и только
одна из них без единого замечания, что является чистой случайностью.
Сколько в дневнике страниц с тремя замечаниями? (Указание: найти
вероятность того, что на произвольной странице имеется 3 замечания,
считая, что число замечаний на странице подчиняется закону Пуассона)
15) Ученик 6 «б» класса Костя Сидоров в диктанте из 20 предложений
умудрился сделать 20 ошибок. Такое соотношение между числом
ошибок и количеством предложений весьма характерно для Кости и не
зависит от объема работы. Сколько в Костином диктанте предложений, в
которых содержится по две ошибки? (Указание: найти вероятность двух
ошибок в произвольном предложении считая, что число ошибок в
предложении подчиняется закону Пуассона)
16) Какова вероятность того, что, угощая Чичикова, Плюшкин принес ему не
заплесневелый калач, если известно, что на хранящихся в кладовке
Плюшкина хлебобулочных изделиях в среднем по 4 подозрительных
сине-зеленых пятна?
17) Функция распределения непрерывной случайной величины имеет вид:
Найти коэффициент а; найти плотность
 0, x  0
распределения;
найти
вероятность

F  x   ax 2 ,0  x  1
попадания случайной величины на участок
 1, x  1
от 0.25 до 0.5.

18) Случайная величина распределена по закону прямоугольного
треугольника в интервале (0, a). Написать выражение плотности
распределения; найти функцию распределения; найти вероятность
попадания случайной величины на отрезок от а/2 до а.
19) Случайная величина подчинена закону распределения с плотностью:
Найти коэффициент а; построить

  
a
cos
x
,
x


,
график
плотности
распределения;

 2 2 

p  x  
найти функцию распределения и
 0, x     ,  
построить ее график; найти вероятность
 2 2 


попадания случайной величины на
21
участок от 0 до /4.
20) Случайная величина распределена по закону Симпсона (закону
равнобедренного треугольника) на интервале (-а,а). Написать выражение
плотности распределения; найти функцию распределения; найти
вероятность попадания случайной величины на отрезок от -а/2 до а.
a
21) Случайная величина распределена по закону Коши p x  
. Найти
1 x2
коэффициент а; найти функцию распределения; найти вероятность
попадания случайной величины на участок от –1 до +1.
22) Случайная величина распределена по показательному закону. Построить
график плотности распределения; найти функцию распределения.
23) Случайная величина распределена по закону Лапласа px   ae
,  0.
Найти коэффициент а; построить графики плотности и функции
распределения.
24) Случайная величина распределена по нормальному закону N 30,10  .
Найти вероятность того, что она примет значение, принадлежащее
интервалу (10, 50).
25) Случайная величина, распределенная по нормальному закону,
представляет собой ошибку измерения некоторого расстояния. При
измерении допускается систематическая ошибка в сторону завышения на
1.2 м; среднеквадратичное отклонение ошибки измерения равно 0.8 м.
Найти вероятность того, что отклонение измеренного значения от
истинного не превзойдет по абсолютной величине 1.6 м.
26) Случайная величина распределена по нормальному закону N 30,10  .
Найти вероятность того, что отклонение по абсолютной величине будет
меньше 3.
27) Браковка шариков для подшипников производится следующим образом:
если шарик не проходит через отверстие d1, но проходит через отверстие
d2 > d1, то его размер считается приемлемым. Если какое-нибудь из этих
условий не выполняется, то шарик бракуется. Известно, что диаметр
шарика D есть нормально распределенная случайная величина
d  d2
d  d1
. Найти вероятность того, что шарик
N a,  , a  1
,  2
2
4
будет забракован.
28) По цели, имеющей вид полосы (автострада), ширина которой равна 20 м,
ведется стрельба в направлении, перпендикулярном автостраде.
Прицеливание
ведется
по
средней
линии
автострады.
 x
22
Среднеквадратичное отклонение в направлении стрельбы равно 8 м.
Имеется систематическая ошибка в направлении стрельбы: недолет 3 м.
Найти вероятность попадания в автостраду при одном выстреле.
29) Производится стрельба по наземной цели снарядами, снабженными
радио взрывателями. Номинальная высота подрыва снаряда, на которую
рассчитан взрыватель, равна а, но фактически имеют место ошибки на
высоте, распределенные по нормальному закону с параметром  = а/2
(систематической ошибки нет). Если взрыватель не сработает над землей,
взрыва вообще не происходит. Найти вероятности следующих событий:
А – при стрельбе одним снарядом точка разрыва окажется на высоте,
превышающей 1.2а; В – при стрельбе тремя снарядами ни один снаряд не
разорвется на высоте более чем 1.2а; С – хотя бы один из трех снарядов
не разорвется; D – один из трех снарядов не разорвется, а два другие
разорвутся.
30) Завод изготавливает шарики для подшипников. Номинальный диаметр
шариков 5 мм. Вследствие неточности изготовления шарика фактический
его диаметр – случайная величина, распределенная по нормальному
закону со средним значением 5мм и средним квадратическим
отклонением 0.05 мм. При контроле бракуются все шарики, диаметр
которых отличается от номинального больше чем на 0.1 мм. Определить,
какой процент шариков в среднем будет отбраковываться.
Тема 6. Числовые характеристики случайных величин
Теоретические сведения
Математическим ожиданием дискретной случайной величины
называется
число:
Математическим
М   x k Р  x k    x k p k .
k
k
ожиданием непрерывной случайной величины с плотностью
называется число M 
p  x 

 xp x dx .
Если вероятностная мера определяется

функцией распределения, то M 

 xdF x  .

Свойства математического ожидания:
1.     C , то М  C .
2. c  R : М c   cМ .
3. М1     n   М1    М n .
23
4. Mg   




2
 g x  p x dx . В частности, M 
x
2
p  x dx .
5. Для независимых случайных величин 1 ,, n : М1  n   М1  М n .
def
Дисперсией случайной величины называется число D  M  M 2 . Иногда
для вычислений более удобна формула D  M
2
 M 2 . Величина   D
называется среднеквадратичным отклонением значений случайной величины от
ее среднего.
Свойства дисперсии:
1. D  c   D . В частности,     C , то D  0 .
2. c  R Dc   c 2 D .
1 ,  ,  n :
3.Для
независимых
случайных
величин
D1     n   D1    D n .
Начальным моментом k-го порядка случайной величины называется
k
математическое ожидание k-й степени этой случайной величины:  k    M . Для
дискретной:  k   
n

i 1
xik
pi , для непрерывной:  k   

x

k
p  x dx .
Центральным моментом k-го порядка случайной величины называется
математическое ожидание k-й степени соответствующей центрированной случайной
величины:
 
 k    M  0
k
 M  M k .
Для
n

i 1

 k     xi  M k pi , а для непрерывной:  k   
дискретной
  x  M 
k
величины:
p  x dx .
Коэффициентом асимметрии или асимметрией распределения

называется величина А  33 . Эксцессом случайной величины называется

4
отношение Е  4  3 .

1)
2)
24
Упражнения
Вычислить числовые характеристики показательного распределения.
Найти вероятность того, что случайная величина примет значение
меньшее, чем ее математическое ожидание.
В нашем распоряжении имеется 5 лампочек, каждая из них с
вероятностью 0.4 имеет дефект. Лампочка ввинчивается в патрон, и
3)
4)
5)
6)
7)
8)
включается ток. При включении тока дефектная лампочка сразу
перегорает, после чего заменяется другой. Построить распределение
числа испробованных лампочек и найти числовые характеристики.
Функция распределения непрерывной случайной величины имеет вид:
 0, x  0

F  x    x 2 ,0  x  1 . Найти числовые характеристики этой случайной
 1, x  1

величины.
Определить
числовые
характеристики
случайной
величины,
распределенной по закону Пуассона.
Производится ряд независимых опытов, в каждом из которых может
появиться некоторое событие А. Вероятность события А в каждом опыте
равна р. Опыты производятся до первого появления события А, после
чего они прекращаются. Случайная величина  – число произведенных
опытов. Построить ряд распределения этой случайной величины и найти
ее математическое ожидание и дисперсию.
Производится два независимых выстрела по мишени. Вероятность
попадания при каждом выстреле равна р. Рассматриваются случайные
величины:  – разность между числом попаданий и числом промахов;  –
сумма числа попаданий и числа промахов. Построить для каждой из
случайных величин  и  ряд распределения. Найти их числовые
характеристики.
Случайная величина подчинена закону распределения с плотностью

  
0.5 cos x, x   2 , 2 

 . Найти характеристики этой случайной
p x   
 0, x    ,  
 2 2 

величины.
Автомашина проходит техосмотр и техобслуживание. Число
неисправностей, обнаруженных во время техосмотра, распределено по
закону Пуассона с параметром . Если неисправностей не обнаружено,
техобслуживание продолжается в среднем 2 часа. Если обнаружены 1
или 2 неисправности, то на устранение каждой из них тратится в среднем
еще полчаса. Если обнаружено более 2 неисправностей, то машина
ставится на профилактический ремонт, где она находится в среднем 4
часа. Определить закон распределения среднего времени Т обслуживания
и ремонта машины и его математическое ожидание.
25
9)
Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины,
заданной плотностью распределения:
1

 1
, x   1,1

, x  a  c, a  c
а) px    1  x 2
; б) px    2c
.
 0, x  a  c, a  c

0, x   1,1
Тема 7. Двумерные случайные величины
Теоретические сведения
Двумерной случайной величиной ( , ) называется совокупность
(система) двух случайных величин. Геометрически ее можно
интерпретировать как случайную точку на плоскости.
Функция
распределения
двумерной
случайной
величины:
F  x, y   P  x   y  .
Свойства функции распределения:
1. F  ,   F  , y   F  x,   0 ;
2. F  ,   1;
3. F  x,   F1  x ; F  , y   F2  y , F1  x  и F2  x  – функции распределения
случайных величин  и  соответственно;
4. F  x, y  – неубывающая функция х и у.
Вероятность попадания точки ( ,) в прямоугольник R со сторонами,
параллельными осям координат:
P ,   R  F  ,    F  ,    F  ,    F  ,  
Плотность распределения двумерной случайной величины выражается
 2 F  x, y 
через функцию распределения: p  x, y  
.
xy
Свойства плотности распределения:
1. p x, y   0 ;
2.  px, y dxdy  1 .
R2
Вероятность попадания точки ( ,) в произвольную область D:
P ,   D   px, y dxdy
D
Функция распределения двумерной случайной величины выражается
через плотность:
26
 y

F x, y      pt , s ds dt .


  

Плотности распределения отдельных компонент:
x
p1  x  


p  x, y  dy ;
p2  y  


 p  x, y  dx

Условные плотности распределения:
p  x, y 
p  x, y 
.
p y x  
; p x x  
p2  y 
p1  x 
Для расчета начальных и центральных моментов используются
формулы:
 k ,s  ,     xik y sj pij ;  k ,s  ,    xi  M k y j  M s pij ;

i
j
i

j
 k , s  ,    x k y s p x, y dxdy;  k , s  ,     x  M k  y  M s p x, y dxdy .
R2
R2
Ковариация характеризует рассеяние и зависимость случайных
def
Cov ,   M  M   M   M  MM .
величин:
Коэффициент корреляции:
Cov , 
. Всегда   ,   1.
  ,  
D  D
Упражнения
1) Два стрелка независимо один от другого производят по одному выстрелу,
каждый по своей мишени. Случайная величина  – число попаданий
первого стрелка,  – второго стрелка. Вероятность попадания в мишень
для первого стрелка равна 0.7, для второго – 0.8. Построить функцию
распределения F  x, y  двумерной случайной величины ( , ).
2)
3)
4)
По мишени производится один выстрел. Вероятность попадания равна
0.75. Рассматриваются две случайные величины:  – число попаданий; 
– число промахов. Построить функцию распределения F  x, y  двумерной
случайной величины ( , ).
Имеются две независимые случайные величины.  – распределена по
показательному закону с параметром , а  – по показательному закону с
параметром . Написать выражения для плотности распределения и
функции распределения двумерной случайной величины ( , ).
Двумерная случайная величина ( , ) распределена с постоянной
плотностью внутри квадрата со стороной 1. Написать выражение для
27
5)
6)
7)
плотности распределения p x, y  . Построить функцию распределения
F  x, y  . Написать выражения для плотностей компонент. Определить,
являются ли случайные величины  и  независимыми или зависимыми.
Найти вероятность попадания случайной точки ( , ) в прямоугольник,




ограниченный прямыми: x  , x  , y  , y  , если известна
6
2
4
3
 
 
функция распределения F x, y   sin x  sin y, x  0, , y  0,  .
 2
 2
Найти плотность совместного распределения p x, y 
случайной
величины
(,
)
по
известной
функции
распределения
 
F  x, y   sin x  sin y, x, у  0,  .
 2
Найти функцию распределения случайной величины ( , ) по известной
1
плотности совместного распределения: p x, y   2
.
 1 x2 1 y2

8)
9)
28


Двумерная случайная величина ( , ) задана плотностью совместного
 1 x2 y2
1
 , 
6

9
4
распределения:
.
Найти
плотности
p  x, y   
2
2
x
y
 0, 
1

9
4
распределения составляющих  и . Показать, что  и  зависимые
некоррелированные величины.
Двумерная случайная величина ( , ) задана плотностью совместного
 1
, x2  y2  r 2

2
распределения: p x, y    r 
. Найти условные законы
 0, x 2  y 2  r 2

распределения составляющих  и .