УМК БкЭ-100 Теория вероятностей и математическая

ФГБОУ ВПО «Российская академия народного хозяйства и государственной службы
при Президенте Российской Федерации»
Волгоградский филиал
Кафедра Информационных систем и математического моделирования
Савушкин А.Ю.
ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА
Учебно-методический комплекс для студентов направления подготовки
080100.62 Финансы и кредит
Рассмотрено и утверждено на заседании кафедры
Протокол № 2 от «14» сентября 2011 г.
Заведующий кафедрой ИС и ММ
_______________ Астафурова О.А.
Волгоград 2011
Содержание
2
Наименование раздела
№
стр
Раздел 1. Рабочая программа учебной дисциплины .......................................................................... 3
1.1. ТРЕБОВАНИЯ ГОСУДАРСТВЕННОГО ОБРАЗОВАТЕЛЬНОГО СТАНДАРТА ПО УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЕ
«ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА» ............................................................... 3
1.2. ЦЕЛИ И ЗАДАЧИ УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ. .......................................................................................... 3
1.3. ТРЕБОВАНИЯ К УРОВНЮ ОСВОЕНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ. .......................................................................... 3
1.4. ТЕМАТИЧЕСКИЙ ПЛАН КУРСА «ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА» (216
Ч.) .............................................................................................................................................................. 5
НА 2011-2012 УЧ.ГОД ДЛЯ СТУДЕНТОВ БКЭ-100 ..................................................................................... 5
1.5. УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ .................................................... 8
I семестр .............................................................................................................................................. 8
II семестр .......................................................................................................................................... 21
Раздел 2. Методические рекомендации по изучению учебной дисциплины для студентов .... 29
2.1. РЕКОМЕНДАЦИИ ПО ИСПОЛЬЗОВАНИЮ МАТЕРИАЛОВ УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОГО КОМПЛЕКСА ..... 29
2.2. ПОЖЕЛАНИЯ К ИЗУЧЕНИЮ ОТДЕЛЬНЫХ ТЕМ КУРСА ........................................................................ 30
2. 3. РЕКОМЕНДАЦИИ ПО РАБОТЕ С ЛИТЕРАТУРОЙ ................................................................................. 30
2.4. СОВЕТЫ ПО ПОДГОТОВКЕ К ЭКЗАМЕНУ (ЗАЧЕТУ) ........................................................................... 31
Раздел 3. Материалы тестовой системы или практикум по решению задач по темам лекций
..................................................................................................................................................................... 31
II семестр .......................................................................................................................................... 40
Раздел 4. Словарь основных терминов (глоссарий) ......................................................................... 48
3
Раздел 1. Рабочая программа учебной дисциплины
1.1.
Требования государственного образовательного стандарта по учебной дисциплине
«Теория вероятностей и математическая статистика»
1.2. Цели и задачи учебной дисциплины.
Цель курса состоит в том, чтобы обучить студентов основным приемам и методам высшей
математики, развить навыки логического и алгоритмического мышления, научить их самостоятельно использовать математическую литературу и полученные знания при решении прикладных
задач.
Задачами курса являются:

изучить основные понятия и методы теории вероятностей и математической статистики;

сформировать базу для изучения других дисциплин, использующих математический аппарат;

научиться использовать основные приёмы математических методов при самостоятельном
исследовании и решении различных прикладных задач;

научиться использовать основные приёмы обработки экспериментальных данных;

освоить методы проверки зависимости случайных величин;

развить логическое и алгоритмическое мышление студентов;

повысить общий уровень математической культуры студентов.
1.3. Требования к уровню освоения дисциплины.
В результате изучения дисциплины студент должен обладать следующими компетенциями:
ОК-1 владть культурой мышления, способностью к обобщению, анализу, восприятию информации, постановке цели и выбору путей ее достижения;
ПК-1 способностью собрать и проанализировать исходные данные, необходимые для расчета
экономических и социально-экономических показателей, характеризующих деятельность хозяйствующих субъектов;
ПК-2 способностью на основе типовых методик и действующей нормативно-правовой базы
рассчитать экономические и социально-экономические показатели, характеризующие деятельность хозяйствующих субъектов;
ПК-3 способностью выполнять необходимые для составления экономических разделов планов расчеты, обосновывать их и представлять результаты работы в соответствии с принятыми в
организации стандартами;
ПК-4 способностью осуществлять сбор, анализ и обработку данных, необходимых для решения поставленных экономических задач;
ПК-5 способностью выбрать инструментальные средства для обработки экономических данных в соответствии с поставленной задачей, проанализировать результаты расчетов и обосновать
полученные выводы;
ПК-6 способностью на основе описания экономических процессов и явлений строить стандартные теоретические и эконометрические модели, анализировать и содержательно интерпретировать полученные результаты;
4
ПК-10 способностью использовать для решения аналитических и исследовательских задач
современные технические средства и информационные технологии;
5
1.4. Тематический план курса «Теория вероятностей и математическая статистика» (216 ч.)
На 2011-2012 уч.год для студентов БкЭ-100
Количество часов (в акад. часах и/или кредитах)
Лекции Практические
Сам.
Всего часов
занятия
работа
по теме
Очная форма обучения
Iсеместр
Тема 1. Предмет и основные понятия теории вероятностей. Элементы комбинатори2
4
2
ки Виды случайных событий. Классическое
определение вероятности.
Тема 2. Алгебра событий. Теоремы сложе2
8
ния и умножения вероятностей независи2
4
мых событий.
Тема 3. Формула полной вероятности.
2
6
2
2
Формула Байеса.
Тема 4. Последовательность независимых
испытаний. Схема и формула Бернулли.
4
2
2
6
Наивероятнейшее число появлений события. Предельные теоремы.
Тема 5. Случайные величины. Дискретная и
непрерывная случайная величина. Закон
распределения. Многоугольник распреде2
2
4
ления. Интегральная функция распределения вероятностей случайной величины.
Тема 6. Плотность распределения вероятностей. Основные свойства. Числовые характеристики дискретной случайной величины.
2
6
2
10
Числовые характеристики непрерывной
случайной величины.
Тема 7. Классические законы распределения случайных величин. Биномиальный закон. Равномерное и показательное распре4
4
2
10
деление. Нормальная случайная величина.
Центральные предельные теоремы теории
вероятностей.
18
18
43
79
ИТОГО за I семестр
Форма контроля
зачет
II семестр
Тема 8. Математическая статистика. Предмет и задачи математической статистики.
Генеральная и выборочная совокупности.
4
2
2
8
Статистическое распределение выборки.
Статистическая функция распределения.
Выборочные характеристики.
Тема 9. Статистические оценки параметров
распределения. Доверительные интервалы и
2
2
4
доверительные вероятности. Проверка статистических гипотез.
Наименование тем
6
Количество часов (в акад. часах и/или кредитах)
Лекции Практические
Сам.
Всего часов
занятия
работа
по теме
Наименование тем
Тема 10. Корреляционно-регрессионный
анализ. Статистическая зависимость. Понятие корреляционной и функциональной зависимости. Метод наименьших квадратов.
Определения параметров выборочного
уравнения прямой линии среднеквадратической регрессии. Коэффициент линейной
корреляции Пирсона.
Тема 11. Элементы дисперсионного анализа.
ИТОГО за II семестр:
Форма контроля
2
30
4
30
Экзамен
2
8
8
8
50
110
36
Всего часов с экзаменом
ИТОГО:
Форма контроля
48
48
Зачет, экзамен
Всего часов с экзаменом
Заочная форма обучения
Iсеместр
93
146
180
36
216
(5,5 ЗЕТ)
7
Наименование тем
ИТОГО за I семестр
Форма контроля
ИТОГО за II семестр:
Форма контроля
Количество часов (в акад. часах и/или кредитах)
Лекции Практические
Сам.
Всего часов
занятия
работа
по теме
зачет
II семестр
Экзамен
36
180
Всего часов с экзаменом
ИТОГО:
Форма контроля
Всего часов с экзаменом
100
Зачет, экзамен
254
36
290
(8 ЗЕТ)
8
1.5. Учебно-методическое обеспечение учебной дисциплины
I семестр
ЛЕКЦИИ
Лекция 1. Предмет и основные понятия теории вероятностей. Виды случайных событий.
Классическое определение вероятности. Элементы комбинаторики (2ч).
Классическая теория вероятностей. Краткая историческая справка. Основные понятия теории вероятностей: испытание и событие в теории вероятностей; классификация событий в теории
вероятностей; предмет теории вероятностей; виды случайных событий; элементарные исходы и
благоприятствующие элементарные исходы испытания; вероятность события, классическое определение вероятности события; основные свойства (аксиомы) вероятности; относительная частота
события и ее отличие от вероятности; статистическая вероятность; свойство устойчивости относительной частоты события. Введение в теорию вероятностей – элементы комбинаторики. Классическая формула определения вероятности. Геометрические вероятности. Задача о встрече. Игла
Бюффона.
Основные понятия: случайное событие, частота события, вероятность, комбинаторика, факториал натурального числа, сочетания, размещения, перестановки, геометрическая вероятность.
Лекция 2. Алгебра событий. Теоремы сложения и умножения вероятностей (2ч).
Случайные события и их описание. Основные теоремы теории вероятностей: понятие суммы событий; события совместные и несовместимые; теорема сложения вероятностей несовместимых событий и событий, образующих полную группу; противоположные события и соотношение
между вероятностями противоположных событий.
Основные теоремы теории вероятностей: понятие произведения событий; события зависимые и
независимые; условная вероятность события; теорема умножения вероятностей для зависимых и
независимых событий. Следствия теорем сложения и умножения: теорема «про хотя бы»; теорема
сложения вероятностей для двух совместимых событий.
Основные понятия: сумма и произведение случайных событий, зависимые (независимые)
события, совместные (несовместные) события, условная вероятность.
Лекция 3. Формула полной вероятности. Формула Байеса (2ч).
Полная группа событий. Формула полной вероятности. Формула Байеса.
Основные понятия: полная группа событий, гипотеза.
Лекция 4-5. Последовательность независимых испытаний. Схема и формула Бернулли.
Наивероятнейшее число появлений события. Предельные теоремы (4 ч).
9
Повторные независимые испытания; последовательность независимых испытаний. Вывод
формулы Бернулли. Наивероятнейшее число появления события в серии повторных независимых
испытаний. Локальная теорема Муавра-Лапласа. Нормированная функция Гаусса и её основные
свойства. Формула Пуассона. Интегральная теорема Лапласа. Функция Лапласа и ее свойства.
Основные понятия: схема независимых испытаний.
Лекция 6. Дискретные случайные величины (2ч).
Понятие случайной величины. Дискретные и непрерывные случайные величины и их описание. Закон распределения дискретной случайной величины. Ряд распределения. Многоугольник
распределения. Интегральная функция распределения; свойства функции распределения; график.
Построение интегральной функции распределения для дискретных случайных величин. Интегральная функция как аналитическая форма закона распределения случайных величин.
Основные понятия: случайная величина, дискретная случайная величина, закон распределения, интегральная функция распределения.
Лекция 7. Непрерывные случайные величины (2ч).
Дифференциальная функция распределения или плотность распределения вероятностей;
свойства плотности распределения вероятностей. Связь интегральной и дифференциальной функций распределения вероятностей. Понятие числовых характеристик случайной величины. Математическое ожидание. Дисперсия. Среднеквадратическое отклонение. Формулы вычисления числовых характеристик для дискретных и непрерывных случайных величин.
Основные понятия: непрерывная случайная величина, функция плотности распределения
вероятностей, числовые характеристики, математическое ожидание, дисперсия, среднеквадратическое отклонение.
Лекция 8-9. Классические законы распределения случайных величин (4ч).
Биномиальный закон распределения дискретной случайной величины. Числовые характеристики. Равномерное и показательное распределения непрерывных случайных величин. Интегральные
и дифференциальные функции распределений, их графики. Вывод числовых характеристик. Нормальное распределение непрерывной случайной величины: нормально распределённая случайная величина; зависимость кривой нормального распределения от величины математического ожидания и
среднего квадратического отклонения случайной величины; вероятность попадания нормальной случайной величины в заданный интервал; вероятность заданного отклонения нормально распределённой
случайной величины от её среднего значения; правило трёх сигм и его графическое представление.
Неравенство Чебышева. Центральная предельная теорема теории вероятностей - теорема Ляпунова.
Основные понятия: биномиальный закон, геометрический закон, гипергеометрический закон, показательное распределение, равномерное распределение, нормальный закон, кривая Гаусса,
интеграл ошибок.
10
Планы семинарских занятий (I – семестр)
Семинар 1-2. Классическое определение вероятности. Алгебра событий. Теоремы сложения и
умножения вероятностей (4 часа).
Рассматриваемые вопросы:
1. Классическая формула вероятности.
2. Основные формулы комбинаторики.
3. Теорема сложения вероятностей событий.
4. Независимые события. Теорема умножения вероятностей.
5. Зависимые события. Условная вероятность. Теорема умножения вероятностей событий.
Практические задания:
1. Основные комбинаторные формулы.
1.1. Сколькими способами могут занять первое, второе и третье место 8 участниц финального забега на дистанции 100 м?
1.2. Сколькими способами можно с помощью букв A, B, C, D, E, F, G, K обозначить вершины куба?
1.3. Сколько существует способов выбрать троих ребят из четверых желающих дежурить
по столовой?
2. Классическое определение вероятности.
2.1. Из корзины, в которой находятся 5 белых и 3 черных шара извлекают один шар. Найти
вероятность, что он - белый. Извлекают 3 шара. Найти вероятность того, что среди них
окажутся: а) Один белый; б) Два белых; в) Три белых; г) Хотя бы один белый.
2.2. В 10 экзаменационных билетах содержатся по 2 вопроса, которые не повторяются.
Студент знает ответы на 15 вопросов. Найти вероятность того, что студент сдаст экзамен,
если для этого достаточно ответить на один вопрос.
2.3. В партии из 10 изделий 7 - стандартных. Найти вероятность того, что среди 6 взятых
наудачу деталей ровно 4 - стандартные.
2.4. Из 10 билетов лотереи выигрышными являются - 2. Найти вероятность того, что среди
взятых наудачу 5 билетов выигрышными окажутся один или два.
2.5. Случайным образом выбрали двузначное число. Найдите вероятность того, что оно: 1)
оканчивается нулем; 2) состоит из одинаковых цифр; 3) больше 27 и меньше 46; 4) не
является квадратом целого числа.
2.6. Среди 25 экзаменационных билетов 5 «хороших». Два студента по очереди берут по
одному билету. Найти вероятность того, что оба студента взяли «хорошие» билеты.
2.7. Из слова «Наугад» выбирается одна буква. Найти вероятность того, что это гласная.
11
3. Теоремы сложения и умножения вероятностей.
3.1. Найти вероятность того, что наудачу взятое двузначное число окажется кратным либо
4, либо 5, либо тому и другому одновременно.
3.2. В барабане 6 шаров, из которых 3 белых. Наудачу извлечены 2. Вычислить вероятность
того, что оба они белые.
3.3. Вероятность попасть в цель для первого снайпера 0,8; для второго - 0,9; для третьего 0,7. Найти: а) Вероятность одного попадания; б) Вероятность двух попаданий;
в) Вероятность хотя бы одного попадания.
3.4. Вероятность безотказной работы в течение гарантированного срока составляет для
пылесоса - 0,8 и для холодильника - 0,95. Какова вероятность того, что в течение срока
гарантии окажутся работоспособными: а) оба прибора; б) один прибор.
3.5. Экзаменационный билет содержит 3 вопроса. Вероятность того, что студент ответит на
первый вопрос 0,9; на второй - 0,7; третий - 0,4. Найти вероятность того, что студент сдаст
экзамен, если для этого достаточно правильно ответить на два вопроса.
3.6. Охотник выстрелил три раза по удаляющейся цели. Вероятность попадания в неё в
начале стрельбы равна 0,8; а после каждого выстрела уменьшается на 0,2. Найти
вероятность того, что он попадает два раза.
3.7. В денежно-вещевой лотерее на каждые 10000 билетов разыгрывается 150 вещевых и 50
денежных выигрышей. Чему равна вероятность выигрыша для владельца 1 лотерейного
билета?
3.8. Вероятность поломки первого станка в течение смены равна 0,2, а второго – 0,13. Чему
равна вероятность того, что оба станка потребуют наладки в течение смены?
3.9. Два спортсмена независимо друг от друга стреляют по одной мишени. Вероятность
попадания в мишень первого спортсмена равна 0,7, а второго – 0,8. Какова вероятность
того, что мишень будет поражена.
3.10. Из 12 билетов, пронумерованных от 1 до 12, один за другим (без возвращения)
выбирают два билета. Какова вероятность того, что номера этих билетов четные?
Литература:
1. Краткий курс высшей математики: Учебное пособие для вузов/ Б.П. Демидович,
В.А. Кудрявцев. – М.: ООО «Издательство Астрель»: ООО «Издательство АСТ», 2003.
2. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. ч. 1-2.
– М.: Высшая школа, 1996.
3. Кремер Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика: Учебник для вузов. – М.:
ЮНИТИ-ДАНА, 2001. – 543 с.
4. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика: Учеб. пособие для вузов. – 4-е
изд., стер. – М.: Высшая школа., 1998. – 415 с.
12
5. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике: Учеб. пособие для вузов. – 4-е изд., стер. – М.: Высшая школа., 1998. – 400 с.
6. Исследование операций в экономике. / Под.ред. Н.Ш.Кремера. -М.: Банки и биржи, 1997.
Семинар 3. Формула полной вероятности. Формула Байеса (2 часа).
Рассматриваемые вопросы:
1. Полная группа событий. Вероятности гипотез.
2. Формула полной вероятности.
3. Формула Байеса.
Практические задания:
1. В пирамиде 10 винтовок [6 с оптическим прицелом и 4 без оптики]. Вероятность поразить цель
для винтовок соответственно 0,8 и 0,3. Из случайно выбранной винтовки произведен выстрел.
Найти вероятность поражения цели.
2. На склад поступили изделия с трех заводов [ 40% с первого; 35% со второго и 25% с третьего ].
На первом заводе было изготовлено 90% изделий первого сорта, на втором - 80%, на третьем
70%. Какова вероятность того, что взятое наугад изделие первого сорта. { 0,815 }
3. В корзину [ 2 белых и 1 черный шаров ] доложили один шар. После чего из неё наугад извлекли один шар. Найти вероятность того, что он белый, если первоначально мог быть доложен
любой шар.
4. Из пяти стрелков двое попадают в цель с вероятностью 0,6 и трое с вероятностью 0,4. Что вероятнее: попадет в цель наудачу выбранный стрелок или нет.
5. В группе из 25 человек, среди которых три отличника, 15 хорошистов, 7 троечников необходимо сдать зачет. Вероятность успешно сдать зачет для отличника 0,9; для хорошиста – 0,8;
для троечника – 0,6. Вызванный наугад студент не сдал зачет. Какова вероятность того, что он
хорошист.
6. В группе из 200 мужчин и 300 женщин 5% мужчин и 3% женщин страдают бронхитом. Наугад
выбранное для обследования лицо страдает бронхитом. Какова вероятность того, что это женщина.
7. Из 20 стрелков 5 попадают в мишень с вероятностью 0,8; 8 – с вероятностью 0,7 и остальные с
вероятностью – 0,4. Наудачу выбранный стрелок попал в мишень. К какой группе вероятнее
всего он принадлежит.
8. В одной из трех корзин 6 белых и 4 черных шара, во второй 7 белых и 3 черных, в третьей – 8
черных. Наугад выбирают одну из трех корзин и из неё шар. Он черный. Найти вероятность
того, что шар из второго ящика.
9.
Одна и та же контрольная работа была проведена в трех группах. В первой группе, где 30 студентов, оказалось 8 работ, выполненных на "отлично". Во второй, где 28 студентов, — 6 работ;
в третьей, где 27 студентов — 9 работ. Найти вероятность того, что первая взятая наудачу при
повторной проверке контрольная из работ, принадлежащих группе, которая также выбрана
наудачу, окажется выполненной на "отлично".
10. В двух залах кинотеатра идут два различных фильма. Вероятность того, что на определенный
час в кассе первого зала есть билеты, равна 0,3, в кассе второго зала — 0,4. Какова вероятность
того, что на данный час в первой кассе есть билеты, а во второй — нет?
13
11. Предположим, что 5% всех мужчин и 0,25% всех женщин дальтоники. Наугад выбранное лицо
страдает дальтонизмом. Какова вероятность того, что это мужчина? (Считать, что мужчин и
женщин одинаковое число).
12. На первом заводе на каждые 100 лампочек 90 стандартных, на втором – 95, на третьем – 85, а
продукция их составляет соответственно 50%, 30%, 20% всех электролампочек, поставляемых
в магазины данного района. Найти вероятность приобретения стандартной электролампочки.
Литература:
1. Краткий курс высшей математики: Учебное пособие для вузов/ Б.П. Демидович,
В.А. Кудрявцев. – М.: ООО «Издательство Астрель»: ООО «Издательство АСТ», 2003.
2. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. ч. 1-2.
– М.: Высшая школа, 1996.
3. Кремер Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика: Учебник для вузов. – М.:
ЮНИТИ-ДАНА, 2001. – 543 с.
4. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика: Учеб. пособие для вузов. – 4-е
изд., стер. – М.: Высшая школа., 1998. – 415 с.
5. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике: Учеб. пособие для вузов. – 4-е изд., стер. – М.: Высшая школа., 1998. – 400 с.
6. Исследование операций в экономике. / Под.ред. Н.Ш.Кремера. -М.: Банки и биржи, 1997.
Семинар 4. Модель Бернулли (2 часа).
Рассматриваемые вопросы:
1. Схема и формула Бернулли.
2. Определение наивероятнейшего числа появлений события в серии из n независимых испытаний.
3. Локальная теорема Муавра-Лапласа.
4. Интегральная теорема Муавра-Лапласа.
5. Асимптотическая формула Пуассона.
Практические задания:
1. Монета бросается 5 раз. Найти вероятность того, что герб появится трижды.
2. Вероятность хотя бы одного попадания в цель при 4 независимых выстрелах равна 0,9984.
Найти вероятность попадания при одном выстреле.
3. Вероятность хотя бы одного попадания в цель при двух выстрелах 0,64. Найти вероятность
трех попаданий при пяти выстрелах.
4. В цехе работают 4 станка, причем вероятность остановки в течение часа для каждого из них
одна и та же и равна 0,8. Какова вероятность того, что в течение часа остановятся не менее
трех станков.
5. Вероятность изготовления пальто высшего качества на швейной фабрике 0,6. Изготовлено 600
пальто. Чему равно наивероятнейшее число изделий высшего качества и вероятность этого события. Найти вероятность того, что изделий высшего качества будет не более 400.
6. Вероятность получения дивидендов по акции 0,8. Найти вероятность того, что дивиденды принесут не менее 120 акций из 144.
7. С вероятностью 0,8 орудие при выстреле поражает цель. Произведено 1600 выстрелов. Найти
наивероятнейшее число попаданий. Найти вероятность того, что число попаданий будет в интервале от 1000 до 1500.
14
8. Найти вероятность того, что из 500 посеянных семян не взойдет 130, если всхожесть семян
оценивается с вероятностью 0,75. {0,036}
9. Вероятность нарушения точности в сборке прибора составляет 0,2. Найти наиболее вероятное
число точных приборов в партии из 9 штук. {7,8}
10.Найти вероятность того, что событие наступит ровно 80 раз в 400 испытаниях, если вероятность появления этого события в каждом испытании равна 0,2. {0,05}
11.Вероятность того, что деталь не прошла проверку ОТК, равна 0,2. Найти вероятность того, что
среди 400 деталей проверку не пройдут от 70 до 100 штук. {0,8882}
12.Садовод сделал осенью шесть прививок. По опыту прошлых лет известно, что после зимовки
семь из каждых десяти прививок оставались жизнеспособными. Какое число прижившихся
прививок наиболее вероятно?
13.Вероятность того, что сошедшая с конвейера деталь стандартная, равна 0,9. Найти вероятность
того, что из 400 сошедших с конвейера деталей 356 окажутся стандартными.
14.Известно, что при контроле бракуется 10% изделий. На контроль отобрано 625 изделий. Какова вероятность того, что среди отобранных не менее 550 и не более 575 стандартных изделий?
Литература:
1. Краткий курс высшей математики: Учебное пособие для вузов/ Б.П. Демидович,
В.А. Кудрявцев. – М.: ООО «Издательство Астрель»: ООО «Издательство АСТ», 2003.
2. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. ч. 1-2.
– М.: Высшая школа, 1996.
3. Кремер Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика: Учебник для вузов. – М.:
ЮНИТИ-ДАНА, 2001. – 543 с.
4. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика: Учеб. пособие для вузов. – 4-е
изд., стер. – М.: Высшая школа., 1998. – 415 с.
5. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике: Учеб. пособие для вузов. – 4-е изд., стер. – М.: Высшая школа., 1998. – 400 с.
6. Исследование операций в экономике. / Под.ред. Н.Ш.Кремера. -М.: Банки и биржи, 1997.
Семинар 5-6-7. Дискретная случайная величина. Непрерывная случайная величина. (6 часов).
Рассматриваемые вопросы:
1. Понятие дискретной случайной величины.
2. Закон распределения. Табличная форма (ряд распределения). Многоугольник распределения
(графическая форма). Интегральная функция распределения вероятностей (аналитическая
форма).
3. Числовые характеристики дискретной случайной величины. Математическое ожидание.
Дисперсия. Среднеквадратическое отклонение.
4. Понятие непрерывной случайной величины.
5. Закон распределения. Интегральная функция распределения вероятностей. Дифференциальная
функция распределения вероятностей (плотность распределения).
15
6. Числовые характеристики дискретной случайной величины. Математическое ожидание.
Дисперсия. Среднеквадратическое отклонение.
Практические задания:
Дискретные случайные величины.
1. В партии из 10 деталей имеется 8 стандартных. Наудачу отобраны две детали. Составить закон распределения случайной величины Х – число стандартных деталей среди отобранных.
Построить многоугольник распределения. Найти F(x).
2. В партии из 6 деталей имеется 4 стандартных. Наудачу отобраны 3 детали. Составить закон
распределения случайной величины X – число стандартных деталей среди отобранных.
3. Студенту для сдачи экзамена необходимо ответить на билет, содержащий два вопроса. Вероятность того, что он знает первый вопрос 0,8; второй 0,6. Составить закон распределения
случайной величины X – число вопросов, на которые ответит студент. Найти и построить
график F(x).
4. В корзине находятся 4 белых и 2 черных шаров. Случайным образом извлекаются два. Найти
закон распределения случайной величины X – количество белых шаров среди извлеченных.
F(x), M(x), D(x).
5. Рассматривается случайная величина X – число появлений события в двух независимых испытаниях. M(x)=1,2. Найти p и D(x), если вероятность события в каждом из испытаний постоянна.
6. Дискретная случайная величина X представлена табличной формой закона распределения:
Xi
Pi
-4
0,2
6
0,3
Вычислить М(х), D(x), (x). Построить график F(x).
10
0,5
7. Дискретная случайная величина представлена рядом распределения:
Xi
x1=4
x2=6
x3=?
Pi
p1=0,5
p2=0,3
p3=?
Найти x3, p3, если M(x)=8.
8.
Дискретная случайная величина принимает два значения, причем x1<x2. Найти закон
распределения случайной величины Х, если М(х)=1,4; D(x)=0,24; p1  0, 4 .
9.
Известны возможные значения дискретной случайной величины Х: x1=-1, x2=0, х3=1.
Известно, что М(х)=0,1 и D(x)=0,89. Найти p1, p2, p3.
10. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение для
случайной величины Х, заданной рядом распределения:
Х
Р
3
0,4
5
0,3
7
0,2
9
0,1
16
Непрерывные случайные величины.
1. Непрерывная случайная величина задана функцией распределения:
0, при x  0

F ( x)   81 x 3 , если 0  x  2 Найти f(x), M(x), D(x), (x). Построить графики F(x) и f(x). P(1<X<3)–?.
1, при x  2

2. Непрерывная случайная величина задана функцией распределения:
0, при x  1

F ( x)   12 ( x 2  x), если 1  x  2 Найти f(x), M(x), D(x), (x). Построить графики F(x) и f(x).
1, при x  2

P(X<3/2) – ?.
3. Непрерывная случайная величина задана функцией распределения:
0, при x  0

F ( x)  cx 2 , если 0  x  3 Найти f(x), M(x), D(x), (x). Построить графики F(x) и f(x). P(1<X<3)–?.
1, при x  3

4. Непрерывная случайная величина задана функцией плотности:
0, при x  1

f ( x)   x  12 , если 1  x  2 Найти F(x), M(x), D(x), (x). Построить графики F(x) и f(x).
0, при x  2

P(0<X<3/2) – ?.
5. Непрерывная случайная величина задана функцией плотности:
0, при x  1

f ( x)  с, если - 1  x  1 Найти c, F(x), M(x), D(x), (x). Построить графики F(x) и f(x). P(X<0) – ?.
0, при x  1

6. Непрерывная случайная величина задана функцией плотности:
0, при x  4

f ( x)  с( x  4), если 4  x  6 Найти c, F(x), M(x), D(x), (x). Построить графики F(x) и f(x).
0, при x  6

P(X>5) – ?.
7. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины Х, заданной функцией плотности:
x  1
0,
 2
f ( x)  3 x ,  1  x  0 .
0,
x0

8. Случайная величина X подчинена закону распределения с плотностью f(x), причем a неизвестно:
x  0,
0,

2
f ( x)  a(3x  x ), 0  x  3, Найти: 1 Коэффициент a; 2. P(1<X<2)
0,
x  3.

9. Функция распределения случайной величины X задана выражением
0, x  0,
 x 2
F ( x)   , 0  x  2, Найти функцию плотности.
4
x  2.
1,
17
Литература:
1. Краткий курс высшей математики: Учебное пособие для вузов/ Б.П. Демидович,
В.А. Кудрявцев. – М.: ООО «Издательство Астрель»: ООО «Издательство АСТ», 2003.
2. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. ч. 1-2.
– М.: Высшая школа, 1996.
3. Кремер Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика: Учебник для вузов. – М.:
ЮНИТИ-ДАНА, 2001. – 543 с.
4. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика: Учеб. пособие для вузов. – 4-е
изд., стер. – М.: Высшая школа., 1998. – 415 с.
5. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике: Учеб. пособие для вузов. – 4-е изд., стер. – М.: Высшая школа., 1998. – 400 с.
6. Исследование операций в экономике. / Под.ред. Н.Ш.Кремера. -М.: Банки и биржи, 1997.
Семинар 8-9. Классические законы распределения случайных величин (4 часа).
Рассматриваемые вопросы:
1. Определение биномиального закона распределения дискретной случайной величины. Свойства.
Числовые характеристики.
2. Равномерный закон распределения непрерывной случайной величины. Свойства. Числовые
характеристики.
3. Показательный закон распределения непрерывной случайной величины. Свойства. Числовые
характеристики.
4. Нормальный закон распределения. Кривая Гаусса. Числовые характеристики. Основные
свойства. Правило трех сигм.
Практические задания:
Равномерное распределение.
1. Некто ожидает телефонный звонок между 19.00 и 20.00. Время ожидания звонка есть
непрерывная случайная величина, имеющая равномерное распределение на отрезке [19;20].
Найти вероятность того, что звонок поступит в промежутке от 19 час. 22 мин. до 19 час. 46
мин.
2. Случайная величина X распределена равномерно и имеет следующие числовые
характеристики M ( x )  2, D( x )  3. Найти F ( x ), f ( x ) , построить графики.
3. Про случайную величину X известно, что X
R[4, 7]. Найти:
a ) f ( x ); b) P  X  (6; 6, 81); c) M ( x), ( x).
Показательный закон распределения.
4. Время T выхода из строя радиостанции подчинено показательному закону распределения с

0, 2  e 0, 2 t , при t  0, Найти: функцию распределения F ( t ) ;
плотностью: f ( t ) 
0,
при t  0.
18
математическое ожидание и дисперсию случайной величины T ; вероятность того, что
радиостанция сохранит работоспособность от 1 до 5 часов работы.
5. Случайная величина X распределена по показательному закону с параметром   0, 4. Найти
интегральную и дифференциальную функции распределения, а также вероятность попадания
значений случайной величины в интервал (0,25;5).
6. Случайная величина X , равная длительности работы элемента, имеет плотность
распределения f ( t )  0, 003  e 0, 003t , t  0. Найти среднее время работы элемента и вероятность
того, что элемент проработает не менее 400 часов.
7. Средняя продолжительность телефонного разговора составляет 3 мин. Найти вероятность того,
что произвольный телефонный разговор будет продолжаться не более 9 минут.
Нормальный закон распределения.
8. Нормальная случайная величина задана числовыми характеристиками: М(х)=10, (x)=4.
Найти: f(x); P(2<X<13); P( ( X  a  10).
9. Нормальная случайная величина задана числовыми характеристиками: М(х)=15, (x)=2.
Найти: f(x); P(10<X<17); P( ( X  a  3).
10. Случайная величина распределена нормально с параметрами a = 8,  = 3. Найти вероятность того,
что случайная величина в результате опыта примет значение, заключенное в интервале (12,5;14).
11. Считается, что отклонение длины изготавливаемых деталей от стандарта является случайной
величиной, распределенной по нормальному закону. Стандартная длина (математическое
ожидание) a = 40 см, среднее квадратическое отклонение  = 0,4 см. Найти вероятность того,
что отклонение длины от стандартной составит по абсолютной величине не более 0,6 см.
12. Случайная погрешность измерения подчинена нормальному закону распределения с
параметрами a = 0,  = 9 мм. Проводятся три независимых измерения. Найти вероятность
того, что погрешность хотя бы одного измерения не превосходит по абсолютной величине 3
мм.
Литература:
1. Краткий курс высшей математики: Учебное пособие для вузов/ Б.П. Демидович,
В.А. Кудрявцев. – М.: ООО «Издательство Астрель»: ООО «Издательство АСТ», 2003.
2. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. ч. 1-2.
– М.: Высшая школа, 1996.
3. Кремер Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика: Учебник для вузов. – М.:
ЮНИТИ-ДАНА, 2001. – 543 с.
4. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика: Учеб. пособие для вузов. – 4-е
изд., стер. – М.: Высшая школа., 1998. – 415 с.
19
5. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике: Учеб. пособие для вузов. – 4-е изд., стер. – М.: Высшая школа., 1998. – 400 с.
6. Исследование операций в экономике. / Под.ред. Н.Ш.Кремера. -М.: Банки и биржи, 1997.
Организация самостоятельной работы студентов
№
п/п
Тема
Вопросы, выносимые на СРС
1 Элементы дис-
персионного
анализа.
Дисперсионный анализ. Назначение и общие понятия дисперсионного анализа. Однофакторный
дисперсионный анализ. Двухфакторный дисперсионный анализ.
Содержание
СРС
УМ, СК
Форма
Учебноконтроля методическое обесСРС
печение
КО
ОЛ3, ОЛ5, ОЛ6
Вопросы для проведения внутрисеместровой аттестации:
1. Предмет и основные понятия теории вероятностей. Виды случайных событий. Классическое
определение вероятности.
2. Алгебра событий. Теоремы сложения и умножения вероятностей независимых событий.
3. Алгебра событий. Теоремы сложения и умножения вероятностей зависимых событий.
Вероятность появления хотя бы одного из независимых в совокупности событий.
4. Формула полной вероятности. Формула Байеса.
5. Последовательность независимых испытаний. Схема и формула Бернулли. Наивероятнейшее
число появлений события в серии из n независимых испытаний.
6. Асимптотические формулы Муавра – Лапласа и Пуассона.
7. Случайные величины. Дискретная и непрерывная случайные величины. Закон распределения
дискретной случайной величины. Многоугольник распределения.
8. Интегральная функция распределения вероятностей случайной величины. Основные свойства.
9. Плотность распределения вероятностей. Основные свойства.
10. Числовые характеристики дискретной случайной величины.
11. Числовые характеристики непрерывной случайной величины.
12. Биномиальный закон распределения дискретной случайной величины.
13. Равномерный закон распределения непрерывной случайной величины.
14. Показательное распределение.
15. Нормальный закон распределения.
Варианты контрольных работ для осуществления
текущего контроля уровня знаний студентов.
Контрольная работа №1
20
1. В коробке лежат 10 деталей, причем 4 окрашены. Извлекаются 3 детали. Найти вероятность,
что: а) две из них окрашены; б) хотя бы одна окрашена.
2. Стрельба производится по пяти мишеням типа А, трем – типа В, двум – типа С. Вероятность
попадания в мишень типа А равна 0,4; типа В – 0,1; типа С – 0,15. Найти вероятность
попадания в мишень при одном выстреле.
3. В лотерее 5 билетов, два из которых призовых и три без выигрыша. Приобретается два билета.
Составить закон распределения случайной величины Х – число призовых билетов среди двух
купленных. Найти F(x) (построить график); M(x); D(x); x); P(x>0).
4. Непрерывная случайная величина задана плотностью распределения:
0,


5. f ( x)  a(2 x  1),

0,

3) P ( X  1,5) .
x 1
1  x  2 , Найти: 1) a, M ( x), D( x), ( x) ; 2) F ( x), f ( x) - графики;
x  2.
Вопросы к зачету:
1. Предмет и основные понятия теории вероятностей. Виды случайных событий. Классическое
определение вероятности.
2. Алгебра событий. Теоремы сложения и умножения вероятностей независимых событий.
3. Алгебра событий. Теоремы сложения и умножения вероятностей зависимых событий.
Вероятность появления хотя бы одного из независимых в совокупности событий.
4. Формула полной вероятности. Формула Байеса.
5. Последовательность независимых испытаний. Схема и формула Бернулли. Наивероятнейшее
число появлений события в серии из n независимых испытаний.
6. Асимптотические формулы Муавра – Лапласа и Пуассона.
7. Случайные величины. Дискретная и непрерывная случайные величины. Закон распределения
дискретной случайной величины. Многоугольник распределения.
8. Интегральная функция распределения вероятностей случайной величины. Основные свойства.
9. Плотность распределения вероятностей. Основные свойства.
10. Числовые характеристики дискретной случайной величины.
11. Числовые характеристики непрерывной случайной величины.
12. Биномиальный закон распределения дискретной случайной величины.
13. Равномерный закон распределения непрерывной случайной величины.
14. Показательное распределение.
15. Нормальный закон распределения.
Список литературы
21
Основная литература
1. Краткий курс высшей математики: Учебное пособие для вузов/ Б.П. Демидович,
В.А. Кудрявцев. – М.: ООО «Издательство Астрель»: ООО «Издательство АСТ», 2003.
2. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. ч. 1-2.
– М.: Высшая школа, 1996.
3. Кремер Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика: Учебник для вузов. – М.:
ЮНИТИ-ДАНА, 2001. – 543 с.
4. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика: Учеб. пособие для вузов. – 4-е
изд., стер. – М.: Высшая школа., 1998. – 415 с.
5. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике: Учеб. пособие для вузов. – 4-е изд., стер. – М.: Высшая школа., 1998. – 400 с.
6. Исследование операций в экономике. / Под.ред. Н.Ш.Кремера. -М.: Банки и биржи, 1997.
Дополнительная литература
1. Высшая математика для экономистов. / Под.ред. Н.Ш. Кремера.-М.: Банки и биржи, 1997.
2. Карасев А.Н., Аксютина З.М., Савельева Т.Н. Курс высшей математики для экономических
вузов. Ч1 и 2.-М.: Высшая школа, 1986.
3. Красс М.С. Математика для экономических специальностей. -М.:Инфра-М, 1998.
4. Шипачев В.С. Основы высшей математики. -М.: Высшая школа, 1998.
5. Малыхин В.Н. Математика в экономике. -М.: Инфра-М, 1999.
6. Исследование операций в экономике. / Под.ред. Н.Ш.Кремера. -М.: Банки и биржи, 1997.
7. Гершгорн А.С. Математическое программирование и его применение в экономических
расчетах. -М.: Экономика, 1988.
8. Кузнецов А.В., Сакович В.А., Холод Н.И. Математическое программирование. -Минск.:
Высшая школа, 1994.
9. Кузнецов Ю.Н., Кузубов В.И., Волощенко А.Б. Математическое программирование. – М.:
Высшая школа, 1986.
10.Акулич И.Л. Математическое программирование в примерах и задачах. – М.: Высшая школа,
1986.
II семестр
ЛЕКЦИИ
Лекция 10-11. Математическая статистика (4ч).
Математическая статистика. Предмет математической статистики. Две основные задачи
математической статистики. Выборочный метод наблюдения. Генеральная и выборочная совокупности. Основные виды выборок. Репрезентативная выборка. Статистическое распределение вы-
22
борки. Статистическая функция распределения. Основные показатели генеральной совокупности.
Основные показатели выборочной совокупности. Вариационный ряд. Графическое представление
вариационного ряда. Полигон. Гистограмма. Выборочные характеристики статистического распределения. Выборочная средняя. Выборочная дисперсия. Выборочное среднеквадратическое отклонение. Мода, размах выборки, медиана. Коэффициент вариации.
Основные понятия: статистика, выборочный метод, репрезентативность, вариационный ряд, полигон, гистограмма, эмпирическая функция распределения, мода, медиана, коэффициент вариации.
Лекция 12. Статистические оценки параметров распределения. Доверительные интервалы и
доверительные вероятности. Проверка статистических гипотез. (2 часа)
Статистические оценки параметров распределения. Точечные оценки. Качество точечных
оценок: состоятельность, несмещенность, эффективность. Исправленная выборочная дисперсия.
Интервальные оценки. Доверительные интервалы и доверительные вероятности. Доверительная
вероятность при оценке неизвестного математического ожидания. Доверительный интервал и его
статистический смысл. Принцип практической невозможности маловероятных событий в при однократном проведении эксперимента. Проверка статистических гипотез. Нулевая и конкурирующая гипотезы. Выбор критерия. Ошибка первого рода. Ошибка второго рода.
Основные понятия: точечное оценивание, несмещенность, сходимость по вероятности,
эффективность, доверительный интервал, статистическая гипотеза, ошибки первого и второго
родов, мощность критерия, критическая область.
Лекция 13. Корреляционно-регрессионный анализ. Статистическая зависимость. Понятие
корреляционной и функциональной зависимости. Метод наименьших квадратов. Определения параметров выборочного уравнения прямой линии среднеквадратической регрессии.
Коэффициент линейной корреляции Пирсона (2 часа).
Связь двух случайных величин. Факторная или независимая и результативная или зависимая случайные величины. Статистическая зависимость её разновидность - корреляционная зависимость. Корреляционное поле. Выборочная регрессия и выборочная линия регрессии. Две основные задачи корреляционного анализа. Линейная и нелинейная корреляция. Параметризация линейной регрессионной модели. Метод наименьших квадратов. Оценка тесноты связи двух показателей. Коэффициент корреляции и его свойства. Таблица Чеддока. Анализ качества уравнения регрессии в целом. F – тест Фишера.
Основные понятия: экзогенная переменная, эндогенная переменная, корреляция, регрессия,
регрессор, групповая средняя, регрессионная модель, система нормальных уравнений, коэффициент линейной корреляции, коэффициент детерминации.
23
Планы семинарских занятий (II – семестр)
Семинар 10. Выборочный анализ. Выборочные характеристики статистического распределения. Статистические оценки параметров распределения. Доверительные интервалы и доверительные вероятности (2 часа).
Рассматриваемые вопросы:
1. Статистическая функция распределения.
2. Выборочные характеристики статистического распределения.
3. Полигон. Гистограмма.
4. Статистические оценки параметров распределения: выборочная средняя, исправленное
среднеквадратическое отклонение.
5. Доверительные интервалы.
Практические задания:
Задача_1. При изучении прибыли малых предприятий одного профиля было обследовано n
предприятий и получены значения прибыли за месяц X усл. ден. ед., представленные в таблице.
Требуется:
1. Выполнить первичную статистическую обработку результатов наблюдений:
а) определить выборочное среднее xв ;
б) «исправленное» стандартное отклонение S ( x ) ;
в) коэффициент вариации V ( x ) изучаемого признака;
2. Полагая, что изменчивость признака X описывается законом нормального распределения,
найти доверительный интервал для среднего значения прибыли а предприятий этого профиля
на уровне заданной надёжности  =0,95.
3. Изобразить на одном графике эмпирическую и сглаженную кривые.
В. № 1
В. № 2
В. № 3
В. № 4
В. № 5
В. № 6
В. № 7
В. № 8
24
16,2
—
—
15,7
18,6
14,6
23,3
26,3
20,1
24,1
17,2
20,5
19,2
19,5
19,4
24,8
21,4
23,5
18,5
21,2
17,0
20,0
20,1
22,4
18,9
19,2
20,0
18,4
19,8
16,8
24,3
20,1
16,5
21,8
16,2
19,3
21,3
19,4
22,8
27,1
X
17,3
20,3
18,0
17,8
16,2
17,1
18,0
25,5
усл. ден.
18,2
22,4
19,1
16,7
17,4
18,2
17,5
25,1
ед.
19,5
22,0
22,3
18,8
20,5
17,5
17,1
21,0
20,4
23,1
20,4
16,2
19,6
16,2
18,8
22,8
21,0
19,9
18,9
22,0
18,3
15,7
23,7
24,5
18,2
22,7
17,8
23,1
18,1
19,2
—
26,7
19,4
21,5
23,0
19,5
16,9
15,5
—
—
—
—
—
17,5
—
—
—
—
Задача_2. С целью определения рациональной структуры размерного ассортимента детской
одежды проведено выборочное обследование определённых групп детского населения и получено
распределение количества детей по величине обхвата груди X см. (таблица).
Требуется:
1. Построить гистограмму относительных частот для наблюдаемых значений признака X.
2. Определить: а) выборочное среднее
x в ; б) стандартное отклонение
в; в) коэффициент
вариации V ( x ) .
3. Полагая,
что
изменчивость
величины признака
X в пределах
рассматриваемой
половозрастной группы детей описывается законом нормального распределения, найти:

а) доверительный интервал для ожидаемого среднего значения а обхвата груди у
детей рассматриваемой группы на уровне надёжности ;

б) вероятность Р того, что величина признака X у выбранного наугад ребёнка такого
возраста окажется в пределах от  см. до  см.
Вариант
№1
№2
№3
№4
№5
№6
Обхват груди X
Кол-во
Кол-во
Кол-во
Кол-во
Кол-во
Кол-во
(см)
детей
детей
детей
детей
детей
детей
25
54 - 58
21
—
—
—
42
7
58 - 62
43
—
21
15
55
16
62 - 66
59
35
48
28
71
58
66 - 70
62
50
68
40
50
62
70 - 74
26
77
59
50
40
34
74 - 78
14
69
37
42
31
19
78 - 82
—
54
23
21
—
—
82 - 86
—
39
—
—
—
—
n
225
324
256
196
289
196

0,9108
0,9786
0,9642
0,8904
0,9544
0,9722
 (см)
66
74
62
74
58
64
 (см)
70
78
66
78
62
70
Литература:
1. Краткий курс высшей математики: Учебное пособие для вузов/ Б.П. Демидович,
В.А. Кудрявцев. – М.: ООО «Издательство Астрель»: ООО «Издательство АСТ», 2003.
2. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. ч. 1-2.
– М.: Высшая школа, 1996.
3. Кремер Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика: Учебник для вузов. – М.:
ЮНИТИ-ДАНА, 2001. – 543 с.
4. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика: Учеб. пособие для вузов. – 4-е
изд., стер. – М.: Высшая школа., 1998. – 415 с.
5. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике: Учеб. пособие для вузов. – 4-е изд., стер. – М.: Высшая школа., 1998. – 400 с.
6. Исследование операций в экономике. / Под.ред. Н.Ш.Кремера. -М.: Банки и биржи, 1997.
Семинар 11-12. Корреляционно-регрессионный анализ (2 часа).
Рассматриваемые вопросы:
1. Две основные задачи корреляционного анализа.
2. Корреляционное поле (спецификация модели). Метод наименьших квадратов.
3. Система нормальных уравнений для отыскания параметров линейной регрессии
(параметризация модели).
4. Оценка тесноты связи. Коэффициент линейной корреляции.
5. Проверка значимости уравнения регрессии в целом (верификация модели).
Практические задания:
Задача_1. Экономист, изучая зависимость уровня издержек обращения Y(ден. ед.) от объёма
товарооборота X(ден. ед.) магазина за определённый период, получил данные по n = 10 магазинам
одинакового профиля (таблица). Выполнить следующий выборочный анализ:
26
Полагая, что между признаками Y и X имеет место линейная корреляционная связь,
1.
определить выборочное уравнение регрессии
yˆ ( x)  b   xy ( x  x )
и выборочный
коэффициент линейной корреляции rв .
Построить диаграмму рассеяния и линию регрессии. Сделать выводы о направлении и
2.
тесноте связи между показателями Y и X.
Используя полученное линейное уравнение регрессии, оценить ожидаемое значение
3.
признака Y при X = 130 ден. ед.
Номера вариантов
№1
№2
№3
№4
№5
X
Y
X
Y
X
Y
X
Y
X
Y
ден.
ден.
ден.
тыс.
ден.
ден.
ден.
ден.
ден.
ден.
ед.
ед.
ед.
руб.
ед.
ед.
ед
ед.
ед.
ед.
110
6,1
80
4,2
160
12,5
50
4,2
60
2,9
85
4,2
60
4,9
120
9,3
130
10,8
90
7,1
70
2,9
100
7,2
110
9,2
100
9,6
150
11,8
120
5,8
130
9,1
80
6,4
80
5,1
80
6,3
150
8,3
120
6,4
90
7,5
90
7,4
110
7,2
90
5,2
50
3,9
130
11,6
70
6,2
120
8,4
60
3,4
90
5,1
150
13,1
150
11,4
70
4,8
140
7,5
150
8,4
70
5,2
60
3,3
130
11,2
100
4,9
70
3,5
100
7,9
140
12,2
100
6,7
115
5,4
125
8,7
60
4,4
110
10,5
140
10,6
Задача_2. Получено распределение заводов по основным фондам X (ден. ед.) и по стоимости готовой продукции Y (ден. ед.), помещённое в корреляционную таблицу.
Предполагая, что между признаками X и Y существует линейная корреляционная зависимость, требуется:
1) вычислить коэффициент корреляции и оценить тесноту связи между рассматриваемыми признаками;
2) составить уравнения прямых линий регрессии Y на X и X на Y и построить их графики.
X
Y
10
20
30
40
50
60
ny
15
5
7
-
-
-
-
12
27
25
-
20
23
-
-
-
43
35
-
-
30
47
2
-
79
45
-
-
10
11
20
6
47
55
-
-
-
9
7
3
19
nx
5
27
63
67
29
9
n = 200
Литература:
1. Краткий курс высшей математики: Учебное пособие для вузов/ Б.П. Демидович,
В.А. Кудрявцев. – М.: ООО «Издательство Астрель»: ООО «Издательство АСТ», 2003.
2. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. ч. 1-2.
– М.: Высшая школа, 1996.
3. Кремер Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика: Учебник для вузов. – М.:
ЮНИТИ-ДАНА, 2001. – 543 с.
4. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика: Учеб. пособие для вузов. – 4-е
изд., стер. – М.: Высшая школа., 1998. – 415 с.
5. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике: Учеб. пособие для вузов. – 4-е изд., стер. – М.: Высшая школа., 1998. – 400 с.
6. Исследование операций в экономике. / Под.ред. Н.Ш.Кремера. -М.: Банки и биржи, 1997.
Организация самостоятельной работы студентов
№
п/п
1
Тема
Системы массового обслуживания.
Вопросы, выносимые на СРС
Структура и классификация систем массового обслуживания.
Марковский случайный процесс.
СМО с отказами. СМО с неограниченным ожиданием.
Содержание
СРС
УМ, СК
Форма
контроля
СРС
КО
Вопросы для проведения внутрисеместровой аттестации:
1. Статистическое распределение выборки.
2. Полигон и гистограмма.
3. Основные выборочные характеристики.
4. Точечные оценки неизвестных параметров генеральной совокупности.
5. Характеристики точечных оценок.
6. Доверительный интервал.
7. Понятие статистической гипотезы.
8. Схема проверки статистической гипотезы. Ошибка 1-рода.
9. Схема проверки статистической гипотезы. Ошибка 2-го рода.
10. Понятие корреляционной зависимости.
11. Основные задачи теории корреляции.
12. Метод наименьших квадратов.
13. Выборочное уравнение прямой линии среднеквадратической регрессии.
14. Выборочный коэффициент линейной корреляции.
15. Основные свойства коэффициента корреляции.
Учебнометодическое обеспечение
ОЛ2, ОЛ8, ОЛ9
28
Вопросы к экзамену:
1. Предмет и основные понятия теории вероятностей. Виды случайных событий. Классическое
определение вероятности.
2. Алгебра событий. Теоремы сложения и умножения вероятностей независимых событий.
3. Алгебра событий. Теоремы сложения и умножения вероятностей зависимых событий.
Вероятность появления хотя бы одного из независимых в совокупности событий.
4. Формула полной вероятности. Формула Байеса.
5. Последовательность независимых испытаний. Схема и формула Бернулли. Наивероятнейшее
число появлений события в серии из n независимых испытаний.
6. Асимптотические формулы Муавра – Лапласа и Пуассона.
7. Случайные величины. Дискретная и непрерывная случайные величины. Закон распределения
дискретной случайной величины. Многоугольник распределения.
8. Интегральная функция распределения вероятностей случайной величины. Основные свойства.
9. Плотность распределения вероятностей. Основные свойства.
10. Числовые характеристики дискретной случайной величины.
11. Числовые характеристики непрерывной случайной величины.
12. Биномиальный закон распределения дискретной случайной величины.
13. Равномерный закон распределения непрерывной случайной величины.
14. Показательное распределение.
15. Нормальный закон распределения.
16. Предмет математической статистики. Основные задачи, решаемые математической статистикой.
17. Статистическое распределение выборки. Полигон и гистограмма. Основные выборочные характеристики.
18. Точечные оценки неизвестных параметров генеральной совокупности. Характеристики оценок.
Доверительный интервал.
19. Понятие статистической гипотезы. Схема проверки. Ошибка 1-рода. Ошибка 2-го рода.
20. Понятие корреляционной зависимости. Основные задачи теории корреляции.
21. Метод наименьших квадратов. Выборочное уравнение прямой линии среднеквадратической
регрессии. Выборочный коэффициент линейной корреляции. Основные свойства коэффициента корреляции.
Список литературы
Основная литература
1. Краткий курс высшей математики: Учебное пособие для вузов/ Б.П. Демидович,
В.А. Кудрявцев. – М.: ООО «Издательство Астрель»: ООО «Издательство АСТ», 2003.
29
2. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. ч. 1-2.
– М.: Высшая школа, 1996.
3. Карасев А.И., Аксюшина З.М., Савельева Т.И. Курс высшей математики для экономических вузов, ч.I, II — М.: Высшая школа,1982.
4. Замков О.О., Толстопятенко А.В., Черемных Ю.Н. Математические методы в экономике. – М.:
Издательство «ДИС», 1998.
5. Минюк С.А. Математические методы и модели в экономике. Учеб. пособие / Минюк С.А., Ровба Е.А., Кузьмич К.К. – Мн.: ТетраСистемс, 2002.
6. Таха Х. Введение в исследование операций, ч. 2. — М.: Мир, 1985.
7. Федосеев В.В., Гармаш А.Н., Дайитбегов Д.М. Экономико-математические методы и прикладные модели. — М.: ЮНИТИ, 1999.
8. Исследование операций в экономике. / Под.ред. Н.Ш.Кремера. -М.: Банки и биржи, 1997.
9. Малыхин В.Н. Математика в экономике. -М.: Инфра-М, 2005.
Дополнительная литература
1. Карасев А.Н., Аксютина З.М., Савельева Т.Н. Курс высшей математики для экономических
вузов. Ч1 и 2.-М.: Высшая школа, 1986.
2. Красс М.С. Математика для экономических специальностей. -М.:Инфра-М, 2004.
3. Шипачев В.С. Основы высшей математики. -М.: Высшая школа, 2001.
4. Колемаев В.А., Калинина В.Н. Теория вероятностей и математическая статистика. - М.: ИнфраМ., 1997..
5. Горбатов В.А. Фундаментальные основы дискретной математики. Информационная математика.
– 2000.
6. Москинова Г.И. Дискретная математика. Математика для менеджера в примерах и упражнениях: Учеб. пособие. – М.: Логос, 2000.
Раздел 2. Методические рекомендации по изучению учебной дисциплины для
студентов
2.1. Рекомендации по использованию материалов учебно-методического
комплекса
Данный учебно-методический комплекс ставит своей целью оказание помощи студентам
экономических специальностей академии в организации их самостоятельной работы по овладению системой знаний, умений и навыков по дисциплине «Теория вероятностей и математическая
статистика» в объеме действующей программы. Эта работа требует не только большого упорства,
но и умения, без которого затрата сил и времени не дает должного эффекта. Читать, понимать
прочитанное и применять его практически – вот в чем суть умения работать с методическими пособиями.
30
Особое внимание в комплексе уделено практикуму. Решение задач является лучшим способом творческого проникновения в математическую истину. Чтобы научиться решать задачи того
или иного типа, рекомендуется сначала изучить план решения в общем виде (алгоритм), затем
рассмотреть пример реализации плана в конкретном случае, решив при этом не менее 3 – 5 задач
из числа предлагаемых для самостоятельного решения. Важной позицией является также то, что
основным навыком профессионала является умение самостоятельно работать с литературой в
процессе решения конкретной проблемы.
Конечно, общих рецептов для решения разнообразных задач не существует, однако рекомендуем придерживаться следующих советов:

Внимательно изучите цель, поставленную в задаче; выявите, какие теоретические положения связаны с данной задачей в целом или некоторыми ее элементами.

Не следует приступать к решению, не обдумав условия и не найдя плана решения.

Попробуйте выделить в данной задаче серию вспомогательных задач, последовательное
решение которых может привести к успеху.

Определив алгоритм решения, реализуйте его, произведите проверку полученного результата и его анализ.

Очень успешным бывает применение функционально-графического метода.

Если решить задачу не удается, обязательно обратитесь к преподавателю за консультацией.
2.2. Пожелания к изучению отдельных тем курса
Особое внимание следует уделить разделу «Математическая статистика». Это базовый
фундамент для дальнейшего успешного изучения курсов статистики и эконометрики и освоения
методов обработки и анализа экспериментальных данных.
2. 3. Рекомендации по работе с литературой
Очень важную роль играет выбор учебной литературы и методических пособий. Желательно придерживаться этих учебников при изучении всего курса, так как замена может привести к
утрате логической связи между отдельными темами.
В последние годы среди студентов экономических специальностей особой популярностью
пользуется следующая литература:
1. Высшая математика для экономистов. / Под.ред. Н.Ш. Кремера.-М.: Банки и биржи, 1997.
2. Кудрявцев В.А., Демидович Б.П. Краткий курс высшей математики. -М.: Наука, 1986.
3. Карасев А.Н., Аксютина З.М., Савельева Т.Н. Курс высшей математики для экономических
вузов. Ч1 и 2.-М.: Высшая школа, 1986.
4. Красс М.С. Математика для экономических специальностей. -М.:Инфра-М, 1998.
31
5. Исследование операций в экономике. / Под.ред. Н.Ш.Кремера. -М.: Банки и биржи, 1997.
6. Практикум по высшей математике для экономистов. / Под.ред. Н.Ш. Кремера. – М.: ЮНИТИ, 2002.
2.4. Советы по подготовке к экзамену (зачету)
Фундамент математических знаний закладывается на лекционных и семинарских занятиях,
а также при подготовке к ним. Буквально с первого сентября необходимо выработать серьезное
отношение к конспекту по математике. Он должен в полном объеме содержать определения, теоремы и выводы основных формул курса. Записи должны быть аккуратными. Не нужно забывать,
что они делаются для того, чтобы впоследствии с ними работать. Все теоремы и факты нужно понять, а поняв, уметь их самостоятельно доказывать. Прочитав доказательство какой-то теоремы,
воспроизвести это доказательство на бумаге без конспекта или учебника.
Помните, что умение решать задачи является следствием глубоко понятого соответствующего теоретического материала. Учебник нужно не просто читать, а изучать; основой запоминания является понимание, знание забывается – понимание никогда; повторение – важнейшее средство, предотвращающее забывание; необходимо выработать привычку систематической самостоятельной работы, «натаскивание» к экзамену или зачету дает слабый и поверхностный результат.
Для успешной сдачи зачета и экзамена студент должен знать наизусть достаточно
солидный объем теорем, формул, алгоритмов, моделей. Не откладывая процесс заучивания на
последние три дня перед экзаменом, подготовка должна вестись с первых лекций. Будет очень
хорошо, если вы заведете себе личный справочник и будете его регулярно изучать, пополняя
новым материалом.
Раздел 3. Материалы тестовой системы или практикум по решению задач по
темам лекций
Примеры решения задач по темам I семестра
Пример 1. Студент знает 15 вопросов из 30 в первом разделе курса и 25 из 40 вопросов
второго раздела этого курса.
Найти вероятность того, что студент:
1) знает ответы на оба вопроса;
2) не знает ответов на оба вопроса;
3) знает ответ только на один вопрос в билете.
Решение. Обозначим общее число вопросов первого раздела курса n1 = 30, а количество
выученных вопросов этого раздела m1 = 15.
32
Общее число вопросов второго раздела курса — n2 = 40, а количество выученных вопросов этого раздела (т.е. благоприятствующих хорошему ответу) m2 = 25.
Далее введём обозначение событий. Пусть:
 событие A состоит в том, что студент знает ответ на вопрос, случайным образом
предложенный ему из первого раздела курса; A — противоположное событие, состоит в том, что студент не знает ответ на вопрос, случайным образом предложенный ему из первого раздела курса; событие B состоит в том, что студент знает ответ
на вопрос, случайным образом предложенный ему из второго раздела курса; B —
противоположное событие, состоит в том, что студент не знает ответ на вопрос,
случайным образом предложенный ему из второго раздела курса.
Вероятности событий A и B найдём, пользуясь классическим определением вероятности:
P ( A) 
m1 15 1

 ,
n1 30 2
P ( B) 
m 2 25 5

 .
n2
40 8
Вероятности противоположных событий A и B определим, исходя из соотношения между вероятностями противоположных событий :
P ( A )  1  P ( A)  1 
1 1
 ,
2 2
P( B )  1  P( B)  1 
5 3
 .
8 8
1. Для нахождения ответа на первый пункт введём обозначение ещё одного события:
 пусть событие C состоит в том, что студент знает ответы на оба случайным образом предложенных ему вопроса из первого и второго разделов курса.
Опираясь на понятие произведения двух событий, видим, что C = AB.
Для нахождения вероятности события C применим теорему умножения вероятностей независимых событий. Тогда P (C )  P ( A  B )  P ( A)  P ( B ) 
1 5 5
 
 0,312 .
2 8 16
2. Для решения второго пункта задачи введём ещё одно обозначение события: событие D
состоит в том, что студент не знает ответы на оба случайным образом предложенных ему вопроса
из первого и второго разделов. Используя понятие произведения двух событий, D  A  B .
Для нахождения вероятности события D применим снова теорему умножения вероятностей независимых событий. Тогда P ( D )  P ( A  B )  P ( A)  P ( B ) 
1 3 3
 
 0,188 .
2 8 16
3. Для решения третьего пункта введём ещё одно обозначение события: событие E состоит
в том, что студент знает ответ только на один из двух случайным образом предложенных ему вопросов из первого или второго раздела курса. Это сложное событие состоит из двух событий: или
33
студент знает ответ на случайный вопрос из первого раздела и не знает ответ на вопрос из второго
раздела, т.е. A  B , или студент не знает ответ на вопрос из первого раздела и знает ответ на вопрос из второго раздела, т.е. A  B .
Окончательно, событие E  A  B  A  B .
Для нахождения вероятности этого события сначала применим теорему сложения вероятностей несовместных событий.
В нашем случае будет P ( E )  P ( A  B  A  B )  P ( A  B )  P ( A  B ) .
Теперь дважды применим теорему умножения вероятностей независимых событий:
P ( E )  P ( A  B  A  B )  P ( A  B )  P ( A  B )  P ( A) P ( B )  P ( A) P ( B ) .
Подставляем числовые значения этих вероятностей, получим:
P( E ) 
1 3 1 5 35 8 1
   

 .
2 8 2 8
16
16 2
Ответ. 1. Студент знает ответы на оба предложенных вопроса с вероятностью P(C) =
5
 0,312 . 2. Студент не знает ответов на оба предложенных вопроса с вероятностью
16
P ( D) 
3
 0,188 . 3. Студент знает ответ на один из двух предложенных ему вопросов с вероят16
ностью P ( E ) 
1
 0,5 .
2
Пример 2. Вероятность безотказной работы в течение гарантийного срока составляет для
пылесоса 0,8 и для холодильника 0,95.
Какова вероятность того, что в течение гарантийного срока окажутся работоспособными:
1) оба прибора;
2) хотя бы один прибор?
Решение. Введём обозначение событий. Пусть событие A состоит в том, что пылесос не
сломается в течение гарантийного срока; A — противоположное событие, состоит в том, что пылесос сломается в течение гарантийного срока; событие B состоит в том, что холодильник не сломается в течение гарантийного срока; B — противоположное событие, состоит в том, что холодильник сломается в течение гарантийного срока. Вероятности событий A и B нам даны в условии
задачи: P(A) = 0,80; P(B) = 0,95. Вероятности противоположных событий A и B определим, исходя из соотношения между вероятностями противоположных событий:
P( A ) = 1 – P(A) = 1 – 0,80 = 0,20,
P( B ) = 1 – P(B) = 1 – 0,95 = 0,05.
34
1. Для нахождения ответа на первый пункт введём обозначение ещё одного события: событие C состоит в том, что оба прибора не сломаются в течение гарантийного срока. Опираясь на
понятие произведения двух событий, видим, что C = AB. Для нахождения вероятности события C
применим теорему умножения вероятностей независимых событий. Вероятность совместного появления двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий:
P(AB) = P(A)P(B). Тогда P(C) = P(A  B) = P(A)P(B) = 0,800,95 = 0,760.
2. Для решения второго пункта задачи введём ещё одно обозначение события:
 событие D состоит в том, что в течение гарантийного срока хотя бы один прибор
будет работать.
 D — противоположное событие, состоит в том, что оба прибора сломаются в течение гарантийного срока. Используем понятие произведения двух событий:
D  A  B . Для нахождения вероятности события D применим ту же теорему умно-
жения вероятностей независимых событий. Тогда P ( D )  P ( A)  P ( B )  0,2  0,05  0,010 .
Но это вероятность противоположного события D , а нам надо узнать вероятность прямого события D, которую определим, пользуясь соотношением между вероятностями противоположных событий. Тогда вероятность того, что будет работать хотя бы один прибор:
P(D) = 1 – P( D ) = 1 – 0,010 = 0,990.
Ответ. 1. Вероятность того, что пылесос и холодильник будут работать в течение гарантийного срока, P(C) = 0,76.
2. Вероятность того, что хотя бы один из приборов будет работать в течение гарантийного
срока, P(D) = 0,99.
Пример 3. Два автомата производят одинаковые детали, которые поступают на общий
конвейер. Производительность первого автомата вдвое больше производительности второго. Первый автомат производит 60% деталей отличного качества, а второй – 84%. Наудачу взятая с конвейера деталь оказалась отличного качества. Найти вероятность того, что деталь произведена первым автоматом.
Решение. Событие A = {деталь оказалась отличного качества}. Гипотезы:
 B1 — деталь изготовлена первым автоматом, B2 — деталь изготовлена вторым автоматом.
Найдем вероятности гипотез, исходя из того, что производительность первого автомата
вдвое больше второго: P B1   2 3; P B2   1 3 .
35
PB1  A  — вероятность того, что наудачу взятая деталь будет отличного качества, при
условии, если она произведена первым автоматом. PB2  A  — вероятность того, что наудачу взятая
деталь будет отличного качества, при условии, если она произведена вторым автоматом.
По условию задачи эти вероятности соответственно равны PB1  A  0,6; PB2  A  0,84 .
Найдем вероятность P(A) по формуле полной вероятности:
P  A  P B1 PB1  A  P B2 PB2  A 
2
1
2 7
17
 0,6   0,84  

3
3
5 25 25
Первое слагаемое соответствует доле вероятности изготовления деталей отличного качества первым автоматом. Тогда по формуле Бейеса имеем:
2
2

0
,
6
P B1 PB1  A
10
3
.
PA B1   2

 5 
P Bi PBi  A 2  0,6  1  0,84 17 17

i 1
3
3
25
Ответ. Вероятность того, что взятая с конвейера деталь, которая оказалась отличного качества, произведена первым автоматом, равна 10/17.
Пример 4. Вероятность того, что расход электроэнергии в течение одних суток не превысит установленной нормы, равна 0,75. Найти вероятность того, что в ближайшие 7 суток расход
электроэнергии не превысит нормы в течение 4 суток.
Решение. Вероятность нормального расхода электроэнергии в продолжение каждых из 7
суток постоянна и равна p = 0,75. Следовательно, вероятность перерасхода электроэнергии в каждые сутки также постоянна и равна q = 1 – p = 1 – 0,75 = 0,25. По условию задачи количество повторных независимых испытаний, т.е. количество наблюдаемых суток, n = 7, k = 4. Используя
формулу Бернулли, получаем:
P7 4  C 74 p 4 q 7  4 
7!
4
3
 0,75  0,25  0,173 .
4!3!
Ответ. Из 100 недель, взятых для наблюдения, в 17 случаях расход электроэнергии не
превысит нормы в течение 4 суток.
Пример 5. Установлено, что в данном технологическом процессе в среднем 90% выпускаемых изделий являются стандартными. При выборочном контроле качества продукции было
случайным образом отобрано 400 изделий. Каково наивероятнейшее число стандартных изделий
среди 400 отобранных и чему равна соответствующая этому событию вероятность? Какова вероятность того, что среди этих 400 изделий окажется от 34 до 50 нестандартных?
36
Решение.
1. Наивероятнейшее число k0 событий в серии из n повторных независимых испытаний
находим как целое число, заключённое в пределах: np – q  k0  np + p.
В нашей задаче:
общее число испытаний n = 400 (количество отобранных для контроля изделий);
p = (90%) = 0,9 — вероятность того, что наугад выбранное изделие является стандартным;
q = 1 – p = 1 – 0,9 = 0,1 — вероятность того, что наугад выбранное изделие является нестандартным.
Подставляем числовые данные в двойное неравенство, получим
400·0,9 – 0,1  k0  400·0,9 + 0,9  360 – 0,1  k0  360 + 0,9 
 359,9  k0  360,9.
В этих пределах находится единственное целое число k0 = 360, т.е. вероятнее всего, что
из наугад выбранных 400 изделий стандартными окажутся 360.
При больших значениях n наивероятнейшее число k0 событий приближённо можно находить из соотношения
k0  n·p = 400·0,9 = 360.
2. Найдём вероятность P400(360), используя локальную формулу Лапласа:
Pn ( k ) 
где x 
k  np
npq
, а  ( x) 
1
2
e

x2
2
Тогда Pn ( k 0 )  P400 ( 360) 
Для  ( x ) 
1
2
e

x2
2
1

npq
1
2
e

x2
2
1

npq
  ( x) ,
— нормированная функция Гаусса.
 ( x)
npq
 ( x)

400  0,9  0,1
.
составлены таблицы в зависимости от её аргумента
x
k 0  np
npq

360  400  0,9
400  0,9  0,1

360  360
36
 0.
Находим, что значение функции Гаусса  (0)  0,3989 . Тогда искомая вероятность будет:
P400 ( 360) 
 ( 0)
400  0,9  0,1

0,3989
36

0,3989
 0,0665 .
6
3. Вероятность P400 (34  k  50) того, что среди 400 изделий окажется от 34 до 50 нестандартных будем находить, используя интегральную теорему Лапласа:
37
Pn(k1  k  k2) 
где Ф( z ) 
1
2
z
1
2
z2
  e  x 2 dx  Ф(z2) – Ф(z1),
2
z1
  e  x 2 dx — функция Лапласа, а z 1 
2
k 1  np
npq
0
, z2 
k 2  np
npq
— её аргументы.
Но здесь следует изменить вероятности p и q прямого и противоположного событий:
p — вероятность того, что наугад выбранное изделие является нестандартным, p = 0,1;
q — вероятность того, что наугад выбранное изделие является стандартным, q = 0,9.
Находим аргументы функции Лапласа:
z1 
z2 
k 1  np
npq
k 2  np
npq


34  400  0,1
400  0,1  0,9
50  400  0,1
400  0,1  0,9

34  40

36
50  40
36

6
 1,
6

10
 1,67.
6
Тогда Pn(k1  k  k2)  Ф(z2) – Ф(z1) = Ф(1,67) – Ф(-1).
Значения функции Лапласа находим в таблице, учитывая, что эта функция нечётная Ф(-x)
= - Ф(x).
Тогда Ф(1,67) = 0,4525, Ф (-1) = -0,3413, получаем:
P400(34  k  50)  Ф(z2) – Ф(z1) = Ф(1,67) – Ф(-1) = 0,4525 – (- 0,3413) = 0,4525 + 0,3413 = 0,7938.
Ответ. 1. Вероятнее всего, что из 400 наугад выбранных для контроля изделий стандартными окажутся k0 = 360 шт.
2. Вероятность того, что из 400 наугад выбранных для контроля изделий стандартными
окажутся 360 , — P400(360)  0,0665  0,07.
3. Вероятность того, что из 400 наугад выбранных для контроля изделий нестандартными
окажутся не менее 34 и не более 50, будет равна P400(34  k  50)  0,7938  0,79.
Пример 6. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины X, заданной функцией плотности:
0, x  0,

f ( x )  1, 0  x  1,
0, x  1.

Решение. Математическое ожидание непрерывной случайной величины X, возможные значения которой принадлежат отрезку [a, b], вычисляется по формуле:
38
M  X    x  f  x dx   x  f  x dx   xdx 
b
1
1
a
0
0
x2
2
1

0
1
.
2
2
Найдем M ( X ) :
x3
M  X    x  f  x dx   x  f  x dx   x dx 
a
0
0
3
b
2
1
2
1
2
1

2
0
1
.
3
Дисперсия вычисляется по формуле:
D X   M  X
2
  M  X 
2
1 1
1
.
   
3  2
12
2
Среднее квадратическое отклонение находим по формуле:
  X   D X   1 12 
1
2 3

3
.
6
Ответ. Математическое ожидание случайной величины X
D X  
M(X ) 
1
; дисперсия
2
3
1
; среднее квадратическое отклонение —   X  
.
12
6
Пример 7. Случайная величина X подчинена закону распределения с плотностью f(x),
причем a неизвестно:
x  0,
0,

2
f ( x )  a( 3 x  x ), 0  x  3,
0,
x  3.

Требуется:
1. Найти коэффициент a.
2. Найти вероятность попадания X в промежуток (1; 2).
Решение. 1. Так как все значения данной случайной величины заключены на отрезке [0; 3],
то по формуле  f ( x )dx   a 3 x  x 2  dx  1 , откуда
3
3
0
0
3
2
1 
33 
2
3
33
9
a  3 x  x  dx  a x 2  x 3   a
   1 или a     1 , следовательно, a  .
0
9
3 0
3
 2
2
 2
3
2
Таким образом, плотность распределения имеет вид:
x  0,
0,
2
2
f ( x )   ( 3 x  x ), 0  x  3,
9
x  3.
0,
39
2. Вероятность попадания случайной величины X в промежуток (1; 2) найдем по формуле
(2.33), учитывая, что f ( x ) 
2
2
x  x 2 на промежутке (1; 2):
3
9
2
2
2 
2x 3 
4 16 1 2 13
2
x
P 1  x  2    x  x 2 dx  

 

  
1  3
9 
27  1 3 27 3 27 27
 3
2
Ответ. a 
2
13
, P 1  x  2 
.
27
9
Пример 8. Случайная величина распределена нормально с параметрами a = 8,  = 3. Найти
вероятность того, что случайная величина в результате опыта примет значение, заключенное в интервале (12,5;14).
 a
  a 
Решение. Воспользуемся формулой: P   x     Ф
  Ф
.
  
  
Так как  = 12,5,  = 14, a = 8,  = 3, имеем
  a 14  8
  a 12,5  8

 2,

 1,5 .

3

3
Тогда P(12,5 < x < 14) = Ф(2) – Ф(1,5) = 0,4772 – 0,4332 = 0,0440.
Ответ. Вероятность того, что случайная величина примет значение, заключенное в интервале (12,5; 14), равна 0,0440.
Примерный вариант практического задания.
1. В начале месяца в аудиторию повесили два новых светильника. Вероятность того, что
светильник не выйдет из строя в течение месяца, равна 0,84. Найти вероятность того, что к концу
месяца выйдут из строя: а) оба светильника; б) только один светильник; в) хотя бы один светильник; г) ни одного светильника.
2. В магазин поступил одноимённый товар, изготовленный двумя предприятиями. С первого предприятия поступило 150 единиц, из них 30 единиц первого сорта, а со второго предприятия
поступило 200 единиц, из них 50 - первого сорта. Из общей массы товара наугад извлекается одна
единица. Она оказалась первого сорта. Какова вероятность того, что она изготовлена на первом
предприятии?
3. Вероятность получения положительного результата в каждом из 2100 опытов равна 0,7.
Найти вероятность того, что положительный результат дадут: а) 1500; б) не более 1460 опытов.
4. При анализе прибыли малых предприятий условно принято подразделение их на группы: Доля
таких групп предприятий в результате исследования определяется рi.
Требуется:
а) проверить, действительно ли значения, представленные в таблице, являются законом
распределения дискретной случайной величины;
40
б) определить среднюю величину дохода предприятия исследуемого типа и оценить разброс величины дохода для всех исследованных предприятий;
в) построить график этого закона распределения вероятностей;
г) применяя модель случайной величины, распределённой нормально, оценить степень её
приближения к реальным показателям величины доходов.
xi
0
1
2
3
4
5
6
рi
0,20
0,31
0,24
0,13
0,07
0,04
0,01
II семестр
Примеры решения задач.
Пример 1. Получено распределение заводов по основным фондам X (ден. ед.) и по стоимости готовой продукции Y (ден. ед.), помещённое в корреляционную табл.1.Предполагая, что
между признаками X и Y существует линейная корреляционная зависимость, требуется:
1) вычислить коэффициент корреляции и оценить тесноту связи между рассматриваемыми
признаками;
2) составить уравнения прямых линий регрессии Y на X и X на Y и построить их графики.
Таблица 3.1
X
Y
15
25
35
45
55
nx
10
5
5
20
7
20
27
30
23
30
10
63
40
47
11
9
67
50
2
20
7
29
60
6
3
9
ny
12
43
79
47
19
n = 200
Решение. 1) Если обе линии регрессии Y на X и X на Y - прямые, то корреляция является
линейной.
~
Выборочное уравнение прямой линии регрессии Y на X имеет вид Y x  y  rВ  ~ y ( x  x ),

x
~
и выборочное уравнение прямой линии регрессии X на Y: X y  y  rВ  ~ x ( y  y ), где Y x , X y 
y
~ , 
~ - выбоусловные средние признаков Y и X, y, x - выборочные средние признаков Y и X, 
x
y
рочные средние квадратические отклонения; rВ - выборочный коэффициент корреляции.
2) У нас данные наблюдений над признаками X и Y заданы в виде корреляционной таблицы
с равноотстоящими вариантами (выборка большая n = 200). В этом случае для упрощения вычисле-
41
ний перейдём к условным вариантам (вместо X введём u, а вместо Y - v), вычисляя их по следующим формулам:
ui 
y  C2
xi  C1
, vj  j
,
h1
h2
где C1 — варианта признака X, имеющая наибольшую частоту;
C2 — варианта признака Y, имеющая наибольшую частоту;
h1 — шаг (разность между двумя соседними вариантами X);
h2 — шаг (разность между двумя соседними вариантами Y).
Тогда выборочный коэффициент корреляции с использованием условных вариант будет:
rВ 
  n uv  n  u  v .
uv
n~ u~ v
Здесь u - выборочное среднее значение условной варианты u;
v - выборочное среднее значение условной варианты v;
~ - выборочное среднее квадратическое отклонение варианты u;

u
~ - выборочное среднее квадратическое отклонение варианты v.

v
Вычислять их будем по формулам:
u
 nu  u ,
n
v
 nv  v ,

n

~  u2  u 2 , 
~  v2  v 2 .

u
v
Здесь
u
2
- выборочное среднее значение квадрата условной варианты u;
2
v - выборочное среднее значение квадрата условной варианты v.
3) Для случая нашей корреляционной таблицы наибольшая частота nxy = 47, она соответствует значениям вариант x = 40 и y = 35. Эти значения возьмём в качестве ложных нулей
C1 = 40, C2 = 35.
Шаг h1 равен разности между двумя соседними значениями вариант признака X (20-10);
шаг h2 равен разности между двумя соседними значениями вариант признака Y (25-15), т.е.
h1 = 10, h2 = 10.
Вообще говоря, эти шаги не обязательно должны быть равными, и в общем случае h1  h2 .
Составим корреляционную таблицу в условных вариантах.
Это делается следующим образом.
В первой строке вместо ложного нуля C1 (варианты 40) пишут 0; слева от нуля последовательно записывают -1; - 2; - 3; справа от нуля пишут 1; 2.
42
В первом столбце вместо ложного нуля C2 (варианты 35) пишут 0; над нулём последовательно записывают -1; -2; под нулём пишут 1; 2.
Все остальные данные переписывают из первоначальной корреляционной табл. 1. В итоге
получим корреляционную табл. 3.2 в условных вариантах.
Таблица 3.2.
u
v
-3
-2
-1
0
1
2
nv
-2
5
7
-
-
-
-
12
-1
-
20
23
-
-
-
43
0
-
-
30
47
2
-
79
1
-
-
10
11
20
6
47
2
-
-
-
9
7
3
19
nu
5
27
63
67
29
9
n = 200
4) С помощью этой таблицы находим средние выборочные u и v условных вариант, перемножая сначала значения в верхней и нижней строчках, а затем в первом и последнем столбцах:
u
 n u  5  (3)  27  (2)  63  (1)  67  0  29  1  9  2  0,425;
u
n
200
v
 n v  12  (2)  43  (1)  79  0  47  1  19  2  0,090.
v
n
200
2
Теперь находим средние выборочные u и v
2
значения квадратов условных вариант u и
v, перемножая сначала значения квадратов в верхней на значения в нижней строчках, а затем
квадратов значений в первом на значения в последнем столбцах, получим:
 n u  5  9  27  4  63  1  67  0  29  1  9  4  1,405;
2
2
u 
u
2
2
v 
200
 n v  12  4  43  1  79  0  47  1  19  4  1,070.
2
v
n
200
~ , 
~ значений условных вариант u и v:
5) Находим величины средних разбросов 
u
v

 v  
~  u  u  1,405  (0,425)  1,2244  1,1065;
2
u
~  v
v
2
2
2
2
1,070  (0,090) 2  1,0619  1,0305.
~ , 
~ значений истинных вариДалее вычисляем средние квадратические отклонения 
x
y
ант x и y:
~ h 
~  10  1,1065  11,065; 
~ h 
~  10  1,0305  10,305.

x
1
u
y
2
v
43
Так же находим средние выборочные x и y истинных вариант:
x  h1  u  C1  10  ( 0,425)  40  35,75;
y  h2  v  C2  10  0,090  35  35,90.
6) Для нахождения выборочного коэффициента rв линейной корреляции
rВ 
осталось вычислить двойную сумму
 nuv  u  v  n  u  v
~ 
~
n
u
v
  nuv  u  v .
7) Для этого составляем расчётную табл. 3.3.
Дадим пояснения к её заполнению.
а) Количество строк и количество столбцов в ней увеличиваем на один по сравнению с их
количеством в табл. 3.2.
б) В каждой клетке записываем три числа: в центре клетки по-прежнему записана варианта nuv; в правом верхнем углу — её произведение на соответствующую варианту u из второй строки, например, в первой клетке в правом верхнем углу записано произведение 5  (–3) = –15; в левом нижнем углу записываем произведение частоты nuv на соответствующую варианту v, стоящую в первом столбце, так в первой клетке внизу слева записано произведение 5(–2) = –10.
в) Складываем все числа, помещённые в правых верхних углах клеток одной и той же
строки, а их сумму записываем в клетку этой же строки, но в предпоследний столбец U. Например, для первой строки U = –15 + (–14) = –29.
г) Умножаем варианту v из первого столбца на соответствующее значение U из предпоследнего столбца и полученное произведение записываем в клетку этой же строки последнего
столбца v  U. Например, для первой строки варианта v = –2, значение параметра U = -29, следовательно, их произведение будет v  U = (–2)  (–29) = 58. Это число и записываем для первой строки
в последний столбец.
д) Складываем все числа последнего столбца v  U, получаем сумму
 U  169 , которая
v
и равна искомой сумме
  nuv  u  v .
е) Для контроля аналогичные вычисления производят по столбцам.
Если результаты совпадают, то
 nuv  u  v   v U   u V  169.
v
u
8) Теперь выборочный коэффициент rв линейной корреляции будет равен
44
rВ 
 nuv  u  v  n  u  v  169  200  ( 0,425)  0,090  0,775.
~ 
~
n
u
v
200  1,106  1,209
9) В уравнения прямых линий регрессии
~
~


y
Y x  y  rВ  ~  x  x , X y  y  rВ  ~ x  y  y



x



x
подставляем все найденные величины:
~  11,065; 
~  10,305; x  35,75; y  35,90; r  0,775.

x
y
В
Получим:
Y x  35,90  0,775 
10,305
 ( x  35,75)  Y x  0,721 x  10,002;
11,065
X y  35,75  0,775 
11,065
 ( y  35,90)  X y  0,832 y  5,884.
10,065
45
Таблица 3.3.
u
v
-3
-2
-15
5
-14
7
-2
-10
-1
-
1
-
2
-
V= nuv  v -10
uV
0
1
U =  nuv  u
2
vU
-29
-
-
-
-
58
-14
-
0
-1
30
-40
-23
20
23
-20
-23
-30
0
2
30
47
2
0
0
0
-10
0
20
10
11
20
10
11
20
6
0
7
9
7
10
14
6
-34
68
-13
13
29
34
0
-63
-
63
-28
-
0
12
6
22
6
13
3
26
 vU =
12
34
22
24
 uV = 169
10) Построим графики этих уравнений на одном рисунке.
а) Для построения прямой Y x  0,721 x  10,002 выберем два значения x, достаточно удалённые друг от друга, но лежащие в области изменения параметра X, например, x1 = 10 и x2 = 60.
Подставим их поочерёдно в уравнение, получим:
Y x1  0,721  10  10,002  17,212  17,2;
Y x 2  0,721  60  10,002  53,262  53,3.
Точки М1(x1;y1) = М1(10;17,2) и М2 (x2;y2) = М2 (60;53,3) наносим на диаграмму рассеяния
и, соединив их, получаем график прямой линии регрессии
Y x  0,721x  10,002 (рис.).
б) Строим прямую X y  0,832 y  5,884 ; выбираем значения y: y1 = 15 и y2 = 55. Подставим
поочерёдно в уравнение, получаем:
X y1  0,832  15  5,884  18,364  18,4;
X y2  0,832  55  5,884  51,644  51,6.
Точки N1 (x1; y1) = N1 (18,4; 15) и N2 (x2; y2) = N2 (51,6; 55) так же наносим на диаграмму
рассеяния и, соединив их, получаем график второй прямой линии регрессии X y  0,832 y  5,884
(рис.1).
46
Рис.1 Диаграмма рассеяния и прямые линии регрессии, описывающие связь между объёмом основных фондов X предприятия и стоимостью готовой продукции Y.
Ответ:
1) Предполагая, что связь между признаками X и Y является линейной, получили выборочные уравнения прямых линий регрессий в виде: Y x  0,721 x  10,002 ; X y  0,832 y  5,884 .
2) Диаграмма рассеяния и графики прямых линий регрессии представлены на рис.
3) Выборочный коэффициент корреляции rВ = + 0,78. Он показывает, что связь между
объёмом основных фондов X предприятия и стоимостью готовой продукции Y является высокой.
Примерный вариант практического задания.
Задание №1. При изучении прибыли малых предприятий одного профиля было обследовано n предприятий и получены значения прибыли за месяц X усл. ден. ед., представленные в таблице. Требуется:
1. Выполнить первичную статистическую обработку результатов наблюдений:
а) определить выборочное среднее
x в;
б) «исправленное» стандартное отклонение S(x);
в) коэффициент вариации V(x) изучаемого признака.
2. Полагая, что изменчивость признака X описывается законом нормального распределения, найти
доверительный интервал для среднего значения прибыли а предприятий этого профиля на уровне
заданной надёжности .
47
24,1 23,5 19,2 21,8 20,3 22,4 22 23,1 19,9 22,7 21,5 n = 11  = 0,95
Задание №2. С целью определения рациональной структуры размерного ассортимента детской одежды проведено выборочное обследование определённых групп детского населения и получено распределение количества детей по величине обхвата груди X см. (таблица).
Требуется:
1. Построить гистограмму относительных частот для наблюдаемых значений признака X.
2. Определить: а) выборочное среднее
x в ; б) стандартное отклонение в; в) коэффициент вариа-
ции V(x).
3. Полагая, что изменчивость величины признака X в пределах рассматриваемой половозрастной
группы детей описывается законом нормального распределения, найти:
а) доверительный интервал для ожидаемого среднего значения а обхвата груди у детей рассматриваемой группы на уровне надёжности ;
б) вероятность Р того, что величина признака X у выбранного наугад ребёнка такого возраста окажется в пределах от  см. до  см.
Обхват груди X
Кол-во
(см)
детей
54 - 58
-
58 - 62
-
62 - 66
35
66 - 70
50
70 - 74
77
74 - 78
69
78 - 82
54
82 - 86
39
n
324

0,9786
 (см)
74
 (см)
78
Задание №3. Экономист, изучая зависимость уровня издержек обращения Y(ден. ед.) от
объёма товарооборота X (ден. ед.) магазина за определённый период, получил данные по n = 10
магазинам одинакового профиля (таблица).
Полагая, что между признаками Y и X имеет место линейная корреляционная связь, опреде-
48
лить выборочное уравнение регрессии Y = b + 
xy
 (x - x )
и выборочный коэффициент линейной
корреляции rв. Построить диаграмму рассеяния и линию регрессии. Сделать выводы о направлении и тесноте связи между показателями Y и X.
Используя полученное линейное уравнение регрессии, оценить ожидаемое значение признака Y при X = 130 ден. ед.
X
80
60
Y 4,2 4,9
100 130 120
50
90
150
70
125
7,2
3,9 5,1
8,4
3,5
8,7
9,1
6,4
Раздел 4. Словарь основных терминов (глоссарий)
Алгоритм – точное формальное предписание, однозначно определяющее содержание и последовательность операций, переводящих заданную совокупность исходных данных в искомый
результат.
Альтернативная гипотеза – предположение, принимаемое в случае отклонения нулевой
гипотезы.
Аппликата – третья из декартовых координат точки в трехмерном пространстве.
Асимптота – такая прямая, что расстояние от точки на данной кривой до этой прямой
стремится к нулю при неограниченном удалении точки от начала координат.
Вариационный ряд – совокупность величин, расположенных в порядке их возрастания.
Вариационный ряд полностью определяется указанием различных значений входящих в него величин и числа членов ряда.
Геометрическое место точек – множество точек (образующих кривую или поверхность),
выделяемых из всех точек пространства каким-либо геометрическим требованием или свойством.
Гипотеза – научное предположение, выдвигаемое для объяснения некоторого явления и
требующее верификации.
Гистограмма – столбиковая диаграмма, показывающая распределение значений некоторой
переменной по выбранной совокупности интервалов, покрывающих область изменения этой переменной.
Действительные (вещественные) числа – числа, представимые всевозможными десятичными дробями.
Дискретные случайные величины – случайные величины, которые принимают отдельные, изолированные возможные значения с определенными вероятностями.
49
Дисперсия –
характеристика случайной величины, определяемая как математическое
ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания.
Достоверное событие – событие, которое обязательно происходит при каждом испытании;
вероятность этого события равна единице.
Зависимые события – события, для которых вероятность одного из них меняется в зависимости от того, произошло другое или нет.
Закон распределения случайной величины – соответствие между возможными значениями случайной величины и их вероятностями.
Иррациональные числа – числа, не представимые обыкновенными дробями.
Испытание – изучение какого-либо явления в порядке наблюдения.
Качественный регрессионный анализ – группа методов многомерного анализа данных,
позволяющих оценить влияние нескольких номинальных независимых признаков (предикторов)
на зависимый признак.
Ковариационный анализ – совокупность методов математической статистики, предназначенных для выявления зависимости среднего значения некоторой случайной величины - от набора
неколичественных факторов, задающих условия качественной природы, при которых получены
наблюдения; и одновременно – от набора количественных факторов (сопутствующих переменных).
Комбинаторика – раздел математики, изучающий составление различных комбинаций из
заданных объектов.
Координата – одно из чисел, совокупность которых характеризует положение точки; каждая координата имеет свой порядковый номер в этой совокупности.
Координаты декартовы – прямолинейные координаты, у которых все оси взаимно перпендикулярны; для нахождения координат произвольной точки M из неё опускаются перпендикуляры на соответствующие оси; координатами точки M являются числа, характеризующие положения оснований перпендикуляров на этих осях.
Корреляционный анализ – статистические методы обнаружения корреляционной зависимости между двумя или более случайными признаками или факторами.
Корреляция – связь переменных, при которой одному значению одного признака соответствует несколько значений другого признака, отклоняющегося в ту или иную сторону от своего
среднего значения.
Линейная зависимость – зависимость между элементами векторного пространства, заключающаяся в том, что некоторая линейная комбинация этих элементов равна нулю, хотя не все
коэффициенты равны нулю.
50
Линейная корреляция – корреляция, при которой отношение степени изменения одной
переменной к степени изменения другой переменной является постоянной величиной.
Математика – система наук, изучающих количественные отношения и пространственные
формы реальности.
Математическая модель – приближенное описание какого-либо класса явлений, выраженное с
помощью математической символики.
Математическая статистика – наука, изучающая методы раскрытия закономерностей,
свойственных большим совокупностям однородных объектов, на основании их выборочного обследования.
Математическое ожидание – среднее значение случайной величины, определяемое как
сумма произведений случайной величины на их вероятности (дискретное распределение случайной величины) или интеграл от произведения случайной величины на функцию плотности вероятности (непрерывное распределение случайной величины).
Матрица корреляции – числовая матрица коэффициенты корреляции для всех пар анализируемых переменных.
Многомерный статистический анализ – раздел математической статистики, развивающий математические методы выявление характера и структуры взаимосвязей явлений, характеризующихся большим количеством различных свойств.
Множественная корреляция – корреляция между одной зависимой переменной и комбинацией двух или более независимых переменных, которая дает оценку смешанного влияния на зависимую переменную.
Множественная регрессия – статистическая процедура изучения зависимости, существующей между зависимой переменной и несколькими независимыми переменными.
Множество – совокупность объектов, объединенных общим для них признаком.
Натуральные числа – целые положительные.
Начало координат – точка пересечения осей координат, являющаяся началом отсчёта;
обычно обозначается буквой O.
Невозможное событие – событие, которое при заданной совокупности условий произойти
не может; его вероятность равна нулю.
Независимые испытания – испытания, для которых вероятность того или иного исхода
каждого из испытаний не зависит от того, какие исходы имели другие испытания.
Независимые события – события, для которых появление любого их них не изменяет вероятности появления другого.
Нелинейная корреляция – корреляция, при которой отношение степени изменения одной
переменной к степени изменения другой переменной является изменяющейся величиной.
51
Непрерывные случайные величины – случайные величины, которые могут принимать
все значения из некоторого конечного или бесконечного промежутка.
Несовместность – свойство системы уравнений или неравенств, заключающееся в отсутствии решения, удовлетворяющего всем составляющим системы.
Несовместные события – события, которые не могут осуществиться в одном и том же испытании.
Нулевая гипотеза – предположение об отсутствии взаимосвязи или корреляции между исследуемыми переменными.
Ордината – вторая из декартовых координат точки.
Ось – Прямая, на которой путем задания единичного вектора указаны направление, единица длины и начало отсчёта.
Ось абсцисс – первая из осей декартовой системы координат на плоскости или в пространстве.
Ось аппликат – третья из осей декартовой системы координат в пространстве.
Ось координатная – часть системы координат, являющаяся прямой с заданным на ней
направлением и масштабом длины.
Ось кривой второго порядка – прямая, относительно которой данная кривая расположена
симметрично.
Ось ординат – вторая из осей декартовой системы координат на плоскости или в пространстве.
Отображение – правило перехода одного элемента множества A в один элемент множества
B.
Отрицательная корреляция – корреляция, при которой увеличение одной переменной
связано с уменьшением другой переменной.
Перестановки – группировки из данных элементов, отличающиеся друг от друга их порядком.
Плоскость – один из основных объектов геометрии, определяемый аксиоматически своими
отношениями с прямой и точкой. В трёхмерном евклидовом пространстве это – множество точек,
декартовы координаты которых удовлетворяют уравнению Ax  By  Cz  D  0 , где A, B, C не
равны нулю одновременно.
Плоскость координатная – плоскость, содержащая две оси координат.
Положительная корреляция – корреляция, при которой увеличение одной переменной
связано с увеличением другой переменной.
52
Проверка статистических гипотез – процедура установления согласованности выборочных значений некоторой случайной величины с определенным вероятностным предположением о
ее распределении.
Произведение событий – событие, состоящее в совместном появлении всех этих событий.
Пропорция – равенство двух отношений.
Процент – сотая часть числа.
Равновозможные события – события, для которых есть основания считать, что ни одно из
них не является более возможным, чем другое.
Размещения – группировки из данного числа элементов по заданному меньшему числу в
каждой группе, отличающиеся друг от друга хотя бы одним элементом.
Рациональные числа – числа, представимые обыкновенными дробями.
Регрессионный анализ – статистический метод, который используется для оценки отношений между (двумя) переменными.
Решение – математический объект, удовлетворяющий условиям поставленной задачи.
Система уравнений – множество уравнений, для которых требуется найти решения, удовлетворяющие одновременно всем уравнениям системы.
Случайная величина – величина, которая в результате испытания может принять то или
иное числовое значение, заранее неизвестно, какое именно.
Случайное событие – событие, которое может произойти или не произойти в результате
испытания.
Событие – всякий результат или исход испытания.
Событие, противоположное событию A – событие, которое происходит тогда и только
тогда, когда не происходит событие A.
Совместность – свойство системы уравнений (неравенств) иметь хотя бы одно общее для
всех уравнений (неравенств) решение.
Совместные события – события, которые могут произойти вместе в одном и том же испытании.
Сочетания – группировки из данного числа элементов по заданному меньшему числу в
каждой группе, отличающиеся друг от друга хотя бы одним элементом.
Среднее квадратическое отклонение – характеристика случайной величины, которая показывает среднюю величину разброса случайной величины относительно ее математического
ожидания; определяется как корень квадратный из дисперсии.
Статистическая гипотеза – предположение об определенных эмпирических характеристиках распределения в данной совокупности.
53
Статистические методы анализа – группа методов и способов сбора и обработки данных,
используемых для описания и анализа информации.
Статистический тест – процедура, применяемая к количественным данным выборки для
вычисления возможной истинности статистической гипотезы.
Сумма событий – событие, состоящее в появлении хотя бы одного из этих событий.
Теория вероятностей – математическая наука, изучающая закономерности в случайных
явлениях.
Уравнение – запись в форме равенства задачи об отыскании значений аргументов, при которых значения двух данных функций равны.
Уровень значимости – степень риска, заключающаяся в том, что исследователь может
сделать неправильный вывод об ошибочности статистической гипотезы на основе выборочных
данных.
Условная вероятность – вероятность события A, вычисленная при условии осуществления
другого события B.
Функция плотности вероятности – производная от функции распределения.
Функция распределения – функция, определяющая для каждого действительного значения x вероятность того, что случайная величина X примет значение, не превышающее x.
Частное решение – решение, получающееся из общего решения при конкретных значениях
параметров.
Численное решение – решение математической задачи, полученное одним из численных
методов.
Элементарное событие – возможный исход испытания, который в условиях задачи нельзя
представить как объединение других возможных исходов.