§ 7

1. Систематические дроби.
а) конечные систематические дроби.
Ранее мы рассматривали целые систематические числа. Рассмотрим
аналогичные представления любых рациональных чисел. Так как любое
рациональное число может быть представлено в виде a  n  r , где n - целое
число, а 0  r  1 , мы ограничимся изучением таких рациональных чисел,
что 0  r  1 . Эти числа могут быть записаны в виде правильных
положительных дробей: r 
p
,0  p  q .
q
Самым простым является случай, когда знаменатель дроби является
a
, где 0  a  g n .
gn
a
Теорема 1. Любую положительную правильную дробь вида r  n
g
степенью основания системы счисления, то есть когда r 
можно представить в виде конечной суммы
a
a a
a
a
 1  22  ...  kk  ...  nn ,
n
g
g g
g
g
(1)
где при всех k имеем 0  ak  g .
Вместо записи (1) обычно пишут так:
a
 0, a1a2 ...an ,
gn
(2)
дробь (2) называют конечной g -ичной систематической дробью.
Запись вида (1) допускают не только дроби r 
a
a
, но и любые дроби ,
n
b
g
обладающие следующим свойством:
Теорема 2. Правильная несократимая дробь
a
b
может быть
представлена в виде:
a a1 a2
a
  2  ...  nn
b g g
g
в том и том случае, когда в разложение знаменателя b на простые
множители входят только те простые числа, которые участвуют и в
разложении на простые множители основания g .
Следствие 1. Несократимая дробь
a
может быть представлена в виде
b
конечной десятичной дроби в том и только в том случае, когда в разложение ее
знаменателя на простые множители входят лишь простые числа 2 и 5, то есть
когда b  2  5 .
Примеры 3. Дробь
7
можно представить в виде конечной
96
12-ной
дроби, так как 96  3  25 , а в разложении 12 на простые множители входят лишь
2 и 3. Чтобы получить это разложение, запишем:
7
7
7  32  2 126



,
96 3  25 (3  22 )3 123
98
но 126  12 10  6 , и потому
7 12  10  6 10
6

 2  3  0,0(10)612 .
3
96
12
12 12
9
Пример 4. Дробь
можно записать в виде конечной десятичной
160
дроби, так как 160  25  5 .
7
Пример 5. Дробь
нельзя представить в виде конечной десятичной
96
дроби, так как 96  25  3 .
б) бесконечные систематические дроби.
Введем теперь бесконечные g -ичные дроби и покажем, что любое
рациональное число может быть выражено периодической g -ичной дробью.
Как и выше, будем рассматривать лишь числа на промежутке 0  r  1 .
Определение 2. Правильной бесконечной g -ичной дробью называется
ряд

a1 a2
a
a
 2  ...  nn  ...   kk
g g
g
k 1 g
,
(3)
где для всех n имеем 0  an  g .
Так как для любого n имеем
an
1
 n 1 , а ряд
n
g
g

g
1
n 1
n 1
сходится, поскольку
является геометрической прогрессией со знаменателем g 1  1 , то и ряд (3)
сходится при любых значениях коэффициентов an , таких, что 0  an  g .
Иными словами, всегда существует действительное число a , такое, что
a
a1 a2
a
 2  ...  nn  ... .
g g
g
(4)
a
a
- правильная несократимая дробь. Тогда
b
b
можно представить в виде конечной или бесконечной g -ичной дроби, причем
Теорема 3. Пусть
единственным образом в случае бесконечной дроби.
Если
a a1 a2
a
  2  ...  nn  ... ,
b g g
g
то
 g na 
n 1

  a1 g  ...  an 1 g  an
 b 
и
 g n 1a 
n2

  a1 g  ...  an  2 g  an 1 . Значит
b


 g na 
 g n 1a 
an  
  g
.
 b 
 b 
(5)
в) периодические систематические дроби.
Введем следующие определения:
Определение 3. Систематическая дробь по основанию g 0, a1a2 ...an ...
называется чисто периодической с периодом длины s,если для всех k
выполняется ak  ak  s , причем s – наименьшее натуральное число с этим
свойством ( иными словами, если 0  q  s , то найдется такое k,что ak  ak  q ).
99
Определение 4. Систематическая дробь по основанию g 0, a1a2 ...an ...
называется смешанной периодической с периодом длины s,если найдется такое
m>0, что для всех k  m имеем : ak  ak  s , причем s – наименьшее натуральное
число с этим свойством.
Чисто периодическую дробь с периодом длины s записывают: 0, (a1a2 ...as ) ,
а смешанную дробь: 0, a1a2 ...am (am 1...am  s ) .
a
b
a
взаимно прост с основанием системы счисления, (b, g )  1 . Тогда дробь
b
представима в виде чисто периодической g -ичной дроби, период s которой
a
равен порядку числа g по модулю b (s=Pb(g)) :  0, (a1a2 ...as ) .
b
Теорема 5. Пусть разложение числа b на простые множители имеет
Теорема 4. Пусть знаменатель несократимой правильной дроби
вид:

b  p1 1  ... pk
причем g
несократимая
делится на p1 ,..., pk
a
b
дробь
k


 q1 1  ...ql l ,
и не делится на q1 ,...ql . Тогда правильная
может
быть
представлена
в
виде:
a
 0, a1...am (am 1...am  s ) , где справа стоит смешанная периодическая g -ичная
b
дробь. Период этой дроби равен порядка s числа g по модулю c  q11  ...ql  l , а
число цифр между запятой и началом первого периода (предпериод) равно
наибольшему из показателей 1,..., k , то есть m  max( 1,..., k ) .
7
 0á (179487 ) , так как 103, 10  1(mod 39),   6 .
39
13
13
m  max( 1,2)  2

 0,02(36) , так как
7.
550 2  52  11
Примеры 6.
Пример
и
10  1(mod 11) .
Пример 8. Найти длину периода и предпериода при обращении дроби
739
в десятичную.
1540
Решение. 1540  22  5  7  11 . Значит в предпериоде две цифры. Вычислим
P7 (10), P11(10) . Вычисления можно провести путем индексирования, то есть
решаем сравнения 10 x  1(mod 7),10 x  1(mod 11), находим P7 (10)  6, P11(10)  2 .
Длина периода равна НОК( P7 (10), P11(10) ) = НОК(6,2) = 6.
Следствие 2. Если каноническое разложение знаменателя b в
несократимой дроби
a
b
не содержит множителей 2 и 5, то эта дробь
превращается в чистую периодическую дробь; при этом число цифр в периоде
равно показателю  , которому принадлежит число 10 по модулю b .
100
Если каноническое разложение знаменателя b в несократимой дроби
a
b
имеет вид b  2  5  c , где (c,10)  1 , то эта дробь преобразуется в смешанную
дробь, в которой число цифр до периода равно m  max  ,  , а число цифр
периода равно   Pc (10) .
2. Проверка результатов арифметических действий.
С помощью сравнений легко указать необходимые признаки
правильности и достаточные признаки неправильности результатов
выполнения арифметических действий сложения, вычитания и умножения
целых чисел.
Результат действий сложения, вычитания и умножения есть целая
рациональная функция компонент, а потому если вместо данных чисел взять
наименьшие положительные или наименьшие по абсолютной величине
вычеты этих чисел по какому-либо модулю то, результат действий над этими
вычетами должен быть сравним по тому же модулю с наименьшим вычетом
проверяемого результата. Если сравнение не имеет места, то результат
получен неверно. В качестве модуля удобнее брать число, наименьшие вычеты
по которому легко вычисляются ( например, для десятичной системы
счисления – 9 или 11). В случае 9 можно брать вместо наименьших вычетов
просто сумму цифр, в случае 11 – разность между суммами цифр, стоящих на
четных и нечетных местах (считая справа налево).
Следует отметить, что неправильность соответствующего сравнения
гарантирует
неправильность
выполнения
действий.
Правильность
соответствующего сравнения лишь подтверждает, но не гарантирует
правильность результата. Дело в том, что проверкой с помощью 9 или 11 не
может быть обнаружена ошибка на число, кратное 9 ил 11 соответственно.
Поэтому чаще всего проверяют одновременно числами 9 и 11. В этом случае
ошибка на число, кратное 99, но вероятность такой ошибки очень мала.
Пример 8. Проверим правильность выполнения действий ( с помощью 9
и 11):
1) 8740297 – 561245 = 8179052,
2) 4237  27925  118275855 ,
3) 19892  20315  10364211 .
Решение. 1). Проверка девяткой. Заменим числа суммами их цифр:
(8+7+4+0+2+9+7) – (5+6+1+2+4+5)  (8+1+7+9+0+5+2) (mod 9) ,
37  23  32(mod 9),14  32(mod 9) .
Сравнение подтверждает, но не гарантирует правильности выполнения
действий.
Проверка числом 11.
8740297  (7  2  4  8)  (9  0  7)  5(mod 11),561245  (5  2  6)  (4  1  5)  3(mod 11),
8179052  (2  0  7 | 8)  (5  9  1)  2(mod 11).
Получим: 5  3  2(mod 11),2  2(mod 11).
101
Проверка одиннадцатью подтверждает правильность получения
результата (хотя абсолютной гарантии нет, так как возможна ошибка на число,
кратное 99).
2).
4237  4  2  3  7  7(mod 9),27925  2  7  9  2  5  7(mod 9),
118275855  1  1  8  2  7  5  8  5  5  6(mod 9),7  7  6(mod 9).
Значит пример выполнен неверно.
3).
19892  20314  315  (1  9  8  9) 2  (2  0  3  1  4)  (3  1  5)  02  1  0  0(mod 9),
,
10364211  0(mod 9)
то есть признак делимости на 9 в данном случае не позволяет выявить ошибку,
если она есть. Применим признак делимости на 11:
19892  20314  315  (9  8  9  1) 2  (4  1  3 _ 0  2)  (5  1  3)  5(mod 11),
.
10364211  1  1  2  4  6  3  0  1  0(mod 11),0  5(mod 11).
Следовательно, выражение 3) содержит ошибку.
Упражнения.
43
9
№ 1. Найдите последнюю цифру числа: а) 4343 , б) 78 , в) 34  43  56  65 .
№ 2. Найдите остаток от деления: а) 19891989 на 13, б) 54312  12543 на 15.
№ 3. Найдите остаток от деления: а) 10! на 11, б) 9! на 17, в) 18! на 7.
№4. Доказать, что если a - четное число не кратное 10, то a оканчивается
цифрами 76.
№5. При помощи свойств сравнений выведите признаки делимости на 3, 9, 8,
125, 6, 15, 18, 12, 27 и 37, 7 и 11 и 13.
№6. Используя признаки делимости найдите все числа вида 13 xy45 z делящееся
на 792.
№7. К числу 6157 припишите слева и справа по одной цифре, чтобы
полученное число делилось на 45.
№8. С помощью признаков делимости на 2 и 5 проверить правильность
результатов действий: 1) 25045  1487  37240916, 2) 3746  8067  30210915.
№9. С помощью признаков делимости на 9 и 11 проверьте результаты
действий:
1) 13547 – 9862 = 3685, 2) 2504+91382 = 116423, 3) 43711243  5433153 ,
4) 421767 : 3429  123 , 5) 19652=3761225, 6) 5 371293  23 ,
7) (27082  8513874)  18  372  179  276181597 .
№10. Какие из следующих обыкновенных дробей могут быть представлены в
виде а) конечных десятичных дробей, б) чисто периодических дробей,
в) смешанных периодических дробей:
1)
16
89
135
403
371
100
101
, 2)
, 3)
, 4)
, 5)
, 6)
, 7) .
155
160
71
500
80
749
242
№11. Найдите длины периода и предпериода при обращении обыкновенных
дробей в десятичную:
102
1
82
109
39
43
, 2)
, 3)
, 4)
, 5)
,
380
34400
97000
660
280
101
1
601
805
6)
, 7)
, 8)
, 9)
.
4420
935
646
418
1)
№12. Докажите, что сумма, разность, произведение и частное периодических
дробей – периодическая дробь.
103