Логарифмическая функция от кватерниона

Реклама
Математичні методи обробки даних
УДК 519.68; 620.179.15; 681.3
Я. А. Калиновский, М. В. Синьков, Т. В. Синькова
Институт проблем регистрации информации НАН Украины
ул. Шпака, 2, 03113 Киев, Украина
Логарифмическая функция от кватерниона
Рассмотрено построение логарифмической функции от кватерниона.
Предложен вывод основного выражения и сопоставление с логарифмом комплексных и действительных чисел.
Ключевые слова: кватернион, логарифм, мнимая единица.
Введение
Открытые в 1843 году У. Гамильтоном кватернионы, представляют собой некоммутативную систему гиперкомплексных чисел четвертого порядка. Кватернионы нашли важное применение в различных областях науки и техники.
В связи с этим целесообразно расширить класс нелинейных функций от кватернионов, которые могут быть представлены через функции вещественных переменных.
В настоящее время, кроме полиномов и дробно-рациональных функций, получены представления и изучены свойства экспоненты от кватерниона, а также
гиперболических функций — синуса и косинуса. В данной статье строится представление логарифмической функции от кватерниона.
Определение логарифма от кватерниона
Определение логарифма от кватерниона основано на представлении экспоненты от кватерниона:


sin q
iq2  jq3  kq4  ,
e Q  e q1  cos q 
q


(1)
Q  q1  iq2  jq3  kq4 ;
(2)
где
© Я. А. Калиновский, М. В. Синьков, Т. В. Синькова
ISSN 1560-9189 Реєстрація, зберігання і обробка даних, 2002, Т. 4, № 1
35
Я. А. Калиновский, М. В. Синьков, Т. В. Синькова
q  q22  q32  q42 .
(3)
Обозначим логарифм от кватерниона через Ln Q. Пусть:
Ln Q = Х,
(4)
где X  x1  ix2  jx3  kx4 — также кватернион. Смысл выражения (4) заключается в том, что кватернион Х должен удовлетворять уравнению
eX = Q,
(5)
которое с помощью (4) может быть представлено в виде:


sin x
ix2  jx3  kx4   q1  iq2  jq3  kq4 .
e x1  cos x 
x


(6)
Построение представления логарифма от кватерниона
Приравнивая в (6) коэффициенты при одноименных координатах, получим
систему уравнений
q1  e x1 cos x;
q m  e x1
sin x
x m , m  2,3,4,
x
(7)
решение которой будет иметь вид:
x1  Q ;
xm 
qm
q


q
 arccos 1  2nm , m = 2, 3, 4.


Q


(8)
Таким образом, логарифм кватерниона Q имеет следующее представление
через вещественные функции:
36
Логарифмическая функция от кватерниона
Ln Q  ln Q 
q
1
2
n2 iq2  n3 jq3 n 4 kq4  .
arccos 1 iq 2  jq3  kq 4  
Q
q
q
(9)
Как видно из (9), логарифм кватерниона многозначен. Аналогично логарифмам от комплексных и вещественных чисел выделим из (9) главное значение. При
n2 = n3 = n4 = 0 получим выражение:
ln Q  ln Q 
q
1
arccos 1 iq 2  jq3  kq 4  ,
Q
q
(10)
которое и примем за определение логарифма от кватерниона.
Сравнение логарифма кватерниона с логарифмами
вещественных и комплексных чисел
Так как поля вещественных и комплексных чисел являются подполями поля
кватернионов, то из (9) и (10) должны вытекать формулы для логарифмов комплексных чисел. Действительно, если комплексное число
A  a1  ia2
(11)
представить в виде кватерниона
A  a1  ia2  j  0  k  0 ,
тогда:


a1
ln A  ln a12  a 22  i  arccos
 2n  ,


a12  a 22


(12)
что совпадает с определением логарифма комплексного числа.
Поступила в редакцию 15.03.2002
ISSN 1560-9189 Реєстрація, зберігання і обробка даних, 2002, Т. 4, № 1
37
Скачать