Элементы матричной алгебры и решение

Элементы матричной алгебры
Матрица. Действия с матрицами
Матрицей размеров mn будем называть совокупность mn чисел расположенных в
виде таблицы состоящей из m строк и n столбцов и записывать в виде:
 a11 a12 ... a1n 
a
a 22 ... a 2 n 
.
A   21
 ...
... ... ... 


a m1 a m 2 ... a mn 
Элементы матрицы – это числа aij ( i  1, 2, ..., m, j  1, 2, ..., n ) составляющие её, где i
– номер строки, j – номер столбца на пересечении которых находится элемент матрицы.
Основные операции над матрицами
Сложение и вычитание матриц
Определяется для матриц одинакового размера. Суммой (разностью) матриц A и
B, обозначаемой A+B (A-B), называется матрица C, элементы которой определяются по
формуле: cij=aij+bij, где aij и bij – соответственно элементы матриц A и B.
Умножение матрицы на число
Произведением матрицы A и числа , обозначаемым A, называется матрица B той
же размерности, элементы которой bij=aij, где aij элементы матрицы A, т.е. при
умножении матрицы на число надо все элементы матрицы умножить на это число.
Свойства
Пусть A, B, C – матрицы одного размера, ,  любые действительные числа, тогда:
1. A+ B= B+ A
2. (A+ B)+ C= A+(B+ C)
3. (A+B)= A+B
4. (+)A=A+A
5. ()A=(A)
Матрица, все элементы которой равны нулю называется нулевой. Пусть O –
нулевая матрица, тогда:
6.
A+ O= A
(-1)A – противоположная к A и обозначается – A.
7. A+(- A)= O.
Транспонирование матриц
T
Матрица A , полученная из данной матрицы A заменой её строк столбцами с теми
же номерами называется транспонированной:
 a11 a 21 ... a n1 
a
a 22 ... a n 2 
12
T

A 
 ... ... ... ... 


a1n a 2 n ... a mn 
Умножение матриц
Произведением матриц Am n и Bn p называется матрица Cm p= A B (или проще
n
AB), элементы которой c   a b , где a , b
- элементы матриц A и B.
ik
ij
ik kj
kj
k 1
Произведение AB существует только в том случае, когда первый множитель A имеет число
столбцов, равное числу строк второго множителя B.
Свойства умножения
AB BA даже если оба произведения определены, но существуют матрицы
A,B, такие что AB= BA, тогда они называются перестановочными.
Матрица E вида:
 1 0 0 ... 0 
 0 1 0 ... 0 
 называется единичной матрицей. E – перестановочная с любой
E
... ... ... .. ...


 0 0 0 ... 1 
квадратной матрицей того же размера, т.е. AE=EA=A.
2.
Умножение матриц ассоциативно, т.е. если определены произведения AB
и (AB)C, то определены BC и A(BC) и выполняется равенство:
(AB)C=A(BC).
3.
Умножение матриц дистрибутивно по отношению к сложению, т.е.:
A(B+C)=AB+AC
(A+B)C=AC+BC.
4.
Для любого числа :
(AB)=(A)B=A(B).
5.
5. Если существует AB, то определено (существует) BТAТ и
выполняется равенство:
(AB)Т= BТAТ.
Обратная матрица
Матрица X, удовлетворяющая вместе с заданной матрицей A равенствам XA=AX=E,
называется обратной к A и обозначается A-1.
Определители
Определители (детерминанты) рассматриваются только для квадратных матриц.
Определитель n-го порядка это число, записываемое в виде таблицы
a11 a12 a13 ... a1n
1.
a 21
a 22
a 23
... a 2 n
... ...
... ... ...
a n1 a n 2 a n3 ... a nn
и может быть вычислено по элементам этой таблицы в соответствии с указанными
ниже правилами.
Минором Mij элемента aij называется определитель (n-1)-го порядка, полученный из
определителя n-го порядка вычеркиванием i-й строки и j-го столбца.
Алгебраическое дополнение Aij элемента aij определяется равенством:
Aij=(-1)i+j Mij.
Определитель n (det) находится по правилу:
n
 n    1
k 1
k 1
a1k M 1k ,
а миноры M1k – являются определителем (n-1)-го порядка, полученным из n
вычеркиванием 1-й строки и k-го столбца. Эта формула называется разложением по
строке. Можно раскладывать по столбцу:
n
 n    1 a i1 M i1 .
i 1
i 1
Определители первого, второго и третьего порядков
Определитель первого порядка a11  a11 .
Определитель второго порядка:
2=
a11
a12
 a11  a 22  a 21  a12 .
a 21 a 22
Определитель третьего порядка, вычисленный разложением по первой строке:
a11 a12 a13
a
a 23
a
a 23
a
a 22
3= a 21 a 22 a 23  a11 22
.
 a12 21
 a13 21
a 32 a 33
a 31 a 33
a 31 a 32
a 31 a 32 a 33
Правило вычисления определителя 3-го порядка равносильно правилу
треугольников (правилу Саррюса):
3=a11a22a33+ a12a23a31+ a21a32a13-(a13a22a31+ a12a21a33+ a23a32a11).
Основные свойства определителей
1. Определитель не изменится, если его разложить по любому столбцу (строке).
2. Значение определителя не изменится после замены всех его строк
соответствующими столбцами и наоборот: detA=detAT.
3. Если поменять местами две каких-нибудь строки (столбца), то определитель
изменит свой знак.
4. Определитель с двумя одинаковыми строками (столбцами) равен нулю.
5. Если все элементы некоторой строки (столбца) имеют общий множитель, то его
можно вынести за знак определителя. Следовательно, если элементы какой-либо
строки (столбца) умножить на число , то определитель умножится на это число .
6. Если все элементы какой-либо строки (столбца) равны нулю, то определитель тоже
равен нулю.
7. Определитель у которого элементы двух строк (столбцов) соответственно
пропорциональны равен нулю.
8. Если каждый элемент какой-либо строки (столбца) определителя представляет
собой сумму 2-х слагаемых, то такой определитель равен сумме 2-х определителей.
В первом из которых соответствующая строка (столбец) состоит из 1-х слагаемых,
а во втором – из вторых.
9. Определитель не изменится, если ко всем элементам какой-либо строки (столбца)
прибавить соответствующие элементы другой строки (столбца), умноженные на
одно и тоже произвольное число .
Обратная матрица (продолжение)
-1
-1
Поскольку AA =A A, то они перестановочные и обе должны быть квадратными
одинакового порядка n.
Квадратная матрица называется невырожденной, если её определитель не равен
нулю, в противном случае она называется вырожденной.
Утверждение. Каждая невырожденная квадратная матрица имеет обратную, и
притом только одну.
 A11 A21 ... An1 
A
*
A22 ... An 2 
A
12
1
*

.
A 
, A 
 ...
... ... ... 
det A


 A1n A2 n ... Ann 
Матрица A* называется присоединенной, её элементы являются алгебраические
дополнения Aij транспонированной матрицы AT.
2  4 1
Пример 1. Дана матрица A. Найти обратную ей A-1. A  1  5 3 .
1  1 1
Вычислим определитель det A.
det A=2(-5)1+(-4)31+1(-1)1-1(-5)1-2(-1)3-1(-4)1=-10-12-1+5+6+4=-13+5=-8.
det A=-8  0. Вычислим алгебраические дополнения.
A11 = -2, A12 = 2, A13 = 4, A21 = 3, A22 = 1, A23 = -2, A31 = -7, A32 = -5, A33 = -6.
 2 3  7 
1
2
1
1  5 .
Запишем результат: A 


8
 4  2  6
Ранг матрицы
Рангом матрицы A, обозначается rangA (RgA), называется наибольший порядок
порожденных ею определителей, отличных от нуля.
Утверждение. Ранг матрицы не изменится, если:
1. поменять местами любые две строки (столбца);
2. умножить каждый элемент строки (столбца) на одно и тоже число 0;
3. прибавить к элементам строки (столбца) соответствующие элементы любой
другой строки (столбца), умноженные на один и тот же множитель.
Преобразования 1 – 3 называются элементарными.
Две матрицы A и B называются эквивалентными, если одна получается из другой с
помощью элементарных преобразований, обозначается AB.
Базисным минором матрицы называется всякий отличный от нуля минор, порядок
которого равен рангу данной матрицы.
Основные методы нахождения ранга матрицы
1.
Метод нулей и единиц. C помощью элементарных преобразований любую
матрицу можно привести к виду, когда каждый её ряд будет состоять
только из нулей или из нулей и одной единицы. Тогда число оставшихся
единиц и определит ранг исходной матрицы.
Пример 1. Найти ранг матрицы
1 2 3  1
1
 2  1 0  4  5
.
A
  1  1 0  3  2


3 4 8  3
6
Умножим 3-й столбец на1/2, затем 1-ю строку умножим на 2 и вычтем её из
четвертой строки. Теперь 3-й столбец содержит три нуля и единицу в первой строке.
Легко делаем нули в первой строке на первой, второй, четвертой и пятой позициях. Имеем
0 1 0
0 
0
 2  1 0  4  5
.
A 
  1  1 0  3  2


1 0 2  1
4
Теперь 4-ю строку складываем со 2-й и 3-ей, после чего делаем нули в 4-й строке
всюду, кроме единицы на пересечении четвертой строки и второго столбца. В результате
этих преобразований имеем:
0  0 0 1 0
0  0 0 1 0 0 
0 0 1 0
6 0 0  2  6   0 0 0 0
0  0 0 0 0 0



A


.
3 0 0  1  3 3 0 0  1  3 0 0 0 1 0

 
 

0  0 1 0 0
0  0 1 0 0 0 
0 1 0 0
Получили три единицы. Следовательно, rangA=3.
Метод окаймляющих миноров. Минор Mk+1 порядка k+1, содержащий в
себе минор Mk порядка k, называется окаймляющим минор Mk.. Если у
матрицы A существует минор Mk 0, а все окаймляющие его миноры Mk+1
= 0, то rangA=k.
Пример 2. Найти ранг матрицы
1  3 5 4 
A  2  6 4 3 .
3  9 3 2
2.
Имеем M 2 
3 5
 0 . Для M2 окаймляющими будут только
6 4
1 3 5
3 5 4
M 3  2  6 4 , M 3*   6 4 3 ,
3 9 3
9 3 2
каждый из которых равен нулю. Поэтому rangA=2.
Вопросы для самоконтроля
1. Что такое называют mn матрицей?
2. Как определяется произведение матрицы на число? Сумма матриц? Всякие ли
две матрицы можно сложить?
3. Как определяется произведение двух матриц?
4. Обладает ли операция умножения матриц коммутативностью?
5. Что такое единичная матрица?
6. Что называют определителем квадратной матрицы?
7. Что такое обратная матрица?
8. Что такое ранг матрицы?
Решение систем линейных уравнений
Системой линейных уравнений с тремя неизвестными называется система вида:
a 1 x  b1 y  c1 z  d 1

a 2 x  b 2 y  c 2 z  d 2
a x  b y  c z  d
 3
3
3
3
(1)
Решить систему (1) – значит найти такие значения (x, y, z), при подстановке
которых в систему уравнения становятся верными тождествами. Для решения таких
систем существует много способов. Рассмотрим три основных: метод Гаусса, метод
Крамера, метод обратной матрицы.
Метод Гаусса
Метод Гаусса заключается в том, что с помощью элементарных преобразований
система приводится к так называемому "треугольному виду". К элементарным
преобразованиям относятся:
 умножение строки на любое число;
 прибавление к одной строке другой строки или суммы нескольких строк;
 умножение строки на любое число и прибавление к другой строке, также
умноженной на любое число.
После приведения системы к "треугольному виду" появляется возможность найти
значение переменной z из последнего уравнения, затем оно подставляется во второе
уравнение и находится значение y. Полученные значения z и y подставляются в первое
уравнение, откуда находится x.
Вычисления лучше производить с коэффициентами системы, записанными в форме
таблицы, которая называется расширенной матрицей системы:
a1 b1 c1 d1
a2 b2 c2 d 2
a3 b3 c3 d 3
В результате преобразований должна получиться матрица вида:
a1 b1 c1 d1
0 B2 C 2 D2
0 0 C3 D3
Возвращаясь к интерпретации каждой строки матрицы как коэффициентов
уравнения, можно записать:
C3z=D3, откуда z=C3/D3;
B2y+C2z=D2, откуда y=(D2-C2z)/B2;
a1x+b1y+c1z=d1, откуда x=(d1-b1y-c1z)/a1.
Таким образом, получили решение системы (1): (x,y,z).
Пример 1. Решить систему уравнений методом Гаусса:
x  2 y  3z  3

3x  y  6z  7
9 x  2 y  z  3

Составим матрицу системы:
1 2 3 3
3 1 6 7
9  2 1 3
Умножим первую строку на (-3) и прибавим ко второй строке, записывая сумму на
месте второй строки:
1 2 3 3
0 7  15  16
9  2 1 3
Умножим первую строку на (-9) и прибавим к третьей строке, записывая сумму на
месте третьей строки:
1 2 3 3
1 2 3 3
0 7  15  16  0 7  15  16
0 16  28  24
0 4 7 6
Умножим вторую строку на (-4), а третью строку на 7 и сложим их, записывая
сумму на месте третьей строки:
1 2 3 3
0 7  15  16
0 0 11 22
Из третьей строки имеем:
11z=22, откуда z=2.
Из второй строки имеем:
7y-15z=-16, откуда y=(-16+15z)/7, подставим z=2: y=(-16+30)/7=14/7=2.
Из первой строки находим x:
x-2y+3z=3, откуда x=3+2y-3z, подставляем z=2, y=2: x=3+4-6=1.
Ответ x=1, y=2, z=2.
Метод Крамера
Этот метод позволяет находить единственное решение системы с помощью
определителей.
Определителем второго порядка называется число, вычисляемое по формуле:
a1
a2
b1
 a 1 b 2  a 2 b1
b2
Определителем третьего порядка называется число, вычисляемое по формуле:
a1
a2
a3
b1
b2
b3
c1
b
c2  a1  2
b3
c3
c2
a
 b1  2
c3
a3
c2
a
 c1  2
c3
a3
b2
b3
Эта формула называется "разложение по первой строке".
Пример 2.
Пусть требуется решить систему уравнений:
a 1 x  b1 y  c1 z  d 1

a 2 x  b 2 y  c 2 z  d 2
a x  b y  c z  d
 3
3
3
3
1.
Вычисляем определитель системы:
a1
  a2
a3
b1
b2
b3
c1
c 2 , если
c3
Δ ≠ 0, тогда
система имеет единственное решение, в противном случае решений либо бесконечно
много, либо не существует.
2. Вычисляем вспомогательные определители:
d1
x  d2
d3
3.
x
b1
b2
b3
c1
a1
c2 ,  y  a 2
c3
a3
Находим x, y, z:

x

, y  y ,z  z .



d1
d2
d3
c1
a1
c2 , z  a 2
c3
a3
b1
b2
b3
d1
d2 .
d3
Матричный метод
 a1 b1 c1 
Пусть для системы (1) основная матрица A вида a 2 b2 c 2  - невырожденная, т.е.


 a 3 b3 c 3 
detA0. Тогда для A существует единственная обратная матрица A-1. Введем в
рассмотрение матрицы столбцы для неизвестных и свободных членов:
 x
 d1 


X   y , D  d 2  .
 z 
 d 3 
Тогда систему (1) можно переписать в матричной форме:
AX=D.
Умножив это матричное уравнение слева на A-1, получим A-1 AX= A-1D, откуда EX=X= A1
D. Следовательно, матрица-решение X находится как произведение A-1 и D.
Пример 3. Решить систему уравнений матричным методом:
2 x  4 y  z  3,

 x  5 y  3z  1,
 x  y  z  1.

Имеем:
2  4 1
 x
3




A  1  5 3, X   y , D   1, det A  8.
1  1 1
 z 
 1 
Обратная матрица
 2 3  7 
1
A   2
1  5
8
 4  2  6
1
(см. пример). Находим:
 2 3  7   3 
 2  3  3(1)  7  1
 16  2 
1
1
1




X   2
1  5  1    2  3  1(1)  5  1     0    0  ,
8
8
8
 4  2  6  1 
 4  3  2(1)  6  1 
 8   1
т.е. x=2, y=0, z=-1 – решение данной системы.
Теорема (Кронекера – Капелли). Для того чтобы система m линейных алгебраических
уравнений относительно n неизвестных x1, x2, … xn
a11 x1  a12 x 2  ...  a1n x n  b1 ,
a x  a x  ...  a x  b ,
 21 1
22 2
2n n
2

...........................................
a m1 x1  a m 2 x 2  ...  a mn x n  bm
была совместна (имела решение), необходимо и достаточно, чтобы ранг основной
матрицы
 a11 a12 ... a1n 
a
a 22 ... a 2 n 
21

A
 ...
... ... ... 


a m1 a m 2 .. a mn 
системы и ранг так называемой расширенной матрицы
 a11
a
B   21
 ...

a m1
b1 
a 22 ... a 2 n b2 

... ... ...

a m 2 ... a mn bm 
системы были равны, т.е. rangA= rangB=r. Далее, если rangA= rangB и r=n, то система
имеет единственное решение; если r<n, то система имеет бесконечное множество
решений, зависящих от n – r произвольных параметров.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
a12
... a1n
Вопросы для самоконтроля
Что называют системой линейных уравнений?
Что значит решить систему уравнений?
Что называют определителем системы уравнений?
В чем состоит метод Гаусса?
Каким образом при помощи определителей можно решить систему уравнений?
Что можно сказать, если определитель системы равен нулю?
Как записать в матричном виде систему уравнений?
О чем говорится в теореме Кронекера – Капелли?