ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ПО МОЛЕКУЛЯРНОЙ ФИЗИКЕ И

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ПО МОЛЕКУЛЯРНОЙ ФИЗИКЕ И ТЕРМОДИНАМИКЕ
2.1. В сосуде объемом 1 л находится кислород массой 1 г. Определить концентрацию молекул.
V  1ë =10-3 м3
m=1 г = 10-3 кг
М=3210-3 кг/моль
n-?
p
m
p m R
RT ,  
. pV 
, подставляем в правую
kT
M
T MV
mN A
mR

часть выражения в рамке: n 
.
Ответ: n=1,881025 м-3.
MkV MV
Решение. p=nkT,  n 
2.2 Найти среднюю скорость молекул идеального газа, плотность которого при давлении 35 кПа
равна 0,3 кг/ м-3.
Решение. Запишем основное уравнение молекулярно-кинетической теории
1
идеального газа в виде p  nmo   êâ  2 , где mo – масса отдельной молекулы.
3
3kT
8
8kT
Средняя скорость равна   
, а среднеквадратичная   êâ 
,    
  êâ  .
mo
mo
3
р=35103 Па
=0,3 кг/ м-3
<>- ?

3p
m Nmo
1

 nmo ,  p     êâ  2 ,    êâ 
. Подставим в выражение в рамке:
V
V
3

  
8p

.
Ответ:    545 м/с.
2.3. На какой высоте давление составляет 60 % от давления на уровне моря? Считать температуру
равной 10 оС, независимо от высоты.
t=10 оС
p=0,6po
M=2910-3 кг/моль
h- ?
Решение. Из барометрической формулы p  po e

Mgh
RT
следует, что отношение
Mgh

p
p
Mgh
 e RT , 
давлений на высоте h и на уровне моря равно
 ln o .
po
RT
p
Обратите внимание: чтобы избавиться от минуса, мы перевернули дробь. Осталось выразить h из
p
RT
последней формулы: h 
Ответ: h=4220 м.
ln o .
Mgh
p
2.4. Считая температуру равной 273 К и не зависящей от высоты, определить, на какой высоте над
уровнем моря плотность воздуха уменьшится в е раз.
t=273 К
=0,6o
M=2910-3 кг/моль
h- ?
Решение. Из уравнения Клапейрона-Менделеева выразим давление через
m RT
m RT
RT

протность: p 
=
, и подставим в барометрическую
M V
V M
M
Mgh
Mgh
Mgh




Mgh
1
RT
RT
 e  e RT ,  1=
формулу: p  po e
,    oe
,
. Отсюда
o
RT
RT
выразим искомую высоту: h 
=8000 м. Ответ: h=8 км.
Mg
2.5. В длинном вертикальном сосуде находится смесь из двух газов, у которых массы молекул
соответственно равны m1 и m2. Концентрации молекул газов у дна сосуда равны соответственно
n01 и n02. Найти высоту, на которой концентрации газов будут одинаковы. Считать температуру
одинаковой по всей высоте.
n01
n02
n1=n2
h- ?
Решение. Запишем барометрическую формулу для каждой компоненты смеси:
n1  n01e

m1 gh
kT
; n2  n02e
g ( m2  m1 ) h
kT
n02
e
n01
kT ln( n02 / n01 )
h
.
g (m2  m1 )

m2 gh
kT
. При n1=n2 после несложных преобразований имеем
. Логарифмируем последнее выражение, а затем выразим искомую высоту:
Ответ: h 
kT ln( n02 / n01 )
.
g (m2  m1 )
2.6. Четыре моля кислорода находятся при температуре 27 оС. Найти его внутреннюю энергию.
t=27 оС = 300 К
=4
i=5
U- ?
Решение. Внутренняя энергия идеального газа не зависит от вида газа, а
определяется только количеством молей и абсолютной температурой:
i
U   RT , где для двухатомной жесткой молекулы кислорода число степеней
2
5
свободы i=5. Отсюда U  4 8,31  300 = 25103 Дж. Ответ: U = 25103 Дж.
2
2.7. Определить плотность смеси водорода массой m1 =8 г и кислорода массой m2 = 64 г при
температуре Т=290 К и давлении 0,1 МПа.
Т = 290 К
р= 0,1 МПа
m1 =8 г=810-3 кг
m2 = 6410-3 кг
М1=210-3 кг/моль
М2=3210-3 кг/моль
-?
m
m
m
(1), m= m1+ m2 (2), pV  ( 1  2 ) RT (3), 
V
M1 M 2
m
m RT
V ( 1  2 )
(4). Подставляя (2) и (4) в (1), получим искомое
M1 M 2 p
выражение для плотности смеси газов:
(m1  m2 ) p
(8  64)  10 3  105


 0,498 (кг/м3).
m1 m2
(
4

2
)
8
,
31

290
(

) RT
M1 M 2
Ответ:  = 0,498 кг/м3.
Решение. =
2.8. Один моль некоторого идеального газа изобарически нагрели на Т = 72 К, сообщив ему
количество теплоты Q=1,6 кДж. Найти приращение его внутренней энергии и показатель
Cp
адиабаты  
.
CV
Решение. Количество теплоты, необходимое для нагревания 1 моля газа, равно
Т = 72 К
RT
=1
Q  C p T 
, откуда Q(  1)  RT , откуда, раскрывая скобки, выражаем γ:
p  const
 1
Q=1,6 кДж
Q
RT

 Q  RT ,
. Приращение внутренней энергии равно U  CV T =
U- ?
Q  RT
 1
γ- ?
где мы подставили ранее найденное γ: U  Q  RT .
Ответ: U=1 кДж, γ=1.6
2.9. Идеальный газ с показателем адиабаты γ расширяют так, что сообщаемое ему тепло равно
убыли его внутренней энергии. Найти молярную теплоемкость газа в этом процессе и уравнение
процесса в параметрах TV.
γ
Q=-U
С- ?
T(V) - ?
Решение. По условию dQ  dU , поэтому молярная теплоемкость равна
dQ
dU
R
R
, C
. Это процесс с постоянной теплоемкостью,
C

 CV  
dT
dT
 1
 1
C  C p  1
т.е. политропический. Показатель политропы n 
, где мы подставили

C  CV
2
найденную выше теплоемкость С. В уравнение политропы в форме TV n 1 =const, подставим n:
 1
 1
R
TV 2  const .
Ответ: C  
; TV 2  const .
 1
2.10. Во сколько раз надо расширить адиабатически газ, состоящий из жестких двухатомных
молекул, чтобы их средняя квадратичная скорость уменьшилась в η=1,5 раза?

V2
. По условию 1   , где слева
2
V1
отношение начальной и конечной среднеквадратичных скоростей, каждая из которых

T
пропорциональна корню квадратному из температуры. Следовательно, 1    1 . При
2
T2
η=1,5
i=5
β-?
Решение. Обозначим искомое отношение объемов:  
 1
T V 
V
адиабатическом процессе TV =const,  T1V1 = T2V2 ,  1   2  =  2 ,  2    1 .
T2  V1 
V1
V
i2
Осталось подставить показатель адиабаты:  
,  β= 2   i   5 .
i
V1
 1
 1
2
 1
Ответ:    5  7,6 .
2.11. Водород совершает цикл Карно. Найти кпд цикла, если при адиабатическом расширении
объем газа увеличивается в n=2 раза.
n=2
γ= 7/5
η-?
Решение. При адиабатическом процессе TV  1 =const,  T1V1
кпд цикла равен η= 1 
T2
= 1  n1 .
T1
 1
= T2V2
 1
,
T2
 n1 , 
T1
Ответ:   1  n1  0,25.
2.12. Водород совершает цикл Карно. Найти кпд цикла, если при адиабатическом расширении
давление газа уменьшается в n=2 раза.
n=2
γ= 7/5
η-?

p V 
Решение. Уравнение адиабаты pV =const,  p1V1 = p 2V2 ,  1   2  . По условию
p 2  V1 




V 
p1
m
RT ) следует, что
 n ,   2   n . Из уравнения Клапейрона-Менделеева ( pV 
M
p2
 V1 

p1V1 T1
T
T
 ; n 1  1 ,  2  n
p2V2 T2
T1
T2
1

1 
T
, что подставляем в формулу для кпд: η= 1  2 = 1  n
T1

.
1
Ответ:   1  n

=0,18.
2.13. Найти приращение энтропии 1 моля углекислого газа при увеличении его температуры в n=2
раза при изобарическом процессе.
Решение. Энтропия 1 моля идеального газа равна S  C p ln T  R ln p  S o .
Следовательно, изменение энтропии при переходе из состояния 1 в состояние 2
R
равно S  C p ln n  C p ln 2 , где C p 
. Жесткая молекула углекислого газа линейна
 1
и поэтому имеет 5 степеней свободы,  γ= 7/5. Окончательно получаем
R
R
Ответ: S 
S 
ln 2  20,2 (Дж/К).
ln 2  20,2 Дж/К.
 1
 1
n=2
p=const
=1
γ= 7/5
S - ?
2.14. Один моль кислорода изохорически нагревается от температуры T1 до температуры T2=4T1.
Найти приращение энтропии.
Решение. Запишем энтропию 1 моля идеального газа в фирме S  CV ln T  R ln V  S o .
Тогда изменение энтропии при переходе из состояния 1 в состояние 2 равно
2R
S  CV ln 4T1  CV ln T1  CV ln 4  2CV ln 2 =
ln 2 . Поскольку молекула кислорода
 1
линейная, то если считать ее жесткой, то γ= 7/5, т.к. число степеней свободы =5. Отсюда
2R
Ответ: S 
ln 2  28,8 Дж/К.
 1
n=4
V=const
=1
γ= 7/5
S - ?
2.15. Азот массой 28 г адиабатно расширили в n=2 раза, а затем изобарно сжали до исходного
объема. Определить изменение энтропии в ходе указанных процессов.
Решение. Обозначим адиабатный переход 12, а изобарный 23. Полное
изменение энтропии равно сумме: S = S12 + S 23 . Изменение энтропии на участке
12: S12 =0, так как адиабатный процесс идет без теплообмена, 
Q 0
dS 
  0 ,  S12 =0. Изменение энтропии на участке 23 равно
T
T
3
3
T
T V
V
Q m 3 C p dT m
dT m
1


C
 C p ln 3 . При р=const 3  3  1  ;
S 23 = 
p

T
M 2 T
M
T
M
T2
T2 V2 V2 n
2
2
T
(i  2) R
m i2
1
m
Cp 
R ln .
. Подставляя в формулу S 23 = C p ln 3 , получим: S = S 23 =
2
M 2
n
M
T2
Ответ: S  20,2 Дж/К.
n=2
m= 2810-3 кг
i=5
S12 - ?
S 23 - ?
S -?
2.16. Считая процесс образования мыльного пузыря изотермическим, определить работу А,
которую надо совершить, чтобы увеличить его диаметр от d1=6 мм до d2=60 мм. Поверхностное
натяжение мыльного раствора принять равным =40 мН/м.
Решение. Величину поверхностного натяжения можно выразить двумя
d1=610-3 м
-3
способами: либо как силу натяжения, приходящуюся на единицу длины контура,
d2=6010 м
либо как поверхностную энергию, приходящуюся на единицу площади
Т=const
-3
=4010 Н/м поверхности:   E . В последнем случае, искомую работу следует приравнять
А-?
S
изменению энергии в результате раздувания пузыря, а S -полагать изменением площади
поверхности с учетом того, что у пузыря две поверхности: внешняя и внутренняя. Таким образом,
A

, где S  2(d 22  d 12 ) . При Т=const, =const. Таким образом,
S
Ответ: А=89610-6 Дж.
A  S = 2 (d 22  d12 ) .
2.17. Капилляр, имеющий внутренний радиус r=0,5 мм, опущен в жидкость. Определить массу
жидкости, поднявшейся в капилляре, если ее поверхностное натяжение равно 60 мН/м.
r=0,5 10-3 м
=6010-3 Н/м
m-?
Решение. Сила тяжести столба жидкости в капилляре уравновешена силами
поверхностного натяжения в связи со смачиванием внутренних стенок капилляра
2r
жидкостью: mg  l , где l=2r – длина границы. Отсюда m 
.
g
Ответ: m=1,9210-5 кг.