Школьный этап всероссийской олимпиады школьников 2014-2015 учебный год Краснодар

Школьный этап всероссийской олимпиады школьников
по математике 2014-2015 учебный год
Краснодар 23 сентября 2014
9 класс.
1
1
1. Сравнить числа: 50⋅51 + 51⋅52 + 52⋅53 + ⋯ + 99⋅100 и 100. Ответ обосновать!
1
1
1
2. В гостиницу приехал путешественник. Денег у него не было. Он имел серебряную цепочку,
состоящую из 7 звеньев. За каждый день пребывания в гостинице он расплачивался одним звеном
цепочки. Хозяин предупредил, что согласен взять не более одного распиленного звена, а остальные
должны быть целыми. Как путешественнику распилить цепочку, чтобы прожить в гостинице неделю
и ежедневно расплачиваться с хозяином?
3. При каких значениях x выражение |𝑥 + 2| + |𝑥 + 3| + |𝑥 + 4| + |𝑥 + 5| принимает наименьшее
значение? Указать все возможные значения.
4. Буратино зарыл на Поле Чудес золотую монету. Из нее выросло дерево, а на нем – две монеты:
серебряная и золотая. Серебряную монету Буратино спрятал в карман, а золотую зарыл, и опять
выросло дерево ... . Каждый раз на дереве вырастали две монеты: либо две золотые, либо золотая и
серебряная, либо две серебряные. Серебряные монеты Буратино складывал в карман, а золотые
закапывал. Когда закапывать стало нечего, в кармане у Буратино было 2015 серебряных монет.
Сколько монет закопал Буратино?
5. На основаниях AB и CD трапеции ABCD взяты точки K и L соответственно. Пусть E – точка
пересечения отрезков AL и DK, F – точка пересечения BL и CK. Доказать, что сумма площадей
треугольников ADE и BCF равна площади четырёхугольника EKFL.
10 класс.
1. В классе не менее 95,5% и не более 96,5% учеников учатся без двоек. При каком наименьшем
числе учеников это возможно?
2. 20 туристов должны были заплатить за экскурсию по 5 злотых каждый. Но у них были только
купюры по 10, 15 и 20 злотых. Тем не менее, им удалось заплатить за экскурсию, и никто никому не
остался должен. При каком наименьшем количестве купюр это возможно.
3. При каких значениях параметра а уравнения
𝑥 2 + 𝑎𝑥 + 3 = 0 и 𝑥 2 + 3𝑥 + 𝑎 = 0
имеют общий корень?
4. В трапеции ABCD длина основания AD равна 2√2, а длина основания BC равна √2. Угол A = 15°,
D = 30°. Найдите длину боковой стороны AB.
5. Существует ли такое число x, что все три числа
1 1
1
1
𝑥− ,
− 2
и 2
− 2𝑥
𝑥 𝑥 𝑥 +1
𝑥 +1
являются целыми?
11 класс.
1. Когда одно из двух натуральных чисел возвели в квадрат, а из другого извлекли корень, их сумма
не изменилась. Докажите, что эта сумма четна.
2. 𝑓(𝑥) и 𝑔(𝑥) - квадратные трехчлены, старшие коэффициенты которых равны единице. Известно,
что трехчлен 𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥) имеет два различных корня и каждый из этих корней является также
корнем уравнения 𝑓(𝑥) − 𝑔3 (𝑥) = 0. Докажите, что f(x) и 𝑔(𝑥) равны.
3. Найдите значение выражения соs260° sin130° cos160°.
4. Сколько существует четырехзначных чисел, не делящихся на 1000, у которых первая и последняя
цифры чётны?
5. Дан куб ABCDA1B1C1D1 с длиной ребра а. На ребре A1D1 взята точка L так, что A1L: LD1=1:3.
Найти длину отрезка линии пересечения плоскостей AB1C и C1DL, заключенной между плоскостями
ABCD и A1B1C1D1.
Школьный этап всероссийской олимпиады школьников
по математике 2014-2015 учебный год
Краснодар 23 сентября 2014
9 класс.
1
1
1. Сравнить числа: 50⋅51 + 51⋅52 + 52⋅53 + ⋯ + 99⋅100 и 100. Ответ обосновать!
1
1
1
2. В гостиницу приехал путешественник. Денег у него не было. Он имел серебряную цепочку,
состоящую из 7 звеньев. За каждый день пребывания в гостинице он расплачивался одним звеном
цепочки. Хозяин предупредил, что согласен взять не более одного распиленного звена, а остальные
должны быть целыми. Как путешественнику распилить цепочку, чтобы прожить в гостинице неделю
и ежедневно расплачиваться с хозяином?
3. При каких значениях x выражение |𝑥 + 2| + |𝑥 + 3| + |𝑥 + 4| + |𝑥 + 5| принимает наименьшее
значение? Указать все возможные значения.
4. Буратино зарыл на Поле Чудес золотую монету. Из нее выросло дерево, а на нем – две монеты:
серебряная и золотая. Серебряную монету Буратино спрятал в карман, а золотую зарыл, и опять
выросло дерево ... . Каждый раз на дереве вырастали две монеты: либо две золотые, либо золотая и
серебряная, либо две серебряные. Серебряные монеты Буратино складывал в карман, а золотые
закапывал. Когда закапывать стало нечего, в кармане у Буратино было 2015 серебряных монет.
Сколько монет закопал Буратино?
5. На основаниях AB и CD трапеции ABCD взяты точки K и L соответственно. Пусть E – точка
пересечения отрезков AL и DK, F – точка пересечения BL и CK. Доказать, что сумма площадей
треугольников ADE и BCF равна площади четырёхугольника EKFL.
10 класс.
1. В классе не менее 95,5% и не более 96,5% учеников учатся без двоек. При каком наименьшем
числе учеников это возможно?
2. 20 туристов должны были заплатить за экскурсию по 5 злотых каждый. Но у них были только
купюры по 10, 15 и 20 злотых. Тем не менее, им удалось заплатить за экскурсию, и никто никому не
остался должен. При каком наименьшем количестве купюр это возможно.
3. При каких значениях параметра а уравнения
𝑥 2 + 𝑎𝑥 + 3 = 0 и 𝑥 2 + 3𝑥 + 𝑎 = 0
имеют общий корень?
4. В трапеции ABCD длина основания AD равна 2√2, а длина основания BC равна √2. Угол A = 15°,
D = 30°. Найдите длину боковой стороны AB.
5. Существует ли такое число x, что все три числа
1 1
1
1
𝑥− ,
− 2
и 2
− 2𝑥
𝑥 𝑥 𝑥 +1
𝑥 +1
являются целыми?
11 класс.
1. Когда одно из двух натуральных чисел возвели в квадрат, а из другого извлекли корень, их сумма
не изменилась. Докажите, что эта сумма четна.
2. 𝑓(𝑥) и 𝑔(𝑥) - квадратные трехчлены, старшие коэффициенты которых равны единице. Известно,
что трехчлен 𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥) имеет два различных корня и каждый из этих корней является также
корнем уравнения 𝑓(𝑥) − 𝑔3 (𝑥) = 0. Докажите, что f(x) и 𝑔(𝑥) равны.
3. Найдите значение выражения соs260° sin130° cos160°.
4. Сколько существует четырехзначных чисел, не делящихся на 1000, у которых первая и последняя
цифры чётны?
5. Дан куб ABCDA1B1C1D1 с длиной ребра а. На ребре A1D1 взята точка L так, что A1L: LD1=1:3.
Найти длину отрезка линии пересечения плоскостей AB1C и C1DL, заключенной между плоскостями
ABCD и A1B1C1D1.