Признаки делимости

Методическая разработка.
Задачи на признаки делимости.
Лобанова Галина Павловна,
учитель математики, методист ГБОУ СПО «СПб УОР №2 (техникум)»
С этого учебного года в ЕГЭ по математике входят задания на
признаки делимости. В связи с тем, что в программе 10 и 11 классов нет
задач на эту тему, и материал изучался давно, необходимо выделить время
на повторение признаков делимости и решение типовых задач, предлагаемых
в экзаменационных вариантах.
Ученики хорошо помнят признаки делимости на 2, на 5.
Натуральное число делится на 2 тогда и только тогда, когда
последняя цифра в записи числа 0, 2, 4, 6 или 8.
Натуральное число делится на 5 тогда и только тогда, когда
последняя цифра в записи числа 0 или 5.
Признаки деления на 3 и на 9 необходимо напомнить.
На 3 или на 9 делятся те и только те числа, у которых сумма цифр
делится соответственно на 3 или на 9.
Признаки делимости на 4, на 8, на 11 и на 25 практически никто не
помнит. Их необходимо записать в тетрадях и показать на примерах, как их
можно применять при выполнении различных упражнений.
На 4 или 25 делятся те, и только те числа, которые оканчиваются
двумя нулями или у которых две последние цифры выражают число,
делящееся соответственно на 4 или 25.
Например, число 12675 делится на 25, но не делится на 4; число 5510224
делится на 4, но не делится на 25.
1. В число 4 587 94* вставьте вместо звездочки цифру так, чтобы число
делилось на 4.
2. В число 124 587 9 * * вставьте вместо звездочек цифры так, чтобы число
делилось а) на 4 и на 5; в) на 4 и на 25; с) на 25 и на 3.
Натуральное число делится на 8 тогда и только тогда, когда последние
три его цифры образуют число, делящееся на 8.
1. Из чисел 654560, 54326, 6440, 441216, 567487, 456700.456032 выпишите
числа, кратные 8
2. Выпиши все натуральные числа, которые делятся на 8 и расположены
между числами 125 100 и 125 120.
Натуральное число делится на 11 тогда и только тогда, когда разность
между суммой его цифр, стоящих на нечетных местах, и суммой цифр,
стоящих на четных местах, делится на 11.
Например: число 120 340 528 делится на 11, т.к. 1+0+4+5+8=18,
2+3+0+2=7, а 18-7=11 и 11 делится на 11.
В числа 7 405 *31, 8683*5, 1*8556 вставьте вместо звездочки цифру
так, чтобы число делилось на 11.
Для решения заданий, предлагаемых в вариантах ЕГЭ базового уровня
необходимо разобрать общий признак делимости на составное число:
Пусть a – составное число, являющееся произведением двух взаимно
простых чисел b и с: а = bс. Тогда число n делится на а тогда и только
тогда, когда n делится и на b, и на с.
Отсюда следует, что на 12 делятся те и только те числа, которые
делятся и на 3 и на 4 (но не на 2 и на 6, так как 2 и 6 не взаимно простые
числа).
Примеры заданий на признаки делимости чисел из вариантов,
представленных на различных сайтах.
1. Вычеркните в числе 23462141 три цифры так, чтобы получившееся
число делилось на 12.
В ответе укажите ровно одно получившееся число. Ответ: 24624
2. Вычеркните в числе 191284734 три цифры так, чтобы получившееся
число делилось на 12. В ответе укажите ровно одно получившееся
число. Ответ: 191844
3. Вычеркните в числе 51488704 три цифры так, чтобы получившееся
число делилось на 15. В ответе укажите ровно одно получившееся
число. Ответ: 54870
4. Вычеркните в числе 58521304 три цифры так, чтобы получившееся
число делилось на 15. В ответе укажите ровно одно получившееся
число. Ответ: 58530
5. Вычеркните в числе 58521314 две цифры так, чтобы получившееся
число делилось на 11. В ответе укажите ровно одно получившееся
число. Ответ: 585211
6. Приведите пример четырёхзначного числа, кратного 12, произведение
цифр которого равно 10. В ответе укажите ровно одно такое число.
Ответ: 5112
7. Приведите пример четырёхзначного числа, кратного 12, произведение
цифр которого больше 25, но меньше 30. В ответе укажите ровно одно
такое число. Ответ: 7212
8. Приведите пример четырёхзначного числа, кратного 15, произведение
цифр которого больше 35, но меньше 45. В ответе укажите ровно одно
такое число. Ответ: 4215
9. Приведите пример трёхзначного натурального числа, кратного 4,
сумма цифр которого равна их произведению. В ответе укажите ровно
одно такое число. Ответ: 132
10.Приведите пример шестизначного натурального числа, которое
записывается только цифрами 1 и 2 и делится на 72. В ответе укажите
ровно одно такое число. Ответ:221112
(Применить признаки делимости на 9 и на 8)
11.Приведите пример шестизначного натурального числа, которое
записывается только цифрами 2 и 0 и делится на 24. В ответе укажите
ровно одно такое число. Ответ:202200
(Применить признаки делимости на 4 и на 8)
12.Приведите пример трёхзначного числа А, обладающего следующими
свойствами: 1) сумма цифр числа А делится на 6; 2) сумма цифр числа
А+3 также делится на 6; 3) число А больше 350 и меньше 400. В ответе
укажите ровно одно такое число. Ответ: 369
13.Приведите пример четырёхзначного числа А, обладающего
следующими свойствами: 1) сумма цифр числа А делится на 8; 2)
сумма цифр числа А+2 также делится на 8; 3) число А меньше 3000. В
ответе укажите ровно одно такое число. Ответ: 2499
1. Приведите пример трёхзначного натурального числа, большего 600, которое при
делении на 4, на 5 и на 6 даёт в остатке 3 и цифры которого расположены в порядке
убывания слева направо. В ответе укажите ровно одно такое число.
2. Приведите пример трёхзначного натурального числа, которое при делении на 3, на 5 и
на 7 даёт в остатке 1 и цифры которого расположены в порядке убывания слева
направо. В ответе укажите ровно одно такое число.
3. Приведите пример трёхзначного натурального числа, которое при делении на 4 и на 15
даёт равные ненулевые остатки и первая справа цифра которого является средним
арифметическим двух других цифр. В ответе укажите ровно одно такое число.
4.
число делится на 5, если оно оканчивается на 0 или 5?
Признак деления на 3 и на 9. На 3 или на 9 делятся те и только те числа, у которых сумма цифр
делится соответственно на 3 или на 9.
Признак делимости на 4 и 25. На 4 или 25 делятся те, и только те числа, которые оканчиваются
двумя нулями или у которых две последние цифры выражают число, делящееся соответственно
на 4 или 25. Например, число 625 делится на 25, но не делится на 4; число 10244 делится на 4, но
не делится на 25.
Натуральное число делится на 8 тогда и только тогда, когда последние три его цифры образуют
число, делящееся на 8.
Натуральное число делится на 11 тогда и только тогда, когда разность между суммой его цифр,
стоящих на нечетных местах, и суммой цифр, стоящих на четных местах, делится на 11.
Например: число 120 340 528 делится на 11, т.к. 1+0+4+5+8=18, 2+3+0+2=7, а 18-7=11 и 11
делится на 11.
Общий признак делимости на составное число: Пусть a– составное число, являющееся
произведением двух взаимно простых чисел b и с: а = bс. Тогда число n делится на а
тогда и только тогда, когда n делится и на b, и на с.
Отсюда следует, что на 12 делятся те и только те числа, которые делятся и на 3 и на 4 (но не 2
и на 6, так как 2 и 6 не взаимно простые числа).
Например: число 47 184 делится на 12, т.к. оно делится на 3 и на 4.
1.
Примеры заданий на признаки делимости чисел из вариантов, представленных на
различных сайтах.
1. Приведите пример четырёхзначного числа, кратного 15, произведение цифр которого
больше 35, но меньше 45. В ответе укажите ровно одно такое число.
2. Приведите пример трёхзначного натурального числа, кратного 4, сумма цифр которого
равна их произведению. В ответе укажите ровно одно такое число.
3. Приведите пример трёхзначного натурального числа, которое при делении на 4 и на 15
даёт равные ненулевые остатки и первая справа цифра которого является средним
арифметическим двух других цифр. В ответе укажите ровно одно такое число.
4. Приведите пример трёхзначного натурального числа, большего 500, которое при делении
на 8 и на 5 даёт равные ненулевые остатки и первая слева цифра которого является
средним арифметическим двух других цифр. В ответе укажите ровно одно такое число.
Вариант 2
5. Приведите пример четырёхзначного числа, кратного 12, произведение цифр которого
больше 25, но меньше 30. В ответе укажите ровно одно такое число
6. Приведите пример трёхзначного натурального числа, большего 600, которое при
делении на 4, на 5 и на 6 даёт в остатке 3 и цифры которого расположены в порядке
убывания слева направо. В ответе укажите ровно одно такое число.
7. Приведите пример трёхзначного натурального числа, которое при делении на 3, на 5 и
на 7 даёт в остатке 1 и цифры которого расположены в порядке убывания слева
направо. В ответе укажите ровно одно такое число.
8. Приведите пример трёхзначного натурального числа большего 500, которое при
делении на 6 и на 5 даёт равные ненулевые остатки и средняя цифра которого
является средним арифметическим крайних цифр. В ответе укажите ровно одно такое
число.
9. Приведите пример четырёхзначного числа, кратного 15, произведение цифр которого
больше 35, но меньше 45. В ответе укажите ровно одно такое число
10. Приведите пример шестизначного натурального числа, которое записывается только
цифрами 2 и 0 и делится на 24. В ответе укажите ровно одно такое число.
11. Приведите пример четырёхзначного числа А, обладающего следующими свойствами:
1) сумма цифр числа А делится на 8; 2) сумма цифр числа А+2 также делится на 8; 3)
число А меньше 3000. В ответе укажите ровно одно такое число.
Вариант 3
14. Приведите пример шестизначного натурального числа, которое записывается только
цифрами 1 и 2 и делится на 72. В ответе укажите ровно одно такое число.
15. Приведите пример четырёхзначного числа, кратного 12, произведение цифр которого
больше 40, но меньше 45. В ответе укажите ровно одно такое число.
16. Вычеркните в числе 23462141 три цифры так, чтобы получившееся число делилось на
12. В ответе укажите ровно одно получившееся число.
17. Приведите пример четырёхзначного числа, кратного 12, произведение цифр которого
равно 10. В ответе укажите ровно одно такое число.
18. Приведите пример трёхзначного числа А, обладающего следующими свойствами: 1) сумма
цифр числа А делится на 6; 2) сумма цифр числа А+3 также делится на 6; 3) число А больше
350 и меньше 400. В ответе укажите ровно одно такое число
19. Приведите пример четырёхзначного натурального числа, кратного 45, сумма цифр
которого на 1 меньше их произведения. В ответе укажите ровно одно такое число
20. Цифры четырёхзначного числа, кратного 5, записали в обратном порядке и получили
второе четырёхзначное число. Затем из первого числа вычли второе и получили 2457.
Приведите пример такого числа. Ответ: ___________________________.
9
свойств делимости.
Чтобы попасть на этот остров, ученики должны сформулировать свойства делимости:
Если каждое из слагаемых делится на какое-то число, то и сумма их обязательно делится на это
же число.
Обратите внимание, что обратное утверждение: Если сумма делится на какое-то число, то и
каждое из слагаемых обязательно делится на это же число - неверно, например, сумма чисел 17
+27 делится на 4, а каждое слагаемое – нет.
Если каждое слагаемое, кроме одного делится на какое-нибудь число, а одно не делится, то сумма
не делится на это число.
Если уменьшаемое и вычитаемое делятся на какое-нибудь число, то и разность разделится на это
же число.
Если только одно из чисел – уменьшаемое или вычитаемое - делится на какое-нибудь число, а
другое не делится, то и разность не делится на это же число.
Если хоть один из множителей делится на какое-нибудь число, то и произведение их также
разделится на это число.
какие числа делятся на 12? Ответ: на 12 делятся те и только те числа, которые делятся и на 3 и на
4 (но не 2 и на 6, так как 2 и 6 имеют общий множитель).
2. Приведите
пример
четырёхзн
ачного
числа,
кратного
12,
произведе
ние цифр
которого
равно 10.
В ответе
укажите
ровно
одно такое
число.
3. Приведите
пример
четырёхзн
ачного
числа,
кратного
12,
произведе
ние цифр
которого
больше 40,
но меньше
45. В
ответе
укажите
ровно
одно такое
число.
4. Вычеркнит
е в числе
23462141
три цифры
так, чтобы
получивше
еся число
делилось
на 12. В
ответе
укажите
ровно
одно
получивше
еся число.
5. Вычеркнит
е в числе
24029618
три цифры
так, чтобы
получивше
еся число
делилось
на 12. В
ответе
укажите
ровно
одно
получивше
еся число.
Вариант 1
5. Приведите пример четырёхзначного числа, кратного 12, произведение цифр которого
равно 10. В ответе укажите ровно одно такое число
6. Кузнечик прыгает вдоль координатной прямой в любом направлении на единичный
отрезок за прыжок. Сколько существует различных точек на координатной прямой, в
7.
8.
9.
10.
11.
которых кузнечик может оказаться, сделав ровно 6 прыжков, начиная прыгать из начала
координат?
Цифры четырёхзначного числа, кратного 5, записали в обратном порядке и получили
второе четырёхзначное число. Затем из первого числа вычли второе и получили 1458.
Приведите ровно один пример такого числа
Приведите пример четырёхзначного числа, кратного 15, произведение цифр которого
больше 35, но меньше 45. В ответе укажите ровно одно такое число.
Приведите пример трёхзначного натурального числа, кратного 4, сумма цифр которого
равна их произведению. В ответе укажите ровно одно такое число.
Приведите пример трёхзначного натурального числа, которое при делении на 4 и на 15
даёт равные ненулевые остатки и первая справа цифра которого является средним
арифметическим двух других цифр. В ответе укажите ровно одно такое число.
Приведите пример трёхзначного натурального числа, большего 500, которое при делении
на 8 и на 5 даёт равные ненулевые остатки и первая слева цифра которого является
средним арифметическим двух других цифр. В ответе укажите ровно одно такое число.
Вариант 2
12. Приведите пример четырёхзначного числа, кратного 12, произведение цифр которого
больше 25, но меньше 30. В ответе укажите ровно одно такое число
13. Приведите пример трёхзначного натурального числа, большего 600, которое при
делении на 4, на 5 и на 6 даёт в остатке 3 и цифры которого расположены в порядке
убывания слева направо. В ответе укажите ровно одно такое число.
14. Приведите пример трёхзначного натурального числа, которое при делении на 3, на 5 и
на 7 даёт в остатке 1 и цифры которого расположены в порядке убывания слева
направо. В ответе укажите ровно одно такое число.
15. Приведите пример трёхзначного натурального числа большего 500, которое при
делении на 6 и на 5 даёт равные ненулевые остатки и средняя цифра которого
является средним арифметическим крайних цифр. В ответе укажите ровно одно такое
число.
16. Приведите пример четырёхзначного числа, кратного 15, произведение цифр которого
больше 35, но меньше 45. В ответе укажите ровно одно такое число
17. Приведите пример шестизначного натурального числа, которое записывается только
цифрами 2 и 0 и делится на 24. В ответе укажите ровно одно такое число.
18. Приведите пример четырёхзначного числа А, обладающего следующими свойствами:
1) сумма цифр числа А делится на 8; 2) сумма цифр числа А+2 также делится на 8; 3)
число А меньше 3000. В ответе укажите ровно одно такое число.
Вариант 3
21. Приведите пример шестизначного натурального числа, которое записывается только
цифрами 1 и 2 и делится на 72. В ответе укажите ровно одно такое число.
22. Приведите пример четырёхзначного числа, кратного 12, произведение цифр которого
больше 40, но меньше 45. В ответе укажите ровно одно такое число.
23. Вычеркните в числе 23462141 три цифры так, чтобы получившееся число делилось на
12. В ответе укажите ровно одно получившееся число.
24. Приведите пример четырёхзначного числа, кратного 12, произведение цифр которого
равно 10. В ответе укажите ровно одно такое число.
25. Приведите пример трёхзначного числа А, обладающего следующими свойствами: 1) сумма
цифр числа А делится на 6; 2) сумма цифр числа А+3 также делится на 6; 3) число А больше
350 и меньше 400. В ответе укажите ровно одно такое число
26. Приведите пример четырёхзначного натурального числа, кратного 45, сумма цифр
которого на 1 меньше их произведения. В ответе укажите ровно одно такое число
27. Цифры четырёхзначного числа, кратного 5, записали в обратном порядке и получили
второе четырёхзначное число. Затем из первого числа вычли второе и получили 2457.
Приведите пример такого числа. Ответ: ___________________________.
Вариант 4
1. Приведите пример трёхзначного натурального числа, большего 500, которое при делении
на 8 и на 5 даёт равные ненулевые остатки и первая слева цифра которого является
средним арифметическим двух других цифр. В ответе укажите ровно одно такое число.
2. Цифры четырёхзначного числа, кратного 5, записали в обратном порядке и получили
второе четырёхзначное число. Затем из первого числа вычли второе и получили 1458.
Приведите ровно один пример такого числа
3. Приведите пример четырёхзначного числа, кратного 12, произведение цифр которого
равно 10. В ответе укажите ровно одно такое число
4. Кузнечик прыгает вдоль координатной прямой в любом направлении на единичный
отрезок за прыжок. Сколько существует различных точек на координатной прямой, в
которых кузнечик может оказаться, сделав ровно 6 прыжков, начиная прыгать из начала
координат?
5. Приведите пример четырёхзначного числа, кратного 15, произведение цифр которого
больше 35, но меньше 45. В ответе укажите ровно одно такое число.
6. Приведите пример трёхзначного натурального числа, кратного 4, сумма цифр которого
равна их произведению. В ответе укажите ровно одно такое число.
7. Приведите пример трёхзначного натурального числа, которое при делении на 4 и на 15
даёт равные ненулевые остатки и первая справа цифра которого является средним
арифметическим двух других цифр. В ответе укажите ровно одно такое число.
Вычеркните в числе 53164018 три цифры так, чтобы получившееся число делилось на 15. В ответе
укажите ровно одно получившееся число.
Образовательные:

Расширить знания о признаках делимости

Научить применять полученные знания при решении задач
Воспитательные:


Продолжить формирование творческого потенциала учащихся
Продолжить формирование таких качеств личности как сопереживание, коммуникабельность
Развивающие:



Способствовать развитию культурной устной и письменной речи учащихся.
Развивать навыки рефлексивной и оценочной деятельности обучающихся.
Способствовать развитию критического мышления.