Программа ФМ

Факультет экономики
Отделение статистики, анализа данных и демографии
Программа дисциплины
”Теория вероятностей”
для направления 010100.62 «Математика»
Бакалавариат 4-го года обучения факультета математики.
«Общие профессиональные дисциплины направления»
Цикл по выбору.
Автор – В.Д. Конаков
Преподаватель - А.В. Колесников
Рекомендована секцией УМС
_____________________________
Председатель
_____________________________
«_____» __________________ 2011 г.
Одобрена на заседании кафедры
статистических методов
Зав. кафедрой
____________________В.С. Мхитарян
«____»_____________________ 2011 г.
Утверждена УС факультета
_________________________________
Ученый секретарь
_________________________________
« ____» ___________________2011 г.
Москва
2011
Теория вероятностей
изучает
средствами математики явления,
характеризующиеся случайностью и неопределенностью. Центральными
объектами теории являются случайные величины, стохастические процессы
и события. Исторически, теория вероятностей зарождалась как теория игр
со случайными исходами (Паскаль, Ферма, Бернулли…). Некоторые задачи
такого рода можно успешно решать средствами комбинаторики. Однако
вскоре
стала очевидной ограниченность такого подхода. Строгая
математическая база современной теории вероятностей была создана в 30-х
годах прошлого столетия
А.Н.
Колмогоровым, она опирается на
абстрактную теорию меры. А. Н. Колмогоров под влиянием идей теории
множеств, теории меры, интегрирования, теории функций сформулировал
простую систему аксиом (вообще говоря, не являющуюся единственной). Эта
система аксиом позволила описать уже существовавшие к тому времени
классические разделы теории вероятностей, дать толчок развитию её новых
разделов, например, теории случайных процессов, и стала общепринятой в
современной теории вероятностей. Формализм, введённый А.Н.
Колмогоровым, способствовал бурному развитию теории вероятностей,
которая сегодня
успешно взаимодействует со многими разделами
математики и физики (вычисление интегралов, решение дифференциальных
уравнений, изучение групп, квантовая физика, принцип неопределённости
Гейзенберга и др.).
Предлагаемый курс – базовый курс теории вероятностей. В основе его лежит
курс, читавшийся в течение ряда лет Я.Г. Синаем в Принстонском
университете и Л. Б. Коралловым в Университете Мэриленда. Курс будет
сопровождаться решением задач, базовыми задачниками будут задачник Б.
Севастьянова, В. Чистякова и А. Зубкова «Сборник задач по теории
вероятностей» М., Наука, 1980 и задачник L. Chaumont, M. Yor “Exercises in
Probability” (Cambridge University Press, 2003).
Целью дисциплины является формирование навыков использования
результатов современной теории вероятностей для построения и изучения
моделей, содержащих случайные факторы. Например, экономические
показатели, подверженные разнородным случайным воздействиям, т.е.
сами эти показатели можно считать случайными величинами.
Задачами дисциплины являются изучение основ теории вероятностей на
строгом современном уровне. Курс опирается на абстрактную теорию меры,
функциональный анализ.
В процессе изучения дисциплины студенты должны:
Иметь представление: об основных законах и понятиях теории
вероятностей.
Знать: основные разделы базового курса теории вероятностей, а
именно: цепи Маркова, случайные блуждания, законы больших чисел,
теорию слабой сходимости вероятностных мер, характеристические
функции, предельные теоремы.
Уметь: применять полученные знания для построения моделей,
содержащих случайные факторы, в том числе моделей анализа взаимосвязи
различных явлений в экономике.
Дисциплины, знание которых необходимо для изучения данного курса:
теория меры, теория интегрирования по Лебегу, математический анализ
(дифференциальное и интегральное исчисления), линейная алгебра,
элементы комплексного анализа, преобразование Фурье.
Дисциплины, для изучения которых необходимы знания данного курса:
эконометрика; статистические методы прогнозирования; актуарные расчеты
в страховании; методы оценки финансового риска, эконометрическое
моделирование и др.
Лекционная часть курса сопровождается проведением практических
занятий с целью освоения и закрепления теоретической части курса. Ввиду
отсутствия подходящей русскоязычной литературы по предмету, автор
программы, В.Д. Конаков, параллельно с чтением курса выкладывает на сайт
соответствующие части курса. Предполагается, что к концу курса эти части
будут объединены в учебное пособие для следующих поколений студентов
Тематический план учебной дисциплины
№
Тема
Всего
часов по
дисципли
не
1
Случайные величины и
их распределения
2
Последовательности
независимых
испытаний
Интеграл Лебега и
математическое
ожидание
3
Аудиторные часы
Лекции
Практические
занятия
6
3
3
6
3
3
6
3
3
6
3
3
10
5
5
Формы
текущего
контроля
Д.З.
4
Условные вероятности
и независимость
5
Цепи Маркова с
конечным числом
состояний
Д.З.
8
4
4
Д.З.
7
Случайные блуждания
на решётке в
Законы больших чисел
6
3
3
Д.З.
8
Слабая сходимость мер
8
4
4
Д.З.
9
Характеристические
функции
Предельные теоремы
6
3
3
Д.З.
8
4
4
Д.З.
Несколько интересных
задач
6
3
3
Случайные процессы.
Основные понятия
13
Условные мат.
ожидания и мартингалы
14 Марковские процессы с
конечным
пространством
состояний
15
Стационарные в
широком смысле
случайные процессы
4
2
2
Д.З.
8
4
4
Д.З.
8
4
4
Д.З.
8
4
4
Д.З.
6
10
11
12
Базовые учебники и задачники
1.
Leonid Koralov, Yakov Sinai. Theory of Probability and Random Processes.
Universitext. Springer. 2007.
2.
А.Н. Ширяев. Вероятность. Москва. «Наука», 1980.
3.
Yuri Suhov, Mark Kelbert. Markov chains: A Primer in Random Processes and
their Applications 2. Cambridge University Press. 2008.
4.
Б.А. Севастьянов, В.П. Чистяков, А.М. Зубков. Сборник задач по теории
вероятностей. Москва. «Наука», 1980.
5.
Loic Chaumont, Mark Yor. Exercises in Probability. Cambridge University
Press. 2005.
Формы контроля.
Итоговая оценка по учебной дисциплине складывается из следующих
элементов:
№
Наименование элемента
Обозначение
1
Активность работы на лекциях и семинарах
А
2
Решение задач списка домашних заданий
Д
3
Контрольная работа
К
4
Письменный зачёт или экзамен
Э
Каждая форма контроля оценивается по 10-балльной шкале. Итоговая
оценка Z складывается из оценки А за активность на занятиях (5%), Д за решение домашних задач (15%), К - контрольные работы (20%), и
оценки за зачёт или экзамен Э(60 %).
Письменный зачёт состоит из двух теоретических вопросов и одной
задачи на знание теории, задача не требует громоздких вычислений.
За зачёт отличная оценка может быть поставлена только при условии
полного ответа на 2 вопроса и правильного решения задачи, ответ
должен демонстрировать свободное владение теоретическим
материалом. Хорошая оценка может быть поставлена при условии
хороших ответов на 2 вопроса или хорошего ответа на любой из
вопросов и правильное решение задачи, ответы должны
демонстрировать твердоё знание основ курса. Удовлетворительная
оценка ставится при правильных ответах на половину зачётных
заданий, при этом обязателен ответ на один теоретический вопрос.
Итоговая оценка вычисляется по формуле:
Результат округляется до целых единиц по правилам математики.
Итоговая оценка выставляется в 10-балльной системе в ведомость и в
5-ой системе в зачетную книжку студента. Перевод в 5-балльную
систему из 10-балльной системы осуществляется согласно следующему
правилу:
0 ≤ Z ≤ 3 неудовлетворительно,
4 ≤ Z ≤ 5 удовлетворительно,
6 ≤ Z ≤ 7 хорошо,
8 ≤ Z ≤ 10 отлично.
Содержание программы.
Тема 1. Случайные величины и их распределения.
Пространства элементарных исходов, сигма - алгебры, меры.
Математические ожидания и дисперсии случайных величин на дискретном
вероятностном пространстве. Операции над событиями и сигма алгебрами.
Сигма аддитивность, борелевские сигма - алгебры, измеримость. Функции
распределения и плотности.
Основная литература:
1. Лекции на сайте: [email protected]
2. Leonid Koralov, Yakov Sinai. Theory of Probability and Random Processes. Universitext.
Springer. 2007.
Дополнительная литература:
3. А.Н. Ширяев. Вероятность. М. Наука, 1980.
4. Yuri Suhov, Mark Kelbert. Markov chains: A Primer in Random Processes and their Applications
2. Cambridge University Press. 2008.
Тема 2. Последовательности независимых испытаний.
Распределение Бернулли, биномиальное распределение, закон больших
чисел. Энтропия распределения и теорема Мак Миллана. Вероятностное
доказательство теоремы Вейерштрасса. Простое симметрическое случайное
блуждание. Эмпирические распределения и теорема Гливенко - Кантелли.
Предельная теорема Пуассона.
Основная литература:
1. Лекции на сайте: [email protected]
2. Leonid Koralov, Yakov Sinai. Theory of Probability and Random Processes. Universitext.
Springer. 2007.
Дополнительная литература:
3. А.Н. Ширяев. Вероятность. М. Наука, 1980.
4. Yuri Suhov, Mark Kelbert. Markov chains: A Primer in Random Processes and their Applications 2.
Cambridge University Press. 2008.
Тема 3. Интеграл Лебега и математическое ожидание.
Определение и построение интеграла Лебега. Его свойства. Меры,
индуцированные отображениями, и функции распределения. Типы мер и
функций распределения. Разложение произвольной конечной меры на
прямой. Теорема о продолжении меры. Различные виды сходимости
случайных величин. Теоремы Егорова, Лебега о мажорируемой сходимости,
Леви о монотонной сходимости. Лемма Фату. Заряды и теорема Радона Никодима. Пространства Метод Монте-Карло.
Основная литература:
1. Лекции на сайте: [email protected]
2. Leonid Koralov, Yakov Sinai. Theory of Probability and Random Processes. Universitext.
Springer. 2007.
Дополнительная литература:
3. А.Н. Ширяев. Вероятность. М. Наука, 1980.
4. Yuri Suhov, Mark Kelbert. Markov chains: A Primer in Random Processes and their
Applications 2. Cambridge University Press. 2008.
Тема 4. Условные вероятности и независимость.
Независимость событий, - алгебр и случайных величин.
Дынкина и независимость.
- системы, системы
Основная литература:
1. Лекции на сайте: [email protected]
2. Leonid Koralov, Yakov Sinai. Theory of Probability and Random Processes. Universitext.
Springer. 2007.
Дополнительная литература:
3. А.Н. Ширяев. Вероятность. М. Наука, 1980.
4. Yuri Suhov, Mark Kelbert. Markov chains: A Primer in Random Processes and their
Applications 2. Cambridge University Press. 2008.
Тема 5. Цепи Маркова с конечным числом состояний.
Стохастические матрицы, Цепи Маркова. Эргодические и не эргодические
цепи. Эргодическая теорема для цепей Маркова. Закон больших числе и
энтропия цепи Маркова. Произведения положительных матриц. Теорема
Перрона-Фробениуса. Общие цепи Маркова и условие Дёблина,
стационарное распределение.
Основная литература:
1. Лекции на сайте: [email protected]
2. Leonid Koralov, Yakov Sinai. Theory of Probability and Random Processes. Universitext.
Springer. 2007.
Дополнительная литература:
3. А.Н. Ширяев. Вероятность. М. Наука, 1980.
4. Yuri Suhov, Mark Kelbert. Markov chains: A Primer in Random Processes and their
Applications 2. Cambridge University Press. 2008.
Тема 6. Случайные блуждания на целочисленной решётке
Возвратные и невозвратные случайные блуждания. Критерий возвратности.
Случайные блуждания на и принцип отражения. Закон арксинуса. Задача о
разорении игрока.
Основная литература:
1. Лекции на сайте: [email protected]
2. Leonid Koralov, Yakov Sinai. Theory of Probability and Random Processes. Universitext.
Springer. 2007.
Дополнительная литература:
3. А.Н. Ширяев. Вероятность. М. Наука, 1980.
4. Yuri Suhov, Mark Kelbert. Markov chains: A Primer in Random Processes and their
Applications 2. Cambridge University Press. 2008.
Тема 7. Законы больших чисел.
Слабый закон больших чисел. Леммы Бореля - Кантелли,
неравенство Колмогорова, усиленный закон больших чисел. Теорема о трёх
рядах.
Основная литература:
1. Лекции на сайте: [email protected]
2. Leonid Koralov, Yakov Sinai. Theory of Probability and Random Processes. Universitext.
Springer. 2007.
Дополнительная литература:
3. А.Н. Ширяев. Вероятность. М. Наука, 1980.
4. Yuri Suhov, Mark Kelbert. Markov chains: A Primer in Random Processes and their
Applications 2. Cambridge University Press. 2008.
Тема 8. Слабая сходимость мер.
Определение слабой сходимости. Слабая компактность, плотность семейства
мер и теоремы Прохорова.
Основная литература:
1. Лекции на сайте: [email protected]
2. Leonid Koralov, Yakov Sinai. Theory of Probability and Random Processes. Universitext.
Springer. 2007.
Дополнительная литература:
3. А.Н. Ширяев. Вероятность. М. Наука, 1980.
4. П. Биллингсли. Сходимость вероятностных мер. Москва. «Наука». 1977.
Тема 9. Характеристические функции.
Свойства. Теорема обращения. Связь со слабой сходимостью. Гауссовские
случайные векторы.
Основная литература:
1. Лекции на сайте: [email protected]
2. Leonid Koralov, Yakov Sinai. Theory of Probability and Random Processes. Universitext.
Springer. 2007.
Дополнительная литература:
3. А.Н. Ширяев. Вероятность. М. Наука, 1980.
4. Е. Лукач. Характеристические функции. М. «Наука». 1979.
Тема 10. Предельные теоремы.
Центральная предельная теорема, условие Линдеберга. Условие Ляпунова.
Локальная предельная теорема. Центральная предельная теорема и теория
ренормализационных групп . Вероятности больших уклонений.
Основная литература:
1. Лекции на сайте: [email protected]
2. Leonid Koralov, Yakov Sinai. Theory of Probability and Random Processes. Universitext.
Springer. 2007.
Дополнительная литература:
3. А.Н. Ширяев. Вероятность. М. Наука, 1980.
4. В. Петров. Суммы независимых случайных величин. М. «Наука». 1972.
Тема 11. Несколько интересных проблем.
Полукруговой закон Вигнера для симметрических случайных матриц.
Произведения случайных матриц. Статистика выпуклых полигонов.
Основная литература:
1. Лекции на сайте: [email protected]
2. Leonid Koralov, Yakov Sinai. Theory of Probability and Random Processes. Universitext.
Springer. 2007.
Тема 12. Случайные процессы. Основные понятия.
Определения случайного процесса и случайного
Колмогорова. Пуассоновский процесс.
поля.
Теорема
Основная литература:
1. Лекции на сайте: [email protected]
2. Leonid Koralov, Yakov Sinai. Theory of Probability and Random Processes. Universitext.
Springer. 2007.
Дополнительная литература:
3. А.Н. Ширяев. Вероятность. М. Наука, 1980.
4. А.В. Булинский, Ширяев А.Н. Теория случайных процессов. М., Физматгиз, 2005.
Тема 13. Условные ожидания и мартингалы.
Условные ожидания и их свойства. Регулярные условные вероятности.
Фильтрации, моменты остановки и мартингалы. Мартингалы с дискретным
временем. Мартингалы с непрерывным временем. Сходимость
мартингалов.
Основная литература:
1. Лекции на сайте: [email protected]
2. Leonid Koralov, Yakov Sinai. Theory of Probability and Random Processes. Universitext.
Springer. 2007.
Дополнительная литература:
3. А.Н. Ширяев. Вероятность. М. Наука, 1980.
4. Yuri Suhov, Mark Kelbert. Markov chains: A Primer in Random Processes and their
Applications 2. Cambridge University Press. 2008.
Тема 14. Марковские процессы с конечным пространством состояний.
Определение марковского процесса. Инфинитезимальная матрица.
Конструкция марковского процесса. Одна задача теории очередей.
Основная литература:
1. Лекции на сайте: [email protected]
2. Leonid Koralov, Yakov Sinai. Theory of Probability and Random Processes. Universitext.
Springer. 2007.
Дополнительная литература:
3. А.Н. Ширяев. Вероятность. М. Наука, 1980.
4. Yuri Suhov, Mark Kelbert. Markov chains: A Primer in Random Processes and their
Applications. Cambridge University Press. 2008.
Тема 15. Стационарные в широком смысле случайные процессы.
Гильбертово пространство, порождённое стационарным процессом. Закон
больших чисел для стационарных случайных процессов. Теорема Бохнера и
другие полезные факты. Спектральное представление стационарных
случайных процессов. Ортогональные случайные меры. Линейный прогноз
стационарных случайных процессов. Стационарные случайные процессы с
непрерывным временем.
Основная литература:
1. Лекции на сайте: [email protected]
2. Leonid Koralov, Yakov Sinai. Theory of Probability and Random Processes. Universitext.
Springer. 2007.
Дополнительная литература:
3. А.Н. Ширяев. Вероятность. М. Наука, 1980.
4. Yuri Suhov, Mark Kelbert. Markov chains: A Primer in Random Processes and their
Applications 2. Cambridge University Press. 2008.
Образцы заданий для практических занятий и контрольных работ:
Упражнение 1: Независимость.
Случайная точка
равномерно распределена на квадрате
Когда события
и
независимы?
Упражнение 2: Условные распределения.
Найти функцию распределения случайной величины принимающей
положительные значения и удовлетворяющей условию
для всех
Упражнение 3: условные распределения и математические ожидания.
Пусть
пара случайных величин, такая , что:
a. имеет экспоненциальный закон распределения
.
b. Условный закон распределения
при условии имеет плотность
1. Чему равно
?
2. Каков закон распределения случайного вектора
3. Какова плотность распределения случайной величины
4. Вычислить
двумя способами.
?
Автор программы: __________________________/ В.Д. Конаков/