Законы сохранения в механике

Методические рекомендации по решению задач.
Тема «Законы сохранения в механике»
Т.И. Развина, К.А. Петров
Анализируя
содержание
заданий,
предлагавшихся
на
централизованном тестировании, можно отметить, что одними из наиболее
сложных для учеников, являются задачи на применение законов сохранения.
Задачи такого плана могут относиться ко всем разделам школьного курса
физики. Предлагаемый материал может быть полезен при подготовке к
централизованному тестированию, а также к олимпиадам различного уровня.
Одним из самых важных и более универсальных методов решения
задач в физике является метод применения законов сохранения, который
успешно используется как в классической, так и в квантовой физике.
Конечно, любая поставленная задача в механике может быть решена с
помощью динамико-кинематического метода и далеко не все задачи
решаются с использованием законов сохранения, тем не менее, применение к
сложным системам законов сохранения приводит к быстрому и
рациональному
решению
задачи,
чем
применение
динамикокинематического метода. Не противопоставляя эти методы друг другу, а
разумно сочетая, можно решать разнообразные физические задачи.
В классической физике используется законы сохранения импульса,
энергии (в частности закон сохранения энергии в механике), момента
импульса и сохранения электрического заряда.
Все законы сохранения объединены тем, что при определенных
условиях какая либо физическая величина остается постоянной
(неизменной). При этом конечный результат можно получить, не
рассматривая подробности физического процесса (явления). Достаточно
знать характеристики состояний системы до и после их взаимодействия.
При решении задач по теме «законы сохранения в механике» будем
оперировать следующими понятиями, параметрами и законами:
- механическая система или система материальных точек –
совокупность материальных точек или твердых тел, рассматриваемых в
задаче;
- внешние силы, действующие на систему, состоящую из одной
материальной точки. Силы, действующие на механическую систему,
состоящую из множества материальных точек, могут быть внутренними и
внешними;
- внешние силы изменяют характер движения как целого, внутренние –
могут изменить движение отдельных тел системы, но не влияют на движение
системы как целого;
- замкнутая (или изолированная) система тел – система, на которую не
действуют никакие внешние силы; если в каком–либо направлении на
систему не действуют внешние силы, то в этом направлении и систему
можно считать также замкнутой;
- импульс материальной точки ( p ) – векторная физическая величина,
равная произведению массы m материальной точки на ее скорость  : p  m ;
- в замкнутой механической системе векторная сумма импульсов,
составляющих систему материальных точек остается неизменной при любых
взаимодействиях внутри ее:
Для незамкнутой механической системы изменение импульса p равно
импульсу силы ( F t ): p  F t , или скорость изменения импульса
материальной системы равна векторной сумме внешних сил, действующих
на систему:
n
p
  Fi (второй закон Ньютона в импульсной форме);
t i 1
- работа (А) силы, скалярная физическая величина, являющаяся мерой
изменения энергии системы тел, равная произведению модулей силы F ,
перемещения r и косинуса угла между ними: A  F  r cos  ;
- энергия ( W ) – скалярная физическая величина, характеризующая
способность системы тел совершить работу;
- кинетическая энергия ( Wê ) – энергия движущегося тела, равная
m 2 p 2
половине произведения массы тела и квадрата его скорости: Wê 
;

2
2m
- теорема об изменении кинетической энергии – изменение
кинетической энергии системы тел за некоторый промежуток времени равно
работе, совершаемой за это время результирующей силой, действующей на
систему: Wê  Wê 2  Wê1  Àðåç ( Wê1 ,Wê 2 – кинетическая энергия системы до и
после взаимодействия, Àðåç – работа результирующей силы, действующей на
систему тел);
- потенциальная энергия ( Wï ) – энергия взаимодействия тел или частей
тела, определяемая их взаимным расположением. Значение потенциальной
энергии тела зависит от выбора точки отсчета, в которой энергия полагают
равной нулю. Выбор нулевого уровня потенциальной энергии диктуется
соображениями удобства при решении конкретной задачи. Ни одно явление
природы не зависит от самой потенциальной энергии.
- консервативные (или потенциальные) силы – силы, работа которых не
зависит от формы траектории, а по замкнутой траектории равна нулю: силы
тяжести и упругости;
- работа консервативных сил равна изменению потенциальной энергии
системы, взятому с противоположным знаком: A  Wï  (Wï 2  Wï 1 ) ;
- потенциальная энергия тел, взаимодействующих посредством
гравитационных сил: Wï  G
Wï 
потенциальная
Fóï ð x
Fóï ð
k x 2


2
2
2k
m1m2
; Wï  mgh ( h
r
энергия
R ).
деформированной
пружины:
2
.
- закон сохранения механической энергии: в замкнутой системе тел,
взаимодействующих консервативными силами (тяжести, упругости) полная
механическая энергия остается постоянной, равной сумме кинетической и
потенциальной энергии тел: W  Wê  Wï  const .
- диссипативные (неконсервативные или непотенциальные) силы,
силы, работа которых по замкнутой траектории отлична от нуля и зависит от
длины траектории (силы трения, сопротивления).
- диссипативные системы – системы тел, в которых полная
механическая энергия не остается постоянной, а превращается (полностью
или частично) во внутреннюю энергию тел системы и окружающей среды;
- в инерциальной системе отсчета изменение полной механической
энергии системы равно работе непотенциальных сил (как внешних, так и
внутренних). W  W2  W1  Aí åï î ò
Явления природы разнообразны в своих свойствах и проявлениях, но
замечательно то, что в определенных условиях, существуют законы
сохранения каких-либо физических величин. Рассмотрим применение
законов сохранения на примере решения ряда задач.
I. Импульс, изменение импульса, законы сохранения импульса при
упругих и неупругих взаимодействиях тел.
1.Шарик массой m падает с высоты h на Землю. Пренебрегая
сопротивлением воздуха, определите изменение импульса шарика, если упав,
шарик так и остался лежать на Земле.
x
h
o
p1
Импульс шарика при падении на Землю p1  m . Изменение импульса
шарика p  p2  p1 . Так как скорость шарика после удара о Землю стала равна
нулю, то импульс его p2  0 . Тогда в проекции на ось Ox, изменение
импульса px  0    p1   m  m 2 gh .
2. Изменим условие задачи. Шарик, падая на гладкую поверхность с
высоты h1 , после отражения от нее поднимается на высоту h2 . Найдем
изменение импульса шарика и среднее значение силы удара шарика о
поверхность, если продолжительность их взаимодействия t .
x
h1
p2
o
h2
p1
Изменение импульса p  p2  p1. Так как p1  m1 , p2  m2 , то
p  m2  m1 . Или в проекции на ось Ox:
p  m2   m1   m 2  1   m


2 gh2  2 gh1 . Если взаимодействие шарика с
поверхностью абсолютно упругое, то 2  1   , h2  h1  h . Следовательно
  2gh и изменение импульса p  2m  2m 2 gh .
Для определения значения средней силы удара шарика о поверхность,
если продолжительность их взаимодействия t , необходимо воспользоваться
вторым законом Ньютона в импульсной форме: p  p2  p1  F t , где F –
средняя сила, действующая на шарик за время удара t .
x
h1
F 1/
p2
h2
o
p1
F1
mg
Так как шарик действует на поверхность со средней силой F1 , то
согласно третьему закону Ньютона поверхность действует на шарик с такой
же по величине силой F1/  F1 , направленной в противоположную сторону.
Помимо силы F1/ на шарик действует сила тяжести mg . Импульс шарика
изменился под действием этих дух сил F1/ и mg , при этом:
 F  mg  t. В проекции на выбранную ось Ох имеем:
p  p  p   F  mg  t , или с учетом   2gh :
p  m  2 gh  2dh    F  mg  t.
p  p2  p1 
/
1
2
/
1
1
2
/
1
1
Сила, действующая на шарик со стороны плоскости:
F1/ 
m

2 gh2  2 gh1
t
  mg.
3. Пусть шарик массой m упруго ударяется о стенку под углом  к ее
поверхности. Определить среднее значение силы, действующей со стороны
стенки на шарик, если скорость шарика в момент соударения  , а время
взаимодействия t . Трение отсутствует.
y
α
p1x
p2x
α
p1
p1 y
х
p2
p2 y
Аналогично предыдущим случаям воспользуемся вторым законом
Ньютона в импульсной форме. Рассмотрим проекции импульсов на
выбранные оси:
Oy: m2 cos   m1 cos   p y , так как 1  2   , то p y  0 , следовательно
Fy  0 .
Ох: m2 sin   m1 sin   Fx t или с учетом, что 1  2   имеем
2m sin   F t . Средняя сила, действующая на шарик равна: F 
2m sin 
.
t
3. Шарик ударяется о шероховатую поверхность под углом α к нормали
со скоростью  и отскакивает от нее под углом β к нормали. Потеря скорости
составляет k=40%. Время удара шарика о поверхность t . Определить
коэффициент трения шарика о поверхность.
m
y
N
u
β
Fò ð
х

α
mg
Запишем второй закон Ньютона для данного случая:
mu  m   N  mg  Fò ð  t . Проецируя это выражение на выбранные оси,
получим:
Ох: mu sin   m sin    Fò ð t (1) .
Oy: mu cos   (m cos  )  ( N  mg )t (2) .
Учитывая, что сила трения Fò ð   N и скорость u  (1  k )  0, 6 , из (2)
m (0, 6 cos   cos  )
 mg (3) . Подставим (3) в (1):
t
m (0, 6 cos   cos  )
m (0, 6sin   sin  )    (
 mg ) . Отсюда
t
 (sin   0, 6sin  )t
.

 (0, 6 cos   cos  )  g t
получим N 
4. Одним из интересных случаев использования изменения импульса
тела и применения его для нахождения направления движения тел, является
задачи следующего содержания.
Два тела массами m и 2m движутся со скоростями 2 и  ,
направленными перпендикулярно друг другу. На каждое тело действует сила,
импульс которой одинаковый. Если после действия на тело массой m , оно
стало двигаться в противоположном направлении со скоростью 2 ( на
рисунке показано штриховой линией), определим величину и направление
скорости тела массой 2m .
m
2
2
2m

Согласно второму закону Ньютона в импульсной форме F t  p . Так
как импульс силы, действующей на тела, одинаков, то изменение импульса
 p также одинаково. Тогда для первого тела, как видно из рисунка,
изменение импульса p направлено горизонтально и равно p  4m . Зная
теперь направление изменения импульса, его величину и правила вычитания
векторов определим, каким стал импульс второго тела после действия на
тело силы.
2m
p2
α
p1  2m
p
p  p2  p1  p2  p  p1 .
В скалярном виде: p2  p2  p12   4m    2m   2m 5
Тело массой 2m начнет двигаться под углом α к первоначальному
направлению. Это угол определим из прямоугольника:
2
tg 
2
p
 2    arctg 2  63, 4 º.
p1
5. Рассмотрим изменение импульса тела при криволинейном движении.
Начнем рассмотрение с простого случая движения тела по окружности с
постоянной по модулю скоростью.
p1
m
p1
m
А
В
α
R
α
α
О
p
R
p2
При изменении положения тела модуль скорости  ,а следовательно и
p1 , остаются постоянными. Изменяется направление скорости, а
следовательно и импульса. Если первоначальное положение тела –точка А, а
конечное – В. Радиус, связывающий центр окружности с телом, совершил
поворот на угол α. Из геометрических соображений угол между векторами
p2 и p1 тоже α. Тогда изменение импульса p  p2  p1 по модулю определим
из теоремы косинусов: p  p12  p22  2 p1 p2 cos   m 2  2cos  . Из этого
выражение видно, что при повороте на угол:
  60, p  m ;
  90, p  m 2;
  120, p  m 3;
  180, p  2m ;
  360, p  0;
6. Стоит подчеркнуть, что реальные системы не являются замкнутыми,
так как сумма внешних сил редко оказывается равной нулю. Тем не менее в
ряде случаев закон сохранения импульса можно применять.
Как уже отмечалось, если система не является замкнутой, то проекция
результирующей силы на некоторое направление равна нулю и в этом
направлении проекция импульса остается постоянной. Импульс системы на
которую действуют внешние силы можно считать постоянным и в случае
быстротечных процессов, в этом случае время процесса t  0 ,
следовательно и импульс внешних сил стремится к нулю.
В качестве примера подобной ситуации приведем задачу о нахождении
скоростей осколков снаряда(гранаты) после разрыва в процессе полета.
С высокого берега в горизонтальном направлении со скоростью 0
брошена граната. Спустя время t граната разрывается на два осколка, массы
которых m1 и m2 , причем m1  2m2 . Первый осколок летит вертикально вниз, а
второй – горизонтально. Определим скорости осколков после разрыва
гранаты.
0
О
x
m
g
y
x
m2 2
m11

y
Учитывая быстротечность разрыва гранаты воспользуемся законом
сохранения импульса: m  m11  m22 .
В проекциях на оси:
Oy: m y  m11 (1) ;
Ох: mx  m22 (2) .
3
2
С учетом данных задачи m  m1  3m2 .
Проекции скорости гранаты  на горизонтальную оси:
Ох: x  0  const ;
Oy:  y  gt .
Тогда скорость осколка массой m1 из (1) равна: 1 
массой m2 из (2): 2 
m x
 30 .
m2
m y
m1

3gt
; а осколка
2
В дальнейшем рассмотрим совместное применение законов сохранения
импульса и энергии в механике.
Литература.
1.Черноуцан А.И. Физика. Задачи с ответами и решениями.–
М:КДУ,2005.–352с.
2. Физика:3800 задач для школьников и поступающих в вузы.–М.:
«Дрофа»,2000.–672с.
Одной из интересных задач по теме «Законы сохранения в механике»
является взаимодействие движущегося со скоростью  шарика массой m с
движущейся навстречу (или в одном направлении с шариком) со скоростью
u массивной плиты массой М ( m M ).

u
М
х
В этой задаче рассматривается центральное упругое соударение, для
которого справедливы законы сохранения импульса: Mu  m  Mu  m , или в
проекции на ось Ох: Mu  m  Mu   m (1) , где u и  – скорости плиты и
шарика после взаимодействия;
и энергии:
Mu 2 m 2 Mu2 m 2



(2) .
2
2
2
2
Приведем выражения (1) и (2) к следующему виду:
M (u  u )  m(    )(3) ;
M (u 2  u2 )  m( 2   2 )(4) .
Поделив выражения (4) и (3) почленно получаем:
u  u       u       u (5) .
Подставим (5) в (1): Mu  m  M  M  Mu  m , получаем
 
2 Mu  m  m
(6)
M m
Разделим числитель и знаменатель на массу плиты М, учтем, что масса
шарика m M , получим скорость шарика после взаимодействия с плитой
  2u  .
Если шарик и плита движутся в одном направлении, то выражение (3)
будет иметь вид: M (u  u)  m(    )(3) . После деления выражений (4) и (3')
почленно, получим: u      u .
2Mu  M   m
. С учетом, что
M m
M , получаем скорость шарика после взаимодействия с плитой   2u  .
Тогда Mu  m  M    m  Mu  m     
m
Рассмотрим нецентральное упругое взаимодействие: шар массой
m налетает со скоростью  на такой же покоящийся шар и после упругого
соударения отскакивает под углом 1 к направлению своего движения.
Определим скорости шаров после соударения и угол между направлениями
скоростей.
m
m

2
2
2

1
1
Для упругого взаимодействия справедливы законы сохранения
m 2 m12 m22


(2) .
2
2
2
Из выражений (1) и (2) очевидно, что   1  2 и  2  12  22 , а это
импульса: m  m1  m2 (1) и энергии:
значит, что 1  2 , т.е. угол между направлениями скоростей равен 90º.
Тогда 1   cos 1 ; 2   cos  2
Угол  2  90  1 , тогда 2   sin 1 .
На примере решения следующих двух задач покажем, как с помощью
формулы для кинетической энергии тела, выраженной через импульс тела
p2
( Wê 
), можно упростить решение сложных задач.
2m
Два первоначально неподвижных клина массами М1 и М2 имеют
плавные переходы на гладкую горизонтальную поверхность и расположены
так как показано на рисунке. С высоты h1 соскальзывает без трения шайба
массой m. Определим высоту, на которую поднимается шайба по правому
клину.
m
h1
M1
M2
Так как трение в системе «клин-шайба» отсутствует, то воспользуемся
законом сохранения энергии для момента, когда шайба спускается с левого
клина: mgh1 
m12 M 1u12

(1) , где u1 - скорость левого клина в тот момент, когда
2
2
шайба спустилась с него.
Для случая, когда шайба поднялась на какую-то высоту h2 правого
клина:
m12
( M  m)u22
 mgh2 
(2) .
2
2
m
h1
M2
M1
u1
m
1
h2
u2
Рассмотрев процесс движения шайбы и клиньев, видим, что импульсы
шайбы ( p  m1 ), левого клина ( p  M1u1 ) и шайбы с правым клином
( p  (m  M )u2 ) равны по модулю. Тогда выражение (1) перепишем в виде:
mgh1 
p2
p2

(3) , выражение (2) запишем следующим образом:
2m 2 M 1
mgh2 
p2
p2

(4)
2m 2(m  M 2 )
Поделив (3) на (4), получим:
h1 ( M 1  m)( M 2  m)
M 1M 2

 h2  h1
.
h2
M 1M 2
( M 1  m)( M 2  m)
2
M 
Очевидно, что если массы клиньев равны, то h2  h1 
 .
M m