- pedportal.net

С-5. Неравенства с параметрами.
C 5 . Найдите все значения
при каждом из которых множеством решений неравен-
ства
является отрезок.
Решение.
Перепишем неравенство в виде
Нарисуем эскизы графиков левой и правой частей неравенства.
Из рисунка видно, что график правой части неравенства лежит выше левой при
Заметим, что при
решением кроме отрезка будет еще и точка
что противоречит условию.
Рассмотрим случай касания:
тогда
Итак, интервал
не удовлетворяет условию задачи.
Ответ:
C 5 . Найдите
все
значения
ции
при
больше, чем
Решение.
1. Функция имеет вид:
a) При
каждом
из
которых
наименьшее
значение
функ-
а ее график состоит из двух частей параболы с ветвями, направленными вверх и осью симметрии
б) При
а её график представляет собой часть параболы с ветвями, направленными вниз.
2. Если
принадлежит отрезку
только в точках
и
Если
3. Наименьшее значение функции
то наименьшее значение функция может принимать
— то еще и в точке
больше -24 тогда и только тогда, когда либо
либо
Решим первую систему:
Решим вторую систему:
или
Ответ:
C 5 . Найдите все значения
, при каждом из которых наименьшее значение функции
больше, чем
Решение.
1. Функция имеет вид:
a) при
а ее график состоит из двух частей параболы с ветвями, направленными вверх и осью симметрии
б) при
а её график представляет собой часть параболы с ветвями, направленными вниз.
2. Если
принадлежит отрезку
только в точках
и
то наименьшее значение функция может принимать
Если
3. Наименьшее значение функции
— то еще и в точке
больше
тогда и только тогда, когда либо
либо
Решим первую систему:
Решим вторую систему:
или
Ответ:
C 5 . Найдите все значения а, при каждом из которых наименьшее значение функции
на множестве
Решение.
не менее 6.
Графиком функции
является парабола, ветви которой направлены
вверх, а вершина имеет координаты
ловой оси достигается при
. Значит, минимум функции
на всей чис-
.
На множестве
эта функция достигает наименьшего значения либо в точке
, если
эта точка принадлежит множеству, либо в одной из граничных точек
.
Если наименьшее значение функции не меньше 6, то и всякое значение функции не меньше 6. В
частности,
откуда получаем систему неравенств
решениями которой являются
При
имеем:
и
.
, значит наименьшее значение функции достигается в точке
, что удовлетворяет условию задачи.
При
имеем:
, значит, наименьшее значение функции достигается в одной из граничных точек
, в которых значение функции не меньше 6.
При
имеем:
и
, значит, наименьшее значение функции достигается в точке
, что не удовлетворяет условию задачи.
Ответ:
C 5. Найдите
все
ции
значения
при
.
каждом
из
на множестве
Решение.
Графиком функции
вверх, а вершина имеет координаты
вой оси достигается в вершине при
которых
наименьшее
значение
функ-
не менее 6.
является парабола, ветви которой направлены
Значит, минимум функции
на всей число
На множестве
эта функция достигает наименьшего значения либо в точке
если эта
точка принадлежит множеству, либо в одной из граничных точек
Если наименьшее значение функции не меньше 6, то и всякое значение функции не меньше 6. В
частности,
откуда получаем систему неравенств
решениями которой являются
При
имеем:
и
, значит, наименьшее значение функции достигается в точке
, что не удовлетворяет условию задачи.
При
имеем:
значит, наименьшее значение функции достигается в одной из граничных точек
в которых значение функции не меньше 6.
При
и
имеем:
значит, наименьшее значение функции достигается в точке
, что удовлетворяет условию задачи.
Ответ:
C 5 . Найдите все значения , при каждом из которых неравенство
выполняется при всех
Решение.
Поскольку
для всех значений
Решим полученное неравенство:
получаем:
Для того, чтобы любое значение удовлетворяло этой системе неравенств, нужно, чтобы каждое
из неравенств системы было верным для любого значения , то есть дискриминанты левых частей
этих неравенств должны быть отрицательными:
Ответ:
C 5 . Найдите все значения , при каждом из которых неравенство
выполняется при всех
Решение.
Поскольку
для всех значений
получаем:
Решим полученное неравенство:
Для того, чтобы любое значение удовлетворяло этой системе неравенств, нужно, чтобы каждое
из неравенств системы было верным для любого значения , то есть дискриминанты левых частей
этих неравенств должны быть отрицательными:
Ответ:
C 5 . Найдите все значения , при каждом из которых наименьшее значение функции
на множестве
не меньше 6.
Решение.
Графиком функции
вверх, а вершина имеет координаты
является парабола, ветви которой направлены
Значит, минимум функции
на всей число-
вой оси достигается при
На множестве
эта функция достигает наименьшего значения либо в точке
если эта
точка принадлежит множеству, либо в одной из граничных точек
Если наименьшее значение функции не меньше 6, то и всякое значение функции не меньше 6. В
частности,
откуда получаем систему неравенств
.
решениями которой являются
При
имеем:
значит, наименьшее значение функции достигается в точке
и
что не удовлетворяет условию задачи.
При
имеем:
значит, наименьшее значение функции достигается в одной из граничных точек
в которых значение функции не меньше 6.
При
имеем:
и
значит, наименьшее значение функции достигается в точке
что удовлетворяет условию задачи.
Ответ:
C 5 . Найдите все значения параметра , при каждом из которых наименьшее значение функции
1. Функция
больше
Решение.
имеет вид:
а) при
направленными вверх, и осью симметрии
б) при
направленными вниз.
Все возможные виды графика функции
а ее график есть две части параболы с ветвями,
а ее график есть часть параболы с ветвями,
показаны на рисунках:
2. Наименьшее значение функции
может принять только в точках
если
то в точке
3. Наименьшее значение функции больше 1 тогда и только тогда, когда
или
Ответ:
C 5 . Найдите все значения параметра
при каждом из которых на интервале
хотя бы одно число , не удовлетворяющее неравенству
Решение.
Преобразуем неравенство:
существует
а
Неравенство
ми
и
раболой.
определяет на плоскости
Неравенство
полосу, заключенную между прямы-
задаёт часть плоскости, ограниченную сверху па-
На рисунке видно, что на интервале
если
есть , не удовлетворяющие неравенству, только
Ответ:
5 . Найдите все значения параметра
при каждом из которых на отрезке
бы одно число , удовлетворяющее неравенству
Решение.
Преобразуем неравенство:
существует хотя
Неравенство
ми
и
параболой.
определяет на плоскости
Неравенство
На рисунке видно, что на интервале
если
Ответ:
полосу, заключенную между прямы
задаёт часть плоскости, ограниченную сверху
есть , удовлетворяющие неравенству, только