2. Цели освоения дисциплины

Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Алгебра и анализ»
для направления 010400.68 "Прикладная математика и информатика"
подготовки бакалавра для поступления в магистратуру
П р а в ит е л ь с т во Р о с с и йс ко й Фе д е р а ци и
Федеральное государственное автономное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
Национальный исследовательский университет
"Высшая школа экономики"
Ф а ку л ь т е т до ву з о вс ко й по д г о то в к и
Программа дисциплины
Алгебра и анализ
для направления 010400.68 "Прикладная математика и информатика"
подготовки бакалавра для поступления в магистратуру
Автор программы: Кривцун Игорь Леонидович
Одобрена на заседании кафедры высшей математики на факультете экономики 28.08.2012 г.
Зав. кафедрой
Алескеров Ф.Т.
Рекомендована секцией УМС [Введите название секции УМС] «___»____________ 20 г.
Председатель
[Введите И.О.Ф.]
Утверждена Ученым Советом факультета экономики «___»_____________ 20 г.
Ученый секретарь
[Введите И.О.Ф.]
Москва, 2012
Настоящая программа не может быть использована другими подразделениями
университета и другими вузами без разрешения кафедры-разработчика программы.
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Алгебра и анализ»
для направления 010400.68 "Прикладная математика и информатика"
подготовки бакалавра для поступления в магистратуру
1. Область применения и нормативные ссылки
Настоящая программа учебной дисциплины устанавливает минимальные требования к
знаниям и умениям слушателя факультета довузовской подготовки и определяет содержание и
виды учебных занятий и отчетности.
Программа предназначена для преподавателей и учебных ассистентов, ведущих
дисциплину «Алгебра и анализ», и слушателей факультета довузовской подготовки по
направлению 010400.68 "Прикладная математика и информатика", изучающих данную
дисциплину.
Программа разработана в соответствии с:
 Образовательными стандартами для бакалавриата и магистратуры отделения ПМИ
государственного
образовательного
бюджетного
учреждения
высшего
профессионального образования «Государственный университет – Высшая школа
экономики», в отношении которого установлена категория «Национальный
исследовательский университет»;
 Рабочим учебным планом университета для направления 010400.68 "Прикладная
математика и информатика" на подготовительном отделении магистратуры,
утвержденным в 2012 г.
2. Цели освоения дисциплины
Цель освоения дисциплины «Алгебра и анализ» - подготовка слушателей факультета
довузовской подготовки к поступлению в магистратуру отделения ПМИ факультета Бизнесинформатики, а также поддержка дисциплин, предусмотренных Рабочим учебным планом для
направления 010400.68 "Прикладная математика и информатика" на подготовительном
отделении магистратуры.
3. Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения
дисциплины
В результате освоения дисциплины студент должен:
 Знать основы тем дисциплины, необходимые для прохождения экзамена на
отделении ПМИ факультета Бизнес-информатики, а также для изучения ряда
дисциплин, предусмотренных Рабочим учебным планом университета для
направления
010400.68
"Прикладная
математика
и
информатика"
на
подготовительном отделении магистратуры и Рабочим учебным планом НИУ ВШЭ
подготовки магистра для направления 010400.68 "Прикладная математика и
информатика" (магистерская программа «Математическое моделирование»);
 Уметь применять методы, рассматриваемые в дисциплине, для решения
экзаменационных задач при поступлении в магистратуру отделения ПМИ факультета
Бизнес-информатики и задач, возникающих в дисциплинах, предусмотренных
Рабочими учебными планами, отмеченными выше;
 Владеть навыками применения современного инструментария дисциплины.
В результате освоения дисциплины студент осваивает следующие компетенции:
2
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Алгебра и анализ»
для направления 010400.68 "Прикладная математика и информатика"
подготовки бакалавра для поступления в магистратуру
Формы и методы обучения,
способствующие
формированию и развитию
компетенции
Код по
ФГОС /
НИУ
Дескрипторы – основные признаки
освоения (показатели достижения
результата)
ОНК-1
Способность к анализу и синтезу
на основе системного подхода
Стандартные
(лекционносеминарские)
ОНК-2
Способность перейти от
проблемной ситуации к
проблемам, задачам и лежащим в
их основе противоречиям
Стандартные
(лекционносеминарские)
ОНК-4
Готовность использовать
основные законы
естественнонаучных дисциплин в
профессиональной деятельности,
применять методы
математического анализа и
моделирования, теоретического и
экспериментального
исследования при работе в какойлибо предметной области
Стандартные
(лекционносеминарские)
ОНК-5
Готовность выявить
естественнонаучную сущность
проблем, возникающих в ходе
профессиональной деятельности,
привлечь их для решения
соответствующий аппарат
дисциплины
Стандартные
(лекционносеминарские)
Общенаучная
ОНК-6
Способность приобретать новые
знания с использованием научной
методологии и современных
образовательных и
информационных технологий
Стандартные
(лекционносеминарские)
Общенаучная
ОНК-7
Способность порождать новые
идеи (креативность)
Стандартные
(лекционносеминарские)
ПК-1
Способность демонстрации
общенаучных базовых знаний
естественных наук, математики и
информатики, понимание
основных фактов, концепций,
принципов теорий, связанных с
прикладной математикой и
информатикой
Стандартные
(лекционносеминарские)
Профессиональные
ПК-2
Способность понимать и
применять в исследовательской и
прикладной деятельности
современный математический
аппарат
Стандартные
(лекционносеминарские)
Профессиональные
ПК-4
Способность критически
Стандартные
(лекционно-
Компетенция
Общенаучная
Общенаучная
Общенаучная
Общенаучная
Профессиональные
3
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Алгебра и анализ»
для направления 010400.68 "Прикладная математика и информатика"
подготовки бакалавра для поступления в магистратуру
Компетенция
Код по
ФГОС /
НИУ
Дескрипторы – основные признаки
освоения (показатели достижения
результата)
оценивать собственную
квалификацию и её
востребованность,
переосмысливать накопленный
практический опыт, изменять при
необходимости вид и характер
своей профессиональной
деятельности
Формы и методы обучения,
способствующие
формированию и развитию
компетенции
семинарские)
4. Место дисциплины в структуре образовательной программы
Данная дисциплина, является обязательной дисциплиной для слушателей
подготовительного отделения магистратуры факультета довузовской подготовки НИУ ВШЭ
для направления 010400.68 "Прикладная математика и информатика".
Изучение данной дисциплины базируется на минимальных знаниях по следующим
дисциплинам, изученным слушателями подготовительного отделения, когда они были
бакалаврами своих учебных заведений:
 Математический анализ;
 Линейная алгебра.
Для освоения учебной дисциплины, студенты должны владеть следующими знаниями и
компетенциями:
 Знаниями основных определений и теорем перечисленных выше дисциплин;
 Навыками решения простейших типовых задач этих дисциплин.
Основные положения дисциплины должны быть использованы в дальнейшем при
изучении следующих дисциплин, предусмотренных Рабочим учебным планом университета
для направления 010400.68 "Прикладная математика и информатика" на подготовительном
отделении магистратуры:
 Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление;
 Теория вероятностей;
 Системный анализ.
и следующих дисциплин, предусмотренных Рабочим учебным планом НИУ ВШЭ подготовки
магистра для направления 010400.68 "Прикладная математика и информатика" (магистерская
программа «Математическое моделирование»):
 Прикладная алгебра;
 Дополнительные главы методов оптимизации;
 Выпуклый анализ.
5. Тематический план учебной дисциплины
№
Название раздела
Всего
4
Аудиторные часы
Самост
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Алгебра и анализ»
для направления 010400.68 "Прикладная математика и информатика"
подготовки бакалавра для поступления в магистратуру
часов
Лекции
Семина
ры
Практиче оятельн
ая
ские
занятия работа
1.
Алгебра многочленов
10
2
0
8
2.
Системы линейных уравнений. Матрицы и
действия над ними
12
2
0
10
3.
Линейные пространства
10
4
0
6
4.
Линейные операторы
в линейных пространствах
16
6
2
8
5.
Билинейные и квадратичные формы
12
4
2
6
6.
Евклидовы и унитарные пространства
12
4
2
6
7.
Операторы в евклидовых и унитарных
пространствах
14
6
0
6
8.
Теория пределов
14
6
2
6
9.
Непрерывные и дифференцируемые
функции одного и нескольких переменных
32
16
6
10
10.
Интегральное исчисление и ряды
36
18
8
10
11.
Теория функций комплексной переменной
30
16
6
8
198
84
28
84
Итого:
6. Формы контроля знаний студентов
Тип
контроля
Форма
контроля
1 год
Параметры
2 семестра
Зачетная работа в письменной форме на 160 мин.
Промежуто
чный
Зачет
1 семестр
Итоговая оценка за зачет складывается из зачетной
работы, аудиторной контрольной работы и
домашнего задания; при этом результат зачетной
работы является блокирующим
Экзаменационная работа в письменной форме на
160 мин.
Итоговый
Экзамен
2 семестр
Итоговая оценка за экзамен складывается из
экзаменационной работы, аудиторной контрольной
работы и двух домашних заданий; при этом
результат экзаменационной работы является
блокирующим
5
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Алгебра и анализ»
для направления 010400.68 "Прикладная математика и информатика"
подготовки бакалавра для поступления в магистратуру
Критерии оценки знаний, навыков
Для прохождения контроля студент должен, как минимум, продемонстрировать знания
основных определений и формулировок теорем; умение решать типовые задачи, разобранные
на лекциях и семинарских занятиях.
Оценки по всем формам текущего контроля выставляются по 10-ти балльной шкале.
6
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Алгебра и анализ»
для направления 010400.68 "Прикладная математика и информатика"
подготовки бакалавра для поступления в магистратуру
7. Содержание дисциплины
Раздел I. Алгебра многочленов
Тема 1. Алгебра комплексных чисел
Определение множества C комплексных чисел. Геометрическое представление
комплексного числа. Простейшие свойства множества C. Алгебраическая форма комплексного
числа и формальные правила действий с комплексными числами в алгебраической форме.
Комплексно-сопряженные числа. Тригонометрическая форма комплексного числа. Формула
Муавра-Лапласа. Формулы для тригонометрических функций кратного аргумента. Извлечение
корня из комплексного числа. Корни из единицы. Первообразные корни из единицы.
Лит ерат ура:
основная:
[5], гл. 4; §§ 17-19.
Тема 2. Многочлены и их корни
Операции (сложение, вычитание, умножение) над многочленами и их простейшие
свойства. Частное и остаток от деления многочленов. Делители многочлена; наибольший
общий делитель; алгоритм Евклида. Корни многочлена. Основная теорема алгебры
комплексных чисел. Теорема Безу. Формулы Виета. Многочлены с действительными
коэффициентами. Алгебраические уравнения третьей и четвертой степеней. Неразрешимость
общего уравнения пятой степени. Рациональные функции и разложение их на простейшие
дроби.
Лит ерат ура:
основная:
[5], гл. 5; §§ 20-25.
Тема 3. Поля и многочлены
Числовые кольца и поля. Кольцо. Поле. Изоморфизм колец (полей). Единственность
поля комплексных чисел. Алгебра многочленов над произвольным полем.
Лит ерат ура:
основная:
[5], гл. 10; §§ 43-48; [1], гл. 1; § 1.1.
Раздел II. Системы линейных уравнений. Матрицы и действия над ними
Тема 4. Системы линейных уравнений
Метод последовательного исключения неизвестных (метод Гаусса).
Определители и их свойства. Миноры и алгебраические дополнения. Теорема Лапласа.
Разложение определителя по строке или столбцу. Вычисление определителей. Крамеровские
системы. Формулы Крамера.
Лит ерат ура:
основная: [1], гл. 1; §§ 1.2-1.3; гл. 2; §§ 2.1-2.7).
дополнительная: [7], гл. 3-4; §§ 3.0-4.5); [8], отделы I-II; §§ 1-11.
7
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Алгебра и анализ»
для направления 010400.68 "Прикладная математика и информатика"
подготовки бакалавра для поступления в магистратуру
Тема 5. Матрицы и действия над ними
Понятие матрицы. Операция транспонирования. Линейные операции: сложение матриц и
умножение матрицы на число. Умножение матриц. Свойства операций над матрицами.
Определитель произведения матриц. Присоединенная матрица. Обратная матрица; способы ее
нахождения. Простейшие матричные уравнения.
Лит ерат ура:
основная: [1], гл. 3; §§ 3.1-3.7;
дополнительная: [8], отдел III; § 12.
Раздел III. Линейные пространства
Тема 7. Основные понятия
Аксиоматическое определение и простейшие свойства линейного пространства.
Арифметическое (координатное) пространство векторов-столбцов. Линейная комбинация
векторов. Линейно зависимые и линейно независимые системы векторов; их простейшие
свойства. Максимальная линейно независимая подсистема. Эквивалентные конечные системы
векторов. Основная теорема о линейной зависимости векторов и ее следствие об
эквивалентных линейно независимых системах векторов. Базис и ранг системы векторов.
Лит ерат ура:
основная: [1], гл. 4; §§ 4.1-4.3;
дополнительная: [6], гл. I; § 1.
Тема 8. Базис и размерность пространства
Базис и размерность пространства. Разложение произвольного вектора по базису.
Координаты вектора в базисе; координатный столбец вектора в базисе. Матрица перехода от
одного базиса к другому. Преобразование координат вектора при переходе от базиса к базису.
Изоморфизм линейных пространств.
Лит ерат ура:
основная: [1], гл. 4; §§ 4.4-4.7;
дополнительная: [6], гл. I; § 1.
Тема 9. Линейные подпространства
Определение и простейшие свойства линейного подпространства. Линейная оболочка
системы векторов. Теорема о дополнении базиса подпространства до базиса пространства.
Связь между подпространствами и однородными системами линейных уравнений. Общие
уравнения подпространства. Параметрические уравнения подпространства в векторной и
координатной формах. Пересечение подпространств и возможные его размерности. Сумма и
прямая сумма подпространств. Достаточные условия разложимости пространства в прямую
сумму его подпространств. Теорема о размерности суммы подпространств.
Лит ерат ура:
основная: [1], гл. 4; §§ 4.8-4.11;
дополнительная: [6], гл. I; § 1.
8
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Алгебра и анализ»
для направления 010400.68 "Прикладная математика и информатика"
подготовки бакалавра для поступления в магистратуру
Раздел IV. Линейные операторы в линейных пространствах
Тема 10. Линейные операторы в линейных пространствах
Определение и простейшие свойства линейного оператора. Теорема об однозначном
определении линейного оператора образами базисных векторов. Матрица линейного
оператора в паре базисов. Ядро и образ линейного оператора. Ранг и дефект линейного
оператора. Их простейшие свойства. Связь между матрицами линейного оператора в разных
базисах. Подобные матрицы. Действия с линейными операторами. Пространство линейных
операторов и его размерность.
Лит ерат ура:
основная: [1], гл. 5; §§ 5.1-5.5;
дополнительная: [6], гл. II; § 9.
Тема 11. Собственные векторы и собственные значения линейного оператора
Инвариантное подпространство линейного оператора. Собственный вектор и
собственное значение линейного оператора. Собственное значение как корень
характеристического многочлена линейного оператора. Собственное подпространство
линейного оператора. Существование инвариантных подпространств. Комплексные
собственные числа вещественных операторов. Теорема о матрице линейного оператора в
линейном пространстве, разложенном в прямую сумму инвариантных подпространств.
Геометрическая и алгебраическая кратности собственного значения. Теорема об их связи.
Теорема о матрице линейного оператора с базисом из собственных векторов. Определение
линейного оператора простой структуры; его матрица в базисе из собственных векторов.
Теорема о линейной независимости собственных векторов, отвечающих различным
собственным значениям.
Лит ерат ура:
основная: [1], гл. 5; §§ 5.6-5.8;
дополнительная: [6], гл. II; § 10.
Тема 12. Каноническая жорданова форма матрицы
Корневое подпространство линейного оператора по характеристическому числу.
Жорданова цепочка векторов. Жорданов базис. Жорданова клетка. Каноническая жорданова
форма матрицы линейного оператора. Алгоритм построения жорданова базиса и жордановой
матрицы.
Лит ерат ура:
основная: [1], гл. 6; §§ 6.1-6.2;
дополнительная: [6], гл. III; §§ 18-19.
Раздел V. Билинейные и квадратичные формы
Тема 13. Линейные и билинейные формы в действительном линейном пространстве
Линейная форма и ее представление через координаты векторов в заданном базисе.
Коэффициенты линейной формы и их преобразование при изменении базиса. Билинейная
форма и ее представление через координаты векторов в заданном базисе. Матрица
9
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Алгебра и анализ»
для направления 010400.68 "Прикладная математика и информатика"
подготовки бакалавра для поступления в магистратуру
билинейной формы в заданном базисе. Преобразование матрицы билинейной формы при
изменении базиса. Симметрическая билинейная форма.
Лит ерат ура:
дополнительная:
[6], гл. I; § 4.
Тема 14. Квадратичные формы в действительном линейном пространстве
Квадратичная форма. Симметричная форма, полярная к квадратичной; единственность
полярной формы для заданной симметричной квадратичной формы. Положительно
определенная квадратичная форма. Приведение квадратичной формы к каноническому виду.
Метод Якоби приведения квадратичной формы к каноническому виду. Теорема о числе
отрицательных коэффициентов в каноническом виде квадратичной формы. Критерий
Сильвестра положительной определенности квадратичной формы. Закон инерции. Ранг
квадратичной формы и его нахождение.
Лит ерат ура:
основная: [1], гл. 9; §§ 9.1-9.6;
дополнительная: [6], гл. I; §§ 4-7.
Тема 15. Квадратичные формы в комплексном линейном пространстве
Билинейные и квадратичные формы в комплексном линейном пространстве. Форма,
полярная к квадратичной. Единственность полярной формы для заданной квадратичной
формы. Эрмитова билинейная форма. Приведения квадратичной формы к сумме квадратов.
Закон инерции. Ранг квадратичной формы и его нахождение.
Лит ерат ура:
основная: [1], гл. 9; § 9.10;
дополнительная: [6], гл. I; § 8.
Раздел VI. Евклидовы и унитарные пространства
Тема 16. Евклидовы пространства
Скалярное произведение в действительном линейном пространстве. Определение
евклидова пространства. Матрица Грама и ее свойства. Длина вектора и угол между
векторами в евклидовом пространстве. Неравенство Коши - Буняковского. Неравенство
треугольника. Метрика и норма в линейном пространстве. Определение нормированного и
метрического пространств. Примеры норм в линейном пространстве. Описание множества
норм в данном пространстве. Нормы в пространстве линейных операторов. Ортогональность
векторов в евклидовом пространстве. Ортогональная и ортонормированная система векторов.
Линейная независимость ортогональной системы. Процесс ортогонализации Грамма - Шмита.
Ортогональный и ортонормированный базисы. Ортогональные матрицы и их свойства.
Матрица перехода от одного ортонормированного базиса к другому ортонормированному
базису. Изоморфизм евклидовых пространств одинаковой размерности.
Лит ерат ура:
основная: [1], гл. 9; §§ 9.1-9.6;
дополнительная: [6], гл. I; §§ 4-7.
Тема 17. Ортогональное дополнение
10
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Алгебра и анализ»
для направления 010400.68 "Прикладная математика и информатика"
подготовки бакалавра для поступления в магистратуру
Ортогональное дополнение к подпространству евклидова пространства. Ортогональное
дополнение как подпространство. Разложение евклидова пространства в прямую сумму
подпространства и его ортогонального дополнения. Ортогональная проекция вектора на
подпространство. Ортогональная составляющая вектора.
Лит ерат ура:
основная: [1], гл. 9; §§ 9.1-9.6;
дополнительная: [6], гл. I; §§ 4-7.
Тема 18. Унитарные пространства
Скалярное произведение в комплексном линейном пространстве. Определение
унитарного пространства. Эрмитовы матрицы. Унитарные матрицы, как матрицы перехода от
ортонормированного базиса унитарного пространства к ортонормированному базису.
Лит ерат ура:
основная: [1], гл. 8; § 8.7;
дополнительная: [6], гл. I; § 8.
Раздел VII. Операторы в евклидовых и унитарных пространствах
Тема 19. Сопряженные и самосопряженные операторы
Связь между линейными преобразованиями и билинейными формами в евклидовом
пространстве. Сопряженный оператор. Свойства операции перехода от данного оператора к
сопряженному. Матрица самосопряженного оператора в ортогональном базисе.
Самосопряженные (эрмитовы) операторы. Необходимое и достаточное условие
самосопряженности произведения операторов. Ортогональные и унитарные операторы и их
матрицы в ортогональном базисе.
Лит ерат ура:
основная: [1], гл. 9; §§ 9.1-9.6;
дополнительная: [6], гл. I; §§ 4-7.
Тема 20. Собственные значения самосопряженных и унитарных операторов
Вещественность собственных значений самосопряженного оператора. Существование
ортогональных
собственных
векторов
самосопряженного
оператора.
Матрица
самосопряженного оператора в ортогональном базисе. Одновременное приведение пары
квадратичных форм к сумме квадратов. Собственные значения ортогонального и унитарного
операторов. Матрицы ортогональных и унитарных операторов. Экстремальные свойства
собственных значений самосопряженных операторов. Нормальные операторы. Разложение
линейного оператора в произведение унитарного и положительного самосопряженного.
Лит ерат ура:
основная: [1], гл. 9; §§ 9.1-9.6;
дополнительная: [6], гл. I; §§ 4-7.
Раздел VIII. Теория пределов
Тема 21. Числовые последовательности и числовые ряды
11
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Алгебра и анализ»
для направления 010400.68 "Прикладная математика и информатика"
подготовки бакалавра для поступления в магистратуру
Ограниченные числовые множества. Существование верхней (нижней) грани
ограниченного сверху (снизу) множества. Основные свойства, связанные с полнотой
множества действительных чисел: принцип Коши-Кантора, принцип Бореля-Лебега, принцип
Больцано-Вейерштрасса. Определение и свойства предела числовой последовательности.
Примеры сходящихся и расходящихся последовательностей. Критерий Коши. Критерий
существования предела монотонной последовательности. Число e. Подпоследовательность и
частичный предел последовательности. Числовой ряд и его сумма. Примеры сходящихся и
расходящихся рядов. Простейшие признаки сходимости рядов. Абсолютная и условная
сходимости ряда.
Лит ерат ура:
основная: [1], гл. 9; §§ 9.1-9.6;
дополнительная: [6], гл. I; §§ 4-7.
Тема 22. Предел функции одного вещественного переменного
Конечный предел функции в точке. Свойства предела функции. Критерий Коши. Предел
композиции функций. Первый замечательный предел. Другие типы пределов. Предел
монотонной функции. Второй замечательный предел.
Лит ерат ура:
основная: [1], гл. 9; §§ 9.1-9.6;
дополнительная: [6], гл. I; §§ 4-7.
Раздел IX. Непрерывные и дифференцируемые функции одного и
нескольких переменных
Тема 23. Непрерывные функции одной переменной
Непрерывность функции в точке и на множестве. Примеры разрывных функций одной
вещественной переменной. Классификация разрывов. Локальные и глобальные свойства
непрерывных функций одного переменного (в т. ч. теоремы Больцано - Коши и
Вейерштрасса.). Монотонность. Обратная функция. Равномерная непрерывность и лемма
Бореля.
Лит ерат ура:
основная: [1], гл. 9; §§ 9.1-9.6;
дополнительная: [6], гл. I; §§ 4-7.
Тема 24. Дифференцируемые функции одной переменной
Дифференцируемая функция в точке. Дифференциал в точке. Соотношение между
непрерывностью и дифференцируемостью Определение производной. Примеры вычисления
производной функций вещественного переменного. Дифференцирование сложной функции.
Производная обратной функции. Дифференцирование неявно заданной функции.
Производные высших порядков. Примеры. Теоремы Ролля, Лагранжа, Коши. Правило
Лопиталя. Формула и ряд Тейлора. Метод Ньютона поиска корней гладкой функции. Оценка
остаточного члена. Примеры. Необходимое условие экстремума и достаточное условие
экстремума. Классификация критических точек. Пример Коши (ненулевая функция, все
производные которой в начале координат равны нулю). Дифференцируемость функции
комплексного переменного (условия Коши – Римана).
Лит ерат ура:
12
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Алгебра и анализ»
для направления 010400.68 "Прикладная математика и информатика"
подготовки бакалавра для поступления в магистратуру
основная: [1], гл. 9; §§ 9.1-9.6;
дополнительная: [6], гл. I; §§ 4-7.
Тема 25. Непрерывность и дифференцируемость функции нескольких переменных
Открытые и замкнутые множества в Rn. Компактность в Rn. Свойства компактных
множеств. Непрерывные функции f : R n  R m ; их свойства. Определение дифференцируемой
в точке функции (отображения) f : R n  R m . Производное отображение в точке (дифференциал
в точке). Матрица Якоби f (a) . Частные производные как элементы матрицы Якоби. Замена
переменных. Суперпозиция отображений и произведение матриц Якоби. Простейшие правила
дифференцирования. Координатное представление производного отображения. Теорема о
среднем. Достаточное условие дифференцируемости числовой функции нескольких
переменных. Производная по вектору и градиент функции в точке.
Лит ерат ура:
основная: [1], гл. 9; §§ 9.1-9.6;
дополнительная: [6], гл. I; §§ 4-7.
Тема 26. Неявные и обратные функции многих переменных
Неявные функции. Теорема о неявной функции. Диффеоморфизм гладкости p. Обратная
функция к f : R n  R n . Теорема об обратной функции. Локальное приведение гладкого
отображения к каноническому виду.
Лит ерат ура:
основная: [1], гл. 9; §§ 9.1-9.6;
дополнительная: [6], гл. I; §§ 4-7.
Тема 27. Экстремумы функций многих переменных
Частные производные высшего порядка. Формула Тейлора. Высшие дифференциалы.
Экстремумы функций многих переменных. Необходимое условие экстремума. Достаточное
условие экстремума. Поверхность в Rn. Касательное пространство. Условный экстремум и
множители Лагранжа. Примеры. Необходимый признак условного экстремума. Достаточный
признак условного экстремума.
Лит ерат ура:
основная: [1], гл. 9; §§ 9.1-9.6;
дополнительная: [6], гл. I; §§ 4-7.
Раздел X. Интегральное исчисление и ряды
Тема 28. Определенный интеграл от функции одной переменной
Определение определенного интеграла от ограниченной функции по отрезку. Суммы
Дарбу и их свойства; необходимое и достаточное условие интегрируемости. Классы
интегрируемых функций. Множество меры нуль на числовой оси; примеры. Необходимое и
достаточное условие интегрируемости. Простейшие свойства определенного интеграла.
Обобщенная теорема о среднем значении. Интеграл с переменным верхним пределом и
теорема Ньютона - Лейбница. Вторая теорема о среднем значении. Замена переменной в
интеграле. Примеры. Приближенное вычисление интегралов. Оценки остаточных членов в
формулах прямоугольников, трапеций и Симпсона.
13
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Алгебра и анализ»
для направления 010400.68 "Прикладная математика и информатика"
подготовки бакалавра для поступления в магистратуру
Лит ерат ура:
основная: [1], гл. 9; §§ 9.1-9.6;
дополнительная: [6], гл. I; §§ 4-7.
Тема 29. Функциональные ряды
Функциональный ряд и область его сходимости. Ряд Дирихле. Степенные ряды. Теорема
Абеля. Радиус сходимости степенного ряда и способы его вычисления. Дифференцирование и
интегрирование степенных рядов. Ряд Тейлора. Примеры разложения функций в ряд Тейлора.
Лит ерат ура:
основная: [1], гл. 9; §§ 9.1-9.6;
дополнительная: [6], гл. I; §§ 4-7.
Тема 30. Несобственные интегралы
Определение интегралов с бесконечными пределами и их простейшие свойства.
Необходимое и достаточное условие сходимости интегралов в случае положительной
подынтегральной функции; признаки сравнения. Признак Больцано-Коши; абсолютная
сходимость интеграла. Признаки Абеля и Дирихле. Несобственные интегралы от
неограниченных функций. Условия и признаки существования интегралов от неограниченных
функций. Теоремы о среднем значении несобственного интеграла.
Лит ерат ура:
основная: [1], гл. 9; §§ 9.1-9.6;
дополнительная: [6], гл. I; §§ 4-7.
Тема 31. Интегралы, зависящие от параметра
Равномерное стремление функции двух переменных к предельной функции. Условие
Больцано - Коши равномерного стремления. Перестановка предельных переходов.
Предельный переход под знаком интеграла. Непрерывность интеграла, зависящего от
параметра. Дифференцирование интеграла, зависящего от параметра. Интегрирование
интеграла, зависящего от параметра. Г- и B-функции; их свойства и связь между ними.
Лит ерат ура:
основная: [1], гл. 9; §§ 9.1-9.6;
дополнительная: [6], гл. I; §§ 4-7.
Раздел XI. Теория функций комплексного переменного
Последовательность комплексных чисел и ее предел. Предел функции комплексного
переменного.
Непрерывность и дифференцируемость функций комплексного переменного в вещественном
и комплексном смысле. Связь с уравнениями Коши – Римана.
Кривые на плоскости и в пространстве (спрямляемые, простые). Односвязные и
неодносвязные области. Интегрирование по кривой и контуру на плоскости. Интеграл с
переменным пределом (первообразная). Условия независимости интеграла от выбора кривой.
Теорема Коши об интеграле по замкнутому контуру от аналитической функции. Интеграл
от z  n вокруг нуля. Многолистные функции (примеры). Интегральная формула Коши.
Ряды Тейлора и Лорана. Аналитичность суммы степенного ряда. Теорема Лорана.
14
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Алгебра и анализ»
для направления 010400.68 "Прикладная математика и информатика"
подготовки бакалавра для поступления в магистратуру
Классификация изолированных особых точек однозначного характера.
Вычеты. Связь с разложением в ряд Лорана. Определение и способ вычисления вычетов в
полюсах. Вычет на бесконечности. Примеры вычисления определенных интегралов с
помощью вычетов.
Лит ерат ура:
основная:
[4], гл. I-II; V-VIII;
8. Порядок формирования оценок по дисциплине
Результирующая оценка за промежуточный контроль в I семестре выставляется по
следующей формуле
Оитог_I = 0,5·Озачет + 0,3·Окр + 0,2·Одз_I,
где Озачет – оценка за зачетную работу, Окр – оценка за аудиторную контрольную работу в I
семестре, Одз_I – оценка за домашнее задание в I семестре; при этом сумма 0,3·Окр + 0,2·Одз в
результирующей оценке за промежуточный контроль составляет так называемую
накопительную часть за работу в I семестре. Оценка за зачетную работу является
блокирующей.
Результирующая оценка за итоговый контроль во II семестре выставляется по
следующей формуле
Оитог_II = 0,5·Оэкз + 0,3·Окр + 0,1·Одз_II + 0,1·Одз_III,
где Оэкз – оценка за экзаменационную работу, Окр – оценка за аудиторную контрольную работу
во II семестре, Одз_II и Одз_III – оценки за домашние задания во II семестре; при этом сумма
0,3·Окр + 0,1·Одз_II + 0,1·Одз_III в результирующей оценке за итоговый контроль составляет так
называемую накопительную часть за работу во II семестре. Оценка за экзаменационную работу
является блокирующей.
Итоговая оценка по дисциплине выставляется по формуле
Оитог_дисц. = 0,4·Оитог_I + 0,6·Оитог_II .
Способ округления всех форм отчетности производится по обычным правилам
арифметики округления.
На пересдаче слушателю не предоставляется возможность получить дополнительный
балл для компенсации оценки за текущий контроль.
9. Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины
Основная литература
[1] Шевцов Г.С. Линейная алгебра: теория и прикладные аспекты: Учеб. пособие –
М.: Финансы и статистика, 2003.
[2] Зорич В.А. Математический анализ (в 2-х книгах), ч.1: Учебник для вузов. - 4-е
изд., испр. и доп. – М.: МЦНМО, 2002.
[3] Зорич В.А. Математический анализ (в 2-х книгах), ч.2: Учебник для вузов. - 4-е
изд., испр. и доп. – М.: МЦНМО, 2002.
[4] Маркушевич А.И., Маркушевич Л.А. Введение в теорию аналитических
функций: Учеб. пособие – М.: Просвещение, 1977.
15
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Алгебра и анализ»
для направления 010400.68 "Прикладная математика и информатика"
подготовки бакалавра для поступления в магистратуру
[5] Курош А.Г. Курс высшей алгебры. - 11-е изд., стереотип. – М.: Наука, 1975.
Дополнительная литература
[6] Гельфанд И.М. Лекции по линейной алгебре. - 4-е изд., доп. – М.: Наука, 1971.
[7] Икрамов Х.Д. Задачник по линейной алгебре / Под ред. В.В. Воеводина. – М.:
Наука, 1975.
[8] Проскуряков И.В. Сборник задач по линейной алгебре. - 3-е изд., испр. и доп. – М.:
Наука, 1967.
[9] Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа (в 2-х томах), т.1: Учебник для
вузов. - М.: Высшая школа, 1981.
[10] Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа (в 2-х томах), т.2: Учебник для
вузов. - М.: Высшая школа, 1981.
[11] Дороговцев А.Я. Математический анализ. Краткий курс в современном
изложении. - 2-е изд. – К.: Факт, 2004.
[12] Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления (в 3-х
томах), т.1 / Пред. и прим. А.А. Флоринского. - 8-е изд. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003.
[13] Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления (в 3-х
томах), т.2 / Пред. и прим. А.А. Флоринского. - 8-е изд. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003.
[14] Демидович Б.П. Сборник задач по математическому анализу: Учеб. пособие. —
13-е изд., испр. – М.: Изд-во Моск. ун-та, 1997.
16