Программа курса математики
advertisement
Го су да р ст ве н ны й у ни в ер сит ет – Вы сша я шк о ла э ко но ми к и Программа курса математики для слушателей подготовительных курсов магистратуры по специальности «Прикладная математика и информатика» (96 часов) Общие положения 1. Преподавание математических дисциплин в магистратуре ПМИ предполагает владение полным математическим курсом, который прослушали и сдали бакалавры ПМИ ГУ ВШЭ, а также свободное умение программировать хотя бы на одном алгоритмическом языке. 2. Изучение математических дисциплин в магистратуре ПМИ возможно в двух вариантах: a) Осно в но й : на I курсе магистратуры студенты слушают курсы, опирающиеся на полный математический курс, который прослушали и сдали бакалавры ПМИ ГУ ВШЭ. Для выпускников ПМИ ГУ ВШЭ этот вариант является обязательным. b) А да пт а ц ио н ны й : на I курсе магистратуры студенты слушают курсы, опирающиеся на усеченные знания по математике, и в течение I курса изучают все недостающее для основного варианта. После этого они на II курсе магистратуры присоединяются к математическим дисциплинам I курса по основному варианту. 3. Усеченные знания по математике примерно соответствуют математическому курсу ВТУЗов. Подробнее программа такого усеченного подготовительного курса прилагается ниже. 4. Адаптационный курс на I курсе магистратуры покрывает разницу между усеченным курсом и курсом бакалавриата ПМИ ГУ ВШЭ. Примерное содержание адаптационного курса: обыкновенные дифференциальные уравнения (2-4 модули); дополнительные главы теории обыкновенных дифференциальных уравнений; методы оптимизации (включая вариационное исчисление и принцип максимума Понтрягина); теория функций комплексного переменного; уравнения математической физики; дополнительные главы уравнений математической физики; элементы функционального анализа; численные методы. (Более подробно с программами этих курсов можно ознакомиться на сайте кафедры высшей математики на факультете экономики и сайте отделения ПМИ). 5. Абитуриенты перед поступлением в магистратуру ПМИ объявляют, по какому варианту они предполагают проходить обучение. В соответствии со своим заявлением они сдают экзамен по усеченному курсу или по курсу бакалавриата ПМИ ГУ ВШЭ. 6. Желающие сдавать экзамен по усеченному варианту могут воспользоваться подготовитель- ными курсами магистратуры ПМИ (март – май 2010 г). Программа этих курсов полностью соответствует усеченному курсу и рассчитана на 96 учебных часов. Предполагается, что слушатели курсов в основном владеют знаниями по такому курсу, но желают заполнить какие-то пробелы и улучшить владение соответствующими методами. 1 Подробное содержание программы подготовительного курса математики РА ЗД Е Л 1 Основные понятия теории множеств Тема 1. Множества, отображения и отношения Множества и операции над ними. Простейшие свойства операций над множествами. Общее понятие функции (отображения). Образ и полный прообраз элемента при отображении; прообраз множества. Сюръекция, инъекция, биекция (взаимно однозначное отображение). Основные свойства отображений. Бинарное отношение. Операции над бинарными отношениями и их простейшие свойства. Отношение эквивалентности. Разбиение множества на классы. Фактор-множество. Тема 2. Мощность множества Счетные и несчетные множества. Простейшие свойства счетных множеств. Счетность множества рациональных чисел. Несчетность множества иррациональных чисел. Эквивалентность множеств. Теорема Кантора - Бернштейна. Понятие мощности множеств. Теорема о мощности множества всех отображений одного множества в другое. Теорема о мощности множества всех подмножеств данного множества. РА ЗД Е Л 2 Комбинаторика Перестановки и подстановки. Группа и подгруппа. Примеры. Размещения и сочетания. Примеры. Размещения и сочетания с повторением. Примеры. Разбиения множеств. Примеры. РА ЗД Е Л 3 Теория графов Ориентированные и неориентированные графы; способы их задания. Матрица смежности графа. Изоморфизм графов. Взвешенный граф. Плоский граф. Примеры задач, решаемых с помощью теории графов. РА ЗД Е Л 4 Алгебра логики Высказывания и операции над ними. Таблицы истинности. Сведение одних операций к другим. Кванторы. Запись высказываний в кванторах. Запись отрицания. Примеры. РА ЗД Е Л 5 Алгебра многочленов Тема 1. Алгебра комплексных чисел Определение множества комплексных чисел C. Геометрическое представление комплексного числа. Простейшие свойства множества C. Алгебраическая форма комплексного числа и формальные правила действий с комплексными числами в алгебраической форме. Тригонометрическая форма комплексного числа. Комплексно-сопряженные числа. Формула Муавра. Формулы Региомонтана. Формулы для тригонометрических функций кратного аргумента. Извлечение корня из комплексного числа. Корни из единицы. Первообразные корни из единицы. Понятие поля. Тема 2. Многочлены и их корни Операции (сложение, вычитание, умножение) над многочленами и их простейшие свойства. Частное и остаток от деления многочленов. Делители многочлена; наибольший общий делитель; алгоритм Евклида. Корни многочлена. Основная теорема алгебры комплексных чисел. Теорема Безу. Формулы Виета. Симметрические функции. Многочлены с действительными коэффициентами. Интерполяционный многочлен. Формула Лагранжа. 2 РА ЗД Е Л 6 Линейные пространства Тема 1. Линейные пространства Аксиоматическое определение и простейшие свойства линейного пространства. Арифметическое (координатное) пространство векторов-столбцов. Другие примеры линейных пространств. Линейная комбинация векторов. Линейно зависимые и линейно независимые системы векторов; их простейшие свойства. Максимальная линейно независимая подсистема. Эквивалентные конечные системы векторов. Основная теорема о линейной зависимости векторов и ее следствие об эквивалентных линейно независимых системах векторов. Базис и ранг системы векторов. Тема 2. Ранг матрицы. Скелетное разложение матрицы Ранг матрицы. Теорема о базисном миноре и ее следствие. Метод окаймляющих миноров. Элементарные преобразования строк и столбцов матрицы. Ранг произведения матриц. Скелетное разложение матрицы. Тема 3. Базис и размерность пространства Базис и размерность пространства. Разложение произвольного вектора по базису. Координаты вектора в базисе; координатный столбец вектора в базисе. Матрица перехода от одного базиса к другому. Преобразование координат вектора при переходе от базиса к базису. Изоморфизм линейных пространств. Тема 4. Общая теория систем линейных уравнений Теорема Кронекера-Капелли. Базисная подсистема. Теорема об эквивалентности совместной системы любой своей базисной подсистеме. Однородная система линейных уравнений. Необходимое и достаточное условие единственности решения однородной системы. Линейное пространство решений и фундаментальная система решений однородной системы линейных уравнений. Теорема о размерности линейного пространства решений однородной системы. Структура общего решения неоднородной системы линейных уравнений. Тема 5. Линейные подпространства и многогранники Определение и простейшие свойства линейного подпространства. Линейная оболочка системы векторов. Теорема о дополнении базиса подпространства до базиса пространства. Связь между подпространствами и однородными системами линейных уравнений. Общие уравнения подпространства. Параметрические уравнения подпространства в векторной и координатной формах. Пересечение подпространств и возможные его размерности. Трансверсальность. Сумма и прямая сумма подпространств. Теорема о размерности суммы подпространств. Выпуклая комбинация векторов. Выпуклые множества. Выпуклая оболочка. Полупространства. Многогранники. РА ЗД Е Л 7 Линейные операторы в линейных пространствах Тема 1. Линейные операторы в линейных пространствах Определение и простейшие свойства линейного оператора. Теорема об однозначном определении линейного оператора образами базисных векторов. Матрица линейного оператора в паре базисов. Ядро и образ линейного оператора. Ранг и дефект линейного оператора. Их простейшие свойства. Связь между матрицами линейного оператора в разных базисах. Подобные матрицы. Действия с линейными операторами. Пространство линейных операторов и его размерность. Тема 2. Характеристический и минимальный многочлены Характеристический многочлен и характеристические числа оператора и матрицы. Спектр матрицы. Теорема о характеристических многочленах подобных матриц. Характеристический многочлен и характеристические числа линейного оператора. Многочлен, аннулируемый матрицей. Теорема Гамильтона-Кэли. Минимальный многочлен матрицы. Связь характеристического и минимального многочленов матрицы. Тема 3. Собственные векторы и собственные значения линейного оператора Инвариантное подпространство линейного оператора. Собственный вектор и собственное значение линейного оператора. Собственное значение как корень характеристического многочлена линейного 3 оператора. Множество собственных векторов, отвечающих собственному значению, как подпространство. Собственное и инвариантное подпространства линейного оператора. Существование инвариантных подпространств. Комплексные собственные числа вещественных операторов. Теорема о матрице линейного оператора в линейном пространстве, разложенном в прямую сумму инвариантных подпространств. Геометрическая и алгебраическая кратности собственного значения. Теорема об их связи. Простые и дефектные матрицы. Теорема о линейной независимости собственных векторов, отвечающих различным собственным значениям. РА ЗД Е Л 8 Каноническая жорданова форма матрицы линейного оп ератора Тема 1. Линейные операторы простой структуры Теорема о матрице линейного оператора с базисом из собственных векторов. Определение линейного оператора простой структуры; его матрица в базисе из собственных векторов Тема 2. Каноническая жорданова форма матрицы Корневое подпространство линейного оператора по характеристическому числу. Жорданова цепочка. Жорданов базис. Жорданова клетка. Каноническая жорданова форма матрицы линейного оператора. Алгоритм построения жорданова базиса и жордановой матрицы. РА ЗД Е Л 9 Евклидовы пространства Тема 1. Евклидовы пространства Скалярное произведение в действительном линейном пространстве. Определение евклидова пространства. Матрица Грама и ее свойства. Длина вектора и угол между векторами в евклидовом пространстве. Неравенство Коши - Буняковского. Неравенство треугольника. Определение нормированного пространства. Примеры норм в линейном пространстве. Описание множества норм в данном пространстве. Норма в пространстве линейных операторов. Ортогональность векторов в евклидовом пространстве. Ортогональная и ортонормированная система векторов. Линейная независимость ортогональной системы. Процесс ортогонализации Грамма - Шмита. Ортогональный и ортонормированный базисы. Ортогональные матрицы и их свойства. Матрица перехода от одного ортонормированного базиса к другому ортонормированному базису. Изоморфизм евклидовых пространств одинаковой размерности. Тема 2. Ортогональное дополнение Ортогональное дополнение к подпространству евклидова пространства. Ортогональное дополнение как подпространство. Разложение евклидова пространства в прямую сумму подпространства и его ортогонального дополнения. Ортогональная проекция вектора на подпространство. Ортогональная составляющая вектора. Углы между подпространствами. РА ЗД Е Л 10 Билинейные и квадратичные формы в действительном линейном пространс тве Тема 1. Линейные и билинейные формы в действительном линейном пространстве Линейная форма и ее представление через координаты векторов в заданном базисе. Коэффициенты линейной формы и их преобразование при изменении базиса. Билинейная форма и ее представление через координаты векторов в заданном базисе. Матрица билинейной формы в заданном базисе. Преобразование матрицы билинейной формы при изменении базиса. Симметрическая билинейная форма. Скалярное произведение как пример симметрической билинейной формы. Тема 2. Квадратичные формы в действительном линейном пространстве Квадратичная форма. Форма, полярная к квадратичной. Единственность полярной формы для заданной квадратичной формы. Положительно определенная квадратичная форма. Определение скалярного произведения как формы, полярной к положительно определенной квадратичной форме. Приведение квадратичной формы к каноническому виду. Метод Якоби приведения квадратичной формы к каноническому виду. Теорема о числе отрицательных коэффициентов в каноническом виде квадратичной формы. Критерий Сильвестра положительной определенности квадратичной формы. Закон инерции. Ранг квадратичной формы и его нахождение. 4 РА ЗД Е Л 11 Операторы в действительных и комплексных евклидовых пространствах Тема 1. Сопряженные и самосопряженные операторы Связь между линейными преобразованиями и билинейными формами в евклидовом пространстве. Сопряженный оператор. Свойства операции перехода от данного оператора к сопряженному. Самосопряженные операторы. Необходимое и достаточное условие самосопряженности произведения операторов. Ортогональные и унитарные операторы. Тема 2. Собственные значения самосопряженных и унитарных операторов Вещественность собственных значений самосопряженного оператора. Существование ортогональных собственных векторов самосопряженного оператора. Матрица самосопряженного оператора в ортогональном базисе. Одновременное приведение пары квадратичных форм к сумме квадратов. Собственные значения ортогонального и унитарного операторов. Матрицы ортогональных и унитарных операторов. Экстремальные свойства собственных значений самосопряженных операторов. РА ЗД Е Л 1 2 Теория пределов Тема 1. Числовые последовательности и числовые ряды Ограниченные числовые множества. Существование верхней (нижней) грани ограниченного сверху (снизу) множества. Основные свойства, связанные с полнотой множества действительных чисел: принцип Коши-Кантора, принцип Бореля-Лебега, принцип Больцано-Вейерштрасса. Определение и свойства предела числовой последовательности. Примеры сходящихся и расходящихся последовательностей. Критерий Коши. Критерий существования предела монотонной последовательности. Число e. Подпоследовательность и частичный предел последовательности. Числовой ряд и его сумма. Примеры сходящихся и расходящихся рядов. Простейшие признаки сходимости рядов. Абсолютная и условная сходимости ряда. Тема 2. Предел функции одного переменного Конечный предел функции в точке. Свойства предела функции. Критерий Коши. Предел композиции функций. Первый замечательный предел. Другие типы пределов. Предел монотонной функции. Второй замечательный предел. Сравнение асимптотического поведения функций. Тема 3. Предел функции комплексного переменного Метрические пространства. Примеры. Предельные точки. Открытые и замкнутые шары. Замыкание. Сходимость последовательностей в метрическом пространстве. Полные метрические пространства. Примеры. Последовательность комплексных чисел и ее предел. Ряды в комплексной плоскости и их суммы. Функция комплексного переменного; предел функции в точке комплексной плоскости. РА ЗД Е Л 1 3 Непрерывные и дифференцируемые функции одного и н ескольких переменных Тема 1. Непрерывные функции одной переменной Непрерывность функции в точке и на множестве. Примеры разрывных функций одной вещественной переменной. Классификация разрывов. Локальные и глобальные свойства непрерывных функций одного переменного (в т. ч. и теоремы Больцано-Коши и Вейерштрасса.). Монотонность. Обратная функция. Равномерная непрерывность и лемма Бореля. Тема 2. Дифференцируемые функции одной переменной Дифференцируемая функция в точке. Дифференциал в точке. Соотношение между непрерывностью и дифференцируемостью Определение производной. Примеры вычисления производной функций вещественного переменного. Дифференцирование сложной функции. Производная обратной функции. Дифференцирование неявно заданной функции. Производные высших порядков. Примеры. Теоремы Ролля, Лагранжа, Коши. Правило Лопиталя. Формула и ряд Тейлора. Метод Ньютона поиска корней 5 гладкой функции. Оценка остаточного члена. Примеры. Необходимое условие экстремума и достаточное условие экстремума. Классификация критических точек. Пример Коши (ненулевая функция, все производные которой в начале координат равны нулю). Дифференцируемость функции комплексного переменного (условия Коши – Римана). Тема 3. Непрерывность и дифференцируемость функции нескольких переменных Открытые и замкнутые множества в Rn. Компактность в Rn. Свойства компактных множеств. Непрерывные функции f : R n R m ; их свойства. Определение дифференцируемой в точке функции f : R n R m . Производное отображение в точке (дифференциал в точке). Матрица Якоби f (a ) . Частные производные как элементы матрицы Якоби. Замена переменных. Суперпозиция отображений и произведение матриц Якоби. Простейшие правила дифференцирования. Координатное представление производного отображения. Теорема о среднем. Достаточное условие дифференцируемости числовой функции нескольких переменных. Производная по вектору и градиент функции в точке. Тема 4. Неявные и обратные функции Неявные функции. Теорема о неявной функции. Диффеоморфизм гладкости p. Обратная функция к f : R n R n . Теорема об обратной функции. Локальное приведение гладкого отображения к каноническому виду. Тема 5. Экстремумы функций многих переменных Частные производные высшего порядка. Формула Тейлора. Высшие дифференциалы. Метод Ньютона – Рафсона. Экстремумы функций многих переменных. Необходимое условие экстремума. Достаточное условие экстремума. Поверхность в Rn. Касательное пространство. Условный экстремум и множители Лагранжа. Примеры. Необходимый признак условного экстремума. Достаточный признак условного экстремума. РА ЗД Е Л 1 4 Интегральное исчисление и ряды Тема 1. Определенный интеграл от функции одной переменной Определение определенного интеграла от ограниченной функции по отрезку. Суммы Дарбу и их свойства; необходимое и достаточное условие интегрируемости. Классы интегрируемых функций. Множество меры нуль на числовой оси; примеры. Необходимое и достаточное условие интегрируемости. Простейшие свойства определенного интеграла. Обобщенная теорема о среднем значении. Интеграл с переменным верхним пределом и теорема Ньютона - Лейбница. Вторая теорема о среднем значении. Замена переменной в интеграле. Примеры. Приближенное вычисление интегралов. Оценки остаточных членов в формулах прямоугольников, трапеций и Симпсона. Тема 2. Функциональные ряды Функциональный ряд и область его сходимости. Ряд Дирихле. Степенные ряды. Теорема Абеля. Радиус сходимости степенного ряда и способы его вычисления. Дифференцирование и интегрирование степенных рядов. Ряд Тейлора. Примеры разложения функций в ряд Тейлора. Тема 3. Несобственные интегралы Определение интегралов с бесконечными пределами и их простейшие свойства. Необходимое и достаточное условие сходимости интегралов в случае положительной подынтегральной функции; признаки сравнения. Признак Больцано-Коши; абсолютная сходимость интеграла. Признаки Абеля и Дирихле. Несобственные интегралы от неограниченных функций. Условия и признаки существования интегралов от неограниченных функций. Теоремы о среднем значении несобственного интеграла. Тема 4. Собственные интегралы, зависящие от параметра Равномерное стремление функции двух переменных к предельной функции. Условие Больцано - Коши равномерного стремления. Перестановка предельных переходов. Предельный переход под знаком интеграла. Непрерывность интеграла, зависящего от параметра. Дифференцирование интеграла, зависящего от параметра. Интегрирование интеграла, зависящего от параметра. 6 РА ЗД Е Л 1 5 Основные обыкновенные дифференциальные и разностные уравнения и системы Тема 1. Простейшие дифференциальные уравнения и метод разделения переменных. Простейшие дифференциальные и разностные уравнения: модель Мальтуса, движение материальной точки по потоку ветра или течения, дискретное и непрерывное нарастание процента, радиоактивный распад. Решение простейших уравнений. Классификация обыкновенных дифференциальных уравнений и систем: разрешимость (неразрешимость) относительно старшей производной, автономность (автономность), линейность (нелинейность) уравнений и систем. Векторное поле – правая часть системы дифференциальных уравнений первого порядка. Примеры. Теорема об обратной функции. Метод разделения переменных для решения уравнений dy f ( y) , dx dy f ( y ) g ( x) . Примеры. dx Истечение воды из воронки переменного сечения. Вывод уравнения и его решение. Ограничения модели. Уравнения химической кинетики. Первый интеграл. Варианты завершения процесса. Интегрирование системы. Уравнение фон Берталанфи. Точное решение и качественное исследование. Оценка параметров модели по экспериментальным данным. Уравнение Гомпертца. Точное решение и качественное исследование. Оценка параметров модели по экспериментальным данным. Уравнение трения каната о бревно. Вывод и точное решение. Формула Эйлера. Тема 2. Существование и единственность решений ОДУ «в малом» и «в большом». Сведение дифференциального уравнения к интегральному уравнению Вольтерра. Сжимающее отображение в пространстве функций. Примеры решения дифференциального уравнения итерационным методом Пикара – Линделефа. Теорема Пеано существования решения задачи Коши «в малом» (без док.). Теорема существования и единственности, если правая часть Липшиц-непрерывна «в малом» (без док.). Пример несуществования решения «в большом». Тема 3. Дифференциальные и разностные уравнения с постоянными коэффициентами. Методы решения и фазовые портреты. Понятие устойчивости. Приведение линейной системы с постоянными коэффициентами к каноническому виду. Общее решение системы линейных уравнений с постоянными коэффициентами, однородных и неоднородных. Сведение уравнения с постоянными коэффициентами к системе. Всегда ли возможно обратное? Характеристический многочлен. Последовательность Фибоначчи. Конечно-разностные уравнения и системы. Пространство решений линейного конечно-разностного уравнения n-го порядка n-мерно. Общее решение для уравнения с постоянными коэффициентами. Случаи простых и кратных корней характеристического уравнения. Пример нелинейного конечно-разностного уравнения. Матрица Лесли и предельное распределение популяции по возрастам. Устойчивость положения равновесия при t для систем с постоянными коэффициентами. Модели войны армий и орд. Условие неединственности стационарной точки. Существование и отсутствие первого интеграла. Сепаратриса. Показание измерительного прибора с учетом его инерции. Динамика показаний инерционного прибора при синусоидальном воздействии. Неоднородные дифференциальные уравнения. Многочлен, экспонента, синус и гиперсинус в правой 7 части. Квазимногочлены. Возможность резонанса. Жорданова клетка в правой части системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Тема 4. Линейные уравнения с переменными коэффициентами. Фундаментальная система решений линейного дифференциального уравнения или системы. Матрица Вронского и вронскиан. Теорема Лиувилля. Метод вариации постоянных для решения линейных неоднородных систем и равнений. Фазовый объем и локальный фазовый объем. Его изменение со временем. Дивергенция векторного поля. Гамильтоновы системы уравнений. Их стационарные точки. Тема 5. Фазовые портреты и первые интегралы. Устойчивость по Ляпунову для нелинейных систем. Пружинный маятник. Физический маятник без трения. Фазовые портреты. Первый интеграл. Устойчивые и неустойчивые стационарные точки. Колебательный и вращательный режимы. Автономные нелинейные уравнения второго порядка «без трения». Первый интеграл и фазовый портрет. Возможные типы стационарных точек первого интеграла. Маятник с трением. Убывание интеграла энергии. Фазовый портрет. Неустойчивость и асимптотическая устойчивость стационарной точки. Маятник с трением и форсингом. Фазовый портрет. Предельный цикл. Сечение Пуанкаре для проверки устойчивости предельных циклов. Зависимость амплитуды решения от частоты гармонического форсинга. Связь коэффициента трения и ширины резонансной кривой. Логистическое уравнение. Устойчивая и неустойчивая стационарная точки. Возможные границы отлова. Жесткая и мягкая модели. Опасность оптимизации в жесткой модели. Гибкие планы отлова. Модель Лотки – Вольтера. Стационарные точки и исследование их устойчивости. Первый интеграл системы (два способа построения). Сравнение теории с экспериментальными данными. Ограничения модели. Задача о динамике двух видов, конкурирующих за общий ресурс. Теория Ляпунова – исследование устойчивости стационарных точек нелинейных систем (без док.). Примеры, когда спектральный метод бессилен. Метод функции Ляпунова. Тема 6. Разностные методы решения ОДУ. Разностные схемы для решения задачи Коши. Схема Эйлера, Эйлера с пересчетом, схема центральных разностей. Схемы Рунге – Кутты. РА ЗД Е Л 1 6 Основные понятия теории вероятностей Примеры вероятностных и статистических задач. Гистограмма. Пространство элементарных событий и математическое ожидание. Комбинаторные методы оценки вероятностей. Производящие функции. Датчики случайных чисел. Рандомизация. Случайные блуждания. Предельные теоремы. Коэффициент ковариации как скалярное произведение случайных величин. Корреляция случайных величин. Зависимость и корреляция. Корреляционные матрицы и регрессионный анализ. Метод главных компонент (эмпирические ортогональные вектора или функции). Случайные процессы и поля. Байесовский подход. Стохастичность и неопределенность в динамических системах. РА ЗД Е Л 1 7 Визуализация аналитических расчетов Знакомство с Matlab. Операции с векторами и матрицами. Основные встроенные математические функции. Построение графиков функций одного переменного. Графики функций двух переменных. Основы программирования на Matlab. Синтаксис базовых конструкций. Метод Ньютона поиска корней гладкой функции одного переменного. Метод Гаусса решения систем линейных алгебраических уравнений. 8 Литература 1. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. – М.: «Наука», 1989. 2. Судоплатов С.В., Овчинникова Е.В. Элементы дискретной математики. – М.: «Инфра-М», 2002. 3. Курош А.Г. Курс высшей алгебры. – М.: «Наука», любое изд., начиная с 1975 г. 4. Гельфанд И.М. Лекции по линейной алгебре. - М.: «Наука», любое изд., начиная с 1970 г. 5. Шилов Г.Е. Математический анализ (конечномерные линейные пространства). - М.: «Наука», любое изд., начиная с 1969 г. 6. Шевцов Г.С. Линейная алгебра. Теория и прикладные аспекты. - М.: «Финансы и статистика», 2003. 7. 8. 9. 10. 11. Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа, тт. 1-2. – М.: М.: «Высшая школа», 1981. Зорич В.А. Математический анализ, ч 1. – М.: «Наука», любое изд., начиная с 1981 г. В.И.Арнольд. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М., ``Наука'', 1984, 2002. Гельфонд А.О. Исчисление конечных разностей. М., Наука, 1967, УРСС, 2004. В.А.Гордин. Дифференциальные уравнения. Какие явления они описывают и как их решать? Рукопись, выложенная в общий доступ. 12. Петровский И.Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений. - М., Физматлит, 1970; Изд. МГУ, 1984. 13. Оболенский А. Ю. Лекции по качественной теории дифференциальных уравнений. - М.; Ижевск, 2006. 14. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. - М.: Наука, 1976; Спб. «Лань», 2003. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. Г.Корн, Т.Корн: Справочник по математике. - М.: «Наука», 1984. В.Феллер. Введение в теорию вероятностей и ее приложения, т.1 - М.: «Мир», 1964. Ширяев А.Н. Вероятность-1. - М.: МЦНМО, 2004. Ширяев А.Н. Вероятность-2. - М.: МЦНМО, 2004. Гордин В.А. «Как это посчитать?». - М.: МЦНМО, 2005. Гуссейн-Заде С.М. «Разборчивая невеста». - МЦНМО, 2003. Розанов Ю.А. Теория вероятностей, случайные процессы и математическая статистика. М.: «Наука», 1985. 22. Дьяконов В. П. MATLAB 7. */R2006/R2007 / Самоучитель. - М.: ДМК-пресс, 2008. 23. К.Чен, П.Джиблин, А.Ирвинг. MATLAB в математических исследованиях. - М.: «Мир», 2001. 9
