Механика вращающихся механических объектов в

УДК 531.15
МЕХАНИКА ВРАЩАЮЩИХСЯ МЕХАНИЧЕСКИХ ОБЪЕКТОВ В
ТОЧЕЧНОМ ПРЕДСТАВЛЕНИИ
Юровицкий В.М.,
Российский государственный социальный университет,
129226, Москва, ул. Вильгельма Пика, д.4, стр.1
[email protected], +7-926-314-9817
В работе обосновывается необходимость создания механики вращающихся объектов в точечном
представлении. Речь идет о распространении на классическую механику представлений квантовой
механики, в которой такие представления используются изначально. Введено понятие о точечном
представлении вращающихся объектов, выведены законы их взаимодействия и сохранения. Рассмотрены
основные типы их взаимодействия. Показано существование классических аналогов спиновых объектов
квантовой механики.
Одним
из
важнейший
концептов
механики
состоит
в
рассмотрении
взимоотношений даже самых сложных объектов природы в максимальной упрощенном
виде ─ в виде материальных точек. В виде материальной точки представляются
электроны и фотоны, пушечные снаряды и ракеты, кометы и планеты, галактики и
метагалактики. Мощность этого инструмента механики просто фантастична. Ведь
стоит только представить сложность какой-нибудь галактики или даже человека. И эти
сложнейшие феномены механика ухитряется представить точкой с несколькими
интегральными числовыми характеристиками.
В качестве главнейшей характеристики точечных объектов используется понятие
массы. Например, масса галактики состоит из масс входящих в ее состав объектов. Ее
распределение в пространстве и во времени является сложнейшим. И вот все это
характеризуется одним-единственным числом. Причем нам вообще не требуется знать
внутренней структуры галактики.
Есть и другие имманентные интегральные параметры. Например, электрический
заряд.
Точечное
представление
используется
для
исследования
движений
и
перемещений механических объектов. одним из важнейших движений механических
объектов является их вращение.
Но в современной механике при переходе к точечному представлению объектов
вращение исчезает. Т.е. исчезает важнейшее свойство и характеристика механического
2
состояния. Цель работы показать, что есть возможность описать это движение и в
точечном представлении.
Точечное представление вращательного движения
В современной механике вращение тел сводится к поступательному движению их
элементов и является в этом смысле производным, а не самостоятельным
механическим феноменом. Считается, что всегда можно свести вращение к
поступательному движению точечных механических объектов.
Это происходит на основе соотношения для момента количества движения
точечного объекта относительно произвольной точке ─ полюса:
 
l  p  r,
(1)
Где l ─ момент количества движения, p ─ импульс, r ─ радиус-вектор точечного
объекта относительно полюса.
Но если под понятие движения считать поступательное перемещение и вращение,
то под количеством движения надо полагать сумму собственного вращения тела и его
поступательного перемещения.
    
j  s  l  s  p  r,
(2)
Где s ─ собственный момент вращения механического объекта, который будем
называть спином. А момент импульса l будем называть кинетическим моментом.
Спин механического объекта есть полный момент количества его движения
относительно центра масс как полюса. В современной механике он определяется для
тела ─ неточечного объекта как:

 
S   pr
(3)
Здесь p и r есть импульсы и радиус-веторы относительно центра тела его частей.
Другими словами, спин ─ момент собственного вращения ─ в современной механике
принято считать имеющим чисто кинетический характер.
На самом деле оказалось, что при любом разбиении тела на части, необходимо
учитывать и собственные моменты вращения ─ спины его частей. Таким образом,
правильно спин тела записывать в виде:

  
S  s  p  r
(4)
2
3
Таким образом по современным представлениям спин и вращательное состояние не
сводится целиком к поступательному движению, и правильное представление момента
количества движения механического объекта в точечном представлении относительно
произвольного полюса есть:
     
j  s l  s  pr
(5)
А полный момент количества движения системы механических объектов в точечном
представлении определяется уравнением


J   j.
(6)
Таким образом, вращательное состояние механического объекта и совокурности
объектов
точечном
представлении
описывается
спиновой
составляющей
и
кинетической. Кинетическая составляющая не является имманентной характеристикой
точечного объекта, так как она зависит от выбора полюса и от выбора системы
наблюдения. Зато спиновая компонента ни от выбора полюса в данной системе
наблюдения, ни от выбора самой системы наблюдения (системы отсчета) в рамках
допустимого множества таких систем ─ инерциальных систем отсчета ─ не зависит.
Итак, мы приходим к заключению, что в рамках точечного представления
механических объектов он может характеризоваться не только скалярной интегральной
характеристикой ─ массой, но и аксиально-векторной ─ спином. Таким образом, нами
вводится новая имманентная характеристика точечных объектов в виде собственного
вращательного моменты ─ спина.
Отметим, что в микромеханике такая имманентная характеристика точечных
объектов использовалась с самого момента создания соответствующей механики ─
квантовой механики и является одной из главнейших характеристик микрообъектов.
Вращательные воздействия и взаимодействия
В
современной
механике
вращательное
воздействие
описывается
через
вращающий момент. Вращающий момент при этом имеет своим источником силу.
Если на тело действует сила (равнодействующая сила) F, то вращающий момент С этой
силы (силовой момент) равен:
  
С  F  r,
(7)
где r ─ плечо силы относительно центра масс тела.
3
4
Вполне понятно, что силовой вращающий момент возникает только от действия
нецентральных сил.
Но силы возникают от силового взаимодействия между телами, и мы можем
записать для вращательно силового воздействия на тела 1 и 2:

 
С12  F12  r1;

 
C21  F21  r2 .
(8)
Здесь r1 и r2 есть плечо силы относительно центров тел 1 и 2.. Но согласно закону


  
силового взаимодействия F12   F21, а r1  r2  r12 ─ радиус-вектор, соединяющий
центры масс тел. Отсюда складывая уравнения (2) получаем уравнение вращательносилового взаимодействия:


 
С12  С21  F12  r21.
(9)
Однако, вращательное воздействие возможно не только с помощью сил. Опыт
показывает, что существуют вращательные воздействия при наличии только
центральных сил или даже вообще отсутствии сил.
Назовем момент, не имеющий своим источников силу, крутящим моментом.
Крутящие моменты также возникают из взаимодействия тел. При этом опыт говорит,
что для крутящего взаимодействие справедливо соотношение:


B12  B21  0
(10)
Аналогично третьему закону Ньютона можно сформулировать закон крутящего
взаимодействия «крутящее действие равно крутящему противодействию».
Итак,
полный вращающий момент М, действующий на тело, равен сумме крутящего и
силового моментов: М = С + В, Складывая уравнения (3) и (4) получаем окончательно
уравнение вращательного взаимодействия тел:


 
M 12  M 21  F12  r21.
(11)
Хитрость тут та, что в этом уравнении вращательного взаимодействия чисто
вращательные воздействия оказались как бы скрыты и вид самого уравнения как бы
указывает на силы, как единственный источник вращательных воздействий. На самом
деле эти воздействия в уравнении (10) присутствуют.
Отметим, что уравнение (10) можно включить в число аксиом (законов) механики
наряду с тремя законами Ньютона.
4
5
Уравнение вращательного состояния
Уравнение вращательного состояния имеет вид:
      
s  M  B  C  B  F  r .
(11)
Здесь S ─ спин, B ─ крутящий момент, C ─ момент силы, F ─ сила, r ─ плечо силы
относительно центра тела.
Законы сохранения
В связи с новым законом механики требуется и модернизация законов
сохранения.
В современной механике используются два императивных закона сохранения. Это
закон сохранения количества движения под которым понимают суммарный импульс
системы, и закон сохранения момента количества движения, под которым понимают
суммарный момент импульса.


 
L   l   p  r  Const.
Но для системы в точечном представлении, в которой имеет место кроме
силового и вращательное взаимодействие, последний закон не имеет места.
Однако, мы покажем, что и в случае наличия вращательных взаимодействий
механика в точечном представлении может иметь второй закон сохранения. Это закон
сохранения полного момента количества движения, равного сумме всех спиновых и
кинетических моментов в замкнутой системе в инерциальной системе отсчета:


 
  
J   ji   (si  li )   (si  pi  ri )  Const.
(12)
Определим изменение величины J во времени:




dJ
dji
ds dp   dr

  i  i  ri  pi  i 
dt
dt
dt
dt
dt
  0  

 
   
  Bi  Fi  ri  Fi  ri   Bi   Fi  ri F  Fi  ri  Fi  ri 
 
  Fi  ri F  0.
()
Производная от расстояния дает скорость, которая коллинеарна импульсу и потому
этот слен обращается в нуль. Сумма крутящих моментов равна нулю в соответствии с
законом крутящего взаимодействия. ri, ri0, riF ─ есть плечо центра тела относительно
полюса, плечо силы относительно центра тела и плечо силы относительно полюса. Но
5
6
каждой силе есть противоположная, расположенная на той же прямой. Поэтому и
последняя сумма обращается в нуль. Таким образом, полный момент количества
движения сохраняется и при наличии вращательных взаимодействий.
Интересно, что этот закон сохранения, неизвестный в классической механике,
хорошо известен в квантовой механике и широко используется в ней.
В законе сохранения энергии надо учитывать не только энергию поступательного
движения, но и вращательную энергию тел.
Примеры решения задач на столкновение вращающихся тел
Рассмотрим задачи на столкновение твердых тел, в которых имеет место
вращательные взаимодействия. При этом возникает большое количество вариантов
взаимодействия. Будем использовать терминологию микромеханики для их описания.
Рассмотрим наиболее типичные случаи. .
1. Орбиталь-орбитальные взаимодействие. Это взаимодействие, при котором
отсутствует вращательные взаимодействия. Примером может служить столкновение
абсолютно гладких биллиардных шаров. Задачи эти решаются несколько столетий, мы
приведем некоторые решения только для полноты картины.
Рассмотрим нецентральное столкновение абсолютно гладких шаров. Пусть один
шар неподвижен, а второй ─ подвижен. При нецентральном столкновении в момент
контакта линия центров шаров наклонена к линии движения подвижного шара.
Раскладываем скорость движении на линию центров шаров и на перпендикуляр к этой
линии. Так как тангенциальные усилия абсолютно гладкими поверхноями не
передаются, то касательная составляющая скорости остается за движущимся шаров. А
по осевой линии происходит центральное взаимодействие. При абсолютно упругом
ударе подвижный шар берет всю скорость эту на себя. Таким образом, при упругом
ударе, подвижный шар движется с тангенциальной компонентой скорости, а
неподвижный – с нормальной к поверхности шаров в точке столкновения скоростью.
Таким образом, здесь идет обмен только импульсами. Никаких вращательных
взаимодействий нет. И даже если сами шары вращаются, то они просто сохраняют свое
вращательное состояние.
2. Спин-спиновое взаимодействие. Характерный пример ─ автомобильное
сцепление. Имеем два одноосных диска равных характеристик с шероховатыми
поверхностями. Диски неподвижны и находятся рядом друг с другом, но не в
зацеплении. Примем диски с однородным распределением массы по радиусу. Их
6
7
момент инерции равен I 
1 2
mr . Один из дисков имеет начальную скорость вращения
2
0, cпиновый момент равен S0  I0 
1 2
mr 0 . Второй диск неподвижен
2
В некоторый момент с помощью осевой силы мгновенного действия с малым
общим импульсом диски приводятся в зацепление с равной угловой скоростью, но без
поступательного движения по оси.
Имеем
уравнением
пример
чисто
взаимодействия
вращательного
для
взаимодействия,
вращающих
моментов
характеризуемого
M12  M 21  0 .
Или
M12  M ; M 21  M . Из уравнений вращательного воздействий
S1  S0  M ;
S2  M .
Из условий сохранения при спин-спиновом взаимодействии

начал ьное
S
 S;
конечное
Sk  S0  M  M  S0 .
А из условия зацепления для конечных значений имеем:
S1  S 2 ;
1
S0 ;
2
1
1  2  0 .
2
S1  S 2 
Баланс энергии будет.
1
S00 ;
2
1
 1 S 0 0  1
E1  E2  2
  S00  E0 ;
2
2 2 2  4
1
W  Е0  Ek  Е0 .
2
Е0 
Здесь W ─ есть выделившаяся немеханическая энергия, т.е. теплота. Таким образом,
начальная вращательная энергия при спин-спиновом взаимодействии разделяется
поровну. Половина для приведение во вращения ведомого диска, а половина
выделяется в виде тепла.
7
8
Внимательный анализ показывает, что в данном случае мы имеем классический
аналог
бозонного
взаимодействия.
Вращающийся
диск
(или
цилиндр),
взаимодействующий через свою плоскость (торец) есть наглядный образ квантового
объекта с целочисленным спином ─ бозона. Бозонное взаимодействие может
распространяться на множество дисков. Многодисковая коробка сцепления наглядный
образ бозонной конденсации. Отсюда следует вывод, видимо, одинаково верный и для
макромеханики, и микромеханики ─ бозонное взаимодействие всегда связано с
выделением энергии. О конкретных проявлениях этого закона в микромире здесь вряд
ли имеет смысл говорить.
3. Спин-орбитальное взаимодействие. Рассмотрим вновь два неподвижных
диска (или цилиндра), один из которых вращается, а второй неподвижен. Но
взаимодействие между ними идет не по плоскости (торцу), а по касательной к
окружности (по образующей цилиндра). В качестве момента инерции диска будем
использовать более общую формулу:
I  mr 2 .
Здесь  ─ формфактор диска, зависящий от распределения массы вдоль радиуса.
0≤≤1.  = 1 для тонкого кольца, ½ для однородного круга, 0 для круга, масса которого
сосредоточена в центре.
Рассмотрим два круга радиуса r, размещенные в одной плоскости вблизи друг
друга. Пусть в начальный момент времени один из дисков вращается с угловой
скорость 0, а второй ─ неподвижен. Пусть в некоторый момент диски вводятся в
безимпульсное (в направлении перемещения) мгновенное зацепление по окружности.
При этом скорости точек касания приобретают одну и ту же скорость.
Так как диски одинаковы, то их угловые скорости вращения станут одинаковыми.
Но вращаться они будут в разные стороны. Таким образом, если начальный момент
количества движения системы J0 имел исключительно спиновую составляющую J0 =
S0, то после столкновения общий спин станет равным нулю и момент количества
движения станет чисто кинетическим моментом:
  
 
J k  l1  l2  2 p1  r
Здесь мы имеем аналог фермионного взаимодействия ─ взаимодействия с
противоположными спинами. Причем принцип Паули здесь имеет самое наглядное
8
9
представление: во вращающееся зубчатое зацепление между двумя шестернями
невозможно ввести в зацепление с обоими третью.
Итак, мы видим, что один и тот же вращающийся объект может иметь как
бозонный, так и фермионный характер в зависимости от характера взаимодействия ─
по плоскости вращения или по периферийным точкам.
Наглядное макропредставление казалось бы сугубо квантовых объектов и их
отношений, думается, может оказаться полезным и самой квантовой механике, так как
принцип соответствия является одним из важнейших принципов построения квантовой
механики. Таки образом, кроме прямого влияние квантовой механики на классическую
через использование квантомеханического описания вращающихся объектов, возможно
и обратное влияние уже на квантовую механику макромеханики через более нагляное
представление квантовых аналогов вращающихся макрообъектов.
Заключение
Рассмотренная механика вращающихся объектов в точечном представлении
позволит решать новые задачи макромеханики. Одновременно это позволяет более
глубоко соединить две механические теории ─ классическую и квантовую механику и
может оказаться полезным для обеих теорий.
9
10
Примечание: написание фамилии на английском языке “Yurovitsky”
10