task_19668

Российская Федерация
Министерство путей сообщения
ГОУ ВПО «Дальневосточный государственный
университет путей сообщения МПС России»
Кафедра «Электротехника, электроника и электромеханика»
М.С. Иванова
СИНТЕЗ ЛИНЕЙНЫХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ
Методическое пособие к расчетно-графической работе по дисциплине
«Теория линейных электрических цепей железнодорожной автоматики,
телемеханики и связи»
Часть 1
Синтез двухполюсников
Хабаровск
Издательство ДВГУПС
2008
УДК 621.3.011.711(075.8)
ББК 3211.612я73
И 209
Рецензент:
Кандидат технических наук, доцент кафедры
«Электротехника, электроника и электромеханика»
Дальневосточного государственного университета
путей сообщения
Р.Х. Сайфутдинов
И
Иванова, М.С.
Синтез линейных электрических цепей. Методическое пособие к
расчетно-графическим заданиям по дисциплине «Теория линейных
электрических цепей железнодорожной автоматики, телемеханики и
связи». Синтез двухполюсников/ М.С. Иванова. – Хабаровск: Изд-во
ДВГУПС, 2008. - с.: ил.
Учебное пособие соответствует государственному образовательному
стандарту высшего профессионального образования направления
190400 «Системы обеспечения движения поездов».
Содержит методические рекомендации по решению задачи реализации
двухполюсных цепей и составлению их схем.
Предназначено для студентов дневной формы обучения, изучающих
«Теорию линейных электрических цепей».
УДК 621.3.011.711(075.8)
ББК 3211.612я73
ГОУ ВПО «Дальневосточный государственный университет
путей сообщения МПС России» (ДВГУПС), 2008
2
ПРЕДИСЛОВИЕ
Предлагаемое методическое пособие предназначено для студентов,
изучающих теорию линейных электрических цепей, и ставит целью обеспечить их необходимым теоретическим и практическим материалом при
выполнении расчетно-графической работы по синтезу двухполюсников. В
пособии рассматриваются методы реализации реактивных LCдвухполюсников, RL- и RC-двухполюсников первым и вторым методами
Фостера, первым и вторым методами Кауэра. На каждый из методов в соответствии с типом реализуемой цепи приведены примеры расчетов и
схемы двухполюсных цепей, реализуемых с помощью этих методов. Особое внимание уделено вопросу интерпретации операторных выражений
входных функций с точки зрения схемных решений.
Пособие содержит задания на расчетно-графическую работу, отличающиеся друг от друга числовыми значениями. Вариант задания выбирается в соответствии с трехзначным номером, присваиваемым каждому
студенту.
Перед началом выполнения расчетно-графической работы студент
должен изучить по учебнику, конспекту лекций и данному пособию необходимые разделы курса, посвященные теории двухполюсников и, в частности, задачам их синтеза.
3
1. СИНТЕЗ ЛИНЕЙНЫХ ПАССИВНЫХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ.
ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕИЯ.
Задача синтеза электрических цепей заключается в определении их
схем и значений элементов, составляющих эти схемы, по известным характеристикам. Если эти характеристики являются функциями времени, то
говорят что синтез осуществляется во временной области. Если же известная характеристика цепи представляет собой функцию частоты, синтез проводится в частотной области.
В предлагаемой расчетно-графической работе реализация линейных
пассивных электрических цепей, какими являются двухполюсные цепи,
осуществляется по их известным частотным характеристикам, представленным в операторной форме в виде отношения двух полиномов с вещественными коэффициентами вида
N(p) a n p n  a n  1 p n  1  ...  a1 p  a0
H(p) 

M(p) bm p m  bm  1 p m  1  ...b1 p  b0
(1.1a)
или
H(p) 
(p  po1 )(p  po2 )...(p  pon )
N(p)
,
k
M(p)
(p  p x1 )(p  p x2 )...(p  p xm )
(1.1б)
где
p - комплексная частота. В общем случае p  σ  jω . При гармоническом сигнале p  jω ;
p o1 , p o 2 , …, p on - нули функции H ( p ) , определяемые как корни
уравнения
p x1 , p x 2 , …, p xm
уравнения
k
an
.
bm
(1.2)
an p n  an1 p n1  ...  a1 p  a0  0 ;
- полюсы функции H ( p ) , определяемые как корни
bm p m  bm1 p m1  ...  b1 p  b0  0 ;
(1.3)
По своей физической сути функция H ( p ) может интерпретироваться
либо как входное сопротивление синтезируемой двухполюсной цепи
Z ( p ), либо как входная проводимость Y ( p ) этой цепи.
4
При задании частотных характеристик синтезируемых цепей в виде
(1.1а) или (1.1б) возникает вопрос, каким условиям должна удовлетворять
дробно-рациональная функция H ( p ) , чтобы она была физически реализуемой. Это во многом зависит от того, какой физический смысл имеет
данная функция. Если она представляет собой входное сопротивление
Z ( p ) или входную проводимость Y ( p ), функция H ( p ) должна быть положительной вещественной функцией, что имеет место при выполнении
следующих условий:
1. все коэффициенты a k и bk полиномов N ( p ) и M ( p ) должны быть
положительны и вещественны;
2. наибольшие степени операторной переменной p в N ( p ) и M ( p ) не
должны отличаться более, чем на единицу. Это же условие распространяется и на наименьшие степени p ;
3. все полюсы функции H ( p ) должны располагаться в левой полуплоскости. Они могут быть:
 вещественными, т.е. p xi  σ i ;
 комплексно-сопряженными, т.е. p xi  σ i  jωi ;
 чисто мнимыми, т.е. p xi   jωi ; в этом случае полюсы
 должны быть только простыми (не кратными) с действительными положительными вычетами;
4. все нули функции H ( p ) должны также находиться в левой полуплоскости. Они могут быть:
 вещественными, т.е. p oi  σ i ;
 комплексно-сопряженными, т.е. p oi  σ i  jωi ;
 чисто мнимыми, т.е. poi   jωi ; в этом случае полюсы должны быть
только простыми (не кратными) с действительными положительными
вычетами;
5. вещественная часть функции H ( p ) при чисто мнимых значениях операторной переменной p (т.е. p  jω ) должна быть неотрицательной,
т.е.
Re[ H ( jω )]  0.
Суть всех методов реализации пассивных электрических цепей, используемых в расчетно-графическом задании, в общем случае сводится к
представлению заданной функции H ( p ) в виде совокупности слагаемых,
каждое из которых есть операторное изображение сопротивления или
проводимости элементов R, L и C в отдельности или их комбинации. В
5
таблице 1 представлено соответствие типа элемента (или комбинации
двух элементов) цепи его операторному сопротивлению и проводимости.
Таблица 1
Основные элементы цепей и операторные
изображения их сопротивлений и проводимостей
№
пп
Элемент цепи
1
Z
С
R
Z( p ) 
L
2 kp
p 2  ω2
1
2k
C
, L
2k
ω2
kp
Z( p ) 
,
pσ
k
Rk, L 
σ
k
Z( p ) 
,
pσ
k
1
R , C
σ
k
4
C
L
5
R
C
6
R
7
R
k
1
, C
k
p
L
1
k
, L
k
p
Y ( p )  kp , C  k
Z( p )  k , R  k
3
Операторная проводимость
Y( p ) 
Z  kp , L  k
L
2
6
Операторное сопротивление
,
Z ( p )  k0  k1 p ,
R  k 0 , L  k1
Y( p )  k , R 
Y( p ) 
1
k
k0
 k1 p ,
p
1
, C  k1
k0
k
Y ( p )  k0  1 ,
p
1
1
R , L
k
k0
L
Y ( p )  k0  k1 p
1
R  , C  k1
k0
k
,
pσ
σ
1
R , L
k
k
Y( p ) 
Окончание таблицы 1
k1
,
p
1
R  k0 , C 
k
k
Z ( p )  k0 p  1 ,
p
1
L k, C 
k
Z ( p )  k0 
8
R
C
9
L
C
kp
,
pσ
1
k
R , C
k
σ
2 kp
Y( p )  2
,
2
p ω
1
2k
L
, C
2k
ω2
Y( p ) 
В данной таблице ω - значение полюса, лежащего на мнимой оси; σ значение полюса, лежащего на вещественной оси.
2. СИНТЕЗ ДВУХПОЛЮСНИКОВ
2.1. Содержание задания
Данные для выполнения расчетно-графического задания выбираются
из таблицы 2 в соответствии с вариантом.
Содержание задания:
1. изобразить графически расположение нулей и полюсов на плоскости комплексного переменного p в соответствии с их выбранными
значениями;
2. по расположению нулей и полюсов определить из каких элементов
строится синтезируемая схема;
3. составить выражение входной характеристики;
4. реализовать функцию по первой и второй формулам Фостера;
5. реализовать функцию по первому и второму методам Кауэра.
В результате выполнения задания п.п. 4 и 5 должны быть построены схемы двухполюсников с указанием величин элементов, составляющих каждую из четырех схем.
7
Таблица 2
Данные к расчетно-графическому заданию
1-я цифра
варианта
Входная
функция
2-я цифра
варианта
Нули
Полюсы
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Z(p)
Z(p)
Y(p)
Z(p)
Y(p)
Y(p)
Z(p)
Y(p)
Y(p)
Z(p)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0
1
j
2
j
1
4
1
1
0
1

3
2
0

1
2
2
p02  j 1
2
 j
1
4
2
3
 j1
3

14
5
 j2

3
2
4
p03
-
j
1
2
-
-
 j1
-
-
 j2
-
-
p04
-
 j
1
2
-
-
-
-
-
-
-
-
p x1
0
0
3

4
0
1
j
2
 0 .5
1
2
j
5

1
4

3
2
p x2
 j1
 j
1
3
2
1
 j
2
2
12
5
2
 j
5
1

5
2
p x3
 j1
 j
1
3
-
-
-
-
-
p01
8
1

25
20
-

-
-
Окончание таблицы 2
Полюс и значение
вычета в нем
3-я цифра
варианта
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0
p x1
p x1
p x2
p x1
p x2
p x1
p x2
p x1
p x2
p x1
0.75
0 .6
0 .2
0.25
2
0 .3
1.45
1 .2
1 .5
0 .8
2.2. Синтез реактивных двухполюсников
Реактивными называются двухполюсники, схемы которых состоят
только из элементов L и C . Характерными признаками двухполюсников
такого вида являются:
1. нули и полюсы входной функции H ( p ) простые и лежат на мнимой оси
jω взаимно чередуясь. В начале координат плоскости комплексной переменной p может располагаться как нуль, так и полюс;
2. в выражении (1.1а) наибольшая (наименьшая) степень полиномов числителя и знаменателя отличаются на единицу. Это означает что или
полином N ( p ) четный, а полином M ( p ) - нечетный, или наоборот;
3. значения самой функции H ( p ) на мнимой оси (т. е. p  jω ) являются
чисто мнимыми и возрастают с ростом частоты, т.е.
dH ( jω )
 0.
dω
Реализация двухполюсника по первому методу Фостера подразумевает разложение функции входного сопротивления Z ( p ) на простые
дроби
k0 N 2k i p
Z ( p )  k p 

p i 1 p 2  ωi2
(2.1)
9
В этом разложении:
N - число пар комплексно-сопряженных полюсов функции Z ( p );
k  , k 0 , k i - постоянные действительные, положительные коэффициенты, определяемые как вычеты функции Z ( P ) в полюсах p   , p  0 и
pi  jωi соответственно и вычисляемые по формулам:
Z( p )
,
p 
p
k   lim
 N( p ) 
,
k0  Re s Z ( p )   '

p 0
 M ( p )  p 0
 N( p ) 
.
k i  Re s Z ( p )   '

p  jωi
 M ( p )  p  jωi
'
В последних двух формулах M ( p ) - производная полинома знаменателя функции Z ( p ).
Сравнивая каждое из слагаемых с данными табл. 1 нетрудно заметить,
что первое из них представляет собой индуктивное сопротивление (№1 по
таблице), индуктивность которого L  k  , второе - емкостное сопро-
1
, а выражение под знаком
k0
2k i
суммы – параллельное соединение индуктивности Li 
и емкости
2
ωi
1
(№4 по таблице).
Ci 
2k i
тивление (№2 по таблице) с емкостью C0 
Очевидно, что схема двухполюсника, реализуемого с помощью разложения (2.1), должна представлять собой последовательное соединение
данных сопротивлений (рис. 2.1.).
L Co
10
L1
Li
LN
C1
Ci
CN
Рис. 2.1. Первая каноническая схема Фостера
Данная схема содержит индуктивность L только в том случае, когда
степень полинома числителя на единицу превышает степень полинома
знаменателя (функция Z ( p ) имеет полюс на бесконечности), и емкость
C 0 , если в полиноме знаменателя переменная p может быть вынесена за
скобки как множитель.
Реализация двухполюсника по второму методу Фостера подразумевает разложение на простые дроби функции входной проводимости
Y( p ) 
k0'
'
k p 
p
N

2ki' p
2
2'
i 1 p  i
(2.2)
Здесь:
N - число пар комплексно-сопряженных полюсов функции Y ( p );
'
'
'
k
, k0 , k i - постоянные действительные положительные коэффициенты, определяемые как вычеты функции Y ( p ) в полюсах p   , p  0 и
p  jω'i соответственно и вычисляемые по формулам:
Y( p )
,
p  p
'
k
 lim
 N( p ) 
,
k0'  Re s Y ( p )   '

p 0
 M ( p )  p 0
 N( p ) 
.
k i'  Re s Z ( p )   '

p  jωi
 M ( p )  p  jω'i
'
В этих формулах M ( p ) так же есть производная полинома знаменателя
функции Y ( p ).
Сопоставив каждый член разложения (2.2) с данными табл. 1 можно
сделать вывод, что первое слагаемое есть емкостная проводимость (стро'
ка №2) со значением емкости C   k  , второе – индуктивная проводи-
11
мость (строка №1) со значением индуктивности L0 
1
k0'
, а дробное выра-
жение, стоящее под знаком суммы – проводимость ветви с последовательным соединением элементов Li 
2k i
1
и Ci 
(строка №9).
2k i
ωi2
Схема двухполюсника, соответствующая разложению (2.2), изображена на рисунке 2.2.
C Lo
L1
Li
LN
C1
Ci
CN
Рис. 2.2. Вторая каноническая схема Фостера
Синтезируемый двухполюсник содержит емкость C  только в том случае, когда степень полинома числителя функции Y ( p ) на единицу превышает степень полинома знаменателя (функция Y ( p ) имеет полюс на
бесконечности), и индуктивность L0 , если в знаменателе переменная p
может быть вынесена за скобки как множитель (функция Y ( p ) имеет полюс при p  0 ).
Синтез двухполюсников методами Кауэра производится путем представления заданной операторной входной характеристики H ( p ) в виде
лестничной дроби с элементами типа k i p или
1
. Если H ( p ) есть функki p
ция входного сопротивления, то цепная дробь имеет вид
Z( p )  Z1( p ) 
12
1
Y2 ( p ) 
1
Z3( p ) 
1
Y4 ( p )  ...
(2.3)
При этом если члены полиномов числителя и знаменателя входной функции сопротивления располагаются в порядке убывания степеней переменной p , то цепная дробь записывается как
Z ( p )  pL1 
1
pC 2 
(2.3а)
1
pL3 
1
pC4  ...
которой соответствует первая каноническая схема Кауэра, изображенная на рисунке 2.3.
L1
C2
LN-1
L3
C4
CN-2
CN
Рис. 2.3. Первая каноническая схема Кауэра
При расположении членов полиномов числителя и знаменателя функции
Z ( p ) в порядке возрастания степеней переменной p , цепная дробь будет иметь вид
Z( p ) 
1

1
pC1

pL2
1
1
(2.3б)
1
1

1
pC3
 ...
pL4
которой соответствует вторая каноническая схема Кауэра, изображенная на рисунке 2.4.
13
C1
C3
L2
CN-1
L4
LN
LN-2
Рис. 2.4. Вторая каноническая схема Кауэра
Если в качестве входной функции двухполюсника выступает функция
входной проводимости Y ( p ), то в общем виде цепная дробь будет выглядеть как
Y ( p )  Y1 ( p ) 
1
Z2( p ) 
(2.4)
1
Y3 ( p ) 
1
Z 4 ( p )  ...
При расположении слагаемых полиномов числителя и знаменателя по
убывающим степеням переменной p цепная дробь будет иметь вид
Y ( p )  pC1 
1
pL2 
(2.4а)
1
pC3 
1
pL4  ...
и, соответственно, первая каноническая схема Кауэра для этого случая
изображена на рисунке 2.5.
L2
C1
C3
LN-1
CN-2
Рис. 2.5. Первая каноническая схема Кауэра.
14
CN
Если слагаемые полиномов числителя и знаменателя расположены по
возрастающим степеням переменной p , то лестничная дробь есть дробь
вида
Y( p ) 
1

pL1
1
(2.4б)
1
1

1
1
pC 2

1
pL3
 ...
pC4
На рисунке 2.6 изображена соответствующая ей вторая каноническая
схема Кауэра.
C2
L1
CN-1
L3
LN-2
LN
Рис. 2.6. Вторая каноническая схема Кауэра
Общим для всех случаев реализации реактивных двухполюсников методами Кауэра является то, что во всех схемах элементы с индексами 1 и
N могут отсутствовать. Первая каноническая схема Кауэра содержит элемент с индексом 1 (рис. 2.3 и 2.5) только в том случае, когда операторные
входные функции (сопротивление или проводимость) имеют полюс на
бесконечности. Вторая каноническая схема Кауэра содержит элемент с
индексом 1 (рис. 2.4 и 2.6) только тогда, когда операторные входные
функции (сопротивление или проводимость) имеют полюс в нуле. Наличие
или отсутствие элементов с индексом N зависит лишь от числа шагов
деления полиномов числителя и знаменателя до момента получения нулевого остатка. При выполнении деления необходимо следить, чтобы
численные коэффициенты при переменной p оставались положительными, а степени самой переменной были равны 1 или –1. Если же в процессе деления какой-либо из коэффициентов окажется отрицательным, то на
15
данном шаге необходимо изменить расположение слагаемых полиномов,
т.е. перейти либо от убывания степеней переменной p к их возрастанию,
либо наоборот.
2.3 Синтез RL-двухполюсников.
RL-двухполюсниками называются двухполюсники, схемы которых содержат только элементы R и L. У таких двухполюсников операторные
входные функции сопротивления и проводимости обладают рядом характерных особенностей. Так для функции входного сопротивления Z ( p ) :
1. высшая степень полинома числителя должна быть больше или равна
высшей степени полинома знаменателя;
2. нули и полюсы расположены на отрицательной вещественной полуоси,
взаимно чередуясь. При этом первым к началу координат лежит нуль.
Для функции входной проводимости Y ( p ):
1. высшая степень полинома числителя должна быть меньше или равна
высшей степени полинома знаменателя;
2. нули и полюсы расположены на отрицательной вещественной полуоси,
взаимно чередуясь. При этом первым к началу координат лежит полюс.
Согласно первому методу Фостера функция Z ( p ) разлагается на
простые дроби
N
ki p
i 1 p  σ i
Z ( p )  k  p  k0  
(2.5)
В этом разложении:
N - число полюсов функции
1
Z( p );
p
k  , k 0 , k i - постоянные действительные, положительные коэффици1
Z ( p ) в полюсах p   ,
енты, определяемые как вычеты функции
p
p  0 и pi  σ i соответственно и вычисляемые по формулам:
Z( p )
k   lim
,
p 
p
1
  N( p ) 
,
k0  Re s  Z ( p )   '

p 0  p
  M ( p )  p0
16
1
  N( p ) 
,
ki  Re s  Z ( p )   '

p   σi  p
  M ( p )  p σ
i
'
где M ( p ) - производная знаменателя функции
1
Z( p ).
p
Сравнивая каждое из слагаемых разложения (2.5) с данными таблицы
1 делаем вывод, что первое из них представляет собой индуктивное сопротивление (строка №1) с индуктивностью L  k  , второе – активное
сопротивление R0  k 0 (строка №3), а выражение под знаком суммы –
параллельное соединение активного сопротивления Ri  k i и индуктив-
k
ности Li  i (строка №5).
σi
Схема реализации, соответствующая разложению (2.5), изображена на
рисунке 2.7.
L
Ro
L1
Li
R1
Ri
LN
RN
Рис. 2.7. Первая каноническая схема Фостера.
По второму методу Фостера раскладываем на простые дроби
функцию входной проводимости
Y( p ) 
'
k
N
k0'
k i'


p i 1 p  σ 'i
(2.6)
В этом разложении:
N - число полюсов функции Y ( p );
'
'
'
k
, k0 , k i - постоянные действительные, положительные коэффициенты, определяемые как вычеты функции Y ( p ) в полюсах p   , p  0 и
pi  σ i соответственно и вычисляемые по формулам:
17
k   lim Y ( p ) ,
p
 N( p ) 
,
k0  Re sY ( p )   '

p 0
 M ( p )  p 0
 N( p ) 
,
ki  Re s Y ( p )   '

p   σi
 M ( p )  p   σi
'
где M ( p ) - производная знаменателя функции Y ( p ).
Сравнивая каждое из слагаемых разложения (2.6) с данными таблицы 1
делаем вывод, что первое из них представляет собой активную проводи-
1
мость, соответствующую сопротивлению R 
'
(строка №3), второе –
k
индуктивную проводимость со значением индуктивности L0 
1
k0'
(строка
№2), а выражение, стоящее под знаком суммы –последовательное соединение активного сопротивления Ri 
σi
1
и индуктивности Li 
(строка
ki
ki
№7).
Схема реализации, соответствующая разложению (2.6), изображена на
рисунке 2.8.
R Lo
R1
Ri
RN
L1
Li
LN
Рис. 2.8. Вторая каноническая схема Фостера
Разложение входных функций RL-двухполюсников в цепную дробь по
методам Кауэра осуществляется в соответствии с теми же правилами, что
были изложены в п. 2.2 для реактивных двухполюсников. Схемы реализации RL-двухполюсников отличаются от схем реактивных двухполюсников
18
лишь тем, что в них емкостные элементы заменяются активными сопротивлениями.
2.4. Синтез RC-двухполюсников.
RC-двухполюсниками называются двухполюсники, схемы которых содержат только элементы R и L. Характерными особенностями операторных входных функций сопротивления и проводимости являются следующие. Для функции входного сопротивления Z ( p ):
1. высшая степень полинома числителя должна быть меньше или равна
высшей степени полинома знаменателя;
2. нули и полюсы расположены на отрицательной вещественной полуоси,
взаимно чередуясь. При этом ближайшим к началу координат является
полюс.
Для функции входной проводимости Y ( p ):
1. высшая степень полинома числителя должна быть меньше или равна
высшей степени полинома знаменателя;
2. нули и полюсы расположены на отрицательной вещественной полуоси,
взаимно чередуясь. При этом первым к началу координат лежит полюс.
Согласно первому методу Фостера функция Z ( p ) разлагается на
простые дроби
k0 N k i
Z ( p )  k 

p i 1 p  σ i
(2.7)
В этом разложении:
N - число полюсов функции Z ( p );
k  , k 0 , k i - постоянные действительные, положительные коэффициенты, определяемые как вычеты функции Z ( p ) в полюсах p   , p  0 и
pi  σ i соответственно и вычисляемые по формулам:
k   lim Z ( p )
p
 N( p ) 
,
k0  Re sZ ( p )   '

p 0
 M ( p )  p 0
19
 N( p ) 
,
k i  Re s Z ( p )   '

p   σi
 M ( p )  p   σi
'
где M ( p ) - производная знаменателя функции Z ( p ).
Сравнивая каждое из слагаемых разложения (2.5) с данными таблицы
1 делаем вывод, что первое из них представляет собой активное сопротивление (строка №3) R  k  , второе – емкостное сопротивление со
1
(строка №2), а выражение под знаком суммы
k0
k
– параллельное соединение активного сопротивления Ri  i и емкости
σi
1
Ci  (строка №6).
ki
значением емкости C0 
Схема реализации, соответствующая разложению (2.5), изображена на
рисунке 2.9.
R
R1
Ri
RN
C1
Ci
CN
Co
Рис. 2.9. Первая каноническая схема Фостера.
По второму методу Фостера раскладываем на простые дроби
функцию входной проводимости
Y( p ) 
'
k
p  k0'
N

'
i 1 p  σ i
В этом разложении:
N - число полюсов функции
20
k i' p
1
Y ( p );
p
(2.8)
'
'
'
k
, k0 , k i - постоянные действительные, положительные коэффициенты, определяемые как вычеты функции Y ( p ) в полюсах p   , p  0 и
pi  σ i соответственно и вычисляемые по формулам:
1
Y( p ),
p  p
'
k
 lim
1
  N( p ) 
,
k0'  Re s  Y ( p )   '

p 0  p
  M ( p )  p 0
1
  N( p ) 
,
ki'  Re s  Y ( p )   '

p   σi  p
  M ( p )  p σ
i
'
где M ( p ) - производная знаменателя функции
1
Y ( p ).
p
Сравнивая каждое из слагаемых разложения (2.8) с данными таблицы
1 делаем вывод, что первое из них представляет собой емкостную прово'
димость, соответствующую значению емкости C   k  (строка №2), второе – активную проводимость, соответствующую сопротивлению R0 
1
k0'
(строка №3), а выражение, стоящее под знаком суммы - последовательное соединение активного сопротивления Ri 
1
ki'
k i'
и емкости C i 
σi
(строка №8).
Схема реализации, соответствующая разложению (2.6), изображена на
рисунке 2.10.
C
Ro
R1
Ri
RN
C1
Ci
CN
Рис. 2.10. Вторая каноническая схема Фостера
21
Разложение входных функций RС-двухполюсников в цепную дробь по
методам Кауэра осуществляется в соответствии с теми же правилами, что
были изложены в п. 2.2 для реактивных двухполюсников. Схемы реализации RС-двухполюсников отличаются от схем реактивных двухполюсников
лишь тем, что в них индуктивные элементы заменяются активными сопротивлениями.
3. ПРИМЕРЫ ПОСТРОЕНИЯ ДВУХПОЛЮСНИКОВ
3.1. Пример составления выражения функции входного сопротивления
Пусть по условию задания требуется составить выражение функции входного сопротивления реактивного
двухполюсника,
имеющего
нули
po1,2   j ,
+j
j3
po3,4   j 3 и полюсы p xo  0 , p x1,2   j 2 . Известно
j2
также, что вычет данной функции в нулевом полюсе
равен 2. В соответствии с (1.1б) можно записать
j
+
Z( p ) 
-j
-j2
-j3
Рис. 3.1. Полюснонулевое изображение
функции
входного
сопротивления реактивного двухполюсника.

k ( p  j )( p  j )( p  j 3 )( p  j 3 )

p( p  j 2 )( p  j 2 )
k ( p 2  1 )( p 2  9 )
p( p 2  4 )
p3  4 p
и, кроме этого,
 p 4  10 p 2  9 
9k
Re sZ ( p )  k

 2.

2
p 0
4
3 p  4  p0

Отсюда k 
сопротивления есть
22
k
p 4  10 p 2  9
8
, и искомое выражение функции входного
9
Z( p ) 
8 p 4  80 p 2  72
9 p  36 p
3
.
Графическое изображение расположения нулей и полюсов для данной
функции представлено на рис. 3.1.
3.2. Синтез реактивного двухполюсника
Требуется
Z( p ) 
реализовать
p  10 p  9
4
2
p3  4 p
функцию
входного
сопротивления
, полюсы которой: p x1  0 , p x 2   j 2 , p x 3   j 2 .
По первому методу Фостера заданную функцию разлагаем в ряд
Z(p)  k  p 
k0 n 2k i p
.
 2
2
p i 1 p  i
Поскольку степень числителя больше степени знаменателя, L  0 .
Так как существует полюс в нуле, то k 0  0 . Поскольку число пар комплексно-сопряженных полюсов равно единице, то и количество слагаемых, стоящих под знаком суммы, также равно единице. Находим коэффициенты:
Z( p )
p 4  10 p 2  9
k   lim
 lim
 1,
3
p p
p
p 4p
 p 4  10 p 2  9 
9
,
k0  Re sZ ( p )  


2
p 0
 3 p  4  p0 4
 p 4  10 p 2  9 
16  40  9 15
k1  Re s Z ( p )  

 .

2
p  j 2
 12  4
8
 3 p  4  p  j 2
Тогда
9
15
15
2 p
p
9
4
8
4
.
Z(p)  p   2
 p

p p 4
4 p p2  4
В этом разложении:
23
15/16
L  k   1Гн ,
15
2k
15
L1  21  4 
Гн ,
4
16
1
1 4
1
4
С0 
 Ф , С1 
 Ф.
k0 9
2k1 15
1
4/9
4/15
Рис. 3.2. Схема реализации реактивного двухполюсника по
первому методу Фостера
Схема двухполюсника изображена на рис.3.2.
По второму методу Фостера синтезируем схему, имеющую входную проводимость
1
p3  4 p
.
Y(p) 

Z(p) p 4  10 p 2  9
Приравнивая нулю знаменатель этой дроби, находим полюсы:
p x1   j1, p x 2   j1 , p x 3   j 3 , p x 4   j 3 . Разложение функции Y(p)
в ряд согласно данному методу есть
Y( p ) 
k0'
'
k p 
p
n

i 1 p
2ki' p
2
 i' 2
Степень числителя выражения для Y(p) меньше степени знаменателя,
следовательно первое слагаемое разложения равно нулю, т.к. k   0 .
'
Кроме этого k0  0 , поскольку нет полюса в нуле. Т.к. число пар комплексно-сопряженных полюсов равно двум, то и количество слагаемых, стоящих
под знаком суммы, также равно двум. Определяем их коэффициенты:
'
k1'
24
 p3  4 p 
j3
3
 Re s Y ( p )   3

 ,

p  j
 4 p  20 p  p j j16 16
k 2'
 p3  4 p 
 j15 5
.
 Re s Y ( p )   3



p  j 3

j
48
16
 4 p  20 p  p j 3
3
15
3
5
p 2
p
p
p
16
16
8
8
.
Y(p)  2



p  1 p2  9 p2  1 p2  9
2
В итоге получаем
Находим значения индуктивностей и емкостей:
8/3
3/8
8/5
5/72
2k 1
2k 2

12
3
 Ф,
8
5
Ф,
2
72
2
1
8
L1 
 Гн ,
2k1 3
1
8
L2 
 Гн .
2k 2 5
С2 
Рис. 3.3. Схема реализации реактивного двухполюсника по второму методу Фостера
С1 
Схема полученного двухполюсника представлена на рис. 3.3.
Согласно первому методу Кауэра реализуем входную функцию Z(p) ,
располагая степени полиномов числителя и знаменателя по убыванию,
т.е.
Z( p ) 
p 4  10 p 2  9
p3  4 p
.
Делим числитель на знаменатель:
25
3
p 4  10 p 2  9 p  4 p
p  Z1( p )
p4  4 p2
p3  4 p
6 p2  9
3
p3  p 1 p  Y ( p )
2
2
6
6 p2  9 5 p
2
6 p2
12
5
p 9 5 p  Z3( p )
2
5
5
p
p  Y4 ( p )
2
18
0
Результат деления позволяет сделать вывод, что в цепной дроби вида
(2.3а) Z 1 ( p ) есть индуктивное сопротивление
12/5
1
со значением индуктивности L1  1 Гн, проводимость Y2 ( p ) определяется емкостным
элементом со значением C 2 
1/6
1
Ф, сопротив6
5/18
лению Z 3 ( p ) соответствует индуктивность
12
Гн, а проводимости Y4 ( p ) - емкость
5
5
C4 
Ф.
18
L3 
Рис.3.4. Схема реализации
реактивного двухполюсника
по первому методу Кауэра.
Схема двухполюсника, реализованного данным методом, представлена на рис. 3.4.
По второму методу Кауэра реализуем входную функцию Z(p) , располагая степени полиномов числителя и знаменателя по возрастанию, т.е.
Z( p ) 
9  10 p 2  p 4
Делим числитель на знаменатель:
26
4 p  p3
.
9  10 p 2  p 4 4 p  p 3
9
9
 Z1( p )
9  p2
4p
4
31 2
p  p4
4 p  p3
4
16 3
4p
p 16
 Y2 ( p )
31
31 p
31 2
15 3
p  p4
p
4
31
31 2
961
p
 Z3( p )
4
60 p
15 3 p 4
p
31
15
15 3 31 p  Y4 ( p )
p
31
0
4/9
31/16
60/961
31/15
Рис. 3.5. Схема реализации реактивного
двухполюсника
по
второму методу Кауэра.
По результатам деления в соответствии с (2.3б)
определяем значения элементов, входящих в реализуемую цепь: емкостному сопротивлению Z 1 ( p )
4
Ф, прово9
31
димости Y2 ( p ) - значение индуктивности L2 
16
Гн, емкостному сопротивлению Z 3 ( p ) - значение
60
емкости C 3 
Ф, а проводимости Y4 ( p ) - ин961
31
дуктивность L4 
Гн.
15
соответствует значение емкости C1 
Схема двухполюсника, реализованного данным методом, представлена на рис. 3.5.
27
3.3. Синтез RL-двухполюсников
Требуется
Z( p ) 
реализовать
2 p2  4 p
p 4p3
2
функцию
входного
сопротивления
, имеющую полюсы: p x1  1 , p x 2  3 .
Согласно первому методу Фостера разложение на простые дроби в
соответствии с (2.5) есть
N
ki p
.
p

σ
i 1
i
Z ( p )  k  p  k0  
Коэффициенты разложения определяем как вычеты функции
1
Z( p ):
p
1
1 2 p( p  2 )
2p 4
Z( p ) 

.
p
p p2  4 p  3 p2  4 p  3
1
Z ( p ) меньше степени знаменателя
p
полюс на бесконечности отсутствует, а это значит, что k   0 . Знаменатель этой функции не содержит множителя p , следовательно нет полюса
в нуле и k 0  0 . Поскольку исходная функция имеет два полюса, то колиТ.к. степень числителя функции
чество слагаемых, стоящих под знаком суммы, равно двум. Определяем
коэффициенты k 1 и k 2 :
 2 p  4  2 p  4 
1

k1  Re s  Z ( p )  Re s  2
 1,


p 1 p
p


1
2
p

4

 p 1
 p  4 p  3 
 2 p  4  2 p  4
1

k 2  Re s  Z ( p )  Re s  2
 1.


p 3  p
 p 3  p  4 p  3   2 p  4  p 3
В результате получаем Z ( p ) 
p
p

. Т.е. реализуемая схема
p1 p 3
состоит из последовательного соединения двух попарно параллельных
сопротивлений и индуктивностей. Находим величины элементов и строим
схему:
28
1
R1  k1  1 Ом,
1
1
L1 
1/3
Рис. 3.6. Схема реализации RLдвухполюсника по первому методу
Фостера.
k1
1

1
 1 Гн,
1
R2  k 2  1 Ом.
L2 
k2
2

1
Гн.
3
Схема двухполюсника, реализованного данным методом, изображена на
рис. 3.6.
По второму методу Фостера на простые дроби раскладываем
1
p2  4 p  3
функцию проводимости Y ( p ) 
. В соответствии с

2
Z( p )
2p 4p
(2.6) имеем
Y( p ) 
'
k
N
k0'
k i'


.
p i 1 p  σ 'i
Эта функция имеет полюсы: p x1  0 , p x 2  2 . Число слагаемых,
стоящих под знаком суммы, равно единице, поскольку функция Y(p) имеет
один полюс, отличный от нуля и бесконечности. Определяем коэффициенты разложения:
p2  4 p  3
'
k
 lim Y ( p )  lim
k0'
 p2  4 p  3
3
 Re sY ( p )  
 ,

p 0
 4 p  4  p0 4
p
p
2 p2  4 p

1
,
2
 p2  4 p  3
1
 Re s Y ( p )  
 .

p 2
 4 p  4  p2 4
1
1 3
В результате получаем Y ( p )  
 4 . Три слагаемых в полу2 4p p2
k1'
ченном выражении для функции проводимости соответствуют трем параллельным ветвям в синтезируемой схеме, что показано на рис. 3.7.
29
Определяем величины элементов, входящих
в схему:
8
R 
L0 
1
'
k
1
k0'
 2 Ом,
R1 
4
Гн,
3
L1 

 1'
k1'
1
k1'

2
2
 8 Ом,
1
4
4/3
4
 4 Гн.
Рис. 3.7. Схема реализации RL-двухполюсника по
второму методу Фостера.
По первому методу Кауэра реализуем заданную функцию Z ( p ), располагая степени полиномов числителя и знаменателя по убыванию, т.е.
Z( p ) 
2 p2  4 p
p 4p3
2
.
Делим числитель на знаменатель:
p2  4 p  3
2 p2  4 p
2 p2  8 p  6 2
4 p 6
В результате деления получены отрицательные слагаемые, что не отвечает условию физической реализации данной функции. Это означает,
что элемент, соответствующий первому слагаемому Z 1 ( p ) в цепной дроби отсутствует, а реализация схемы начинается с элемента, соответствующего проводимости Y2 ( p ). Т.е. дальнейшее деление производим для
функции проводимости
1
p2  4 p  3
:
Y( p ) 

2
Z( p )
2p 4p
30
p2  4 p  3 2 p2  4 p
1
p2  2 p
 Y2 ( p )
2
2
2p 4p 2p3
2 p2  3 p p  Z ( p )
3
2p3 p
2p
2  Y4 ( p )
p 3
p 1
0 3 p  Z5 ( p )
1
2
1/3
1/2
Рис.3.8. Схема реализации RLдвухполюсника по первому методу
Кауэра.
Согласно делению элементом, соответствующим проводимости Y 2( p ) , является сопротивление параллельной ветви R 2  2 Ом, сопротивление Z 3 ( p )
есть индуктивное сопротивление с параметром L3  1 Гн, проводимость Y 4( p )
определяет
активное
сопротивление
R4 
1
Ом, а Z 5 ( p ) определяет индук2
тивное сопротивление со значением индуктивности L5 
1
Гн.
3
Схема двухполюсника, построенного с помощью данного метода,
представлена на рис. 3.8.
Реализуем заданную функцию по второму методу Кауэра, располагая слагаемые числителя и знаменателя по возрастанию степеней, т.е.
Z( p ) 
4 p  2 p2
34p p
2
.
Делим числитель на знаменатель
4 p  2 p2 3  4 p  p2
3  4 p  p2 1
 3  p2
31
Как видим, такое деление опять приводит к появлению отрицательных
коэффициентов. Далее поступаем аналогично тому, как описано в предыдущем примере, т.е. деление производим для функции проводимости
Y( p ) 
3  4p  p 2
4p  2p
2
:
3  4 p  p2 4 p  2 p2
3
3
3 p
 Y2 ( p )
2
4p
5
2
4 p  2 p2 p  p
2
8 2
4p p 8
 Z3( p )
5
5
2
5
p  p2 p2
5
2
5
25
p
 Y3 ( p )
2
4p
2 2 2
p p
5
2 2 2 Z ( p)
p
4
5
5
0
8/5
Проводимость Y 2( p ) определяет индуктивный элемент со значением пара-
4
Гн, сопротивление Z 3 ( p )
3
8
есть активное сопротивление R3 
Ом,
5
индуктивной проводимости Y 4( p ) соот4
ветствует параметр L4 
Гн, и сопро25
метра L2 
4/3
4/25
Рис. 3.9. Схема реализации RLдвухполюсника по второму методу
Кауэра
тивлению Z 5 ( p ) - активное сопротивление R5 
32
8/5
8
Ом.
5
Схема реализации двухполюсника данным методом представлена на
рис. 3.9.
3.4. Синтез RC-двухполюсников
Требуется
Z( p ) 
реализовать
p2  4 p  3
p  2p
2
функцию
входного
сопротивления
, имеющую полюсы: p x1  0 , p x 2  2 .
Разложение данного выражения на простые дроби по первому методу Фостера имеет вид
k0 N k i
.
Z ( p )  k 

p i 1 p  σ i
Первые два слагаемых разложения отличны от нуля, поскольку существуют полюсы и на бесконечности, и в начале координат. Число слагаемых, стоящих под знаком суммы, равно единице, поскольку существует
один полюс, отличный от нуля и бесконечности. Находим коэффициенты:
k   lim Z ( p )  lim
p
p
p2  4 p  3
p  2p
2
 1,
 p2  4 p  3
3
,
k0  Re sZ ( p )  


p 0
2
p

2
2

 p0
 p2  4 p  3
1
.
k1  Re s Z ( p )  


p 2
2
p

2
2

 p2
3
1
Т.е. получили Z ( p )  1  2  2 . Согласно этому выражению схеp p2
ма реализации содержит последовательно включенные активное сопротивление R  k   1 Ом, конденсатор емкостью С0 
1 2
 Ф и паралk0 3
33
лельные друг другу резистор сопро-
1/4
k1
1
тивлением R1 
 Ом и конден1 4
1
сатор емкостью С1 
 2 Ф.
k1
Схема такого двухполюсника представлена на рис. 3.10.
1
2/3
2
Рис. 3.10. Схема реализации RCдвухполюсника по первому методу
Фостера.
По второму методу Фостера
реализуется функция входной проводимости, т.е. функция
Y(p) 
p2  2 p
p 4p3
2
.
Согласно (2.8) разложение на простые дроби имеет вид
Y( p ) 
'
k
p  k0'
N

k i' p
'
i 1 p  σ i
,
'
'
где коэффициенты k  , k0 и k i определяются как вычеты функции
'
1
Y ( p ) в соответствующих полюсах:
p
1
1 p( p  2 )
p2
Y( p ) 

.
p
p p2  4 p  3 p2  4 p  3
Поскольку степень полинома знаменателя функции
1
Y( p )
p
больше степени полинома числителя, то полюс на бесконечности отсутствует, и коэффициент k   0 . В знаменателе дроби отсутствует множитель, который можно вынести за скобку, т.е. нет полюса в начале коорди'
нат. Следовательно k0  0 . Полюсами функции
'
1
Y ( p ) являются два
p
значения p x1  1 и p x 2  3 . Следовательно, количество слагаемых,
стоящих под знаком суммы, также равно двум. Определяем коэффициен'
ты k i :
34
1
  p2 
1
,
k1'  Re s  Y ( p )  


p 1 p
  2 p  4  p 1 2
1
  p2 
1
.
k 2'  Re s  Y ( p )  


p 3  p
2
p

4
2
 
 p 3
1
1
p
p
2
2
В итоге получаем
. Такому
Y( p ) 



p 1 p  2 p  1 p  3
представлению функции Y ( p ) соответствует схема, состоящая из двух
k1' p
2
2
1/2
1/6
Рис. 3.11. Схема реализации RC-двухполюсника вторым методом Фостера.
k 2' p
параллельных ветвей, в каждой из которых активное сопротивление и конденсатор соединены последовательно так, как это показано на
рис. 3.11. Находим значения сопротивлений и
емкостей:
1
1
 2 Ом,
R2 
 2 Ом,
k1
k2
1
1
k
k
1
1
C1  1  2  Ф, C 2  2  2  Ф.
1 1 2
2 3 6
R1 
Реализуем заданную функцию первым методом Кауэра, располагая
слагаемые полиномов числителя и знаменателя в порядке убывания степеней, т.е.
Z( p ) 
p2  4 p  3
p  2p
2
.
Делим числитель на знаменатель:
35
2
p2  4 p  3 p  2 p
p2  2 p
1  Z( p )
p2  2 p 2 p  3
3
p 2  p 1 p Y ( p )
2
2
2
2p3 1 p
2
2p
4  Z3( p )
1
p 3
2
1
1
p  Y4 ( p )
p
2 6
0
Первый шаг деления дает сопротивление Z 1 ( p ) , представляющее собой резистор сопротивлением R1  1 Ом.
1
4
На втором шаге деления получаем емкостную проводимость, которой соответствует
1
Ф. Далее вновь
2
следует активное сопротивление Z 3 ( p )
величиной R3  4 Ом, и на последнем шазначение емкости C 2 
ге деления имеем емкостную проводимость Y4 ( p ) , которой соответствует значение емкости C 4 
1/2
1/6
Рис. 3.12. Схема реализации
RC-двухполюсника первым
методом Кауэра.
1
Ф. Схема двухполюсника показана на рис. 3.12.
6
Вторым методом Кауэра реализуем заданную функцию входного
сопротивления, располагая слагаемые полиномов числителя и знаменателя в порядке возрастания степеней, т.е. представив ее в виде
Z( p ) 
3  4 p  p2
Делим числитель на знаменатель:
36
2 p  p2
.
3  4 p  p2 2 p  p2
3
3
3 p
 Z1( p )
2
2p
5
p  p2
2 p  p2
4 2 2
2p p 4
 Y2 ( p )
5
5
1
5
p  p2 p2
5
2
5
25
p
 Z3( p )
2
2p
1 2 2
p p
5
1 2 1
p
 Y4 ( p )
5
5
0
Сопротивление Z 1 ( p ) есть емкостное сопротивление, которому соответствует значение емкости C1 
2
Ф. Проводимость Y2 ( p ) - это актив3
ная проводимость, соответствующая резистив-
2/3
2/25
ному сопротивлению R2 
5
Ом. Далее вновь
4
следует емкостное сопротивление со значением
5/4
5
Рис. 3.13. Схема реалиизации RC-двухполюсника
вторым методом Кауэра.
2
Ф, и на последнем шаге деле25
ния получаем активную проводимость Y4 ( p ) ,
емкости C 3 
определяющую
R4  5 Ом.
резистивное
сопротивление
Схема двухполюсника, синтезированная с
помощью данного метода, представлена на рис.3.13.
37
СОДЕРЖАНИЕ
Предисловие
3
1. Синтез линейных пассивных электрических цепей. Основные
положения
4
2. Синтез двухполюсников
2.1. Содержание задания
2.2. Синтез реактивных двухполюсников
2.3. Синтез RL-двухполюсников
2.4. Синтез RC-двухполюсников
7
7
9
16
19
3. Примеры построения двухполюсников
3.1. Пример составления выражения функции входного
сопротивления
3.2. Синтез реактивных двухполюсников
3.3. Синтез RL-двухполюсников
3.4. .синтез RC-двухполюсников
22
4. Библиографический список
39
38
22
23
28
33
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Теоретические основы электротехники: Учеб. для вузов / К.С. Демирчян, Л.Р. Нейман, Н.В. Коровкин, В.Л. Чепурин. В 2 т. – 4-е изд. –
СПб.: Питер, 2003.
2. Попов, В.П. Основы теории цепей: Учеб. для вузов / В.П. Попов. – 2-е
изд., перераб. и доп. – М.: Высш. шк., 1998. – 575 с.
3. Шебес, М.Р. Задачник по теории линейных электрических цепей: Учеб.
пособие / М.Р. Шебес, М.В. Каблукова. – 4-е изд., перераб. и доп. –М.:
Высшая школа, 1990. – 544 с.
39