Document 334957

Энергетический спектр эффективных гамильтонианов, диагонализуемых
преобразованием Боголюбова.
Результатом любых процедур диагонализации модельного гамильтониана должно
быть выражение для гамильтониана идеального газа квазичастиц:
ˆ     k   αˆ  αˆ ,
H
eff
k,σ k,σ
(1.1)
k,
поэтому общий вид исходного гамильтониана можно получить простой подстановкой в
(1.1) квазичастичного оператора α̂ k,σ и ему эрмитовски сопряженного α̂ k,σ , выраженные
ˆ  r,  и 
ˆ   r,  .
через полевые операторы частиц 
eikr
(1.2)
uk,  ˆ k,  vk,  ˆ  k, ,
V
k
Для однородного токового состояния когерентная фаза   r   q  r , а коэффициенты
преобразования Боголюбова должны зависеть от вектора q , задающего сверхтекучую
скорость в токовом состоянии, V- объем системы, - спиновая переменная, если таковая
необходима.
Обратное преобразование дается в данном случае формулой:
ˆ  r,    ei r  
ˆ k,σ  


eikr
V u k, σuk,σ  vk,σv-k,-σ
V

 u

ˆ  r, σ  ei r   vk,σ ˆ   r, σ  ei r  dr
*
 k,  σ
(1.3)
Можно представить это выражение в более привычной форме, переопределив
неизвестные коэффициенты преобразования Боголюбова и полевые операторы частиц
ˆ  r,σ  . По структуре получилась бы обычная связь между операторами, как для
бестокового случая.
Такая замена полевых операторов ˆ  r,σ  и ˆ   r,σ  возможна, поскольку они
допускают домножение на общий фазовый множитель, зависящий от r и не нарушающий
коммутационные соотношения1.
αˆ k,σ
e  ikr *
ˆ  r, σ   v k,σ  ψ
ˆ   r, σ   dr

u  k, σ ψ
V
V

k,σ

eikr
ˆ   r , σ   v*  ψ
ˆ  r , σ  dr 

u  k, σ ψ
k,σ
V
V
αˆ



(1.4)

После подстановки (1.4) в гамильтониан (1.1) получается гамильтониан типа:
ˆ 
H
eff


VV
e
i k  r - r 
V

 u
*
 k,  σ

ˆ   r , σ   v*  ψ
ˆ  r , σ 
  k  u  k,  σ ψ
k,σ


(1.5)
ˆ  r, σ   v k,σ  ψ
ˆ   r, σ  dr dr
ψ
1
ˆ  r, σ   ˆ  r, σ  ei  r  ; u* k, σ  u* k, σ
ψ
u

u  vk,σv-k,-σ ; vk,σ  vk,σ
*
 k,  σ k,σ
u
Для сверхпроводящего токового состояния при нулевой температуре когерентная фаза
потенциалом скоростей для сверхпроводящей компоненты. Набор функций
строятся операторы
набор.
e
i  r ikr
u  vk,σv-k,-σ
*
 k,  σ k,σ

  r  совпадает с

V , по которым
ψ̂  r, σ  , как и простые комплексные экспоненты, составляют полный ортогональный
После перемножения скобок под знаком интеграла получается выражение, общую
структуру которого можно представить в виде:
ˆ
H
eff
ˆ   r,    r, r  
ˆ  r,  




*
ˆ
ˆ

  1 
   r,     r, r,     r,     dr  dr   E 0 ,(1.6)
 V V 
ˆ


ˆ
2



r,


r
,
r,


r
,













в котором "одночастичный", возможно нелокальный, гамильтониан   r, r  и функция
  r, r,   задаются конкретной моделью. В данной постановке задачи эти функции
можно считать внешними феноменологическими потенциалами модели. Эти функции и
когерентная фаза   r  обычно определяются путем процедуры само согласования [1,2]
.
Сравнение с результатом подстановки устанавливает их связь со спектром и
коэффициентами u k - v k -преобразования.
 



 
e i k  r  r 
 r , r   
ε k  u  k,  σ  u * k,  σ  ε - k  v * k,  σ  v  k,  σ

V
k,σ

(1.7)
Δ*  r, r,  
eik r r 

 ε k  v*k,σ  u * k, σ ;
2
V
k,σ
Δ  r, r,  
e  ik r r 

 ε k  v k,σ  u  k, σ
2
V
k,σ
(1.8)
E0     k   v* k,  v k,
(1.9)
k,
ˆ  r,σ  и ψ
ˆ +  r,σ  , которые были
Знак в (1.7)связан с правилами коммутации между ψ
использованы при записи (1.6). Верхний знак соответствует бозе – частицам, а нижний
частицам, подчиняющимся статистики Ферми – Дирака.
Функции   r, r  и Δ*  r, r,  зависят только от разности r  r , поэтому по
этой переменной можно провести фурье - преобразование. В результате из (1.7) и (1.8)
получим систему алгебраических уравнений:
     u    -k   v
Δ  k,    2    k   v  u ;
Δ  k,    2    k   v  u
 k   k u
 k, 
*
*
*
 k, 
 k, 
*

v  k,
*
k,σ
k,σ
(1.10)
 k, σ
 k, σ


В рамках рассматриваемой здесь постановки задачи фурье - образы  k и Δ k
должны считаться известными
взаимодействия.
Заметим, что
системы (1.10) следует, что
функциями,

 k
 k
задаваемыми моделью эффективного
является вещественной функцией,
Последнее означает, что сама функция

поэтому из



вещественная функция, а Δ k,   Δ k,  .
симметрична по перестановки координат и,
Δ  r  r,    Δ  r  r,   . Инвариантность
согласно (1.8), зависит только от их разности
при такой перестановке подынтегральных выражений в (1.6)
очевидна.
для
статистики Бозе
Для статистики Ферми можно показать2, что для неизменности интегралов в
(1.6) необходимо, чтобы Δ  r  r,      Δ  r  r     Δ  r  r . Функцию Δ  r  r часто
называют потенциалом спаривания. Обычно его считают короткодействующим и
зависящим от r  r .

 
В токовом состоянии функция  k и  k не должны быть симметричны при
замене k  k . Их удобно представить в виде сумм симметричных и антисимметричных
слагаемых:
 k  s k   k ,  k  s k   k
(1.11)
 k   s k   a k ,  k   s k   a k


     
     
Для неизвестных функций   k  и   k 
s
a
и модулей коэффициентов
u
- v -
преобразования можно получить независимую систему уравнений, добавив к системе
(1.10) соотношения:
u  k,  u * k,  v*k,  v k,  1
,
(1.12)
u k,  u *k, v* k,  v  k,   1
которые обеспечивают сохранения соотношений коммутации или антикоммутации
ˆ  r,σ  и ψ
ˆ +  r,σ  .
для αˆ и αˆ , следующих из соответствующих соотношений для ψ
Два последних уравнения системы (1.10), воспользовавшись соотношениями (1.12),
можно привести к независимой системе уравнений вида:

k, σ
k, σ
 
Δ  k,  
Δ k, 
 
 -k   v
2
 4   2 k  v*k,σ v k,σ  1  v*k,  v k, 
2
 4  2
*
 k, 


v  k,   1  v* k,   v  k, 

(1.13)
Из неё квадрат модуля v*k,σ v k,σ , как корень квадратного уравнения, легко записывается

через энергию  k , а с ним, благодаря соотношениям (1.12), и выражения для u k,  u *k, :
:
v*k,σ v k,σ 
1 1

1
2 2


k
Δ k, 

2

2
, u k,  u *k, 

 -k 
Δ k, 
1 1

1
2 2
2
2
(1.14)
Лишние корни отброшены из-за естественного требования положительности v*k,σ v k,σ .
Теперь из первого уравнения системы (1.10) получается уравнение, непосредственно
связывающее энергию  k с известной из модели величиной  k :

2

ˆ  r,     r, r,   
ˆ  r,      
ˆ  r,     r, r ,  
ˆ  r ,     
ˆ  r ,     r , r,  
ˆ  r,   





ˆ  r,      r, r,   
ˆ  r,      
ˆ  r,     r, r,  
ˆ  r,      r, r,      r, r,   
  


   r, r,        r, r           r, r,    2

2
2 

Δ
k,

Δ
k,



1
1
 k   k   -k    k 1 


-k
1


(1.15)
2
2
2
2

k

-k




Вторые скобки в правой части (1.15) содержат симметричное по k выражение, а первые антисимметричное, поэтому:
a k   a k  

    


 


 
 
 
2
2 
(1.16)
1
  2 -k  Δ k,  
2

Второе из равенств (1.16) необходимо ещё разрешить относительно симметричной части
энергии, для этого возведем его в квадрат.
1
1
2
2
2
s 2 k   2 k   2 -k  2 Δ 
 2 k  Δ  2 -k  Δ
(1.17)
4
2
Заменим  k и  -k их симметричными и антисимметричными частями.


 
 
s k    2 k  Δ k, 
      
  
2  k     
Δ
2
2
s
s
2

2
 
 
  k   

2
2
s
  
 Δ

  4 
2 2
2 2
s
(1.18)
Возведём (1.18) ещё раз в квадрат и перегруппируем слагаемые.
 2  k   
2
s
2
s
 2
Δ
    k   
2 2
2
s
2
 Δ

2 2
 4 2 s2
(1.19)
Легко убедиться, что относительно  s2 получается простое линейное уравнение.
  k   
2
s
2
s
 2
2
Решения этого уравнения
 
s k  
    k   
  k    
s k
2
2
2
2
s
Δ
 
Δ s k   2 s2
2
2
  
s

1


k
s
(1.20)
Δ
2
  k    
2
2
s




(1.21)
в токовом случае при  2  0 существуют в вещественной области не при всех волновых
векторах. Для ферми - систем (нижний знак в формуле).
В рамках проводимого здесь рассмотрения для обычно используемых моделей в
качестве функции   r, r  нужно взять просто оператор кинетической энергии частицы,
добавив к нему необходимую константу, а в качестве Δ*  r, r,   дельтообразную
функцию, соответствующую короткодействию:
2
2
 

  r , r     r   r 
 i       r   r  ,
2m   r 
(1.22)
  r , r     e
2i  r 
   r  r 
Для ферми – газа введенные постоянные  и  соответствуют обычным
обозначениям теории БКШ, а для бозе – газа следует взять =-w и  =-w, тогда, как легко
убедиться, получается обычный гамильтониан, используемый в теории слабо
неидеального бозе – газа (w связана с компонентой Фурье короткодействующего
потенциала взаимодействия).
2
2
w
ˆ '
H
k    r    aˆ k, aˆ k,   ' aˆ k, aˆ  k,  aˆ k,  aˆ  k,
(1.23)
2 k,
k, 2m

Соответственно,  

2



 k   r  m; s k 
2

k
2
   r 
2
  2m   .
Бестоковый режим в сверхпроводящем состоянии
В бестоковом состоянии =0 или   r   Const , которую можно выбрать нулём,
соответственно второй из формул(1.22), Δ - вещественная величина. При этом получаются
известные соотношения теории БКШ для ферми – газа:
 s  s 2  Δ ,где
2
s 
2
k 2 2m   , и Δ  0
2
s 
1 1 s  Δ  Δ
1
u k,  u k,  

1


,
2 2
 2 k
2    k  
 
1
v*k,σ v k,σ  1  s 
2   k 
Для слабо неидеального бозе- газа.
2
2
*
(1.24)
 s  s 2  Δ  t 2  2wt , где
2
s  t  w, t  p 2 2m и Δ   w  0
1 1 t 2  2wt  w 2 1  t  w 
(1.25)

 
 1 ,
2 2
 2 k
2    k  
1tw 
v*k,σ v k,σ  
 1
2    k  
Поскольку в данном случае <0, то согласно последним соотношениям из
системы (1.10), при извлечении квадратного корня у коэффициентов преобразования
Боголюбова следует выбирать противоположные знаки. Заметим, что в обоих случаях
коэффициенты можно выбрать вещественными.
Продемонстрируем, как получаются приведенные выше результаты в бестоковой
ситуации для ферми – газа. Из системы (1.10) в бестоковом режиме результаты
получаются достаточно просто, поэтому имеет смысл повторить вывод для этого случая.
Кроме того, легко получаются формулы для самих коэффициентов u – v преобразования, а
не только для их квадратов. Эти формулы потребуются для процедуры самосогласования,
которая рассматривается в следующем параграфе.
Система (1.10) записывается для бестокового состояния ферми – системы, как:
  k     k   u  k,  u * k,    k   v* k,  v  k, 
u k,  u *k, 
  Δ *  k   2    k   v*  u * ;
k,σ
  Δ k  2  k  v  u
k,σ
 k, σ
(1.26)
 k, σ
Заметим, что в бестоковом случае система инвариантна относительно замены k  k ,
поэтому коэффициенты u-v преобразования зависят от модуля k и условие сводится к
одному уравнению.
u k,  u *k, + v*k,  v k,  1
(1.27)
Поскольку решения для более общего случая фактически уже приведены выше, то
имеет смысл просто проверить, что
1  k 
1  k 
2
2
(1.28)
1   , v k,  
1   , где  k  k   ,
2  k 
2  k 
удовлетворяют системе (1.26) и условию (1.27). Выполнение условия (1.27) очевидно,
а система (1.26) превращается в:
 1   k  1   k 
  k     k    1 
  1 
     k 
2
   k  2   k  
.
(1.29)
2
1  k  1  k 
  Δ  k   2    k  
1   1      Δ  k 
2  k  2  k 
u k, 
Поскольку  величина принята вещественной и положительной, то в (1.29) фигурирует
арифметическое значение корня.
Качественная картина зависимости энергии от расстояния от поверхности Ферми
  k  , задаваемая последней из формул(1.28), представлена на Рис.1. Штриховые линии
соответствуют энергии возбуждений в нормальном металле, когда   0 . Минимум в
сверхпроводящем состоянии приводит к появлению особенности в энергетической
плотности состояний:
d
d
2
2
 DBKS     D     , здесь   2       2  
d
d
,
(1.30)
D   
D   
DBKS    
2
2   
2  
представленной на Рис.2.
На Рис.3 и Рис.4 представлены зависимости коэффициентов U-V преобразования
Боголюбова от энергии, отсчитанной от поверхности Ферми. Ниже поверхности Ферми
(   ) возбуждения в основном соответствуют дыркам, а вдали выше поверхности
Ферми частицы, спектр которых, как видно из Рис.5 совпадает со спектром возбуждений
при   .
На Рис.6 изображен тот же спектр возбуждений, но в качестве аргумента взят модуль
квазиимпульса k . Как видно из рисунка, спектр возбуждений в сверхпроводящем
состоянии лежит выше прямой, чьё уравнение y  k   2 , поэтому согласно критерию
Ландау движение любой частицы со скоростью меньшей vcr   2   pF не может
породить возбуждение с таким спектром.
При таком спектре возможна
сверхпроводимость.
Заметим, что рисунки построены для наглядности при нереальном соотношении
   0.1 , в то время как даже в высокотемпературных сверхпроводниках оно не
превосходит 10-3 10-2.
j
0  250
kj
0.01  j
kj
j

1
2

1
2

10
1.5
1
kj
j
2
uj
0.15 D(  )
2
2
2


2

2
j
vj
j
1
j
1

D(  ) 
D bcs (  )
2

2
 k
j
2

D(  ) 
D1 bcs (  )
2( 
j
2
(  )

yj
2
(  ))
600

0.4
j

D bcs 
j

j
D1 bcs 
j
0.2
j
400
200
0
1
0
0.5
0

j
0

j
0.5
1
Fig.2. Energy state density
Fig.1. Energy spectra
2
2
u
j
u
j
1
v
v
j
j
2
2
1
0
0
2
0

j
2
2
0

j
2
Fig.4.
Fig.3.
2
2

2 

j

j
0
j
y
j
1

2
1
0

j
Fig.5.
1
0
0
1
2
3
k
j
Fig.6.
Общий случай
Для ферми – статистики в токовом режиме примеры энергетических спектров приведены
на двух рисунках: Рис.1 и Рис.2.
Рис.1. Спектр для сверхпроводящего
Рис.2. Спектр для токового состояния
токового состояния при
при нарушении сверхпроводимости.
  0.002,   1 и q  0.0012
  0.002,   1 и q  0.002
На первом рисунке представлена кривая для сверхпроводящего токового состояния,
рассчитанная по формуле(1.21). Критерий Ландау, сводящийся в данном случае к
неравенству q  kФ   , где k Ф  2 , выполнен. На рисунке почти горизонтальная
штрих пунктирная линия kq идёт ниже уровня  , который изображен тонкой
штриховой линией.
Здесь и везде далее в этом параграфе принимаем систему
единиц, в которой m  1,  1 , а все энергии обезразмеритены делением на  ,
поэтому энергию Ферми можно считать третьей единицей измерения.
Из рисунка,
в согласии с(1.21), видно, что в полосе  kq  s  k   kq около поверхности Ферми
нет вещественных значений энергии. В k-пространстве это соответствует слою
2  q 2  q  k  2  q 2  q , в котором направление вектора k не слишком сильно
отличается от направления вектора q . В направлении q , с высокой точностью, это
слой толщины 2q , в котором величины, даваемые формулой(1.21), чисто мнимые.
На Рис.1. мнимая часть изображена пунктирной кривой и равна нулю вне указанной
полосы.
Весьма примечательно, что минимумы энергии на Рис.1 лежат примерно в два
раза выше, чем в бестоковой ситуации или для направления вектора возбуждения
k , перпендикулярного q .
При измерении щели в туннельных экспериментах результат, таким образом,
может зависеть от величины тока (точнее от сверхтекучей скорости). Если локально
скорость приближается к критической q кр   k Ф , то измеряемая щель в рамках
простейшей изотропной модели БКШ должна быть в два раза больше, чем  ,
измеряемая при нулевом токе.
Когда превышается q кр , то, согласно(1.21),
в «запрещенной полосе»
 kq  s  k   kq появляется меньшая полоска 
 kq 
2
  2  s  k  
 kq 
2
 2 , в
которой появляются действительные значения для энергии возбуждений. Пример
такой ситуации представлен на Рис.2. В этой полосе кривые спектра исходят из нуля,
поэтому критерий Ландау заведомо нарушен и согласно ему бездиссипационный
режим не может реализоваться. В дальнейшем покажем, что сам критерий возникает
из невозможности выполнить условие самосогласования для тока.