   

Муниципальный этап
Всероссийской олимпиады по математике 2009/10 уч г
11 класс
1. Решите систему уравнений
( x  1)(3 х 2  5 хy)  144
 2
 x  4 x  5 y  24.
2.Пять отрезков таковы, что из любых трех можно составить треугольник. Докажите, что
хотя бы один из этих треугольников остроугольный.
3. Докажите, что для любых положительных x и y, для любого α
2
2
хsin   y cos   x  y .
4. Число р простое. Сколько существует чисел, взаимно простых с числом р3 и меньших
его.
5.Можно ли в кубической коробке с ребром 1 разместить два правильных тетраэдра с
ребром 1?
Муниципальный этап
Всероссийской олимпиады по математике 2009/10 уч г
11 класс
1. Решите систему уравнений
( x  1)(3 х 2  5 хy)  144
 2
 x  4 x  5 y  24.
2.Пять отрезков таковы, что из любых трех можно составить треугольник. Докажите, что
хотя бы один из этих треугольников остроугольный.
3. Докажите, что для любых положительных x и y, для любого α
2
2
хsin   y cos   x  y .
4. Число р простое. Сколько существует чисел, взаимно простых с числом р3 и меньших
его.
5.Можно ли в кубической коробке с ребром 1 разместить два правильных тетраэдра с
ребром 1?
Решения
11 класс
2
( x  1)(3 x 2  5 xy)  144
( x  x)(3 x  5 y )  144
1.  2
 2
 x  4 x  5 y  24
( x  x)  (3 x  5 y )  24
Пусть x 2  x  a , 3x  5 y  b
 x 2  x  12
ab  144
 a  b  12  

a  b  24
3x  5 y  12
Ответ: (3; 0,6), (-4; 4,8).
2.Пусть а ≤ b ≤ c ≤ d ≤ e - данные отрезки.
Предположим, что все треугольники, составленные из этих отрезков, не остроугольные.
Тогда с2 ≥ a 2  b 2 , d 2 ≥ b2 + c2, e 2 ≥ c2 + d2, откуда c 2  d 2  e 2 ≥ a 2  2b 2  2c 2  d 2 или
e 2 ≥ a 2  2b 2  c 2  (a 2  b 2 )  (b 2  c 2 ) ≥ a 2  b 2  2bc ≥ a 2  b 2  2ab  (a  b) 2 откуда
e ≥ а + b, и, значит из отрезков a, b, e нельзя составить треугольник, что противоречит
условию.
4. Пусть х  y, тогда
2
xsin   y cos
2

2
 ysin   y cos
2

 ysin
2
  cos 2 
 y  x  y.
4. Числа меньшие р3 и взаимно простые с ним, это те, которые взаимно просты с простым
числом р, т.е. те которые не кратны р. Чисел, кратных р и не превосходящих р3, будет
р3: р = р2. Поэтому среди чисел, меньших р3, имеется (р3 - 1) - (р2 - 1) = р3 - р2 чисел,
взаимно простых с р3.
5. Можно. Пусть М и N середины ребер ВВ 1 и DD 1 в кубе АВ С DА 1 В 1 С 1 D 1 . Так как
расстояние между прямыми АА 1 и МN равно
2
, что совпадает с расстоянием между
2
скрещивающимися ребрами правильного тетраэдра с ребром 1, то на отрезке МN найдутся
точки К и Р симметричные относительно точки О середины отрезка МN, для которых
АА 1 КР- правильный
тетраэдр. Рассматривая вместо ребра АА 1 ребро СС 1 , можно
получить еще один тетраэдр СС 1 КР.
Критерии оценивания.
Рекомендуемое время проведения олимпиады – 4 часа.
Задания математических олимпиад являются творческими, допускают несколько
различных вариантов решений. Кроме того, необходимо оценивать частичные
продвижения в задачах (например, разбор одного из случаев методом, позволяющим
решить задачу в целом, доказательство леммы, используемой в одном из доказательств,
нахождение примера или доказательства оценки в задачах типа «оценка + пример» и т.п.).
Наконец, возможны как существенные, так и не влияющие на логику рассуждений
логические и арифметические ошибки в решениях. Окончательные баллы по задаче
должны учитывать все вышеперечисленное.
В соответствии с регламентом проведения математических олимпиад школьников
каждая задача оценивается из 7 баллов.
Соответствие правильности решения и выставляемых баллов приведено в таблице.
Баллы
7
6-7
5-6
4
2-3
0-1
0
0
Правильность (ошибочность) решения
Полное верное решение.
Верное решение. Имеются небольшие недочеты, в целом не влияющие на
решение.
Решение в целом верное. Однако оно содержит ряд ошибок, либо не
рассмотрение отдельных случаев, но может стать правильным после
небольших исправлений или дополнений.
Верно рассмотрен один из двух (более сложный) существенных случаев,
или в задаче типа «оценка + пример» верно получена оценка.
Доказаны вспомогательные утверждения, помогающие в решении задачи.
Рассмотрены отдельные важные случаи при отсутствии решения (или при
ошибочном решении).
Решение неверное, продвижения отсутствуют.
Решение отсутствует.
Важно отметить, что любое правильное решение оценивается в 7 баллов.
Недопустимо снимать баллы за то, что решение слишком длинное, или за то, что решение
школьника отличается от приведенного в методических разработках или от других
решений, известных жюри. Важно отметить, что исправления в работе (зачеркивания
ранее написанного текста) не являются основанием для снятия баллов.
В то же время любой сколь угодно длинный текст решения, не содержащий
полезных продвижений, должен быть оценен в 0 баллов.
Победители и призеры олимпиады определяются жюри в соответствии с итоговой
таблицей.
Список
победителей
и
призеров
утверждается
организатором
соответствующего этапа олимпиады. Количество победителей и призеров олимпиады не
должно превышать 45% от общего числа участников олимпиады. Важно отметить, что
победителями олимпиады являются ВСЕ участники, набравшие наибольшие баллы.
Поэтому жюри может определить в любом классе более чем одного победителя.